1

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

MATEMÁTICAS 4º E.S.O.

UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CORRECCIÓN AUTOEVALUACIÓN

NNNOOO SSSAAACCCAAARRR DDDEEELLL AAAUUULLLAAA IIINNNTTTEEELLLIIIGGGEEENNNTTTEEE

1. Dados los polinomios P(x) = 4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8 y Q(x) = x 2 – 2x – 1, calcula:

a) P(x) − Q(x) b) P(x)�[−Q(x)] c) P(x):Q(x) SOLUCIÓN: a) P(x) − Q(x) = 4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8 – (x 2 – 2x – 1) = 4x 5 – 6x 4 + x 2 + 2x + 9

b) P(x)�[−Q(x)] = (4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8)�[-(x 2 – 2x – 1)] = = (4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8)�(−x 2 + 2x + 1) = = −4x 7 + 8x 6 + 4x 5 + 6x 6 – 12x 5 − 6x 4 – 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 – 8x 2 + 16x + 8 = = −4x 7 + 14x 6 – 8x 5 − 8x 4 + 4x 3 – 6x 2 + 16x + 8

c) P(x):Q(x) 4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8 x 2 – 2x – 1 −4x 5 + 8x 4 + 4x 3 4x 3 + 2x 2 + 8x + 20 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 + 8 −2x 4 + 4x 3 + 2x 2 8x 3 + 4x 2 + 8

−8x 3 + 16x 2 − 8x 20x 2 − 8x + 8 −20x 2 − 40x + 20 48x + 28 C(x) = 4x 3 + 2x 2 + 8x + 20 R(x) = 48x + 28 2. Indica los términos independientes, lineales y cuadráticos de los resultados del ejercicio anterior. SOLUCIÓN: C(x) = 4x 3 + 2x 2 + 8x + 20 → t. i. = 20 ; t. lineal = 8x ; t. cuadrático = 2x 2 R(x) = 48x + 28 → t. i. = 28 ; t. lineal = 48x ; t. cuadrático = 0 3. Desarrolla las siguientes potencias aplicando el Binomio de Newton:

a) 5

2 42

1

+ xx b) 4

22

4

3

2

3

− yxxy

SOLUCIÓN:

Aplicamos el Binomio de Newton: ( )0

nn n k k

k

na b a b

k

−

=

+ =

∑

2

a) 5

2 42

1

+ xx = ( )55

2

0

5 14

2

kk

k

x xk

−

=

∑ = ( )

5 0025 1

40 2

x x

−

+ ( )

5 1125 1

41 2

x x

−

+

+ ( )5 2

225 14

2 2x x

−

+ ( )

5 3325 1

43 2

x x

−

+ ( )

5 4425 1

44 2

x x

−

+

+ ( )5 5

525 14

5 2x x

−

=

521

2x

+ ( )4

215 4

2x x

+ ( )3

22110 4

2x x

+

+ ( )2

32110 4

2x x

+ ( )4215 4

2x x

+ ( )54x =

= 101

32x + 95

4x + 20x 8 + 160x 7 + 640x 6 + 1 024x 5

b) 4

22

4

3

2

3

− yxxy = 44

2 2

0

4 3 3

2 4

k k

k

xy x yk

−

=

−

∑ =

= 4

24 3

0 2xy

+

32 24 3 3

1 2 4xy x y

−

+ 2 2

2 24 3 3

2 2 4xy x y

−

+

+ 3

2 24 3 3

3 2 4xy x y

−

+ 4

24 3

4 4x y

−

=

= 4 881

16x y − 5 781

8x y + 6 6243

32x y − 7 581

32x y + 8 481

256x y

4. ¿Para qué valores de a la división (x 2 – 3x – 2a):(x + 2) da de resto 7? SOLUCIÓN: Por el teorema del resto: R(x = −2) = P(−2) = (−2)2 – 3�(−2) – 2a = 7 ⇒ 4 + 6 – 2a = 7 ⇒

⇒ −2a = −3 ⇒ a = 2

3

5. Halla un polinomio de segundo grado que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

a) el coeficiente de segundo grado sea 1. b) sea divisible por x – 2. c) al dividirlo por x + 1 da resto 5.

SOLUCIÓN: Un polinomio de 2º grado tiene la forma general: P(x) = ax 2 + bx + c Los coeficientes a, b y c se calculan por las condiciones impuestas. Por a), a = 1 P(x) = x 2 + bx + c. Por b), R(x = 2) = 0 = P(2) = 22 + 2b + c = 4 + 2b + c 2b + c = −4 Por c), R(x = −1) = 5 = P(−1) = (−1)2 + (−1)�b + c = 1 – b + c −b + c = 4 Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:

3

=+−

−=+

4

42

cb

cb

Lo resolvemos por reducción: 1ª + 2�2ª: 3c = 4 ⇒ c = 3

4

−b = 4 – 3

4 ⇒ b =

3

8−

Entonces: P(x) = x 2 3

8− x +

3

4

Comprobamos: a) evidente.

b) P(2) = 22 – 3

8�2 +

3

4 =

3

41612 +− =

3

0 = 0 cierto

c) P(−1) = (−1)2 – 3

8(−1) +

3

4 =

3

483 ++ =

3

15 = 5 cierto

6. Sin efectuar ningún tipo de división, obtén razonadamente el resto de la división de

(x – 3)2 – 2(x + 1) entre 2x – (x – 1). SOLUCIÓN: Primero, “arreglamos” los polinomios, reduciéndolos: (x – 3)2 – 2(x + 1) = x 2 – 6x + 9 – 2x – 2 = x 2 – 8x + 7 2x – (x – 1) = x + 1 Al ser el divisor del tipo x + a, aplicamos el teorema del resto: (−1)2 – 8�(−1) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16 que será el resto de la división pedida. 7. Halla los valores de a y b tales que:

a) x 4 + x 3 + x 2 + ax + b sea divisible por (x – 1) y (x + 1). b) 64 23 −++ bxxax sea divisible por (x + 3) y (x – 2).

SOLUCIÓN: a) Aplicamos el teorema del resto en ambos casos: R(x = 1) = 14 + 13 + 12 + a + b = 0 ⇒ a + b = −3 R(x = −1) = (−1)4 + (−1)3 + (−1)2 + a�(−1) + b = 0 ⇒ −a + b = −1 Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:

−=+−

−=+

1

3

ba

ba

Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción: 1ª + 2ª: 2b = −4 ⇒ b = −2

a = −3 + 2 = −1 a = −1 ; b = −2 b) Aplicamos el teorema del resto en ambos casos: R(x = −3) = a�(−3)3 + 4�(−3)2 + b�(−3) – 6 = 0 ⇒ −27a − 3b = −30 R(x = 2) = a�23 – 4�22 + b�2 – 8 = 0 ⇒ 8a + 2b = −10 Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:

27 3 30

8 2 10

a b

a b

+ =

+ = −

4

Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción: 2�1ª − 3�2ª: 30a = 90 ⇒ a = 3 ⇒ b = 7 a = 3 ; b = 7

8. Halla un polinomio cuyas raíces sean 2, −2, 1 y 2

1.

SOLUCIÓN:

Las raíces son: x = 2 ; x = −2 ; x = 1 ; x = 2

1

Posibles binomios (los más simples) con cada una de esas raíces: x – 2 ; x + 2 ; x – 1 ; 2x – 1 Un polinomio como el buscado:

P(x) = (x – 2)�(x + 2)�(x – 1)�(2x – 1) 9. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 23 −+ xx b) 8469 xx +− c) 44 235 −+− xxx

d) xx +− 22 e) 27279 23 −+− xxx SOLUCIÓN: a) Divisores del término independiente: ±1, ±2 P(1) = 1 + 1 – 2 = 0 → x = 1 raíz Dividimos por Ruffini: 1 0 1 −2 1 1 1 2 P(x) = (x – 1)(x 2 + x + 2) 1 1 2 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 + x + 2 = 0 ∆ = 1 – 8 = −7 < 0 → No sol. → polinomio irreducible Factorización: P(x) = (x – 1)(x 2 + x + 2) b) Observamos los coeficientes y nos planteamos si hay identidad notable cuadrado de una diferencia: (1º)2 = 9 1º = 3 (2º)2 = x 8 2º = x 4 −2�1º�2º = −2�3�x 4 = 6x 4 Entonces: 9 – 6x + x 8 = (3 – x 4)2 El binomio entre paréntesis no tiene raíces racionales; entonces: Factorización: P(x) = (x 4 – 3)2 c) Divisores del término independiente: ±1, ±2, ±4 P(1) = 15 – 4�13 + 12 – 4 ≠ 0 P(−1) = (−1)5 – 4�(−1)3 + (−1)2 – 4 = 0 → x = −1 raíz Dividimos por Ruffini:

5

1 0 −4 1 0 −4 −1 −1 1 3 −4 4 1 −1 −3 4 −4 0 P(x) = (x + 1)(x 4 − x 3 − 3x 2 + 4x − 4) Divisores del término independiente: ±1, ±2, ±4 Q(−1) = (−1)4 − (−1)3 − 3(−1)2 + 4(−1) − 4 = 1 + 1 – 3 – 4 – 4 ≠ 0 Q(2) = 24 − 23 − 3�22 + 4�2 − 4 = 16 − 8 – 12 + 8 – 4 = 0 → x = 2 raíz Dividimos por Ruffini: 1 −1 −3 4 −4 2 2 2 −2 4 1 1 −1 2 0 P(x) = (x + 1)(x – 2)(x 3 + x 2 − x + 2) Divisores del término independiente: ±1, ±2 R(2) = 23 + 22 − 2 + 2 = 8 + 4 ≠ 0 R(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2) + 2 = –8 + 4 + 2 + 2 = 0 → x = −2 raíz Dividimos por Ruffini: 1 1 −1 2 −2 −2 2 −2 1 −1 1 0 P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)(x 2 − x + 1) Resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 + x + 1 = 0 ∆ = 1 – 4 = −3 < 0 → No sol → polinomio irreducible Factorización: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)(x 2 − x + 1) d) Resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 – 2 + x = 0 x = −2; 1 Factorización: P(x) = (x − 1)(x + 2) e) Nos planteamos la existencia de una identidad notable cubo de una diferencia: (1º)3 – 3�(1º)2�(2º) + 3�(1º)�(2º)2 – (2º)3: (1º)3 = x 3 1º = x (2º)3 = 27 2º = 3 3�(1º)2�(2º) = 3�x 2�3 = 9x 2 3�(1º)�(2º)2 = 3�x�32 = 27x Factorización: P(x) = (x – 3)3 10. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 116 4 −x ; 4x – 2 ; 144 2 +− xx

b) 12322 234 +−−+ xxxx ; 122 23 +++ xxx

c) 22 xa − ; a + x ; 22 2 xaxa +−

6

SOLUCIÓN: a) Factorizamos: � 16x 4 – 1 = (4x 2 + 1)(4x 2 – 1) = (4x 2 + 1)(2x + 1)(2x – 1) � 4x – 2 = 2(2x – 1) � 4x 2 – 4x + 1 = (2x – 1)2 m.c.m. = 2(4x 2 + 1)(2x + 1)(2x – 1) 2 ; m.c.d. = 2x – 1

b) Factorizamos: � 2x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 2x + 1 = (x − 1)(x + 1)(2x 2 + 2x − 1) ±1 P(1) = 2 + 2 – 3 – 2 + 1 = 0 → x = 1 raíz Dividimos por Ruffini: 2 2 −3 −2 1 1 2 4 1 −1 P(x) = (x − 1)(2x 3 + 4x 2 + x − 1) 2 4 1 −1 0 ±1 Q(1) = 2 + 4 + 1 – 1 ≠ 0 Q(−1) = −2 + 4 − 1 − 1 = 0 → x = −1 raíz Dividimos por Ruffini: 2 4 1 −1 −1 −2 −2 1 P(x) = (x − 1)(x + 1)(2x 2 + 2x − 1) 2 2 −1 0

ecuación de 2º grado: 2x 2 + 2x − 1 = 0 → x = 2

3

2

1±− raíces no enteras

� x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) ±1 P(1) = 1 + 2 – 2 + 1 ≠ 0 P(−1) = −1 + 2 − 2 + 1 = 0 → x = −1 raíz Dividimos por Ruffini: 1 2 2 1 −1 −1 −1 −1 P(x) = (x + 1)(x 2 + x + 1) 1 1 1 0 ecuación de 2º grado: x 2 + x + 1 = 0 ∆ = 1 – 4 < 0 → No solución → polinomio irreducible m.c.m. = (x − 1)(x + 1)(2x 2 + 2x − 1)(x 2 + x + 1) ; m.c.d. = (x + 1)

c) Factorizamos: � a 2 – x 2 = (a + x)(a – x) � a + x irreducible � a 2 – 2ax + x 2 = (a – x)2 m.c.m. = (a + x)(a – x)2 ; m.c.d. = 1

7

11. Expresa las siguientes fracciones algebraicas de la manera más sencilla posible:

a)

3

13

1

−

+

x

x

b)

2

2

4

2

b

a

b

a

−

+

SOLUCIÓN:

a) ( )( ) 13

13

133

133

3

133

13

−+

=−+

=−

+

=x

x

x

x

x

x

b) ( )

( )( )

( )( ) ab

b

abab

abb

abb

abb

b

abb

ab

−=

−++

=−+

=−

+

=222

2

4

24

2

22

2

2

22

12. Reduce las siguientes fracciones algebraicas a común denominador y súmalas, simplificando el resultado si fuese posible: SOLUCIÓN: a) m.c.m.(x – 1, x + 1, x 2 – 1) = x 2 – 1

� ( )

1

12

1

1

1

12

2

2

2

−++

=−

+=

−+

x

xx

x

x

x

x

� ( )

1

33

1

13

1

322 −

−=

−−

=+ x

x

x

x

x

� 1

22 −

−−x

x No varía

Suma:

=−

−−

−−

+−

++=

−

−−+

++

−+

1

2

1

33

1

12

1

2

1

3

1

1222

2

2 x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

( )

( )( )11

4

1

42

2

−++

=−

+=

xx

xx

x

xx irreducible

b) m.c.m.(x 2 – 2x + 1, x – 1, 1) = x 2 – 2x + 1

� 122

2

+− xx

x No varía

� ( )( )

12

32

12

132

1

322

2

2 +−−+

−=+−−+

−=−+

−xx

xx

xx

xx

x

x

� 12

121 2

2

+−+−

=xx

xx

Suma:

=+−+−

++−−+

−+−

=+

−+

−++− 12

22

12

32

121

1

32

22 2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xx

x

12

432 +−

+−

xx

x