Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores)

ÁLGEBRA LINEAR

Prof. Susie C. Keller

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores de um Operador Linear

Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v V, v ≠ 0, é vetor próprio (autovetor) do operador T se existe IR tal que:

T(v) = v

O número real é denominado valor próprio (autovalor)de T associado ao vetor próprio v.

Autovalores e Autovetores Observações:

v e T(v) tem a mesma direção; dependendo do valor de , o operador T dilata v, contrai v,

inverte o sentido ou o anula ( = 0); na Fig. (1) T dilata v, na Fig. (2), v não é autovetor de T.

Figura 1 Figura 2

Autovalores e Autovetores Exemplo:

Autovalores e Autovetores Determinação dos autovalores e dos autovetores:

1) Autovalores:

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores A equação det(A - I) = 0 é denominada equação

característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes sãoos valores próprios do operador T ou da matriz A.

2) Autovetores:A substituição de pelos seus autovalores no sistema

homogêneo das equações lineares permite determinar os autovetores.

Autovalores e Autovetores Exemplo:

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores O sistema homogêneo de eq. lineares que permite a

determinação dos autovetores é:

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores Propriedades dos Autovalores e Autovetores:

I. Se v é um autovetor associado ao autovalor de umoperador linear T, o vetor v, para qualquer real ≠ 0, étambém autovetor de T associado ao mesmo .

De fato:T(v) = v

eT(v) = T(v) = (v)

ouT(v) = (v)

o que prova que v é o autovetor associado ao autovalor .

Autovalores e Autovetores Observação:

Como v é o autovetor associado ao autovalor , fazendo

obtém-se um vetor próprio unitário.

II. Se é um autovalor de um operador linear T:VV, o conjuntoS de todos os vetores v V, inclusive o vetor nulo, associadosao autovalor , é um subespaço vetorial de V.

De fato, se v1, v2 S:T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2= (v1 + v2)

e portanto v1 + v2 S.

v1

Autovalores e AutovetoresAnalogamente, se verifica que v S para todo IR.O subespaço

S = {v V/ T(v) = v}

é denominado subespaço associado ao autovalor ou espaçocaracterístico de T correspondente a ou auto-espaço associado a .

Por exemplo, como foi visto ao autovalor = 6 correspondem osautovetores do tipo v = x(5,2). Assim, o auto-espaço associado a 6 é:

S6 = {x(5,2)/xR} = [(5,2)]

que representa uma reta que passa pela origem.

Autovalores e AutovetoresIII. Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico e,

por isso, os mesmos autovalores.

De fato:Sejam T:V→V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-seque a relação entre matrizes semelhantes é:

Então:

Autovalores e Autovetores

Diagonalização de Operadores Diagonalização de Operadores

Dado um operador linear T:V→V, a cada base B de Vcorresponde uma matriz [T]B que representa T na base B.

Nosso objetivo é obter uma base do espaço de modo que amatriz de T nessa base seja a mais simples representante de T.

Essa matriz é uma matriz diagonal.

Propriedade:“Autovetores associados a autovalores distintos de um operador

linear T:V→V são linearmente independentes”

Diagonalização de OperadoresCorolário:

Sempre que tivermos um operador T:IR2→IR2 com 1 ≠ 2, oconjunto {v1, v2}, formado pelos autovetores associados, será umabase do IR2. Esse conceito pode ser estendido para qualquer espaçovetorial, isto é:

“Se T:V→V é linear, dim V = n e T possui n autovaloresdistintos, o conjunto {v1, v2, ..., vn} formado pelos correspondentesautovetores, é uma base de V.”

Diagonalização de OperadoresExemplo:

Diagonalização de Operadores

Diagonalização de Operadores

Assim o conjunto {(1, -1), (-1,0)} é uma base do IR2.

Diagonalização de Operadores Propriedade:

Diagonalização de Operadores

Diagonalização de Operadores Exemplo:

Diagonalização de Operadores

Diagonalização de Operadores

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Propriedades:

I. A equação característica de uma matriz simétrica tem apenasraízes reais.

II. Se T:V→V é um operador linear simétrico com autovaloresdistintos, então os autovetores são ortogonais.

III. De forma geral uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dosautovetores a partir da relação:

D = P-1AP

Se A for simétrica, P será uma base ortogonal. Caso P sejacomposta de vetores ortonormais, pode-se usar a relação P-1 = Pt edessa forma:

D = PtAP

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Exemplo:1) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A:

Inicialmente efetua-se o cálculo dos autovalores e autovetores associadosa matriz, os quais são:

1 = 3 com v1 = (x, 2x, 2x)2 = 6 com v2 = (x, x/2, -x)3 = 9 com v3 = (x, -x, x/2)

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027A

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Fazendo x = 1 nos autovetores e normalizando-os temos:

v1 = (1, 2, 2) => u1 = (1/3, 2/3, 2/3)v2 = (1, 1/2, -1) => u2 = (2/3, 1/3, -2/3)v3 = (1, -1, 1/2) => u3 = (2/3, -2/3, 1/3)

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Diagonalização de Matrizes Simétricas

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D

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D

E, como D = PtAP