Autmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos1 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos2 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinFF32232211SdcbaQFFF1F2F2112SbaQLeng. regulares y autmatas finitos3 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos4 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quirozterminan con ab y enmedio tienen un nmero indeterminado de c y d .ser comprensible.Y que acepta el lenguaje formado por cadenas que empiezan con ba,Y que acepta un lenguaje cuya descripcin es demasiado larga como parasiguiente tabla:por la siguiente tabla:El autmata formado por = {a, b}, Q = {S, 1, 2, F } y descrita por laEl autmata formado por = {a, b, c, d }, Q = {S, 1, 2, 3, F } y descritaEjemplo 2Ejemplo 1Facultad de CienciasUna funcin de transicin : Q QDepartamento de MatemticasFacultad de Ciencias, UNAME-mail: fhq@ciencias.unam.mxPgina Web: www.matematicas.unam.mx/fhqUn estado inicial s Q y un conjunto de estados finales F QFrancisco Hernndez QuirozUn conjunto finito de estados QUn alfabeto de entrada Un autmata finito (D FA) est formado porTEORA DE LA COMPUTACINLENGUAJES REGULARES Y AUTMATAS FINITOSAutmatas finitos

Autmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos5 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos6 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones Minimalizacin22 mo d 311 mo d 300 mo d 3estado del autmatanm. representado por el prefijo ledoLeng. regulares y autmatas finitos7 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos8 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quiroz01Un lenguaje L es regular sii exite un autmata finito A tal que L = L(A).12100L(A) = { | (S, ) F }.01A = (Q, , S, F , ):Ahora podemos definir el lenguaje aceptado por el autmata{ {0, 1} | es un mltiplo de 3 en binario}El siguiente autmata acepta el lenguajeUn ejemplo aritmticoNota: el alumno puede demostrar que ambas definiciones son equivalentes.2aa((q, ), a)=(q, a)FbSa,baq=(q, )O alternativamente1bb((q, a), )=(q, a)q=(q, )F321Sbaabsiguiente forma. Sean q Q, a y :c,dPodemos ampliar la funcin a una funcin : Q Q de laLenguajes regularesRepresentacin grfica

Autmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos9 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos10 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos11 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos12 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozEl lenguaje aceptado es { | (S, ) F = }q (A,)a,b(q, a)(A, a) =[(A, ) = A2a : P(Q) P(Q) de esta forma:La funcin anterior se extiende a una funcinbSa,bLa funcin de transicin de un N FA es : Q P(Q).Adems, tiene un conjunto de estados iniciales S.1a,bestados posibles cuando lee un carcter.Un autmata finito no determinista (N FA) puede elegir uno de variosEjemploAutmatas no deterministasmo d 3definicin de pues # = 00# # (0, ) ===mo d 3#d=Ahora, por induccin en . Caso bsicomo d 3(2(#) + d )==mo d 3(2(# mo d 3) + d )mo d 3=(2q + d )(# mo d 3, d )=d {0, 1}=2(#) + d#(d )(q, d )((0, ), d )=(0, d )Demostracin. PrimeroHiptesis inductiva: (0, ) = # mo d 3. Por demostrarmo d 3(0, ) = #Sea # el nmero denotado por la cadena binaria . Entonces

Autmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos13 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos14 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos15 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos16 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quirozq (A,)r (q, )q (A,)a,ba,b(r , a)(q, a)(A, a) =[[qAS22a(A, ) = A [ (q, )define asb3a,bAhora es posible transitar de un estado a otro sin consumir smbolos. se : Q ( { }) P(Q).1 S1N = (Q, , , S, F ), igual a un N FA salvo que Un autmata finito no determinista con transiciones- es una quintetaEjemploTransiciones L(N )siiAmbos autmatas aceptan el mismo lenguaje.(SN , ) FN = sii(sD , ) FDsii L(D)L(N ) = L(D):se demuestran por induccin sobre , y , en ese orden. Entonces,P(Q)(A, a)S{A Q | A F = }====QDD (A, a) sD FDD(A, )= (A, )ii=[ (Ai , )([ Ai , )Sea N = (Q, , , S, F ) un N FA y sea D = (QD , , D , sD , FD ) el siguienteautmata D FA((A, ), )=(A, )Demostracin. Los tres lemas siguientesEquivalencia con los D FA

Autmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos17 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos18 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos19 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos20 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quiroz L(D1 ) o bien L(D2 ).sii L(D)Se puede demostrar por induccin en quecompletos, i.e., que la funcin no es parcial.(1 (q1 , a), (q2 , a))=((q1 , q2 ), a)Nota: en las demostraciones siguientes se supondr que los autmatas son(Q1 F2 ) (F1 Q2 )=FEstrella de Kleene(s1 , s2 )=sConcatenacinQ1 Q2=QComplementoInterseccinDefinimos D = (Q, , , s, F ) dondeUninL(D) = L(D1 ) L(D2 ).Los conjuntos regulares son cerrados bajo las operaciones de:Construiremos un D D FA tal queSean D1 = (Q1 , , 1 , s1 , F1 ) y D2 = (Q2 , , 2 , s2 , F2 ) dos D FA.Demostracin de cerradura bajo Propiedades de cerradura F 0Claramente, L(N ) = L(N 0)(r , a)0(q, a) =(q, a)[

r (q)={q | (q) F = }Sea N 0 = (Q, , 0, S, F 0), connNEsta tcnica ser til ms adelante. (q)n=[ (q)estados iniciales o finales en autmatas con un solo estado inicial o final. r n (q)La introduccin de transiciones- permite transformar autmatas con varios (r , )=(q)n+1[={q} (q)0Sea N = (Q, , , S, F ) un N FA- , y sea q Q. Definimos la cerradura- deqVarios estados finales e inicialesN FA- es equivalente a N FA

Autmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinAutmatas Lenguajes regulares Autmatas no deterministas CerraduraAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos21 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos22 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos23 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos24 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozL()=L()L()L()=L( ) L() L()=L( + ) + Gramticas linealesLas expresiones regulares y generan las expresiones y lenguajes:Patrones y son expresiones regulares con L() = y L( ) = { }Expresiones regularesSi a entonces a es una expresin regular y L(a) = {a}.Existen otras formas de definir los lenguajes regulares:definicin inductiva:lenguajes. El lenguaje generado por la expresin es L(). He aqu unaLas expresiones regulares son una forma muy compacta de definirExpresiones regularesDefiniciones alternativas de lenguajes regularesL(A0) = L(A), se aaden transiciones- de los estados en FA a sA .C es un N FA- tal que L(C) = L(A)L(B). Para construir A0 tal quesi q FA{sB }=(q, )si q QB{B (q, a)}=(q, a)si q QA{A (q, a)}=(q, a)FB=FC{sA }=SCQA QB=QCInterseccinSe construye un autmata como en el caso de , salvo queF = F1 F2 .

ComplementoSea A = (Q, , , s, F ) un D FA. Sea A = (Q, , , s, Q F ). ClaramenteL(A ) = L(A).C = (QC , , C , SC , FC ) se construye de la siguiente forma:Sean A = (QA , , A , sA , FA ) y B = (QB , , B , sB , FB ) dos D FA. El autmataCerradura bajo concatenacin y estrella de KleeneCerradura bajo y complemento

Expresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos25 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos26 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos27 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos28 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quirozes una gramtica lineal por la izquierda.# ((ab)+ + (cd )+ ).A o bienA Brepeticiones consecutivas de ab o cd :Cualquier smbolo del alfabeto seguido de cualquier cadena menos lasSi todas las reglas de G son de alguna de las dos formas((abc)+ ).se trata de una gramtica lineal por la derecha.consecutivas de la cadena abc:A o bienA BLas cadenas del alfabeto {a, b, c} salvo las que son repeticionessiguientes dos formas@a@b@c@Sean A, B y . Si todas las reglas de G tienen una de lasnecesariamente consecutivas:Recordatorio. Una gramtica es G = h, , S, i.Las cadenas que contienen apariciones de a, b y c, en ese orden, pero noGramticas linealesEjemplosdonde A es la expresin (a + b + c).=L()+L(+ )+L()=L()(AaAbAcA)+(AaAcAbA)+(AbAaAcA)+(AcAaAbA)+(AcAbAaA)+(AbAcAaA) L()=L()L()L()=L()Las cadenas del alfabeto {a, b, c} con al menos una aparicin de cada unade las tres letras:L() L()=L( ) L() L()=L( + ) + Los patrones y generan los patrones y lenguajes:(p + q + r ) + ((p + q + r ) N )

donde N se refiere a la expresin del ejemplo anterior.@, con L(@) = #, con L(#) = a, y son iguales que en las expresiones regulares0 + ((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9))

Las frmulas atmicas del clculo proposicional:inductivamente:Los patrones son otra forma muy comn. Tambin se definenLos nmeros naturales en notacin decimal:PatronesEjemplos

Expresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos29 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos30 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos31 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos32 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quirozunin, la concatenacin y la estrella de Kleene de lenguajes regulares.Casos inductivos. Ya se estudi cmo construir autmatas que acepten laNota. La afirmacin inversa es trivialmente cierta.SSFSqueda cubierto por los casos anteriores.aFinalmente, el patrn es equivalente al patrn (+ ), el cualautmatas:La prueba del patrn se deja pendiente., se tienen los siguientesCasos bsicos. Para las expresiones a, y En cuanto a + , basta observar que + es equivalente a .expresiones regulares.La demostracin se har por induccin en .Los tres primeros son obvios, pues tambin se encuentran presentes en lasconcatenacin, , + y .L() = L(A).Procedemos a probar los casos inductivos con los operadores +,Para toda expresin regular , existe un autmata finito A tal queEquivalencia entre expresiones regulares y autmatasEquivalencia entre patrones y expresiones regulares IIL() = L()L() = L()genera las frmulas atmicas del clculo de proposiciones.expresiones regulares y tales quep | q | r | pS | qS | rSS0Hiptesis inductiva. Supongamos que dados los patrones y , existenL(@) = L((c1 + + cm ))yL(#) = L(c1 + + cm )La gramtica GP = h{p, q, r , 0, . . . 9}, {S0, S, N }, S0, i con lassiguientes reglas adicionales a las del ejemplo anterior:genera los nmeros naturales en notacin decimal.En cuanto # y @, si = {c1 , . . . , cm }, entoncesalentes obvias.expresiones regulares equiv, # y @. Los tres primeros tienenPrimero los casos bsicos: a, , 0 | 1N | 2N | | 9N0N | 1N | . . . 9N | ,SNDemostracin. Por induccin en .La gramtica GN = h{0, . . . 9}, {S, N }, S, i con reglas deproduccinPara todo patrn , existe una expresin regular tal que L() = L().Equivalencia entre patrones y expresiones regulares IEjemplos

Expresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos33 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos34 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinExpresiones regulares Patrones Gramticas EquivalenciasAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos35 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos36 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozL(N ) = L(G).Demostracin. Induccin en . A partir de este resultado, es claro que[] ([S], ) sii S V .GEntoncesq rsii(q, ) = rEntonces{[ ]}estados finales.==estados iniciales{[S]}(q, a) Fsiiq asi a ={}([a], a)(q, a) = rsiiq arsi V ={[] | V }([V ], ) {[S]}gramtica con producciones de la forma={ | V , V }QA la inversa, sea A = (Q, , , s, F ) D FA. Sea G = h, Q, s, i unael siguiente autmata:Sea G = h, , S, i una gramtica lineal por la derecha. Sea N N FA - Equivalencia entre gramticas lineales y autmatas IIEquivalencia entre gramticas lineales y autmatas Ik = 0 pq =k1a + + a + 1 k Si p = qi =1 j =1si fjpq =k11 kk = 0a + + a L(N ) = L(X X Q )mnq (p, ai ).Si p = qm1n1Finalmente, si s , . . . , s S y f , . . . , f F , entoncesPor induccin en X . Sean a1 , . . . ak todos los smbolos de tales quepq+ pr(rr) rq.pq=pqXX {r }X {r }X {r }X {r }L(X ) = { | q ({p}, ) y el camino pasa slo por estados en X }.Si X = , sea r Xpqexpresin regular X tal queSea N = (Q, , , S, F ) N FA y sean X Q y p, q Q. Definiremos unaEquivalencia entre autmatas y expresiones regulares IIEquivalencia entre autmatas y expresiones regulares I

Teorema del bombeo AplicacionesAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinTeorema del bombeo AplicacionesAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos37 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos38 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozTeorema del bombeo AplicacionesAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinTeorema del bombeo AplicacionesAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos39 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos40 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quiroz = , = am , = ai , = aj , = ar y = bm .puede existir y {a2 } no es regular.nLa demostracin generaliza el argumento del ejemplo anterior, en el quesiempre es una potencia de 2, lo cual es obviamente falso. Por tanto, A noy = y = i Li N.|| + || + i || + || + ||entonces , , tales queComo = , la afirmacin anterior quiere decir quek ||,y Li N.a2m = i L(A), , , sital que 2m > k . El teorema del bombeo nos dice que , , tales queTeorema. Sea L un lenguaje regular. Entonces, k N tal queA D FA reconoce este lenguaje. Sea k el nmero de estados de A y sea mEjemplo 1. El lenguaje {a2 } no es regular. Supongamos que lo es ynEl resultado anterior se puede generalizar con el siguienteAplicaciones del lema del bombeo ITeorema del bombeoComo A es determinista, tenemos que para toda p N(q, ajp ) =qy en consecuencia(s, ai ajp ar bm ) = f Flo cual es una contradiccin. En conclusin, este lenguaje no es regular.ai aj par bm 6 {an bn },i < mj = 0i + j + r = m.qqf F===(s, ai )(q, aj )(q, ar bm )salvo en el caso en que p = 1. Por tanto, aunque ai aj par bm L(A),i + jp + r = m,Peroautmata determinista con k estados y L(A) = {an bn }.Sea la cadena am bm , con m > k . Durante su lectura, el autmata debehaber pasado al menos dos veces por un mismo estado (hay menos estados que copias de a).Sea q este estado repetido. Entonces:El lenguaje {an bn } no es regular. Supongamos que lo es y que A es unUn lenguaje no regular IIUn lenguaje no regular I

Teorema del bombeo AplicacionesAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos41 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos42 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos43 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos44 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quiroz3Al terminar el paso anterior, qi qj sii (qi , qj ) = n.{[f ] | f F }.=F(qi , qj ) := s.[s]=sSi (qi , qj ) = n y ((qi , a), (qj , a)) = s, para algn a , entonces2Se repiteel siguiente procedimiento hasta que ya no haya cambios:[(q, a)]=([q], a)j -sima columna no es final o viceversa. En caso contrario, m = n.{[q] | q Q}=QDonde m = s si el estado en el i -simo rengln es final y el estado en laque denotaremos con A/ = (Q, , , s, F), se define as:qkde equivalencia a la que pertenece el estado q. El autmata cociente de A,..Dado que es una relacin de equivalencia, designaremos con [q] la clase. . .mq1. . .qkq1Estado . (q, ) F sii (r , ) F .siiq r1Se construye una tablaentre estados de Q. Sean q, r Q. Entonces:autmata A = (Q, , , s, F ), con Q = {q1 , . . . , qk }:Sea A D FA, A = (Q, , , s, F ). Definimos una relacin de equivalenciaEl siguiente algoritmo permite construir el autmata cociente a partir delAlgoritmo de minimalizacin IAutmata cocienteisomorfismo) con un nmero mnimo de estados que lo reconoce.4De hecho, para cada lenguaje regular existe un nico D FA (salvo322a, bb1El lenguaje {ab} es regular.{ab} { {a, b} | #a() = #b()} = {an bn }.Los lenguajes regulares son cerrados bajo .Por tanto, { {a, b} | #a() = #b()} no puede ser regular.F 010S0a, ba,bFSa, ba, ba{ {a, b} | #a() = #b()}

no es regular. La demostracin en este caso es indirecta:a, b1Entoncesreconoce el mismo lenguaje pero que tiene un conjunto de estados menor:En ocasiones, un autmata A puede reemplazarse con un autmata A0 queEjemplo 2. Sean y a . Definimos

#a() = el nmero de apariciones de a en .Minimalizacin de estadosAplicaciones del lema del bombeo II

Minimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos45 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos46 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinMinimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos47 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez QuirozLeng. regulares y autmatas finitos48 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quiroz . R sii R.sii R La relacin L tiene ndice finito.R se define de esta forma:Existe una relacin de Myhill-Nerode en L.Sea ahora R un lenguaje arbitrario. La relacin de equivalenciaL es regular.Una relacin que cumple con 13 es una relacin de Myhill-Nerode.Sea L . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:equivalencia.3Tienendice finito, es decir, induce un nmero finito de clases deTeorema de Myhill-NerodeRelaciones de Myhill-Nerode II L sii L.implica que A 2Es una afinacin de L:a A a.implica que A 1Es una congruencia por la derecha:22!(n 2)!

pasos, donde n es el nmero de estados.=La relacin A tiene las siguientes propiedades:n! n A (s, ) = (s, ).siiEl algoritmo toma cuando muchoequivalencia en :A = (Q, , , s, F ) y sin estados inaccesibles. Definiremos una relacin deSea L un lenguaje regular y sea A D FA tal que L(A) = L, conRelaciones de Myhill-Nerode IAlgoritmo de minimalizacin II

Minimalizacin de estados Teorema de Myhill-NerodeAutmatas finitos Otras definiciones Limitaciones MinimalizacinLeng. regulares y autmatas finitos49 / 49Teora de la ComputacinFrancisco Hernndez Quirozpalabras, por cada valor de k hay una clase de equivalencia distinta, i.e., Lno tiene ndice finito.Pero ak , ak L sii || + k = || + k = 2n , para alguna n N. En pocassii L k . ak L sii ak L.El conjunto L = {a2 } no es regular. Se demostrar utilizando el teoremaanterior. Considrense las clases de equivalencia:nEjemplo