Upload
junilson
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
1/35
Matemática
Matemática II
Ano acadêmico 2015
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
2/35
Matemática
Aula 3Integral Indefinida
Ano acadêmico 2015
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
3/35
Integral Indefnida
Antiderivação e Integração Antiderivação é uma operação que consiste em encontraruma função F(x), cuja derivada F’(x) é uma função
conhecida f(x). Se a função F(x) existir, ea é chamada
antiderivada de f(x).
!xempo
Seja . "ma antiderivada de f(x) é#
, pois
$ostuma%se chamar a operação de antiderivação tam&ém
por inte'ração e a antiderivada de integral.
2)( x x f =
C x x F += 3
3
1)( 2)(' x x F =
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
4/35
Integral Indefnida
Antiderivação e Integraçãoodas as inte'rais indefinidas devem ter o
compemento “ +C ” em sua soução pois muitas
funçes t*m a mesma derivada+
A inte'ra indefinida é aquea para a qua não foidefinida um intervao de vaores, portanto, ea é
uma função ou famia de funçes+
A inte'ra definida é aquea definida dentro de um
certo intervao e cacuada neste intervao, portanto,ea é um n-mero.
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
5/35
Integral Indefnida
Integral Indefinida A operação que envove uma inte'ra indefinida consiste em
achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que
consiste em achar uma antiderivada. que muda então/
A notação0
1ara denotar a inte'ra de uma função passaremos a
utii2ar a se'uinte notação#
Seja . "ma primitiva de f é#
1ois . Assim, a nova notação esta&eece que#
2)( x x f = C x x F += 3
31)(
)()(' x f x F =
c x F dx x f +=
∫ )()(
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
6/35
Integral Indefnida
2)( x x f =
!xempo
A inte'ra de é# C x
dx x +=∫ 33
2
A inte'ra de é# senx x f =)( C x xdx +−=∫ cossen
A inte'ra de é# C edxe x x +=∫ xe x f =)(
A inte'ra de é# x x f cos)( = C x xdx +=∫ sencos
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
7/35
Integral Indefnida
Definição simbólica
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressãoF(x) + C é chamada integral indefinida da
função f(x) e é representada pea expressão#
sm&oo 3dx4 que aparece na f5rmua servepara identificar a vari6ve so&re a qua se
processa a inte'ração.
∫ += C x F dx x f )()(
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
8/35
Integral Indefnida
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
9/35
7nte'ra 7ndefinida.
Técnicas de Integração (rimitivação)!b"etivo# Apresentar técnicas para determinar a função F(x) 8
conhecida como primitiva 8 ta que F’(x) 9 f(x) ou#
∫ =F(x)dxf(x)
As principais técnicas de primitivação são#
8 7nte'ração por su&stituição de vari6ve
8 7nte'ração por partes
8 7nte'ração por decomposição em fraçes parciais
8 7nte'ração utii2ando su&stituiçes (por meio de 7dentidades)tri'onométricas
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
10/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
asso #$ $onsidere u 9 '(x), onde '(x) é parte do
inte'rando, em 'era 3a função interna4 da função
composta f('(x))
asso %$ $acue du 9 '’(x).dx
asso &$ "se a su&stituição u 9 '(x) e du 9 '’(x).dx para
converter a inte'ra em uma outra envovendo apenas u.asso '$ $acue a inte'ra resutante.
asso $ Su&stitua u por '(x) para o&ter a soução fina
como função de x.
7nte'ração por su&stituição
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
11/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo #
$acuar ∫ + dx2x1)(x 502
ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição
Seja , - x% + #
:o'o# %x dx - d,
Assim, a inte'ra dada pode ser escrita como#
2xdx
du=
∫ du(u)50
C51
1)(xC
51
udu(u)
5125150 +
+=+=
∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
12/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo %
∫ + dx9)sen(x$acuar ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição
Seja , - x + . 1dxdu =
:o'o# dx - d,
Assim, a inte'ra dada pode ser escrita como#
∫ dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u) ++−=+−=
∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
13/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo &$acuar
ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição
Seja , - sen(x)
:o'o# cos(x) dx - d,
Assim, a inte'ra dada pode ser escrita como#
∫ dxcos(x)(x)sen2
cos(x)dxdu =
∫ duu2
C3
(x)sen
C3
u
duu
332
+=+=∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
14/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo '$acuar
ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição
Seja , -
∫ dxx
e x
x
!ntãox2
1
x
1
2
1x
2
1x
dx
d
dx
du
2
12
1
2
1
===
=
−
:o'o# dxx2
19 d,
Antes da su&stituição, a função dada ser6 escrita de
outra forma.
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
15/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
∫ ∫ ∫ == dxx2
12edx
x2
2
1
edx
x
e xxx
Assim, a inte'ra dada pode ser escrita como#
∫ ∫ = du2edxx2
12e
ux
du2dxx
1dudx
x2
1=⇒=
outra maneira de che'araqui sem manipuar a
função dada é fa2endo
Ce2Ce2due2du2e xuuu +=+== ∫ ∫
u seja Ce2dx
x
e xx
+=∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
16/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo $"se o método de su&stituição para encontrar a inte'ra#
ol,ção
8 ;evemos escoher parte da função cuja derivada esteja na função,
como a derivada de sen x - cos x e a derivada do cos x - / sen x,e, am&as estão na função, na d-vida... seecionamos a parte que
est6 no denominador, isto é, cos x.
8 $hamamos , - cos x+
8 A'ora derivamos u com reação a 3x4, portanto# du = -sen x.dx +
8 $omo na função ori'ina a função seno é positiva, &asta mutipicar
am&os os ados por 0# para que ea fique positiva+
dx x
x∫ cossen
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
17/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
18/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
19/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
-
xem*lo 1"se o método de su&stituição para encontrar a inte'ra#
ol,ção
$hamamos , - &x+
A'ora derivamos u com reação a 3x4, portanto# du = 3.dx +
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
20/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
21/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
$acuando , temos#
Su&stituindo u peo seu vaor ori'ina, teremos#
∫ duu.cos31
C uduu +=∫ sen.31
.cos3
1
C xduu +=
∫ 3sen.
3
1.cos
3
1
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
22/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
xem*lo 3
;eterminar ∫ −++ dx6)4xsen(x2)(x 2
ol,ção$ Integração *or s,bstit,ição
Seja u 9 x? @ x 8 B
!ntão#
42xdxdu +=
dx2)(x2dx4)(2xdu +=+=
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
23/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
Cas#
∫ −++ dx6)4xsen(x2)(x 2
:o'o, seja# dx2)(x2
du
+=
Assim,
∫ ∫ ∫ ==−++ dusen(u)21
2
dusen(u)dx6)4xsen(x2)(x
2
Sa&e%se que#
Ccos(u)dusen(u) +−=∫ A
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
24/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
!ntão#
C)cos(u)(2
1dx6)4xsen(x2)(x
2 +−=−++∫
C6)4xcos(x2
1dx6)4xsen(x2)(x 22 +−+−=−++∫
1ortanto#
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
25/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por su&stituição
45C6CI!$
dx x
x∫ +1
22
( )dx x∫ 2cos ydy y 21 2
∫ +
( )dx
x
x∫
2ln ( ) dx x x
102
32∫ + ( ) dx
x
x∫
+ 325
( )dx x x 32 sen∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
26/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
A inte'ração por partes ir6 se apicar a esses casos em
que a função é constituda por um produto e tam&ém
nos casos em que uma das funçes pode ser derivada
repetidamente e a outra pode ser inte'rada
repetidamente.
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
27/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
dx x g x f x g x f dx x g x f ∫ ∫ −= )().(')().()(').(
∫ ∫ −= vduuvudv
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
28/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
xem*lo #$"sando o método da inte'ração por partes, determine#
ol,ção 8 "samos a f5rmua simpificada da inte'ração por partes, fa2endo#
D u = x, du = dx;D v = senx, dv = cosx dx.
8 !ntão#
∫ ∫ −= vduuvudv
∫ ∫ −= dx senx senx xdx x x .cos.
c x senx xdx x x ++=∫ cos.cos.
∫ xdx x cos.
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
29/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
xem*lo %$acuar ∫ dxex
x ol,çãoIntegração *or *artes
A inte'ra dada deve ser escrita na forma
.Seja, portanto#
dxex x∫
xu = dxedv x=dxdu =
xxx edxevdxedv ==→= ∫ ∫ ∫
!ntão#
;este modo#
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx +−=−=−== ∫ ∫ ∫ ∫ a constante $ pode ser
incuda apenas no fina.
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
30/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
xem*lo &$acuar ∫
− dxex x2
Seja#
2xu = dxedv x−= Assim#
dx2xdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→=
∫ ∫ ∫ 1ortanto#
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2
∫ ∫ ∫ ∫ −−− −−−=−==
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
31/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
ou#
dxex2exdxex xx2x2
∫ ∫ −−− +−=
(E)
A -tima inte'ra é semehante ori'ina, com a exceção deque x? foi su&stitudo por x.
!,tra integração *or *artes apicada a
competar6 o pro&ema.
dxex x
∫
−
Seja#
xu = dxedv x−=
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
32/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
Assim#dxdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫ ∫ ∫
1ortanto#
dx)e(exduvuvdvudxex xxx
∫ ∫ ∫ ∫ −−− −−−=−==
ou#
1xxxxx
Ceexdxeexdxex +−−=+−= −−−−− ∫ ∫ (?)
Su&stituindo (?) em (E) resuta#
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
33/35
7nte'ra 7ndefinida. 7nte'ração por partes.
[ ]
1
xxx2
1xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
+−−−=
+−−+−=
+−=
−−−
−−−
−−− ∫ ∫
1ortanto#
Ce)2x2x(dxex
x2x2 +++−= −−
∫
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
34/35
Integral Indefnida
8/18/2019 Aula 3 Matematica II 2015
35/35
Matemática
Matemática II
Ano acadêmico 2015