Aula 52 - Erro de Estado Estacionrio - Parte 1

Referncia Base: Engenharia de

Controle Moderno 3 edio Katsuhiko Ogata Pearson Prenice

Hall, 2000

5 Capitulo

Erro de Estado Estacionrio

Emerson Lus Alberti

Objetivos

Determinar o erro no regime estacionrio de um sistema com realimentao unitria;

Especificar o desempenho do erro em regime estacionrio de um sistema;

Determinar o erro no regime estacionrio de sistemas decorrente de perturbaes na

entrada;

Determinar o erro no regime estacionrio de sistemas com realimentao no-unitria;

Determinar os parmetros de um sistema de modo a atender s especificaes do

desempenho para o erro em regime

estacionrio.

Professor Emerson Lus Alberti 2

A. Conceitos Bsicos;

B. Erro estacionrio em funo da Funo de Transferncia

de Malha Fechada;

C. Erro estacionrio em funo da Malha Direta.

Contedo


1) OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. So Paulo:

Prentice Hall, 3. Edio, 2000.

2) BOLTON, W.. Engenharia de Controle. 1 Ed. S.P.:

Makron, 1995;

3) FRANKLIN, Gene. Feedback Control of Dynamic

Systems. 3 Ed. U.S.A.: Addison-Wesley, 1995;

4) NISE, Norman. Control System Engineering. 3 Ed.

U.S.A.: John Wiley, 2000.

Bibliografia Recomendada


Conceitos Bsicos


Definio

Conceitos Bsicos

Definimos como estado estacionrio, um sistema que apresenta seu sinal de

sada constante para qualquer tempo.

Transitrio Estacionrio Permanente


Conceitos Bsicos

Definio

Por consequncia erro de estado estacionrio a diferena entre entrada e

sada, de um sinal de excitao conhecido, aps passar um determinado tempo

que permita ao sistema ter estabilizado (t ).

F(s)

E(s) R(s) C(s) )()()( sRsCsE

Estacionrio Permanente


Definio

Conceitos Bsicos

Para tanto foi criado em controle, excitaes padro, que permitam comparar

sistemas semelhantes, mas no iguais, e classificar sua performance em funo

de seu erro de estado estacionrio. obvio que sistemas operam com

excitaes quaisquer que se faa necessria, mas as excitaes padro, servem

apenas para permitir comparaes de sistemas. So os chamados sinais de

teste.

G(s) R(s) C(s)

a) Impulso;

b) Degrau;

c) Rampa;

d) Parbola de

Acelerao.


Conceitos Bsicos


Aplicabilidade a Sistemas de Controle

Conceitos Bsicos

Estando em busca da diferena entre entrada e sada de um sistema

realimentado, aps atingir o estado estacionrio, nosso estudo ir se limitar a

sistemas estveis, como em todos os outros captulos, ou seja, quando a

resposta natural tender a zero, quando t .

Observe que as expresses deduzidas para o clculo do erro estacionrio,

podem eternamente ser aplicadas a sistemas instveis, sem que se perceba o

erro, pois a matemtica aplicada a erro de estado estacionrio no leva em conta

a estabilidade do sistema.

Portanto, aps o clculo de um erro desejado, devemos sempre verificar que,

para a condio imposta, no tenha sido perdida a estabilidade do sistema.


Principais Fontes de Erro Estacionrio

Conceitos Bsicos

Diversos fatores causam erro estacionrio em sistemas de controle. Podemos

dizer que quase tudo impe erro a um sistema. Os mais comuns esto abaixo

apresentados.

Folga de engrenagens em sistemas mecnicos; Distoro por cross-over em amplificadores de potncia; Zona morta em motores de corrente continua; Saturao em amplificadores de potncia; Atrito mecnico em sistemas com movimentao.


Exemplo

Conceitos Bsicos

Considere os dois diagramas de blocos abaixo, onde a diferena bsica entre

eles, est no ramo de malha direta, sendo um de ganho proporcional e o outro

com um ganho integrativo.

E(s) R(s) C(s) E(s) R(s) C(s)

Caso (1) Caso (2)

Ks

K

Excitamos ambos sistemas com um mesmo sinal de entrada, um degrau unitrio,

e vamos verificar que os sinais de sada so bastante distintos. O primeiro

apresenta um erro de estado estacionrio, possvel de ser calculado, enquanto o

segundo sistema apresenta erro nulo.


Conceitos Bsicos

E(s) R(s) C(s)

Caso (1)

K

Exemplo Podemos definir que neste caso o erro

ser a diferena entre sada e entrada,

equacionando ento.

)()( sEksC

Para o estado estacionrio t , temos

)(sCk

erro 1

Observe que o erro menor quanto maior for o ganho do sistema, portanto

existe um erro de estado estacionrio, imposto pela funo de transferncia, que

neste caso inversamente proporcional ao ganho.


Conceitos Bsicos

Exemplo

Existindo um bloco integrador no ramo

direto, por suas caractersticas

prprias, sempre que possuir um sinal

na entrada 0, sua sada ir acumular valores de forma crescente, neste

caso modificando nosso C(s).

E(s) R(s) C(s)

Caso (2)

s

K

Apenas quando C(s) e R(s) forem

iguais, ento o integrador ir parar de

acumular valores e a sada pode ser

considerada estabilizada.

Nesta mesma condio o erro de

estado estacionrio ser nulo, pois

entrada e sada so iguais.

Em resumo, para um sistema com um

integrador no ramo de avano o erro

ser nulo para um degrau de entrada.


Conceitos Bsicos

Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta

Toda teoria de erro de estado estacionrio , na prtica, desenvolvida sobre o

malha direta de um sistema de controle e no sobre a funo de transferncia de

malha fechada. Assim, para o diagrama de blocos abaixo, que representa um

sistema realimentado, podemos calcular:

E(s) R(s) C(s) )(sG+

-

)()()( sGsEsC

)()()( sCsRsE

(1)

(2)

Substituindo (1) na (2), temos que:

)(

)()(

sG

sRsE

1

(3)


Conceitos Bsicos


E(s) R(s) C(s) )(sG+

-

Da matemtica, aplicamos o

teorema do valor final, sem

esquecer de verificar as

condies de estabilidade da

planta para cada caso

calculado. Assim, temos:

)s(G1

)s(sRlim

)s(G1

)s(Rslim)(e

0s0s

)(l im)( sEses

0

(4)

(5)


Conceitos Bsicos


Observe que o erro estacionrio, depende do ganho de malha direta G(s) e do

sinal de entrada, por este motivo eles so padronizados, permitindo comparar

sistemas de mesmo tipo.

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

32

111

sss,,Sinais Padronizados

a) Degrau;

b) Rampa;

c) Parbola de Acelerao.


Conceitos Bsicos

Assim, os erros estacionrios podem ser ento calculados em funo da

entrada, conforme segue:

))((l im))((l im)(l im)(l im

)(l im

)(

)(l im)(

sGsGsGsGs

s

sG

ssRe

sss

sss

000

000 1

1

1

1

1

1

1

1

1


- Entrada Degrau Unitrio: s

sR1

)(

))((l im)(

sGe

s 01

1


Conceitos Bsicos



)(l im)(l iml im))((l im

)(l im

)(l im

)(

)(l im)(

ssGssGssGssGs

sGs

s

sG

ssRe

sss

ssss

000

00

2

00

11

1

1

1

1

1

1

1


- Entrada Rampa Unitria: 2

1

ssR )(

))((l im)(

sGse

s 0

1


Conceitos Bsicos



)(l im)(l iml im))((l im

)(l im

)(l im

)(

)(l im)(

sGssGsssGssGs

sGs

s

sG

ssRe

sss

ssss 2

0

2

0

2

0

20

2

0

3

00

11

1

1

1

1

1

1

1


- Entrada Parbola Unitria: 3

1

ssR )(

))((l im)(

sGse

s

2

0

1


Conceitos Bsicos

Resumindo o erro esttico ....

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

32

111

sss,,

))((l im)(

sGe

s 01

1

))((l im)(

sGse

s 0

1

))((l im)(

sGse

s

2

0

1

Degrau

Rampa

Parbola

?


Conceitos Bsicos

Exerccios


Conceitos Bsicos

Exemplo:

Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e

5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.

E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:

1 - Certificar-se de que o sistema

estvel. Para isso aplica-se o arranjo

de Routh-Hurwitz:

Ok ! Sistema Estvel.

2 - Aplicar as entradas estabelecidas

para os erros no regime estacionrio.

2.1 Para a entrada 5u(t).

sstuLtuL

51555 ))(())((


Conceitos Bsicos

Exemplo:



E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:

))((

)(l im)(

43

21201

5

0

ss

ss

se

s

)())((

))((l im)(

212043

435

0

sss

sse

s

%,,)( 8232380252

60e


Conceitos Bsicos

Exemplo:



E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:



de Routh-Hurwitz:




2.1 Para a entrada 5tu(t).

22

51555

ssttuLttuL ))(())((


Conceitos Bsicos

Exemplo:



E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:

))((

)(l im)(

43

21201

52

0

ss

ss

se

s

)())((

))((l im)(

212043

435

0 ssss

sse

s

s

e252

60)(


Conceitos Bsicos

Exemplo:



E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:



de Routh-Hurwitz:




2.1 Para a entrada 5t2u(t).

33

22 102555ss

tutLtutL ))(())((


Conceitos Bsicos

Exemplo:



E(s) R(s) C(s)

))((

)(

43

2120

ss

s+

-

)(

)(l im)(

sG

ssRe

s

10

Soluo:

))((

)(l im)(

43

21201

103

0

ss

ss

se

s

)())((

))((l im)(

212043

431020 ssss

sse

s

2252

120

se )(

?


Conceitos Bsicos

Documents

Aula 52 - Erro de Estado Estacionrio - Parte 1