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Capacitância
Capacitores
Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .
A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado .
Capacitância Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Outros capacitoresCapacitor de placas paralelas
Capacitância Capacitores
Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja:
q=CV
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Esta constante de proporcionalidade depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F).
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V
Importante: ε0=8, 85 pF/m
1 farad = μ 10−6 F
,
Capacitância
Carregando o capacitor
Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de
q=CV
cargas q e –q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.
,
Cálculo da Capacitância
Esquema de cálculo
Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:
φ=∮A
E r ⋅ n dA=q int
ε0
De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como:
V =V f −V i=−∫r i
r f
E r ⋅d l
E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C.
q=CV
Capacitância
Capacitor de placas paralelas
q= ε 0 AE
V = Ed
q=CV C =ε0 A
d
φ=∮A
E r ⋅ n dA=q int
ε0
V f −V i=−∫r i
r f
E r ⋅d l
Nota-se que a capacitância só depende de fatores geométricos do capacitor.
Capacitância
q= ε 0 AE =2π Lr ε0 E
V = q2 πε 0 L
ln ba
q=CV C=2 πε 0L
ln ba
Capacitor cilíndrico
φ=∮A
E r ⋅ n dA=q int
ε0
V f −V i=−∫r i
r f
E r ⋅d l
Capacitância
Capacitor esférico
q= ε 0 AE =4π r 2 ε0 E
V =q
4 πε0
b−aab
q=CV C=4 πε0ab
b−a
V f −V i=−∫r i
r f
E r ⋅d l
φ=∮A
E r ⋅ n dA=q int
ε0
Capacitância
Esfera isolada
C=4 πε0ab
b−a=4 πε0
a
1−ab
b ∞
C =4 πε0 R
+
E
+
++
+
++ +
+
+
+
b ∞
R
R= a
Exemplo numérico:
R=1m ε0=8, 85 pF/m C≈ 1,1 ×10−10 F ,
Capacitância
Capacitores em paralelo
q 1=C 1 V , q 2=C 2 V e q 3=C 3 V
q= q 1 q 2q 3 ⇒ q= C 1C 2C 3 V
C eq =C 1C 2C 3
C eq=∑i
C i
ou
Como q=C eq V
Capacitância
Capacitores em série
q=C 1 V 1 , q=C 2 V 2 e q=C 3 V 3
V 1V 2V 3=V ⇒ q 1C 1
1
C 2
1C 3 =V
1C eq
=1
C 1
1C 2
1
C 3
1C eq
=∑i
1C i
ou
Como q=C eq V
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um
capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energiapotencial na região do campo elétrico entre as placas.
Energia no capacitor Energia armazenada no campo elétrico
Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então:
dW =V ' d q '=q '
Cd q' W =∫ dW =∫
0
qq '
Cd q '= q2
2C
U = q2
2C= 1
2CV 2
d q 'q' q'
Energia no capacitor Densidade de energia
Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:
C =ε0 A
d
U = 12
CV 2= 12
ε0 A
dE 2 d 2
V = Ede
u≡UAd
=12
ε0 E 2
Apesar da demonstração ter sido para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!
u=energia potencialvolume
Dielétricos
Visão atômica
Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares
não-polares.
ou
+- +- +- +-
+- +- +- +-
+- +- +- +-E0= 0
E0 E0
E´E-
-
-
+
+
+
Ao colocarmos um material dielétrico entreas placas de um capacitor a sua capacitância aumenta. Como
q=CV V é mantido constante e a carga nas placas aumenta; então C tem que aumentar.
Dielétricos
Capacitores com dielétricos
C =ε 0 L
Londe L tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico,
C d= κε0 L onde κ 1 No vácuo, κ =1
E0
E´E-
-
-
+
+
+
,
Dielétricos Material Constante dielétrica Resistência
Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm) 1,00054 3
Poliestireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Pirex 4,7 14
Porcelana 6,5 5,7
Silício 12
Etanol 25
Água (20º) 80,4
Água (25º) 78,5
Dielétricos
Lei de GaussE 0=
qε0 A
E =q−q'
ε 0 A
E =E 0
κ= q
κε0 Aq−q '=
qκ
∮A
D r ⋅ n dA=q
é o vetor de deslocamento elétrico.
φ=∮A
E r ⋅ n dA=q int
ε0
Então, na lei de Gauss com o vetor aparecem apenas as cargas livres (das placas).
D
D r ≡κε0E r
,
onde
Dielétricos
Exemplo
Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1,24 cm, V0=85,5 V, b=0,78cm, k=2,61.
a) C0 sem o dielétrico;b) a carga livre nas placas;c) o campo E0 entre as placas e o dielétrico;d) o campo Ed no dielétrico;e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico;f) A capacitância C com o dielétrico.
Calcule: