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E.E.E.F.M. PROFA. CLOTILDE PEREIRA.DISCIPLINA: MATEMÁTICA SÉRIE: 2ªPROF: JOÃO CARLOS.TRIGONOMETRIA – ESTUDO DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE.
1- ESTUDO DA FUNÇÃO SENO:
Podemos definir a função seno como: sen f ( x )=sen x
π/2=90° C B
D A π=180° 0°
E H
F G 3π/2 = 270°
FUNÇÃO SENOQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT
OSINAL POS POS NEG NEG
ARCOS PRICIPAIS:ARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°sen 0 1 0 - 1 0
Gráfico: f(x) = sen xArco sen Y = f(x)
0° 0 090°=π/2 1 1180°=π 0 0
270°=3π/2 -1 -1360°=2π 0 0
= sen x senóide
Domínio da função f(x) = sen x .
O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe.
Df ( x )=R
Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função seno, ela assume os valores:
Valor mínimo: f ( x )min=−1Valor máximo: f (x)max=1
Logo o conjunto imagem da função é o intervalo:
Im f ( x )=[−1;1 ]
Período: A função seno é uma função periódica, cujo período é 2π. Isto é a partir de 2π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.
Forma modificada da função seno:
f ( x )=D+A sen (b+kx)
D : Representa um deslocamento vertical, isto é, ao longo do eixo Y.A : É uma variação na amplitude da função.b : Representa um deslocamento horizontal, isto é, ao longo do eixo X.k : Modifica o período da função. Para a função seno cujo período é 2π. O novo período é calculado por:
P ( f )=2 πk
Ex: Faça o gráfico da função
f ( x )=2+sen ( π2
+2x )
Determine o Domínio, a Imagem e o período:Solução:Podemos sem fazer o gráfico já determinar o Domínio, a Imagem e o período da função:Domínio: Como não existe restrição para os valores de x o domínio é o conjunto dos reais.
D ( f )=R
A imagem pode ser calculada usando os valores mínimo e máximo que a função seno assume:
Para o mínimo: sen( π2 +2 x)=−1, então:
f ( x )=2+ (−1 )=1
Para o máximo: sen( π2 +2 x)=1, então:
f ( x )=2+1=3
Portanto o conjunto imagem da função é o intervalo:
ℑ ( f )= [1 ;3 ]
O período é dado por:
P ( f )=2 πk
como k=2, então:
P ( f )=2 π2
=π
O gráfico:
Arco sen( π2 +2 x) x Y=f (x )
0° 0−π4
2
π/2 1 0 3
π 0π4
2
3π/2 -1π2
1
2π 03π2
2
Calculo dos valores de x:π2+2 x=0→x=−π
4
π2+2 x=π
2→x=0
π2+2 x=π→ x=π
4π2+2 x=3π
2→x=π
2π2+2 x=2π→ x=3 π
4
Calculo dos valores de Y:
Y=f ( x )=2+sen( π2 +2 x)
Para 0°: Y=2+0=2Para π/2: Y=2+1=3 Para π: Y=2+0=2Para 3π/2: Y=2+(−1)=1Para 2π Y=2+0=2
Gráfico: Y 3
2
1
−π4
0 π4
π2
3π2
X
2- ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO:
f ( x )=cos x
π/2=90° C B
D Aπ=180° 0° cos 2π=360° E H
F G 3π/2=270°
FUNÇÃO COSSENOQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT
OSINAL POS NEG NEG POS
ARCOS PRINCIPAISARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°cos 1 0 -1 0 1
GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = f (x) = cos x
Arco cos Y = f(x)0° 1 1
90°=π/2 0 0180°=π -1 -1
270°=3π/2 0 0360°=2π 1 1
Y = cos x
0Domínio da função f(x) = cos x .
O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe.
Df ( x )=R
Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função cosseno, ela assume os valores:
Valor mínimo: f ( x )min=−1Valor máximo: f (x)max=1
Logo o conjunto imagem da função é o intervalo:
Im f ( x )=[−1;1 ]
Período: A função cosseno é uma função periódica, cujo período é 2π. Isto é a partir de 2π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.
Forma modificada da função seno:
f ( x )=D+A cos(b+kx )
D : Representa um deslocamento vertical, isto é, ao longo do eixo Y.A : É uma variação na amplitude da função.b : Representa um deslocamento horizontal, isto é, ao longo do eixo X.k : Modifica o período da função. Para a função cosseno cujo período é 2π. O novo período é calculado por:
P ( f )=2 πk
Ex: Faça o gráfico da função
f ( x )=2+cos( π2+2x )
Determine o Domínio, a Imagem e o período:
3- FUNÇÃO TANGENTE:
f ( x )=tg x tg x
B π/2=90° F
A Eπ=180° 0° 2π=360° D H 3π/2=270° C G
FUNÇÃO TANGENTEQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT
OSINAL POS NEG POS NEG
ARCOS PRINCIPAISARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°cos 0 ∄ 0 ∄ 0
Gráfico da função Y=f(x)=tg xArco Tg Y = f(x)
0° 0 090°=π/2 ∄ ∄180°=π 0 0
270°=3π/2 ∄ ∄360°=2π 0 0
Y=tg x
X 0°
Domínio da função f(x) = tg x .
O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe. A função tangente não existe para x= π/2 + kπ com k=1,2,3,....
Df ( x )={xϵ R /x ≠ π2+kπ }
Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função tangente, ela assume os valores:
Valor mínimo: f ( x )min=−∞Valor máximo: f (x)max=+∞
Logo o conjunto imagem da função é o conjunto dos reais:
Im f ( x )=R
Período: A função tangente é uma função periódica, cujo período é π. Isto é a partir de π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.
Ex: Para que valores de x existe a função f(x)= tg 3x.
Pela definição do domínio temos:
3 x≠π2+kπ
x≠π6+k π3
Ex2: Qual o domínio da função real definida por
f ( x )=tg(2x− π3).
Ex3: Esboce o gráfico e dê o domínio da funçãof ( x )=tg¿)
(I João 5:4-5) - Porque todo o que é nascido de Deus vence o mundo; e esta é a vitória que vence o mundo, a nossa fé. Quem é que vence o mundo, senão aquele que crê que Jesus é o Filho de Deus?EXERCÍCIOS:1ª) Faça o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções abaixo:
a) f ( x )=3−sen xb) f ( x )=4+2cos x
c) f ( x )=2+3 sen( π6 +2x )d) f ( x )=3+2cos( π3 +3 x )
2ª)( Unesp-SP) Observe o gráfico abaixo:
Y(x)
2
π6
0 π3
π2
2π3
x
-2
Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função Y(x) é:
a) – 2 cos (3x)b) – 2 sen (3x)c) 2 cos (3x)d) 3 sem (2x)e) 3 cos (2x)
3ª) (Vunesp, adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura em °C do solo da região compreendida entre os Municípios de Mojú e Tailândia, em uma pesquisa para verificar a viabilidade de implantação de um plantio de dendê em alta escala, visto que a região já tem uma grande produção do produto. A coleta durou 3 dias e foi feita em intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou ás 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função:
T (t )=23+6. sen( π12 t+ 3π2 )Em que t indica o tempo em horas decorrido após o início da observação, e T (t) a temperatura em °C no instante t. Então a temperatura máxima registrada e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação , são respectivamente:
a) 23°C e 12 h d) 26°C e 18 h b) 23°C e 18 h e) 29°C e 12 hc) 29°C e 18 h