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Aula 9 – Conceitos de
Matemática Financeira
Material Elaborado por
Betânia Peixoto
Conceitos de Matemática Financeira
São conceitos essenciais para o cálculo do retorno econômico.
Plano de Aula
Apresentar os seguintes conceitos de matemática financeira:
Fluxo de Caixa
Taxa de juros
Valor Presente Líquido (VPL)
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Fluxo de Caixa É uma forma matemática para representar
graficamente as entradas e saídas de um investimento e/ou aplicação financeira, com o objetivo de facilitar o estudo de seus efeitos
Por convenção, é representado por um gráfico com linha horizontal que indica o tempo e com setas para cima (que indica entrada - positivo) e para baixo (que indica saída - negativo).
Exemplos de fluxos de caixa
Saídas (-)
Entradas (+)
Entradas (+)
Saídas (-) tempo
tempo
Taxa de Juros
Os Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade. O percentual desta remuneração em relação ao capital inicial é a taxa de juros.
É a remuneração pela privação ao consumo.
A maioria das pessoas prefere o consumo hoje estando disposta a pagar um preço por isto.
Quem é capaz de esperar para consumir no futuro (seja investindo em um negócio, seja poupando) deve ser recompensado por esta abstinência.
Representação da Taxa de Juros
É expressa da forma percentual em seguida do período de tempo a que se refere:
Ex: 5 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 2 % a.m. - (a.m. significa ao mês).
Pode também ser de forma unitária =taxa
percentual dividida por 100, sem o símbolo %: Ex: 0,02 a.d. - (a.m. significa ao dia).
0,14 a.t. - (a.t. significa ao trimestre)
Juros simples
Os juros de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
M= montante finalP = capital iniciali = taxa de jurosn = número de períodos
Juros compostos
Os juros de cada intervalo de tempo são calculados a partir do capital inicial acrescido do juros do período anterior.
Ex: Aplicação de um capital P por 3 meses. 1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: M = P . (1 + i).(1 + i) 3º mês: M = P .(1 + i) .(1 + i).(1 + i)
Assim: M = P . (1 + i)n
Exemplo
Suponha que voce vai comprar um carro de 20.000,00 reais financiado em 12 meses . A taxa de juros proposta foi de 1% am. Ao final, qual o valor que voce terá pago pelo carro?
M t=1= 20.000+20.000*(0,01) = 20.000+200=20.200 Mt=2= 20.200+ 20.200*(0,01) = 20.200+202=20.402
… Mt=12= 22.313,31+ 22.313,31*(0,01) = 22.536,50
OuM=20.000*(1+0,01)12= 22.536,50
Cuidado
Os períodos da taxa e o do tempo do investimento devem ser iguais
Por exemplo, se a taxa é mensal, o período de tempo do investimento deve ser descrito em meses.
De taxa anual para taxa mensal
Se um investimento for feito num período inferior a 1 ano e a taxa de juros for anual, podemos transformar o período do investimento em ‘anos’. Como?
Ex: se o período fosse de 3 meses: 12 meses ----- 1 ano 3 meses ------- x ano x = 3 / 12 = ¼ de
ano
Esta lógica pode ser aplicada para transformação de qualquer período de tempo do investimento
Valor Presente e Valor Futuro ‘Valor Presente’ = valor investido hoje ou o
capital inicial [VP] ‘Valor Futuro’ = o montante a ser recebido após
o período do investimento [VF]
100*1100*)(
%
VP
VF
VP
VPVFi
VF=VP*(1+i)n
Valor Presente e Valor Futuro- Exemplo
√ Se investirmos R$ 250 por um ano a uma taxa de juros de 12% ao ano, quanto teremos no final do período?
√ VF = VP*(1+i)n
√ VF = 250*(1+0,12) = R$280
Em resumo:
Se realizamos um investimento hoje por n períodos, sendo a taxa de juros definida em i% por período, teremos ao final um total de:
Valor futuro
Valor Presente
Número de períodos
VF = VP x (1+i)n
Taxa de juros
Em um projeto social...
Os valores dos recebimentos e pagamentos relativos a um projeto estão distribuídos ao longo do tempo.
Esses valores, no entanto, não podem ser prontamente comparados visto que estão avaliados em momentos diferentes no tempo.
“Receber R$100 hoje é, provavelmente, diferente de
receber R$100 daqui a 3 meses”.
Como então comparar valores?
Valor Presente Líquido (VPL)
Idéia: “trazer” esses valores todos para uma mesma data, por exemplo, para a data relativa ao início do projeto.
Em outros termos, calcular o ‘valor presente’ do investimento.
Obs: ‘Líquido’ porque trazemos para valor presente recebimentos e pagamentos.
Como fazer
Da mesma maneira que acrescentamos juros quando queremos saber o VF de um investimento realizado hoje, quando calculamos o valor presente desse retorno futuro do investimento temos que descontar os juros.
Quando temos um fluxo de pagamentos e recebimentos, precisamos trazer para a mesma data cada uma das parcelas: se trouxermos todos para o 1º período, temos o VPL.
Valor Presente Líquido (VPL) - definição
É o valor descontado de todos os fluxos de caixa esperados (receitas menos despesas).
Quanto vale hoje todos os pagamentos e recebimentos que serão realizados ao longo do tempo?
Exemplo:
50.000
t = 0 t =
1
20.000
20.000
20.000
20.000
t = 2
t = 3
t = 4
4321 )1(
000.20
)1(
000.20
)1(
000.20
)1(
000.20000.50
iiiiVPL
Considere o seguinte fluxo de caixa de um projeto social:
Outro exemplo:
Ano 2006 2007 2008 2009 2010
Valor ($) -50.000 -10.000 30.000 30.000 30.000
Os custos de um projeto estão distribuídos ao longo dos dois primeiros anos do projeto. Por outro lado, há recebimentos por 3 anos consecutivos, conforme tabela abaixo:
Qual é o valor presente líquido do projeto (i=15% ao ano)?
74,866)15,1(
30000
)15,1(
30000
)15,1(
30000
15,1
1000050000
432VPL
Taxa Interna de Retorno (TIR)
É a taxa de juros (ou desconto) que faz com que o VPL de um projeto seja zero.
VPL igual a zero significa que os custos avaliados no tempo zero são iguais aos benefícios, também avaliados no tempo zero.
Idéia: você quer descobrir qual a taxa de juros que está embutida no seu investimento, isto é, qual a taxa de juros que a partir do seu investimento inicial gerou as entradas futuras do seu fluxo de caixa.
Retomando o exemplo anterior (i= ? %) :
Ano 2005 2006 2007 2008 2009
Valor ($) -50.000 -10.000 30.000 30.000 30.000
2 3 4
10.000 30.000 30.000 30.00050.000 0
1 1 1 1VPL
TIR TIR TIR TIR
Como o fluxo está em anos, a TIR calculada será uma taxa anual.
Para fazer o cálculo, vamos utilizar o Excel – o cálculo “algébrico” só pode ser feito por aproximação.
Comentários Finais
Aula de hoje: trabalhamos os conceitos da matemática financeira, em especial os conceitos de valor presente líquido e taxa interna de retorno.
Próxima aula: a partir destes dois conceitos realizaremos a avaliação de retorno econômico.