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Problemas estaticamente indeterminados
• Em alguns problemas as forças internas não podem ser determinadas apenas com as equações da estática
• Considerações geométricas do corpo
Exemplo 2.02
Uma barra de comprimento L e área da secção transversal A1, com módulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de área de secção transversal A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a deformação da barra e do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida?
• Da geometria do problema:
• A deformação nas duas barras devem ser iguais
• A deformação das barras pode ser calculada por qualquer uma das equações
11
11 EA
LP
22
22 EA
LP
22
2
11
1
EA
P
EA
P
2211
111 PAEA
PEAP
2211
222 PAEA
PEAP
Exemplo 2.03
A barra AB de comprimento L e secção transversal de área constante é presa a suportes indeslocáveis em A e B antes de ser carregada. Quais são os valores das tensões em AC e BC, devido à aplicação da carga P no ponto C?
PRR BA
A deformação da barra deve ser nula:
Utilizando a eq. 1 e a última eq.:
021
02211 AE
LP
AE
LP
ARP 1 BRP 2
021 LRLR BA
L
PLRA
2L
PLRB
1
Podemos calcular as tensões nas partes AC e BC dividindo P1=RA e P2=RB, respectivamente, pela área da secção transversal da barra
Método da superposição
• Uma estrutura é estaticamente indeterminada quando estiver ligada a mais suportes do que o necessário para manter seu equilíbrio
• O número de equações a determinar é maior que o número de equações de equilíbrio
• Estrutura superabundante Força desconhecida
Exemplo 2.04
A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reações nestes apoios quando se aplica o carregamento indicado.
• Reação em B superabundante (retira-se o apoio e deixa-se o carro livre nesta extremidade).
• RB será uma força desconhecida
A barra é dividida em quatro partes . Da equação temos a deformação F
01 P NxPP 332 10600 NxP 3
4 10900
2621 10400 mxAA 26
43 10250 mxAA
mLLLL 150,04321
i ii
ii
EA
LP
E
Rx
AE
LP
AE
LP B3
2211 1095,1Para o cálculo da deformação, temos:
BRPP 21
261 10400 mxA 26
2 10250 mxA
mLL 300,021
Para a determinação de R devido à RB, divide-se a barra em duas partes e escreve-se:
E
x
E
m
mx
Nx
mx
Nx
mx
Nx
EA
LP
F
i ii
iiF
9
26
3
26
3
26
3
10125,1
150,0
10250
10900
10250
10600
10400
106000
0 RF
Como a deformação da barra deve ser igual a zero:
0)1095,1(10125,1 39
E
Rx
E
x B
Levando os valores de F e R, na equação anterior, temos:
Dessa última expressão calcula-se o valor de Rb
kNNxRb 57710577 3 A reação de RA no apoio superior e é obtida do diagrama de corpo livre da barra. Tem-se então:
0600300 ;0 BAv RkNkNRF
kNkNkNRkNR BA 323577900900
Exemplo 2.05
Calcular as reações em A e B, na barra do exemplo anterior supondo que existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é aplicado. Adotar E=200GPa.
• Considerar como superabundante o apoio em B• Calcular as deformações F e R
• A barra pode ser alongada, logo sua deformação não é nula (=4,5mm)
Utilizando os valores de F e R que foram calculados no exercício anterior na equação acima, e lembrando que E=200GPa:
mxRF3105,4
3
9
3
9
9
105,410200
)1095,1(
10200
10125,1 xx
Rx
x
x B
Essa expressão nos leva ao valor de RB
kNNRB 4,115104,115 3
A reação no apoio A é obtida do diagrama de corpo livre da barra:
0600300 ;0 BAv RkNkNRF
kNkNkNRkNR BA 7854,155900900
Um poste de concreto armado de 1,5m de comprimento tem seis barras de aço de 22mm de diâmetro. Sabendo-se que Es=200GPa e que Ec=20GPa, determinar a tensão normal no concreto quando uma força axial de 900kN é aplicada ao poste.
Pc= Força axial no poste de concretoPs= Força nas seis varas de aço
26232 1064,2279102214,35,14
6 mxxdA ss
2633 06,01022791025010250 mxxx
AbxhA scc
L
AEP
EA
LP ccc
cc
c
L
AEP
EA
LP sss
ss
s
L
AEAEPPP ssccsc
sscc AEAE
P
L
kPaxxE
kPaxxE
xxx
x
mL
ss
ss
4,10891047,5431020
1086941047,54310200
1047,54300228,01020006,01020
10900
5,1
69
69
699
3
Uma placa rígida transmite ao bloco composto da figura uma força axial centrada P=385kN. Determinar as tensões normais: a) na placa interna de aço; b) nas placas externas de alumínio.
200mm
20mm30mm
50mm
Placa interna de aço
Placa de alumínioPlaca rígida
20mm
L
AEP
EA
LP bbb
bb
b
L
AEP
EA
LP aaa
aa
a
L
AEAEPPP aabbab
aabb AEAE
P
L
Pb= Carga axial na placa interna de açoPa= Carga nas placas de alumínio
002,0)10200107010150010105(
10385
102000)50).(20.(2
101500)50()30(
6969
3
26
26
xxxxxx
x
mxmmmmA
mxmmxmmA
a
b
MPaxxE
MPaxxE
aa
bb
140002,01070
210002,0101059
9