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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.

AULA 00 500 QUESTES COMENTADAS DE MATEMTICA CESPE

PROFESSOR: CSAR FRADE

Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1

Ol pessoal! Esse o primeiro curso de um projeto diferente, inovador. Com esse projeto vou tentar mostrar atravs de exerccios que as provas de Raciocnio Lgico, Contagem e Probabilidade, Matemtica e Matemtica Financeira podem se tornar bem simples. Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de Oliveira Frade, sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil BACEN aprovado no concurso de 1997. Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela Chicago Board of Trade CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com nfase em Finanas na Universidade de Braslia e o Doutorado, pela mesma Universidade, est faltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos. Comecei no Banco Central trabalhando com a emisso de ttulos da dvida pblica externa. De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais na Secretaria de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em todas as mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham ligao direta com o Conselho Monetrio Nacional CMN. Voltei ao BACEN para trabalhar na rea de risco com derivativos em um Departamento da rea de Fiscalizao. No incio de 2012 fui cedido para a Presidncia da Repblica e sou Coordenador da rea de Estudos e Planejamento na Secretaria de Aviao Civil. Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Matemtica, Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e Econometria. Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado

1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo.

2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Revista Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantes Congressos de Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercado de cmbio e as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco. 3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.

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aula em mais de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pas, desde presenciais at via satlite. Esse novo projeto ser composto de 6 cursos cada um deles com 500 Questes resolvidas. Sero os seguintes cursos: 500 Questes Comentadas de Matemtica CESPE 500 Questes Comentadas de Matemtica FCC 500 Questes Comentadas de Matemtica FGV 500 Questes Comentadas de Matemtica ESAF 500 Questes Comentadas de Matemtica CESGRANRIO 500 Novas Questes Comentadas de Matemtica CESPE

Observe que teremos dois cursos do CESPE. Nessa Aula Demonstrativa estarei tentando mostrar para vocs a forma como irei resolver todas as questes do curso. Todas elas sero exaustivamente comentadas e ainda teremos alguns destaques que devero ser calmamente apreciados com o intuito de reforar o aprendizado e chamar a ateno para aspectos importantes da resoluo. A minha ideia no apenas resolver a questo, mas tambm mostrar as vrias formas de soluo e alguns truques para que a soluo seja feita de forma mais rpida. Esse curso ser composto por 10 aulas com 50 Questes cada uma. As questes presentes na Aula Demonstrativa sero inseridas nas aulas especficas dos temas. Alm disso, importante destacar que sero resolvidas as 500 Questes mais recentes de cada banca. Com isso, ser possvel observar a tendncia atual de cada banca. No final de cada aula ter uma lista dos exerccios propostos e resolvidos. Minha sugesto que vocs tentem fazer o exerccio antes de ver a soluo. Em geral, cada aula ser dedicada a um macro assunto (por exemplo, juros simples e compostos). Saliento que no haver uma ordem fixa para os assuntos serem mostrados, essa ordem poder ser modificada medida que

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um edital sair e contemplar o assunto X e deixar de fora o assunto Y. claro que passarei a tratar o assunto X antes do Y. Contedo Programtico (uma aula quinzenal Segundas): Aula 0 01/02/2012 Aula 1 27/02/2012 Aula 2 12/03/2012 Aula 3 26/03/2012 Aula 4 09/04/2012 Aula 5 23/04/2012 Aula 6 07/05/2012 Aula 7 21/05/2012 Aula 8 04/06/2012 Aula 9 18/06/2012 Aula 10 02/07/2012 Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente, auxili-lo na preparao para o concurso do CESPE. Estou fazendo esse curso para que seja definitivo no seu aprendizado. As dvidas sero sanadas por meio do frum do curso, a que todos os matriculados tero acesso. As crticas ou sugestes podero ser enviadas para: [email protected]. Finalmente, gostaria de dizer a vocs que alm do mostrar a soluo tambm irei mostrar como proceder para acertar a questo sem que seja necessria a sua soluo, caso seja possvel.

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Prof. Csar Frade FEVEREIRO/2012

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Enunciado para as questes 1 a 3 O gerente de um banco formou uma equipe de escriturrios para efetivar a abertura das contas-correntes dos 1.920 empregados de uma empresa. Sabe-se que, nessa equipe, cada escriturrio efetiva a abertura da conta de um empregado da empresa em 5 minutos, que todos os escriturrios trabalham no mesmo ritmo, e que esse trabalho ser concludo em 2 dias, trabalhando-se 8 horas em cada dia. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem. Questo 1 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Com os elementos dessa equipe de escriturrios podero ser formados 45 grupos distintos, compostos, cada um, por 2 escriturrios. Resoluo: Essa questo solicita que saibamos quantos grupos distintos de 2 escriturrios podem ser formados. Para que isso seja feito devemos fazer uma combinao do nmero de escriturrios 2 a 2. Entretanto, a questo no informa o nmero de escriturrios que esto disposio do Banco. Portanto, esse o nosso primeiro passo. Cada escriturrio precisa de 5 minutos para abrir uma conta e, assim, abre 12 contas por hora. = 60 5 = 12 Como o escriturrio trabalha 8 horas por dia, em dois dias ele ser capaz de abrir: = 12 8 2 = 24 8 = 192

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Portanto, trabalhando 8 horas por dia e abrindo uma conta a cada 5 minutos, um nico escriturrio capaz de abrir 192 contas em dois dias. Como a empresa em questo tem 1920 empregados, sero necessrios 10 escriturrios para abrir todas essas contas em apenas dois dias, com os dados fornecidos. Dessa forma, se fizermos a combinao de dez dois a dois, podemos verificar quantos grupos distintos de 2 escriturrios podem ser formados. = 10!8! 2! = 10 9 8!8! 2 1 = 902 = 45 Sendo assim, a questo est CERTA, pois so formados 45 grupos distintos de 2 escriturrios. Gabarito: C Questo 2 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Em 9 horas e 10 minutos de trabalho, 6 escriturrios efetivaro a abertura das contas-correntes de 660 empregados da empresa. Resoluo: Sabemos que a cada hora, um escriturrio pode abrir 12 contas. = 60 5 = 12 Em 9 horas, ele abre o seguinte nmero de contas: 9 10 = 9 12 + 105 = 108 + 2 = 110 Portanto, um nico escriturrio consegue abrir 110 contas em 9 horas e 10 minutos. E, dessa forma, 6 escriturrios conseguiro abrir 660 contas.

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500 QUESTES COMENTADAS DE MATEMTICA PROFESSOR: CSAR FRADE

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Sendo assim, a questo est Gabarito: C Questo 3 (CESPE BRB Escriturrioempregados da empresa, 8 escriturrios precisaro trabalhar durante mais de 3 horas e 25 minutos. Resoluo: Preste bastante ateno nesse tipo de questo.

Ns no queremos saber quantas contas

podero ser abertas por 8 escriturrios trabalhando 3 horas e 25 minutos. Nossa inteno, descobrir se a questo est certa ou errada.

Se 8 escriturrios abrem 312 contas, ento cada escriturrio Agora, basta sabermos quanto tempo cada escriturrio gasta para abrir 39 contas. Se o resultado encontrado for igual a 3 horas e 25 minutos a questo est certa, caso contrrio, estar errada. Como a cada hora, um escriturrio consegue abrir 12 contas, em 3 horas sero abertas 36 contas. Portanto, ele gastaria mais 15 minutos para abrir as outras 3 (lembre-se que so 5 minutos por conta). Dessa forma, para abrir 39 contas, um escriturrio levar 3 horas e 15 minutos.


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Sendo assim, a questo est CERTA.

Escriturrio 2011) Para abrir as contas-empregados da empresa, 8 escriturrios precisaro trabalhar durante mais de

Preste bastante ateno nesse tipo de questo.

Ns no queremos saber quantas contaspodero ser abertas por 8 escriturrios trabalhando 3 horas e 25 minutos. Nossa inteno, descobrir se a questo est certa ou errada.

Se 8 escriturrios abrem 312 contas, ento cada escriturrio abrir: 312 8 39 Agora, basta sabermos quanto tempo cada escriturrio gasta para abrir 39

encontrado for igual a 3 horas e 25 minutos a questo est certa, caso contrrio, estar errada.

Como a cada hora, um escriturrio consegue abrir 12 contas, em 3 horas sero abertas 36 contas. Portanto, ele gastaria mais 15 minutos para abrir as outras

se que so 5 minutos por conta).

Dessa forma, para abrir 39 contas, um escriturrio levar 3 horas e 15

AULA 00 CESPE

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-correntes de 312 empregados da empresa, 8 escriturrios precisaro trabalhar durante mais de

Ns no queremos saber quantas contas-correntes podero ser abertas por 8 escriturrios trabalhando 3 horas e 25 minutos. Nossa inteno, NICA, descobrir se a questo est certa ou errada.

abrir: Agora, basta sabermos quanto tempo cada escriturrio gasta para abrir 39

encontrado for igual a 3 horas e 25 minutos a questo

Como a cada hora, um escriturrio consegue abrir 12 contas, em 3 horas sero abertas 36 contas. Portanto, ele gastaria mais 15 minutos para abrir as outras

Dessa forma, para abrir 39 contas, um escriturrio levar 3 horas e 15

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Sendo assim, a questo est ERRADA. Gabarito: E Enunciado para as questes 4 e 5 Uma empresa contratou 16 novos profissionais, para as reas I e II. Para os profissionais da rea I, o salrio mensal de R$ 2.250,00, e de R$1.650,00, para os da rea II. Com esses novos profissionais, a despesa mensal de salrios ser superior a R$ 29.700,00 e inferior a R$ 30.300,00. A respeito dessa situao, julgue os itens subsequentes. Questo 4 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Os nmeros que representam as despesas mensais da empresa com os salrios dos novos profissionais das reas I e II so diretamente proporcionais a 9 e 11. Resoluo: Essa questo pode ser desenvolvida de vrias formas. Observe que temos duas reas possveis e que o nmero total de contratados igual a 16. Sabemos o salrio do profissional de cada rea, mas no temos o salrio total gasto. Entretanto, o intervalo do valor total dos salrios pagos bastante pequeno (superior a R$29.700,00 e inferior R$30.300,00) e, assim, podemos escolher um nmero nesse intervalo para ser o valor (chutado) do gasto total da empresa. Dessa forma, montamos um sistema. No entenderam? Ento vamos l. O valor gasto com os 16 funcionrios superior a R$29.700,00 e inferior a R$30.300,00. Chute um nmero entre esses valores. Isso mesmo!!! Todos chutaram R$30.000,00. Sei que muitos devem estar se perguntando o que fazer com isso. Voc vai fazer um sistema e encontrar quantos funcionrios de cada rea foram contratados. Se o valor total correto no for R$30.000,00, o nmero de

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funcionrio no ser redondo. A, vamos arredondar para o nmero mais prximo.

Vrios exerccios podem s

Fique sempre atento a essa possibilidade, principalmente, quando o examinador comear a falar de duas grandezas (salrio e nmero de funcionrios, nesse caso).

Se a questo tivesse afirmado o nmero de funcionrios de cada rea,esse sistema tem soluo nica.

A primeira equao do sistema mostrar o nmero de funcionrios. Denotaremos por X os funcionrios da rea 1 e por Y os funcionrios da rea 2. Como o nmero total igual a 16, 16 A segunda equao do sistema a equao dos salrios e gastos totais. Se o salrio dos funcionrios da rea I igual a R$2.250,00 e eles somam X funcionrios e o salrio dos funcionrios da rea II iguasomam Y funcionrios, temos a seguinte equao: 2.250 1.650 30.000 Podemos dividir por 10 e, passaramos a ter: 225 165 3.000 Portanto, o sistema ficaria da seguinte forma: 16 225 165 3.000 Esse sistema pode ser resolvido tanto pelo mtodo da substituio quanto pelo mtodo da adio. A soluo pelo mtodo da adio, talvez, seja a forma mais



funcionrio no ser redondo. A, vamos arredondar para o nmero mais

Vrios exerccios podem ser resolvidos por sistema. Fique sempre atento a essa possibilidade, principalmente, quando o examinador comear a falar de duas grandezas (salrio e nmero de funcionrios, nesse caso). Se a questo tivesse afirmado o nmero de funcionrios de cada rea, bastava testar os nmeros, uma vez que esse sistema tem soluo nica.

A primeira equao do sistema mostrar o nmero de funcionrios. Denotaremos por X os funcionrios da rea 1 e por Y os funcionrios da rea 2. Como o nmero total igual a 16, temos que a primeira equao se torna:

A segunda equao do sistema a equao dos salrios e gastos totais. Se o salrio dos funcionrios da rea I igual a R$2.250,00 e eles somam X funcionrios e o salrio dos funcionrios da rea II igual R$1.650,00 e eles somam Y funcionrios, temos a seguinte equao:

Podemos dividir por 10 e, passaramos a ter:

Portanto, o sistema ficaria da seguinte forma: sistema pode ser resolvido tanto pelo mtodo da substituio quanto pelo

mtodo da adio. A soluo pelo mtodo da adio, talvez, seja a forma mais

AULA 00 CESPE


funcionrio no ser redondo. A, vamos arredondar para o nmero mais

er resolvidos por sistema. Fique sempre atento a essa possibilidade, principalmente, quando o examinador comear a falar de duas grandezas (salrio e nmero de funcionrios,

Se a questo tivesse afirmado o nmero de funcionrios bastava testar os nmeros, uma vez que

A primeira equao do sistema mostrar o nmero de funcionrios. Denotaremos por X os funcionrios da rea 1 e por Y os funcionrios da rea 2.

temos que a primeira equao se torna:

A segunda equao do sistema a equao dos salrios e gastos totais. Se o salrio dos funcionrios da rea I igual a R$2.250,00 e eles somam X

l R$1.650,00 e eles

sistema pode ser resolvido tanto pelo mtodo da substituio quanto pelo mtodo da adio. A soluo pelo mtodo da adio, talvez, seja a forma mais

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





simples nesse caso. Vamos multiplicar a primeira equao por (-165) e, assim, cancelar o Y. + = 16 165 165 165 = 2.640 Colocando as duas equaes juntas: 165 165 = 2.640 225 + 165 = 3.000

60 = 360 Portanto, X igual a 6 e, assim, so 6 funcionrios da rea I. Observe que chutamos o valor de R$30.000,00 por ser o nmero redondo que estava no intervalo. Se o resultado final fosse uma frao, faramos o arredondamento para o inteiro mais prximo e prosseguiramos com a soluo. Para nossa sorte, encontramos um nmero inteiro. Substituindo na primeira equao do sistema, temos: + = 16 6 + = 16 = 10 Observe que a questo informa que o gasto mensal com os funcionrios das reas I e II proporcional aos nmeros 9 e 11. Veja bem, o examinador fala de gasto mensal. Com isso, devemos encontrar qual foi o gasto mensal com cada rea. = 2.250,00 6 = 13.500,00 = 1.650,00 10 = 16.500,00 Para sabermos se os nmeros so diretamente proporcionais a 9 e 11, respectivamente, basta dividirmos os resultados encontrados por esses nmeros. Caso o resultado da diviso seja igual, eles so diretamente proporcionais, caso seja diferente no sero diretamente proporcionais.

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Proporo rea I = 13.5009 = 1500,00 Proporo rea II = 16.50011 = 1500,00 Podemos tambm, aps calcularmos o que foi chamado de proporo rea II, multiplicarmos o resultado por 11 e verificar se encontramos o valor do gasto com os funcionrios da rea. Ou seja, 1.500,00 11 = 16.500,00 Sendo assim, a questo est CERTA. Gabarito: C Questo 5 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Da despesa mensal para o pagamento dos salrios desses novos profissionais, mais da metade ser destinada aos da rea I. Resoluo: Aps encontrarmos a despesa mensal com os funcionrios de cada rea, fica simples verificarmos essa questo. Observe que o gasto total com funcionrios da ordem de R$30.000,00. A metade desse valor igual a R$15.000,00. Como so gastos apenas R$13.500,00 com funcionrios da rea I, vemos que o gasto com esse tipo de funcionrio menor do que a metade dos gastos totais. Sendo assim, a questo est ERRADA. Gabarito: E Enunciado para as questes 6 e 7

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Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fbrica expressa pela funo f(x) = 10.000(x2 14x + 13). O custo de produo desses x milhares de unidades, tambm em reais, estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue os prximos itens. Questo 6 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Com a venda de qualquer quantia do produto, superior a 2.000 unidades, o lucro lquido da fbrica ser sempre positivo. Resoluo: Essa questo pode ser resolvida sem que seja feita nenhuma operao. Sabemos que uma grandeza quando elevada ao quadrado, cresce muito mais rapidamente do que quando ela est elevada ao grau 1. Se pegarmos a funo da receita veremos que ela tem o seguinte formato final: = 10.000 + 140.000 130.000 Se pegarmos um nmero grande de unidades, por exemplo, 20.000, o valor de x ser igual a 20. Dessa forma, teramos 202 = 400 vezes -10.000 e esse valor bem superior a 140.000 vezes 20. Assim, a receita seria algo negativo. Muito estranho, concordo e, na prtica, no faz muito sentido. Mas, essa foi a questo proposta. Por outro lado, o custo tem uma funo positiva em relao ao aumento de x, ou seja, o custo aumento medida que a produo aumenta. Portanto, podemos ter para valores grandes de produo um lucro lquido negativo se o lucro lquido nada mais do que a diferena entre a receita e o custo. ! = " Se a receita for negativa e o custo positivo, o lucro lquido, com toda certeza, ser um nmero negativo.

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Sendo assim, a questo est Gabarito: E Questo 7 (CESPE BRB Escriturrioobtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto. Resoluo: Para que ns possamos encontrar o lucro lquido mximo devemos calcular a funo do lucro, deriv-la e igual J sei. Voc no sabe o que derivar e tambm no sabe quando usar uma derivada, certo? Isso um ponto importante. Vamos l.

Voc deve derivar

MXIMO Como fazer?

J sei. Vocs no sabem o que derivar, no mesmo? Na verdade, voc precisa aprender apenas a derivar um polinmio e isso no complicado. No h necessidade de aprender o que est por trs da derivada, pois seria uma perda de tempo aqui. Voc tem que saber concorda? A, todas as questes sero acertadas. Quando derivar? Voc deve derivar SEMPRE que a questo pedir para voc calcular o mximo ou o mnimo de alguma coisa, nesse caso, o mximo lucro. Como derivar? Vamos l. Vou explicar.



Sendo assim, a questo est ERRADA.

Escriturrio 2011) O lucro lquido mximo da fbrica ser obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

Para que ns possamos encontrar o lucro lquido mximo devemos calcular a la e igual-la a zero.

J sei. Voc no sabe o que derivar e tambm no sabe quando usar uma derivada, certo? Isso um ponto importante. Vamos l.

Voc deve derivar SEMPRE que a questo solicitar o MXIMO ou o MNIMO de alguma varivel.Como fazer? Derive e iguale a funo a zero

J sei. Vocs no sabem o que derivar, no mesmo? Na verdade, voc precisa aprender apenas a derivar um polinmio e isso no complicado. No h necessidade de aprender o que est por trs da derivada, pois seria uma

aqui. Voc tem que saber COMO e QUANDOconcorda? A, todas as questes sero acertadas.

Quando derivar? Voc deve derivar SEMPRE que a questo pedir para voc calcular o mximo ou o mnimo de alguma coisa, nesse caso, o mximo lucro.

r? Vamos l. Vou explicar.

AULA 00 CESPE


O lucro lquido mximo da fbrica ser

Para que ns possamos encontrar o lucro lquido mximo devemos calcular a

J sei. Voc no sabe o que derivar e tambm no sabe quando usar uma

que a questo solicitar o de alguma varivel.

a funo a zero.

J sei. Vocs no sabem o que derivar, no mesmo? Na verdade, voc precisa aprender apenas a derivar um polinmio e isso no complicado. No h necessidade de aprender o que est por trs da derivada, pois seria uma

QUANDO derivar,

Quando derivar? Voc deve derivar SEMPRE que a questo pedir para voc calcular o mximo ou o mnimo de alguma coisa, nesse caso, o mximo lucro.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





Quando estamos falando de uma derivada, falamos que derivamos uma funo em relao a uma varivel. Se apresentarmos4 , estamos dizendo que iremos derivar a funo y em relao varivel x. Observe que apesar de aparecer no denominador no estamos dividindo por x, apenas derivando em relao a ele. O que isso representa? Quando fazemos uma derivada como essa, estamos querendo saber qual a mudana na funo y, provocada por uma variao pequena (mencionamos uma unidade para facilitar o raciocnio) da varivel x. Imaginemos uma funo y dada por: # = + 3 10 Para derivar, devemos pegar os expoentes da varivel em relao qual estamos derivando (nesse caso, x) e derrubar ela para multiplicar a parcela da funo. Depois, substituir esse expoente por um nmero com uma unidade a menos. Veja: # = + 3 10 # = 2 + 1 3 0 10 # = 2 + 3 0 # = 2 + 3 Observe que a primeira parte da equao tinha um nmero fixo, 10. Como sabemos que se a varivel x for diferente de zero, ao elevarmos essa varivel pelo expoente 0, encontraremos um resultado igual a 1 (x0=1), efetuamos essa multiplicao e o resultado ser o mesmo. Ou seja, 10 x = 10. Com isso, podemos pegar o expoente da varivel x e derrub-lo. Assim estaremos derivando. Mas faremos isso para cada parcela somada ou subtrada. Veja: 0 10 x Expoente anterior No segundo termo da equao, dado por 3 = 3, temos que a derivada :

4 Pode ser representado assim tambm:.

Novo expoente igual ao expoente anterior menos 1.

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




1 3 x Expoente anterior

Voc deve pegar o expoente e derrub

multiplicar a parte a ser derivada. (Parte 1) Repita a parcela a ser derivada e coloque

expoente. (Parte Derivar 3# Parte 1: 2 3 Vamos para a soluo da questo, propriamente dita. Sabemos que o lucro lquido a receita menos o custo. A receita representada for f(x), enquanto que o custo dado por g(x). Portanto, temos: % &'#( )10.000# *'#( 20.000'# 3,5, ,./ % ) &'#( ) *'#( ')10.000# 140, ,./ )10.000# , ,./ )10.000# Dividindo tudo por 10.000, temo , ,./ ',,( )# 12 Para encontrarmos o valor de x que faz com que o lucro seja mximo, devemos derivar a funo lucro em relao a x (x a varivel que perder o expoente) e igualar a nova funo a zero. No entanto, no pode


Derrubamos o expoente de x e este passou a multiplicar a equao.



Voc deve pegar o expoente e derrub-multiplicar a parte a ser derivada. (Parte 1)Repita a parcela a ser derivada e coloque expoente. (Parte 2)

3 # Parte 2: 2 3 # 6#

Vamos para a soluo da questo, propriamente dita.

Sabemos que o lucro lquido a receita menos o custo. A receita representada for f(x), enquanto que o custo dado por g(x). Portanto, temos: 140.000# ) 130.000 5( 20.000# 70.000 &'#( ) *'#( 140.000# ) 130.000( ) '20.000# 70.000 140.000# ) 130.000 ) 20.000# ) 70.000 120.000# ) 200.000 Dividindo tudo por 10.000, temos: 12# ) 20 Para encontrarmos o valor de x que faz com que o lucro seja mximo, devemos derivar a funo lucro em relao a x (x a varivel que perder o expoente) e igualar a nova funo a zero. No entanto, no pode


Derrubamos o expoente de x e este passou a multiplicar a equao.

Reduzimos em uma unidade o expoente que foi derrubado.

AULA 00 CESPE


-lo. Ele passar a multiplicar a parte a ser derivada. (Parte 1) Repita a parcela a ser derivada e coloque -1 no

Sabemos que o lucro lquido a receita menos o custo. A receita representada for f(x), enquanto que o custo dado por g(x). Portanto, temos:

000(

Para encontrarmos o valor de x que faz com que o lucro seja mximo, devemos derivar a funo lucro em relao a x (x a varivel que perder o expoente) e igualar a nova funo a zero. No entanto, no podemos esquecer

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





que dividimos por 10.000 toda a equao e, assim, o lucro ficar dividido por 10.000. Entretanto, a questo nos solicita a quantidade x a ser vendida. = 2 + 1 12 0 20 = 0 0 20 = 0 = 2 + 12 Ao maximizarmos devemos fazer que

= 0, portanto: 2 + 12 = 0 2 = 12 = 6 Como o enunciado fala que x dado em milhares de unidades, podemos concluir que o lucro mximo ocorre quando a empresa produz 6.000 unidades. Sendo assim, a questo est CERTA. Gabarito: C Enunciado para as questes 8 e 9 Um estudo constatou que a populao de uma comunidade expressa pela funo P(t) = 5.000,, em que P(t) a populao t anos aps a contagem inicial, que ocorreu em determinado ano, e considerado t=0. Com referncia a esse estudo e considerando 1,2 e 1,8 como os valores aproximados para , e ln6, respectivamente, julgue os itens a seguir. Questo 8 (CESPE BRB Escriturrio 2011) A populao ser de 30.000 indivduos 5 anos aps a contagem inicial. Resoluo:

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




O primeiro ponto a ser evidenciado na questo a respeito de e. Na verdade, e um nmero resultante da seguinte frmula conhecido como nmero de Euler, seu resultado ser de 2,718. Ele a base dos logaritmos naturais. Quer saber o que voc precisa saber disso que foi dito? Apenas que e a base dos logaritmos naturais e a ordem de grandeza desse nmero (2,7). S isso! A questo pergunta acerca da populao daqui 5 anos. A equao que dimensiona a populao ao longo do tempo Quando t for igual a 5, o expoente ser 2,7, teremos: 2'5( 5.000 , 5.000 Observe que no fizemos o clculo de quantos habfizemos uma aproximao com o intuito de determinar se a questo poderia estar certa.

Questes com contas muito complexas, em geral, no

precisam ser resolvidas at o final. Apenas com algumas simulaes conseguimos verific

Sendo assim, a questo est Gabarito: E Questo 9 (CESPE BRB Escriturriopopulao da comunidade aumentou em 20%. Resoluo:



O primeiro ponto a ser evidenciado na questo a respeito de e. Na verdade, e um nmero resultante da seguinte frmula conhecido como nmero de Euler, seu resultado ser de 2,718. Ele a base

Quer saber o que voc precisa saber disso que foi dito? Apenas que e a base dos logaritmos naturais e a ordem de grandeza desse nmero (2,7). S

A questo pergunta acerca da populao daqui 5 anos. A equao que a populao ao longo do tempo 2'( 5.000 ,

Quando t for igual a 5, o expoente ser 0,18 5 0,90 3 1. Como sabemos que

, 3 5.000 5.000 2,7 13.500

Observe que no fizemos o clculo de quantos habitantes teria o lugar, apenas fizemos uma aproximao com o intuito de determinar se a questo poderia

Questes com contas muito complexas, em geral, no precisam ser resolvidas at o final. Apenas com algumas simulaes conseguimos verific


Escriturrio 2011) Um ano aps a contagem inicial, a populao da comunidade aumentou em 20%.

AULA 00 CESPE


O primeiro ponto a ser evidenciado na questo a respeito de e. Na verdade, e um nmero resultante da seguinte frmula !

. Tambm conhecido como nmero de Euler, seu resultado ser de 2,718. Ele a base

Quer saber o que voc precisa saber disso que foi dito? Apenas que e a base dos logaritmos naturais e a ordem de grandeza desse nmero (2,7). S

A questo pergunta acerca da populao daqui 5 anos. A equao que .

Como sabemos que

itantes teria o lugar, apenas fizemos uma aproximao com o intuito de determinar se a questo poderia

Questes com contas muito complexas, em geral, no precisam ser resolvidas at o final. Apenas com algumas simulaes conseguimos verificar a resposta.

Um ano aps a contagem inicial, a

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





Um ano aps a contagem, ou seja, em t igual a 1, teramos a seguinte populao na cidade: $1 = 5.000 , $1 = 5.000 , Pelo enunciado da questo: , = 1,2 Portanto, temos: $1 = 5.000 1,20 = 6.000 O simples fato de saber que , = 1,2 j nos indicava que a questo estaria correta, pois 1,2 o inteiro mais 20% (100%+20%=120%=1,20). Sendo assim, a questo est CERTA. Gabarito: C Enunciado para as questes 10 a 12 Tendo em vista que um emprstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi entregue no ato, sem prazo de carncia, ser amortizado pelo sistema Price, taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestaes mensais e consecutivas, e considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05e 1,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes. Questo 10 (CESPE BRB Escriturrio 2011) Se o saldo devedor aps o pagamento da segunda prestao for de R$ 25.030,00, ento o saldo devedor aps o pagamento da terceira prestao ser inferior a R$ 21.250,00. Resoluo:

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





A frmula para o clculo da prestao do Sistema Price a seguinte: $ = %1 + 11 + & Em geral, essas questes do CESPE podem parecer difcil de incio, mas no so. Elas acabam se tornando simples porque iremos simplificar todas as operaes e, em geral, chegamos a um nmero inteiro no final. Essas simplificaes ocorrem porque o valor dado no enunciado da questo um arredondamento que nos permite chegar a esse resultado. O primeiro passo calcular o valor da prestao e para isso, basta colocar na frmula: $ = %1 + 11 + & Devemos observar dois itens, inicialmente. Em primeiro lugar, a taxa de juros do financiamento anual e os pagamentos ocorrem de forma mensal. Dessa forma, devemos considerar que a taxa de juros nominal com capitalizao mensal. = 60% 12 = 5% Em segundo lugar, observar o que o examinador nos forneceu. Ele indicou que 1,05-8 igual a 0,68. Entretanto, a frmula usar apenas 1,058. Portanto, devemos considerar que 1 + 0,05 = 1,05 = , = ,. $ = 32.000% 1 + 0,05 11 + 0,05 0,05& $ = 32.000' 10,68 110,68 0,05(

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




No saia resolvendo as contas estranhas e

complicadas que aparecem. Elas acabaro sendo cortadas futuramente.

2 32.00081 ) 0,680,680,050,68 9 2 32.00080,320,680,050,689 2 32.000:0,320,68 0,680,05; 2 32.000:0,320,05; 2 32.000 0,050,32 5. Podemos partir para montar um quadro da operao. Observe que precisamos montar o quadro apenas at a quarta prestao.

Inicialmente, devemos colocar o saldo devedor igual a R$32.000,00 no perodo 0. Calcula-se a prestao conforme mostrado acima e chegamos ao valor de R$5.000,00. Essa prestao vale para todos os perodos.



No saia resolvendo as contas estranhas e complicadas que aparecem. Elas acabaro sendo cortadas futuramente.

.000,00 Podemos partir para montar um quadro da operao. Observe que precisamos montar o quadro apenas at a quarta prestao.

Inicialmente, devemos colocar o saldo devedor igual a R$32.000,00 no perodo se a prestao conforme mostrado acima e chegamos ao valor de

R$5.000,00. Essa prestao vale para todos os perodos.

AULA 00 CESPE


No saia resolvendo as contas estranhas e complicadas que aparecem. Elas acabaro sendo

Podemos partir para montar um quadro da operao. Observe que precisamos

Inicialmente, devemos colocar o saldo devedor igual a R$32.000,00 no perodo se a prestao conforme mostrado acima e chegamos ao valor de

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





Em seguida, devemos calcular o valor dos juros do perodo 1. Esses juros equivalem ao produto do saldo devedor do perodo anterior (R$32.000,00) pela taxa de juros de 5%. Dessa forma, temos: ) = * +, - ) = 32.000 0,05 = 1.600,00 Portanto, como a prestao foi de R$5.000,00 e apenas R$1.600,00 foi utilizado para pagar os juros, o restante foi pago a ttulo de amortizao. Dessa forma, temos: . = $ ) . = 5.000,00 1.600,00 = 3.400,00 Aps encontrarmos a amortizao do perodo, devemos definir qual o saldo devedor daquele perodo e esse saldo devedor ser igual ao saldo devedor anterior menos o valor amortizado. Dessa forma, temos: * +, = * +, . * +, = 32.000,00 3.400,00 = 28.600,00 Agora, dispondo do saldo devedor do perodo 1, devemos calcular os juros do perodo 2, depois a amortizao e por fim o saldo devedor do perodo 2. Vamos repetindo o procedimento at o preenchimento da Tabela. Observe que ao efetuarmos esses clculos, temos que o saldo devedor aps o pagamento da segunda parcela , realmente, R$25.030,00. E o saldo devedor aps o pagamento da terceira parcela igual a R$21.281,50 e, portanto, maior que R$21.250,00. Sendo assim, a questo est ERRADA. interessante notar nessa questo que se fizermos todos os clculos sem que seja feito qualquer tipo de arredondamento, o valor da parcela de R$4.951,10. E a Tabela ficaria da seguinte forma:

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9





O fato de o saldo devedor no ltimo perodo estar igual a ZERO, mostra que toda a dvida foi paga e que no sobrou nem faltou nenhum recurso. E isso uma garantia de que essa tabela acima a tabela correta para essa questo. No entanto, ao utilizarmos o arredondamento de 1,05-8 igual a 0,68, temos a seguinte Tabela:

No

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Observe que o saldo devedor dessa Tabela no ltimo perodo diferente de zero. Entretanto, em todas as questes desse tipo aplicadas pelo CESPE teremos esse tipo de caracterstica. No h nada de errado, pois isso ocorre quando ele determina que consideremos um arredondamento. O que quero dizer com tudo isso? Que voc no deve sair fazendo as divises para a determinao da prestao. Voc tem que trabalhar com frao, pois devemos ter vrios cancelamentos de tal forma que a prestanmero inteiro. Caso isso no ocorra, desconfie das suas operaes ou de algo que possa ter feito anteriormente. Esse o padro. Gabarito: E Questo 11 (CESPE BRB Escriturriosuperior a 75%. Resoluo: Para encontrarmos a taxa efetiva anual devemos pegar a taxa mensal de 5% e aplicarmos pelo perodo de 12 meses, da seguinte forma: 1 '1 ( 1 '1,05( No entanto, o enunciado da questo nos informou qPortanto, temos: 1 '1,05( 1,80 1,80 ) 1 80% Portanto, a taxa efetiva anual igual a 80% e, assim, a questo est

Em geral, os dados fornecidos pelo enunciado das

questes de matemtica do CESPE



Observe que o saldo devedor dessa Tabela no ltimo perodo diferente de zero. Entretanto, em todas as questes desse tipo aplicadas pelo CESPE teremos esse tipo de caracterstica. No h nada de errado, pois isso ocorre

determina que consideremos um arredondamento.

O que quero dizer com tudo isso? Que voc no deve sair fazendo as divises para a determinao da prestao. Voc tem que trabalhar com frao, pois devemos ter vrios cancelamentos de tal forma que a prestanmero inteiro. Caso isso no ocorra, desconfie das suas operaes ou de algo que possa ter feito anteriormente. Esse o padro.

Escriturrio 2011) A taxa efetiva anual do emprstimo

Para encontrarmos a taxa efetiva anual devemos pegar a taxa mensal de 5% e aplicarmos pelo perodo de 12 meses, da seguinte forma:

No entanto, o enunciado da questo nos informou que 1,05

Portanto, a taxa efetiva anual igual a 80% e, assim, a questo est

Em geral, os dados fornecidos pelo enunciado das questes de matemtica do CESPE so utilizados.

AULA 00 CESPE


Observe que o saldo devedor dessa Tabela no ltimo perodo diferente de zero. Entretanto, em todas as questes desse tipo aplicadas pelo CESPE teremos esse tipo de caracterstica. No h nada de errado, pois isso ocorre

determina que consideremos um arredondamento.

O que quero dizer com tudo isso? Que voc no deve sair fazendo as divises para a determinao da prestao. Voc tem que trabalhar com frao, pois devemos ter vrios cancelamentos de tal forma que a prestao ser um nmero inteiro. Caso isso no ocorra, desconfie das suas operaes ou de algo

A taxa efetiva anual do emprstimo

Para encontrarmos a taxa efetiva anual devemos pegar a taxa mensal de 5% e

ue 1,0512 igual a 1,80.

Portanto, a taxa efetiva anual igual a 80% e, assim, a questo est CERTA.

Em geral, os dados fornecidos pelo enunciado das so utilizados.

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Gabarito: C Questo 12 (CESPE BRB Escriturrioprimeira prestao ser superior a R$ 3.500,00. Resoluo: Para essa questo basta consultarmos a tabela inicialmente mostrada.

A amortizao da primeira prestao, como ressaltado na Tabela, igual a R$3.400,00. Sendo assim, a questo est Gabarito: E Enunciado para as questes 13 a 15 O quadro de pessoal de uma empresa conta com 7contabilidade e 5, de arquivologia. Em 4 diasestiveram presentes aos trabalhos:

no dia 1: Brbara, Diogo, Marta e Sandra;no dia 2: Diogo, Fernando, Hlio e Sandra;no dia 3: Brbara, Clio, Diogo e Hlio;no dia 4: Clio, Fernando,



Escriturrio 2011) A amortizao correspondente primeira prestao ser superior a R$ 3.500,00.

Para essa questo basta consultarmos a tabela inicialmente mostrada.

amortizao da primeira prestao, como ressaltado na Tabela, igual a


Enunciado para as questes 13 a 15 O quadro de pessoal de uma empresa conta com 7 analistas: 2 da rea de

e 5, de arquivologia. Em 4 dias consecutivos, desses 7estiveram presentes aos trabalhos:

no dia 1: Brbara, Diogo, Marta e Sandra; no dia 2: Diogo, Fernando, Hlio e Sandra; no dia 3: Brbara, Clio, Diogo e Hlio; no dia 4: Clio, Fernando, Marta e Sandra.

AULA 00 CESPE


A amortizao correspondente

Para essa questo basta consultarmos a tabela inicialmente mostrada.

amortizao da primeira prestao, como ressaltado na Tabela, igual a

analistas: 2 da rea de consecutivos, desses 7 analistas,

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Sabendo que, em cada um desses 4 dias, dos presentes, 1 era analista de contabilidade e 3, de arquivologia; que cada um dos analistas de contabilidade esteve presente em apenas 2 dias; e que Fernando analista de arquivologia, julgue os itens seguintes. Questo 13 (CESPE EBC Tcnico 2011) Todas as mulheres so analistas de arquivologia. Resoluo: O nosso primeiro passo determinar quem analista de arquivologia e quem analista de contabilidade. Temos 7 pessoas, sendo 2 de contabilidade e 5 de arquivologia. Sabemos que Fernando analista de arquivologia. Portanto, nos restam 2 analistas de contabilidade e 4 de arquivologia entre Brbara, Diogo, Marta, Sandra, Hlio e Clio. No temos alternativa a no ser comearmos fazendo suposies. Se essa suposio for absurda, chegamos concluso de que estamos errados na hiptese. Se ela no for absurda, a hiptese est correta. Vamos iniciar com algum dia em que Fernando esteja presente. Afinal de contas, a banca nos deu essa dica e ela ser pea fundamental para a soluo do problema. Comecemos pelo segundo dia e vamos supor que Sandra seja analista de contabilidade. Hiptese: Sandra analista de Contabilidade Como s trabalha um analista de contabilidade por dia e no rol dos analistas temos dois de contabilidade, podemos supor que se Sandra da rea de contabilidade, ela s trabalha com pessoas da rea de arquivologia. Dessa forma, como Brbara, Diogo e Marta trabalham com Sandra no dia 1; Diogo, Fernando e Hlio trabalham com Sandra no dia 2; e Clio Fernando e

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Marta trabalham com Sandra no dia 4, todos eles so analistas de Arquivologia. Observe que foi dito que Brbara, Diogo, Marta, Hlio e Clio so analistas de arquivologia. Como Fernando tambm analista de arquivologia, no existe nenhuma outra pessoa que seria analista de contabilidade, apenas Sandra. Como o enunciado diz que existem 2 analistas de contabilidade, chegamos a um absurdo e, portanto, Sandra analista de Arquivologia. Vamos mostrar isso de forma sistemtica: H1: Sandra Contabilidade Brbara, Diogo, Marta so Arquivologia (Dia 1)

Diogo, Fernando e Hlio so Arquivologia (Dia 2) Clio, Fernando e Marta so Arquivologia (Dia 4) Como s podem ser 5 analistas de arquivologia, conclumos que a hiptese um absurdo e, portanto, Sandra analista de arquivologia. Continuemos o mesmo raciocnio, agora supondo que Diogo analista de Contabilidade. Faremos tudo de forma sistemtica daqui para frente. H1: Diogo Contabilidade Brbara, Marta e Sandra so Arquivologia (Dia 1)

Fernando, Hlio e Sandra so Arquivologia (Dia 2) Brbara, Clio e Hlio so Arquivologia (Dia 3) Como s podem ser 5 analistas de arquivologia, conclumos que a hiptese um absurdo e, portanto, Diogo analista de arquivologia. Como Diogo, Sandra e Fernando so analistas de arquivologia, ao verificarmos o dia 2 constatamos que Hlio analista de contabilidade. Com isso, todas as pessoas que trabalham com o Hlio nos dias 2 e 3 so analistas de arquivologia. Portanto, Diogo, Fernando e Sandra que so os parceiros do dia 2 e Brbara, Clio e Diogo que so os parceiros do dia 3 so analistas de arquivologia. Portanto, o outro analista de contabilidade a Marta. Com isso, conclumos que Marta e Hlio so analistas de contabilidade e Brbara, Clio, Diogo, Fernando e Sandra so analistas de arquivologia.

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Como Marta analista de contabilidade, nem todas as mulheres so analistas de arquivologia e, assim, a questo est ERRADA. Gabarito: E Questo 14 (CESPE EBC Tcnico 2011) Clio analista de arquivologia. Resoluo: Como vimos, Clio analista de arquivologia. Sendo assim, a questo est CERTA. Gabarito: C Questo 15 (CESPE EBC Tcnico 2011) Hlio analista de contabilidade. Resoluo: Como vimos, Hlio analista de contabilidade. Sendo assim, a questo est CERTA. Gabarito: C Enunciado para as questes 16 e 17 Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 sero escolhidos para formar uma equipe que elaborar um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na

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rea de cincias sociais e os demais, na rea de assistncia social. Julgue os itens que se seguem, relativos composio da equipe acima mencionada. Questo 16 (CESPE EBC Tcnico 2011) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na rea de cincias sociais fizerem parte da equipe, ento a quantidade de maneiras di

Documents

aula0_matem_500_cespe_29292.pdf