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Álgebra Linear
Prof. Esp.:Thiago
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Noções sobreaplicaçõesAplicação Injetora
AplicaçãoSobrejetora
Aplicação Bijetora
Aplicação Inversa
TransformaçõesLinearesExemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Álgebra LinearTransformações Lineares
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
3 de novembro de 2011
Álgebra Linear
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Noções sobreaplicaçõesAplicação Injetora
AplicaçãoSobrejetora
Aplicação Bijetora
Aplicação Inversa
TransformaçõesLinearesExemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Objetivos da Aula
Noções sobre aplicaçõesAplicação InjetoraAplicação SobrejetoraAplicação BijetoraAplicação Inversa
Transformações LinearesExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Exemplo 4Exemplo 5
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AplicaçãoSobrejetora
Aplicação Bijetora
Aplicação Inversa
TransformaçõesLinearesExemplo 1
Exemplo 2
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Exemplo 4
Exemplo 5
Objetivos da Aula
Noções sobre aplicaçõesAplicação InjetoraAplicação SobrejetoraAplicação BijetoraAplicação Inversa
Transformações LinearesExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Exemplo 4Exemplo 5
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Exemplo 2
Exemplo 3
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Exemplo 5
De�nição
Dados dois conjuntos U e V , ambos não vazios, uma
aplicação (função) de U em V é uma �lei� F pela qual a
cada elemento de U está associado um único elemento de V .
De�nição
Se u indica um elemento genérico de U, então o elemento
associado a u é representado por F (u) (lê-se �F de u�) e se
denomina imagem de u por F .
u F(u)
U VF
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Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
De�nição
Dados dois conjuntos U e V , ambos não vazios, uma
aplicação (função) de U em V é uma �lei� F pela qual a
cada elemento de U está associado um único elemento de V .
De�nição
Se u indica um elemento genérico de U, então o elemento
associado a u é representado por F (u) (lê-se �F de u�) e se
denomina imagem de u por F .
u F(u)
U VF
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Exemplo 2
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Exemplo 5
I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F
. Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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Exemplo 5
I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F . Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever
:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F . Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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Exemplo 3
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Exemplo 5
I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F . Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U
:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F . Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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Exemplo 5
I O conjunto U é o domínio e o conjunto V é ocontra-domínio da aplicação F . Para indicar que F éuma aplicação de U em V costuma-se escrever:
F : U → V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U:
u 7→ F (u)
I Duas aplicações F : U → V e G : U → V são iguais, see somente se, F (u) = G (u), ∀u ∈ U.
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }
. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }
. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2
. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2
. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x)
, geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Dado W ⊂ U denomina-se imagem de W por F o
subconjunto de V tal que F (W ) = {F (u)|u ∈W }. Se
W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de F e a
notação sera Im(F ).
Portanto Im(F ) = {F (u)|u ∈ U}
Example
Seja S: R2 → R2 a aplicação dada por S(x , y) = (0, x),∀(x , y) ∈ R2. Nesse caso a imagem de qualquer vetor(x , y) ∈ R2 será da forma (0, x), geometricamente falando aimagem da reta y = x será o eixo y .
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz injetora se, e somente se,
∀u1, u2 ∈ U F (u1) = F (u2)⇒ u1 = u2
Ou, equivalentemente:
∀u1, u2 ∈ U F (u1) 6= F (u2)⇒ u1 6= u2
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz injetora se, e somente se,
∀u1, u2 ∈ U F (u1) = F (u2)⇒ u1 = u2
Ou, equivalentemente:
∀u1, u2 ∈ U F (u1) 6= F (u2)⇒ u1 6= u2
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz injetora se, e somente se,
∀u1, u2 ∈ U F (u1) = F (u2)⇒ u1 = u2
Ou, equivalentemente
:
∀u1, u2 ∈ U F (u1) 6= F (u2)⇒ u1 6= u2
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz injetora se, e somente se,
∀u1, u2 ∈ U F (u1) = F (u2)⇒ u1 = u2
Ou, equivalentemente:
∀u1, u2 ∈ U F (u1) 6= F (u2)⇒ u1 6= u2
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora
, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então
:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)
⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora
, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0)
, masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Example
I A aplicação S : R2 → R2 dada porS(x , y) = (x ,−y) ∈ R2, é injetora, pois se u1 = (x1, y1)e u2 = (x2, y2) então:
F (u1) = F (u2) ⇒ (x1,−y1) = (x2,−y2)⇒ x1 = x2, y1 = y2
⇒ u1 = u2
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é injetora, pois temos, porexemplo que (1, 1) 6= (2, 0), masF (1, 1) = F (2, 0) = (0, 2, 0).
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Exemplo 5
De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz sobrejetora se, e somente
se
, Im(F ) = V , ou seja, para todo v ∈ V , existe u ∈ U tal
que F (u) = v.
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz sobrejetora se, e somente
se, Im(F ) = V
, ou seja, para todo v ∈ V , existe u ∈ U tal
que F (u) = v.
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz sobrejetora se, e somente
se, Im(F ) = V , ou seja, para todo v ∈ V , existe u ∈ U tal
que F (u) = v.
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Exemplo 5
Example
I S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) ésobrejetora
. De fato, dado v = (c , d) ∈ R2, basta tomaru = (c ,−d) para termos F (u) = v ;
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é sobrejetora. Isto porque,por exemplo, (1, 0, 0) ∈ R3 e não imagem por F denenhum elemento u ∈ R2.
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Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Example
I S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) ésobrejetora. De fato, dado v = (c , d) ∈ R2
, basta tomaru = (c ,−d) para termos F (u) = v ;
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é sobrejetora. Isto porque,por exemplo, (1, 0, 0) ∈ R3 e não imagem por F denenhum elemento u ∈ R2.
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Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Example
I S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) ésobrejetora. De fato, dado v = (c , d) ∈ R2, basta tomaru = (c ,−d) para termos F (u) = v
;
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é sobrejetora. Isto porque,por exemplo, (1, 0, 0) ∈ R3 e não imagem por F denenhum elemento u ∈ R2.
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Noções sobreaplicaçõesAplicação Injetora
AplicaçãoSobrejetora
Aplicação Bijetora
Aplicação Inversa
TransformaçõesLinearesExemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Example
I S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) ésobrejetora. De fato, dado v = (c , d) ∈ R2, basta tomaru = (c ,−d) para termos F (u) = v ;
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é sobrejetora
. Isto porque,por exemplo, (1, 0, 0) ∈ R3 e não imagem por F denenhum elemento u ∈ R2.
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Example
I S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) ésobrejetora. De fato, dado v = (c , d) ∈ R2, basta tomaru = (c ,−d) para termos F (u) = v ;
I A aplicação S : R2 → R3 dada porF (x , y) = (0, x + y , 0) não é sobrejetora. Isto porque,por exemplo, (1, 0, 0) ∈ R3 e não imagem por F denenhum elemento u ∈ R2.
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Exemplo 2
Exemplo 3
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Exemplo 5
De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz bijetora se, e somente se F
é injetora e é sobrejetora.
Example
S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) é bijetora peloque foi visto nos exemplos anteriores.
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De�nição
Uma aplicação F : U → V se diz bijetora se, e somente se F
é injetora e é sobrejetora.
Example
S : R2 → R2 de�nida por S(x , y) = (x ,−y) é bijetora peloque foi visto nos exemplos anteriores.
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Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Se F : U → V é bijetora, então cada elemento de V é dotipo F (u), com u ∈ U bem de�nido e se �zermos aassociação F (u) 7→ u teremos uma aplicação de V em U,pois não podemos ter F (u1) = F (u2) e u1 6= u2 já que F éinjetora
. Essa nova aplicação assim de�nida é chamada deaplicação inversa de F e é indicada por F−1. Tem-se entãoque F−1(F (u)) = u e F (F−1(v)) = v , ∀u ∈ U e ∀v ∈ V .
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Se F : U → V é bijetora, então cada elemento de V é dotipo F (u), com u ∈ U bem de�nido e se �zermos aassociação F (u) 7→ u teremos uma aplicação de V em U,pois não podemos ter F (u1) = F (u2) e u1 6= u2 já que F éinjetora. Essa nova aplicação assim de�nida é chamada deaplicação inversa de F e é indicada por F−1
. Tem-se entãoque F−1(F (u)) = u e F (F−1(v)) = v , ∀u ∈ U e ∀v ∈ V .
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Se F : U → V é bijetora, então cada elemento de V é dotipo F (u), com u ∈ U bem de�nido e se �zermos aassociação F (u) 7→ u teremos uma aplicação de V em U,pois não podemos ter F (u1) = F (u2) e u1 6= u2 já que F éinjetora. Essa nova aplicação assim de�nida é chamada deaplicação inversa de F e é indicada por F−1. Tem-se entãoque F−1(F (u)) = u e F (F−1(v)) = v , ∀u ∈ U e ∀v ∈ V .
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De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Uma aplicação
F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e
somente se,
I F (u1 + u2) = F (u1) + F (u2), ∀u1, u2 ∈ U;
I F (αu) = αF (u), ∀α ∈ R e ∀u ∈ U.
No caso em que U = V , um transformação linear F : U → V
é chamada também de operador linear.
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De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Uma aplicação
F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e
somente se,
I F (u1 + u2) = F (u1) + F (u2), ∀u1, u2 ∈ U
;
I F (αu) = αF (u), ∀α ∈ R e ∀u ∈ U.
No caso em que U = V , um transformação linear F : U → V
é chamada também de operador linear.
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De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Uma aplicação
F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e
somente se,
I F (u1 + u2) = F (u1) + F (u2), ∀u1, u2 ∈ U;
I F (αu) = αF (u), ∀α ∈ R e ∀u ∈ U
.
No caso em que U = V , um transformação linear F : U → V
é chamada também de operador linear.
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De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Uma aplicação
F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e
somente se,
I F (u1 + u2) = F (u1) + F (u2), ∀u1, u2 ∈ U;
I F (αu) = αF (u), ∀α ∈ R e ∀u ∈ U.
No caso em que U = V , um transformação linear F : U → V
é chamada também de operador linear.
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Example
Seja O : U → V a aplicação assim de�nida
:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear
:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2)
= o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o
= o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o
= O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu)
= o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o
= αo = αO(u)
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Example
Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo
= αO(u)
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Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Example
Seja O : U → V a aplicação assim de�nida:
O(u) = o ∀u ∈ U
Veri�quemos que O é transformação linear:
I O(u1 + u2) = o = o+ o = O(u1) + O(u2)
I O(αu) = o = αo = αO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V .
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Example
Seja I : U → U de�nida assim
:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois
:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2)
= u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2
= I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Exemplo 3
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Exemplo 3
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu)
= αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Exemplo 3
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu
= αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
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Example
Seja I : U → U de�nida assim:
I (u) = u ∀u ∈ U
É mais um exemplo de transformação linear pois:
I I (u1 + u2) = u1 + u2 = I (u1) + I (u2)
I I (αu) = αu = αI (u)
I é o operador idêntico de U.
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Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Example
Seja F : R3 → R2 de�nida por
:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
I (Para Casa)
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Exemplo 4
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Example
Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
I (Para Casa)
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Example
Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear
.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
I (Para Casa)
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Example
Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3
.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2)
= F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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AplicaçãoSobrejetora
Aplicação Bijetora
Aplicação Inversa
TransformaçõesLinearesExemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Example
Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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Seja F : R3 → R2 de�nida por:
f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2)
.
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f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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f (x , y , z) = (x , 2x − z) ∀(x , y , z) ∈ R3
também é transformação linear.Sejam u1 = (x1, y1, z1) e u2 = (x2, y2, z2) em R3.
I
F (u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x1 + x2, 2(x1 + x2)− (z1 + z2))
= (x1, 2x1 − z1) + (x2, 2x2 − z2)
= F (u1) + F (u2).
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Seja F : Rn → Rm de�nida por
:
f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . .+ a1nxn, . . . , am1x1 + . . .+ amnxn)
é uma transformação linear para toda a família (aij) denúmeros reais dados. Veri�ca-se essa a�rmaçãogeneralizando o que se fez no Exemplo 3.
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f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . .+ a1nxn, . . . , am1x1 + . . .+ amnxn)
é uma transformação linear para toda a família (aij) denúmeros reais dados. Veri�ca-se essa a�rmaçãogeneralizando o que se fez no Exemplo 3.
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f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . .+ a1nxn, . . . , am1x1 + . . .+ amnxn)
é uma transformação linear para toda a família (aij) denúmeros reais dados
. Veri�ca-se essa a�rmaçãogeneralizando o que se fez no Exemplo 3.
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f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . .+ a1nxn, . . . , am1x1 + . . .+ amnxn)
é uma transformação linear para toda a família (aij) denúmeros reais dados. Veri�ca-se essa a�rmaçãogeneralizando o que se fez no Exemplo 3.
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Seja D : Pn(R)→ Pn(R) de�nida por
:
D(f (t)) = f ′(t)
para todo polinômio f (t) de Pn(R).
I A derivada da soma de dois polinômios é igual a somadas derivadas;
I A derivada da multiplicação de um polinômio por umnúmero real é igual a esse número multiplicado peladerivada do polinômio.
Logo D é mais um exemplo de operador linear.
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D(f (t)) = f ′(t)
para todo polinômio f (t) de Pn(R)
.
I A derivada da soma de dois polinômios é igual a somadas derivadas;
I A derivada da multiplicação de um polinômio por umnúmero real é igual a esse número multiplicado peladerivada do polinômio.
Logo D é mais um exemplo de operador linear.
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D(f (t)) = f ′(t)
para todo polinômio f (t) de Pn(R).
I A derivada da soma de dois polinômios é igual a somadas derivadas
;
I A derivada da multiplicação de um polinômio por umnúmero real é igual a esse número multiplicado peladerivada do polinômio.
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D(f (t)) = f ′(t)
para todo polinômio f (t) de Pn(R).
I A derivada da soma de dois polinômios é igual a somadas derivadas;
I A derivada da multiplicação de um polinômio por umnúmero real é igual a esse número multiplicado peladerivada do polinômio
.
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D(f (t)) = f ′(t)
para todo polinômio f (t) de Pn(R).
I A derivada da soma de dois polinômios é igual a somadas derivadas;
I A derivada da multiplicação de um polinômio por umnúmero real é igual a esse número multiplicado peladerivada do polinômio.
Logo D é mais um exemplo de operador linear.
