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FI001 Aula 1

FI001 – 2º. Sem. 2012

Regras do jogos estão em: http://www.ifi.unicamp.br/~maplima/fi001/2012/

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FI001 Aula 1 Conceitos Fundamentais - I

�  Início do Século 20 è limitações severas da física clássica.

� A maneira convencional de estudar Mecânica Quântica é seguir o desenvolvimento histórico:

ü Lei de Radiação de Planck: corpo negro; ü Teoria de calor específico Einstein-Debye; ü Átomo de Bohr; ü Ondas de matéria de de Broglie.

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FI001 Aula 1 Conceitos Fundamentais - II

ü Efeito Compton (espalhamento de fótons por elétrons – transferência de momento linear)

ü Experiência de Franck-Hertz (espectro via espalhamento de elétrons);

ü Experimento de Davidson-Germer-Thompson de difração de elétrons

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Tudo isso faz com que abandonemos a Mecânica Clássica para o mundo de Heisenberg, Schrödinger, Dirac e outros. Nós faremos aqui o tratamento de choque: Experimento de Stern-Gerlach

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Energia potencial de interação entre momento magnético e campo

Expe

rim

ento

de

Ster

n-G

erla

ch

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Planejado por Stern in 1921 e realizado com Gerlach in 1922

) é a constante de proporcionalidade

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(a) O que esperar? (b) O que se viu?

Para um momento de dipolo arbitrariamente orientado, quanto vale μz? -μ≤μz≤μ

Dois valores de μz, correspondentes à:

Nada especial com a direção z. Poderia ser x, y, ou u.

Expe

rim

ento

de

Ster

n-G

erla

ch

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Uma sequência de experimentos de Stern-Gerlach

O que esperar de momento angular clássico?

ë

C

ompa

re

ì

Expe

rim

ento

de

Ster

n-G

erla

ch

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Analogia com luz polarizada

Luz polarizada na direção x

Luz polarizada na direção y

x’ è

y’ è

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Ana

logi

a co

m lu

z po

lari

zada

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Átomo ßà feixe circularmente polarizado pela direita

Átomo ßà feixe circularmente polarizado pela esquerda

Existem feixes circularmente polarizados pela direita/esquerda

Ana

logi

a co

m lu

z po

lari

zada

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Um

exp

erim

ento

mai

s m

oder

no

Um aparato moderno de Stern-Gerlach, usado para separar estados de spin do átomo de Césio, tirado de F. Lison et al. Phys. Rev. A 61 (1999) 013405. O aparato é mostrado na esquerda, enquanto que os dados mostram nove componentes do átomo de spin 4 (acoplamento do elétron mais externo com o spin nuclear I=7/2).

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Kets, bras e operadores

contém toda a informação

soma de kets é ket.

ket vezes número complexo é ket, se c=0, o resultado é o ket nulo. |α> e c|α> contém a mesma física

Uma observável é representada por um operador. Operador vezes ket é ket.

|↵ >

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Sz|Sz; + >=~2|Sz; + >, Sz|Sz;� >= �~

2|Sz;� >

Sx

|Sx

;± >= ±~2|S

x

;± >

Normalmente , mas existem kets interessantes, os autokets de A:

A|↵ > 6= c|↵ >|a0 >, |a00 >, |a000 >, ...

A|a0 >= a0|a0 >,A|a00 >= a00|a00 >, ...

Um ket pode ser escrito como uma combinação dos autokets de A.

|↵ >=X

a0

ca0 |a0 >

Os números a’, a’’, ... formam o conjunto de autovalores de A

Kets

, bra

s e

oper

ador

es

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Espaços dos bras e produtos internos

|↵i CD$ h↵|

|a0i, |a00i, ... CD$ ha0|, ha00|, . . .

|↵i+ |�i CD$ h↵|+ h�|

c↵|↵i+ c� |�iCD$ c⇤↵h↵|+ c⇤�h�|

Correspondência dual (CD). Para cada ket existe um bra no espaço dual (e vice-versa). Assim, existe uma correspondência um-a-um entre eles:

O espaço dos bras é uma espécie de espelho do espaço dos kets.

importante

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Produtos internos Es

paço

s do

s br

as e

pro

duto

s in

tern

os

h�|↵i = (h�|).(|↵i)Define-se uma espécie de produto escalar

Postulamos

h↵|�i = 0 h�|↵i = 0kets são ortogonais se o que implica

em

|↵̃i = 1ph↵|↵i

|↵i h↵̃|↵̃i = 1É possível normalizar um ket

è

h�|↵i = h↵|�i⇤ è real

h↵|↵i � 0 Postulado da métrica positivamente definida

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Operadores

X + Y = Y +X e X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z

X(|↵i) = X|↵iOperadores atuam nos kets pela esquerda

X = Y se X|↵i = Y |↵i, 8|↵iDois operadores são iguais

X|↵i = 0, 8|↵iOperador é o operador nulo se

Operadores podem ser somados. As operações de adição de operadores são comutativas e associativas

Todos os operadores neste curso, exceto o de evolução temporal, são lineares

X(c↵|↵i+ c� |�i) = c↵X|↵i+ c�X|�iOperadores atuam nos bras pela direita (h↵|)X = h↵|X

X|↵i CD$ h↵|X†Correspondência dual

X = X†O operador é dito Hermiteano se

( é o adjunto Hermiteano de X) X†

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Multiplicações

Muitas vezes não comutam

Vale a associativa

Vale

Note que

pois

Produto externo:

Existem produtos ilegais:

Mais tarde definiremos

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Axioma associativo

Todos os produtos legais são associativos. Para ilustrar tome

Como é apenas um número, temos que produto externo vezes um ket dá um outro ket. Logo, o produto externo é um operador.

Outra ilustração do axioma associativo

Como são iguais, usaremos

Note que

Se X é Hermiteano