Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro

8/3/2019 Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro

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Á l g e b r a L i n e a r

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

P r o p r i e d a d e s d a

D e p e n d ê n c i a

L i n e a r

P r o p r i e d a d e P

1


2


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5


6


7

B a s e d e u m

E s p a ç o V e t o r i a l

E x e m p l o s

P r o p o s i ç ã o

D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a

I n v a r i â n c i a


E s p a ç o s V e t o r i a i s : E s p a ç o s V e t o r i a i s F i n i t a m e n t e G e r a d o s

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i á s

C a m p u s J a t a í

C o o r d e n a ç ã o d e M a t e m á t i c a

1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1

http://find/

http://goback/




P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


O b j e t i v o s d a A u l a

P r o p r i e d a d e s d a D e p e n d ê n c i a L i n e a r


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





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B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l

E x e m p l o s


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





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B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l

E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o

T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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( r e c a p i t u l a n d o )

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e u m c o n j u n t o

n i t o L ⊂

V c o n t é m o v e t o r n u l o , e n t ã o e s s e c o n j u n t o é L . D .

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e

S = {

u } ⊂

V e u =

o , e n t ã o S é L . I .

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T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

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D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e

R. S e

S = {

u

1

, . . . ,u

n

} ⊂V é L . D . , e n t ã o u m d o s s e u s v e t o r e s é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s o u t r o s .

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

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V e d o V a t t o



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D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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. S e S

1

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s u b c o n j u n t o s n i t o s d e V , c o m S

1

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2

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V e d o V a t t o



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t a m b é m é L . D .

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D i m e n s ã o

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1

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S

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D e m o n s t r a ç ã o .

S u p o n h a m o s S

1 = {u

1 , . . . , u

r } e S

2 = {u

1 , . . . , u

r , . . . , u

t }

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T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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1

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s ã o


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⊂S

2

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1

é L . D . , e n t ã o

S

2



S u p o n h a m o s S

1 = {u

1 , . . . , u

r } e S

2 = {u

1 , . . . , u

r , . . . , u

t }.

L o g o S

1

⊂ S

2

. P o r h i p ó t e s e , a p e n a s S

1

é L . D .

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e S

1

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s ã o


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e S

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é L . I . , e n t ã o S

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t a m b é m é L . I .

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V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V s o b r e R. S e S

1

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s ã o


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e S

2

é L . I . , e n t ã o S

1

t a m b é m é L . I .


P e l a P r o p r i e d a d e P

4

s e o c o n j u n t o S

1

f o s s e L . D . e n t ã o o

c o n j u n t o S

2

t a m b é m s e r i a L . D . , c o n t r a r i a n d o a s s i m a

h i p ó t e s e , l o g o S

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s ó p o d e s e r L . I .

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n

}é L . I . , e p a r a u m c e r t o u

∈V t i v e r m o s

S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n

, u } L . D . , e n t ã o o v e t o r u é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s v e t o r e s u

1

, . . . ,u

n


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n



S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n



1

, . . . ,u

n

, i s t o é , u ∈ [

S ]

.


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T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



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. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n



S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n



1

, . . . ,u

n

, i s t o é , u ∈ [

S ]

.


C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o



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T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

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D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


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. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n



S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n



1

, . . . ,u

n

, i s t o é , u ∈ [

S ]

.


C o m o S ∪ {u } é L . D . e n t ã o : α1

u

1

+ . . . + αn

u

n

+ αu = o ,

o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s

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T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a




. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n



S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n



1

, . . . ,u

n

, i s t o é , u ∈ [

S ]

.



u

1

+ . . . + αn

u

n

+ αu = o ,

o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s . C o n s i d e r a n d o α

n ã o

n u l o . E n t ã o : α

1

u

1

+ . . . + αn

u

n

=o . C o m o S é L . I . , a

i g u a l d a d e s ó é p o s s í v e l s e

α1

= . . . = αn

=0 . L o g o s e

α =0 ,

e n t ã o α = α

1

= . . . = αn

=0 o q u e é i m p o s s í v e l



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T h i a g o

V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a




. S e

S = {u

1

, . . . ,u

n



S ∪ {u } = {u

1

, . . . , u

n



1

, . . . ,u

n

, i s t o é , u ∈ [

S ]

.



u

1

+ . . . + αn

u

n

+ αu = o ,

o n d e n e m t o d o s o s e s c a l a r e s s ã o n u l o s . C o n s i d e r a n d o α

n ã o

n u l o . E n t ã o : α

1

u

1

+ . . . + αn

u

n

=o . C o m o S é L . I . , a

i g u a l d a d e s ó é p o s s í v e l s e

α1

= . . . = αn

=0 . L o g o s e

α =0 ,

e n t ã o α = α

1

= . . . = αn

=0 o q u e é i m p o s s í v e l . S e n d o

α = 0 p o d e m o s m u l t i p l i c a r a i g u a l d a d e e m d e s t a q u e p o r α−1

o b t e n d o : (α−1 α

1

)u

1

+ . . . + (α−1 αn

)u

n

+u

=o o u a i n d a

u = ( − α−1 α1

)u

1

+ . . . + ( − α−1 αn

) u

n

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V e d o V a t t o



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D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



S e S = {u

1

, . . . , u

j

, . . . , u

n

} e u

j

∈ [S − {u

j

}] ( u

j

é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d o s d e m a i s v e t o r e s d e S ) , e n t ã o

[S ] = [S − {u

j

}].


S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



S e S = {u

1

, . . . , u

j

, . . . , u

n

} e u

j

∈ [S − {u

j

}] ( u

j

é


[S ] = [S − {u

j

}].


S u p o n h a m o s , s e m p e r d a d e g e n e r a l i d a d e , q u e j = 1 .

C o m o S − {u

1

} ⊂ S , e n t ã o [S − {u

1

}] ⊂ [S ]

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



S e S = {u

1

, . . . , u

j

, . . . , u

n

} e u

j

∈ [S − {u

j

}] ( u

j

é


[S ] = [S − {u

j

}].



C o m o S − {u

1

} ⊂ S , e n t ã o [S − {u

1

}] ⊂ [S ].

S e u ∈ [S ] e n t ã o u = α

1

u

1

+ . . . + αn

u

n

, α

i

∈ R. C o m o

o v e t o r u

1

∈ [S − {u

1

}] e n t ã o u

1

= β2

u

2

+ . . . + βn

u

n

,

s u b s t i t u i n d o a s e g u n d a e q u a ç ã o n a p r i m e i r a :

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P r o f . E s p . :


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T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



S e S = {u

1

, . . . , u

j

, . . . , u

n

} e u

j

∈ [S − {u

j

}] ( u

j

é


[S ] = [S − {u

j

}].



C o m o S − {u

1

} ⊂ S , e n t ã o [S − {u

1

}] ⊂ [S ].

S e u ∈ [S ] e n t ã o u = α

1

u

1

+ . . . + αn

u

n

, α

i

∈ R. C o m o

o v e t o r u

1

∈ [S − {u

1

}] e n t ã o u

1

= β2

u

2

+ . . . + βn

u

n

,

s u b s t i t u i n d o a s e g u n d a e q u a ç ã o n a p r i m e i r a :

u = α1

(β2

u

2

+ . . . + βn

u

n

) + . . . + αn

u

n

. R e a g r u p a n d o :

u = (α

1

β2

+ α2

)u

2

+ . . . + (α1

βn

+ αn

)u

n

http://find/

http://goback/






P r o f . E s p . :



T h i a g o

V e d o V a t t o



L i n e a r


1


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7

B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


E x a m p l e ( A p l i c a ç ã o d a P r o p r i e d a d e P

7

)


P r o f . E s p . :

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o



L i n e a r


1


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



7

)

O b s e r v e n o R4

o s e g u i n t e s u b e s p a ç o

S = [( 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 2 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 2 , −1 , 4 )]


P r o f . E s p . :

http://find/

http://goback/



T h i a g o

V e d o V a t t o



L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a



7

)

O b s e r v e n o R4

o s e g u i n t e s u b e s p a ç o

S = [( 1 , 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 2 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 2 , −1 , 4 )]. É f á c i l

p e r c e b e r a s e g u i n t e r e l a ç ã o

2 ( 0 , 1 , 0 , 2 ) − (0 , 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 2 , − 1 , 4 )

http://find/

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P r o f . E s p . :



T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


D e n i ç ã o ( B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l F i n i t . G e r a d o )

S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o


P r o f . E s p . :

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T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


D e n i ç ã o ( B a s e d e u m E s p a ç o V e t o r i a l F i n i t . G e r a d o )


http://find/

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e



V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


{(1

,0

), (0

,1

)}é u m a b a s e d o

R2

;


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

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V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


{(1

,0

), (0

,1


R2

;

{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a

b a s e d o Rn

;


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

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V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


{(1

,0

), (0

,1


R2

;

{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a

b a s e d o Rn

;

{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a

b a s e d o Cn

, s e c o n s i d e r a r m o s c o m o e s p a ç o v e t o r i a l

s o b r e o s C

;

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

{( ) ( )}



V e d o V a t t o



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E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


{(1

,0

), (0

,1


R2

;

{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a

b a s e d o Rn

;

{(1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , . . . , 0 , 1 )} é u m a

b a s e d o Cn

, s e c o n s i d e r a r m o s c o m o e s p a ç o v e t o r i a l

s o b r e o s C

;

O c o n j u n t o d a s m · n m a t r i z e s r e a i s

1 0 . . . 0

0 0 . . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0

. . .0

,

0 1 . . . 0

0 0 . . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0

. . .0

, . . . ,

0 0 . . . 0

0 0 . . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0

. . .1

é u m a b a s e d o e s p a ç o M

m ×n

(R);

O s n + 1 p o l i n ô m i o s 1 , t , . . . , t

n

f o r m a m u m a b a s e d e

P

n

(R).

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o






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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T o d o e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o a d m i t e u m a b a s e .


C o n s i d e r e m o s u m e s p a ç o v e t o r i a l V .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





S e V = {o }, e n t ã o ∅ é u m a b a s e d e V ;

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o






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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a






S e V

= {o

}, e n t ã o , e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S

⊂V , d e

m a n e i r a q u e V

= [S

]


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a






S e V

= {o


⊂V , d e


= [S

]. C o m o S

= {o

}, e n t ã o e x i s t e m

s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I .

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o







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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





S e V

= {o


⊂V , d e


= [S

]. C o m o S

= {o


s u b c o n j u n t o s n ã o v a z i o s d e S q u e s ã o L . I . . T o m e m o s

u m c o n j u n t o B ⊂

S c o m m a i o r n ú m e r o p o s s í v e l d e

e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o







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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





S e V

= {o


⊂V , d e


= [S

]. C o m o S

= {o





e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V .

V e r i q u e m o s s e B s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e B a s e .

S e

u

∈S

−B

, e n t ã o B

∪ {u

}é L . D . D e s t e m o d o

u é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e B

, d e m o d o q u e : [ B ] = [ S ] = V


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a





S e V

= {o


⊂V , d e


= [S

]. C o m o S

= {o





e l e m e n t o s . A r m a m o s q u e B é u m a b a s e d e V .

V e r i q u e m o s s e B s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e B a s e .

S e

u

∈S

−B

, e n t ã o B

∪ {u

}é L . D . D e s t e m o d o

u é

c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e B

, d e m o d o q u e : [ B ] = [ S ] = V

;

M a s

B é L . I . , p o r c o n s t r u ç ã o

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o





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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o )


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o





L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o )

S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e

d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e u m a

q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s . D i z - s e t a m b é m , n e s t e c a s o , q u e V é

u m e s p a ç o d e d i m e n s ã o n i t a .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


E x a m p l e

D e a c o r d o c o m o s e x e m p l o s v i s t o s n o s s l i d e s a n t e r i o r e s


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

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L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


E x a m p l e


d i m

R2 =2 ;


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

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L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


E x a m p l e


d i m

R2 =2 ;

d i m Rn = n ;

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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o





L i n e a r


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B a s e d e u m


E x e m p l o s


D i m e n s ã o

D e n i ç ã o d e

D i m e n s ã o

T e o r e m a d a


T e o r e m a ( T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a )


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Aula de Álgebra Linear - 11 de Outubro