Sistemas LinearesParte 2 Mtodos Iterativos

IntroduoMtodos diretos: eliminao por Gauss, fatorao LU, fatorao de Cholesky, ... Fornecem soluo de qualquer sistema. Para minimizar problemas de arredondamento, adota-se o pivoteamento.Mtodos iterativos: podem ser mais rpidos e necessitar de menos memria do computador. Fornecem seqncias que convergem para a soluo sob certas condies.

IntroduoSeja um sistema linear de ordem . A idia generalizar o mtodo do ponto fixo, escrevendo o sistema linear na forma

onde uma matriz de ordem e um vetor coluna . Dado um vetor aproximao inicial , cons-trumos iterativamente:

IntroduoSe a seqncia , , ....., convergir

Ento a soluo do sistema linear

Teste de ParadaSe a seqncia estiver suficientemente prximo de paramos o processo.Dada um preciso , quando

ento a soluo do sistema linear.Computacionalmente, um nmero mximo de iteraes tambm critrio de parada.

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBISeja o sistema linear

Se podemos isolar por separao da diagonal.

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIIterativamente, o sistema reescreve-se como:

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIDesta forma temos , onde

e

Do mtodo de Gauss-Jacobi, dado ,Obtemos , ....., atravs da relao recursiva

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBIExemplo:Seja o sistema linear

Seja com . Portanto,

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBISubstituindo

Segue . Calculando

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-JACOBI

Continuando com

Segue a soluo, pois

critrio de parada

Critrios de ConvergnciaNos mtodos iterativos so necessrios critrios que garantam a convergncia.

Um critrio para a convergncia do Mtodo de Gauss-Jacobi dado pelo:

1) Critrio das linhas.

Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasTeorema Critrio das linhas

Dado o sistema , seja

Se , ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma srie convergente para asoluo do sistema independentemente da escolha de .

Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasExemplo:Considere o sistema j estudado

Critrio das linhas:

Logo, convergncia OK!

Mtodo de Gauss-JacobiConvergncia: Critrio das linhasObs1: O sistema converge pelo mtodo de Gauss-

Jacobi. No entanto, . Isto mostra que o Teorema das linhas apenas suficiente para convergncia.

Obs2: O sistema

Contudo, o sistema Equivalente convergepelo critrio das linhas

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELSeja o sistema linear

Se podemos isolar por separao da diagonal.

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELIterativamente, o sistema reescreve-se como:

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELComentrio: Gauss-Jacobi X Gauss-SeidelO Mtodo de Gauss-Seidel uma variao do Mtodo de Gauss-Jacobi, pois para calcular utilizamos os valores

j calculados e os valores restantes

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELExemplo:Seja o sistema linear

Seja com . Portanto,

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a primeira iterao fornece

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a segunda iterao fornece

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, a terceira iterao fornece

MTODOS ITERATIVOSMTODO DE GAUSS-SEIDELLogo, aps a terceira iterao

soluo do sistema considerado com erro menor do que .

Critrios de ConvergnciaNos mtodos iterativos so necessrios critrios que garantam a convergncia.

Convergncia para o Mtodo de Gauss-Seidel: 1) Critrio das linhas (j visto) 2) Critrio de Sassenfeld

Os critrios acima estabelecem condies suficientes para a convergncia.

Mtodo de Gauss-SeidelConvergncia - Critrio de SassenfeldSejam

e

Critrio de SassenfeldSeja

Se b < 1, o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para qualquer . Quanto menor b, mais rpida a convergncia.

Exemplos Seja o sistema:

ExemplosEnto,

de modo que o mtodo de Gauss-Seidel converge.

ExemplosSeja o sistema:

Neste caso,Trocando a 1 equao pela terceira,

Nesta disposio:

ExemplosAgora se trocarmos a 1 coluna pela terceira,

Nesta disposio: Garantia de convergncia

ExemplosSeja o sistema:

O mtodo de Gauss-Seidel gera uma seqncia convergente, apesar do critrio das linhas no ser satisfeito.Pelo critrio de Sassenfeld O critrio de Sassenfeld no satisfeito.O critrio de Sassenfeld tambm suficiente, mas no necessrio.

Metodos Iterativos - ComparaoSeja o sistema:

Mtodo de Gauss-Jacobi:

Temos a seqncia:

Metodos Iterativos - ComparaoSeja o sistema:

Mtodo de Gauss-Seidel:

Temos a seqncia:

Metodos Iterativos - ComparaoComentrio1: As duas seqncias convergem para a soluo exata do sistema . Vejamos,a) Gauss-Jacobi :b) Gauss-Seidel:Comentrio 2: A convergncia do Mtodo de Gauss-Seidel mais rpida, por construo do mtodo.Comentrio 3: Embora a ordem das equaes num sistema linear no mude a soluo exata, as seqnciasgeradas pelos Mtodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel dependem fundamentalmente da disposio das equaes

Mtodos Direto e Iterativos Comparao1) Convergncia:

Os Mtodos Diretos so processos finitos portanto fornecem soluo para qualquer sistema linear no-singular.

Os Mtodos Iterativos tm convergncia assegurada sob certas condies.

Mtodos Direto e Iterativos Comparao2) Esparsidade da Matriz : Em problemas reais, como a discretizao de EDOs peloMtodo de Elementos Finitos ou Diferenas Finitas, as matrizes dos coeficientes tornam-se esparsas. A forma de armazenamento destes dados tira proveito da esparsidade.Mtodos diretos em sistemas esparsos provocam o preenchimento da matriz e no processo de Eliminao (escalonamento) geram elementos no-nulos, onde originalmente tnhamos elementos nulos. Tcnicas especiais de pivoteamento reduzem este preenchimento. Fatoramento LU do bons resultados. Algumas situaes estes mtodos no so possveis.Mtodos iterativos no alteram a estrutura da matriz dos coeficientes. Vantagem.

Mtodos Direto e Iterativos ComparaoErros de Arredondamento

Mtodos Diretos tm problemas de arredondamento. Tcnicas de Pivoteamento amenizam tais erros.Mtodos iterativos tm menos erros de arredondamento, quando a convergncia estiver assegurada.

Lista de Mtodos para Sistemas Lineares

Fazer exerccios 3, 5, 9,14, 22, 29 do livro texto.