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Autoinduzione
Dimensioni e unità dell’autoinduttanza
Fem autoindotta
Induzione mutua
Circuito LR
Energia magnetica
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
Circuito LC
Rocchetto di Ruhmkorff
Elettrodinamica 224 ottobre 2013
Autoinduzione
• Un circuito percorso da corrente genera un campo B
• Il flusso di B concatenato al circuito è
• B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace
• B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è
S
AdBSB
|
3
0
4 r
rldiB
2
Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura
• Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito
• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica
• Le dimensioni sono
• L’unità di misura è lo henry (H)
Li
iL
A
Tm
A
WbH
2
3
Autoinduttanza di un solenoide
• Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è
• Il flusso di B concatenato con le N spire è
• L’autoinduttanza è
il
NniB 00
AlinnlBANBA 20
Alni
L 20
4
Fem autoindotta
• In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem
• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive
dt
diL
dt
Lid
dt
d
)(E
5
Induzione mutua
• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro
• Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente
• Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1
1
121212 |S
AdBSB
3
22
02 4 r
rldiB
22112 iM
C1
C2
6
Induzione mutua
• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi
• Simmetricamente per il circuito 2 avremo
• Si può dimostrare che
• Il valore comune M è detto induttanza mutua• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla
loro disposizione relativa e distanza• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L
112222 iMiL
221111 iMiL
2112 MM
7
Circuito LR
• Contiene un resistore R e un induttore L• Inizialmente il circuito è aperto e i=0• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma
varia come e nell’induttanza c’è una fem
• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR
• Per la 2a legge di Kirchhoff
dtdi
dtdiL
0 iRdt
diLiR bib EEE
8
Analisi qualitativa del circuito LR
• Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come
• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come
• Cioè più lentamente che per t=0
dtdiL
Ldt
di bE
0
L
iR
Ldt
di b E
9
Analisi qualitativa del circuito LR
• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale
• L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore
• Si ottiene come soluzione
• Con costante di tempo del circuito
dtdi
R
L
tb eR
i 1E
Ri bf
E
10
Energia Magnetica
• Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente
• Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria
• Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza
• Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore
dt
diLiRii 2E
11
Energia Magnetica
• Possiamo dunque scrivere
• La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If
• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore
dt
diLi
dt
dUm
2
0 2
1f
I
mm LILididUUf
12
Energia Magnetica
• Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B
• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B
• L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B
• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo
niB 0 AlnL 20
13
Energia Magnetica
• L’energia magnetica accumulata è
• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica
• Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale
lAB
n
BAlnLIU fm
0
22
0
20
2
22
1
2
1
0
2
2 B
lA
Umm
14
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti
• Isoliamo il termine di induzione
M
R1
EB1
L1
R2
EB2
L2
0
0
222
111
RiB
RiB
VEE
VEE
222
111
RBi
RBi
VEE
VEE
15
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq.
• Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica
222222
111111
IVIEIE
IVIEIE
RBi
RBi
222
111
IEP
IEP
im
im
16
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti
• Esplicitando la fem dei due circuiti
dtIEIEdtPdtPdU iimmm 221121
2
2221
2
11
22
221
12
11
1
212
2121
1
2
1
2
1IL
dt
dIMI
dt
dIL
dt
d
Idt
dILI
dt
dIMI
dt
dIMI
dt
dIL
Idt
dIM
dt
dILI
dt
dIM
dt
dIL
dt
dUm
17
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• E integrando• Tale energia non puo` essere negativa, questo
matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa
• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo
2
2221
2
11 2
1
2
1ILIMIILUm
02 2
2
2
1 yLMxyxL
021
2 LLM
18
Coefficiente di accoppiamento
• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti
• Si definisce coefficiente di accoppiamento
• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)
2121 LLMLL
21
2
LL
Mr 10 r
19
Circuito LC – Oscillazioni libere
• Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff
• È l’equazione del moto armonico di pulsazione
• che ha soluzione
QCdt
dIL
1
01
2
2
QLCdt
Qd
tAQ 0cos
L
CCL VE
LC
10
tAI 00 sin
0 CL VE
dt
dQI
20
Circuito LC
• Ove A e si determinano imponendo le condizioni iniziali
• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo
• Carica e corrente sono sfasate di /2
tQQ 00 costQI 000 sin
21
Circuito LC
• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica
• Questa energia è costante
• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente
• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica
0)(
LC
QLII
C
Q
dt
dILI
dt
dQ
C
Q
dt
tdU
)(2
1)(
2
1)( 2
2
tLIC
tQtU grafico
22
Rocchetto a induzione(*)
• Un rocchetto ad induzione (o di Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente continua a bassa tensione
• (*) le pagine da 23 a 28 sono adattate da Wikipedia
23
Funzionamento• Un rocchetto ad induzione
consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti attorno ad un unico nucleo di ferro
• Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico
• L'altro (avvolgimento secondario) consiste di diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato magneticamente al primario attraverso il nucleo di ferro
24
Funzionamento• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel
campo magnetico associato• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la
forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore
• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario
• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali
25
Funzionamento
• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica vibrante chiamata interruttore per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario
• L'interruttore è montato ad una estremità del nucleo ferroso, il campo magnetico generato dal primario attira la lamina, trattenuta da una molla, e apre il circuito
• All'apertura del circuito, il campo magnetico si interrompe, la molla richiama l’interruttore e il circuito viene chiuso nuovamente
26
Funzionamento
• La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore
• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore
• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra
27
Funzionamento
• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente
• Questo diminuisce la formazione di correnti parassite perpendicolari all'asse magnetico
28
Circuito chiuso
• Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario
• Soluzione
BEridt
diL 1
11
TtB er
Ei 11
r
LT 1
R
rM
EB
L1 L2
i1
t 29
Circuito chiuso• Flusso nel secondario
• Fem nel secondario
• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a
• Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale
dt
diM
dt
diLE 1222
1222 MiiL
R
rM
EB
L1 L2
TtB eTr
EM
dt
diME
112
1
2 L
EME Bchius
E2
t
30
Circuito apertomodellato con una R molto grande
• Equazione del primario
• Soluzione
BEirRdt
diL 1
11
tBtBBtB er
Ee
r
R
rR
E
rR
Ee
r
R
rR
Ei
11
rR
L
1
R
r
L1 M
EB
L2
i1
t 31
Circuito aperto
• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e`
• Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale
tB e
rrR
REM
dt
diME
112
r
R
L
EM
rrR
REME BBaper
1
2
1
R
r
L1 M
EB
L2
E2
t32
Fem nelle commutazioni
• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono
• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti
• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`
33
BBBBchius EE
L
L
L
ELL
L
EME
1
2
1
21
1
2
r
RE
r
RE
L
L
r
R
L
ELL
r
R
L
EME BB
BBaper 1
2
1
21
1
2
12
2 r
R
E
Echius
aper
Fem nelle commutazioni
• Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica
aperE2
34
E2
tapertura del primariochiusura del primario
Potenziale di scarica in aria
Importanza scientifica
• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H. Hertz per dimostrare sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche
35