Aula Teoria Das Filas

05/11/2009

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Teoria da Filas

Prof. Anderson

Estrutura de Apresentação

Introdução

Aspectos Históricos

Estrutura Básica

Elementos de uma Fila

Características de uma Fila

Varáveis Fundamentais

Relações entre as variáveis

ExemplosExemplos

Notação de Kendall

Modelo M/M/1

Exemplo

Bibliografia

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O que são Filas?Filas, filas,...

• As filas são a “praga” do mundo atual! Espera-se em fila no banco, na portaria,ponto de ônibus no trânsito no restaurante (TEIXEIRA 2008)

Introdução

ponto de ônibus, no trânsito, no restaurante... (TEIXEIRA 2008).

• As formações de filas ocorrem porque a procura pelo serviço é maior do que acapacidade do sistema de atender a esta procura;

• Os motivos para não se aumentar a capacidade de atendimento dos serviçossão: inviabilidade econômica e limitação de espaço;

• A Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrarum ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para oprovedor do serviço (evitar desperdícios e minimizar gargalos).

O que são Filas?

Introdução

As filas no nosso dia-à-dia

A fil ã ã i á iAs filas não são simpáticas

Lei de Murphy

“a fila que anda é a outra, mas não adianta

trocar de fila pois a fila que anda é a outra”

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Aspectos Históricos

Teoria das Filas

• Século XX (1908) na Dinamarca, A. K. Erlang – estudava oredimensionamento de centrais telefônicas.

Simulação

• Surgimento do computador;

• Década de 60;

• Segundo FREITAS FILHO (2001), simulação é a utilização de técnicasá i d d di i i imatemáticas, empregadas em computadores digitais, que permitem

representar o funcionamento de processos reais.

Estrutura Básica

Processo de Chegada

Atendimento

Clientes

Servidores

Fila

População

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Antes de observar o funcionamento de uma fila, é necessário conceituar

melhor alguns termos da Teoria das Filas.

Clientes e Tamanho da População

Processo de ChegadasO processo de chegada determina o padrão de chegada dos clientes no sistema. Aschegadas ocorrem de acordo com as leis da probabilidade; assim é preciso

Clientes e Tamanho da População

Número potencial de clientes que podem chegar ao sistema.

Um cliente é proveniente de uma população (finita ou infinita).

chegadas ocorrem de acordo com as leis da probabilidade; assim, é precisoconhecer qual a distribuição de probabilidade que descreve os tempos entre aschegadas dos clientes.

Parâmetros:

- λ (ritmo médio de chegada);

- IC (intervalo médio entre chegadas).


Processo de Atendimento - Servidores

O processo de atendimento é especificado pelo comportamento do fluxo deusuários atendidos.

É it á l i t i ã t d t di t d dÉ muito provável que exista uma variação no tempo de atendimento de cadacliente no servidor e por este motivo, o tempo de atendimento assim como otempo de chegada é descrito por uma distribuição de probabilidade.

Parâmetros:

- μ (ritmo médio de atendimento);

- TA (tempo ou duração média do serviço ou atendimento).

Postos de Atendimento/ Servidores

É o recurso que processa os clientes. Podem ser físicos ou não.

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Capacidade do Sistema

É o número máximo de usuários que o sistema comporta e pode ser finita ouinfinita. Na capacidade finita, quando esta é atingida, os usuários que chegamaté o instante da próxima liberação são rejeitados.

Disciplina das FilasÉ o critério estabelecido pela gerência do sistema, segundo o qual os usuáriosque se encontram na fila são atendidos quando um posto fica disponível. Dentreas disciplinas mais utilizadas, podem-se citar:

- FIFO (first in – first out): os usuários são atendidos na ordem das chegadas.Ex: Compra de ingressos no cinema

- LIFO (last in – first out): o primeiro usuário a ser atendido é o que chegou por último.Ex: Peças em estoques verticais

-PRI (priority service): o atendimento aos usuários segue uma ou mais prioridadespreestabelecidas pela gerência do sistema.Ex: Cirurgias Hospitalares

-SIRO (Service in random order): o atendimento aos usuários segue uma ordem aleatória.Ex: Consórcios

Variáveis referentes ao sistema:TS = tempo médio de permanência no sistema;NS = número médio de clientes no sistema;

V iá i f t d h d

Variáveis Fundamentais

Variáveis referentes ao processo de chegada:λ = ritmo médio de chegada;IC = intervalo entre chegadas;Por definição: IC = 1/ λ;

Variáveis referentes à fila:TF = tempo médio de permanência na fila;NF = número médio de clientes na fila;;

Variáveis referentes ao processo de atendimento:TA = tempo médio de atendimento ou serviço;c = quantidade de atendentes ou servidores;NA = número médio de clientes que estão sendo atendidos;μ = ritmo médio de atendimento de cada atendente;por definição: TA = 1/ μ;

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Variáveis Fundamentais

Localização das Variáveis:

Relações entre as variáveis

* Little - demonstrou que, para um sistema estável de filas, aplica-se sempre que onúmero de chegadas é igual ao número de saídas (denominado sistema emequilíbrio)

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Em uma mineração, cada caminhão efetua um ciclo em que é carregado deminério por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para odescarregamento e retorna às carregadeiras. Verificou-se que o tempo médio (TS)dos caminhões junto ao britador é de 12 minutos e que em média existem 6

Exemplos

dos caminhões junto ao britador é de 12 minutos e que, em média, existem 6caminhões (NS) no setor. Qual a taxa de chegada de caminhões?

Solução: Queremos encontrar a taxa de chegada.A relação que temos é a de Little: NS = λ.TSLogo: NS = λ.TS e λ = NS/TSPortanto: λ = 6/12 = 0,5 chegada/ minuto.

TS = tempo médio de permanência no sistema;NS = número médio de clientes no sistema;λ = ritmo médio de chegada;

Ainda no exemplo dos caminões, existindo um total de 30 caminhões, em serviço,qual a duração de um ciclo?

Exemplos

Q i l é t t i hã ti d dQueremos o ciclo, que é o tempo gasto para que um caminhão, partindo de umponto de referência qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo ponto.

É também o tempo necessário para que todos os caminhões passem pelo mesmoponto.

Se considerarmos o britador como sendo o ponto de referência e conhecendo

Solução:

agora a taxa de chegada a este ponto, podemos deduzir o tempo gasto para quetodos os caminhões passem por este ponto:

Duração do ciclo: (Quantidade de caminhões)/ λDuração do ciclo = 30/ λ = 30/ 0,5 = 60 minutos.

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No mesmo sistema ainda, qual o tempo médio para o processo completo decarregamento (ou TFS: Tempo fora do sistema)?

Exemplos

Consideremos como o sistema em estudo o espaço formado em torno do britador, no qual temos o caminhão que está sendo descarregado e os outros em fila. Por exclusão, um caminhão está “fora do sistema” quando não ocupa o espaço citado. Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do sistema (TS = 12) mais o tempo fora do sistema (TFS). Logo:

TFS + TS = ciclo = 60 minutos

Solução:

TFS = 60 – 12 = 48 minutos.

Notação de Kendall

A notação de Kendall é muito utilizada para descrever sistemas de fila, sua notação é a seguinte: :

A/B/c/K/m/Z

- A é a distribuição dos intervalos de tempo entre chegadas- B é a distribuição dos tempos de serviço

M = Exponencial (Markov, Memoryless) Em = Erlang de estágio mHm = HyperexponencialD = DeterminísticoG = Geral (para todas as distribuições)

- c é a quantidade de servidores

- K é a capacidade máxima do sistema

- m é o tamanho da população

- Z é a disciplina da fila

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M/D/2/∞/FIFOIndica um processo de filas com tempos de chegadas exponenciais (M), tempos

d i d t i í ti (D) d i id l l (2) id d

Notação de Kendall - Exemplo

de serviço determinísticos (D), dois servidores em paralelo (2), capacidade ilimitada e disciplina FIFO.

Em muitas situações utilizamos apenas os três primeiros símbolos, assumindo assim que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FIFO.

Os clientes chegam, recebem algum atendimento e, então, desocupam o sistema.

Para esse modelo são válidas as definições:

Modelo M/M/1

ç

- λ = Ritmo médio de chegadas;

- IC = Intervalo médio entre chegadas (por definição: IC = 1/λ);

- TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço;

- μ = Ritmo médio de Atendimentos de cada atendente (por definição: TA = 1/μ).

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Para o modelo M/M/1 temos as seguintes relações:

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefônica

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei dePoisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é

Modelo M/M/1 - Exemplo

g p çde 3 minutos e suponhamos que segue a distribuição exponencial. Pede-se:

1) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar?

Temos:

λ = 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos Portanto μ = 20 atendimentos/ horaTA 3 minutos. Portanto, μ 20 atendimentos/ hora.

Logo:

Então: P0 = 1-λ/ μ = 1- (6/20) = 0,7 = 70% de probabilidade.

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2) Qual o número médio de pessoas na fila?

Modelo M/M/1

Temos:


TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora.

Logo: NF = (6)2/ (20(20-6)) = 0,128 pessoas na fila


3) Qual o tempo na fila?

Modelo M/M/1

Temos:


TA = 3 minutos. Portanto, μ = 20 atendimentos/ hora.

Logo: TF = 6/ (20(20-6)) = 0,021 hora ou 1,28 minutos.

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4) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

Modelo M/M/1

A fração do dia durante a qual o telefone está em uso é exatamente igual a (1-P0),isto é, a probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conformecalculado no item “a”, este valor é 30%.

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