Aula sobre Spin:

Programa Spins e Tabela de Clebsch-Gordon

Jorge C. RomaoInstituto Superior Tecnico, Departamento de Fısica & CFTP

A. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal

2014

Indice

Indice

Programa Spins

Clebsch-Gordon

Jorge C. Romao Slides MQ-Spins – 2

❐ O Programa Spins

❐ Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon

Programa Spins

Indice

Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

Clebsch-Gordon

Jorge C. Romao Slides MQ-Spins – 3

❐ Programa Spins em Java da autoria de

❐ Ver como fazer download e como utilizar na pagina alternativa da disciplinahttp://porthos.ist.utl.pt/ensino/MQ/ano1415/index.html

O setup basico

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

Clebsch-Gordon

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❐ Estado inicial aleatorio (random)

Spin numa direcao arbitaria ~n

Indice

Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

Clebsch-Gordon

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❐ Direcao ~n(θ, φ)

|↑;~n〉 =[

cos(θ/2)

sin(θ/2)eiφ

]

, |↓;~n〉 =[

sin(θ/2)

− cos(θ/2)eiφ

]

❐ Estado inicial |↓ Sz〉 e portanto

〈↑ ~n| ↓ Sz〉 = sin(θ/2)e−iφ, 〈↓ ~n| ↓ Sz〉 = − cos(θ/2)e−iφ,

❐ As probabilidades sao

P (↑ ~n) = sin2(θ/2), P (↓ ~n) = cos2(θ/2)

❐ Para ~n : θ = 45◦, φ = 45◦

P (↑ ~n) = sin2 π/8 = 0.1465, P (↓ ~n) = cos2 π/8 = 0.8535

❐ Para ~n : θ = 60◦, φ = 45◦

P (↑ ~n) = sin2 π/6 = 0.25, P (↓ ~n) = cos2 π/6 = 0.75

Direcao ~n : θ = 45◦, φ = 45

◦

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

Clebsch-Gordon

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Direcao ~n : θ = 60◦, φ = 45

◦

Indice

Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Descobrir “unknown states”

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Tabela de Probabilidades

Estado ↑ Sx ↓ Sx ↑ Sy ↓ Sy ↑ Sz ↓ Sz

Unknown #1 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0

Unknown #2 0.5 0.5 0 1 0.5 0.5

Unknown #3 0.25 0.75 0.067 0.933 0.5 0.5

Unknown #4 0.875 0.125 0.716 0.284 0.25 0.75

❐ Sem perda de generalidade um estado generico escreve-se

|ψ〉 =[

abeiφ

]

, a2 + b2 = 1

com a, b > 0.

❐ Obviamente

|1〉 = |↑ Sz〉 =[

1

0

]

, |2〉 = |↓ Sy〉 =[

1√2

− i√2

]

Descobrir “unknown states”

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Para o estado |3〉 temos

| 〈↑ Sz|3〉 |2 = a2 = 0.5, | 〈↓ Sz|3〉 |2 = b2 = 0.5

e isto implica que a = b = 1/√2 e θ = 90◦. Falta determinar φ.

❐ Para isso temos as probabilidades

| 〈↑ Sx|3〉 |2 =1 + cosφ

2= 0.25, | 〈↓ Sx|3〉 |2 =

1− cosφ

2= 0.75

| 〈↑ Sy|3〉 |2 =1 + sinφ

2= 0.067, | 〈↓ Sy|3〉 |2 =

1− sinφ

2= 0.933

o que da φ = 240◦.

❐ Para o estado |4〉 temos

| 〈↑ Sz|4〉 |2 = a2 = 0.25, | 〈↓ Sz|4〉 |2 = b2 = 0.75

o que da a = 1/2, b =√3/2 e θ = 120◦. Falta entao determinar φ.

Descobrir “unknown states”

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Para o estado |4〉,

| 〈↑ Sx|4〉 |2 =2 +

√3 cosφ

4= 0.875, | 〈↓ Sx|4〉 |2 =

2−√3 cosφ

4= 0.125

| 〈↑ Sy|4〉 |2 =2 +

√3 sinφ

4= 0.716, | 〈↓ Sy|4〉 |2 =

2−√3 sinφ

4= 0.284

❐ Obtemos entao

θ = 120◦, φ = 330◦

❐ Podemos verificar isto com o programa

“Unknown 3”: Direcao ~n : θ = 90◦, φ = 240

◦

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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“Unknown 4”: Direcao ~n : θ = 120◦, φ = 330

◦

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Problema 10.2

Considere o spinor

|ψ〉 = 1√5

[

2

1

]

Qual e a probabilidade que uma medida do operador (3Sx + 4Sy)/5de o valor −~/2?

❐ Devemos ter

~n = (3

5,4

5, 0)

o que da

θ = 90◦, φ = cos−1(3/5) = 53.130◦

Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Problema 10.2

Considere o sistema de spin 1/2 representado pelo spinornormalizado

ψ =1√65

[

4

7

]

Qual a probabilidade que uma medida de Sy de o valor −~/2?

❐ Pode tambem encontrar as probabilidades de Sx = ±~

2e Sz = ±~

2

Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

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•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Acao do Campo Magnetico ~B

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ Precisamos de identificar o que significa o numero no icon do campo magnetico

❐ Para isso considere que no instante t = 0 o sistema tem spin up segundo oeixo dos x, isto e,

ψ(0) =

1√21√2

, ψ(t) =

1√2e−iω0t

1√2eiω0t

onde ω0 = egB/(4me)

❐ Portanto as probabilidade de medir, instante t, Sx com valores ±~/2 sao,

P (Sx =~

2) = cos2(ω0t), P (Sx = −~

2) = sin2(ω0t),

❐ Utilize este resultado e a montagem da figura seguinte para mostrar que

ω0t =π

36= 5◦ =⇒ Uma unidade no espectrometro de campo B

Acao do Campo Magnetico ~B

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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ω0t = 0 ω0t = 30◦

ω0t = 45◦ ω0t = 90◦

Precessao do spin

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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❐ O spin precessa com frequencia 2ω0. Na figura 2ω0t = 2× 45◦ = 90◦

Problema 10.14

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

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Considere a experiencia da Figura seguinte

Sabe-se que o estado inicial tem spin up segundo o eixo dos z. Explique oresultado em termos de precessao do spin no campo B.

Problema 10.14

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Programa Spins

•Estado Random

•Direcao ~n

•θ = 45◦φ = 45

◦

•θ = 60◦φ = 45

◦

•Descobrir

•Unknown 3

•Unknown 4

•Gasiorowicz 10.5

•Gasiorowicz 10.6

•Magnetic Field

Clebsch-Gordon

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Notando que o spin precessa com frequencia 2ω0, temos a situacao descrita nafigura seguinte

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

90

90

90

180

Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon

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•Tabela CG

•Exemplo

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Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1× 1/2

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•Tabela CG

•Exemplo

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1× 1/2 = 3/2 + 1/2

|3/2, 3/2〉

|3/2, 1/2〉 |1/2, 1/2〉 Ortogonais

|3/2,−1/2〉 |1/2,−1/2〉 Ortogonais

|3/2,−3/2〉

J = 3/2

J = 1/2

Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1× 1/2

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•Tabela CG

•Exemplo

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❐ Temos (2× 1 + 1)× 2 = (2× 3/2 + 1) + (2× 1/2 + 1) = 6 states. We get

|3/2, 3/2〉 = |1, 1〉 |1/2, 1/2〉

|3/2, 1/2〉 =√

1/3 |1, 1〉 |1/2,−1/2〉+√

2/3 |1, 0〉 |1/2, 1/2〉

|1/2, 1/2〉 =√

2/3 |1, 1〉 |1/2,−1/2〉 −√

1/3 |1, 0〉 |1/2, 1/2〉

|3/2,−1/2〉 =√

2/3 |1, 0〉 |1/2,−1/2〉+√

1/3 |1,−1〉 |1/2, 1/2〉

|1/2,−1/2〉 =√

1/3 |1, 0〉 |1/2,−1/2〉 −√

2/3 |1,−1〉 |1/2, 1/2〉

|3/2,−3/2〉 = |1,−1〉 |1/2,−1/2〉