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“Autor X”
Propuesta de Modelación para la Variable de
Pérdida 𝑳𝑷𝑴𝑳 del Requerimiento de Capital de
Riesgos Técnicos y Financieros de Seguros.
Investigación en Seguros
2
Reseña
Geográficamente México se encuentra ubicado en una zona con intensa actividad sísmica y
volcánica, conocida como “El Anillo de Fuego del Pacifico”, la cual cuenta con algunas de las
zonas de subducción más importantes del mundo, afectando no solo a México sino a todos los
países cercanos al Océano Pacifico.
Pacific_Ring_of_Fire.svg: Gringer, 10 February 2009
La actividad sísmica en el territorio nacional ha dejado clara evidencia de su peligrosidad y sus
catastróficas consecuencias en la economía y la vida del país. Un claro ejemplo de esto es el
terremoto del 19 de septiembre de 1985, con una magnitud de 8.1 grados Richter y con epicentro
en las costas de Michoacán, cuyo efecto se potencializó en la Ciudad de México por las
características de su subsuelo.
La Ciudad de México ocupa una planicie antigua, donde antes era un lago, lo que al día de hoy dan
propiedades únicas al subsuelo, el contenido de agua es mayor a 400 por ciento, el índice de
plasticidad excede a 300 por ciento y el índice de compresión puede llegar a un valor de 10,
cuando en la mayoría de los suelos es menor a 1. Por lo que estas características desempeñaron
un papel principal en tan desastroso evento de 1985, J. Díaz (2005) [1].
Las cifras oficiales de los daños ocurridos durante el terremoto indican que fallecieron cerca de
5,000 personas, sin embargo otras estimaciones arrojan que 10,000 personas murieron, cerca de
50,000 heridos, al menos 250,000 personas sin hogar y más de 770 edificios colapsados o
severamente dañados y pérdidas económicas que representaron aproximadamente 2.1 por ciento
del Producto Interno Bruto (PIB), N. Meza (2015) [2].
Otras fuentes indican que 6 mil edificaciones fueron dañadas en la Ciudad de México, 6 por ciento
respecto del total, donde la mayor afectación se produjo en edificaciones del tipo casa habitación y
comercio. El monto total aproximado de la pérdida asciende a 4,000 millones de dólares, monto del
cual solo 400 millones de dólares (10 por ciento del total) fueron reclamados por alguna póliza de
seguro, A. Villagrán (1986) [3].
3
A consecuencia de esta catástrofe, el sector asegurador implementó medidas para hacer frente a
este tipo de eventos, las cuales fueron: una nueva tarifa con un incremento ponderado de 170 por
ciento, la creación de las reservas catastróficas, microzonificar la Ciudad de México, modificar el
reglamento para construcciones y establecer planes de emergencia para eventos catastróficos, A.
Villagrán (1986) [3].
A la par de estas medidas, la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas (CNSF) estableció
mecanismos regulatorios tendientes a que las aseguradoras cuenten con el capital, con el nivel de
reservas y esquemas de reaseguro adecuados para afrontar sus responsabilidades ante eventos
catastróficos y no caer en insolvencia, I. Avilés (2010) [4].
Actualmente, el cálculo de capital tipo solvencia II se rige con un modelo estándar propuesto por la
CNSF, es decir, el Requerimiento de Capital de Solvencia (RCS), el cual en uno de sus
componentes se modelan las pérdidas de los ramos catastróficos de tal forma que desde una
perspectiva propia carece de una estimación fiel a la realidad de la operación.
En este contexto, se propone una perspectiva diferente al cálculo actual de RCS, específicamente
en el componente de Riesgos Técnicos y Financieros de Seguros (𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆), en especial en la
variable de pérdida por incumplimientos en activos que respaldan la pérdida máxima probable con
riesgo de contraparte (𝐿𝑃𝑀𝐿), la cual abarca diferentes ramos catastróficos, sin embargo en este
trabajo se aborda técnicamente solo para la operación terremoto. Así bien, se propone una
metodología para 𝐿𝑃𝑀𝐿 apegada al cálculo de RC en el contexto de la mejor estimación (BEL) de
riesgos de suscripción de Daños y Accidentes y Enfermedades, una medición que pretende medir
el incremento máximo del pasivo, por siniestros, estrategia de reaseguro, calidad del reaseguro,
duración remanente entre otros componentes. Esta propuesta a diferencia de la estatutaria dista en
demasía, debido a que el modelo estatutario contempla una pérdida materializada cuando el activo
de la reaseguradora que respalda la PML con riesgo de contraparte entra en “Default”, lo cual en la
práctica no refleja la realidad, debido a que sí una reaseguradora entra en “Default”, la
aseguradora optaría por cambiarse de reaseguradora y no tendría una pérdida equivalente a la
pérdida máxima probable (PML) con riesgo de contraparte, en todo caso la única pérdida que
puede generar este “Default” es el costo que genera el nuevo contrato de reaseguro.
La propuesta se desarrollará partiendo de las bases técnicas del cálculo de la prima de riesgo y la
PML de riesgos catastróficos de terremoto, las bases técnicas del cálculo del Requerimiento de
Capital de Riesgos Técnicos y Financieros de seguros (𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆), en especial la variable de pérdida
de los pasivos de riesgos de Daños y Accidentes y Enfermedades.
4
ÍNDICE
1. Introducción……………………………………………………………………………………………..5
2. Antecedentes técnicos………………………………………………………………………………...6
2.1. Método estatutario para el cálculo del RC por Riesgos Técnicos y Financieros……………6
2.2. Método estatutario para el cálculo del RC por Riesgos basados en la PML………………...8
2.3. Método estatutario para el cálculo de la Prima de Riesgo y la PML de Terremoto…………8
2.3.1. Modelación de la Frecuencia………………………………………………………………..9
2.3.2. Modelación de la Severidad………………………………………………………………..10
2.3.2.1. Modelación de la Severidad para la Cobertura Básica……………………..11
2.3.2.2. Modelación de la severidad para Coberturas Anexas………………………13
2.3.3. Cálculo de la Prima de Riesgo…………………………………………………………….15
2.3.4. Cálculo de la PML de los Seguros de Terremoto………………………………………..17
3. Reproducción de resultados del método estatutario de seguros de terremoto………..…19
3.1. Antecedentes Técnicos…………………………………………………………………………..19
3.2. Proceso de Simulación…………………………………………………………………………...21
3.3. Cálculos Especiales………………………………………………………………………………22
3.4. Cálculo de la Prima de Riesgo…………………………………………………………………..23
3.5. Cálculo de la PML…………………………………………………………………………………23
3.6. Ejemplo Práctico…………………………………………………………………………………..24
4. Marco Teórico de la Propuesta…………..…………………………………………………………30
4.1. Consideraciones para una Estimación BEL……………………………………………………30
4.2. Definición de la Variable de Pérdida Bruta……...…………………………...………………...32
4.3. Definición de la Variable de Pérdida Retenida……….………………………………………..32
4.4. Otras Consideraciones…………...………………………………………………………………33
5. Proceso de Simulación de la Propuesta…………………...……………………………………..34
5.1. Cálculo de 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) y 𝑃𝑅𝑒𝑡(0)……………………………………………………………………...34
5.2. Simulación de Sismos…………………………………………………………………………….34
5.3. Simulación de Daños Brutos 𝐺(0,1)…………………………………...………………………..35
5.4. Cálculo de Importes Recuperables de Reaseguro 𝐼𝑅𝑅(0,1) ………………………………….36
5.5. Cálculo de 𝐿𝑃𝑀𝐿 y 𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆………………………………………………………………………..36
6. Comparativo de metodologías: Ejemplo práctico………………………………………………38
6.1. Definición del Ejemplo…………………...……………………………………………………….38
6.2. Resultados de la Metodología Estatutaria………...…………………………………………...40
6.3. Resultados de la Metodología Propuesta………………………………………………………40
6.4. Conclusiones del Ejemplo………………………………………………………………………..41
7. Conclusiones…………………………………………………………………………………………..42
8. Apéndice………………………………………………………………………………………………..44
8.1. Apéndice A: Demostraciones……………………………………………………………………44
8.2. Apéndice B: Códigos……………………………………………………………………………..46
8.3. Apéndice C: Tablas de referencia………………………………………………………………57
5
Capítulo 1
Introducción
A nivel mundial, la tendencia de la legislación sobre la solvencia de las compañías aseguradoras
se dirige hacia sistemas normativos integrales basados en el riesgo y la economía. Esta tendencia
se refleja en el régimen de Solvencia II y en el Swiss Solvency Test, J. Henchoz (2013) [5]. En
particular, la normativa de Solvencia II provee un enfoque integrado de gestión del riesgo basado
en tres pilares: el Pilar I para aspectos cuantitativos, donde el cálculo de los requisitos de capital
toma en cuenta todos los riesgos a los cuales se enfrentan las compañías aseguradoras, el Pilar II
para aspectos cualitativos tales como el gobierno corporativo, control interno, función de gestión
del riesgo entre otras y el Pilar III para aspectos de transparencia en la información, J. Henchoz
(2013) [5].
México siendo pionero en la regulación de Solvencia II, en diciembre de 2012, el senado voto y
aprobó la iniciativa de Ley de Instituciones de Seguros y Fianzas, y en febrero de 2013 se aprobó
por la cámara de diputados. Posteriormente, el 4 de abril de 2013, la Ley de Instituciones de
Seguros y Fianzas fue publicada en el Diario Oficial de la Federación (DOF), entrando en vigor el 4
de abril de 2015, A. Yáñez (2015) [6].
Este enfoque de Solvencia II basado en riesgos, plantea cuantificar en el Pilar I el Requerimiento
de Capital de Solvencia (RCS), el cual debe estar cubierto en su totalidad por Fondos Propios de la
compañía, mismos que forman parte del Capital. El Requerimiento está compuesto por 6
componentes, los cuales son: RC por Riesgos Técnicos y Financieros de Seguros, RC para
Riesgos Basados en la PML, RC por Riesgos Técnicos y Financieros de los Seguros de
Pensiones, RC por los Riesgos Técnicos y Financieros de Fianzas, RC por Otros Riesgos de
Contraparte y RC por Riesgo Operativo.
La propuesta del presente trabajo se basa en el primer componente de RC, y para ello se exponen
reflexiones que ayuden a mejorar el modelo actual de Capital. En primer lugar, para la estimación
de 𝐿𝑃𝑀𝐿 de RC de riesgos técnicos y financieros de seguros se basa en el incumplimiento de las
reaseguradoras sobre el PML cedido proporcional y no proporcional. En segundo lugar, la 𝐿𝑃𝑀𝐿 de
RC de riesgos técnicos y financieros de seguros no está basada en simulaciones de siniestros, no
contempla el riesgo de parámetro, no contempla la duración remanente de los riesgos y tampoco la
recuperación de dichas simulaciones de los programas de reaseguro.
Con todas estas reflexiones se propone una metodología con supuestos adicionales que permitan
tener una 𝐿𝑃𝑀𝐿 de pérdidas de riesgos catastróficos que contemple a grandes rasgos, el riesgo de
parámetro, la simulación de los siniestros, la duración remanente de las pólizas, el efecto de
contratos de reaseguro proporcional, no proporcional y la calidad del reaseguro. Resultado tener
una variable de pérdida tal y como la CNSF mide actualmente en los ramos no catastróficos de no
vida.
6
Capítulo 2
Antecedentes Técnicos
El presente capítulo tiene como propósito exponer los antecedentes necesarios para abordar el
modelo propuesto bajo una perspectiva BEL en riesgos catastróficos, sin dejar a un lado el
sustento teórico.
2.1 Método estatutario para el cálculo del RC por Riesgos
Técnicos y Financieros.
El cálculo del Requerimiento de Capital por Riesgos Técnicos y Financieros (𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆) acorde a la
Circular Única de Seguros y Fianzas (CUSF) en el capítulo 6.3, se define como el valor máximo
entre cero y el valor en riesgo al 99.5% de confianza de la variable de pérdida 𝐿, es decir:
𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 = max{0, 𝑉𝑎𝑅99.5%(𝐿)};
Donde la variable de pérdida se calcula como:
𝐿 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝑃 + 𝐿𝑃𝑀𝐿
donde:
𝐿𝐴 = 𝐴(0) − 𝐴(1)
𝐿𝑃 = 𝑃(1) − 𝑃(0)
𝐿𝑃𝑀𝐿 = 𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(0) − 𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(1)
Las variables anteriores forman en su conjunto todas las pérdidas técnicas y financieras que puede
enfrentar una aseguradora. La variable de pérdida 𝐿𝐴 está formada por todas las pérdidas de
activos sujetos a valor de mercado. La variable de pérdida 𝐿𝑃 está formada por todas las pérdidas
generadas por el incremento en el valor de los pasivos, es de destacar que en ésta variable solo se
encuentran las pérdidas por los riesgos de suscripción de vida, daños y accidentes y
enfermedades, el pasivo de riesgos catastróficos está excluido. La variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 está
formada por todas las pérdidas ocasionadas por los incumplimientos de las contrapartes de
reaseguro de los contratos de reaseguro que respaldan la Pérdida Máxima Probable (PML).
Dado el contexto del trabajo, las variables de pérdida en las cuales se pondrá más atención son: la
variable de pérdida de pasivos y por los incumplimientos de las contrapartes de reaseguro en la
PML.
En el caso de la variable de pérdida por pasivos, se tiene que 𝐿𝑃 puede describirse como todas las
pérdidas en el incremento del pasivo en un periodo de un año (0,1) y expresarse como lo refiere el
capítulo 6.3.7 de la CUSF, es decir:
𝐿𝑃 = 𝑃(1) + 𝐺(0,1) − 𝑃(0),
7
Lo anterior para el caso del requerimiento de capital bruto, y para el requerimiento de capital
retenido, se tiene lo siguiente:
𝐿𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑡(1) + 𝐺(0,1) − 𝐼𝑅𝑅(0,1) − 𝑃𝑟𝑒𝑡(0)
donde:
𝑃𝑟𝑒𝑡(1); es el valor al tiempo uno del pasivo técnico a retención traído a valor presente. 𝐺(0,1); es el total de reclamaciones durante el periodo (0,1) traído a valor presente.
𝐼𝑅𝑅(0,1); es el total de recuperaciones durante el periodo (0,1) traído a valor presente.
𝑃𝑟𝑒𝑡(0); es el valor al tiempo cero del pasivo técnico a retención.
Por consiguiente se generan escenarios de cada una de las variables anteriores, como se pueden
ver en las notas técnicas para el cálculo de 𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
(2015) [7] y en A. Yáñez (2015) [6]. Estas notas técnicas contemplan en particular los siguientes
criterios para una mejor estimación del componente 𝐿𝑃.
Se modela el error de parámetro en los modelos de frecuencia y severidad.
Se considera la duración remanente de los riesgos, y por ende entre más días de vigencia
restantes tengas los riesgos, mayor número de siniestros se esperan.
Se considera el riesgo de tipo de cambio, es decir, si un riesgo está en dólares el pasivo
reconoce un aumento, si el tipo de cambio dólar/peso también crece.
Todas las cifras son en valor presente.
Los importes recuperables se componen de reaseguro proporcional y no proporcional.
Los importes recupérales tienen riesgo de incumplimiento por la calidad del reaseguro.
Para el caso de la variable de pérdida por los incumplimientos de entidades reaseguradoras
(contraparte) que respaldan la PML, se tiene que 𝐿𝑃𝑀𝐿 es expresada como:
𝐿𝑃𝑀𝐿 = 𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(0) −𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(1)
donde: 𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(0); es el valor del PML con riesgo de contraparte, que se encuentra respaldado por un
reasegurador al tiempo cero. 𝑅𝐸𝐴𝑃𝑀𝐿(1); es el valor del PML con riesgo de contraparte, que se encuentra respaldado por un
reasegurador un año después y no cayeron en incumplimiento.
Mediante modelación se simulan diferentes escenarios al tiempo uno, donde se refleja si las
reaseguradoras caen en incumplimiento, emulando así la pérdida del respaldo la PML.
Nótese algo importante y que es el motor del presente trabajo, la variable de pérdida de PML
considera como una pérdida materializada para la aseguradora cuando la reaseguradora entra en
incumplimiento, mientras que en la realidad, para que exista una pérdida materializada, primero
tendría que existir al menos un siniestro que afecte a los contratos de reaseguro y posteriormente
que los importes recuperables respaldados por ciertas reaseguradoras caigan en incumplimiento.
8
2.2 Método estatutario para el cálculo del RC por Riesgos
basados en la PML.
Este requerimiento busca deducir o aumentar la necesidad de capital, dependiendo del nivel de
respaldo del riesgo a retención. Si el riesgo está suficientemente respaldado se tendrá una
deducción, por lo contrario, si el riesgo no está suficientemente respaldado entonces habrá una
necesidad de capital. El motor de este requerimiento es entendido como la garantía de que la
institución cuente con suficientes activos para hacer frente ante la eventual ocurrencia de la PML
retenida.
Los ramos a los cuales se les calcula el requerimiento de capital para Riesgos basados en la PML
son: Agrícola y de Animales, Crédito a la Vivienda, Garantía Financiera, Terremoto y, Huracán y
Riesgos Hidrometeorológicos.
Para un ramo en particular se tiene que el requerimiento de capital es:
𝑅𝐶𝑃𝑀𝐿 = 𝑚á𝑥{𝑃𝑀𝐿 − 𝐷,−𝑃𝐷 ∗ 𝑅𝑅𝐶𝐴𝑇}
donde:
𝑃𝑀𝐿; corresponde a la pérdida máxima a retención
𝐷; corresponde a la suma de la reserva catastrófica más la cobertura de exceso de pérdida
efectivamente disponibles
𝑃𝐷; es el valor del 10% cuando la reserva catastrófica sea al menos el 50% del saldo máximo de la
reserva, y 0% en otro caso.
𝑅𝑅𝐶𝐴𝑇; corresponde a la reserva catastrófica.
Se puede observar que el riesgo está suficientemente respaldado sí la reserva catastrófica más la
cobertura de exceso de pérdida efectivamente disponible es al menos la pérdida máxima probable,
de lo contrario se puede decir que el riesgo no está suficientemente respaldado.
2.3 Método estatutario para el cálculo de la Prima de
Riesgo y PML de Seguros de Terremoto.
Las bases técnicas que se abordan son: el cálculo de la prima de riesgo y la PML para los seguros
de terremoto, las cuales se muestran en el Anexo 5.1.5-a y Anexo 5.1.5-b de la CUSF. Estas bases
técnicas fueron desarrolladas e implementadas por el despacho de los consultores de Evaluación
de Riesgo Naturales (ERN1), en conjunto con el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional
Autónoma de México. Cabe señalar, que los modelos para estimar pérdidas de los Seguros de
1 Se destaca su gran labor en esta rama de la ciencia aportando soluciones concretas a la
medición de riesgos catastróficos en México. Se agradece ampliamente la apertura de ERN
consultores con el sector asegurador, siempre atendiendo a todas las consultas técnicas así como
información compartida.
9
Terremoto y Riesgos Hidrometeorológicos son similares estructuralmente en la modelación de la
frecuencia y la severidad, la variante que existe son en los parámetros de los modelos que
permiten recoger el comportamiento de la naturaleza de cada tipo de riesgo por frecuencia y
severidad.
2.3.1 Modelación de la Frecuencia.
En el registro histórico de temblores, donde se registra la magnitud, fecha, hora, epicentro,
profundidad entre otras variables técnicas, es posible identificar las fuentes sísmicas que generan
sismos.
Sismicidad Ocurrida en Territorio Nacional: Servicio Sismológico Nacional, 22 Marzo 2015.
En el estudio de frecuencia de los temblores, la República Mexicana se ha dividido en 476 fuentes
generadoras de sismos. Estas fuentes están dictadas por la tectónica del país y por la historia
instrumental de sismos registrados en el pasado (Zúñiga, 1994). Se asume que cada una de estas
fuentes genera temblores a una tasa constante. Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
La actividad de la 𝑖-ésima fuente sísmica se especifica en términos de la tasa de excedencia de las
magnitudes 𝜆𝑖(𝑀) generadas por esa fuente. La tasa de excedencia de magnitudes (M) mide qué
tan frecuentemente se generan temblores con una magnitud superior. Para la mayor parte de las
fuentes sísmicas, la función 𝜆𝑖(𝑀) es una versión modificada de la relación de Gutenberg y Richter.
En estos casos la sismicidad está descrita de la siguiente manera:
𝜆𝑖(𝑀) = 𝜆0𝑖
𝑒−𝑏𝑖𝑀 − 𝑒−𝑏𝑖𝑀𝑢𝑖
𝑒−𝑏𝑖𝑀0 − 𝑒−𝑏𝑖𝑀𝑢𝑖
10
donde,
𝑀0; es la mínima magnitud relevante, 4.5 en este estudio.
𝜆0𝑖; corresponde al número promedio de eventos por año de sismos con magnitud mayor a 4.5 que
se producen en una determinada fuente.
𝑏𝑖; es la pendiente del tramo inicial de la curva de recurrencia de magnitudes.
𝑀𝑢𝑖; es la máxima magnitud que puede generarse en cada fuente y se estima con base en la
máxima longitud de ruptura posible de cada una de las fuentes y otras características
morfotectónicas.
Estos parámetros diferentes para cada fuente, definen la tasa de ocurrencia para cada una de las
magnitudes, Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8]. Al aplicarse el modelo anterior, se obtiene la
lista de escenarios estatutarios que describen los posibles sismos a ocurrir. Hoy en día, el número
de escenarios considerados para la ocurrencia de sismos son 13,578, un extracto de estos
escenarios es la tabla abajo presentada, donde se observan 6 diferentes escenarios con sus
respectivas magnitudes para la fuente generadora Baja California Interplaca Norte SF1, cada
registro muestra la tasa anual de ocurrencia del escenario en cuestión.
Escenario 𝝀𝒊(𝑴) Descripción Escenario / Magnitud
ESC000001 2.85E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.07
ESC000002 2.50E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.20
ESC000003 2.20E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.33
ESC000004 1.93E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.47
ESC000005 1.70E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.60
ESC000006 1.49E-07 Baja California intraplaca norte_SF1_M=5.73
Es importante mencionar que el modelo estatutario considera independencia entre los escenarios y
que el número de temblores en un año del escenario 𝑖 es un proceso Poisson con parámetro de
intensidad 𝜆𝑖(𝑀), Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
2.3.2 Modelación de la Severidad.
La severidad del daño a construcciones ocasionada por sismos se modela a través de la
vulnerabilidad estructural2, es decir, especifica la distribución de pérdidas. Esta estimación de
pérdidas para el caso del modelo estatutario está centrada en la estimación porcentual del daño,
es decir, el soporte de la distribución de pérdidas estará acotada en el intervalo [0,1].
2 La vulnerabilidad estructural se refiere al daño o afectación que sufrirá un activo determinado ante
una amenaza dada. Usualmente se mide en términos de un porcentaje medio de daño o valor
económico requerido para reparar el bien afectado y llevarlo a un estado equivalente al que tenía
antes de la ocurrencia del evento tomando en cuenta la incertidumbre asociada. Anexo 5.1.5-a. de
la CUSF (2016) [8].
11
La vulnerabilidad define a la distribución de probabilidad de las pérdidas como función de la
intensidad producida durante un escenario especifico y la función de vulnerabilidad se describe
mediante las curvas que relacionan el valor esperado del daño y su desviación estándar, Anexo
5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
2.3.2.1 Modelación de la Severidad para la Cobertura
Básica.
La estimación de la fracción del daño está representada por la variable aleatoria 𝛽, la cual tiene un
comportamiento diferente ante cambios en las características de la estructura y localización. Al
igual que un modelo lineal generalizado, el modelo estatutario busca modelar el valor medio de los
daños ante cambios en las variables, esto último se expresa como 𝐸[𝛽|𝜃] = 𝑔(𝜃), donde 𝜃 es el
vector de la variables que influyen en el comportamiento de 𝛽.
𝛽 representa el daño bruto, es decir, no ésta afectada por deducibles, coaseguros, retención entre
otras variables del tipo financiero. Sin pérdida de generalidad, sea 𝜃 de la siguiente forma:
𝜃 = (𝜃1, 𝜃2)
donde:
𝜃1; contiene las variables de tipo estructural consideradas en el modelo de pérdida.
𝜃2; contiene las variables de geolocalización del riesgo.
El detalle de 𝜃1 , acorde a Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8], es el siguiente:
El detalle de 𝜃2 , acorde a Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8], es el siguiente:
12
Es de notar que la función 𝑔(⋅) modela el valor esperado de la pérdida dadas las características
estructurales y de localización3 es resultado de un gran esfuerzo de ingeniería, donde se resume
en un modelo el estudio de los subsuelos, de los materiales y en general a la reacción de los
inmuebles ante diferentes fuentes generadoras de sismos. Este trabajo no pretende indagar en la
modelación de 𝑔(⋅), más bien se partirá de todo el conocimiento de las bases técnicas para ser
aplicas y generar una propuesta de valor agregado.
Por otro lado, es importante conocer la desviación de los daños que existirá a la media de cada
una de las estimaciones, es por ello que las bases técnicas estiman la desviación del daño
porcentual de un inmueble dado. Está estimación está fundamentada en el estudio clásico ATC-13
(1985) [9], la cual está dada por la siguiente expresión:
𝜎𝛽2(𝛽|𝜃) = 𝑄 ∗(𝐸(𝛽|𝜃))𝑟−1 ∗ (1 − 𝐸(𝛽|𝜃))𝑠−1
donde 𝑄 y 𝑠 son parámetros que dependen del tipo estructural, la varianza máxima y nivel de daño
para la varianza máxima, Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
Una vez que se tienen los valores de la media y la varianza de la estimación del daño de un edificio
y puesto que el modelo estatutario contempla una distribución beta como función de densidad para
estos daños, se tiene lo siguiente:
Sea 𝛽|𝜃 una variable aleatoria 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎, 𝑏) con media 𝐸[𝛽|𝜃] y varianza 𝜎𝛽2(𝛽|𝜃), por tanto se cumple
lo siguiente:
𝐸[𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎, 𝑏)|𝜃] =𝑎
𝑎+𝑏 ;
𝑉𝑎𝑟[𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎, 𝑏)|𝜃] = 𝑎𝑏
(𝑎+𝑏+1)(𝑎+𝑏)2
Al solucionar el sistema de ecuaciones, se tienen los siguientes resultados para estimar 𝑎 y 𝑏.4
�� = (𝐸[𝛽|𝜃]
2
𝑉𝑎𝑟[𝛽|𝜃]) (1 − 𝐸[𝛽|𝜃]) − 𝐸[𝛽|𝜃];
�� = ��
𝐸[𝛽|𝜃]− ��
3 Se destaca que el código postal es una forma aproximada de ubicar inmueble, sin embargo si se
quiere valuar de manera exacta se tiene que usar las coordenadas geográficas, desde la
perspectiva propia, el uso de coordenadas no es algo explotado por el sector asegurador mexicano
y su implementación daría mejores estimaciones de las pérdidas. Consideramos que con las
actuales herramientas y tecnologías es posible obtener dichas coordenadas de una manera muy
fácil y bajo costo.
4 Esta solución se puede encontrar en AMIS (2010) [11].
13
Con este modelo es posible estimar las pérdidas netas de deducibles (𝐷), coaseguros (𝐶),
retención (𝑅) y límite máximo de responsabilidad (𝐿), las cuales son una fracción de la suma
asegura, esta pérdida neta es modelada por la variable aleatoria 𝛽𝑁5 como:
𝛽𝑁 = {
0𝑠𝑖𝛽 ≤ 𝐷
(𝛽 − 𝐷) ∗ 𝑅 ∗ (1 − 𝐶)𝑠𝑖𝐷 < 𝛽 ≤ 𝐿(𝐿 − 𝐷) ∗ 𝑅 ∗ (1 − 𝐶)𝑠𝑖𝛽 > 𝐿
Dado que la distribución de 𝛽 es conocida, 𝐷, 𝐶, 𝑅𝑦𝐿 son constantes, entonces es posible calcular
los valores de 𝐸[𝛽𝑁]𝑦𝑉𝑎𝑟[𝛽𝑁], Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
2.3.2.2 Modelación de la Severidad para Coberturas
Anexas.
En este aparto se explica cómo el modelo estatuario mide las pérdidas de todas las coberturas del
seguro de terremoto, si bien ya se abordó la modelación de la cobertura de daños al inmueble, falta
abordar los daños por pérdidas de contenidos, pérdidas consecuenciales y daños a bienes bajo
convenio expreso. Estas coberturas son modeladas con la misma filosofía que la cobertura de
edificio, expuesta anteriormente, pero con sus respectivos parámetros de vulnerabilidad.
Para identificar cada una de las fracciones de daño netas de las coberturas sea 𝛽𝑁𝐸 , 𝛽𝑁𝐶 , 𝛽𝑁𝑆𝑦𝛽𝑁𝐵,
las fracciones de pérdidas netas de edificio, contenidos, pérdidas consecuenciales y pérdidas bajo
convenio expreso. En el mismo orden también definamos la suma asegurada expuesta6 de las
coberturas, las cuales se denotarán como 𝑀𝑁𝐸 , 𝑀𝑁𝐶 , 𝑀𝑁𝑆𝑦𝑀𝑁𝐵,
Partiendo de las definiciones de las fracciones de pérdida netas y las sumas aseguradas
expuestas de cada cobertura, se tiene que el monto total de daño neto está dado por lo siguiente:
𝑃𝑠 = 𝑀𝑁𝐸𝛽𝑁𝐸 + 𝑀𝑁𝐶𝛽𝑁𝐶 + 𝑀𝑁𝑆𝛽𝑁𝑆 +𝑀𝑁𝐵𝛽𝑁𝐵
Y la fracción de pérdida neta del total de la suma asegurada será:
𝛽𝑠 =𝑀𝑁𝐸𝛽𝑁𝐸 + 𝑀𝑁𝐶𝛽𝑁𝐶 + 𝑀𝑁𝑆𝛽𝑁𝑆 +𝑀𝑁𝐵𝛽𝑁𝐵
𝑀𝑁𝐸 + 𝑀𝑁𝐶 + 𝑀𝑁𝑆 +𝑀𝑁𝐵
=𝑃𝑠
𝑀𝑠
En el modelo estatutario 𝛽𝑠 contempla para las fracciones de daños un comportamiento
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠). Por lo que la variable 𝛽𝑠 concentra la información de la fracción de pérdidas netas de
todas las coberturas y la variable 𝑀𝑠 representa la suma de las sumas aseguradas expuestas.
Además se conoce el valor medio 𝐸[𝛽𝑠], la varianza 𝑉𝑎𝑟[𝛽𝑠] y la correlación de cada una de las
coberturas.
5 Nótese que 𝛽𝑁 se una distribución mixta.
6 La suma asegurada expuesta se define como el valor de reposición de la cobertura menos
deducible, coaseguro y acotado por el límite máximo de responsabilidad, es decir es la parte de la suma asegurada que puede generar una pérdida para la aseguradora.
14
Otras cantidades importantes a definir en el modelo estatutario son las constantes 𝑃0𝑦𝑃1, las
cuales son valores auxiliares que nos ayudan a estimar las pérdidas netas de un inmueble, dichas
cantidades están definidas como:
𝑃0 = 𝑃[𝛽𝑠 = 0] ;
𝑃1 = 𝑃[𝛽𝑠 = 1]
Con todos estos elementos es posible describir en una forma compacta la distribución final de la
fracción neta de todas las coberturas, esta distribución de probabilidad es una distribución mixta,
puede tomar el valor de 0 para pérdidas netas cero, el valor de 1 para pérdidas totales, y una
distribución continua cuando es una fracción en (0,1) , es de notar que 𝛽𝑠 se asume igual para el
daño de las cuatro coberturas.
La distribución ésta definida como:
𝑓(𝛽𝑠) = 𝑃0𝛿(𝛽𝑠) + (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝐵(𝛽𝑠, 𝑎𝑠, 𝑏𝑠) + 𝑃1𝛿(𝛽𝑠 − 1)
Donde 𝛿(𝑥) es 1 cuando 𝑥 es 0, y 0 en cualquier otro caso y, 𝐵 la función de densidad de una beta.
Una manera equivalente de escribir la variable aleatoria 𝛽𝑠 es:
𝛽𝑠 = {
0𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃0
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠 , 𝑏𝑠)𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 1 − 𝑃0 − 𝑃1
1𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃1
Se creé que esta expresión facilita la realización de los cálculos de esperanza y varianza, es decir:
𝐸[𝛽𝑠] = 𝐸[𝑃𝑠] 𝑀𝑠⁄ ;
𝑉𝑎𝑟[𝛽𝑠] = 𝑉𝑎𝑟[𝑃𝑠] 𝑀𝑠2⁄
Lo anterior con base en el Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8]
Por lo anterior, se describe a la perfección con 𝛽𝑠 el comportamiento neto de las pérdidas de todas
las coberturas y como se verá más adelante, esta es la distribución clave generadora de fracciones
de daños netos de deducible, coaseguro y límite máximo de responsabilidad. Además con 𝑓(𝛽𝑠) se
simulan observaciones de 𝛽𝑠 al resolver la inversa de la distribución acumulada, es decir 𝛽𝑠 =
𝐹−1(𝑢) donde 𝑢 es un número aleatorio con distribución uniforme en el (0,1). Este método de
simulación se le conoce como “El Método de la Inversa”.
Algunas propiedades de 𝛽𝑠 son:
𝐸[𝛽𝑠] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝑎𝑠
𝑎𝑠+𝑏𝑠+ 𝑃1 ;
𝐸[𝛽𝑠2] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)
𝑎𝑠(𝑎𝑠+1)
(𝑎𝑠+𝑏𝑠)(𝑎𝑠+𝑏𝑠+1)+ 𝑃1 ;
𝐹𝛽𝑠(𝑡) = {
𝑃0𝑠𝑖𝑡 = 0
𝑃0 + (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡)𝑠𝑖
1𝑠𝑖𝑡 ≥ 1
𝑡 ∈ (0,1)
donde 𝐹𝑋(𝑡) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡), estas últimas expresiones serán demostradas en el Apéndice A.
15
2.3.3 Cálculo de la Prima de Riesgo
El cálculo de la prima de riesgo es un valor indispensable, dado que a partir de éste se calcula la
prima de riesgo no devengada, la cual es componente primordial para la constitución de la reserva
de riesgos en curso y la reserva catastrófica. Es importante recordar que la reserva de riesgo en
curso es la suma de la prima de riesgo ponderada por la fracción del tiempo no trascurrido del
seguro de todas las pólizas en vigor al tiempo de la valuación la cual se puede ver como una
reserva BEL.
La prima de riesgo, es el valor esperado de daños en un horizonte de tiempo de un año por
concepto de todas las coberturas amparadas por el seguro de terremoto, para la cual es necesario
que la pérdida esperada de cada inmueble esté ponderada por la frecuencia de cada sismo,
recuérdese que cada sismo esta modelado por cada uno de los escenarios estatutarios.
Para el cálculo de la prima de riesgo es necesario abundar en el archivo “Fuentes.Dat”7 cuya
estructura es la siguiente:
Variable Descripción
Fuente Número y nombre de la fuente generadora de sismos.
Magnitud Magnitud del sismo que se está evaluando.
Pérdida esperada Valor esperado en unidades monetarias, de la pérdida neta de todo el portafolio, dado por un sismo que toma lugar en la fuente.
Pérdida esperada (%) Valor esperado de la pérdida neta descrito anteriormente, dividida entre la suma asegurada expuesta.
Probabilidad anual de ocurrencia
Probabilidad anual de ocurrencia de un sismo que toma lugar en la fuente especificada.
Coeficiente de variación Coeficiente de variación de la pérdida neta, condicionada a la ocurrencia del sismo de la fuente en cuestión.
P0 Es la probabilidad de que la pérdida neta sea cero, condicionado a la ocurrencia del sismo de la fuente en cuestión.
P1 Es la probabilidad de que la pérdida neta sea total, condicionado a la ocurrencia del sismo de la fuente en cuestión.
a Es el parámetro a de la distribución Beta cuando existe una fracción de pérdida diferente a cero y uno, condicionado a la ocurrencia del sismo de la fuente en cuestión.
b Es el parámetro b de la distribución Beta cuando existe una fracción de pérdida diferente a cero y uno, condicionado a la ocurrencia del sismo de la fuente en cuestión.
Suma asegurada expuesta Es la parte de la suma asurada total la cual la aseguradora es responsable, es decir a la suma asegurada se le deduce el deducible, coaseguro, así como el límite máximo de responsabilidad en caso de existir.
Cuadro con base en la publicación de ERN Ingenieros Consultores S. C.(2003) [10]
7 Este archivo resume todos los parámetros de severidad y frecuencia del riesgo a evaluar, este
archivo auxiliar es arrojado únicamente por el sistema R versión Plus.
16
Un extracto de los primeros diez registros de un archivo “Fuentes.Dat” es:
Nótese que para cada escenario existen diferentes valores de 𝑃0, 𝑃1, 𝑎𝑠, 𝑏𝑠𝑦𝑀𝑠, estas diferencias
son debido a que los parámetros de severidad varían de acuerdo a cada escenario. Es por ello que
cada cartera que se valué se tendrán 𝑛 registros que nos describan el comportamiento de la
severidad por escenario, el valor máximo de 𝑛 será el número de escenarios que contempla el
modelo estatuario, es decir 13,578.
Sea 𝐸𝑠𝑐𝑖 el escenario 𝑖,𝑛𝑖 el número de sismos que se generan del escenario 𝑖 y los parámetros
de pérdida del inmueble {𝑃0(𝑖), 𝑃1(𝑖), 𝑎𝑠(𝑖), 𝑏𝑠(𝑖)𝑦𝑀𝑠(𝑖)}𝑐𝑜𝑛𝑖 ∈ 1,2,⋯𝑛 para el escenario 𝑖.
Por tanto, se puede escribir la pérdida esperada como 𝐸[𝑀𝑠𝛽𝑠] ∗ 𝐸[𝑁], que en términos de
escenarios se escribe de la siguiente manera:
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = ∑𝐸[𝑀𝑠(𝑖)𝛽𝑠(𝑖)] ∗ 𝐸[𝑛𝑖]
𝑛
𝑖=1
Nótese que 𝑀𝑠(𝑖) no es una variable aleatoria es una contante, y que el valor esperado de 𝑛𝑖 son
precisamente los valores de 𝜆𝑖(𝑀) que por simplicidad se puede llamar 𝜆𝑖. Por tanto la expresión
anterior se expresa de la siguiente manera:
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = ∑𝑀𝑠(𝑖) ∗ 𝜆𝑖 ∗ 𝐸[𝛽𝑠(𝑖)]
𝑛
𝑖=1
Usando las propiedades de la variable aleatoria 𝛽𝑠 (apartado 2.3.2.2), se tiene que 𝐸[𝛽𝑠] =
(1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝑎𝑠
𝑎𝑠+𝑏𝑠+ 𝑃1, por tanto la prima de riesgo se expresa de la siguiente manera:
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 = ∑𝑀𝑠(𝑖) ∗ 𝜆𝑖 ∗ ((1 − 𝑃0(𝑖) − 𝑃1(𝑖))𝑎𝑠(𝑖)
𝑎𝑠(𝑖) + 𝑏𝑠(𝑖)+ 𝑃1(𝑖))
𝑛
𝑖=1
Algunas consideraciones del archivo “Fuentes.Dat” son: se genera un sólo archivo “Funtes.Dat” por
evaluación de cartera y los parámetros de severidad por cada escenario contempla la totalidad de
los registros en la evaluación. Por tanto, si en una evolución se ingresan 𝑛 edificios, los parámetros
de pérdida para cada escenario modelan el total de pérdida de esos 𝑛 edificios. Como se puede
observar más adelante en la reproducción de resultados, es indispensable contar con los
parámetros de pérdida para cada edificio, con los cuales es posible la simulación de siniestros
riesgo por riesgo, además permite la aplicación de programas de reaseguro acorde a la realidad,
debido a que en la práctica la retención entre edificios puede ser diferente y algunos esquemas de
reaseguro no proporcionales son riesgo por riesgo.
17
2.3.4 Cálculo de la PML de Seguros de Terremoto
El cálculo de la Pérdida Máxima Probable es indispensable para la gestión del riesgo catastrófico,
es una cantidad que garantiza con una probabilidad del 99.93% que la mayor pérdida que
observada en un horizonte de un año es justamente la PML, en otras palabras la PML es un valor
en riesgo o un percentil con la probabilidad antes mencionada. A partir de la PML se establecen
mecanismos de transferencia de riesgo a reaseguradores y a su vez sirve para calcular el
Requerimiento de Capital de riesgos basados en Pérdida Máxima Probable.
Es usual que en la modelación de riesgos catastróficos se usen los periodos de retorno, lo cuales
indican coloquialmente el número de 𝑇𝑅 años para tener una catástrofe inesperada, en lugar de la
probabilidad con la que se calcula el valor en riesgo (𝑉𝑎𝑅) de la PML. La relación que existe entre
el periodo de retorno y la probabilidad 𝑝 del PML es:
𝑝 = 1 −1
𝑇𝑅
Para el cálculo de la PML con una probabilidad 𝑝 en su equivalente periodo de retorno nos
basamos en la ecuación fundamental (1) de Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8], en otras
palabras “loss curve”, la cual nos indica la probabilidad en la que los daños de todos los edificios
por todos los sismos en un año exceda la cantidad 𝑝, dicha expresión es:
𝑣(𝑝) = ∑ Pr(𝑃 > 𝑝|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑖)𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖=1𝐹𝐴(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑖)
Si bien, ésta ecuación cumple el propósito de su definición, se propone una nomenclatura
probabilística usual, por lo que se describe que la ecuación fundamental es la siguiente:
𝑆(𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥) = ∑ Pr(𝑋 > 𝑥|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑖)𝑁
𝑖=1𝑃𝑟(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑖)
donde:
𝑆(𝑥); es la función de supervivencia de la variable aleatoria 𝑋, o uno menos la función de
distribución.
𝑁; es el número de escenarios o eventos de sismo (13,500 aproximadamente para terremoto)
𝑋; es la variable aleatoria del total de daños dado un escenario, es decir la suma asegurada
expuesta por la fracción de daño 𝑋 = 𝑀𝑠𝛽𝑠, donde la fracción de daño es aleatoria con parámetros
{𝑃0(𝑖), 𝑃1(𝑖), 𝑎𝑠(𝑖), 𝑏𝑠(𝑖)𝑦𝑀𝑠(𝑖)} y función de densidad 𝑓(𝛽𝑠).
𝑃𝑟(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑖); es la probabilidad de ocurrencia del escenario, denotada como 𝜆𝑖.
Nótese que la ecuación fundamental está en términos de que los montos de daño excedan 𝑥, sin
embargo dicha expresión puede ser más puntual si dejamos la expresión en términos de la variable
aleatoria 𝛽𝑠.
𝑆𝑋(𝑥) = ∑ 𝑆𝛽𝑠(𝑖)(𝑥 𝑀𝑠(𝑖)⁄
𝑁
𝑖=1)𝜆𝑖
18
Con 𝑆𝑋(𝑥) es posible calcular para cada monto 𝑥 la probabilidad de que el total de pérdidas
anuales exceda dicho monto, entonces la PML con periodo de retorno 𝑇𝑅 y su equivalente
probabilidad 𝑝 cumple que:
𝑆𝑋(𝑃𝑀𝐿) = 1 − 𝑝 =1
𝑇𝑅
ó
𝐹𝑋(𝑃𝑀𝐿) = 𝑝 = 1 −1
𝑇𝑅= 1 − 𝑆𝑋(𝑃𝑀𝐿)
Con lo antes expuesto de 𝑣(𝑝), se tienen los pasos para calcular la PML en un escenario:
1. Determinar la distribución de probabilidades de la pérdida en cada uno de los bienes
expuestos.
2. A partir de las distribuciones de probabilidad de las pérdidas por cada bien, determinar la
distribución de probabilidad de la suma de estas pérdidas, tomando en cuenta la
correlación que existe entre ellas.
3. Una vez determinada la distribución de probabilidad de la suma de las pérdidas en este
evento, calcular la probabilidad de que esta exceda un valor determinado 𝑝.
4. La probabilidad determinada en el inciso anterior, se multiplica por la frecuencia anual de
ocurrencia del evento, la cual es la contribución de ese evento a la tasa de excedencia de
la pérdida 𝑝.
El cálculo se repite para todos los escenarios, con lo que se obtiene el resultado indicado en la
ecuación fundamental, Anexo 5.1.5-a. de la CUSF (2016) [8].
19
Capítulo 3
Reproducción de resultados del método
estatutario de seguros de terremoto
Como se describió en el capítulo anterior es posible obtener la prima de riesgo y la PML de manera
algebraica a partir del “Funtes.Dat”. Es importante mencionar la posibilidad de obtener estos datos
partiendo de las simulaciones riesgo por riesgo que da la viabilidad de usar las simulaciones bajo
un contexto de Solvencia II, lo cual es el objetivo de la propuesta.
Anteriormente ya se han realizado esfuerzos de reproducir resultados del modelo estatuario vía
simulación, estos esfuerzos se han llevado acabo por parte de la Asociación Mexicana de
Instituciones de Seguros (AMIS) en el trabajo de investigación AMIS (2010) [11], sin embargo la
granularidad de las simulaciones obtenidas por dicha investigación llega a la simulación del total de
siniestros de todos los edificios por sismo, no siendo posible obtener el detalle de los daños riesgo
por riesgo y siendo imposible aplicar esquemas de reaseguro no proporcionales que aplican por
riesgo así como la aplicación de la retención especifica.
Partiendo de este antecedente se pretende obtener una granularidad de simulación riesgo por
riesgo, es decir edificio por edificio por cada uno de los sismos, siendo posible aplicar cualquier tipo
de esquema de reaseguro.
3.1 Antecedentes Técnicos.
Para detallar el proceso de simulación se expondrá la información necesaria y supuestos
generales.
Sobre tipo de cartera; el sistema estatutario da la posibilidad de ingresar información de los
inmuebles de diversas formas, en particular, de forma independiente entre los riesgos y de forma
colectiva, la diferencia crucial entre estas dos modalidades es que en la cartera de forma
independiente no contempla un límite, por el contrario en la colectiva, la suma de todas las
pérdidas de todos los inmuebles que pertenezcan a un mismo grupo se limitan a una límite máximo
de responsabilidad. De lo anterior, para obtener una simulación con una granularidad riesgo por
riesgo y apegada a la realidad, es necesario evaluar todos los riesgos como si fueran
independientes y con ello obtener parámetros de pérdida por riesgo sin la influencia de la
agregación de siniestros por grupo. Si bien, se evalúan todos los riesgos de forma independiente,
se debe guardar registro de los riesgos que pertenecen a un mismo grupo, para que, en el proceso
de simulación se pueda aplicar el límite máximo de responsabilidad y en su caso los esquemas de
reaseguro que aplican a esos siniestros.
Sobre el límite a primer riesgo; el sistema estatutario nos da la posibilidad de acotar las pérdidas
de cada riesgo mediante un límite máximo de responsabilidad (límite a primer riesgo) que tiene la
posibilidad de limitar la suma de todas las coberturas o un subconjunto de ellas. De lo anterior,
para obtener una simulación con una granularidad riesgo por riesgo y apegada a la realidad, es
necesario evaluar todos los riesgos sin límite a primer riesgo y con ello obtener parámetros de
20
pérdida por riesgo sin la influencia de la agregación de coberturas. Si bien, evaluamos todos los
riesgos sin límite a primer riesgo, se tiene que guardar registro de los riesgos que cuentan con
dicho límite, para que en el proceso de simulación se pueda aplicar el límite máximo de
responsabilidad por riesgo que en su caso corresponda. Para lograrlo será necesario guardar
registro de la distribución de suma asegurada por cobertura solo para aquellos riesgos que tengan
límite a primer riesgo.
Sobre la retención; el sistema estatutario nos da la posibilidad de reducir las pérdidas de cada
riesgo mediante esquemas de reaseguro proporcional. De lo anterior, para obtener una simulación
con una granularidad riesgo por riesgo, de forma bruta y apegada a la realidad, es necesario
evaluar todos los riesgos sin el porcentaje de retención y con ello obtener parámetros de pérdida
por riesgo sin la influencia de la reducción de pérdidas. Si bien evaluamos todos los riesgos sin el
porcentaje de retención, será necesario guardar registro de dicho porcentaje, para que, en el
proceso de simulación se pueda aplicar acorde al porcentaje que corresponda al riesgo.
Sobre riesgos no evaluables; el sistema estatuario permite ingresar información de riesgos que
no son posibles evaluar con las bases técnicas estándar, sin embargo el sistema permite generar
parámetros de pérdida generales que dependen del tipo de riesgo, por tanto esta información se
ingresa de forma usual con lo que se obtendrán los parámetros de pérdida riesgo por riesgo.
Sobre la obtención del “Fuentes.Dat”; el sistema estatuario no arroja el archivo detallado de
parámetros de perdida por escenario, por lo que es necesario tener acceso a la versión del
sistema Plus, recordar que el archivo “Fuentes.Dat” se genera por todos los riesgos considerados
en la evaluación, por lo que, si se desea obtener una granularidad de simulación riesgo por riesgo
y de manera bruta, el archivo “Fuentes.Dat” no cumple los requisitos. Lo que procede es que una
cartera de 𝑛 riesgos se parta en 𝑛 carteras de un riesgo y evaluar de forma independiente para
obtener 𝑛 “Fuentes.Dat”, donde el “Fuentes.Dat” del inmueble 𝑖 sea 𝐹𝐷(𝑖). La obtención del
conjunto de archivos “Fuente.Dat” {𝐹𝐷(𝑖)}𝑖=1𝑛 sin el soporte del despacho de los consultores de
Evaluación de Riesgos Naturales (ERN) es una tarea colosal, ya que, como el Sistema Plus está
preparado para dar un solo “Fuentes.Dat” por corrida y es necesario 𝑛 corridas, lo que implicaría
hacer la misma cantidad de evaluaciones. Operativamente no es viable y en el peor de los casos
se tienen que recurrir a una programación de rutinas que manejen el sistema de cómputo8.
Posteriormente de las 𝑛 corridas, es necesario juntar todos los resultados en un archivo maestro,
donde se resuman todos los resultados de las variables claves, las cuales son: identificador o
consecutivo del riesgo/inmueble/edificio 𝑒𝑑𝑖, identificador del escenario 𝐸𝑠𝑐𝑗, probabilidad de que la
pérdida sea cero 𝑃0, probabilidad de que la pérdida sea total 𝑃1, parámetro 𝑎 de la distribución
Beta, parámetro 𝑏 de la distribución Beta y por último la suma asegurada expuesta 𝑀𝑠.
Una muestra del archivo “Fuentes.Dat”, es la siguiente;
8 Este tipo de programación se logra a través de programas como “AutoHotkey”, sin embargo la
opción más recomendable es tener el soporte del despacho ERN.
21
Sobre la correlación implícita del modelo; La pérdida esperada de los inmuebles contempla
implícitamente que a medida de que un escenario es más adverso, la afectación de todos los
inmuebles por ese escenario será en promedio más adversa, por el contrario, si un escenario es de
poca intensidad, en promedio las pérdidas de todos los inmuebles serán menores. Esta correlación
se observa al analizar las pérdidas esperadas de una cartera de inmuebles bajo una misma fuente
sísmica con sus diferentes magnitudes, se observa que el promedio y la dispersión de la fracción
de daño promedio crecen para todos los inmuebles a medida de que la magnitud del sismo es
mayor.
3.2 Proceso de Simulación.
El objetivo de la simulación es tener realizaciones de las pérdidas anuales brutas y a retención de
las coberturas de todos los inmuebles en un horizonte de un año y al tener suficientes
realizaciones de estas variables aleatorias es posible estimar el valor esperado de las pérdidas
(prima de riesgo), así como un cota máxima de estas pérdidas a un nivel de confianza, es decir
obtener un valor en riesgo (𝑉𝑎𝑅) o la PML9.
El proceso de simulación para obtener observaciones de la pérdida bruta y a retención de un año
es el siguiente:
9 Es importante recalcar que el modelo estatutario no contempla la duración remanente de las pólizas, lo que da como resultado que la PML sea constante en el tiempo. Esto es posible de corroborar evaluando una sola póliza desde su inicio de vigencia hasta el fin de vigencia, dando como resultado que la PML permanece constante aunque los días devengados del riesgo estén aumentando, esto último es contrario a la realidad, debido a que si hay menos tiempo de exposición del riesgo ante las amenazas sísmicas hay menos posibilidades de que el riesgo se vea afectado.
22
I. Para cada registro de la lista de escenarios de sismos se genera una simulación del
número de siniestros con la distribución 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑖), donde 𝜆𝑖 es la frecuencia promedio
del escenario 𝑖.
II. Con la lista de escenarios y el número de sismos simulado se genera una lista temporal de
escenarios en el que si el escenario ocurrió cero veces, este escenario no aparecerá en la
lista temporal, si el escenario ocurrió una vez, este escenario aparecerá solo una vez en la
lista temporal y en general si un escenario ocurrió 𝑟 veces, entonces este escenario
aparecerá𝑟 veces. Esta lista deberá ser tan larga como el número de sismos simulados.
III. Para cada sismo en la lista temporal de escenarios repetir lo siguiente:
a. Acorde al escenario en cuestión, seleccionar de la tabla maestra de “Fuentes.Dat”
todos aquellos inmuebles que se ven afectados por el escenario en cuestión.
b. Una vez identificados los inmuebles afectados por el sismo en cuestión simular las
fracciones de daño con los parámetros de pérdida {𝑃0(𝑖), 𝑃1(𝑖), 𝑎𝑠(𝑖), 𝑏𝑠(𝑖)𝑦𝑀𝑠(𝑖)}
de cada inmueble, el método de simulación se expone de manera detallada en el
Apéndice A de demostraciones.
c. Para la pérdida bruta:
i. En caso de que el inmueble no tenga límite a primer riesgo ni sea miembro
de una colectividad se multiplican las fracciones de daño por la suma
asegurada expuesta 𝑀𝑠(𝑖).
ii. En caso de que el inmueble tenga límite a primer riesgo, la fracción de
daño se multiplica por el detalle de coberturas del inmueble y se toman las
coberturas correspondientes al límite primer riesgo. El detalle se muestra
en la sección de cálculos especiales 3.3.
iii. En caso de que el inmueble sea parte de una colectividad y tenga un límite
global, se calcularan los daños de todos los inmuebles afectados por el
sismo en cuestión y dicha pérdida se limitará por el límite global. El detalle
es muestra en la sección de cálculos especiales 3.3.
d. Para la pérdida a retención, con base en la pérdida bruta calculada en la sección
anterior se multiplica por el factor de retención de la compañía para cada siniestro
de inmuebles individuales y el total de siniestros brutos por el factor de retención
para los riesgos que sean miembros de la misma colectividad.
IV. Una vez que se tengan los siniestros brutos y retenidos para cada sismo se totalizan todas
las pérdidas de forma anual, guardando el desglose bruto y retenido de ser necesario.
V. Se repite el proceso I al IV, 𝑛 veces, dando como resultado las siguientes muestras
aleatorias. Sea {𝑥𝐵𝑟,𝑖}𝑖=1
𝑛 el conjunto de simulaciones de pérdidas anuales brutas y,
{𝑥𝑅𝑒𝑡,𝑖}𝑖=1
𝑛 el conjunto de simulaciones de pérdidas anuales a retención.
3.3 Cálculos Especiales.
De acuerdo a la sección anterior, existen cálculos especiales que se necesitan realizar para
reproducir la operación habitual del pago de siniestros cuando existe un límite a primer riesgo y
cuando una colectividad tiene un límite máximo de responsabilidad. En esta sección se explica el
procedimiento de dicho cálculo.
23
3.3.1 Inmuebles con Límite a Primer Riesgo.
Como parte de la información necesaria para generar el PML, se tiene el dato tipo primer riesgo
para cada inmueble 𝑖, el cual se denota como 𝑇𝑃𝑅 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4), donde la entrada 𝑎𝑗 es el valor
1 si la cobertura 𝑗 presenta un límite a primer riesgo y el valor 0 si no lo presenta. Sea 𝐿𝑃𝑅 el
monto que limita las pérdidas de las coberturas a esa cantidad, sea 𝛽𝑠 la fracción de pérdida de
todas las coberturas y sea 𝑀𝑠 = (𝑀𝑁𝐸 , 𝑀𝑁𝐶 , 𝑀𝑁𝑆, 𝑀𝑁𝐵) vector de las sumas aseguradas expuestas
por cobertura.
Por tanto, el daño bruto por la ocurrencia de un sismo de un inmueble se puede calcular como:
𝑚𝑖𝑛{𝛽𝑠𝑀𝑆 ∙ 𝑇𝑃𝑅 , 𝐿𝑃𝑅} + 𝛽𝑠𝑀𝑆
∙ (1 − 𝑇𝑃𝑅 )
Nótese que la expresión 𝑚𝑖𝑛{𝛽𝑠𝑀𝑆 ∙ 𝑇𝑃𝑅 , 𝐿𝑃𝑅} totaliza el daño de todas las coberturas con un límite
máximo de responsabilidad y por otro lado, la expresión 𝛽𝑠𝑀𝑆 ∙ (1 − 𝑇𝑃𝑅 ) totaliza el monto del
daño de las coberturas que no tienen límite máximo de responsabilidad.
3.3.2 Colectividades con Límite Máximo de
Responsabilidad
Sean los daños brutos de 𝑚 inmuebles {𝑦𝑖}𝑖=1𝑚 del mismo grupo, ante la ocurrencia de un mismo
sismo y el límite máximo de responsabilidad del grupo 𝐿𝑀𝑅𝑔, por tanto la pérdida bruta limitada
será la cantidad 𝑚𝑖𝑛{∑ 𝑦𝑖 , 𝐿𝑀𝑅𝑔𝑚𝑖=1 }.
3.4 Cálculo de la Prima de Riesgo.
A partir de la muestra aleatoria de pérdidas brutas y a retención, la estimación de la prima de
riesgo bruta y a retención se estima como:
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜𝐵𝑟𝑢𝑡𝑎 = 1
𝑛∑ 𝑥𝐵𝑟,𝑖
𝑛𝑖=1 y 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑑𝑒𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜𝑅𝑒𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 =
1
𝑛∑ 𝑥𝑅𝑒𝑡,𝑖
𝑛𝑖=1
3.5 Cálculo de la PML.
A partir de la muestra aleatoria de pérdidas brutas y a retención, la estimación de la PML bruta y la
PML a retención se estima como:
I. Definir el periodo de retorno 𝑇𝑅, usualmente 𝑇𝑅 = 1,500𝑎ñ𝑜𝑠
II. Calcular la probabilidad equivalente al periodo de retorno como 𝑝 = 1 − 1𝑇𝑅⁄
III. Dada la confiabilidad 𝑝:
24
a. Para PML bruto, calcular el percentil que acumule el 𝑝 por ciento de los datos con
la muestra {𝑥𝐵𝑟,𝑖}𝑖=1
𝑛.
b. Para PML retenido, calcular el percentil que acumule el 𝑝 por ciento de los datos
con la muestra {𝑥𝐵𝑟,𝑖}𝑖=1
𝑛.
3.6 Ejemplo Práctico
En este apartado se ejemplifica la reproducción de la metodología de prima de riesgo y de la PML
partiendo de simulaciones se toman dos edificios importantes: el edificio Torre Mayor de la Ciudad
de México y el edificio Oceanic 2000, el cual es el más alto de las costas de Acapulco. Para
generar información de pérdidas es indispensable tener datos estructurales, de localización e
información de coberturas, los cuales en el presente trabajo no representan un juicio experto sobre
la valoración de los edificios10.
Sobre las coberturas; El coste de construcción para Torre Mayor se estima en 250 millones de
dólares, sí se toma el tipo de cambio de 20 pesos por dólar, el coste equivale a 5 mil millones de
pesos y para el caso de Oceanic 2000, el coste se estima en 9 millones de dólares, utilizando el
mismo tipo de cambio se tiene un total de 180 millones de pesos. Para ambos edificios se
considera que las sumas aseguradas de contenidos y pérdidas consecuenciales son un 25% del
valor del inmueble en cada una de las coberturas, el deducible de las coberturas se asumió cero
para favorecer la simulación de daños en cada ocurrencia de un sismo, el coaseguro de las
coberturas se asumió un 10%, se asume que no hay un límite a primer riesgo y por último la
retención de la compañía se asumió en un 25%.
Para los datos estructurales; Para el caso de Torre Mayor se eligió un tipo sismo
SMex_Marcos_04 (Marcos de Acero) ya que en la descripción del tipo de materiales se menciona
el usó de este material. Para el caso de Oceanic 2000 se eligió un tipo sismo SMex_Marcos_02
(Marcos y Muros de Concreto) ya que en la descripción del tipo de materiales que se usó se
menciona predominantemente. Para el número de pisos y año de construcción se tomaran los
datos en el mismo sitio. Para la localización se usó el sitio web Google Maps para determinar la
ubicación exacta de los inmuebles. Para el uso de inmueble se determinó en base al catálogo de
uso, donde Torre Mayor tiene un uso de oficinas privadas (clave 23) y Oceanic 2000 un uso casa
habitación (clave 28).
10 La fuente de información fue la enciclopedia libre Wikipedia.
25
Los vectores de datos valuados en el sistema R Plus fueron los siguientes:
NUM_REGISTRO 1 2
NUM_POLIZA TorreMayor Oceanic2000
RAMO SISMO SISMO
FECHA_INICIO 01-ene-16 01-ene-16
FECHA_FIN 01-ene-17 01-ene-17
INM_VALOR_ASEGURABLE $5,000,000,000.00 $180,000,000.00
CONT_VALOR_ASEGURABLE $1,250,000,000.00 $45,000,000.00
CONSEC_VALOR_ASEGURABLE $1,250,000,000.00 $45,000,000.00
CONVENIO_VALOR_ASEGURABLE $0.00 $0.00
PORCENTAJE_RETENCION 25 25
TIPO_PRIMER_RIESGO 0000 0000
COMB_LIMITE_MAXIMO
INM_LIMITE_MAXIMO $5,000,000,000.00 $180,000,000.00
CONT_LIMITE_MAXIMO $1,250,000,000.00 $45,000,000.00
CONSEC_LIMITE_MAXIMO $1,250,000,000.00 $45,000,000.00
CONVENIO_LIMITE_MAXIMO $0.00 $0.00
COMB_DEDUCIBLE
INM_DEDUCIBLE 0 0
CONT_DEDUCIBLE 0 0
CONSEC_DEDUCIBLE 0 0
CONVENIO_DEDUCIBLE 0 0
COMB_COASEGURO
INM_COASEGURO 10 10
CONT_COASEGURO 10 10
CONSEC_COASEGURO 10 10
CONVENIO_COASEGURO 0 0
CLAVE_PAIS 52 52
CODIGO_LOCALIZACION
LONGITUD -99.175141 -99.8511
LATITUD 19.42435 16.8469
NUM_PISOS 55 33
CLASE_SISMO SMex_Marcos_04 SMex_Marcos_02
USO_INMUEBLE 23 28
AÑO_CONSTRUCCION 2000 1993
COLUMNAS_CORTAS
SOBREPESO
GOLPETEO
ESQUINA
IRRE_ELEVACION
IRRE_PLANTA
HUNDIMIENTOS
DAÑOS_PREVIOS
FUE_REPARADO
FUE_REFORZADO
AÑO_REFUERZO
26
Sobre los resultados del ejecutable; La cartera en vigor de los edificios arroja como resultado
que, el valor de reposición de las coberturas es de 7.77 miles de millones de pesos de la cual la
pérdida bruta esperada durante un año es de 8.7 millones de pesos, es decir que la pérdida
esperada es 0.1129% de la suma asegurada y dicho porcentaje de pérdida podría llegar hasta
8.02% (623.03 millones de pesos) en los peores escenarios con una probabilidad de 99.93%. Por
otra parte, para las pérdidas a retención se tiene que la aseguradora absorbe 25% de las pérdidas.
Estos resultados se basaron en el archivo “Fuentes.Dat” que está compuesto por 6,786 registros,
de los cuales 3,000 registros son parámetros de pérdida para el edificio “Oceanic2000” y 3,786
para el edificio Torre Mayor.
Descripción Bruto Retenido
I. Información regulatoria
Suma Asegurada $7,770,000,000.00 $1,942,500,000.00
Prima de Riesgo $8,772,690.46 $2,193,172.62
PML (1500 años) $623,038,471.00 $155,759,617.75
Factor de PML (F PML) 8.02% 8.02%
Prima de Riesgo Devengada $5,359,753.35 $1,339,938.34
A partir del archivo de pérdidas “Fuentes.Dat” por riesgo, se realiza un recalculo de la prima de
riesgo, obteniendo como resultado que existe una ligera diferencia del -0.03% debido al redondeo
de los parámetros de pérdida.
Ejecutable Fuentes.Dat Diferencia%
Prima de Riesgo Bruta $8,772,690.46 $8,770,404.70 -0.03%
Retención $2,193,172.62 $2,192,601.18 -0.03%
Lo anterior se puede observar en un extracto del “Fuentes.Dat”, el parámetro 𝑎 tiene un redondeo a
tres centésimas y 𝑏 tiene un redondeo a miles11.
Edificio Escenario P0 P1 a b S.A. Exp.
1 ESC003643 0 0 0.138 858,000 337,500,000
1 ESC003644 0 0 0.145 534,000 337,500,000
1 ESC003645 0 0 0.152 335,000 337,500,000
1 ESC003646 0 0 0.159 211,000 337,500,000
1 ESC003647 0 0 0.167 134,000 337,500,000
1 ESC003648 0 0 0.175 85,500 337,500,000
1 ESC003655 0 0 0.138 786,000 337,500,000
1 ESC003656 0 0 0.145 490,000 337,500,000
1 ESC003657 0 0 0.152 308,000 337,500,000
1 ESC003658 0 0 0.159 194,000 337,500,000
11 Para una mejor estimación de pérdidas se recomienda reportar los datos sin redondeo.
27
Sobre la simulación; Se cuenta con los elementos para realizar la reproducción de resultados vía
simulación, debido a que se cuenta con la lista de escenarios de sismos, con la lista de parámetros
de pérdida, con el proceso de simulación descrito en la sección 3.2 y con el código detallado en el
Apéndice B.
Sobre los resultados de la simulación Se realizaron 1 millón simulaciones de las variables de
daños anuales de la cartera bruta (𝑋𝐵𝑟) y a retención (𝑋𝑅𝑒𝑡), de las cuales se obtuvieron los
siguientes resultados de la prima de riesgo y de la PML bruta y retenida:
En la prima de riesgo se observa que la diferencia es pequeña en la estimación de la pérdida
esperada del ejecutable y el proceso de simulación.
Ejecutable Simulación Diferencia%
Prima de Riesgo Bruta $8,772,690.46 $8,785,838.00 0.15%
Retención $2,193,172.62 $2,196,459.00 0.15%
En la Pérdida Máxima Probable Bruta se observa en la tabla que la diferencia en la estimación del
ejecutable y el proceso de simulación es a lo más del 3.73% para un periodo de retorno de 50 años
y a la menos de 0.62% para un periodo de retorno de 4,500 años.
En especial, para el periodo de retorno estatutario el error fue de sólo 2.87%, es decir, los
resultados con base en las simulaciones tienen un buen grado de aproximación.
Bruto
Periodo de Retorno Ejecutable Simulación Diferencia%
50 $87,693,416.23 $90,966,242.36 3.73%
100 $149,129,192.31 $153,711,274.54 3.07%
200 $232,750,450.42 $237,544,748.12 2.06%
500 $382,022,106.34 $390,650,262.37 2.26%
1,000 $526,249,051.47 $544,545,315.02 3.48%
1,500 $623,038,471.00 $640,916,689.25 2.87%
2,000 $697,015,155.21 $712,072,543.30 2.16%
2,500 $757,262,585.80 $771,539,748.14 1.89%
4,500 $926,815,365.65 $932,587,346.28 0.62%
En la Pérdida Máxima Probable Retenida se observa en la tabla que la diferencia en la estimación
del ejecutable y del proceso de simulación tiene el mismo error porcentual, por lo que los
resultados a retención también tienen un buen grado de aproximación.
28
Retenido
Periodo de Retorno Ejecutable Simulación Diferencia%
50 $21,923,354.06 $22,741,560.59 3.73%
100 $37,282,298.08 $38,427,818.63 3.07%
200 $58,187,612.61 $59,386,187.03 2.06%
500 $95,505,526.59 $97,662,565.59 2.26%
1,000 $131,562,262.87 $136,136,328.75 3.48%
1,500 $155,759,617.75 $160,229,172.31 2.87%
2,000 $174,253,788.80 $178,018,135.82 2.16%
2,500 $189,315,646.45 $192,884,937.03 1.89%
4,500 $231,703,841.41 $233,146,836.57 0.62%
Sobre la convergencia de la PML; En la siguiente gráfica se muestra la evolución de la estimación
de la PML a 1,500 años, donde se nota que para 100 mil simulaciones la convergencia de la PML
empieza a ser estable y no presenta cambios materiales, mientras que para 200 mil simulaciones
los cambios en la estimación son aún menores. Se piensa que en futuros ejercicios al realizar 100
mil simulaciones la estimación de la PML será una buena aproximación al valor real.
Por otra parte, se observa en el comparativo de la PML para diversos periodos de retorno que la
convergencia de la curva a partir de las simulaciones se ajusta en buena medida al ejecutable.
29
Conclusiones; Se puede corroborar que mediante el proceso de simulación descrito en la sección
3.2 y con el código anexo en el Apendice B, es posible reproducir los resultados con una alta
presición la prima de riesgo y la PML a diferentes periodos de retorno que el sistema de computo
del PML calcula. Por lo que se valida que el proceso de simulación es correcto y al mismo tiempo
se agrega valor al hacer posbile generar siniestros para cada inmuble por cada sismo.
30
Capítulo 4
Marco Teórico de la Propuesta
En este capítulo se especifica de manera detallada las consideraciones generales y particulares de
la propuesta.
4.1 Consideraciones para una Estimación BEL.
Sobre la frecuencia y el error de parámetro; Para una mejor estimación BEL en la simulación de
siniestros se considera el error de parámetro con una adaptación de la metodología estatuaria del
cálculo de la simulación de frecuencias del requerimiento de capital de riesgos técnicos y
financieros de no vida.
Una frecuencia de sismos 𝜆 se estima a partir de 𝑛 años, es decir, el número de sismos ocurridos
fueron 𝑛𝜆, por tanto para otras posibles observaciones de 𝜆 se simulan de la siguiente manera:
𝜆𝑠𝑖𝑚 =𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑛𝜆)
𝑛
Nótese que esta simulación de error de parámetro no afecta a la media del modelo en general, lo
que se demuestra en el Apéndice A.4.
Sobre la frecuencia y la simulación de siniestros; Al igual que el modelo estatutario de la PML
se utiliza un modelo Poisson compuesto para el número de siniestros durante un año. Sin embargo
la forma en la que se simularán los siniestros será por medio de los tiempos de espera entre la
ocurrencia de dos sismos, lo cual se puede demostrar al tener un proceso del número de
ocurrencia de eventos 𝑁(𝑡)~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡), donde la distribución del tiempo de espera entre dos
ocurrencias es una distribución exp(𝜇 = 𝜆−1), esta proposición se demuestra en el Apéndice A.5.
Sobre la duración remanente de las pólizas; La duración remanente es el número de días en
vigor que le restan a un riesgo determinado, por lo que si un sismo ocurrió durante los días de
vigencia, este riesgo será susceptible de reclamar el daño a la aseguradora. Contrariamente, si el
sismo ocurre fuera del periodo de vigencia entonces el asegurado no podrá reclamar alguna
indemnización.
Sobre el valor presente; Se considera importante traer a valor presente las pérdidas ocurridas en
el tiempo (0,1), así como el pasivo al tiempo 1, para ello se puede usar una curva de tasas de
interés del mercado al momento de la valuación o algún modelo que permita crear diferentes
escenarios de tasas de interés tal y como ya lo ejecuta el modelo estatutario de capital.
Sobre el tipo de cambio de dólares; Es importante considerar el efecto que tendrían los
incrementos o decrementos en el tipo de cambio, debido a que en la operación habitual existen
riesgos cubiertos en dólares. Si contamos con un modelo que brinde posibles valores del tipo de
cambio dentro de un año y ocurre un sismo al tiempo 𝑡 ∈ (0,1) sería impreciso utilizar dicha
simulación al momento 𝑡, una propuesta para reconocer el posible valor del tipo de cambio al
momento 𝑡 dado que se tiene el tipo de cambio al tiempo 1, es asumir que el incremento o
decremento del tipo de cambio se da de forma lineal, es decir:
31
𝑇𝐶(𝑡) = 𝑇𝐶(0) + 𝑡 ∗ (𝑇𝐶(1) − 𝑇𝐶(0))
Por tanto, a medida de que el sismo ocurra en tiempos cercanos a uno, el tipo de cambio a
considerar tendera a ser el simulado anual.
Sobre la reserva de riesgos en curso; Para el cálculo del valor esperado de siniestros futuros se
puede tomar de los resultados usuales del sistema de cómputo de la PML de terremoto, donde se
puede consultar la prima de riesgo anual del riesgo 𝑖. Por tanto, el cálculo de la 𝑅𝑅𝐶𝑖 es de la
siguiente manera:
𝑅𝑅𝐶𝑖 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 ∗ 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
365∗
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑅𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Al total de la reserva de riesgos en curso se le conocerá como el pasivo bruto al tiempo 0, es decir:
𝑃𝐵𝑟(0) = ∑𝑅𝑅𝐶𝑖
𝑖
Para la proyección de 𝑃𝐵𝑟(1) al tiempo 1 basta con restar a la duración remante 365 días, en el
caso de que la diferencia sea negativa significa que el riesgo dentro de un año ya no estará vigente
y la reserva de riesgos en curso será el valor 0. Por tanto la proyección del pasivo al tiempo 1, es:
𝑅𝑅𝐶𝑖 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 ∗𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
365∗
max(𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑅𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 − 365,0)
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Sobre los importes recuperables de reaseguro de reserva de riesgos en curso; Para el
cálculo de los importes recuperables de reaseguro se considera la proporción de Riesgo cedido
(1 − 𝑟𝑒𝑡𝑖), así como la calificación del reasegurador que ayuda a definir el factor de calidad (𝐹𝐶𝑅𝑖),
el cual es uno menos la probabilidad de incumplimiento, de acuerdo a lo señalado en el Anexo
8.20.2 de la CUSF que se adjunta en Apéndice C. Con dicha información el importe recuperable de
la póliza 𝑖 se calcula de la siguiente forma:
𝐼𝑅𝑅𝑖 = 𝑅𝑅𝐶𝑖 ∗ (1 − 𝑟𝑒𝑡𝑖) ∗ 𝐹𝐶𝑅𝑖
Si el riesgo 𝑖 esta amparado por más de una reaseguradora, el monto cedido 𝑅𝑅𝐶𝑖 ∗ (1 − 𝑟𝑒𝑡𝑖)
deberá repartirse acorde a la proporción que le corresponda a cada reaseguradora 𝑗 y a cada
tramo de cesión ponderado por el factor de calidad, es decir:
𝐼𝑅𝑅𝑖 = ∑𝑅𝑅𝐶𝑖 ∗ (1 − 𝑟𝑒𝑡𝑖) ∗ 𝑝(𝑖, 𝑗)𝐹𝐶𝑅𝑖,𝑗
𝑗
donde:
∑ 𝑝(𝑖, 𝑗) = 1𝑗 ; cada componente 𝑝(𝑖, 𝑗) representa la fracción en la que el reasegurador 𝑗 participa
en el riesgo 𝑖.
𝐹𝐶𝑅𝑖,𝑗; el factor de calidad del reasegurador 𝑗 en el riesgo 𝑖.
En resumen, los importes recuperables de reaseguro al tiempo 0 se calculan como:
𝐼𝑅𝑅(0) = ∑𝐼𝑅𝑅𝑖
𝑖
32
Para la proyección de 𝐼𝑅𝑅(1) basta con realizar el cálculo descrito anteriormente con la 𝑅𝑅𝐶
proyectada al tiempo uno y calcular los importes recuperables sobre dicha proyección.
Sobre la reserva de riesgos en curso a retención; Con las definiciones anteriormente descritas,
el pasivo al tiempo 0 y tiempo 1 a retención se obtiene de la siguiente manera:
𝑃𝑅𝑒𝑡(0) = 𝑃𝐵𝑟(0) − 𝐼𝑅𝑅(0) y 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) = 𝑃𝐵𝑟(1) − 𝐼𝑅𝑅(1)
Sobre los siniestros brutos ocurridos en el (0,1); Con la cartera en vigor se procede a simular
sismos en un horizonte de un año y acorde a la duración remanente se determina sí a la fecha de
ocurrencia del sismo, este afecta a cada riesgo de la cartera. En caso de que un sismo afecte a un
inmueble, se procede a simular la pérdida, acorde con el capítulo 3.2. de simulación de daños en
las coberturas. Al total de las pérdidas anuales de cada simulación se le denotara 𝐺(0,1).
Sobre los importes recuperables de los siniestros brutos ocurridos en el (0,1); A partir de la
información a detalle de siniestros para cada inmueble y sismo, se determinaran los montos a
cargo de los reaseguradores por conceptos de contratos de reaseguro proporcional, de exceso de
pérdida por riesgo, por evento y anuales. Para estos cálculos se adoptan las notas metodológicas
del requerimiento de capital de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas (2015) [7]. Con el total
de los montos a cargo de las cedentes, se procede a simular sí al final de año el reasegurador 𝑖
incurrió en incumplimiento y en caso de que esto último ocurra, se asumen que los importes
recuperarles por ese tramo de reaseguro los afrontara la aseguradora. Al total de los importes
recuperables de reaseguro se le denota 𝐼𝑅𝑅(0,1).
4.2 Definición de la Variable de Pérdida Bruta.
La variable de pérdida bruta que refleja la pérdida o ganancia por el incremento o decremento del
pasivo técnico catastrófico acorde a las definiciones anteriores es:
𝐿𝑃𝑀𝐿𝐵𝑟 = 𝑃𝐵𝑟(1) + 𝐺(0,1) − 𝑃𝐵𝑟(0)
Esta variable es la que apoya para obtener suficientes simulaciones, justamente para estimar con
una alta precisión el máximo incremento del pasivo catastrófico.
4.3 Definición de la Variable de Pérdida Retenida.
La variable de pérdida a retención que refleja la pérdida o ganancia por el incremento o
decremento del pasivo técnico catastrófico a retención acorde a las definiciones anteriores es:
𝐿𝑃𝑀𝐿𝑅𝑒𝑡 = 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) + 𝐺(0,1) − 𝐼𝑅𝑅(0,1) − 𝑃𝑅𝑒𝑡(0)
Esta variable es la que apoya para obtener suficientes simulaciones, justamente para estimar con
una alta precisión el máximo incremento del pasivo catastrófico a retención.
El requerimiento de capital exclusivo por el aumento del pasivo catastrófico será el percentil 99.5%
de la muestra aleatoria {𝐿𝑃𝑀𝐿𝑅𝑒𝑡 (𝑖)}𝑖=1
100,000, mientras que para el cálculo integral del requerimiento de
capital para riesgos técnicos financieros 𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 será necesario tener el conjunto de pérdidas de
33
activos (𝐿𝐴), pasivos (𝐿𝑃), y pasivos catastróficos (𝐿𝑃𝑀𝐿), este último entendido como las pérdidas
a retención. Por tanto el Requerimiento de Capital de Riesgos Técnicos y Financieros de Seguros
se calcula como:
𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 = max{0, 𝑉𝑎𝑅99.5%(𝐿)};
Donde la variable de pérdida se calcula como:
𝐿 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝑃 + 𝐿𝑃𝑀𝐿
4.4 Otras Consideraciones.
Las variables 𝑃𝐵𝑟(1)𝑦𝑃𝑅𝑒𝑡(1)se consideran en valor presente, por lo que para el cálculo correcto
en el proceso de simulación se añade el factor de valor presente 𝑣 =1
1+𝑖, donde 𝑖 es la tasa libre de
riesgo con plazo a un año.
Las variables 𝐺(0,1)𝑦𝐼𝑅𝑅(0,1) se consideran en valor presente, para ello es necesario contar para
cada sismo el momento 𝑡 en el que ocurrió y así traer a valor presente cada siniestro 𝑥 e importes
recuperables.
El cálculo de 𝑅𝐶𝑃𝑀𝐿 se considera sin cambios ya que se cree es indispensable tener una cobertura
total de la PML a retención, por lo que dicha estimación se realiza con base en el cálculo actual de
Capital de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas.
34
Capítulo 5
Proceso de Simulación de la Propuesta
En este capítulo se describirá con más detalle el proceso de simulación de la variable de pérdida
𝐿𝑃𝑀𝐿 de la propuesta, así como el Requerimiento de Capital de Riesgos Técnicos y Financieros de
Seguros12.
5.1 Cálculo de 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) y 𝑃𝑅𝑒𝑡(0).
El cálculo de 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) y 𝑃𝑅𝑒𝑡(0) es un procedimiento que se hará de forma externa, debido a que son
valores que no requieren de simulaciones y se pueden calcular de forma manual como se plantea
en el capítulo 4.1. Por tanto para el proceso de simulación estos datos será un insumo.
5.2 Simulación de Sismos.
El propósito para cada año de simulación es generar los sismos ocurridos en el año, así como la
fracción 𝑡 del año en el que ocurrieron y su equivalente día del año. El proceso se describe a
continuación.
I.- Para cada escenario en la lista se procede a simular una frecuencia aleatoria 𝜆𝑠𝑖𝑚 de
acuerdo a como se plantea en el capítulo 4.1.
II.- Posteriormente, se procede a simular los tiempos de espera entre los sismos con la
𝜆𝑠𝑖𝑚 obtenida en el punto anterior, estos tiempos de espera como se vio en el capítulo 4.1 son
exponenciales con media el inverso de la frecuencia simulada, es decir 𝑒𝑥𝑝(𝜇 = 𝜆𝑠𝑖𝑚−1). De lo
anterior y para generar los sismos en el (0,1) definamos lo siguiente:
Sea 𝑡𝑖 el tiempo de espera entre los sismos 𝑖 − 1 e 𝑖.
Sea 𝑇𝑖 el tiempo total que transcurrió desde el tiempo 0 hasta el sismo 𝑖, es decir 𝑇𝑖 = ∑ 𝑡𝑗𝑖𝑗=1
Por consiguiente, se genera una muestra aleatoria {𝑇𝑖}𝑖𝜖ℕ suficientemente grande donde se cubra
el intervalo (0,1). Dada esta muestra se filtran los tiempos tales que 𝑇𝑗 < 1, es decir los tiempos
𝑇1 < 𝑇2 < 𝑇𝑗 < ⋯ < 𝑇𝑛 < 1, por tanto, el número de sismos simulados en el año será 𝑛 y en caso
de que 𝑇1 > 1 se tendrá 𝑛 = 0. Aunado a los tiempos de ocurrencia {𝑇}𝑖=1𝑛 se calcula el día de
ocurrencia del sismo, quedando definido como 𝑑í𝑎𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜𝑖 = 𝑚𝑒13(365 ∗ 𝑇𝑖), la simulación se trunca
al día de ocurrencia ya que no interesa14 el momento en el día en el que ocurre. Una vez que se
concluye lo anterior para cada escenario se tiene la lista de sismos ocurridos en el año, con la
fracción del año y el día del año en que ocurre.
12 El código de programación utilizado para los cálculos se anexa en el Apéndice B. 13 𝑚𝑒(∗) es la función menor entero.
14 La hora de ocurrencia del sismo puede interesar si se cubrieran pérdidas humanas, claramente la
hora es una variable que determina la afluencia de personas acorde al uso del inmueble.
35
5.3 Simulación de Daños Brutos 𝐺(0,1).
El propósito de esta sección es generan los siniestros que producen los sismos en cada año de
simulación, incluyendo el impacto del tipo de cambio así como las tasas de interés. El proceso se
describe a continuación.
III.- Se simula el tipo de cambio peso/dólar al final del año con algún modelo financiero,
este tipo de cambio será el mismo para todos los siniestros generados dentro del año.
IV.- Se simula la tasa libre de riesgo al final del año con algún modelo financiero, esta tasa
será la misma para el cálculo del valor presente de los siniestros generados dentro del año así
como el valor presente del pasivo técnico al tiempo 1.
V.- Se filtran los inmuebles con una distribución de pérdida para cada sismo de la tabla
“Fuentes.Dat”. Una vez identificados los inmuebles relacionados con el sismo, permanecen sólo
con los edificios en que se cumpla que el día de ocurrencia del sismo sea menor o igual a la
duración remanente del edificio es decir 𝑑í𝑎𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜 ≤ 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑅𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑖 .
VI.- Con la lista de inmuebles efectivamente susceptibles de generar una pérdida para la
aseguradora, se procede a simular la fracción del daño de la suma asegurada expuesta
considerando el tipo de cambio, el valor presente y el tiempo 𝑇 en el que ocurre.
VII.- Por tanto la expresión de cálculo para los siniestros en el tiempo (0,1) es la siguiente:
𝐺(0,1) = ∑ ∑ ∑ 𝛽𝑠(𝑖,𝑗,𝑘) ∗ 𝑀𝑠(𝑘) ∗ 𝑇𝐶𝑇𝑖,𝑗∗ 𝑣𝑇𝑖,𝑗
𝑒𝑑(𝑖,𝑗)
𝑘=1
𝑛𝑖
𝑗=1
13,578
𝑖=1
∗ 1(0,𝑑𝑢𝑟𝑖,𝑗,𝑘)
𝑑í𝑎𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜𝑖,𝑗,𝑘
donde:
𝑛𝑖; es el número de sismos del escenario 𝑖.
𝑒𝑑(𝑖,𝑗); es el número de inmuebles afectados por el escenario 𝑖 sismo 𝑗.
𝛽𝑠(𝑖,𝑗,𝑘); es la fracción de daño del escenario 𝑖, sismo 𝑗 inmueble 𝑘.
𝑀𝑠(𝑘); es la suma asegurada en moneda original el edificio 𝑘.
𝑇𝑖,𝑗; es el momento de ocurrencia del escenario 𝑖 sismos 𝑗 en el (0,1).
𝑇𝐶𝑇𝑖,𝑗; es el tipo de cambio acorde a la moneda del inmueble al momento 𝑇𝑖,𝑗.
𝑣; es el factor de valor presente, es decir 𝑣 = 1 1 + 𝑖⁄ , donde 𝑖 es la tasa libre de riesgo del año.
1(0,𝑑𝑢𝑟𝑖,𝑗,𝑘)
𝑑í𝑎𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜𝑖,𝑗,𝑘; es la función indicadora, su valor es 1 si el sismo ocurrió dentro del periodo de
vigencia y es el valor 0 en otro caso.
36
5.4 Cálculo de Importes Recuperables de Reaseguro
𝐼𝑅𝑅(0,1).
El propósito de esta sección es definir la fórmula de cálculo de los importes recuperables de
reaseguro sobre los siniestros simulados 𝐺(0,1).
VIII.- En un año de simulación se cuentan con los siniestros brutos, por sismo y por
inmueble, denotados como 𝛽𝑠(𝑖,𝑗,𝑘) ∗ 𝑀𝑠(𝑘) ∗ 𝑇𝐶𝑇𝑖,𝑗, que por simplicidad se indican como 𝑥𝑖,𝑗,𝑘. A
grandes rasgos, los importes recuperables sobre los siniestros 𝑥𝑖,𝑗,𝑘 provendrán de los contratos de
reaseguro proporcional (𝑃𝑟𝑜𝑝), de exceso de pérdida por riesgo (𝑊𝑋𝐿), de exceso de pérdida por
evento (𝐸𝑋𝐿) y por exceso de pérdida para mitigar pérdidas anuales (𝑆𝑇𝑋𝐿). Sea
𝐼𝑅𝑅(0,1)𝑃𝑟𝑜𝑝
(𝑟),𝐼𝑅𝑅(0,1)𝑊𝑋𝐿(𝑟),𝐼𝑅𝑅(0,1)
𝐸𝑋𝐿 (𝑟) y 𝐼𝑅𝑅(0,1)𝑆𝑇𝑋𝐿(𝑟) los importes recuperables de cada tipo de contrato
de reaseguro para la reaseguradora 𝑟, y al total de importes recuperables de reaseguro para la
reaseguradora 𝑟 en valor presente 𝐼𝑅𝑅(0,1)(𝑟), es decir:
𝐼𝑅𝑅(0,1)(𝑟) = 𝐼𝑅𝑅(0,1)𝑃𝑟𝑜𝑝(𝑟) + 𝐼𝑅𝑅(0,1)
𝑊𝑋𝐿(𝑟) + 𝐼𝑅𝑅(0,1)𝐸𝑋𝐿 (𝑟) + 𝐼𝑅𝑅(0,1)
𝑆𝑇𝑋𝐿(𝑟)
Con el cálculo de importes recuperables de reaseguro por cada uno de los reaseguradores, la
variable 𝐼𝑅𝑅(0,1) se define de la siguiente forma:
𝐼𝑅𝑅(0,1) = ∑𝐼𝑅𝑅(0,1)(𝑟)
𝑅
𝑟=1
1(𝑝𝑟,1)𝑢𝑟
donde:
1(𝑝𝑟,1)𝑢𝑟 ; es el valor 0 si la reaseguradora 𝑟 cae en incumplimiento con probabilidad 𝑝𝑟 y el valor 1 si
no cae en incumplimiento con probabilidad 1 − 𝑝𝑟.
De esta manera, es posible calcular 𝐼𝑅𝑅(0,1) incluyendo el efecto de los incumplimientos de las
reaseguradoras sobre los sismos simulados dentro del año.
5.5 Cálculo de 𝐿𝑃𝑀𝐿 y 𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆.
El objetivo de esta sección es explicar el cálculo de la variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 para obtener el
𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 y el Requerimiento Individual de Riesgos Catastróficos. Todo ello, una vez que se haya
concluido el proceso de simulación.
IX.- Una vez estimadas todas las variables de los puntos I al VIII, se calcula la variable de
pérdida de la PML para un año, como:
𝐿𝑃𝑀𝐿 = 𝑃𝑅𝑒𝑡(1) + 𝐺(0,1) − 𝐼𝑅𝑅(0,1) − 𝑃𝑅𝑒𝑡(0)
X.- Repitiendo el proceso de los puntos I al IX para 𝑛 años de simulación, se obtiene una
muestra aleatoria {𝐿𝑃𝑀𝐿,𝑖}𝑖=1
𝑛.
37
El cálculo de 𝑅𝐶𝑇𝑦𝐹𝑆 basta con adicionar las pérdidas o ganancias de activos y pasivos para cada
𝐿𝑃𝑀𝐿,𝑖, es decir 𝐿 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝑃 + 𝐿𝑃𝑀𝐿 para cada 𝑖. Posteriormente se calcula el percentil 99.5% de las
pérdidas agregadas, en caso de que este percentil sea menor a 0, el Requerimiento de Capital
será el valor 0.
El cálculo del Requerimiento de Capital exclusivo por aumento en el pasivo catastrófico de la
variable 𝐿𝑃𝑀𝐿 se calcula el percentil 99.5% de la muestra aleatoria {𝐿𝑃𝑀𝐿,𝑖}𝑖=1
𝑛.
38
Capítulo 6
Comparativo de Metodologías: Ejemplo
Práctico.
El objetivo de este capítulo es presentar los resultados en requerimiento de capital sobre la
variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 al usar las dos metodologías expuestas durante el presente documento: la
metodología estatutaria y la metodología propuesta.
6.1 Definición del Ejemplo.
Sobre la simulación de 𝜆𝑠𝑖𝑚; Para la modelación del error de parámetro se tomará el modelo
mencionado en el capítulo 4.1 con un número de años de observación igual a 100, debido a que
los primeros sismógrafos en México fueron instalados en el año de 1906, dando a la fecha
aproximadamente 100 años de observación de sismos. CENAPRED (2014) [12].
Sobre los riesgos; Se usarán los dos edificios antes expuestos: Torre Mayor y el edificio Oceanic
2000, por lo que el archivo de pérdidas detallado “Fuentes.Dat” podrá usarse en su totalidad.
Sobre las Sumas aseguradas; Se suponen que los riesgos están asegurados en dólares, por lo
que el daño es variable a cada sismo y es sensible al tipo de cambio. Para la valuación se asumirá
un tipo de cambio de 20 pesos por dólar, por lo que la prima de riesgo y la PML será la misma a los
resultados anteriores.
Sobre el Tipo de Cambio; Para incluir el efecto del tipo de cambio en la simulación de pérdidas se
asumió que el tipo de cambio dólar/peso al tiempo 𝑡 = 1 sigue una distribución 𝑙𝑜𝑔𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 con
parámetros 𝑚 = 2.942653, 𝑠𝑑 = 0.137887, dando una variedad de escenarios como en la
siguiente gráfica se muestra:
39
Sobre la Tasa Libre de Riesgo15; Para incluir el efecto de la tasa libre de riesgo en la simulación
de pérdidas se asumió que la tasa libre de riesgo al tiempo 𝑡 = 1 sigue una distribución 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 con
𝜇 = 0.04 y 𝜎 =0.003727, dando una variedad de escenarios como se muestra en la siguiente
gráfica:
De la Retención; Se asume un 25% de cada riesgo.
De la Calidad de Reaseguro; Se asume que la calidad de reaseguro es tal que su probabilidad de
incumplimiento es 4.29%, acorde al Anexo 8.20.2 de la CUSF.
Información de la PML; De la información anteriormente citada se desglosa la PML bruta, retenida
y cedida, donde la PML cedida es la diferencia entre la PML bruta y a retención.
En el siguiente cuadro se observa que para el método estatuario la PML con riesgo de contraparte
por incumplimiento de entidades reaseguradoras es de 467,278,853.25 millones de pesos. Para
fines prácticos se asume que no hay riesgo de contraparte en la cobertura de exceso de pérdida
que cubre a la PML.
Descripción Bruto Retenido Cedido
I. Información regulatoria
PML (1500 años) $623,038,471.00 $155,759,617.75 $467,278,853.25
.
15 Para este ejemplo se asumió independencia solo por practicidad entre las variables de tipo de
cambio y la tasa libre de riesgo.
40
Reserva de la Cartera; Con la información de la cartera se tiene que el pasivo bruto y los importes
recuperables al tiempo 0 son los siguientes.
Pasivo
Importes Recuperables
Prima de Riesgo $8,772,690.46 RRC $4,566,605.99
Prima de Riesgo Devengada $4,206,084.47 Cesión 75%
Prima de Riesgo No Devengada $4,566,605.99 Pr. Incumplimiento 4.29%
Duración Remanente 190 Fact. Calidad 95.71%
Duración Total 365
P(0)Br $4,566,605.99 IRR(0) $ 3,278,023.95
Nótese que al tiempo 1 no se tienen provisiones, debido a que la duración total de las pólizas son
365 días.
6.2 Resultados de la Metodología Estatutaria.
De la información de la PML se observa que el monto con riesgo de contraparte por el
incumplimiento de reaseguradoras es de 467,278,853.25 millones de pesos con una probabilidad
de incumplimiento de 4.29%. Con esta información se simula 100 mil veces la variable de pérdida
𝐿𝑃𝑀𝐿, usando el código detallado en el Apéndice B.
Los resultados que arroja el RC para la variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 es toda la PML cedida, esto se
debe a que sólo hay un reasegurador que la cubre y la probabilidad de incumplimiento es mayor a
0.5%.
REAPML(0) REAPML(1) VAR 0.5% -REAPML(1)+REAPML(0)
467,278,853.25 0.00 467,278,853.25
6.3 Resultados de la Metodología Propuesta.
Al aplicar la metodología propuesta se tiene como resultado un RC para la variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿
de 40,657,649.00 de pesos.
PRet(0) PRet(1) VAR 99.5% PRet(1) VAR 99.5% - PRet(0)
1,288,582.05 41,946,231.05 40,657,649.00
41
6.4 Conclusiones del Ejemplo.
El RC sobre la variable de pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 estimada por las metodologías, estatutaria y propuesta, se
tienen los siguientes resultados.
Es notable la diferencia entre las dos metodologías, una diferencia porcentual de -91.30% respecto
al método estatutario, es decir, al tomar en cuenta la simulación de sismos, los daños en
inmuebles, el riesgo financiero, la recuperación de siniestros y el incumplimiento de las
reaseguradoras se tiene un requerimiento de capital marginal 𝐿𝑃𝑀𝐿 menor a que si consideramos
una perdida material cuando el activo que respalda la PML con riesgo de contraparte cae en
incumplimiento, tal como lo asume el modelo estatutario.
Método Estimación
Estatuario $467,278,853.25
Propuesto $40,657,649.00
Diferencia $ -$426,621,204.25
Diferencia % -91.30%
Otros percentiles con diferentes periodos de retorno de la variable 𝐿𝑃𝑀𝐿 medida con el modelo
propuesto, son los siguientes:
TR Prob. VaR(LPML)
50 98.00% 11,859,771.22
100 99.00% 23,374,950.59
200 99.50% 40,657,649.25
500 99.80% 74,603,390.46
1,000 99.90% 109,681,255.59
1,500 99.93% 125,949,323.94
2,000 99.95% 144,589,971.55
2,500 99.96% 168,057,330.46
4,500 99.98% 211,425,349.19
Es notable que aún para periodos de retorno más altos, el RC sigue siendo considerablemente
menor al Requerimiento de Capital del modelo Estatutario.
42
Capítulo 7
Conclusiones.
El propósito de este capítulo es concluir de manera objetiva sobre las hipótesis del modelo
propuesto, la utilidad y las dificultades de su implementación.
Valides de los supuestos; El modelo propuesto parte de supuestos reales, modelos probados y
aceptados por el sector asegurador.
Los supuestos de la frecuencia de sismos y la severidad de los daños a los inmuebles son basados
en el actual modelo estatutario para el cálculo de la PML de terremoto, el cual está documentado,
justificado técnicamente y aceptado por el sector asegurador, por tanto dichos supuestos de
frecuencia y severidad son utilizados en el modelo propuesto.
El supuesto de que un siniestro representa una pérdida para la aseguradora siempre y cuando el
sismo ocurra dentro de la vigencia de la póliza, se considera evidente.
El supuesto del error de parámetro en la frecuencia de sismos es adoptado de la metodología
actual de requerimiento de capital de riesgos técnicos y financieros de seguros, la cual cuenta con
las justificaciones técnicas, es aceptado y actualmente es utilizado en el sector.
El supuesto de riesgo financiero, en el modelo propuesto plantea considerar el tipo de cambio y la
tasa libre de riesgo aleatorias para escenarios futuros, se considera este supuesto real debido a
que en la práctica son desconocidos.
Los supuestos de los importes recuperables de reaseguro, es decir, recuperar una parte de los
siniestros por contratos proporcionales y no proporcionales ocurridos en el año es real, ya que en
la práctica, las aseguradoras tienen contratos que las cubren ante la ocurrencia de siniestros por
sismos.
El supuestos de importes recuperables de reaseguro no efectivamente recuperados por el
incumplimiento de las reaseguradoras es realista, debido a que la posibilidad de no recuperar
efectivamente la participación de un reasegurador está ligada a su calificación, la modelación en la
propuesta de este supuesto se adopta la actual metodología de Requerimiento de Capital de
Riesgos Técnicos y Financieros de Seguros, la cual cuenta con todas las justificaciones técnicas,
es aceptado y actualmente usado.
Por lo tanto, se concluye que los supuestos de la propuesta son reales y están sustentados
técnicamente.
Sobre los resultados de la aplicación de la propuesta; Del ejemplo planteado en el capítulo
anterior se deja ver la gran diferencia en valorización del riesgo entre el actual modelo estatutario y
el propuesto, este ejemplo deja entrever que el requerimiento de la variable de pérdida de la PML
tiene una tendencia a ser menor que el modelo estatutario, principalmente a que las pérdidas están
condicionas a la ocurrencia de un sismo y posteriormente al incumplimiento de las reaseguradoras,
mientras que el estatutario asume como una pérdida real el incumplimiento de las reaseguradoras
a pesar de no haber tenido un sismo. Consideramos que, aunque la diferencia de valorización en el
ejemplo diste mucho, se encuentra totalmente justificada y sustentada, por lo que se opina que la
43
propuesta es candidata de sustituir la manera actual en la que se miden las pérdidas de riesgos
catastróficos. Sobre la utilidad; La propuesta tiene la utilidad de brindar una metodología clara para reproducir
vía simulación la prima de riesgo y la PML de riesgos catastróficos de terremoto, misma
metodología que se puede usar para riesgos hidrometeorológicos, la cual abre la posibilidad de
simular siniestros por sismo así como por inmueble y en consecuencia es susceptible usar estas
simulaciones bajo un marco de BEL para obtener la estimación al 99.5%, el incremento máximo
que pueden generar los pasivos de riesgos catastróficos, tal como se realiza actualmente en los
modelos de no vida para Requerimiento de Capital.
Dificultades de la implementación del modelo propuesto; La implementación de la propuesta
depende primordialmente de la generación de los parámetros de pérdida de cada inmueble ante
cada sismo, lo que implica realizar una valuación del modelo de la PML por cada inmueble de la
cartera. Hoy en día, el sistema que evalúa estos riesgos catastróficos no genera esta información a
detalle, por lo que es necesario que los expertos de dicho modelo apoyen en la modificación de
sus sistemas para obtener dicha información. Aún superado el punto anterior existen más
dificultades, y es el volumen de información generada, debido a que un edificio puede tener unas
tres mil funciones de pérdida dependiendo del número de fuentes sísmicas que la afecten. Por
tanto, para compañías que tengan una cartera grande el número de registros de funciones de
pérdida será enorme y el tiempo de cómputo necesario para generar y procesar las simulaciones
puede ser tan grande que operativamente deje de ser viable. Para superar este tema es necesario
realizar un análisis cuantitativo de los riesgos que probabilistamente no afectan significativamente
el resultado, para que éstos no sean contemplados en el proceso de simulación y por ende, la
valoración del riesgo tenga una muy buena aproximación y se obtenga en un tiempo razonable.
En conclusión, la propuesta expuesta en el presente documento está técnicamente fundamentada
y añade un valor agregado al sector asegurador que le puede permitir la evaluación de pasivos
catastróficos con supuestos objetivos y una medición de riesgos más apegada a la realidad.
44
Capítulo 8
Apéndice
8.1 Apéndice A: Demostraciones.
A.1.Proposición 1: Sea 𝛽𝑠 una distribución mixta tal que,
𝛽𝑠 = {
0𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃0
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠)𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 1 − 𝑃0 − 𝑃1
1𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃1
, entonces, 𝐸[𝛽𝑠] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝑎𝑠
𝑎𝑠+𝑏𝑠+ 𝑃1.
Demostración, Sea 𝐴, el conjunto donde la fracción del daño es cero, sea 𝐵 el conjunto
donde la fracción del daño está en el (0,1) y, sea 𝐶 el conjunto donde la fracción del daño es uno.
Dado que la unión de 𝐴, 𝐵𝑦𝐶 generan todos los posibles resultados de la fracción de daño y la
intersección es nula, entonces se puede escribir lo siguiente:
𝐸[𝛽𝑠] = 𝐸[𝛽𝑠|𝐴] ∗ 𝑃(𝐴) + 𝐸[𝛽𝑠|𝐵] ∗ 𝑃(𝐵) + 𝐸[𝛽𝑠|𝐶] ∗ 𝑃(𝐶)
𝐸[𝛽𝑠] = 0 ∗ 𝑃0 + 𝐸[𝛽𝑠|𝐵] ∗ (1 − 𝑃0 − 𝑃1) + 1 ∗ 𝑃1
Y como 𝛽𝑠|𝐵 tiene una distribución 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠), y su valor esperado es 𝑎𝑠
𝑎𝑠+𝑏𝑠, se tiene lo
siguiente 𝐸[𝛽𝑠] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝑎𝑠
𝑎𝑠+𝑏𝑠+ 𝑃1 ∎
A.2. Proposición 2: Sea 𝛽𝑠 una distribución mixta tal que:
𝛽𝑠 = {
0𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃0
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠)𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 1 − 𝑃0 − 𝑃1
1𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃1
, entonces,𝐸[𝛽𝑠2] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)
𝑎𝑠(𝑎𝑠+1)
(𝑎𝑠+𝑏𝑠)(𝑎𝑠+𝑏𝑠+1)+ 𝑃1
Demostración, Sea 𝐴, el conjunto donde la fracción del daño es cero, sea 𝐵 el conjunto
donde la fracción del daño está en el (0,1) y, sea 𝐶 el conjunto donde la fracción del daño es uno.
Dado que la unión de 𝐴, 𝐵𝑦𝐶 generan todos los posibles resultados de la fracción de daño y la
intersección es nula, entonces se puede escribir lo siguiente:
𝐸[𝛽𝑠2] = 𝐸[𝛽𝑠
2|𝐴] ∗ 𝑃(𝐴) + 𝐸[𝛽𝑠2|𝐵] ∗ 𝑃(𝐵) + 𝐸[𝛽𝑠
2|𝐶] ∗ 𝑃(𝐶)
𝐸[𝛽𝑠] = 02 ∗ 𝑃0 + 𝐸[𝛽𝑠2|𝐵] ∗ (1 − 𝑃0 − 𝑃1) + 12 ∗ 𝑃1
Y como 𝛽𝑠|𝐵 tiene una distribución 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠), y su segundo momento es 𝑎𝑠(𝑎𝑠+1)
(𝑎𝑠+𝑏𝑠)(𝑎𝑠+𝑏𝑠+1),
se tiene lo siguiente 𝐸[𝛽𝑠2] = (1 − 𝑃0 − 𝑃1)
𝑎𝑠(𝑎𝑠+1)
(𝑎𝑠+𝑏𝑠)(𝑎𝑠+𝑏𝑠+1)+ 𝑃1 ∎
45
A.3. Proposición 3: Sea 𝛽𝑠 una distribución mixta tal que:
𝛽𝑠 = {
0𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃0
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠)𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 1 − 𝑃0 − 𝑃1
1𝑐𝑜𝑛𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑃1
,entonces,
𝐹𝛽𝑠(𝑡) = {
𝑃0𝑠𝑖𝑡 = 0
𝑃0 + (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡)𝑠𝑖
1𝑠𝑖𝑡 ≥ 1
𝑡 ∈ (0,1)
Demostración: Sea 𝐴, el conjunto donde la fracción del daño es cero, sea 𝐵 el conjunto
donde la fracción del daño está en el (0,1) y, sea 𝐶 el conjunto donde la fracción del daño es uno.
Caso 1:𝐹𝛽𝑠(0) = 𝑃(𝛽𝑠 = 0), por definición esta probabilidad es 𝑃0.
Caso 2: 𝐹𝛽𝑠(𝑡), con 𝑡 ∈ (0,1), entonces 𝐹𝛽𝑠
(𝑡) = 𝑃(𝛽𝑠 ≤ 𝑡) = 𝑃(𝛽𝑠 = 0) + 𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡),
𝑃0 + 𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡), dado que 𝑡 ∈ (0,1), nótese por definición que 𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐴) =
0,𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐶) = 0 y que 𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐵) > 0 es la función de distribución 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠, 𝑏𝑠), es decir
𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡), además 𝑃(0 < 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐵) = 𝑃(0 ≤ 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐵), dado que 𝛽𝑠 es una distribución continua.
De lo anterior podemos escribir
𝐹𝛽𝑠(𝑡) = 𝑃0 + 𝑃(0 ≤ 𝛽𝑠 ≤ 𝑡|𝐵) ∗ 𝑃(𝐵), entonces 𝐹𝛽𝑠
(𝑡) = 𝑃0 + 𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡) ∗ (1 − 𝑃0 − 𝑃1).
Caso 3: 𝐹𝛽𝑠(1) = 𝑃(𝛽𝑠 ≤ 1) = 𝑃(𝛽𝑠 < 1) + 𝑃(𝛽𝑠 = 1) =
𝑃0 + 𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(1) ∗ (1 − 𝑃0 − 𝑃1) + 𝑃1 = 𝑃0 + (1) ∗ (1 − 𝑃0 − 𝑃1) + 𝑃1 = 1 ∎
A.4. Proposición 4: Sea 𝜆𝑠𝑖𝑚 =𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑛𝜆)
𝑛 , entonces 𝐸[𝜆𝑠𝑖𝑚] = 𝜆.
Demostración, 𝐸[𝜆𝑠𝑖𝑚] = 𝐸 [𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑛𝜆)
𝑛] =
1
𝑛𝐸[𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑛𝜆)] =
1
𝑛𝑛𝜆 = 𝜆 ∎
A.5. Proposición 5: Sea 𝑁(𝑡)~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡) y 𝑡 el tiempo trascurrido entre el evento 𝑖 − 1
y el evento 𝑖, entonces 𝑡~exp(𝜇 = 𝜆−1).
Demostración. Sin pérdida de generalidad pensemos que 𝑡 mide el tiempo trascurrido del
primer evento, es decir, en el intervalo (0, 𝑡) no existen eventos ocurridos. Por tanto la probabilidad
de que el primer evento ocurra después de 𝑡 unidades de tiempo es 𝑃(𝑁(𝑡) ≥ 1), como
𝑁(𝑡)~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡) => 𝑃[𝑁(𝑡) = 𝑛] = (𝜆𝑡)𝑛𝑒−𝜆𝑡 𝑛!⁄ => 𝑃(𝑁(𝑡) = 0) = 𝑒−𝜆𝑡 => 𝑃(𝑁(𝑡) ≥ 1) = 1 −
𝑃(𝑁(𝑡) = 0) = 1 − 𝑒−𝜆𝑡, nótese que esta probabilidad depende del tiempo 𝑡 en el que se da el
primer evento, al ser una variable aleatoria 𝑡, esta probabilidad es en realidad la distribución de
probabilidades, por tanto 𝐹𝑡(𝑡) = 1 − 𝑒−𝜆𝑡 es conocida por ser la distribución de probabilidades de
una variable aleatoria exponencial, cuyo valor esperado es 𝜆−1∎
46
A.6. Proposición 6: Sea𝐹𝛽𝑠(𝑡) = {
𝑃0𝑠𝑖𝑡 = 0
𝑃0 + (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡)𝑠𝑖
1𝑠𝑖𝑡 ≥ 1
𝑡 ∈ (0,1) y 𝑢~𝑈(0,1)
entonces:
𝐹𝛽𝑠
−1(𝑢) = {
0𝑠𝑖𝑢 < 𝑃0
𝐹−1𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)
(𝑢−𝑃0
1−𝑃0−𝑃1) 𝑠𝑖
1𝑠𝑖𝑢 > 1 − 𝑃1
𝑡 ∈ (0,1)
Demostración.
Caso 1: 𝐹𝛽𝑠(0) = 𝑢, entonces 0 = 𝐹−1
𝛽𝑠(𝑢), como 0 tiene una probabilidad de ocurrencia de
𝑃0 entonces dicha expresión tiene sentido mientras 𝑢 < 𝑃0, nótese que 𝑃[𝑢 < 𝑃0] = 𝑃0.
Caso 2: 𝐹𝛽𝑠(𝑡) = 𝑢, con 𝑡 ∈ (0,1), entonces 𝑃0 + (1 − 𝑃0 − 𝑃1)𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)
(𝑡) = 𝑢 =>
𝐹𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠)(𝑡) =
𝑢−𝑃0
1−𝑃0−𝑃1 => 𝑡 = 𝐹−1
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠) (𝑢−𝑃0
1−𝑃0−𝑃1).
Caso 3: 𝐹𝛽𝑠(1) = 𝑢, entonces 1 = 𝐹−1
𝛽𝑠(𝑢), como 1 tiene una probabilidad de ocurrencia de
ocurrencia de 𝑃1 entonces dicha expresión tiene sentido mientras 𝑢 > 1 − 𝑃1, notemos que
𝑃[𝑢 > 1 − 𝑃1] = 1 − 𝑃[𝑢 < 1 − 𝑃1] = 1 − (1 − 𝑃1) = 𝑃1.
Por tanto 𝐹𝛽𝑠
−1(𝑢) = {
0𝑠𝑖𝑢 < 𝑃0
𝐹−1𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑎𝑠,𝑏𝑠) (
𝑢−𝑃0
1−𝑃0−𝑃1) 𝑠𝑖
1𝑠𝑖𝑢 > 1 − 𝑃1
𝑡 ∈ (0,1)∎
8.2 Apéndice B: Códigos.
B.1. Librería de funciones para reproducir modelo estatutario.
simula_freq<-function(Frec)
{
Frec$n = rpois(nrow(Frec),Frec$frec)
flot_frec = Frec[Frec$n>0,]
if( nrow(flot_frec)==0 ) { flot_frec } else
{
flot_frec = flot_frec[rep(1:nrow(flot_frec),flot_frec$n),]
flot_frec
}
}
RBetaDaños<-function(P0,P1,A,B,SA)
47
{
if(length(unique(c(length(P0),length(P1),length(A),length(B),length(SA))))>1)
{stop("El Tamaño de los Vectores es Diferente en RBetaDaños")}
else
{
n = length(P0)
U = runif(n)
U[ U < P0 ] = 0
U[ U > (1-P1) ] = 1
index = U!=1 & U!=0
index[index=="TRUE"]=1
index = 1:length(index) * index
index = index[index>0]
U[index] = ( U[index] - P0[index] ) / ( 1 - P0[index] - P1[index] )
round(SA * qbeta(U,A,B),3)
}
}
Daño_Esc<-function(Fd_flot)
{
p0 = Fd_flot$P0
p1 = Fd_flot$P1
a = Fd_flot$A
b = Fd_flot$B
sa = Fd_flot$SA
x_evento = round(RBetaDaños(p0,p1,a,b,sa),2)
x_evento
}
perdidas_x_sismo <-function(evento_j,FDats,RProp,i)
{
FDats_flot = FDats[FDats$Esc==evento_j,]
FDats_flot$x = Daño_Esc(FDats_flot)
ed = FDats_flot$ed
48
X_Br = sum(FDats_flot$x)
X_Ret = sum( FDats_flot$x * RProp[ed,]$Ret /100 )
tabla_sismo = data.frame(Año = i,Esc =
evento_j,ed_afec=nrow(FDats_flot[FDats_flot$x>0,]),X_Br=X_Br,X_Ret=X_Ret)
tabla_sismo
}
perdidas_x_año <- function(eventos,FDats,RProp,i)
{
if( nrow(eventos)==0 ) {data.frame(Año=i, Esc="NOESC", ed_afect=0, X_Br=0, X_Ret=0
)} else
{
perdida_anual = data.frame()
for( j in 1:nrow(eventos) )
{
evento_j = as.character(eventos[j,]$esc)
perdida_evento_j = perdidas_x_sismo(evento_j,FDats,RProp,i)
perdida_anual = rbind(perdida_anual, perdida_evento_j)
}
perdida_anual
}
}
p <- function(tr) {p = 1-(1/tr);p}
B.2. Código para reproducir modelo estatutario.
rm(list=ls(all=TRUE))
memory.size(4095)
set.seed(20160728)
setwd("C:\\Ejemplo PML")
source("libreria.R")
FDats = read.table("Fdats.txt" ,header=FALSE,sep="|")
Frec = read.table("Frec.txt" ,header=FALSE,sep="|")
49
RProp = read.table("ReaProp.txt" ,header=FALSE,sep="|")
names(FDats) = c("ed","Esc","P0","P1","A","B","SA")
names(Frec) = c("esc","frec")
names(RProp) = c("ed","Ret")
Perdida_año_i = data.frame()
TR = c(50,100,200,500,1000,1500,2000,2500,4500)
n = 1000000 #Número de Años a Simular
XBr = vector()
XRet = vector()
VaR_Br = numeric()
for(i in 1:n)
{
eventos = simula_freq(Frec)
Perdida_año_i = perdidas_x_año(eventos,FDats,RProp,i)
XBr[i] = sum(Perdida_año_i$X_Br )
XRet[i] = sum(Perdida_año_i$X_Ret)
VaR_Br[i] = as.numeric(quantile(XBr,p(1500)))
cat(i,"\n")
}
Resultados_PML = data.frame(TR, p=p(TR), PML_Br=as.numeric(quantile(XBr,p(TR))),
PML_Ret=as.numeric(quantile(XRet,p(TR))))
Resultados_PrR = c(mean(XBr),mean(XRet)); names(Resultados_PrR)=c("PRiesgo Br","PRiesgo
Ret")
Resultados_PML
Resultados_PrR
50
B.3. Librería de funciones para la metodología propuesta.
RBetaDaños<-function(P0,P1,A,B,SA)
{
if(length(unique(c(length(P0),length(P1),length(A),length(B),length(SA))))>1)
{stop("El Tamaño de los Vectores es Diferente en RBetaDaños")}
else
{
n = length(P0)
U = runif(n)
U[ U < P0 ] = 0
U[ U > (1-P1) ] = 1
index = U!=1 & U!=0
index[index=="TRUE"]=1
index = 1:length(index) * index
index = index[index>0]
U[index] = ( U[index] - P0[index] ) / ( 1 - P0[index] - P1[index] )
round(SA * qbeta(U,A,B),3)
}
}
filtro_VaR <- function(FDats,p,L)
{
FDats$VaR = round(qbeta(p,FDats$A,FDats$B)*FDats$SA,2)
FDats = FDats[FDats$VaR >= L,]
FDats = FDats[,1:7]
FDats
}
Daño_Esc<-function(Fd_flot)
{
51
p0 = Fd_flot$P0
p1 = Fd_flot$P1
a = Fd_flot$A
b = Fd_flot$B
sa = Fd_flot$SA
x_evento = round(RBetaDaños(p0,p1,a,b,sa),2)
x_evento
}
perdidas_x_sismo <-function(evento_j,FDats,RProp,i,t,dia_sin,DurR)
{
FDats_flot = FDats[FDats$Esc==evento_j,]
ed = FDats_flot$ed
FDats_flot = cbind(FDats_flot,RProp[ed,c(3:4)])
FDats_flot$Dur.R = DurR[ed,2]
FDats_flot$t = rep(t,nrow(FDats_flot))
FDats_flot$dia_s = rep(dia_sin,nrow(FDats_flot))
FDats_flot$x = Daño_Esc(FDats_flot)
FDats_flot$x_ced = FDats_flot$x * FDats_flot$Ced / 100
FDats_flot = FDats_flot[FDats_flot$dia_s<=FDats_flot$Dur.R,]
FDats_flot = cbind(data.frame(Año=rep(i,nrow(FDats_flot))),FDats_flot)
FDats_flot
}
perdidas_x_año <- function(eventos,FDats,RProp,i)
{
if( nrow(eventos)==0 ) {data.frame(Año=i, Esc="NOESC", ed_afect=0, X_Br=0, X_Ret=0
)} else
{
perdida_anual = data.frame()
for( j in 1:nrow(eventos) )
{
evento_j = as.character(eventos[j,]$esc)
52
perdida_evento_j = perdidas_x_sismo(evento_j,FDats,RProp,i)
perdida_anual = rbind(perdida_anual, perdida_evento_j)
}
perdida_anual
}
}
p <- function(tr) {p = 1-(1/tr);p}
gen_t <- function(frec,lim=1)
{
t = rexp(100,frec)
T = cumsum(t)
T = T[T<lim]
if( length(T)==0 )
{
t = numeric()
}
else
{
t = t[1:length(T)]
}
t
}
simula_freq_t <- function(Frec,N_años=100)
{
Frec_flot = Frec
Frec_flot$frec_s = rpois(nrow(Frec),N_años*Frec_flot$frec)/N_años
Frec_flot = Frec_flot[Frec_flot$frec_s>0,]
Frec_final = data.frame()
for(i in 1:nrow(Frec_flot))
53
{
t = gen_t(Frec_flot$frec_s[i])
Frec_final_flot = Frec_flot[rep(i,length(t)),]
Frec_final_flot$t = t
Frec_final = rbind(Frec_final,Frec_final_flot)
}
Frec_final = Frec_final[order(Frec_final$t),]
Frec_final$dia_sin = trunc(Frec_final$t * 365)
Frec_final
}
add_pr_d <- function(resumen_cedido,RProp)
{
pr=vector()
for( i in 1:nrow(resumen_cedido) )
{
flot_rea = as.character(resumen_cedido[i,1])
pr[i] = unique(RProp[RProp$Rea==flot_rea,5])
}
resumen_cedido$P.Default = pr
resumen_cedido
}
irr_con_default <- function(daños_anual,RProp)
{
if( nrow(daños_anual)!=0 )
{
detalle_cedido = data.frame( Rea =
as.character(daños_anual$Rea),cedido=daños_anual$x_ced * daños_anual$usd *
(daños_anual$v^daños_anual$t))
resumen_cedido =
aggregate(detalle_cedido$cedido,by=list(detalle_cedido$Rea),FUN="sum")
names(resumen_cedido) = c("Rea","Cedido")
resumen_cedido = add_pr_d(resumen_cedido,RProp)
54
resumen_cedido$Def.sim =
rbinom(nrow(resumen_cedido),1,resumen_cedido$P.Default/100)
resumen_cedido$IRR_01 = (1-resumen_cedido$Def.sim)*resumen_cedido$Cedido
sum(resumen_cedido$IRR_01)
} else {0}
}
TC_t <- function(tc0,tc1,t)
{
tc0+t*(tc1-tc0)
}
B.4. Código de simulación para reproducir la metodología propuesta.
rm(list=ls(all=TRUE))
memory.size(4095)
set.seed(20160728)
setwd("C:\\Ejemplo PML Propuesta")
source("libreriaP.R")
FDats = read.table("Fdats.txt" ,header=FALSE,sep="|")
Frec = read.table("Frec.txt" ,header=FALSE,sep="|")
RProp = read.table("ReaProp.txt" ,header=FALSE,sep="|")
Irts = read.table("Irts.txt" ,header=FALSE,sep="|")
DurR = read.table("DurR.txt" ,header=FALSE,sep="|")
names(FDats) = c("ed","Esc","P0","P1","A","B","SA")
names(Frec) = c("esc","frec")
names(RProp) = c("ed","Ret","Ced","Rea","P.Default")
names(Irts) = c("P0Br","IRR0","P1Br","IRR1")
names(DurR) = c("ed","Dur.R")
n = 100000
55
P0Ret = Irts$P0Br - Irts$IRR0
P1Ret = Irts$P1Br - Irts$IRR1
mu_usd = 2.942653
sd_usd = 0.137887
mu_tlb = 0.040000
sd_tlb = 0.003727
P1Ret.Sim = vector()
G01 = vector()
IRR_01 = vector()
L_PML = vector()
for(i in 1:n)
{
tc = rlnorm(1,mu_usd,sd_usd)
tlr = rnorm(1,mu_tlb,sd_tlb)
v = 1/(1+tlr)
eventos = simula_freq_t(Frec)
daños_anual = data.frame()
for( j in 1:nrow(eventos) )
{
daños_esc =
perdidas_x_sismo(as.character(eventos$esc[j]),FDats,RProp,i,eventos$t[j],eventos$dia_sin[j],
DurR)
daños_esc$usd = rep(tc,nrow(daños_esc))
daños_esc$v = rep(v ,nrow(daños_esc))
daños_anual = rbind(daños_anual,daños_esc)
56
}
daños_anual$usd = TC_t(20,tc,daños_anual$t)
P1Ret.Sim[i] = P1Ret*v
G01[i] = sum(daños_anual$x * daños_anual$usd *
(daños_anual$v^daños_anual$t))
IRR_01[i] = irr_con_default(daños_anual,RProp)
L_PML[i] = P1Ret.Sim[i] + G01[i] - IRR_01[i] - P0Ret
cat(i,"\n")
}
quantile(L_PML,.995)
save.image("Resultados.RData")
B.5. Código de simulación para reproducir el requerimiento marginal de la variable de
pérdida 𝐿𝑃𝑀𝐿 de la metodología estatutaria.
set.seed(0)
p.default = 0.0429
n = 100000
REA_PML_0 = 467278853.25
REA_PML_1 = REA_PML_0 * rbinom(n,1,1-p.default)
L_PML = REA_PML_0 - REA_PML_1
table(L_PML)
n*.005
57
8.3 Apéndice C: Tablas de referencia.
C.1. De acuerdo a la CUSF, el cálculo de los Importes Recuperables de Reaseguro se
consideran las probabilidades de incumplimiento de acuerdo a lo siguiente.
ANEXO 8.20.2
STANDARD
& POOR’S A.M
BEST FITCH MOODY’S
PROBABILIDAD
DE
INCUMPLIMIENTO
AAA A++, A+ AAA Aaa 0.002%
AA+,AA, AA-
A, A- AA+,AA,
AA- Aa1, Aa2, Aa3 0.05%
A+,A, A- B++, B+ A+,A, A- A1, A2, A3 0.18%
BBB+, BBB, BBB-
BBB+, BBB, BBB-
Baa1, Baa2,Baa3 0.36%
BB+, BB, BB-
B, B- BB+, BB,
BB- Ba1, Ba2,Ba3 0.87%
B+, B, B- C++, C+ B+, B, B- B1, B2,B3 4.29%
CCC
o menor
C, C-, D
o menor
CCC
o menor
Caa1
o menor
30.65%
No calificado 30.65%
58
Bibliografía
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[6] A. Yañez (2015) Seminario de Solvencia II. Impartida en la Asociación Mexicana de
Instituciones de Seguros.
[7] Comisión Nacional de Seguros y Fianzas (2015) Nota Metodológica, Cálculo de la Variable de
Pérdida de los Seguros de Daños y Accidentes y Enfermedades, Requerimiento de Capital por
Riesgos Técnicos y Financieros.
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Pérdida Máxima Probable para los Seguros de Terremoto.
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[10] ERN Ingenieros Consultores S. C.(2003) ”Description and interpretation of values reported in
the Source by Source results file of systems RS-MEX and RS-MEX RE”
[11] AMIS (2010) “Modelo para el Cálculo de la Pérdida Máxima Probable de los Riesgos
Hidrometeorológicos y Sísmicos”
[12] CENAPRED (2014) “Sismos, Serie Fascículos”
