Universidad Católica Andrés BelloFacultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería IndustrialCátedra Investigación de Operaciones

Caracas, 31 de Enero de 2005

IndicePag.

1. Introducción............................................................ 22. Antecedentes............................................................. 43. Descripción de un Autómata Celular.............................. 84. Los primeros Autómatas Celulares................................ 10 4.1. Maquina de Turing.............................................. 11 4.2. Autómata autorreproductor de Freeman Dyson....... 15 4.3. Autómata autorreproductor de Von Newmann modeloscinematico......................................................... 15 4.4. Autómata celular de Von Newman......................... 175. Estructura de un Autómata Celular............................... 186. Consideraciones adicionales........................................ 207. Autómata celular en una dimensión.............................. 208. Autómatas celulares en tres dimensiones....................... 229. Algunos ejemplos y aplicaciones................................... 2710. Conclusiones............................................................ 29Bibliografía.................................................................... 31

Introducción

Los autómatas celulares poseen caracterizas que hacen importante su estudio a las diversas ciencias.

Los mencionados son útiles en la construcción de modelos donde los elementos componentes son de similar naturaleza y comportamiento; donde éstos se rigen por reglas parecidas y donde, en el mismo sistema real, se identifican componentes diferenciables, independientes, aislables y/o discretos.

Es típico de un Autómata Celular generar comportamientos complejos a partir de reglas muy sencillas. 

Desde su concepción original, la cual era proporcionar un marco formal a la investigación de comportamientos complejos, se han encontrado múltiples aplicaciones a la mencionada herramienta. Las múltiples aplicaciones de los autómatas celulares hacen de mucho interés su estudio por parte de diversas ciencias.

Entre las aplicaciones de la teoría de autómatas celulares abarcan aspectos de la ciencia tan diversos como: Mecánica de fluidos, Medioambiente: polución, incendios forestales, Sistemas biológicos: evolución de las especies, crecimiento de poblaciones, comportamiento de colonias de microorganismos, sistemas inmunes, vida artificial, etc., Modelos socio-económicos: urbanismo, tráfico, procesos económicos, Modelos de reacciones químicas como la reacción de Belousov-Zhabotinsky, Patrones de pigmentación de piel, Construcción de fractales, Criptología , entre otros.

El presente es un marco referencial para el estudio inicial de los Autómatas Celulares, en el cual se van a repasar diversos conceptos y aportaciones en el referido campo, fundamentalmente desde una perspectiva del análisis de la herramienta dejando a un lado los modelos específicos de sus diversas aplicaciones.

La organización del documento es el que sigue. En el siguiente apartado se narran brevemente los antecedentes, seguidamente se describe un autómata celular, su funcionamiento, su estructura y se mencionan algunas de sus aplicaciones.

Antecedentes

El desarrollo de los autómatas celulares comenzó hacia 1943 cuando John Von Neumann empezó a considerar la posibilidad de generación de vida artificial,

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tratando de que un robot se copiara a si mismo. Bajo sugerencia de Stanislaw Ulam, coinventor de la bomba de hidrogeno, Von Neumann utilizo patrones, en una cuadrícula en el plano, que evolucionan según una regla de transformación fija.

De esta forma, el problema de autorreproducción mecánica quedaba reducido a la búsqueda de ciertas configuraciones que, con la aplicación de la regla, dieran lugar a copias idénticas.

Muchos autómatas interesantes han surgido como “juegos de computador”, y, gracias a las facilidades computacionales, a diversas teselaciones del plano se aplican reglas locales dando lugar a vistosos cambios en las configuraciones en las que subyace una rica estructura matemática.

Un investigador inicial de Autómatas Celulares que merece ser mencionado es Edward Fredkin quien, en 1960, formulo un concepto de “mecánica de la información”, en analogía con la mecánica quántica. Se basa en el supuesto de que el mundo físico proporciona constantemente información y puede, por consiguiente, modelarse como un gran Autómata Celular tridimensional.

En 1965, John Holland utilizo Autómata Celulares para resolver problemas de adaptación y optimización. Hedlund (1969) y Richardson (1972) estudian los Autómata Celulares como sistemas dinámicos.

Por otro lado, el desarrollo de estructuras y patrones de ciertos organismos vivos simples obedece reglas locales sencillas que permiten la descripción por medio de autómatas celulares. En poblaciones de plantas, por ejemplo, el valor de una celda podría corresponder a la presencia o ausencia de una planta y las reglas serían ciertas interacciones ecológicas locales. Hasta ahora, gran parte de la teoría desarrollada corresponde a autómatas celulares que evolucionan según reglas determinísticas. Con el fin de obtener modelos más exactos de fenómenos naturales es necesario considerar aspectos probabilísticas en su dinámica. Esto da lugar a los llamados autómatas celulares estocásticos, los cuales pueden generalizarse aun más con la admisión de reglas locales no uniformes. De esta manera, se pueden convertir en sistemas que alcanzan un comportamiento prefijado mediante aprendizaje

Las aplicaciones de los autómatas celulares son múltiples en campos como física, biología, química, matemáticas y ciencias de la computación, entre otros.

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Los Autómatas Celulares son redes de autómatas simples conectados localmente. Cada autómata simple produce una salida a partir de varias entradas, modificando en el proceso su estado según una función de transición. Por lo general, en un autómata celular, el estado de una célula en una generación determinada depende única y exclusivamente de los estados de las células vecinas y de su propio estado en la generación anterior.

Los autómatas celulares son herramientas útiles para modelar cualquier sistema en el universo. Pueden considerarse con una buena alternativa a las ecuaciones diferenciales y han sido utilizados para modelar sistemas físicos, como interacciones entre partículas, formación de galaxias, cinética de sistemas moleculares y crecimiento de cristales, así como diversos sistemas biológicos a nivel celular, multicelular y poblacional.

Un Autómata Celular es un sistema dinámico que involucra reglas simples determinísticas, como en cualquier sistema los cambios de variables están en función de sus valores predichos, se considera una idealización matemática en donde el espacio y el tiempo son caracterizados de manera discreta, así las cantidades relacionadas toman valores discretos.

Una automatización celular consiste de un enrejado uniforme y regular, que es por lo regular extenso con una variable discreta para cada sitio, que es denominada 'célula', el valor del sitio de la variable comienza a ser afectado por el valor de una variable que se encuentra en una 'vecindad' en previos tiempos determinados. Las vecindades son los sitios alrededor de cierta célula, las variables de cada sitio están sincronizadas, basadas en los valores de las variables en sus vecindades y prescindiendo del tiempo.

El tiempo es discreto y en pasos progresivos, el espacio es particionado en células discretas, teniendo una geometría dada n-dimensional y las condiciones pueden ser definidas en un espacio finito. En un sistema celular uno puede formularse, precisar y gobernar con reglas simples la operación del sistema. Camino intuitivo por el cual el Autómata finito se autorreproduce, la lista finita de estados para el sistema, por cada célula es un estado distinguible y una regla que da el estado de cada célula. Cualquier diseño puede ser fijado como una condición inicial en un tiempo dado t0, cada célula de orden simultáneo tiene un valor que involucra un nuevo estado global al tiempo t1, el nuevo valor de una célula dada al tiempo t, es una función de los valores y locaciones de una determinada célula las cuales son las vecindades que se encuentran en el tiempo t0, así se forma una sucesión de estados globales para la interacción de estos estados globales, es donde surgen la llamada función de transición, ésta es constante por lo que el sistema es caracterizado, entonces por la evolución de un Autómata Celular de estados iniciales, este tipo de funciones son funciones boleanas, asignando así el valor discreto de la célula, en este sistema celular se constituye un espacio en donde toman lugar los eventos de automatización y pueden formularse con reglas simples para la operación del sistema.

Descripción De Un Autómata Celular

En pocas palabras, un autómata celular es un modelo formal que está compuesto por un conjunto de entes elementales, cada uno de ellos susceptible

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de encontrarse en un cierto estado y de alterarlo de un instante al siguiente, asumiendo que el tiempo transcurre de forma discreta. La regla que gobierna la transición de estados en los entes es sensible a los estados de los demás elementos de su vecindad, siendo por tanto una regla de transición local. El aspecto que más caracteriza a los autómatas celulares es su capacidad para dotar al conjunto del sistema, visto como un todo, una serie de propiedades emergentes inducidas por la propia dinámica local.

En general, no es fácil obtener las propiedades globales de un sistema definido como el anterior, complejo por naturaleza, a no ser por vía de la simulación, partiendo de un estado inicial de la población de objetos y cambiando en cada instante los estados de todos ellos de forma sincrónica. Al hablar de un autómata celular es necesario fijar los siguientes puntos:

Conjunto de entes. Se necesita saber cuántos objetos elementales van a formar la población del sistema. En principio no hay restricción a su número, pudiendo ser desde unos pocos hasta una infinidad. En ocasiones es importante situarlos sobre una región geográfica, identificándose entonces los entes con sus respectivas coordenadas geográficas.

Vecindades. Para cada elemento del sistema es necesario establecer su

vecindad, esto es, aquellos otros elementos que serán considerados como sus vecinos. En caso de asociar objetos con coordenadas de un sistema de referencia, el criterio suele ser construir la vecindad de un elemento dado con todos aquellos otros elementos que se encuentran a menos de una cierta distancia o radio, de forma que los más alejados no ejerzan influencia directa sobre él.

Conjunto de estados. En cada instante, cada elemento deberá encontrarse en un cierto estado. El caso más sencillo corresponde a los elementos biestables, los cuales se pueden encontrar en sólo uno de dos estados posibles, 0 y 1, por ejemplo. Pero también el estado puede venir representado por un vector de componentes reales o por una cadena de un lenguaje formal.

Regla de transición local. La regla de transición define la dinámica del sistema. Dado un elemento y un instante determinados, la regla devuelve el siguiente estado del elemento, para ello necesita como argumentos los estados actuales, tanto del elemento considerado como de aquellos que conforman su vecindad. Las reglas de transición pueden ser deterministas o probabilistas, además, no todos los elementos necesitan obedecer a la misma regla.

Los Primeros Autómatas Celulares

Los estudios sobre autómatas finitos, máquinas de Turing, y otros modelos que siguen la misma filosofía configuran lo que se ha denominado Teoría de Autómatas y Máquinas de Turing, o simplemente Teoría de Autómatas, dentro de

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la Teoría de la Computación.

En la década de los 50, dos neurofisiólogos, Warren S. McCulloch y Walter Pitts diseñaron un modelo matemático para representar el funcionamiento de las células cerebrales que fue el origen de los que hoy se conoce por redes neuronales. El modelo era una aproximación muy sencilla al comportamiento real de las neuronas, pero tenía grandes aplicaciones en otros contextos. En el campo puramente matemático, Kleene redefinió el modelo y dio lugar a los autómatas finitos, especie de máquinas ideales o modelos matemáticos, al modo de la máquina de Turing, con posibilidades bastante más reducidas, pero muy adecuadas para ciertos procesos de cálculo.

Por otra parte el inglés Turing consiguió definir conceptualmente una máquina de cálculo que se considera universal, es decir, el mecanismo de procesar cualquier algoritmo. Turing diseñó un modelo matemático de autómata que siguiendo unas reglas simples conseguía solucionar una gran gama de problemas. En principio, la máquina de Turing constituye el instrumento de cálculo universal, el más general. No es posible dar una demostración rigurosa de esto, aunque sí se tiene una gran cantidad de indicios, agrupados en lo que se conoce como Tesis de Church, que puede plantearse así: "No existen funciones que puedan ser definidas por personas, y cuyo cálculo sea descrito por algún algoritmo, que no puedan computarse con una máquina de Turing". Basándose en la máquina de Turing, Von Neumann trabajó en una máquina autorreproductiva que llamó kinematon y en la idea de autómata celular.

La Máquina de Turing.

Definición.

Una máquina de Turing es una máquina idealizada para el procesamiento de información, cuyas acciones están especificadas en términos matemáticos. En definitiva, es un dispositivo que lleva a cabo un procedimiento de cálculo definible en términos finitos. Es un elemento de matemática abstracta, y no un objeto físico.

Descripción.

La máquina de Turing consta de las siguientes partes:

Una cinta ilimitada por sus dos lados, y dividida en células.

Un número finito de signos que forman el alfabeto exterior, en el que se cifran los datos introducidos en la máquina y los datos finales de la máquina. Estos signos se introducen en las células; entre ellos se encuentra el signo vacío que borra el signo que había antes en una célula, y deja la célula vacía. Como máximo puede haber un signo exterior en cada célula.

Un número finito de estados internos diferentes.

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La unidad lógica que tiene dos canales de entrada; por uno de ellos entra el dato externo que lee en la cinta, y por el otro el estado interno en el que está la máquina.

Después de observar una célula de la cinta de datos, la Unidad Lógica sustituye el símbolo observados por otro signo. Si la célula no cambia, se borra lo que había en esa célula.

El funcionamiento de la máquina se realiza en unidades consecutivas de tiempo. Cuando se pasa de una unidad de tiempo a la siguiente, la dirección de la célula observada puede cambiar en no más de una unidad; es decir, se contemplará la vecina de la derecha, izquierda, o la misma célula del tiempo anterior.

La Unidad Lógica tiene tres canales de salida: el primero para la salida de la cinta donde se ha modificado el dato de entrada; el segundo indica el estado en el que debe situarse la máquina; el tercero para indicar cuál será el siguiente dato a leer de la cinta de entrada.

Los signos que constituyen el alfabeto interno de la máquina.

Dependiendo de los datos iniciales puede ocurrir que:

a. Después de un número finito de tiempos, la máquina se para; en este caso se dice que la máquina es utilizable para la información inicial.

b. La información de parada no aparece; en este caso se dice que la máquina no es utilizable para la información inicial.

Funcionamiento.

Una máquina de Turing es un dispositivo que transforma un INPUT (entrada) en un OUTPUT (salida) después de algunos pasos. Tanto el INPUT como el OUPUT constan de números en código binario (ceros y unos). En su versión original la máquina de Turing consiste en una cinta infinitamente larga con unos y ceros que pasa a través de una caja. La caja es tan fina que solo el trozo de cinta que ocupa un bit (0 ó 1) está en su interior. La máquina tiene una serie de estados internos finitos que también se pueden numerar en binario.

Para llevar a cabo algún algoritmo, la máquina se inicializa en algún estado interno arbitrario. A continuación, se pone en marcha y la máquina lee el bit que se encuentra en ese momento en su interior y ejecuta alguna operación con ese bit (lo cambia o no, dependiendo de su estado interno). Después se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda, y vuelve a procesar el siguiente bit de la misma manera. Al final se para, dejando el resultado al lado izquierdo por ejemplo.

Hipótesis Física Church-Turing

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Turing y su colaborador, Alonzo Church presentaron posteriormente la 'Hipótesis Física Church-Turing' donde postulaban que el modelo de máquina diseñado por Turing podría no sólo duplicar las funciones de las máquinas matemáticas sino también imitar las funciones de la naturaleza.

La 'Hipótesis de Church-Turing' se basaba en que cualquier procedimiento que puede ser descrito con precisión puede ser programado para que lo realice una computadora. Esta tesis era la hipótesis básica de la teoría de algoritmos, que es que cualquier algoritmo puede ser representado por medio de un esquema funcional de Turing y realizado en la correspondiente máquina de Turing.

Compararon la mente con una máquina de estados finitos, que seguiría simplemente un protocolo lógico, una 'tabla de reglas' determinada por fuerzas físicas y biológicas. Como en el campo de la lógica se comprobó que todas las computadoras digitales eran el equivalente de la máquina de Turing, se les calificó entones como computadoras universales.

Autómata autorreproductor de Freeman Dyson.

Freeman Dyson, profesor de Física, ideó un autómata autorreproductor con objeto de enviarlo al Enceladus, una de las lunas de Saturno. Dyson propuso una máquina que extraería la energía necesaria del Sol para crear fábricas que produjesen una larga cadena de naves de vela impulsadas por dicha energía solar, llevando cada una de ellas un bloque de hielo. Estas naves de vela se dirigirían a Marte donde la brusca caída de temperatura dentro de la atmósfera marciana haría que se deshelasen los bloques de hielo. Dyson imaginó que la humedad acumulada podría calentar la atmósfera del cuarto planeta del Sol, Marte, transformando la atmósfera de este planeta en un ambiente adecuado para las formas de vida y la agricultura.

Autómata autorreproductor de Von Newmann o modelo cinemático .

El primer autómata autorreproductor descrito por Von Newmann fue una computadora compuesta de distintas partes para el procesamiento de la información. Ideó una máquina para ser construida como una masa sólida que existiese en el mundo real. Además de sus elementos computacionales, autómata también constaba de otros cinco componentes:

1. Un elemento de manipulación, que acepte las órdenes de la parte computacional (o control) de la máquina.

2. Un elemento que sea capaz de desconectar dos elementos a petición de la computadora.

3. Un elemento de fusión que podría conectar dos partes. 4. Un elemento sensorial que fuese capaz de reconocer cualquiera de las

partes y conducir esa información a la computadora.

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5. Unas vigas que actúen como elementos estructurales y que proporcionen tanto el chasis a la criatura, como el aparato para el almacenamiento de la información.

La criatura imaginada por Von Newmann tendría también un hábitat. Su ambiente sería un gigantesco depósito que contendría los mismos tipos de elementos que formaban parte de la criatura ( fábrica, duplicador, aparato de control, la computadora, las instrucciones desplegadas en una larga cadena...)

El propósito que pretendía conseguir con el diseño de dicha máquina, era crear una criatura que fuese capaz de crear su propia descendencia a partir de las piezas que requería para ello. El diseño pretendía dotar a la nueva criatura creada de una copia de las instrucciones de información, por tanto se conseguiría una criatura que sería fértil, es decir, capaz de repetir el mismo proceso. Pero estos autómatas no sólo eran capaces de reproducirse sino que con el paso del tiempo tenían la capacidad de evolucionar a algo más complejo que su estado original.

Este primer autómata autorreproductor de Von Newmann llegó a ser conocido como modelo cinemático, pero tenía un fallo importante, que residía en sus elementos; constaba de demasiadas 'cajas negras'.

Autómata celular de Von Neumann.

A partir de la Red Infinita planteada por Stanislaw Ulam, Von Newmann rehizo el planteamiento de su Autómata Autorreproductor o Modelo Cinemático, dando lugar a lo que se conocería como el Primer Autómata Celular.

El nuevo modelo que ideó comenzaba con un tablero de damas infinito, en el que cada célula estaba en un estado inactivo, que tenían diferentes estados posibles. La precisa combinación de esas células en sus estados determinados decía la criatura cómo debía comportarse. El mecanismo de reproducción de esta máquina consistía en reclamar y transformar el territorio. Una vez dentro del tablero el autómata seguiría las reglas, es decir, que cada célula individual, como una Máquina de Estados Finitos, comenzaría cumplir la regla que se le aplica. El efecto de esas conductas locales ocasionaban una conducta global emergente; la estructura autorreproductora interactuaba con células vecinas y cambiaba algunos de sus estados. Siguiendo las reglas de transición que Von Newmann postuló, el organismo lograba hacer un duplicado de su cuerpo principal. Se obtenían así dos criaturas idénticas, ambas capaces de autorreproducción, que se encontraban en un tablero de damas infinito. Von Neumann nunca completó su prueba escrita del autómata celular.

Estructura de un Autómata Celular

Un Autómata Celular es una herramienta computacional que hace parte de la Inteligencia Artificial basada en modelos biológicos, el cual está básicamente compuesto por una estructura estática de datos y un conjunto finito de reglas que

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son aplicadas a cada nodo o elemento de la estructura.  El interés que ha despertado esta técnica radica en la sencillez y en la simplicidad que caracteriza la construcción de los modelos; además, en la particularidad de los patrones de comportamiento presentados por el Autómata en tiempo de ejecución.

Basados en el planteamiento que presenta Muñoz acerca de la estructura de un Autómata Celular, se definen como sus componentes básicos:

Un plano bidimensional o un espacio n-dimensional dividido en un número de subespacios homogéneos, conocidos como celdas.  A todo esto se le denomina Teselación Homogénea.

Cada celda puede estar en uno de un conjunto finito o numerable o de estados.

Una Configuración C, la que consiste en asignarle un estado a cada celda del autómata.

Una Vecindad definida para cada celda, la que consiste en un conjunto contiguo de celdas, indicando sus posiciones relativas respecto a la celda misma.

Una Regla de Evolución, la cual define cómo debe cada celda cambiar de estado, dependiendo del estado inmediatamente anterior de su vecindad.

Un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda del autómata, el cual generará "tics" o pulsos simultáneos a todas las celdas indicando que debe aplicarse la regla de evolución y de esta forma cada celda cambiará de estado.

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Consideraciones adicionales

Un Autómata Celular puede ser construido definiendo alguna especificación

para cada uno de sus componentes, es decir, de alguna forma se definirá su teselación, los posibles estados, las vecindades y la regla de evolución; no obstante, se tienen unas consideraciones y posibilidades con estos componentes, las que permitirán cierta flexibilidad en el momento de construir el autómata.

El autómata puede ser de 1, 2, 3, ..., n dimensiones. La teselación puede ser finita o infinita, con condiciones de frontera

abiertas o periódicas. El conjunto de estados no necesita tener ninguna estructura algebraica

adicional. La vecindad puede ser simétrica o no y puede incluir o no a la propia

celda. La regla de evolución es una tabla o unas reglas.

Autómatas Celulares En Una Dimensión

El estudio de los autómatas celulares en una dimensión ha tenido mucho interés a través de la historia, por esta razón se ha logrado obtener una amplia literatura en este tipo de autómatas celulares. Sea Z el conjunto de Z+ los enteros y el conjunto de los enteros positivos, entonces el espacio de evoluciones en una dimensión se representa como una sucesión de elementos que determinarán un arreglo lineal, representa las posiciones de cada elemento dentro del arreglo por lo que i Є Z . Cada una de las posiciones del arreglo es llamado célula, estas células pueden tomar elementos de un conjunto y Є Z+, este conjunto representa el número de estados que puede manejar el autómata celular en estudio por lo que i Є , es decir, cada una de las células tendrá un elemento del conjunto . Una sucesión de células es llamada una configuración, en general Wolfram representa a los autómatas celulares de una dimensión con dos parámetros (k.r), donde k representa el número de estados del conjunto y r el número de vecinos con respecto a una célula central. Los vecinos son células que se encuentran ubicadas a la izquierda y a la derecha en igual número con respecto a la célula central, por lo tanto los vecinos mas la célula central forman una vecindad como se ilustra en la Figura

Vecindad de tamaño 2r+1

Los autómatas celulares en una dimensión se pueden representar como el sistema:

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(, r,, Ci )

donde es el conjunto de estados, r el número de vecinos con respecto a una

célula central, la función de transición y Ci la configuración inicial del sistema.

Autómatas Celulares En Tres Dimensiones

Los autómatas celulares en tres dimensiones han sido ampliamente analizados por Bays en [2], [3], [4], [5], [6], [7] y [8]. Su estudio se enfoca principalmente en encontrar una regla de evolución en tres dimensiones que sea la sucesora de Life en el espacio tridimensional, muchos de sus resultados son de tipo cuantitativo, basados principalmente en la simulación de varias reglas de evolución en pequeños espacios tridimensionales para encontrar estructuras que sean similares a Life y de esta manera ha logrado obtener varias reglas de evolución que presentan características similares a Life en autómatas celulares de tres dimensiones.

Existe muy poca literatura que trata de generalizar una notación en autómatas celulares de tres dimensiones, la mayoría de los trabajos realizados en este tipo de autómatas han sido de tipo estadístico, tratando de encontrar comportamientos colectivos no triviales en el espacio de evoluciones, por otra parte se ha intentado encontrar aplicaciones en las áreas de la química y la arquitectura. Si bien los autómatas celulares en dos dimensiones son difíciles de representar, en tres dimensiones el problema crece exponencialmente.

Sea el conjunto de estados, el espacio de evoluciones en tres

dimensiones se determina por el producto . Al igual que los autómatas celulares en dos dimensiones, en tres dimensiones también se utilizan reglas de

evolución semitotalísticas y la función de transición solo utiliza la vecindad de Moore como se ilustra en la Figura 2.8, la vecindad de Moore en el espacio tridimensional es solo una extensión de dos dimensiones en tres dimensiones,

donde es la célula central de la vecindad y son los vecinos de la vecindad con respecto a la célula central, para toda

. La vecindad de Moore en tres dimensiones tiene una célula central y 26 vecinos alrededor de ésta por lo que , por lo tanto una vecindad en tres dimensiones está formada por 27 células.

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Figura 2.8: Vecindad de Moore en tres dimensiones

Para representar una regla de evolución se debe definir la transformación de cada vecindad que conforma una regla, los autómatas

celulares en tres dimensiones tienen vecindades, lo que produce reglas de evolución. El problema de representar una regla de evolución crece exponencialmente conforme aumenta la dimensión del autómata celular, por esta razón se utilizan reglas semitotalísticas.

Sea el conjunto de estados, el número de vecinos, entonces

una célula es directamente conectada a una célula

, es decir, la vecindad de

Moore en tres dimensiones, es la célula central y

son los vecinos alrededor de la

célula central para toda . En la Ecuación 2.3.1 la función define la

transformación local, las variables y indican el número mínimo de

células ocupadas por el estado 1 en y las variables y el número

máximo de células ocupadas por el estado 1 en en un tiempo . Si en el

tiempo , entonces en el tiempo si . Si

en el tiempo , entonces en el tiempo si

. Finalmente una regla semitotalística en tres

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dimensiones se representa como , donde y deben tomar valores entre 1 y 26.

Cuando el estado de una celda depende exclusivamente de su estado actual y el de su vecindario, se dice que el Autómata Celular es determinista. Si se incorpora a la regla de transición algún elemento probabilístico o estocástico, el Autómata Celular se denomina estocástico

El comportamiento de las reglas de transición en los bordes de la malla de celdas depende de las condiciones de frontera, las cuales pueden ser de tres tipos:

Cíclica : los símbolos del borde aparecen en una celda en la frontera opuesta.

Finita : los símbolos no están disponibles para traspasar la frontera así que tienden a acumularse en sí mismos.

Infinita : las entidades que cruzan la frontera desaparecen de la simulación.

La siguiente figura muestra un ejemplo de un Autómata Celular de 2-dimensiones.

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Los modelos de Autómata Celular asumen una discretización del espacio en una teselación de celdas. Tradicionalmente, esta teselación o rejilla en modelos de Autómata Celular se hace sobre celdas de igual forma y tamaño para simplificar los cálculos. Las más usadas son las teselaciones triangulares, cuadradas y hexagonales.

Algunos ejemplos y aplicaciones

Tal vez, lo más llamativo e interesante de los Autómatas Celulares es el comportamiento presentado por el modelo en tiempo de ejecución y la similitud de éste con la complejidad de la naturaleza continua.  "Life" o "El Juego de la Vida", por ejemplo, simula la existencia de diferentes "formas de vida" sobre un espacio bidimensional, las cuales presentan singular comportamiento a través del tiempo; "Evolución" es un autómata que simula cómo un conjunto de microbios sobreviven comiendo bacterias; y "Mayoría Alineada" muestra cómo es el comportamiento de la tensión superficial entre líquidos no permeables.  A continuación, algunos ejemplos de Autómatas Celulares (tomados de Muñoz6).

"Life" o "El Juego de la Vida", de John Hourton Conway.

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"Mayoría Alineada".  Modelo Celular de Dedwdney2.

"Evolución".  Modelo Celular de Dewdney3.

"Reacción Química de Belousov-Zhabotinski".  Modelo Celular de Dewdney2.

"HPP-GAS" (modelo de dinámica de fluidos), de Hardy, de Pazzis y Pomeau

El modelar un sistema del mundo real por medio de un Autómata Celular, requiere que se conozca al menos su comportamiento global.  Si conocido este comportamiento se quiere deducir un conjunto de reglas de evolución local que lo genere, entonces se desea desarrollar el autómata por el Problema Inverso.  De lo contrario, si se desea primero experimentar y ajustar una Regla de Evolucion pseudo-aleatoria hasta lograr un comportamiento similar al del sistema real, entonces se desea desarrollar el autómata por el Problema Directo.  No obstante, se puede lograr algo intermedio, a partir de comportamientos locales del sistema real construir una regla de evolución local y ponerla a prueba para determinar si se logra un autómata que modele el comportamiento del sistema global, a esto se el denomina el Problema Intermedio.

Dependiendo de la naturaleza compleja de un sistema y de la posibilidad de identificar estados locales y reglas generales de evolución, se podrían simular comportamientos por medio de Autómatas Celulares; por ejemplo, los mundos y sistemas enunciados a continuación son susceptibles a un modelamiento por esta técnica:  Simulación de tráfico automotor, virus, glóbulos, epidemias, bacterias, contaminación, ecosistemas, evolución galáctica, flujo de electrones, acción & reacción, medios granulares y gases de Fermi entre otros.

Conclusiones

Es típico de un Autómata Celular generar comportamientos complejos a partir de reglas muy sencillas.  En conclusión, un Autómata Celular está compuesto por:

Una Teselación Homogénea.

Un conjunto finito de Estados para cada celda.

Una Vecindad para cada celda.

Una Regla de Evolución.

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Son útiles en la construcción de modelos donde los elementos base o componentes (actores) son de similar naturaleza y comportamiento; donde éstos se rigen por reglas parecidas y donde, en el mismo sistema real, se identifican componentes diferenciables, independientes, aislables y/o discretos. Hemos visto algunas de las aplicaciones que han sido desarrolladas usando técnicas de autómatas celulares, algunas de las ventajas en usar este tipo de modelos reside en el hecho de que los sistemas complejos a niveles moleculares pueden ser estudiados con sistemas dinámicos simples, la complejidad de los algoritmos es barata en términos de recursos computacionales utilizados y los resultados obtenidos pueden ser de mucha ayuda en los estudios de los comportamientos de los materiales ante diversos experimentos con el fin de adecuar las características propias de cada material al objetivo para el que han sido diseñados.

Bibliografía

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C:\Documents and Settings\user\Mis documentos\IO\PNGwriter - Examples - Automatas Celulares.htm

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C:\Documents and Settings\user\Mis documentos\IO\Una Introducción a los Autómatas Celulares.htm

http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/oldweb/tesis/seck/node13.html

http://matapli.usal.es/Giaca/GIACAaplicaciones.htm

http://www.luventicus.org/laboratorio/AutomatasCelulares/

http://yupana.autonoma.edu.co/publicaciones/yupana/005/autocelular/Auto matas.html

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