Aula de Física III - Equações de Maxwell · eoremTas Integrais A Equação da Onda Ondas Eletromagnéticas Planas Aula de Física III - Equações de Maxwell Prof.: Leandro Aguiar

Teoremas IntegraisA Equação da Onda

Ondas Eletromagnéticas Planas

Aula de Física III - Equações de Maxwell

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes

([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

19 de outubro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Equações de Maxwell



Teoremas Integrais

Teorema da Divergência:∮S

~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)

Teorema do Rotacional:∮C

~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)

Como vale a identidade:

~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais

Teorema da Divergência:

∮S

~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)

Teorema do Rotacional:

∮C

~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então:

∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Teoremas Integrais


~a ∗ n dS =

∫V

~∇ ∗~a dV (1)


~a ∗ ~dl =∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)


~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)

então: ∫S

(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)




Aplicando os teoremas, as equações básicas para campos

eletromagnéticos no vácuo �cam:

∮S

~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)





eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S

~E ∗ n dS =q

ε0

=⇒ ~∇ ∗ ~E =ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0

=⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒

~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC

=⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒

~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS

=⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒

~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)






~E ∗ n dS =q

ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =

ρ

ε0(5)

∮S

~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)

∮C

~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)

∮C

~E ∗ ~dl = − d

dt

∫S

~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B

∂t(8)




Agora, tomando a equação (7), temos:

~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)

Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:

~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)

Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:

ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)

de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:

~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0

=⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒

~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E

=⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒

∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)





~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)


~∇ ∗~j + ∂ρ

∂t= 0 (10)


ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ

∂t=

∂

∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗

(ε0∂~E

∂t

)(11)


~∇ ∗

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= 0 (12)




Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:

~∇ x ~B = µ0

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= µ0~j + ε0µ0

∂~E

∂t(13)

Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:

~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0

~∇ ∗ ~B = 0

que é compatível com a Equação da Continuidade (10).





~∇ x ~B = µ0

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= µ0~j + ε0µ0

∂~E

∂t(13)


~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0

~∇ ∗ ~B = 0






~∇ x ~B = µ0

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= µ0~j + ε0µ0

∂~E

∂t(13)


~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0

~∇ ∗ ~B = 0






~∇ x ~B = µ0

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= µ0~j + ε0µ0

∂~E

∂t(13)


~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0

~∇ ∗ ~B = 0






~∇ x ~B = µ0

(~j + ε0

∂~E

∂t

)= µ0~j + ε0µ0

∂~E

∂t(13)


~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E =ρ

ε0

~∇ ∗ ~B = 0





A Equação da Onda

Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde

não há cargas nem correntes:

~∇ x ~B = ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E = 0

~∇ ∗ ~B = 0

Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só

dependam de uma única coordenada e do tempo:

~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)




A Equação da Onda



~∇ x ~B = ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E = 0

~∇ ∗ ~B = 0



~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)




A Equação da Onda



~∇ x ~B = ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E = 0

~∇ ∗ ~B = 0



~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)




A Equação da Onda



~∇ x ~B = ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E = 0

~∇ ∗ ~B = 0



~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)




A Equação da Onda



~∇ x ~B = ε0µ0∂~E

∂t

~∇ x ~E = −∂~B

∂t

~∇ ∗ ~E = 0

~∇ ∗ ~B = 0



~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)




Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:

−∂By∂z

i +∂Bx∂z

j = µ0ε0

(∂Ex∂t

i +∂Ey∂t

j +∂Ez∂t

k

);∂Bz∂z

= 0

−∂Ey∂z

i +∂Ex∂z

j = −(∂Bx∂t

i +∂By∂t

j +∂Bz∂t

k

);∂Ez∂z

= 0

que dão ∂Ez∂z = ∂Ez

∂t = ∂Bz

∂z = ∂Bz

∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser

constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:

∂By∂z

= −µ0ε0∂Ex∂t

;∂Ex∂z

= −∂By∂t

(14)

∂Bx∂z

= µ0ε0∂Ey∂t

;∂Ey∂z

=∂Bx∂t

(15)





−∂By∂z

i +∂Bx∂z

j = µ0ε0

(∂Ex∂t

i +∂Ey∂t

j +∂Ez∂t

k

);∂Bz∂z

= 0

−∂Ey∂z

i +∂Ex∂z

j = −(∂Bx∂t

i +∂By∂t

j +∂Bz∂t

k

);∂Ez∂z

= 0


∂t = ∂Bz

∂z = ∂Bz



∂By∂z


;∂Ex∂z

= −∂By∂t

(14)

∂Bx∂z

= µ0ε0∂Ey∂t

;∂Ey∂z

=∂Bx∂t

(15)





−∂By∂z

i +∂Bx∂z

j = µ0ε0

(∂Ex∂t

i +∂Ey∂t

j +∂Ez∂t

k

);∂Bz∂z

= 0

−∂Ey∂z

i +∂Ex∂z

j = −(∂Bx∂t

i +∂By∂t

j +∂Bz∂t

k

);∂Ez∂z

= 0


∂t = ∂Bz

∂z = ∂Bz



∂By∂z


;∂Ex∂z

= −∂By∂t

(14)

∂Bx∂z

= µ0ε0∂Ey∂t

;∂Ey∂z

=∂Bx∂t

(15)





−∂By∂z

i +∂Bx∂z

j = µ0ε0

(∂Ex∂t

i +∂Ey∂t

j +∂Ez∂t

k

);∂Bz∂z

= 0

−∂Ey∂z

i +∂Ex∂z

j = −(∂Bx∂t

i +∂By∂t

j +∂Bz∂t

k

);∂Ez∂z

= 0


∂t = ∂Bz

∂z = ∂Bz



∂By∂z


;∂Ex∂z

= −∂By∂t

(14)

∂Bx∂z

= µ0ε0∂Ey∂t

;∂Ey∂z

=∂Bx∂t

(15)





−∂By∂z

i +∂Bx∂z

j = µ0ε0

(∂Ex∂t

i +∂Ey∂t

j +∂Ez∂t

k

);∂Bz∂z

= 0

−∂Ey∂z

i +∂Ex∂z

j = −(∂Bx∂t

i +∂By∂t

j +∂Bz∂t

k

);∂Ez∂z

= 0


∂t = ∂Bz

∂z = ∂Bz



∂By∂z


;∂Ex∂z

= −∂By∂t

(14)

∂Bx∂z

= µ0ε0∂Ey∂t

;∂Ey∂z

=∂Bx∂t

(15)




Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a

segunda, com respeito a t, obtemos:

∂2By

∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)

E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a

segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By

∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)

Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:

∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)





segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By

∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒

∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)


segunda, com respeito a z, obtemos:

∂2By

∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒

∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)






∂z2= −µ0ε0 ∂

2Ex∂z∂t

∂2Ex∂z∂t = −∂2By

∂t2

=⇒ ∂2By∂z2

− µ0ε0∂2By∂t2

= 0 (16)



∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2

∂2Ex∂z2

= −∂2By

∂z∂t

=⇒ ∂2Ey∂z2

− µ0ε0∂2Ey∂t2

= 0 (17)


∂2f

∂z2− 1

ν2∂2f

∂t2= 0 (18)




A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde

ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)

e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,

temos que:{ε0 ∼= 10−9

4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)

que é o valor da velocidade da luz no vácuo.





ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)



4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)


temos que:

{ε0 ∼= 10−9

4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)



4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)



4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒

(ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)



4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






ν = (ε0µ0)− 1

2 (19)



4π∗8,98755Fm

µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm

=⇒ (ε0µ0)− 1

2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)






A solução geral da Equação da Onda (18) é dada por:

f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)

onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução

do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)

Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a

expressão (22) no sistema (14):{ ∂By

∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)



∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)



∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)



∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)



∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)


expressão (22) no sistema (14):

{ ∂By

∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)






f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)


do sistema (14):

Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1

2 (22)



∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1

c2E ′x(z − ct)

∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By

∂t

(23)




Desta forma, concluímos que:

By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒ ~B =

1

ck x ~E (24)

ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,

formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da

onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou

seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A

c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)

onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa

natureza é dita harmônica ou monocromática.





By (z , t) =1

cEx(z − ct)

=⇒ ~B =1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A








By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒

~B =1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A








By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒ ~B =

1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A








By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒ ~B =

1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A








By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒ ~B =

1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A








By (z , t) =1

cEx(z − ct) =⇒ ~B =

1

ck x ~E (24)




seja:

~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A







As duas soluções independentes correspondem às duas polarizações

lineares independentes possíveis, que são ortogonais. Qualquer

outra direção de polarização linear é uma superposição destas duas

(combinação linear). Podemos generalizar assim:

~E = Re(A ∗ ε ∗ exp[i(ku ∗ r − ωt + δ)]); ~B =1

cu x ~E (26)

onde u é o versor de onda, e ε é o versor de polarização, que

correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .









cu x ~E (26)











cu x ~E (26)











cu x ~E (26)


correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Equações de Maxwell

Documents

Aula de Física III - Equações de Maxwell · eoremTas Integrais A Equação da Onda Ondas Eletromagnéticas Planas Aula de Física III - Equações de Maxwell Prof.: Leandro Aguiar