LTD UM LOUCO TRABALHO

DIRIGIDO!!!!

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A substituição trigonométrica é uma técnica muito utilizada nas integrações algébricas como também nas resoluções de equações e inequações algébricas no ensino médio. Ela se baseia no fato que as identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de uma função ou expressão algébrica por uma função trigonométrica, que levará a uma solução muito mas simples. Antes de resolvermos alguns problemas envolvendo substituição trigonométrica, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições, consiste no uso das seguintes fórmulas abaixo.

Algumas propriedades trigonométricas úteis

Professor: Judson Santos

Aluno(a): ____________________________________________________________________ nº _______________

Data: ________/________/2009

1) 1cos22 =+ xxsen

2) Zkkxparaxxtg ∈+≠=+ ,2

sec1 22 ππ

3) Zkkxparaxxg ∈≠=+ ,seccos1cot 22 π

4)

−−

−=

xsenx

xsen

x

x22

2

2

cos

21

1cos2

2cos

SESSÃO NÓ CEGO.

Problema 01.

Determine todas as soluções de 01x6x8 3 =−− . Problema 02. (EUA) Determine todas as soluções reais de ( )x1x15x18x6 2 −++=−+ .

5) xxx cos3cos43cos 3 −= e xsensenxxsen 3433 −=

6)xtg

xtgtgxxtge

xtg

tgxxtg

2

3

2 31

33

1

22

−−=

−=

7)

+

−=

+

=

21

21

cos

21

22

2

2

2 xtg

xtg

xex

tg

xtg

senx

8)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então CtanBtanAtanCtanBtanAtan ⋅⋅=++ ;

9)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então 1

2

Atan

2

Ctan

2

Ctan

2

Btan

2

Btan

2

Atan =⋅++ .

10) 1cos111 ≤≤−≤≤− xesenx

Problema 03. (BALTIC WAY) Determine o menor valor da expressão:

)1)(1(11 2222 yxxyyxxy −−−−+−+

Problema 04. (ITA) Determine para quais valores de a a inequação xax1 2 −≥− admite solução. Problema 05. (CANADA – ADAPTADA) Se a e b são números reais não nulos tais que a2 + b2 =

4. Então prove que 122

. −≤++ ba

ba.

Problema 06.

(CANADA) Determine todas as soluções reais de ( )

31x

xx

2

22 =

++ .

Problema 07.

(EUA) Resolva o sistema

+=

+=

+z

1z5

y

1y4

x

1x3 , 1zxyzxy =++ .

Problema 08. (IME – 2009) Seja a uma constante real positiva. Resolva a equação

xxaaaxaaa .22.3. 2222 =−−+−+ , para axex ≤≤ℜ∈ 0 .

2

3:.

axRESP =

Problema 09.

(EUA) Defina ( )3x

13xxf

+−= . Determine ( ) ( )xfo...ofofofxg

vezes200643421= .

Problema 10. Calcule o maior valor da expressão xx −+− 322 .

5:.RESP Problema 11.

(BULGARIA) A raiz real da equação 22 1.2121 xxxx −+−=− possui a forma

q

pnm+. Então o valor de m + n + p + q é igual a:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 RESP.: E

Problema 12.

(ROMENIA) Se 10 << x o valor máximo de 21. xx − é igual a:

8

1)

4

1)

2

1)1)0) edcba

RESP.: C Problema 13. (MOLDAVIA) A diferença entre a maior e a menor raiz da equação

xxx

xx 2

22

22 =−−+−++

é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESP.: D Problema 14.

(Bielorrússia) O número de raízes da equação ( )110.29 22 −−=− xxx é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4 RESP.: D Problema 15. (AUSTRIA) Se mxxmxex −+=+ℜ∈ 11 onde m é um parâmetro real, calcule os valores de m para os quais a equação admite solução não nula.

11:. ≤≤− mRESP Problema 16.

(CANADA) O número de raízes reais da equação xx =+−+ 222 é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESP.: B Problema 17. (MOLDÁVIA) Determine o valor máximo do produto yx. se os números reais yex

satisfazem a relação: ( ) ( )1411. 22 −−=+ yxxy .

Problema 18.

(ARMÊNIA) Determine todas as soluções reais de ( ) 1

x34

1

x

122

=−

+ .

( ) ( ) ( )°+°+°− 80cos.213

3240cos.21

3

32,20cos.21

3

32,

3

32:. eRESP

Problema 19. Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mínimo de x2 + y2 . RESP.: 01 Problema 20.

Determine todas as soluções reais do sistema

+=−

=+

2

x1x3x4

1yx

3

22

.

Problema 21. Determine todas as soluções de ( )( ) 11x8x81x2x8 242 =+−− . Problema 22.

Considere as seqüências definidas por 2x1 = , 4y1 = , 7

6z1 = e

1x

x2x

2n

n1n

−=+ ,

1y

y2y

2n

n1n

−=+ ,

1z

z2z

2n

n1n

−=+ . Prove que, para todo n natural, nnnnnn zyxzyx =++ .

Problema 23.

Dados x e y reais, prove que ( )( )( )( ) 2

1

y1x1

xy1yx

2

122

≤++−+≤− .

Problema 24.

(EUA) Se { }nx é uma seqüência que satisfaz a recorrência .1,3

1.31 ≥

+−=+ n

x

xx

n

nn

Prove que essa seqüência é periódica. Problema 25. (EUA) Resolva o sistema de equações nos reais.

=−

=−

=−

=−

14

4

43

3

32

2

21

1

21

21

21

21

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

.14,....,2,115

8cot,

15

4cot,

15

2cot,

15cot:. 4321 =

=

=

=

= kparak

gxk

gxk

gxk

gxRESPππππ

Problema 26.

(EUA) Determine todas as soluções do sistema

=−

=−

=−

xz3z

zy3y

yx3x

3

3

3

.

Problema 27. (CHINA) Se x e y são números reais que satisfazem a equação ( ) ( ) 222 14125 =−++ yx ,

então o valor mínimo de 22 yx + é igual a:

5)2)3)1)2) edcba

RESP.: B Problema 28.

Determine todas as soluções reais de

=+

=+

=+

xxzz2

zzyy2

yyxx2

2

2

2

.

Problema 29. (BELGICA) Se x , y , z são números reais que satisfaz a equação x + y + z = x.y.z. Prove que ( )( ) ( )( ) ( )( ) zyxyxzxzyzyx ...4111111 222222 =−−+−−+−− Problema 30. (CANADA) Resolva a equação 233 +=− xxx nos reais.

( )512

1,

7

4cos2,2:. +−

= πxRESP

Problema 31. (PERU)Se [ ]1,0,, ∈cba . Então o valor máximo da expressão:

( )( )baba −−+ 11. é igual a:

4

1)

3

1)2)

2

1)1) edcba

RESP.: A Problema 32.

(BULGARIA) Calcule o valor mínimo da função 1.31)( 22 +−++−= xxxxxf

2:.RESP

Problema 33.

(ARGENTINA)Calcule o valor máximo e mínimo de x + y tal que 122 =+ yx .

RESP.: 22 −== MINIMOEMÁXIMO

Problema 34

(ESPANHA)Prove que a desigualdade 1cos2

.31 ≤

+≤−

x

senx é válida para qualquer x real.

Problema 35. Qual o valor mínimo da função ?.cos..cos.)( 22 xsenrxsenxqxpxf ++=

( )

( )

( )

( )

( )

−+++

−+++

+−+−

++−+

+−++

22

22

22

22

22

2

1)

2

1)

2

1)

2

1)

2

1)

qrprpe

qrprpd

qrprpc

qrprpb

qrprpa

RESP.: A Problema 36. Dois retângulos iguais, ambos inscrito na circunferência 122 =+ yx , com seus eixos de simetria sobre os eixos x e y, respectivamente, sobrepões-se formando um quadrado ABCD, que é comum a ambos os retângulos. Se θ é o ângulo agudo formado entre uma diagonal e o eixo de simetria maior em cada retângulo, ache o valor de θtg para que a área total dos quatros retângulos exteriores ao quadrado ABCD seja máxima.

2

12)12)12)2)1)

+−− edcba

RESP.: C Problema 37. (EUA)O valor da expressão cos210º + cos250º + cos 270º é igual a:

2

3)

4

3)

8

1)

2

1)

4

1) edcba

RESP.: E Problema 38. (EUA)Sabendo que β é o valor da expressão

°°++°+°+°

1cot

178178.........664422

g

sensensensen. Então o valor de β é igual a:

a) 1 b) 90 c) 178 d) 180 e) 0 RESP.: B Problema 39. Sabendo que °++°+°+°= 59cos....5cos3cos1cos 3333L . Então o valor de

Lsen .1.3

16

° é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESP.: C

Problema 40

O valor de ∑=

+−

++=

n

k n

ksen

n

kH

1

4

1212

4cos.

4

1

4

3 ππ é igual a:

16

55)

16

56)

16)

32)

5

23)

−−− ne

nd

nc

nb

na

RESP.: D