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Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Um empreendimento é constituído por dez actividades cujas precedências directas e durações (em
meses) são indicadas a seguir:
ActividadesPrecedência
directa
Duração
(meses)
A - 2B A 3C A 5D B 4E B 1
Exercício 1 - Enunciado
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
D B 4E B 1F C 6G C 2H D 8I E, F 7J G 4
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais
das actividades.
1Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 1 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)
i jRótulo – di,j
LegendaEvento i Evento j
di,j - duração da actividade (i,j)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Comentários
1.Toda a actividade tem dois nós/eventos distintos – evento predecessor e evento sucessor
2. O início da actividade A não depende da conclusão de qualquer actividade precedente, pelo que pode iniciar-se com
o evento de início do projecto (tendo o nó 1 como nó predecessor)
1 2A - 2
i j
Actividade (i,j)
Início do
projecto
Conclusão da
actividade A
2
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
i jRótulo – di,j
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
LegendaEvento i Evento j
di,j - duração da actividade (i,j)
Exercício 1 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
3
4
i j
Actividade (i,j)
Comentário
As actividades B e C têm a conclusão da actividade A como evento predecessor 3
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
D - 4i j
Rótulo – di,j
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
LegendaEvento i Evento j
di,j - duração da actividade (i,j)
Exercício 1 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
3
4
6D - 4
G - 27
i j
Actividade (i,j)
4Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
D - 4i j
Rótulo – di,j
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
LegendaEvento i Evento j
di,j - duração da actividade (i,j)
Exercício 1 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
3
4
6
5
D - 4
G - 27
8I - 7
i j
Actividade (i,j)
Comentário
A actividade I tem como evento predecessor as conclusões das actividades Ee F que convergem no nó 5. 5
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
D - 4i j
Rótulo – di,j
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
LegendaEvento i Evento j
di,j - duração da actividade (i,j)
Exercício 1 - Resolução
Conclusão da construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
3
4
6
5
D - 4
G - 27
8I - 7
i j
Actividade (i,j)
Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: mês)
Conclusão
do projecto
Comentário: As actividades H, I e J não
têm actividades sucessoras, pelo que o nó
sucessor deve corresponder ao evento
Conclusão do projecto (nó 8).
6
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)
i1
Evento i11 ,i jd
1 1i iTMC TMT
1 1i iTMC TMTj jTMC TMT
{ }1 1 2 2, , ,
max , , , m mj i i j i i j i i j
TMC TMC d TMC d TMC d= + + +…
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
i2j
Evento i2 Evento j
im
Evento im
2 ,i jd
,mi jd1 1i iTMC TMT
⋮
{ }
1
,: ( , )
0;
2 :
max
eventos
j k k jk k j
TMC Tempo Mais Cedo do evento
j n
TMC TMC d∀ ∈
=
=
= +
início do projecto
para
fim
A
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
7Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
3 6D - 4 i j
Rótulo – di,j
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj5 - 9 -
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)
Ordem do cálculo: do evento 1 (início do projecto) para o evento 8 (conclusão do projecto)
Sequência de nós/eventos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
4
5
G - 27
8I - 7
Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC) dos eventos calculados
0 - 2 -
7 -
13 -
9 -
20 -
DT =TMC8=20 meses
TMC1= 0
8Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Resumo dos cálculos do Passo 1
Eventos(Nós ordenados
topologicamente)
Tempo Mais Cedo (TMC)
dos eventos (meses)
1 TMC1 = 0
2 TMC = TMC + d = 0+2 = 2
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Fernando DurãoFernando Durão
2 TMC2 = TMC1 + dA = 0+2 = 2
3 TMC3 = TMC2 + dB
= 2+3 = 5
4 TMC4 = TMC2 + dC= 2+5 = 7
5 TMC5 = max{TMC3 + dE, TMC4 + dF}=max{5 + 1, 7+ 6} = 13
6 TMC6 = TMC3 + dD = 5+4 = 9
7 TMC7 = TMC4 + dG = 7+2 = 9
8 TMC8 = max{TMC5 + dI, TMC6 + dH , TMC7 + dJ} = max{13 +7, 9+8, 9+4} = 20
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
j1
Evento j1
1,i jd
1 1j jTMC TM
2 2j jTMC TMTi iTMC TMT { }1 1 2 2, , ,
min , , ,m mi j i j j i j j i j
TMT TMT d TMT d TMT d= − − −…
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
j2i
Evento j2Evento i
jm
Evento jm
2,i jd
, mi jd
m mj jTMC TMT
⋮
{ },: ( , )
;
: 1:1
min
n n
eventos
i k i kk i k
TMT TMC Tempo Mais Tarde do evento
i n
TMT TMT d∀ ∈
=
= −
= −
conclusão do projecto
para
fim
A
10Fernando DurãoFernando Durão
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
3 6D - 4 i j
Rótulo – di,j
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj5 8 9 12
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos
Ordem do cálculo: do evento 8 (conclusão do projecto) para o evento 1 (início do projecto)
(Sequência de nós/eventos: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
4
5
G - 27
8I - 7
Rede de actividades com Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos calculados
0 0 2 2
7 7
13 13
9 16
20 20
DT =TMC8=20 meses
TMT8= TMC8=20
11Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Resumo dos cálculos do Passo 2
Eventos(Nós por ordem
topológica inversa)
Tempo Mais Tarde (TMT)
dos eventos (meses)
8 TMT8 = 20
7 TMT = TMT - d = 20-4 = 16
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Fernando DurãoFernando Durão
7 TMT7 = TMT8 - dJ = 20-4 = 16
6 TMT6 = TMT8 - dH = 20-8 = 12
5 TMT5 = TMT8 - dI= 20-7 = 13
4 TMT4 = min{TMT5 -dF, TMT7 - dG}=min{13-6, 16-4} = 7
3 TMT3 = min{TMT5 -dE, TMT6 - dD}=min{13-1, 12-4} = 8
2 TMT2 = min{TMT3 -dB, TMT4 - dC}=min{8-3, 7-5} = 2
1 TMT1 = TMT2 - dA= 2-2 = 0
iTMC iTMT jTMC jTMT
FT
,i jLFT,i jLST
,i jd
,i jEST ,i jEFT
,i jd
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e
folga independente (FI) da actividade (i,j)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
,i jd
,i jd
,i jd
,i jFT
,i jFLD
,i jFI,i jd
,i jFLE
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j
Tempo Mais Cedo de Iníco (EST – Earliest Start Time), Tempo Mais Cedo de Conclusão (EFT – Earliest Finish Time)
Tempo Mais Tarde de Início (LST - Latest Start Time), Tempo Mais Tarde de Conclusão (LFT – Latest Finish Time)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
3 6D - 4 i j
Rótulo – di,j
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj5 8 9 12
Passo 3: Cálculo das folgas totais (FT) das actividades
(FTi,j)(3)
Definição de folga total: FTi,j =TMTj-(TMCi+ di,j)
Interpretação: Atraso máximo no início da actividade
sem atrasar o tempo de conclusão do projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
4
5
G - 27
8I - 7
Rede de actividades com cálculo das folgas totais das actividades
0 0 2 2
7 7
13 13
9 16
20 20
DT =d1,2+d2,4+d4,5+d5,8
= dA + dC + dF + dI =20 meses
TMT8= TMC8=20
(FTi,j)
FT1,2 =TMT2-(TMC1 +d1,2)
ou
FTA =TMT2-(TMC1 +dA)
(0)
(0) (0)
(0)
(3)
(3)
(3)
(7)
(7)
(7)
14Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 1 - Resolução
3 6D - 4 i j
Rótulo – di,j
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj5 8 9 12
Passo 4: Determinação dos nós críticos, das actividades críticas e identificação do caminho crítico
(Sequência, do nó 1 ao nó 8, de nós críticos e actividades críticas)
(3) (FTi,j)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
1 2A - 2
4
5
G - 27
8I - 7
Rede de actividades com determinação dos nós críticos (TMC=TMT), actividades críticas (com nós
predecessor e sucessor críticos e folga total 0) e identificação do caminho crítico:
1, A, 2, C, 4, F, 5, I, 8 (ou A-C-F-I) (Nota: Pode haver mais do que 1 caminho crítico)
0 0 2 2
7 7
13 13
9 16
20 20
DT =d1,2+d2,4+d4,5+d5,8
= dA + dC + dF + dI =20 meses
TMT8= TMC8=20
(0)
(0) (0)
(0)
(3)
(3)
(3)
(7)
(7)
(7)
(FTi,j)
15
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Anexo –Formulação de Problema de Optimização Linear para Calcular Duração do projecto
{ } { }
,
. Grafo orientado: ( ) associado à
= 1, 2,3,4,5,6,7,8 ; = (1,2), (2,3), (2,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,7), (5,8), (6,8), (7,8)
. Durações (meses) das actividades : , i j
a
b d
1. Dados
rede de actividadesG = N,A
N A
1 8
( , ) ( , , , , , , , , , )
Tempos Mais Cedo de ocorrência dos eventos: ,
(Início do projecto 0, Conclusão do Projecto (Duração do Proj
A B C D E F G H I J
i
i j d d d d d d d d d d
TMC i
TMC TMC
∀ ∈
∀ ∈
=
2. Variáveis de optimização
A
N
8
ecto))
minimizar z TMC=
3. Função objectivo
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
16
8
1
2 1
3 2
4 2
minimizar
sujeita a:
0
A
B
C
z TMC
TMC
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC d
=
=
− ≥
− ≥
− ≥
4. Restrições / Constrangimentos
5 3
5 4
6 3
7 4
8 6
8 5
8 7
E
F
D
G
H
I
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC d
TMC TMC
− ≥
− ≥
− ≥
− ≥
− ≥
− ≥
−J
d≥
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Para efeitos de planeamento, um dado empreendimento foi decomposto em 7 actividades (identificadas
pelas letras de A a G) cujas precedências directas e durações (em semanas) estão indicadas no quadro
seguinte:
Exercício 2 - Enunciado
ActividadesPrecedência
directa
Duração
(semanas)A - 5B - 10C A, E 5D B 15E B 5
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas
totais das actividades.
c) Qual a duração total do empreendimento se:
c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?
c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?
d) Determine as folgas livre á direita, livre á esquerda e a independente da actividade E
E B 5F C, D 10G D 5
17Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 2 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)
2i j
Rótulo – di,j
Actividade (i,j)
LegendaEvento i Evento j
Início do
projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Comentários
1.Toda a actividade tem dois nós/eventos distintos – evento predecessor e evento sucessor
2. O início das actividades A e B não depende da conclusão de qualquer actividade precedente, pelo que podem iniciar-
se com o evento de início do projecto (tendo o nó 1 como nó predecessor)
1
Actividade (i,j)projecto
3
18
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 2 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
LegendaEvento i Evento j
4C - 5
2
Início do
projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Comentários
Os inícios das actividades C e D dependem das conclusões das actividades A e B, respectivamente
Actividade (i,j)
5D- 15
1
projecto
3
19
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 2 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
LegendaEvento i Evento j
4C - 5
2
Início do
projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Comentários
O início da actividade C depende também da conclusão da actividade E, cujo início depende da conclusão da
actividade B.
Actividade (i,j)
5D - 15
1
projecto
3
E -
5
20Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 2 - Resolução
Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
LegendaEvento i Evento j
4C - 5
2
Início do
projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Comentários: Os inícios das actividades F e G dependem da conclusão das actividades C e D. As actividades F e G
não têm actividades sucessoras, pelo que o nó sucessor deve corresponder ao evento Conclusão do projecto (nó 6).
Actividade (i,j)
6
5D- 15
1
projecto
3
E -
5 Conclusão
do projecto
21Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.
Exercício 2 - Resolução
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
LegendaEvento i Evento j
4C - 5
2
Início do
projecto
Conclusão da construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Actividade (i,j)
6
5D - 15
1
projecto
3
E -
5
Fic
tíci
a -
0
Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: semana)
Conclusão
do projecto
Comentário: O início da actividade F
depende também da conclusão da actividade
D. A fim de não duplicar a actividade D,
introduz-se uma actividade fictícia com
duração de 0 semanas (assinalada a
tracejado), impondo-se assim a relação de
precedência, graças à propriedade
transistiva da relação de precedência: se A
precede B e B precede C, então A precede
C.
22
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)
i1
Evento i11 ,i jd
1 1i iTMC TMT
1 1i iTMC TMTj jTMC TMT
{ }1 1 2 2, , ,
max , , , m mj i i j i i j i i j
TMC TMC d TMC d TMC d= + + +…
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
i2j
Evento i2 Evento j
im
Evento im
2 ,i jd
,mi jd1 1i iTMC TMT
⋮
{ }
1
,: ( , )
0;
2 :
max
eventos
j k k jk k j
TMC Tempo Mais Cedo do evento
j n
TMC TMC d∀ ∈
=
=
= +
início do projecto
para
fim
A
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
23Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 2 – Resolução
4C - 5
2
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)
Ordem do cálculo: do evento 1 (início do projecto) para o evento 6 (conclusão do projecto)
Sequência de nós/eventos: 1, 3, 2, 5, 4, 6
i jRótulo – di,j
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj15 - 25 -
TMC1= 0
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
6
5D - 15
4C - 5
1
2
3
E -
5
Fic
tíci
a -
0
i jRótulo – di,j
0 -
10 - 25 -
35 -
TMC1= 0
DT =TMC6= 35 semanas
Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC) dos eventos calculados
24Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
j1
Evento j1
1,i jd
1 1j jTMC TM
2 2j jTMC TMTi iTMC TMT { }1 1 2 2, , ,
min , , ,m mi j i j j i j j i j
TMT TMT d TMT d TMT d= − − −…
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
j2i
Evento j2Evento i
jm
Evento jm
2,i jd
, mi jd
m mj jTMC TMT
⋮
{ },: ( , )
;
: 1:1
min
n n
eventos
i k i kk i k
TMT TMC Tempo Mais Tarde do evento
i n
TMT TMT d∀ ∈
=
= −
= −
conclusão do projecto
para
fim
A
25Fernando DurãoFernando Durão
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 2 – Resolução
4C - 5
2
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
i jRótulo – di,j
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj15 20 25 25
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos
Ordem do cálculo: do evento 6 (conclusão do projecto) para o evento 1 (início do projecto)
(Sequência de nós/eventos: 6, 4, 5, 2, 3, 1)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
6
5D - 15
4C - 5
1
2
3
E -
5
Fic
tíci
a -
0
i jRótulo – di,j
0 0
10 10 25 25
TMT6= TMC6= 35
35 35
Rede de actividades com Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos calculados
26Fernando DurãoFernando Durão
iTMC iTMT jTMC jTMT
FT
,i jLFT,i jLST
,i jd
,i jEST ,i jEFT
,i jd
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e
folga independente (FI) da actividade (i,j)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
,i jd
,i jd
,i jd
,i jFT
,i jFLD
,i jFI,i jd
,i jFLE
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j
Tempo Mais Cedo de Iníco (EST – Earliest Start Time), Tempo Mais Cedo de Conclusão (EFT – Earliest Finish Time)
Tempo Mais Tarde de Início (LST - Latest Start Time), Tempo Mais Tarde de Conclusão (LFT – Latest Finish Time)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 2 – Resolução
4C - 5
2
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
i jRótulo – di,j
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj15 20 25 25
Passo 3: Cálculo das folgas totais (FT) das actividades
Definição de folga total: FTi,j =TMTj-(TMCi+ di,j)
Interpretação: Atraso máximo no início da actividade sem atrasar o tempo de conclusão do projecto
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
6
5D - 15
4C - 5
1
2
3
E -
5
Fic
tíci
a -
0
i jRótulo – di,j
0 0
10 10 25 25
35 35
Rede de actividades com cálculo das folgas totais das actividades
(FTi,j)
(5)
(0)
(5)
(0)
28Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Exercício 2 – Resolução
4C - 5
2
b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.
i jRótulo – di,j
Legenda
TMCi TMTi TMCj TMTj15 20 25 25
Passo 4: Determinação dos nós críticos, das actividades críticas e identificação do caminho crítico
(Sequência, do nó 1 ao nó 6, de nós críticos e actividades críticas)
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
6
5D - 15
4C - 5
1
2
3
E -
5
Fic
tíci
a -
0
i jRótulo – di,j
0 0
10 10 25 25
35 35
Rede de actividades com determinação dos nós críticos (TMC=TMT), actividades críticas (com nós
predecessor e sucessor críticos e folga total 0) e identificação do caminho crítico:
1, B, 3, D, 5, Ficticia, 4, F, 6 (ou, muito abreviadamente: B-D-F)
(FTi,j)
(5)
(0)
(5)
(0)
29
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)
i1
Evento i11 ,i jd
1 1i iTMC TMT
1 1i iTMC TMTj jTMC TMT
{ }1 1 2 2, , ,
max , , , m mj i i j i i j i i j
TMC TMC d TMC d TMC d= + + +…
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
i2j
Evento i2 Evento j
im
Evento im
2 ,i jd
,mi jd1 1i iTMC TMT
⋮
{ }
1
,: ( , )
0;
2 :
max
eventos
j k k jk k j
TMC Tempo Mais Cedo do evento
j n
TMC TMC d∀ ∈
=
=
= +
início do projecto
para
fim
A
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
30Fernando DurãoFernando Durão
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
j1
Evento j1
1,i jd
1 1j jTMC TM
2 2j jTMC TMTi iTMC TMT { }1 1 2 2, , ,
min , , ,m mi j i j j i j j i j
TMT TMT d TMT d TMT d= − − −…
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
j2i
Evento j2Evento i
jm
Evento jm
2,i jd
, mi jd
m mj jTMC TMT
⋮
{ },: ( , )
;
: 1:1
min
n n
eventos
i k i kk i k
TMT TMC Tempo Mais Tarde do evento
i n
TMT TMT d∀ ∈
=
= −
= −
conclusão do projecto
para
fim
A
31Fernando DurãoFernando Durão
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades
iTMC iTMT jTMC jTMT
FT
,i jLFT,i jLST
,i jd
,i jEST ,i jEFT
,i jd
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Gestão de Projectos
Resumos
Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e
folga independente (FI) da actividade (i,j)
i jRótulo – di,j
Actividade (i,j)
,i jd
,i jd
,i jd
,i jFT
,i jFLD
,i jFI,i jd
,i jFLE
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j
Tempo Mais Cedo de Iníco (EST – Earliest Start Time), Tempo Mais Cedo de Conclusão (EFT – Earliest Finish Time)
Tempo Mais Tarde de Início (LST - Latest Start Time), Tempo Mais Tarde de Conclusão (LFT – Latest Finish Time)