AULA 6_PROBABILIDADE BÁSICA (PARTE 2)

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

Profa. Kellen Lima

Natal, 09 de março de 2012.

AULA 6: AULA 6:

Probabilidade Básica (PARTE 2)Probabilidade Básica (PARTE 2)

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.

Esclarecimentos da aula anterior...Esclarecimentos da aula anterior...

Resolução do Exercício 1) da Lista 3

1) Ordenar os dados de maneira crescente ;

2) Para o cálculo dos quartis utilizar as Regras 1, 2 e 3 do Levine:

a) Regra 1 �� número inteiro = valor na ordem de classificação ;a) Regra 1 �� número inteiro = valor na ordem de classificação ;

b) Regra 2 �� metade fracionada (2,5;7,5) = média entre osvalores correspondentes na ordem de classificação;

c) Regra 3 �� não n° inteiro e não metade fracionada, porexemplo, 8,75 = arredondar para o inteiro mais próximo.

Esclarecimentos da aula anterior...Esclarecimentos da aula anterior...

Resolução do Exercício 1) da Lista 3

Em um gráfico box-plot, por meio da disposição dos valores em ORDEM CRESCENTE tem-se uma ideia clara sobre a localização e a

dispersão dos dados.

Com relação à aula anterior...Com relação à aula anterior...

EXERCÍCIO 1: Em uma garrafa opaca fechada existem 10 bolinhas,distribuídas entre as cores azul e branca . Não é possível ver asbolinhas dentro da garrafa, exceto se virarmos a garrafa de p onta-cabeça. Quando uma das bolinhas vai para o gargalo é possível versua cor. Ao longo de vários dias, repetiu-se 2000 vezes a segu inteoperação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa para entãoanotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo . Os resultadosanotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo . Os resultadosforam os seguintes:Azul = 624Branca = 1376Na próxima vez que for repetida essa operação, qual aprobabilidade de que a cor da bolinha do garrafão seja azul?

RESOLUÇÃO EM SALA DE AULA

Com relação à aula anterior...Com relação à aula anterior...EXERCÍCIO 2: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido emum deles independe do resultado obtido no outro. Então, qual se riaa probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no prim eirodado e o nº 3 no segundo dado?



EXERCÍCIO 3: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

RESOLUÇÃO EM SALA DE AULARESOLUÇÃO EM SALA DE AULA


EXERCÍCIO 4: Dada a tabela de contingência abaixo, qual é a probabilidade:a. Do evento A’b. Do evento A e B?c. Do evento A’ e B’?

B B'


B B'

A 10 30

A' 25 35

Com relação à aula anterior...Com relação à aula anterior...EXERCÍCIO 5: Um experimento foi conduzido visando estudar as escolhasfeitas na seleção de fundos mútuos. Foram apresentados a alu nos degraduação e alunos de MBA diferentes fundos constantes do Ín dice S&P500 que eram idênticos, exceto em função das tarifas cobrada s. Suponhaque 100 alunos da graduação e 100 alunos de MBA tenham sidoselecionados. Resultados parciais são mostrados na tabela a seguir:

GRUPO DE ALUNOSFUNDO Graduação MBA

Fundo com custo mais elevado 27 18


Fundo com custo mais elevado 27 18Fundo sem custo mais elevado 73 82

Caso um aluno seja selecionado ao acaso, qual é a probabilida de que essealunoa) Tenha sido selecionado o fundo com o custo mais elevado?b) Tenha selecionado o fundo com o custo mais elevado e seja um aluno

da graduação?c) Tenha selecionado o fundo com o custo mais elevado ou seja um aluno

da graduação?d) Explique a diferença entre os resultados (b) e (c).


EXERCÍCIO 6: A chance de um time ser campeão, em termos defavorabilidade é de 180%. Expresse essa chance em termos deprobabilidade.



EXERCÍCIO 7: De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola serdivisível por 3 ou divisível por 4?


9. Axiomas de Probabilidade9. Axiomas de ProbabilidadeKolmogorov

� Axiomas (ideias) de Kolmogorov: � Definição formal de probabilidade� Incluem as definições acima como casos particulares

� Qualquer função P(.) dos subconjuntos do espaço amo stral � Qualquer função P(.) dos subconjuntos do espaço amo stral (eventos) no intervalo [0,1] é uma probabilidade se satisfizer as condições:1. (Não-negatividade ): P(A) ≥ 0, sendo A um evento qualquer

2. (Aditividade ): , {Ej} even tos disjuntos ou mut. Excludentes �� devemos somar as probabilidades.

3. (Normalização ): P(evento certo) = 1 �� Ex: A prob. de amanhecer

( ) ( )∑=j jj j EP EPU

10. Propriedades de uma10. Propriedades de umaProbabilidade

Uma função de probabilidade satisfaz as seguintespropriedades :

1. ( ) ( )EPEP c −= 1

2.

3.

( ) ( )2121 então , Se EPEP EE ≤⊆

( ) 0=φP

11. Regra Geral da Adição

REGRA GERAL DA ADIÇÃO

( ) ( ) ( ) ( )IU BAPBPAPBAP −+=

Se A e B são mutuamente excludentes, então:

P(A e B) = 0, e a regra pode ser simplificada:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

para eventos disjuntos A e B

11. Exemplo da Regra Geral de 11. Exemplo da Regra Geral de Adição

Cursando Não cursando Total

Exemplo: Qual a probabilidade de selecionarmosaleatoriamente um homem ou um aluno(a) da estatística deuma população descrita pela tabela abaixo?

CursandoEstatística

Não cursando Estatística

Total

Homem 84 145 229

Mulher 76 134 210

Total 160 279 439

P(Homem ou Estat.) = P(H) + P(Est.) – P(H e Est.)

= 229/439 + 160/439 – 84/439 = 305/439

Resumo de Probabilidade

� Probabilidade é uma medida numérica queinforma a chance de um resultado ocorrer.

� A probabilidade de um evento deve estarentre 0 e 1, incluindo os extremos .

Certo1

entre 0 e 1, incluindo os extremos .� 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A.

� A soma da probabilidade de uma partiçãodo espaço amostral é igual a 1. � P(A) + P(B) + P(C) = 1� em que A, B e C são eventos

mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos (partição de S)

Impossível

.5

0

12. Técnicas de Contagem

� Princípio de contagem (divida e conquiste) �� o processo é quebrado em várias etapas com o uso do diagrama d e árvores :

Folhas

n1opções

n2opções

n3opções

n4opções

Estágio 1

Estágio 2

Estágio3

Estágio4

Princípio de contagem :

Considere um processo que contém r estágios. Suponhaque:


� Existem n1 resultados possíveis no primeiro estágio� Para cada resultado possível do estágio 1 existem n2

resultados possíveis no estágio 2 .� De forma mais geral, para cada um dos resultados no s

i-1 primeiros estágios , existem ni resultados possíveis no i-ésimo estágio.

� Então o número total de resultados possíveis no processo de r estágios é de: n1*n2*n3*…*ni

� Exercício : Número de subconjutos em um conjunto com n elementos? {s1, s2, s3, …, sn}

� Processo de n estágios: em cada estágio decidimos


se colocamos ou não o elemento no subconjunto� Número de opções para o primeiro estágio: 2� Total: 2*2*2*…*2 =2n

� Problema: Selecionar k objetos de um total de n objetos

� Se a ordem é importante: Permutação


� Se a ordem não é importante: Combinação

� Permutação de k objetos �� queremos selecionar kobjetos de um conjunto de n objetos sem reposição

� Para o primeiro objeto: n possibilidades


� Para o segundo objeto: n-1 possibilidades� …� Para o último objeto: n - (k-1) possibilidades� Total de permutações: n*(n-1)*…*(n-k+1)� Usando fatorial:

)!(

!

kn

n

−

� Exercício: Qual o total de palavras com 4 letras distintas (nã o precisa ter significado nem seguir regras ortográfi cas)?

Permutação : Selecionar 4 letras de um total de 23 sem repetir


Permutação : Selecionar 4 letras de um total de 23 sem repetirTotal de permutações de 4 elementos: 23*22*21*20

Exercício: Você tem n1 Cds de música clássica, n2 Cds de rock e n3 Cds de forró. De quantas formas você pode arranjar os seus Cds tal que os Cds do mesmo tipo s empre fiquem juntos?


fiquem juntos?

� Solução – Combinar Princípio da Contagem com Permuta ção

� Podemos quebrar o processo em 2 estágios:Escolher a ordem dos tipos de Cds: 3*2*1


� Escolher a ordem dos tipos de Cds: 3*2*1� Escolher a sequência dos Cds para cada tipo:

� Para Cds de música clássica: n1!� Para Cds de rock: n2!� Para Cds de Forró: n3!

� Total: 3!* n1!*n2!*n3!

� Combinação �� contar o número de subconjuntos de kelementos a partir de um conjunto de n elementos.

� A ordem dos elementos não é importante!


� Dizemos combinação de n elementos k a k

� Exemplo : Formar comitê com 3 representantes de turma de um total de 131 alunos. � Se todos têm mesmo poder: combinação .� Se teremos presidente, vice-presidente e secretário :

permutação .

� Lógica reversa:� Para selecionar uma k-permutação, podemos usar o pr incípio

da contagem e dividir problema em 2 estágios:

Número de combinações


� Primeiro estágio: selecionar uma combinação de k it ens ;

� Segundo Estágio: para cada possível combinação, reordernar os itens. Equivalente a k-permutações em total de k itens!

� Usando o princípio da contagem:� Nk-permutações em total n = Nk-combinações em n *

Nreordenações� = Nk-permutações em n = Nk-combinações em n * Nk-


� = Nk-permutações em n = Nk-combinações em n * Nk-permutações em k

Newton de Binômio:

!)!(

!

!*)!(

!

=⇒

−=⇒

=−

k

nN

kkn

nN

kNkn

n

scombinaçõe

scombinaçõe

scombinaçõe

� Exemplo: Número de combinações de 2 elementos das letras A, B, C, D:

6!44

=−

=

=scombinaçõeN


� Conferindo:� AB, AC, AD, BC, BD, CD

6!2)!24(2

=−

=

=scombinaçõeN

CONTINUARÁ...

Obrigada pela atenção!Obrigada pela atenção!

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