Aula_03 Sistemas Não lineares

7/23/2019 Aula_03 Sistemas Não lineares

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Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.

Escritas dasEquacoes

Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares

Otimizando osPontos de

Equilıbrio com

Meto dos De-terminısticos

Leitura

Bibliografia

Sistemas Nao Lineares

Aula 03 – Metodos determinısticos Aplicados a SNL

Prof. Wesley Pacheco Calixto, Dr.

Email: [email protected]ıtio: http://www.nextgo.org

Instituto Federal de Goias

December 3, 2015, Goiania

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Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Sumario

1 Escritas das Equacoes

2 Entendendo o Plano de Fase

3 Analise Qualitativa dos Sistemas Nao Lineares

4 Otimizando os Pontos de Equilıbrio com MetodosDeterminısticos

5 Leitura

6 Bibliografia

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Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.

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Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.

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Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes

1 Desconsiderando o atrito com o ar.

P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)

2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da

gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o

comprimento do arco.

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Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento



P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)




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Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento



P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)




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Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Equacionamento



P = m · g

P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)




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Sistemas Nao

Lineares

Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento



P = m · g P y = P · cos θ

P x = P · sin θ

(1)




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Sistemas Nao

Lineares

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Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento

Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:

md 2S a

dt 2 = −mg sin θ (2)

2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento


md 2S a


2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento


md 2S a


2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

Leitura

Bibliografia

Equacionamento


md 2S a


2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

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Bibliografia

Equacionamento


md 2S a


2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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terminısticos

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Bibliografia

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md 2S a


2 Sendo S a:

S a = L · θ (3)

3 Tem-se:

Ld 2θ

dt 2 = −g sin θ (4)

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Equilıbrio com

Meto dos De-

terminısticos

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Bibliografia

Equacionamento


1

A expressao (4) pode ser escrita:

Lθ = −g sin θ (5)

2

Que e a expressao das aulas anteriores.

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terminısticos

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1



2


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Equilıbrio com

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terminısticos

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Bibliografia

Equacionamento


1



2


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Equilıbrio com

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terminısticos

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Bibliografia

Equacionamento


1



2


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Equilıbrio com

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terminısticos

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Bibliografia

Equacionamento


Apresentar Animacao 1 do Pendulo.

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Meto dos De-

terminısticos

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Equacionamento

Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.

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Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.

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Equacionamento

Entendendo o Plano de Fase

1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)


E i

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E i

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Equilıbrio com

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E i t

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Equilıbrio com

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terminısticos

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Equacionamento


1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na

determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.

2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem

recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.

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terminısticos

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Equacionamento






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Bibliografia

Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo estavel.

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Equacionamento

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesNo instavel.

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Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesFoco estavel.

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Equacionamento

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quac o a e to

Analise Qualitativa dos Sistemas Nao LinearesCentro.

Metodos Determinısticos

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terminısticos

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Bibliografia

Metodos de Otimizacao Determinısticos

Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a

primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.


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terminısticos

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A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.


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terminısticos

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A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.

Estes metodos apresentam teoremas que lhes garantem aconvergencia para uma solucao otima que nao enecessariamente a solucao otima global.


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Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:


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Bibliografia



1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.


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Bibliografia



1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.

2 Programacao Nao-Linear: Quando a funcao objetivo

f (x ), ou pelo menos uma das restricoes, e uma funcaonao-linear das variaveis do problema (sistemas naolineares).


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Algoritmos de Programacao Linear

1 Programacao Linear:


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1

Simplex (metodo mais tradicional);


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1

Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;


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Bibliografia



1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;


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Bibliografia



1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;


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Bibliografia



1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;


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Bibliografia




6 Yamnitsky-Levin;


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6 Yamnitsky-Levin;7 Inteira etc.


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Bibliografia

Algoritmos de Programacao Nao Linear

2 Programacao Nao-Linear:


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1 Newton, Newton Modificado (metodo mais

tradicional);


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tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);


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tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);


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tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;


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tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;


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Bibliografia




tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);


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tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);7 Elipsoidal etc.


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Bibliografia


A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;


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Bibliografia


A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;

O software MatLab tambem conta com um Tool Box deotimizacao.


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Bibliografia

Rotina de Otimizacao no MatLab

Um exemplo nao linear irrestrito:


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Bibliografia



2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:

Ou seja, sem restricao.


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Bibliografia



2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:

min F (x 1,x 2) = 100 ·

x 2 − x 21

+ (1 − x 1)2

sujeito a :x 1 e x 2 ∈ Ω ⊂ R2

(6)

Ou seja, sem restricao.


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Analise

Qualitativados Sistemas

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Bibliografia


Um exemplo nao linear restrito:


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3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:


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Bibliografia




min F (ξ,δ ) = e ξ

4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1

sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2

ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0

ξδ ≥ −10(7)


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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia




min F (ξ,δ ) = e ξ

4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1

sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2

ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0

ξδ ≥ −10(7)

Ou seja, com restricao.


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Bibliografia




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Analise


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Equilıbrio com


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Bibliografia



Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.


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Analise


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Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia



Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.

Faca a mudanca da semente sempre observando o valor deF (ξ,δ ) (fval, funcao de avaliacao etc.).


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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia




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Analise


Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia

Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch


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Analise


Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia


2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon


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Analise


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Equilıbrio com


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Bibliografia



3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒

fminbnd


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Bibliografia




fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog


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Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

Analise


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Equilıbrio com


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5 Programacao quadratica =⇒ quadprog

S N


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6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog

Si N˜


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7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero

Sist s N˜


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8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve

Sistemas Nao


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8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve

9 Outras

Sistemas Nao


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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada

Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario

responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?

Sistemas Nao


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Plano de Fase

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Nao Lineares


Equilıbrio com


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responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.

Sistemas Nao


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Plano de Fase

Analise


Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia



responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.

Para isto ha a necessidade de formular uma expressao quequantifique o statu de cada candidato, ou seja, querepresente o quao boa uma determinada solucao esta.

Sistemas Nao


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Lineares

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Plano de Fase

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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,

podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.

Sistemas Nao


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Lineares

Calixto, W. P.


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Plano de Fase

Analise


Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia


Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,

podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.

Assim sendo:

f (x 1,x 2) = [max(x 1) − min(x 1)] + [max(x 2) − min(x 2)](8)

Sistemas Nao


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Lineares

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Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:

Sistemas Nao


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Nao Lineares


Equilıbrio com


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O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:

Sistemas NaoLi


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Analise


Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia



O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:


Sistemas NaoLi


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Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:



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Lineares

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Nao Lineares


Equilıbrio com


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u 1

= u 2u 2 = −g L

sin(u 1) (10)



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Lineares

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Plano de Fase

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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia



u 1

= u 2u 2 = −g L

sin(u 1) (10)

a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.



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Lineares

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Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia



u 1 = u 2u 2 = −g

L sin(u 1) (10)

a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.

b) No pplane, coloque os valores das variaveis−10 ≤ x 2, x 1 ≤ 10 e g = 9.8, L = 0.5.



O i i ˜ d Si N˜ Li d A l P d

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Lineares

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Nao Lineares


Equilıbrio com


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Bibliografia


Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane




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Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia


Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio



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Bibliografia





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Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia


Sistema Caotico



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AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia


Sistema Caotico

Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar

grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.



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AnaliseQualitativa

dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia


Sistema Caotico

Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar

grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.Seja o seguinte sistema:

x + 0.1x + x 5 = 6sin(t ) (11)




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AnaliseQualitativa

dos Sistemas

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Leitura

Bibliografia


Tela do pplane




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dos Sistemas

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Bibliografia


Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane




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dos Sistemas

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Bibliografia

¸




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dos Sistemas

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Leitura

Bibliografia




Material Didatico

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dos Sistemas

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Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Leitura

1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de

Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura

complementar 1.


Material Didatico

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Calixto, W. P.


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dos Sistemas

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Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Leitura

1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de

Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura

complementar 1.


C li W P

Referencias

Bibliografia

http://find/



Calixto, W. P.


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dos Sistemas

Nao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 KHALIL, H. K. Nonlinear systems. New Jersey (EUA):3a Ed. Prentice Hall, 2002.

2 MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinamicos. 2a Ed.Livraria da Fısica, 2006.

3 HEMERLY, E. M. Controle por computador de sistemasdinamicos. Sao Paulo: 2a Ed. Edgar Blucher, 2000.

4 VIDYASAGAR, M. Nonlinear systems analysis.Philadelphia (EUA): 2a Ed. SIAM Society for Industrial

and Applied Mathematics, 2002.5 SLOTINE, J. J. E.; LI, W. Applied nonlinear control.

New Jersey (EUA): Prentice Hall, 1991.


C li t W P

Referencias

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http://find/

http://goback/



Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa

dos SistemasNao Lineares


Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 Bazaraa, M. S.; Sherali, H. D.; Shetty, C. M.Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. JohnWiley & Sons, 2006.

2 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: MetodosComputacionais. Impa. 2007.

3 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: Condicoes deOtimalidade, Elementos de Analise Convexa e de

Dualidade. Impa. 2007.


Calixto W P

Referencias

http://find/



Calixto, W. P.


Entendendo o

Plano de Fase

AnaliseQualitativa



Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Bibliografia

1 Cottle, R. W. Nonlinear Programming. Siam AMSProceedings, 1976.

2

Souza, A. C. Z; Pinheiro, C. A. M.. Introducao aModelagem, Analise e Simulacao de Sistemas Dinamicos.Editora Interciencia. 2008.

3 Aguirre, L. A.. Introducao a Identificacao de Sistemas:Tecnicas Lineares e Nao Lineares Aplicadas a Sistemas

Reais. 3a Ed., Editora UFMG. 2007.


Calixto W P

Referencias

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Calixto, W. P.


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Plano de Fase

AnaliseQualitativa



Equilıbrio com


Leitura

Bibliografia

Bibliografia1 L. Chwif; A. C. Medina. Modelagem e Simulacao de

Eventos Discretos: Teoria & Aplicacao. 3a Ed., Edicao doAutor. 2010.

2

Harrel et. al. Simulacao: Otimizando os Sistemas. 5a

Ed., Edicao do Autor. 2002.

3 Silva, G. V. M.. Controlo Nao Linear. Escola Superior deTecnologia, Instituto Politecnico de Setubal. 2003.

4 Rios Neto, A.. Controle Otimo de Sistemas Dinamicos:Notas de aulas e exemplos de aplicacao. Sao Jose dosCampos. 2012.

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Aula_03 Sistemas Não lineares