Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Autocorrelao do resduo Nosmodelosderegressolinear,principalmenteondeasvariveisso compostas por sries temporais, do tipo Y = |0 +|1X1 + |2X2+ et umadashiptesesclssicasquedevemserobservadas,sobriscoderesultados esprios, a de que os resduos, ei, so serialmente independentes, isto , o valor de etno tem nenhuma influncia sobre os valores de e t+1. Essa hiptese expressa de forma sinttica por cov (ei, ej) = 0, i = j Entretanto,essahiptesepodenoseverificaremvirtudedeumasriede fatores,dentreosquaispodemsercitados:omissodevarivelexplicativa,errode especificaodafuno,porhbitosdosagenteseconmicosquepodemagir influenciadosporfatosocorridos em perodosanteriores,ouatmesmoporerrosde medida da varivel Y. Comoconseqncia,osestimadoresdemnimosquadrados,emborano viesados, passaro a ser ineficientes ( o clculo da varincia desses estimadores no seradequado,sendobastanteprovvelumvisnosentidodesesubestimara verdadeira varincia). Em decorrncia desse vis, os testes de t e de F no teriam mais validade. VamosusarcomoexemploosvaloresdataxaSELIC,mdiasmensais,no perodo de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, num total de 36 observaes. Utilizando-seasmdiasmensaiscomovariveldependenteeotempocomo varivelindependente,podemosefetuarumaregressoentreessasvariveisque apresentaria as estimativas dos parmetros como a seguir, Page 1 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 05/04/10 Time: 10:28 Sample: 1995M01 1997M12 Included observations: 36 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. T2.0009820.6041303.3121700.0022 C122.383212.817919.5478290.0000 R-squared0.243948Mean dependent var159.4014 Adjusted R-squared0.221711S.D. dependent var42.68308 S.E. of regression37.65530Akaike info criterion10.14878 Sum squared resid48209.34Schwarz criterion10.23675 Log likelihood-180.6780F-statistic10.97047 Durbin-Watson stat0.288043Prob(F-statistic)0.002203 bem como o seguinte grfico com a plotagem dos resduos, Page 2 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. -80-400408012095M01 95M07 96M01 96M07 97M01 97M07SELIC Residuals O grfico anterior sugere a existncia de uma forma bastante forte de autocorrelao residual na funo estimada. Teste de Durbin-Watson Otestemaisusualmenteempregadonadetecodaautocorrelaooteste desenvolvidopordoisestatsticos,DurbineWatson,maispopularmenteconhecido como estatsticad de Durbin-Watson, que simplesmente a razo entre a soma das diferenasaoquadradodossucessivosresduoseasomadosquadradosresiduais. Note-sequenaestatsticadonumeradorabrangen-1observaes,poisperde-se uma quando se calculam as sucessivas diferenas. O uso da estatstica d tem hipteses que precisam ser observadas: O modelo de regresso tem que possuir intercepto Os erros so gerados pelo esquema auto-regressivo de primeira ordem O modelo de regresso no pode incluir variveis defasadas VoltandoaoexemplodataxaSELIC,oclculodaestatsticadenvolveriaos seguintes passos: Page 3 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. TAXA SELIC-MDIAS MENSAIS PERODOTaxasTaxas previstas Erro (et)(et)2 (et-1) (et) - (et-1) {(et) - (et-1)}2 jan/95 160,04124,3835,651271,06 fev/95 157,28126,3830,89954,2935,65-4,7622,66 mar/95 168,04128,3939,661572,7430,898,7776,85 abr/95 163,60130,3933,211102,9439,66-6,4541,57 mai/95 160,99132,3928,60818,0233,21-4,6121,25 jun/95 150,60134,3916,21262,8828,60-12,39153,45 jul/95 149,30136,3912,91166,6816,21-3,3010,91 ago/95 152,16138,3913,77189,6812,910,860,74 set/95 129,59140,39-10,80116,7313,77-24,58604,00 out/95 118,77142,39-23,62557,89-10,80-12,82164,24 nov/95 120,43144,39-23,96574,31-23,62-0,350,12 dez/95 103,70146,39-42,691822,81-23,96-18,73350,80 jan/96 109,44148,40-38,951517,27-42,693,7414,00 fev/96 126,88150,40-23,51552,94-38,9515,44238,31 mar/96 125,06152,40-27,34747,35-23,51-3,8214,62 abr/96 128,19154,40-26,21686,85-27,341,131,28 mai/96 134,85156,40-21,55464,57-26,214,6521,66 jun/96 139,09158,40-19,31372,98-21,552,245,02 jul/96 132,88160,40-27,52757,36-19,31-8,2167,36 ago/96 141,23162,40-21,17448,37-27,526,3540,26 set/96 127,58164,40-36,831356,30-21,17-15,65245,02 out/96 120,91166,40-45,492069,43-36,83-8,6675,05 nov/96 127,43168,40-40,981679,36-45,494,5120,35 dez/96 129,67170,41-40,741659,69-40,980,240,06 jan/97 145,27172,41-27,13736,26-40,7413,61185,10 fev/97 181,26174,416,8647,00-27,1333,991155,28 mar/97 218,98176,4142,571811,886,8635,711275,27 abr/97 234,23178,4155,823115,6042,5713,25175,60 mai/97 288,79180,41108,3811745,155,8252,562762,29 jun/97 254,00182,4171,595124,89108,38-36,791353,26 jul/97 209,41184,4125,00624,8271,59-46,592170,80 ago/97 213,25186,4126,84720,1925,001,843,39 set/97 212,71188,4124,30590,4826,84-2,546,43 out/97 167,09190,42-23,33544,2224,30-47,632268,45 nov/97 159,11192,42-33,311109,25-23,33-9,9899,54 dez/97 176,64194,42-17,78316,17-33,3115,52241,00 SOMAS 48208,313885,99 Page 4 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. A estatstica d ser encontrada dividindo-se E( et et-1 ) 2 d = _________________=(13885,99 / 48208,3 ) = 0,288041049 E( et) 2

Como regra compara-se o valor calculado com valores tabelados, dado um nvel designificnciausualmente5%,dadoonmerodekvariveisexplicativasou, analogamente, dependendo da tabela,dadosA = nmero de parmetros estimados e dado n, nmero de observaes, encontramos as estatsticas dle du. Testa-se H0 : = 0( No existe autocorrelao )Ha : = 0( Existe autocorrelao ) Como d =E( et et-1 ) 2 / E et 2, ou d =E et 2 2 E (et -et-1) + E et-1 2 / E et 2, temos que d =1 - 2 + 1 Se = 0, d = 2 Se = 1, d = 0 Se = 1, d = 4 sendo, para k=1 (nmero de variveis explicativas ) e n = 36, dl = 1,41 e du = 1,52: hregio regio h autocorrelaodeno h autocorrelaodeautocorrelao positivaincertezaincertezanegativa 0dldu24-du4-dl4 1,411,522,482,59 Page 5 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Comonoexemploaestatsticadapresentouvalor0,288,podemospresumir que h autocorrelao positiva no modelo analisado. Para a soluo do problema, utiliza-se critrios diversos: funes das diferenas das variveis (sem intercepto), modelo autoregressivo, (ARCH), etc.. ComousodosoftwareE-views,ovalordaestatsticadeDurbin-Watson apresentadoconjuntamentecomosdemaisresultadosdaregresso,comonasada anterior. VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. T2.0009820.6041303.3121700.0022 C122.383212.817919.5478290.0000 R-squared0.243948Mean dependent var159.4014 Adjusted R-squared0.221711S.D. dependent var42.68308 S.E. of regression37.65530Akaike info criterion10.14878 Sum squared resid48209.34Schwarz criterion10.23675 Log likelihood-180.6780F-statistic10.97047 Durbin-Watson stat0.288043Prob(F-statistic)0.002203 Tratamento da correlao serial Nenhum procedimento pode garantir a eliminao da autocorrelao numa srie temporal, porque sua natureza e causa so usualmente desconhecidos. Muitasvezeseladecorrentedeumamespecificaodomodelo;suponha que Y tem uma relao funcional quadrtica com X, e portanto devamos estimar Y = f( X, X2). A medida em que X cresa (ou decresa) sistematicamente ao longo do tempo, aregressodeYcontraXirapresentarapenascorrelaoserial.Nenhuma procedimentodeestimaosofisticadoestaraptoparacorrigiroproblema,que decorrente de incorreta especificao do modelo. Asoluoseriareformularomodelo, incluindo a forma quadrtica. Outra maneira de tentar corrigir a autocorrelao seria atravs do uso de duplo-log, ou ainda se insuficiente, adotar-se o procedimento iterativo de Cochrane-Orcutt. Page 6 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Procedimento de Cochrane-Orcutt Uma maneira de corrigirmos a autocorrelao serial consiste no uso demnimosquadradosgeneralizados-(GLS).Imagineummodelocomduas variveis para o qual se constata autocorrelao ( ): Y = |0 +|1X1 + |2X2+ et ondeet = f (et-1) + vt Amesmaequao,reescritaparaoperodot-1apresentariaoseguinte formato: Y t-1 = | 0 +|1X1 (t-1) + |2X2 (t-1)+ e (t-1) Multiplicando-se esta ltima equao, termo a termo por ( ) e subtraindo-se da anterior gera: (Y - Y t-1) = | 0 ( 1- ) + |1 (X1 - X1 (t-1) ) + |2 (X2 -X2 (t-1) ) + e t Esta equao pode ser reescrita como Y*t = |0* + |1Xt1* + |2Xt2 * + e t Onde Y*t = Y ( Y t-1) |0* =| 0 ( 1 - ) |1Xt1*=|1 (X1 - X1 (t-1) ) |2Xt2 *=|2 (X2 -X2 (t-1) ) As transformaes que geram as variveis com (*) so conhecidas como quase-diferenas ou diferenas generalizadas. Os procedimentos a serem seguidos so ento:: Passo 1: estimamos a equao Y = |0 +|1X1 + |2X2+ etecalculamoso residuo, t Page 7 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Passo 2: estimamos o coeficiente de correlao serial, , entre ete(et-1) Passo3:calculamosasvariveisdefasadaseefetuamosasseguintes transformaes:Y*t=Y( Yt-1),Xt1*=(X1-X1(t-1)),eassimpor diante, j que a autocorrelao positiva (se negativa, somaramos). Passo 4: Regredimos Y* contra as variveis X* e fazemos novamente o teste de DW. Seoproblemaaindanodesaparecer,repetimosoprocedimentocriandoas variveis (**). Exemplo de aplicao A aplicao do mtodo de Cochrane-Orcutt pode ser ilustrado com o exemplo de consumodecarnedefrango,(Y)comofunodopreodacarnedefrango,(PC), preo da carne bovina, (PB) e renda disponvel, (YD). O arquivo correspondente, extrado da bibliografia utilizada, o chicken.wf1. Regredindo-se o modelo, teremos a seguinte sada: Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/04/10 Time: 11:17 Sample: 1951 1994 Included observations: 44 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. PC-0.7296950.080020-9.1189410.0000 PB0.1141480.0456862.4985360.0167 YD0.2338300.01644714.217380.0000 C31.496041.31258623.995410.0000 R-squared0.986828Mean dependent var43.37500 Adjusted R-squared0.985840S.D. dependent var16.83854 S.E. of regression2.003702Akaike info criterion4.314378 Sum squared resid160.5929Schwarz criterion4.476577 Page 8 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Log likelihood-90.91632F-statistic998.9207 Durbin-Watson stat0.978759Prob(F-statistic)0.000000 Comparando-se a estatstica DW anterior com os valores crticos da tabela DW, onde nivel de significncia de 95%, K=3 e n=44, encontraremos: dl=1,383, du=1,666 Constata-se,portanto,queexisteautocorrelaopositivanaestimaoda equao. Paraaaplicaodoprocedimentodecorreo,precisamosinicialmente determinar o valor do coeficiente de autocorrelao, ,que pode ser obtido regredindo o erro como funo do prprio erro defasado um perodo, Dependent Variable: ERRO Method: Least Squares Date: 05/04/10 Time: 11:49 Sample (adjusted): 1952 1994 Included observations: 43 after adjustments VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. ERRO(-1)0.5003580.1354513.6940160.0006 C-0.0196180.258797-0.0758030.9399 R-squared0.249713Mean dependent var-0.041758 Adjusted R-squared0.231413S.D. dependent var1.935224 S.E. of regression1.696593Akaike info criterion3.940516 Sum squared resid118.0155Schwarz criterion4.022432 Log likelihood-82.72110F-statistic13.64575 Durbin-Watson stat2.105547Prob(F-statistic)0.000646 O coeficiente pode ter seu valor aproximado de uma forma mais simples, onde = 1-(DW/2) Substituindo-se o valor encontrado de DW, 0,978 na equao acima, teremos: Page 9 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. = 1-(0,978/2) = 0,51 Construindo-se ento as variveis transformadas, onde Ymod = (Yt - 0,51*Yt-1) PCmod = (PCt - 0,51*PCt-1) PBmod = (PBt - 0,51*PBt-1) YDmod =((YDt - 0,51*YDt-1) E regredindo-se com o eviews, teremos: Dependent Variable: YMOD Method: Least Squares Date: 05/04/10 Time: 11:58 Sample (adjusted): 1952 1994 Included observations: 43 after adjustments VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. PCMOD-0.1055330.082165-1.2843990.2066 PBMOD0.0894570.0420982.1249750.0400 YDMOD0.2268440.0352376.4376690.0000 C1.5678600.3117595.0290740.0000 R-squared0.609826Mean dependent var3.490698 Adjusted R-squared0.579813S.D. dependent var1.888832 S.E. of regression1.224376Akaike info criterion3.331147 Sum squared resid58.46473Schwarz criterion3.494980 Log likelihood-67.61966F-statistic20.31848 Durbin-Watson stat2.217258Prob(F-statistic)0.000000 Page 10 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Pela estatstica de DW calculada, comparada com a distribuio terica de DW, constata-se que a autocorrelao foi eliminada. Outramaneiradeselidarcommodelosdemnimosquadradosgeneralizados consiste no uso de modelos AR(1), auto-regressivos de primeira ordem, que num nico passo estima e os |i simultaneamente. Em sntese, o modelo AR(1) estima a equao com as variveis transformadas num nico passo, atravs de um mtodo de regresso no linear que ser objeto de anlise em econometria II. Avantagememrelaoaomtodoanteriorqueeleseutilizadetodasas observaes, e no necessariamente de n-1 observaes por causa da defasagem das variveis. Estimando-se LS Y PC PB YD AR(1) C, teremos a seguinte sada no eviews: Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/04/10 Time: 12:16 Sample (adjusted): 1952 1994 Included observations: 43 after adjustments Convergence achieved after 12 iterations VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. PC-0.1098790.084948-1.2934880.2037 PB0.0902910.0438062.0611580.0462 YD0.2420170.0265199.1259880.0000 C26.729553.9943396.6918590.0000 AR(1)0.9028850.06370014.174020.0000 R-squared0.995060Mean dependent var43.87674 Adjusted R-squared0.994540S.D. dependent var16.70169 S.E. of regression1.234162Akaike info criterion3.367605 Sum squared resid57.87989Schwarz criterion3.572396 Log likelihood-67.40351F-statistic1913.442 Page 11 of 12Econometria I- 10. Semestre de 2010-Prof. Braga No h nenhuma originalidade nestas notas para aula. Elas foram extradas da bibliografia indicada para 2010Gujarati,CarterHill,PindyckeWooldridge,bemcomodetextosdisponveisparaconsultae download na Internet. Durbin-Watson stat2.159851Prob(F-statistic)0.000000 Inverted AR Roots.90 Comparando-se as duas sadas: LS YMOD PCMOD PBMOD YDMODC YMOD = -0.105*PCMOD + 0.0894*PBMOD + 0.226*YDMOD + 1.567 LS Y PC PB YDAR(1) C Y = -0.109*PC + 0.0902*PB + 0.242*YD + 26.72955126 + [AR(1)=0.9028852671] Observa-sequeomodelopropostoporCochrane-Orcutteomodeloauto-repressivo produzem resultados muito prximos, sendo que o segundo mais fcil de usar. Modelos ARCH E GARCH possvelqueexistacorrelaodavarinciaS2noperodot,quandoseus valores esto defasados um ou mais perodos (da mesma forma que o termo erro, e no perodo t, pode estar correlacionado com o termo erro no perodo t-1). Esse tipodeautocorrelaomuitocomumnassriestemporaisdomercado financeiro, taxas de cmbio, taxas de inflao, preos de aes, etc., e tais correlaes so conhecidas como heteroscedasticidade condicional auto-regressiva, ARCH. Quando avarinciadoerrosecorrelacionacomoquadradodostermosdoerrodoperodo anterior,omodelochamadoGARCH,heteroscedasticidadecondicionalauto-regressiva generalizada. Este assunto, porm, ser mais bem abordado no curso de Econometria II. Page 12 of 12