Aula 3 Conceitos de Relatividade Restritamacbeth.if.usp.br/~gusev/ConceitosdeRelatividadeRestrita.pdf · CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley

Física para Engenharia Elétrica -Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA

1. Introdução

2. O Experimento de Michelson-Morley

3. Postulados da Relatividade Restrita

4. Transformações de Lorentz

5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial

6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativíst icos



1. INTRODUÇÃO

Do que trata a Teoria da Relatividade?

A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de referência inerciais :

a) um sistema em repouso;

b) um sistema em movimento retilíneo uniforme(velocidade constante ) em relação ao primeiro.



1. INTRODUÇÃO

Como é este comportamento na Mecânica Clássica?

Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais ine rciais.

Dois referenciais inerciais , um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam atra vés de Transformações de Galileu .



1. INTRODUÇÃO

O que são as Transformações de Galileu?

Se o referencial S’ se move em relação a S com velocidade constante V, e as origens O e O’ dos dois referenciais coincidem no instante t = 0, temos que:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

'

'

'

'

x t x t V t

y t y t

z t z t

t t

= − ⋅

=

==

O tempo é a grandeza absoluta!!!


( )'' '

dx dv x V t v v V

dt dt= = − ⋅ ⇒ = −

( )''

dv da v V a a

dt dt= = − ⇒ =


1. INTRODUÇÃO

Quais as conseqüências das Transformações de Galile u?

1) Composição de velocidades:

2) Composição de acelerações:


' ' 'F m a F m a= ⋅ ⇒ = ⋅


1. INTRODUÇÃO

Quais as conseqüências das Transformações de Galile u?

3) Igualdade nas forças: como as Transformaç ões de Galileu não afetam as distâncias entre partí culas nem as massas, elas também não afetam uma força que só dependa destas distâncias.

'F F=

Logo, a lei básica da Dinâmica ( 2a Lei de Newton ) não se altera!!!

⇒⇒⇒⇒


Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu


1. INTRODUÇÃO

Não existe sistema de referência absoluto pelo qual todos os outros movimentos possam ser medidos.

À época de Galileu, experiências feitas sob convés d e um navio com as escotilhas fechadas, mostraram que elas eram incapazes de serem distinguidas se o navio est ivesse ancorado ou em MRU).

Assim, em um referencial inercial é impossível determinar se um corpo está em repouso ou em movimen to e este corpo continua em movimento uniforme a menos que sofra ação de alguma força .




1. INTRODUÇÃO

O Princípio da Relatividade de Galileu deixa de valer para referenciais não-inerciais .

Nos referenciais não-inerciais aparecem efeitos detectáveis nas leis da Mecânica através das forças de inércia .

Exemplos de forças de inércia :

- força centrífuga ;

- forças de Coriolis .




1. INTRODUÇÃO

- força centrífuga ;

- forças de Coriolis .


Das leis da Eletrodinâmica temos que a luz se propa ga, no vácuo, com velocidade c.

'c c V= − 'c c≠


1. INTRODUÇÃO

Como ficam as Equações de Maxwell perante o Princip io de Relatividade de Galileu?

Admitindo que isso vale num dado referencial inerci al, e que valem as leis da Mecânica Clássica, temos que n um outro referencial inercial em MRU em relação ao pri meiro com velocidade V, a velocidade da luz neste referen cial pela lei de composição de velocidades de Galileu, seria:


'c c V= − 'c c≠


1. INTRODUÇÃO

Como ficam as Equações de Maxwell perante o Princip io de Relatividade de Galileu?

Isto significa que a velocidade da luz poderia vari ar com a direção de propagação), contradizendo o principio de relatividade no caso da Eletrodinâmica.

Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relativida de de Galileu, a validade das Equações de Maxwell esta ria restrita então a um referencial inercial privilegia do, onde a velocidade da luz é c em todas as direções.



1. INTRODUÇÃO

Problema

Existe uma aparente ambigüidade entre as Leis de Newton e as Equações de Maxwell.

Ambas não podem ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial.

Apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial inercial.

Qual delas?



1. Introdução







Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Michelson e Morley procuraram detectar esses de svios (muito pequenos) usando o interferômetro de Michels on.

Deveria ser possível usar o movimento da Terra em relação ao éter juntamente com o Princípio de Galil eu de composição de velocidades.


2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

Solução

Será possível projetar um experimento no qual esta ambigüidade pudesse ser levantada?

A velocidade da luz na Terra relativa ao éter dever ia ser diferente em direções diferentes.




O Experimento




( )1 22 2

2 1 1

1 1

l l

v vc c

δλ

⋅ + = − − −

O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu

Cálculo da variação da fase das franjas de interfer ência com o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si.

l1 e l2 ⇒⇒⇒⇒ comprimento dos braços do interferômetro.

λλλλ ⇒⇒⇒⇒ comprimento de onda da luz utilizada (luz de lâmpada de Na).

v ⇒⇒⇒⇒ velocidade de translação da Terra em relação ao éter.




( ) 21 2l l v

cδ

λ+ =

0,4PGδ =

O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu

Aproximação devido a v << c:

l1 = l2 = 11 m.

λλλλ = 560 nm.

v/c = 10 -4. 0EXPδ =

À época, a precisão experimental para esta medida er a 0,01, logo a variação de fase das franjas era possí vel de ser detectada.


A experiência foi repetida muitas vezes, com difere ntes orientações da montagem.



Conclusões do Experimento

Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse caso a mecânica newtoniana e as Transformações de G alileu não podem estar corretas.

Deste experimento concluímos que a velocidade da lu z é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta.



1. Introdução








3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA

O que fazer então diante deste fato experimental?

Primeiro passo: formular princípios que estejam de acordo com os resultados experimentais.

1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e é independente da veloci dade da fonte.

Postulados da Relatividade Restrita:


Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la .



Conseqüências dos Postulados da Relatividade Restri ta

As modificações necessárias, tomando os dois postulados como pontos de partida, foram propostas por Albert Einstein em 1905.




Simultaneidade


“Se um evento 1 ocorre em P 1 no instante t 1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que par te de P1nesse instante, e o mesmo vale para P 2 em t 2 (evento 2), dizemos que eles são simultâneos (t 1 = t2) quanto o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio d o segmento P 1P2.”



Simultaneidade


Essa definiç ão implica imediatamente que a simultaneidade de eventos distantes não tem caráter absoluto.



Simultaneidade

Dois eventos simultâneos num particular referencial S podem não ser simultâneos noutro referencial inerci al S’ que se move em relação a S com MRU.



1. Introdução








4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ

Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qua l deve ser a transformação correta entre dois sistema s de referência inerciais?

A transformação correta deve satisfazer:

a) o conceito de simultaneidade de Einstein;

b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em relação a S’;

c) para V = 0 a transformação deve reduzir-se àidentidade;


e) Essa é uma transformação necessariamente linear.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ' ' ' ' 0x y z c t x y z c t+ + − = ⇔ + + − =



d) Se um sinal luminoso é enviado de O = O’ no tempo t = t’ = 0, a sua frente de onda deve propagar-se co m velocidade c em ambos os referenciais, de modo que:


( )

zz

yy

xc

vtt

Vtxx

==

−=

−=

'

'

'

'

2

γ



Relações Matemáticas

( )2

2

1

1

VV

c

γ =−


( )

'

'

''

''

2

zz

yy

xc

vtt

Vtxx

==

+=

+= γ



Relações Matemáticas

A transformação inversa é obtida substituindo V por –V, isto é, S se move em relação a S’ com velocidade –V.

O tempo não é mais absoluto, depende do referencial!!!

't t≠



1. Introdução







2M

Dt

c

⋅∆ =

2

. tc ∆

d

2

. tv ∆


5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL

Quais são os efeitos cinemáticos das Transformações de Lorentz?

1) Dilatação Temporal: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem o te mpo de forma diferente!!!

22

2

2

2 1

1J

Dt

vcc

⋅ ∆ =

−


J Mt tγ∆ = ⋅∆

2

2

1

1

c

v−

=γ



1) Dilatação Temporal

J Mt tγ∆ ≥ ⋅ ∆




2) Contração Espacial: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem comprimentos de forma diferente!!!

2

0 21

VL L

c= ⋅ −

0L L≤


'

''

dt

dxv x =

'

''

dt

dyv y =

'

''

dt

dzv z =

dt

dxvx =

dt

dyv y =

dt

dzvz =



Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz?

A velocidade instantânea v’(t’) do corpo em S’ tem a s componentes dadas por:

A velocidade instantânea v(t) do corpo em S tem as componentes dadas por:





As coordenadas x’(t’), y’(t’) e z’(t’) estão relaci onadas com as coordenadas x(t), y(t) e z(t) através da Tra nsformação de Lorentz.

( )'dx dx V dtγ= ⋅ − ⋅

2'

vdt dt dx

cγ = ⋅ −

dydy =' dzdz ='





Obtemos então:

'

21

xx

x

v Vv

v V

c

−=⋅ −

'

21

yy

x

vv

v V

cγ

=⋅ ⋅ −

'

21

zz

x

vv

v V

cγ

=⋅ ⋅ −



1. Introdução







Após substituir a cinemática newtoniana era preciso reformular a dinâmica newtoniana para que fosse compatível com a nova cinemática.


6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS

Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações d e Lorentz?

Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de interação entre partículas que ficam inteiramente determinadas pelas suas posições instantâneas, tais como a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal.





Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativís tica: o conceito de posições simultâneas das partículas de um sistema depende do referencial, e a velocidade limi te de propagação das interações é c.

Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade, pois a velocidade de propagação no vácuo das interações eletromagnéticas é c.





Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato que atuam apenas quanto duas part ículas entram em contato numa colisão.

Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo por tanto compatíveis com a relatividade.




O momento linear relativístico

Na mecânica relativística o momento é da mesma forma proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m.

Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável, e pode depend er da velocidade do corpo.

( ) ( )p v m v v= ⋅




A massa relativística

É possível mostrar que:

0

2

2

( )

1

mm v

v

c

=−

m0 é a massa de repouso do corpo, quando sua velocidade énula.




A massa relativística

0

2

2

( )

1

mm v

v

c

=−




O momento linear relativístico

No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana), em que m representa a massa da partícula. Logo, m 0 é a massa de repouso, e a expressão relativística do momento dev e ser dada por:

002

2

( )

1

m vp m v v m v

v

c

γ⋅= ⋅ = = ⋅ ⋅−




A energia relativística

220

02

21

m cE m c

v

c

⋅= = ⋅−

A partir do Teorema Trabalho-Energia é possível mostrar que:


20 2

11

1

T m cv

c

= ⋅ −

−



A energia relativística

Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a ener gia cinética de um corpo deve se anular quando sua velo cidade énula. Assim, temos que:




Relação entre momento linear e energia

Uma simples manipulação de equações nos leva a:

2 4 2 2E m c p c= ⋅ +

E p c= ⋅

No caso do fóton (luz), quando m = 0, temos que:




Velocidades de alguns feixes em aceleradores

0,016 0,016 Gev/c Pelletron

0,832 1,5 Gev/c LHC / CERN

0.99995 100 Gev/c RHIC / BNL

0.999999944 3000Gev/c Tevatron / Fermilab

0.99999753 450 Gev/c SPS / CERN

0.9963 11,6 Gev/c AGS/BNL

Momento máximo que um

próton pode ser acelerado:


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