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Automatizacioacuten y Control Industrial

APUNTES DE CLASE

Caracteriacutesticas generales de los sistemas realimentados

l Ganancia

Sin Realimentar C(s) = G(s)R(s)

G(s) Realimentado C(s) = ------------~-- R(s)

1 + G(s) H(s)

Siempre el sistema realimentado va a tener menor ganancia que el de lazo abierto La ganancia se va a reducir por un factor 1 + G(s)H(s) Como G(s) es el mismo que el del sistema sin realimentar de quien depende esta reduccioacuten es de H(s) Es decir que cuanto maacutes realimentado sea en general un sistema seraacute porque mayor es el factor H(s)

2 Sensibilidad del sistema a la variacioacuten de O(s)

Sin Realimentar C(s) G(s)R(s)

Realimentado C(s) G(s)

----~------- R(s) 1+ G(s) H(s)

Como ocurre en la mayoria de los caacutesos en la praacutectica en que el moacutedulo

I G(s) H(s) I raquo 1

iODO - SEntonces nos queda que aproximadamente 1

C(s) ------ R(s) H(s)

Se ve claramente que ahora la salida depende solo de H(s) es decir del bloque de realimentacioacuten La variacioacuten que se pudiera presentar en los paraacutemetros de G(s) no se ven reflejadas en la salida Pero cuando la situacioacuten anterior no se da tambieacuten se puede analizar matemaacuteticamente Sin realimentar

C(s) G(s)R(s)

Por lo que se puede suponer que la salida se ve afectada por un factor proveniente de una variacioacuten de los paraacuteme~ros de G(s)

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En el lazo abierto la variacioacuten de los paraacutemetros de la funcioacuten G(s) se reflejan directamente a la salida Pero en el sistema realimentado la variacioacuten se ve disminuida por el factor 1 + G(s) H(s) cuya incidencia seraacute menor cuanto maacutes realimentado sea el sistema Vamos a cuantificar este efecto con un factor llamado Sensibilidad de M frente a G shy

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La expresioacuten obtenida nos indicaacute que la variacioacuten de M(s) es poco sensible ante las variaciones de O(s) En otras palabras la funcioacuten de transferencia total se ve muy pocO afectada ante las variaciones de G(s)

G(~)G(~) M( S bull

raquo) l Gu)

3 Sensibilidad del sistema a la variacioacuten de H(s)

Se ve que la variacioacuten de M frente aH es directa Es decir que tanto variacutee una va a variar la otra En otras palabras la incidencia de la variacioacuten de H(s) es total Por lo tanto la salida se veraacute muy afectada por las variaciones de esta Como conclusioacuten importante es que hay que tener mucho cuidado en la eleccioacuten de los sensores cuando se disentildea un sistema de control realimentado

4 Efecto del Ruido

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Definiremos a N(s) como una sentildeal de ruido En realidad el efecto del ingreso de una sentildeal de ruido en el sistema se puede producir en cualquier lado del lazo Tambieacuten se da en la praacutectica que el ruido no ingresa en un punto especiacutefico sino que lo puede hacer en distintos puntos Pero a los efectos de tomar una idea general de tos efectos peljudiciales del ruido hacemos este anaacutelisis Supongamos que Ja seiial de ruido es cero entonces nos queda

GIG2 CR(s) = --------- R(s) Salida solo a la entrada de R(s)

1+ GIGlH

Supongamos ahora que taacute ~ntildeal de entrada es cero

G2 CN(s) = ------------- N(s) Salida solo a la entrada de N(s)

1+ GI G2 H

Aplicando el meacutetodo de superposicioacuten nos queda

C(s) = CR(I) + CN(I)

01G2 G2 C(s) = --------------- R(s) + ----------- N(s) =

1 + 01 G2 H 1+ 01 G2 H

Como ocurre en la practica que el moacutedulo de 01 G2 H raquo1 entonces

1 1 C(s) = ---- R(s) + ----- N(s)

H OIH Elteacutermino en N(s) es eiacute que nos provocaraacute inconvenientes Por lo tanto es el teacutermino que tiene que tender a cero Para ello y para una deacutetenninada realimentacioacutenOI debe ser grande Viendo en el grafico 01 grande implica que el ruido es conveniente que ingrese por un sector lo mas a la salida posible Es decir que Glraquo 021 Como conclusioacuten deberaacute cuidarse los problemas de ruido en un sistema realimentado mucho maacutes en las etapas de entrada que en las etapas de salida

5 Cambio en las constantes de tieJJlpO por el uso de l~ realimentacioacuten

Para observar los cambios que se producen en las constantes de tiempo es necesario trabajar sobre una funcioacuten de transferencia que tenga de por si una respuesta no instantaacutenea Es decir que posea un retardo o adelantos en su respuesta Eso equivale a que la funcioacuten de transferencia posea una variable S Para ello tomaremos una funcioacuten como ejemplo que se da cotidianamente en la praacutectica

K C( s) = --------- R( s)

Ts+l Para hacer el anaacutelisis tomaremos una funcioacuten de entrada que se adecue al anaacutelisis

R(s) = 1 Impulso Unitario

Sin Realimentar KIT

C( s) = ----------- = S+ 1 T

Antitransformando K -tT

C (t) = ----- e T

Ahora realimentaacutendolo

A Condicioacuten que H(s) no tenga variacioacuten en el tiempo es decir una constante a

OltK lt oo El factor K es una constante que surge como factor de escala del lazo directo En general es una ganancia del mando directo Relaciona el modulo de la variable de entrada con la de salida Un valor K grande implica una fuerte respuesta ante elestimulo de la variable de entrada Vemos que la constante de tiempo para un sistema realimentado se ve afectada por ~l teacutermino 1 1 + K a Es decir que la curva de respuesta es mas pronunciada que para el sistema sin realimentar El valor de la constante de tiempo sIempre seraacute menor El moacutedulo queda sin modificar Veamos que ocurre para el casO

B Condicioacuten que H(s) tenga una respuesta en el tiempo S b (respuesta no instantaacutenea)

Aquiacute la constante de tiempo se ve afectada por el teacutennino K b Este teacutermino esta sumando por lo que si es positivo aumentaraacute el valor de la constante de tiempo Es decir que la respuesta del sistema seraacute mas lenta que la sin realimentar El moacutedulo tambieacuten se ve atenuado Vemos que dentro de las caracteriacutesticas sobresalientes del sistema realimentado es la modificacioacuten de la respuesta en el tiempo adelantando o atrasando la misma seguacuten las caracteriacutesticas de los bloques ubicados en la liacutenea directa o en la liacutenea de realimentacioacuten

Ademaacutes puede ocurrir que b lt O con lo que contrariamente a lo anterior produciraacute un aumento en la respuesta en el tiempo respecto al sistema sin realimentar Cuando se da esta condicioacuten equivale a una exponencial creciente es decir que se comporta como una realimentacioacuten positiva Toda realimentacioacuten positiva tiende a generar inestabilidad y tiende a escaparse del control El estudio detallado se veraacute mas adelante Para el caso que b = T K se anula la constante de tiempo por lo que el sistema se comporta sin respuesta en el tiempo es decir con respuesta teoacutericamente instantaacutenea Observar que las constantes de tiempo de respuesta del sistema se ven afectadas por el valor de K que es un moacutedulo de ganancia de la liacutenea directa Este valor puede variar a lo largo del tiempo porque corresponden a elementos de mando que por el uso en general se deterioran Tambieacuten pueden aumentar en general cuando se los reemplaza por uno nuevo Entonces las respuesta en el tiempo del sistema realimentado cambia cuando cambia el valor de K

6 Error de estado estacionario

Corresponde al estudio del error que pudiera presentar el sistema realimentado luego que pasara del reacutegimen transitorio al reacutegimen permanente

E(s) =R(s) - H(s) C(s) 1C(s) = G(s) E(s) E(s) = ----------- R( s) E(s) = R(s) - H(s) G(s) E(s) 1 +~~)H(s)E(s) [1 + G(s) H(s)] = R(s)

Esta sentildeal de error es la diferencia que se presenta entre la referencia tomada como sefial de entrada es decir el valor deseado y el muestreado por el sensor de la salida Como nuestro intereacutes es en el reacutegimen permanente es que analizaremos esta sentildeal cuando t tienda a infinito

ep = tim e(t) ~ E(s) == L re(t) ] t700

Ces)Por aplicacioacuten del tlaquogtrema del valor final ~---

ep = tim e(t) ~ ep = tim s E(s) t~oo s~o

Sin Realimentacioacuten

C(s) = G(s) R(s) aqui el error se traduce directamente a la salida

Para analizar mejor este tema podemos definir al error como

E(s) = R(s) - C(s)

iacute Si C(s) = G(s) R(s) entonces E(s) = [ 1 - O(s) ] R(s)

La funcioacuten R(s) es una funcioacuten de entrada Para el anaacutelisis en cuestioacuten es necesario utilizar la funcioacuten que mas se adecue Elegiremos el Escaloacuten Unitario

R(s) = lS

e(t) = Um s [ 1 - G(s)] ls Ie -( ) t G() I errOr permanente a ~ t =~ ~ ~ s~o - - lazo abierto

Ge J~ - OCon realimentacioacuten seria

Consideraremos a H(s) sin error es decir H(s) = 1 1 1

E(s) - ------- --shy1 + G(s) S

111 1 1 error permanente a e(t) = UmS -----------shy

ep(t) = ---------- shys~o 1 + G(s) s lazo cerrado 1 + G(o)-----r 1- ~

Para que un sistema realimentado no tuviera error G(o) deberiacutea tender a oo Si bien hay mandos con mucha ganancia todos tienen un valor limitado en la praacutectica Como conclusioacuten es que todo sistema realimentado trabaja con error Ese error seraacute tanto menor cuanto mayor sea la ganancia del lazo directo

Resumen para recordar el uso de la realimentacioacuten

1 Con el uso de la realimentacioacuten se puede modificar la constante de tiempo del sistema

2 El sistema es menos sensible a las variaciones de los paraacutemetros del razo directo 3 Las variaciones de los paraacutemetros del lazo de realimentacioacuten se traducen

directamente a la salida 4 Se puede reducir el error permanente 5 Se puede reducir el efecto perjudicial deJruido y perturbaciones 6 Se reduce la ganancia total respecto al sistema sin realimentar

7 Lleva una mayor cantidad de componentes y unidades de trabajo 8 Puede llegar a hacerse inestable

Ing Dante Piedrafita

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PlotStyle -+ RGBColor [O O 1] Thickness [001]

PlotRange -+ O 12 AxesOrigin -+ O O

TextStyle -+ FontFamily -+ Verdana FontSize -+ 14]

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PlotStyle ~ RGBColor[l O O] Thickness[OOl]

PlotRanqe~ O 12 AxesOrigin~ O O

TextStyle ~ FontFamily ~ Verdana FontSize ~ 14]

2 4 6 8 10

g3 = P10t [1 x O lO AxesLabel ~ t ud PlotStyle ~ RGBColor [O O O] Thickness [001] PlotRange ~ O l 2

AxesOrigin ~ O O TextStyle -+ FontFamily -+ Verdana FontSize -+ l4] i

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PlotRange ~ O 11 AxesOrigin ~ O O

TextStyle ~ FontFamily -+ Verdana FontSize -+ 14]

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Acciones de control nb

Sistema de nivel de liacutequido

Control proporcional de un sistema de nivel de liacutequido

Respuesta a una entrada escaloacuten unitario Offset en estado estacionario

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s t] T s2 + S + Kp K s

Plot[e1 t O lO AxesLabel-+ t ud TextStyle -+ FontFamily -+ Times FontSize -+ 16 Background -+ RGBColor [1 f 1 f 1] f

GridLines -+ Automatic PlotStyle -+ RGBColor [l O O] Thickness [O 01]

AxesOrigin -+ O O PlotRanqe -+ O ll]

I iexcl

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- Graphics bull

Control proporcional - integral

Eliminacioacuten del offset Posible oscilacioacuten de la respuesta creciente o decreciente

2 Acciones de controlnb

Kp K + KK TimiddotS ]e 2 =InverseLaplaceTransform [----------- s t

T S2 + S + Kiexcl K s + K K Ti

1 + _1_ e-9t20 (-239 Cos [ J239 t 1+ 7239 Sin[ J239 t 1)239 20 20

Plot[e2 t O lS AxesLabel ~ t ud

TextStyle ~ FontFamily -t Times FontSi2e ~ 16 Background -t RGBColor [1 1 1]

GridLines ~ Automatic PlotStyle -t RGBColor [1 O O] Thickness [0008]

AxesOrigin ~ O Ol PlotRange -t O 1 4 ]

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Control PID

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T S2 + S + Kiexcl K s + KpK + Kp K Td S2 Ti

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Printed by Mathematica tor StudentsJ

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Acciones de controlnb

Plot[e3 t o 20 AxesLabel-+ t Ut

TextStyle -+ FontFamily -+ Times FontSize -+ 16 Background -+ RGBColor [1 1 1]

GridLines -+ Automatic PlotStyle -+ RGBColor [1 O O] Thickness [0 01]

AxesOrigin -+ O O PlotRange -+ O 1 3]

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- Graphics shy

Sistema con carga de inercia

Control proporcional de sistema con carga de inercia

Respuesta a una entrada escaloacuten unitario

Kiexcl=4

Kpel = InverseLaplaeeTransform [ s t]

(JS2 +Kp) s

t -JK1 - Cos [-_P 1

Printed by Mathematica tor Students)

Plot[cl tI o 101L AxesLabel-+ tI ud

GridLines -+ Automatic PlotStyle -+ RGBColor [1 O O] Thickness [O 01]

AxesOrigin -+ O O PlotRange -+ O 225]

t 5 10 15 20 25 30

bull Graphics bull

Control proporcional - derivativo de un sistema con carga de inercia

Respuesta a una entrada escaloacuten unitario Amortiguamiento de la salida

~ + ~ Td sc2 =Inver5eLaplaceTransform [ s t 1

(J 52 + ~ + ~ Td 5) 5

Plot[c2 tI O 51L AxesLabel-+ tI utL

AxesOrigin -+ O OL P10tRange -+ O 11]

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