Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita - II

Aula-6

Teoria da Relatividade

Restrita - II

Física Geral F-428

1

• Se, no referencial S, dois eventos estão separados

por uma diferença de coordenada ; e

ocorrem em dois instantes de tempo separados por

, no referencial S’ teremos:

• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes

independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente

único: o espaço-tempo.

• Podemos também inverter as transformações acima:

)( tvxx )(2

xc

vtt

)( tvxx )(2

xc

vtt

As transformações de Lorentz

H. A. Lorentz (1853 – 1928)

2

A relatividade das velocidades

Vimos que:

Logo:

Na transformação clássica

de Galileu teríamos :

)( tvxx )(2

xc

vtt

Portanto: )( v d td xxd )(2

dxc

vdttd

21

c

uv

vu

td

xdu

x

xx

vutd

xdu xx(v << c)

3

Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre

as demais componentes nos outros eixos:

Portanto, a transformação está coerente com o fato da

velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e

nenhuma velocidade poder excedê-la.

• As transformações podem ser invertidas, trocando os

índices com linha sem linha e v por –v :

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

ydu

x

y

y

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

zdu

x

z

z

c

c

uv

vuu

x

xx

21

cu xteremos:

A relatividade das velocidades

• Se:

4

• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações

em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector.

Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se

propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a

fonte e o detector.

O efeito Doppler da luz

Som

5

• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em

que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto

ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga

no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o

detector.


Fonte v Detector

v a

6

• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em

que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto

ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,

podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga

no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o

detector.


Fonte v Detector

v a

7

Se o observador O, em S, descreve o campo

de uma onda eletromagnética, o observador O’, em S’, deverá

observar . Pelo princípio da relatividade,

devemos ter invariância de fase:

tk x txk

)( tvxx )(2

xc

vttEntão, usando que: e

podemos mostrar que:

2c

vkk vke


)s in (),( 0 tk xEtxE

)s in (),( 0 txkEtxE

8

Mas: c

fkk

c ;

1kk 1e


Esta expressão é válida no caso do observador ( f ´ = fobs)

e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0).

1

1ff

Fonte v ´, f ´

c

v;

9

Esta expressão é válida no caso do observador (f ´ = fobs)

e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0).

Mas: c

fkk

c ;

1kk 1e

1

1ff


Fonte v ´, f ´

c

v;

10

;k

Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação:

c o s1

Se “Doppler transverso”. Note que aqui a fonte em

movimento emite radiação com frequência conhecida . 2

2

0º9 0 1

0


;k

11

Fonte

Observador

• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma

velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:

Em termos dos comprimentos de onda, temos:

•Se a estrela estiver se afastando

( v > 0 ) temos 0

Deslocamento da luz

para o vermelho

•Se a estrela estiver se aproximando

(v < 0) teremos < 0

O efeito Doppler na Astronomia

Deslocamento da

luz para o azul

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif

12

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif

13

Observações experimentais

e suas implicações para a Cosmologia:

Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho

observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio

de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler:

as galáxias estariam se afastando de nós.

É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e

Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble =

= 71 4 km/s/Mpc.

Esta é a primeira evidência experimental

da expansão do Universo!

Dinâmica relativística

Na Mecânica Newtoniana temos

dt

pdF

, onde o momento linear é definido por: vmp

co nst.0 pF

a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas

isolados, assim como na Mecânica Newtoniana.

b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite

.

Procuramos um análogo relativístico desta expressão que

tenha as seguintes propriedades:

14

Dinâmica relativística

Colisão das partículas a e b, de

mesma massa, no referencial S’.

Vamos definir o referencial S´ como

aquele em que o momento total seja

nulo (Ref. Centro de Momento=RCM).

Se

)( antes

avm )( antes

bvm

)( depois

bvm)( depois

avm

+

+ =

const.0 pFex t

x

y S’

)(antes

bv

)(depois

bv

)(depois

av

)(antes

av

15

Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:

21

c

uv

vu

dt

dxu

x

x

x

... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial

S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao

longo do eixo x ...

2

2

1

)1(

c

uv

u

dt

dyu

x

y

y

2

2

1

)1(

c

uv

u

dt

dzu

x

z

z

Momento linear relativístico

16

y

antes

byy

antes

ay

x

antes

bxx

antes

ax

vvvv

vvvv


y

depois

byy

depois

ay

x

depois

bxx

depois

ax

vvvv

vvvvx

yS’

)(antes

bv)(depois

bv

)(depois

av)(antes

av

mmm ba

)/(1)/(1

)/(1)/(1

22

22

cvv

vvv

cvv

vvv

cvv

vvv

cvv

vvv

x

xdepoisbx

x

xdepoisax

x

xantesbx

x

xantesax

)/(1

1

)/(1

1

)/(1

1

)/(1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

cvv

vv

cvv

vv

cvv

vv

cvv

vv

x

ydepois

by

x

ydepois

ay

x

yantes

by

x

yantes

ay

transformação

de Lorentz das

velocidades

21

c

vv

vv

dt

dxv

x

xx

2

2

1

)1(

c

vv

v

dt

dyv

x

y

y

y

x

S v

17

não fornece uma expressão tal que o momento

linear total conservado na colisão.

vmp


18

Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade

conservada se definirmos:

22

00

/1 cv

vmvmp

22

0

01

)(cv

mmvm

• A força é, então, dada por:

)(0

vmdt

d

dt

pdF

• Pode-se ainda definir uma massa relativística, dada por:


(com m0 sendo a massa do corpo

no referencial em que o corpo se

encontra em repouso.)

19

Energia relativística • A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula

continua sendo dada por:

dt

pdvvF

dt

dK

rrr

d tvd t

vmdrd

d t

vmdrdFK

0

0

0

0

0

)()(

0

2

0

2

0 :o n d e)()1( mmcmmcmK

2220 m cEEm ccmKentão:

vvv

xcmx

d xxcmcv

cv

cvdcmK 0

2/1220

0

2/12

20

022

20 1

)1()/()

/1

/(

22 /1

/

cv

cvx

Energia

Total

(Supondo Epotencial = 0 )

vmγp

0

20

21

Veja uma outra forma de deduzir essas expressões

da energia total e da energia cinética

(através de derivada, não de integral)

no arquivo “Dinâmica Relativística”.

Usando que vmp

temos E

pcv

c

vmcp

2

2

2

Como 42

0

2422 cmcmE obtemos:

2242

0

2 cpcmE

Se m0 = 0 pcE

• Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento

linear , e podemos imaginá-la como composta por

corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante. cUp /

Relação energia-momento linear

Energia relativística

22

24

42

02

1Ec

pc

cmE

2)/(1

1

cv

22

• Limite clássico da energia

...8

3

21

14

4

2

22

022

2

0

c

v

c

vcm

cv

cmE

Expandindo E=mc2 para v/c << 1 :

...8

3

2 2

22

0

2

02

0c

vvmvmcmE

Energia de repouso: 2

0cmE

2

2

0vmK

Energia cinética para v/c << 1 :


pontos experimentais (x)

23

Energia de repouso: 2

0cmE

2

2

0vmKEnergia cinética para v/c << 1 :


pontos experimentais (x)

24

Experimento de William Bertozzi para medir v

e K de elétrons relativísticos no acelerador

linear no MIT (Amer.Jour.Phys. 32(1964)551)

25

22

22

22422

1 mcmcEE

EmcmcE

cpcmE

mvpp

cin

cin

Procedimento mais usual: usar apenas a massa

de repouso da partícula nas nossas equações,

que é a única massa definida para a partícula.

As equações da dinâmica ficarão:

• A energia de um sistema isolado se mantém constante.

Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia

∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:

Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares,

embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.

Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua

velocidade), sua massa também aumenta:

2c

Qmmm if

2c

Em


QcmE 2)(

26

Relatividade Geral

• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece

acelerado, se visto de um referencial não-inercial.

• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia:

É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante

daquela num referencial uniformemente acelerado!

O elevador de

Einstein

27

Relatividade Geral

• Princípio da equivalência de Einstein

Num recinto suficientemente pequeno para que o campo

gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme e em

queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as

mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo

gravitacional.

(a)

ga

g

aa

ga

28

• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos.

Relatividade Geral

“A massa diz ao espaço-tempo como se

curvar; e o espaço-tempo diz à massa

como se mover”!

• Einstein encarou a força gravitacional como uma

força de inércia curvatura do espaço-tempo!

29

30

Expressão geral para o efeito Doppler:

cos -1f f´

S

S´

v

P

Note: os casos mencionados

são casos particulares do

caso geral, com = 0° ou

180°. Se a fonte se move,

então f´ = f0 e a frequência

observada a 90° é f = f0/

(1- 2/2) f0 .

Prob. 31: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo

com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,

também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave

viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela

espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?

v

v

L0

L0 = 350 m

v = 0,82 c

x S

y

Velocidade do meteorito

em relação à nave:

21

c

uv

vuu

x

xx

sv

Lt 19,1

m/s102,94

m3508

00

cc

c

v

v

c

vv

vvv 98,0

)82,0(1

64,1

1

2

)(1

2

2

2

2

m/s1094,2 8v

31

Prob. 39: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.

Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os

passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,

amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.

v = 0,20c

1

1ff

• Efeito Doppler da luz (se afastando):

2/1

1

1cc

nm5518,0

2,1nm450

1

12/12/1

a)

b) Luz "verde-amarelada":

32

33

Prob. 47: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de

massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que

a sua energia de repouso ?

22420

2 cpcmE

)(3 20

2 cmm cE

22420

4209 cpcmcm

mas:

22208 pcm cmp 022

34

Prob. 51: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um

momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ;

(b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso.

cmvvmp 0)( 2

2

2

2

02/1

2

2

0 1

1c

v

c

vcm

c

v

vm

707,02

112

2

2

c

v

c

va)

414,122/1

1

2/11

1

414,01414,1)1(

20

20

0 cm

cm

E

K

b)

c)

35

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