Autoría de contenidos: Ruben Darío Castañeda Barbosa Modalidad: E-Learning Coordinadora de Innovación Académica: Isabel Cristina Ramos Quintero Diseño Instruccional: Lizeth Rojas Hernández Diseño Gráfico y diagramación: Carolina Herrera Rincón Imágenes: Shutterstock Departamento: Ciencias Básicas Universidad Católica de Colombia Decanatura Académica Coordinación de Innovación Académica 2018

Objetivo general

Definir los teoremas básicos del Cálculo Diferencial y resolver problemas del

contexto real y cotidiano a través del concepto de la derivada.

Objetivos específicos

• Definir y conceptualizar los conceptos básicos del Cálculo Diferencial.

• Determinar el dominio, rango, gráfica y derivada de una función.

• Resolver problemas dentro del contexto de la disciplina y de la vida

cotidiana a partir del concepto de la derivada.

Introducción

El cálculo diferencial es una de las ramas más importantes de las matemáticas, que

siempre ha estado presente en los currículos universitarios, especialmente en los

programas de ingeniería y otras ciencias afines.

Vivimos en un mundo caracterizado por los cambios continuos, lo cual

obliga a encontrar métodos matemáticos que de alguna manera nos

permitan modelar y cuantificar esos cambios, por esta razón el cálculo

siempre se le ha denominado la matemática de los cambios, el cálculo de

las diferencias y es una de las razones básicas del llamado Cálculo

Diferencial. El Cálculo Diferencial se puede reducir a un concepto

fundamental, la razón de cambio. Determinar estas razones de cambio

significa que dos magnitudes (variables) están conectadas mediante una

relación funcional (función) y se puede estudiar el cambio relativo de una

de las magnitudes respecto a la otra. (Wenzelburger, 1993, p. 97)

Es allí donde reposa el concepto de función, que tiene su aplicación en todo lo

referente al Cálculo Diferencial como concepto de la disciplina y otras aplicaciones

en ciencias como la economía, el modelado de funciones, la producción en una

empresa, la tasa de natalidad de una población y muchos más que se estudian en

el Cálculo. Otro de los aspectos importantes, es el de la continuidad de las

funciones, lo que conlleva a entender e indagar por el concepto de límite.

Quizá uno de los conceptos más importantes del Cálculo Diferencial, es el de la

pendiente de una función en un punto dado de la curva. El cálculo permite

profundizar sobre este concepto a través de la noción inicial de derivada desde el

campo disciplinar y científico, lo que contribuye a enriquecer lo aprendido en la

escuela básica media.

Justificación

La matemática, considerada como ciencia y arte, y en especial, el cálculo, ha sido

de gran importancia para el desarrollo y avance científico y tecnológico de todas

las culturas; se puede afirmar, que en la mayoría de esos avances, se encuentran

implícitos conceptos matemáticos, como lo es en las comunicaciones, la medicina,

y en el desarrollo de investigaciones de toda índole. En estos ámbitos, se

requieren, en diferente medida, conceptos matemáticos, entre los que se

encuentran, las funciones de probabilidad, las derivadas e integrales, o los

métodos numéricos.

En este sentido, no es excesivo afirmar que el cálculo ha contribuido de diferentes

maneras a nuestra vida cotidiana, por ejemplo, sus aportes al funcionamiento de

los medios de transporte actuales, han sido de suma importancia, haciéndolos más

seguros, contribuyendo a su diseño y al desarrollo de sus elementos, como por

ejemplo, al diseño del airbag en los automóviles; por otro lado, en la medicina, sus

contribuciones también han sido de gran importancia para la fabricación de nuevos

medicamentos, vacunas, operaciones asistidas con láser; acciones que no habrían

sido posibles sin el buen uso de la matemática.

Competencias generales

• Comprende, interpreta y resuelve problemas articulados al contexto de la

vida cotidiana, personal, familiar, profesional, laboral y social, desde marcos

teóricos, con actitud crítica y con capacidad de tomar decisiones.

• Aplica los conceptos en diversos contextos, es decir ‘aprender a aprender’.

• Da cuenta de sus propios errores y de buscar los recursos necesarios para

superarlos, teniendo en cuenta los contenidos vistos en el ámbito

académico.

Metodología

Para el aprendizaje de los contenidos de la materia, se definen los conceptos

básicos de los temas y subtemas; luego, a través de ejemplos analíticos, gráficos y

de modelación matemática, se resuelven problemas contextualizados para

fomentar la creatividad, el análisis y el razonamiento matemático, como estructura

de un pensamiento lógico y analítico en la formación del ingeniero.

Diagrama de temas (mapa conceptual temático)

Figura 1. Diagrama de temas. Fuente: Elaboración propia

Cálculo DiferencialFunciones, límites, derivadas y aplicaciones

La derivada de una funciónDefiniciónInterpretación geométricaReglas básicas de la derivadaRegla de la cadenaDerivada implicita

Unidad 03

Aplicaciones a la derivada I parteLa mecánica clasicaAplicaciones en otros contextos de la cienciaTasas relacionadas

Unidad 04

Derivada de funciones trascendentesDerivada de la función logaritmoDerivada de la función exponencialDerivada de las funciones trigonométricasDerivada de las funciones trigonométricas inversas

Unidad 05

Aplicaciones a la derivada II parteTrazo de curvasCriterio de la primera derivadaCriterio de la segunda derivadaResolución de problemas de optimizaciónRegla de L´Hopital

Unidad 06

Funciones y modelación matemáticaConcepto: dominio y rangoGráficas y modelo matemáticoClases de funcionesAplicaciones

Unidad 01

Límite de una funciónDefinición y teoremas básicosRepresentación gráficaImportancia del álgebra Limites laterales y continuidadComportamiento asintótico

Unidad 02

Bibliografía

Apóstol, T. (2001) .Cálculo con funciones de una variable, con una

introducción al álgebra lineal. Segunda edición. Capítulo 4. Barcelona:

Editorial Reverté S.A.

Edward-Penney. (2008) .Calculus Early transcendentals seventh. Sexta edición.

México: Editorial Prentice hall.

Larson, R. (2011) .Cálculo I. Octava edición. Barcelona: Editorial Mc Graw Hill

Stewart,J. (2008) .Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Sexta

edición. México: Cengage Learning Editores, S.A.

Infografía/ Webgrafía

Wenzelburger, E. (diciembre, 1993) Introducción de los conceptos

fundamentales del Cálculo diferencial e Integral - Una propuesta

didáctica. Revista de Educación Matemática, 5 (5), 93-123. Recuperado

de: http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/vol5/vol5-

3/vol5-3-6.pdf