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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁSUNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
ENGENHARIA CIVIL
PROPAGAÇÃO DE TENSÕES NO INTERIOR DO SOLO
Aula 1
RENATO CABRAL GUIMARÃES
MECÂNICA DOS SOLOS II
2
1. Introdução
Conhecer os princípios básicos da distribuiçãode pressões nos solos devido ao peso próprio ea uma sobrecarga imposta é de grandeimportância em qualquer obra geotécnica,pois para realizar a previsão de deformaçõesde um solo é necessário conhecer estesprincípios.
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2. Pressão Devido ao Peso Próprio
� Solo é um meio particulado Forças nas partículascontato grão a grão.
� Consideração das forçasindividuais complexas
Utiliza o conceito de tensão.
áreaN
v∑∑∑∑
====σσσσ
áreaT∑∑∑∑
====ττττ
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2. Pressão Devido ao Peso Próprio
� Tensões de contato grão agrão.
da ordem de 700 MN/m2.
�Tensões na massa de solo: consideradas tensõesmacroscópicas.
�Tensões na massa de solo da ordem de 10 a 10.000 N/m2.
�Tensões Geostáticas: geradas pelo peso próprio do solo.
�Em geral, possuem um padrão de distribuição próprio, quedepende das características do maciço e da geometria doterreno.
�Porém, em algumas situações, pode ter um padrão simplesde distribuição: quando a superfície for horizontal e o maciçonão possuir grande variabilidade na direção horizontal (Ex:Solos sedimentares).
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2. Pressão Devido ao Peso Próprio
σ’v
σ’v
σ’H σ’H
z
σ’v = γ x z
σ’v
z
0vH K'' ×σ=σ
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3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas
• Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno, o elemento de solo tem seuestado de tensões original modificado.
σ’v = σ’v0 + ∆σz
z
Q x
σ’v = σ’v0 + ∆σz
σ’H = σ’H0 + ∆σx σ’H
τ’
τ’
• O acréscimo de carga no elemento de solo devido ao carregamento externo(Q) pode acarretar aumento ou diminuição das tensões existentes devidoao peso próprio. A lei de variação dessas modificações de tensões chama-sedistribuição de pressões.
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3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas
• No estudo de tensões dois princípios são da maior importânciapor serem admitidos direta ou indiretamente na maioria dasformulações para o cálculo do acréscimo destas tensões:
a) Principio da superposição dos efeitos: a soma dos efeitos decada carregamento é igual ao efeito de todos oscarregamentos;
b) Principio de Saint Vernant: após determinada profundidade aforma do carregamento não tem mais influência no efeitodeste, podendo-se substituir, por exemplo, um carregamentodistribuído de uma placa retangular pela carga concentradaresultante, que o acréscimo de tensão nesta profundidade seráo mesmo.
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3.1 Hipótese Simples ou Antiga
• Segundo Kollbrunner (1946) apud Barata (1984) esta é a maisantiga das teorias de distribuição de pressões nos solos e admite quea carga (Q) aplicada na superfície do terreno distribui-se emprofundidade segundo um ângulo (ϕϕϕϕ0), chamado ângulo deespraiamento ou de propagação.
z1
Q
ϕ0
Q z2
Q
b0
b1
b2
ϕ0
M M
N N
11
b
Q=σ
22
b
Q=σ
00
b
Q=σ
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3.1 Hipótese Simples ou Antiga
• Segundo Barata (1984) essa teoria segue dois princípios:
a) a propagação de tensões, devido a sobrecarga, restringe-se a zonadelimitada pelas linhas de espraiamento MN. Fora da zona deespraiamento não há influência da sobrecarga (ou seja, não hámodificação das tensões originais);
b) em qualquer profundidade (z), a carga resultante da sobrecarga éconsiderada constante, e pode ser é calculada pela Equação:
Qb..........bb 002211 =×σ==×σ=×σ
• A equação é válida para carregamento de comprimento infinito delargura b0. Se a área carregada tiver extensão finita (quadrada,circular, etc) os cálculos serão semelhantes, considerando oespraiamento em todas as direções.
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3.1 Hipótese Simples ou Antiga
• Segundo Pinto (2000), embora útil em certas circunstâncias, estemétodo é uma estimativa muito grosseira da realidade, pois astensões a certa profundidade, não são uniformemente distribuídas,mas concentram-se na proximidade do eixo de simetria da áreacarregada, apresentado uma forma de sino.
• A forma de sino apresentada na Figura foi confirmada emobservações experimentais, realizadas utilizando instrumentação aolongo da profundidade z.
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3.1 Hipótese Simples ou Antiga
• Segundo Barata (1984), desde que se conheça as restrições dessateoria o seu emprego é interessante, face a sua simplicidade,portanto a mesma pode ser utilizada nos casos listados a seguir:
a) sobrecargas provenientes de fundações e/ou estruturas muito rígida,em que face à tendência de recalque uniforme, as pressões tendem àuniformidade;
b) cálculo da distribuição em horizontes situados a profundidadesrelativamente grandes, em que tende a haver um achatamento dodiagrama de pressões;
c) o valor de ϕϕϕϕ0 depende do tipo de solo, quanto mais resistente e maiscoesivo for o solo, maior será o valor de ϕϕϕϕ0. A Tabela a seguirapresenta valores de ϕϕϕϕ0 sugeridos por Kögler & Scheidig (1948)apud Barata (1984).
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3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade
• A teoria da elasticidade vem sendo utilizada na determinação dadistribuição de cargas ao longo da profundidade devido acarregamentos externos há bastante tempo. A experiência com usodesta ferramenta é muito grande sendo que ao longo dos anos,diversas formulações foram desenvolvidas para solucionar estadistribuição. A maioria das formulações existentes baseia-se nasseguintes considerações:
a) a teoria da elasticidade é aplicável;
b) o maciço de solo é homogêneo;
c) o maciço de solo é isótropo;
d) o maciço de solo é semi-infinito.
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3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade
a) a teoria da elasticidade é aplicável;
b) o maciço de solo é homogêneo;
c) o maciço de solo é isótropo;
d) o maciço de solo é semi-infinito.
� o solo não é um material elástico especialmente quando se considera que asdeformações em solos são substancialmente irreversíveis. O que pode seraceito é que até determinado nível de tensão há uma certa linearidade nocomportamento tensão-deformação do solo;
� a homogeneidade é exceção em solos. Na quase totalidade das vezes o soloé heterogêneo;
� a isotropia excepcionalmente ocorre em solos;
� o maciço de sol não é um espaço semi-infinito.
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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:
Q
r
R
y
x
y
z
x
∆σ∆σ∆σ∆σy
∆σ∆σ∆σ∆σz
∆σ∆σ∆σ∆σx
z
5
3
v
2
5
22
3
vR2
zQ3ou
)zr(2
zQ3
×π×
××=σ∆
+×π×
××=σ∆
2222 yxrerzR +=+=
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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:
Q
r
R
y
x
y
z
x
∆σ∆σ∆σ∆σy
∆σ∆σ∆σ∆σz
∆σ∆σ∆σ∆σx
z
×
×+
+××
−×−−
××=∆
23
2
2
22
5
2
)()21(
3
2 rR
zy
zRrR
yx
R
zxQx µ
πσ
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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:
Q
r
R
y
x
y
z
x
∆σ∆σ∆σ∆σy
∆σ∆σ∆σ∆σz
∆σ∆σ∆σ∆σx
z
×
×+
+××
−×−−
××=∆
23
2
2
22
5
2
)()21(
2
2 rR
zx
zRrR
xy
R
zyQy µ
πσ
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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície
• Segundo Barata (1984) esta solução foi formulada para ummaterial ideal, ou seja, solos elásticos, homogêneos, isótropos e paraum semi-espaço infinito.
• A solução de Boussinesq foi estabelecida para carga concentradaaplicada na superfície do terreno, no entanto a maioria dasfundações aplica suas cargas abaixo da superfície e nãocorresponde a carga concentrada, o que conduz a erros.
• Para o caso da aplicação de carga abaixo da superfície o correto éaplicar a teoria de Mindlin (1936) apud Poulos & Davis (1974).
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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície
• Para aplicar a solução de Boussinesq em caso de cargas nãoconcentradas Kögler & Scheidig (1948) apud Barata (1984)sugerem aplicar a mesma para profundidades razoáveis, conformedescrito a seguir.
a) carga sobre área circular: z > 3 vezes o diâmetro;
b) carga sobre área retangular: z > 2,5 vezes menor lado.
Exemplo 3.1. Uma carga concentrada de 300 kN é aplicada nasuperfície do solo. Calcule o acréscimo de tensão vertical em umponto de coordenada x = 1,5 m, y = 2,1 m e z = 1,1 m. O ponto deaplicação da carga coincide com a origem do sistema de referência.
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3.2.2 Linha de Carga Vertical
x
z
∆σz
q/unidade de comprimento
z
222
3
)(
2
zx
zqz
+×
××=∆
πσ
20
3.2.2 Linha de Carga Vertical
z
Exemplo 3.2. Na figura a seguir determine o aumento na tensãovertical no ponto A.
2,0 m
1,5 m
A
q=15 kN/m
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3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares
• Para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaçoinfinito de superfície horizontal por carregamentos distribuídosnuma área retangular, Newmark desenvolveu uma integração daequação de Boussinesq.
• Determinou as tensões num ponto abaixo da vertical passando pelaaresta da área retangular e verificou que a solução era a mesmapara situações em que a relação entre os lados da área retangular ea profundidade fossem as mesmas.
( ) ( )
( ) ( )( )
×−++
++×+
++××+++
++×
++×
×π
σ=σ
2222
5,022
222222
225,022
0v
nm1nm
1nmmn2arctg
1nmnm1nm
2nm1nmmn2
4
• A tensão num ponto qualquer é função dos parâmetros m e n,portanto a equação pode ser representada pela equação a seguir.
0v I σ×=σ∆
22
3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares
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3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares
Exemplo 3.3. As coordenadas cartesianas do centro de uma placaretangular de fundação são (0, 0) e as de seus vértices (± 8, ± 5),sendo as dimensões tomadas em metros. A carga uniformementedistribuída na fundação é 15 kPa. Estimar os acréscimos de tensõesverticais sobre o plano 15 m abaixo da face inferior da fundaçãodos seguintes pontos: A (-8, 5); O (0, 0); E (8, 0) e F (-10, -7).
A H B K
J O
E
C D
L
N
F M
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3.2.4 Centro de Uma Área Circular Uniformemente Carregada
• Utilizando a equação de Boussinesq para a tensão vertical (∆σ∆σ∆σ∆σz)causada por uma carga pontual pode-se desenvolver uma expressãopara a tensão vertical abaixo do centro de uma área circular flexíveluniformemente carregada “Fórmula de Love”:
Exemplo 3.4. Para realizar uma prova-de-carga foi utilizada umaplaca circular de 3,0 m de diâmetro apoiada na superfície de umterreno. Sabendo-se que o carregamento máximo foi de 1.060 kN,determine o aumento de tensão vertical no centro da placa a 3 m deprofundidade.
+
−×=σ∆
2
3
2
z
1)z
R(
11q
25
3.2.5 Carregamento de um Aterro
B2 B1
H
z α2 α1
( )
α×−α+α×
+
π=σ∆ 2
2
121
2
210z
B
B
B
BBq
hq0 ×γ=
z
Barctag
z
BBarctag)radianos( 121
1 −
+=α
z
Barctag)radianos( 1
2 =α
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3.2.5 Carregamento de um Aterro
Exemplo 3.5. Um aterro de 7 m de altura, 5 m de crista e taludes com14 metros de largura será construído sobre um solo homogêneo.Para construção do aterro deverá ser utilizado um solo queapresenta γγγγdmax = 15,07 kN/m3 e umidade ótima = 18,5%. Sabendo-se que o grau de compactação será de 98% e o mesmo serácompactado na umidade ótima, determine o aumento de tensão nocentro do aterro a 5 metros de profundidade.