Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
PythagorasΠυθαγόρας * um 570 v. Chr † um 500 v. Chr
Mathematiker und Naturphilosoph
„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge“
-gründete 531v.Chr die religiös-politische Lebensgemeinschaft der Pythagoreer.Anhänger: u.a. Philolaos, Euklid undPtolemäus
Ausschnitt aus„Die Schule von Athen“Raffael 1510
Wikipedia / Pythagoras
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge“
Der Satz des Pythagoras war schon viel früher bekannt und wurde ihm von Euklid zugeschrieben.
Für die Pythagoreer, gehörten die Musik, die Harmonie und die Zahlen untrennbar zusammen.
Verstehst du die Zahlen, dann verstehst du die Welt!
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras - eine grausame Entdeckung -
a
a2 a⋅
Die Länge der Diagonalen in einem Quadrat steht in keinemrationalen Verhältnis zur Länge der Seite.
≈ 1.4142135623730952 04...
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras
- Die Existenz irrationaler Zahlen passteüberhaupt nicht in das Weltbild derPythagoreer.
Sind diese Gebilde überhaupt Zahlen?
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die Tetraktys (Vierzahl)
Die "Vierzahl" (griechisch "ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ") stellte für Pythagoras die Harmonie des Kosmos dar: Bei Halbierung einer gespannten Saite im Verhältnis 1:2 erklingt die Oktave, im Verhältnis 2:3 die Quinte und im Verhältnis 3:4 die Quarte.
Die Pythagoreer :Segne uns, geheiligte Zahl X, du, die du Götter und Menschen erschaffen hast! Oh heilige, heilige Tetraktys, du umfasst die Wurzel und den Ursprung der ewig fließenden Schöpfung!
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die Tetraktys (Vierzahl) und GeometriePunkt
Gerade
Ebene
Unser 3-dimensionaler Raum
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Tonerzeugung am Monochord
f1
Monochord
Diese Schwingungsform der Saite heißt GrundschwingungDie Frequenz f der Schwingung hängt von der Saitenlänge L, von der Spannung der Saite und von dem Saitenmaterial ab.
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Die Oktave
f8=2 f1
= = ⋅81
18
22 :1 d.h f.
1f
ff
Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Oktave
Monochord
1L
21
L2
Gr.: acht Lat. : octavus der achteοκτωɺ ≙ ≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Die Quinte
Monochord
1L
32
L3
= = ⋅51
15
33 : 2 d.h f.
2f
ff
Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Quinte
= ⋅ 15f3
f2
Gr.: fünf Lat. : qu intus der fünfteπεντε ≙ ≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Die Quarte
= ⋅ 14f4
f3
1L
43
L4
= = ⋅41
14
44 : 3 d.h f.
3f
ff
Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Quarte
Gr.: vier Lat.: quartus der vierteτεσσεριςɺ ≙ ≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras
1L
5
4L
5
Niemals 5 oh heilige Tetraktys
= ⋅ 0f5
f4
Diese Frequenz f kam für Pythagoras nicht in Frage!
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras
2L
3
Wie bekomme ich trotzdem sinnvoll weitere Töne?
Die Quinte ist der Schlüssel mit dem die Götter die Harmonie erzeugt haben.
=2L
32 4
von L3 9
Monochord
Das ist weniger als bei der Oktave, also:
⋅ =4 82 L L
9 9
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras 8
L9
Monochord
= = ⋅ = ⋅21
21
99 : 8
ffd.h. f 1,125 f
f 8
Dieses Frequenzverhältnis (Intervall) heißt Sekunde
Gr.: zwei Lat. : secundus der zweiteδυο ≙ ≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras und die Saitenlängen für seine TonleiterDer Schlüssel ist für ihn die Quinte d.h. wiederholte 2/3-Verkürzung bei anschließender Verdopplung, falls x/y< ½ ist.
1
⋅ =⋅2332
289
=⋅8 239
1627
⋅⋅ =162
22
376481
=⋅6 1248 31
2 8243
12
23
34
89
1627
6481
128243
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Der Aufbau der Tonleiter1
fL∼
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras und seine Intervalle in der Musik
6 1Oktave (Diapason)
12 2=
6 2Quint e
9 3=
6 3Quarte
8 4=
8Ganzton
9
8 2Quint e
12 3=
Diapente
9 3Quarte
12 4=
Diatessaron
Gr.: Diatessaron „alle vier“ Diapente „alle fünf“Diapason „durch alle“ d.h. hier „durch alle Noten“
Das sind seine zentralen Zahlenproportionen für die Harmonie
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Ausschnitt von „Die Schule von Athen“ Raffael 1510
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras und seine Tonleiter
f1 Primf12 kl. Sekunde
f2 = 9/8 · f1 gr. Sekunde
f23 kl. Terz
f3 = 81/64 · f1 gr. Terz
f4 = 4/3 · f1 Quarte
f45 kl. Quinte
f5 = 3/2 · f1 gr. Quinte
f56 kl. Sexte
f6 = 27/16 · f1 gr. Sexte
f67 kl. Septe
f7 = 243/128 · f1 gr. Septe
f8 = 2 · f1 Oktave
Pythagoras hat für die Oktave 12 Halbtonschritte eingeführt.f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7
98i
98i i
256243
98i
98i
98i i
256243
⋅ =256 2187 9243 2048 8
⋅ =
7 5256 2187
2243 2048
≈2561,053
243
≈21871,068
2048
Welche Möglichkeiten habe ich?
i256243
21872048i
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras und seine Tonleiter f1 f8f2 f3 f4 f5 f6 f7
i256243
21872048i i
256243
i256243
21872048i i
256243
i256243
21872048i i
256243
21872048i i
256243
21872048i
f1 = 1 · f1 Prim
f12= 256/243·f1 kl. Sekunde
f2 = 9/8 · f1 gr. Sekunde
f23= 32/27 · f1 kl. Terz
f3 = 81/64 · f1 gr. Terz
f4 = 4/3 · f1 Quarte
f45 = 1024/ 729 · f0 kl. Quinte
f5 = 3/2 · f0 Quinte
f56 = 128/81 · f0 kl. Sexte
f6 = 27/16 · f0 gr. Sexte
f67 = 16/9 · f0 kl. Septime
f7 = 243/128 · f0 gr. Septime
f8 = 2 · f0 Oktave
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras und die Entstehung der Tonleiter
f0 2f0
256243i
21872048i
256243i
c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘cis‘ dis‘ fis‘ gis‘ ais‘
293,3
260,7Hz
521,4
391,1
274,6
309329,9347,6366,2
412440
463,5495
256243i
21872048i
256243i
256243i
21872048i i
256243
98i i
98
98i i
98
98i
21872048i i
256243
21872048i
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die chromatische Tonleiter mit gleichen IntervallenOktavierung : Frequenzverdopplung
Wikipedia / Pythagoras
f0 2f0
i12 2 i12 2 12 2 1,0595≈i i
c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘
cash‘
dis‘ fis‘ gis‘ ais‘
261,6Hz
523,2
392
311,1
277,2293,7
329,6349,2370
415,3440
493,9466,2
des‘ es‘ ges‘ as‘ b‘
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die chromatische Tonleiter mit gleichen IntervallenOktavierung : Frequenzverdopplung
Wikipedia / Pythagoras
c‘ d‘ e‘ f‘ g‘ a‘ h‘ c‘‘
cash‘
dis‘ fis‘ gis‘ ais‘
261,6Hz523,2
392
311,1
277,2293,7
329,6349,2370
415,3440
493,9466,2
des‘ es‘ ges‘ as‘ b‘
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die Sphärenmusik
Die gleichförmige Kreisbewegung mit der Umlaufzeit T entspricht einer Schwingung mit der Frequenz f=1/T
Beispiel: Die Erde beschreibt bei ihrem Umlauf um die Sonne näherungsweise eine Kreisbahn mit
T 31.558.118,4s365,256Tage≈ ≈
10,000.000.0
T s
1f 32= ≈
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Die Harmonie in der Welt
Die 5 Planeten erzeugen für unser Ohr nicht hörbare Töne.
M V E MJ
S
http://www.solarsystemscope.com/de
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Vorstellung von der Sphärenmusik
Durch Oktavierung können wir die Planetentöne hörbar machen!
Beispiel: Die Erde T=365,2422d
0
10,000.000.0
T s
1f 32= ≈
3232 0,000.00
1f
s1
s
2 0.0
1
32
136,≈
≈ ⋅
32 Oktaven höher:
cis≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Pythagoras Vorstellung von der Sphärenmusik
Durch Oktavierung können wir die Planetentöne hörbar machen!
Beispiel: Saturn T= 29,4577 Jahre
0 0,000.000.001.01
fT
76 Hz= ≈
3737 0,000.000.001,076 Hz2
147,1 5
f
8 Hz
≈ ⋅≈
37 Oktaven höher:
d≙
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die SphärenmusikPlanet T [y] f [Hz]
oktaviertOktave Ton
Merkur 0,2409 141,27 30 cis
Venus 0,6152 221,23 32 a
Mars 1,8809 144,72 33 d
Jupiter 11,8622 183,52 36 fis
Saturn 29,4577 147,85 37 d
Uranus 84,015 207,36 39 gis
Neptun 164,79 211,44 40 gis
Pluto 248,43 140,25 40 cis
NvK-Gymnasium Bernkastel-Kues Physik - Akustik Fachlehrer : W.Zimmer
Die SphärenmusikMond 29,531d 210,42 29 gis
ErdeEigendrehung
1d 194,18 24 g
Pluto 248,43 140,25 40 cis
Auf YouTube findet ihr viele Beispiele vertonter Sphärenmusik