Aula 3Trabalho e Energia -

Bioenergética

Cálculo diferencial

x

xfxxfx ∆

−∆+

→∆

)()(lim

0

Taxa de variação instantânea de uma função:

(Função derivada)

dx

df

x

xfxxfx

=∆

−∆+

→∆

)()(lim

0

Notação:

Cálculo integral

xxfxxfxxfxxfÁreaN

ii ∆=+∆+∆+∆= ∑

=1

321 )(...).().().(

Área sob o gráfico de uma função:

xx ∆∆

)( 1xf )( 2xf

Dividindo em infinitas partições: ∫∑ =∆==

→∆

fx

x

N

ii

xdxxfxxfÁrea

0

)()(lim1

0

Teorema fundamental do cálculo

A integral é definida como a antiderivada

Se então

Para calcular a integral, é necessário calcular F:

∫= dxxfxF )()( )(xfdx

dF=

)()(|)()( 00

0

xFxFxFdxxf f

x

x

x

x

f

f

−==∫

Exemplo:• A função derivada da função

É igual a

Então o cálculo da integral será o procedimento quase inverso:

nxxf =)(

1−= nnxdx

df

+−

+=

+=

+++

∫ 111)(

1

0

11

00n

x

n

x

n

xdxxf

nnf

x

x

nx

x

ff

Produto escalar de vetores

• Dados:

• Produto escalar:

jaiaA yx

rrr+=

jbibB yx

rrr+=

αcos.. BABArrrr

=⋅

α

Ar

Br

Produto escalar: forma alternativa

• Dados:

• Produto escalar:

jaiaA yx

rrr+=

jbibB yx

rrr+=

( ) ( ) yyxxyxyx babajbibjaiaBA +=+⋅+=⋅rrrrrr

α

Ar

Br

Exemplo 1: São dados dois vetores:

a) Determine o produto escalar entre os vetoresb) Calcule o ângulo formado pelos vetores

Exemplo 2: São dados dois vetores, e sabe-se que

Determine o produto escalar

jiArrr

43 += jiBrrr

125 +−=

10=Ar

20=Br

o60=θ

Trabalho e energia

• Trabalho de uma força constante: dado pelo produto escalar da força pelo deslocamento produzido

αcos.. sFsFrrrr

∆=∆⋅Fr

sr

∆

α

Exemplo:

Tr

Nr

Pr

atFr

m 10

m/s 10

constante m/s 5

5

2.0

2

is

g

iv

kgm

rr

r

rr

=∆

=

=

=

=µ

Como calcular o vetor força T e o trabalho das forças envolvidas?

030

Trabalho de uma força variável

• A fórmula de trabalho constante não pode mais ser utilizada

Fr

sr

∆

α

∑ ∫=∆=→∆

fx

xx

xdxFxFW0

).(.lim0

rrrr

Trabalho de uma força variável:o exemplo da força elástica

• Força elástica

kxLLkF −=−−= )( 0

0L x0L

∑ ∫∫

−=−==∆=

=

=

=

=2

).().(.2

00

kxdxkxdxxFxFW

xx

x

xx

x

Trabalho de uma força variável:o exemplo da força elétrica

• Força elétrica:

(ε0 = constante de permissividade elétrica do meio)

2

21

04

1

x

qqF

πε=

x

qq

x

qqdx

x

qqdxxFW

xxx

x

xx

x

1

4

1

4

1

4).(

0

21

0

21

2

0

21

πεπεπε−=

−===

∞

=

∞=

=

∞=

∫∫

xq1 q2

• Exemplo 1: Um dado corpo é abandonado do repouso de uma altura de 8m em relação ao solo. Assumindo g=10m/s2 e que a massa vale 4kg

a) Determine o trabalho realizado pela força peso, na descidab) Após chegar ao chão, o corpo é puxado de volta, 10m para cima, com aceleração constante de 2m/s2. Determine o trabalho da força pesoc) É possível determinar a força que puxa o corpo pra cima? Explique

• Exemplo 2: É dado um sistema do tipo massa-mola, como ilustrado na figura. A constante de mola vale k=2000N/m e a massa do corpo vale m=2kg. Em um dado momento, estica-se a mola de uma distância de 5cm e abandona-se a mesma, a partir do repouso. A origem do sistema coincide com a posição em que a mola está relaxada

a) Determine o trabalho realizado pela força elástica, desde a posição em que a massa foi abandonada até a origem do sistema de coordenadas

b) O sinal do trabalho é sempre positivo? Explique

Definição de energia potencial

• A variação de energia potencial é definida como o negativo do trabalho da força

• É necessário um estado de referência! (um “zero“ de potencial). Não há energia potencial absoluta

• A força também pode ser escrita em função de U, invertendo a expressão acima:

).(U

0

∫−=−=∆

fx

x

xdxFWrr

)(dx

dUxF −=

• Exemplo: São dadas duas cargas elétricas, +10 µC e -5 µC. Inicialmente as cargas estão separadas de 2cm. Sabe-se que :

a) Determine a força entre as cargas, nesta situação

b) Determine a energia potencial, nesta situação

c) Determine o trabalho realizado pela força elétrica, para aumentar a separação das cargas para 4cm

229

0

..10.94

1 −== CmNKπε

O teorema trabalho-energia cinética (T.E.C.)

22

2

0

2mvmv

KWW fFF iR

−=∆==∑

• O trabalho de todas as forças que agem sobre um determinado corpo é igual à variação de sua energia cinética:

• Exemplo: Um corpo de massa m=3kg desce um plano inclinado de 30º. A distância percorrida sobre o plano vale d=5m. Adotando o ponto mais baixo da rampa como o zero de energia, determine:a) A energia potencial do corpo, na posição mais alta.b) O trabalho realizado pela força peso, na descida.c) A velocidade final do corpo, usando o teorema T.E.C.

• Exemplo: Um corpo se move em uma região do espaço, apenas na direção x. A energia potencial varia, conforme a função: A massa do corpo vale 2 kg, e a energia total do corpo é constante, de valor 10 J. Nessas condições, determine:

a) A função da força F(x) que age sobre o corpob) A força que age sobre o corpo em x= - 2mc) A velocidade do corpo na posição x = 1md) Os pontos de x em que o corpo se encontra em equilíbrio

e) Os pontos de x em que o corpo se encontra em repouso

f) As posições em x onde é possível encontrar o corpo

4 2)(2 += xxU

Conservação da energia mecânica

• A soma da energia cinética e potencial éconstante (para forças conservativas)

)(

)(

iiffifif

ifif

UKUKUUKK

UUUWKKW

+=+⇒−−=−

−−=∆−=⇒−=

Energia potencial molecular

• Energia necessária para separar dois átomos em uma molécula diatômica

•Há uma região repulsiva e uma região atrativa, com um mínimo de energia

)(1260

−=

r

B

r

AUxUModelo:

x