Załącznik 2A

AUTOREFERAT

Imię i nazwisko: Iwona Nowak

Posiadane dyplomy i stopnie naukowe:

� Doktor nauk technicznych, Budowa i Eksploatacja MaszynWydział Inżynierii Środowiska i Energetyki Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003Temat pracy doktorskiej: Zastosowanie analizy wrażliwości oraz metody elementówbrzegowych do modelowania odwrotnych zagadnień przepływu ciepła w procesie cią-głego odlewaniaPromotor: prof. dr hab. inż. Andrzej J. Nowak

� Magister, Matematyka StosowanaWydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego, Katowice 1996specjalność: zastosowania matematykiTemat pracy magisterskiej: Synteza opiniiPromotor: prof. dr hab. Maciej Sablik

Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych

� 2003-2016 – Adiunkt, Instytut Matematyki, Wydział Matematyki Stosowanej, Po-litechnika Śląska

� 1996-2003 – Asystent, Instytut Matematyki, Wydział Matematyki Stosowanej, Po-litechnika Śląska, (od października 1996r. do września 2000r. na urlopie bezpłat-nym w związku z odbywaniem st. doktoranckich na Wydziale Inżynierii Środowiskai Energetyki Politechniki Śląskiej)

I. WSKAZANIE OSIĄGNIĘCIA NAUKOWEGO wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz stopniach i tytule z zakresusztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.):

1. Cykl publikacji powiązanych tematycznie, pod tytułem:

Rozwiązywanie inżynierskich problemów optymalizacyjnych na przykładzieproblemów związanych z termoakustyką.

2. Publikacje lub inne prace wchodzące w skład osiągnięcia naukowego:(Mój wkład w powstanie poszczególnych prac szczegółowo opisany został w punkcie I.3. )

[IN1] Iwona Nowak (2018), Thermoacoustic standing-wave engine optimization by useof heuristics applying stochastic information, Comput. Assist. Methods Eng. Sci.25(1), s.3–19(IF:–, Punktacja MNiSW: 14)

(Mój udział procentowy szacuję na 100%).

1

[IN2] Krzysztof Rogoziński, Iwona Nowak, Grzegorz Nowak (2017), Modelling the ope-ration of a thermoacoustic engine, Energy 138, s.249–256(IF: 4.520, Punktacja MNiSW: 45)

(Mój udział procentowy szacuję na 60%).

[IN3] Iwona Nowak, (2017), Bayesian approach applied for thermoacoustic inverse pro-blem, Energy 141, s.2519–2527(IF: 4.520, Punktacja MNiSW: 45)

(Mój udział procentowy szacuję na 100%).

[IN4] Iwona Nowak, Grzegorz Nowak, (2015), Real ant colony optimization as a toolfor multi-criteria problems, Comput. Assist. Methods Eng. Sci. 22(3), s.255–265(IF:–, Punktacja MNiSW: 14)

(Mój udział procentowy szacuję na 80%).

[IN5] Iwona Nowak, Sebastian Rulik, Włodzimierz Wróblewski, Grzegorz Nowak, Jaro-sław Szwedowicz, 2014, Analytical and numerical approach in the simple modellingof thermoacoustic engines, Int. J. Heat Mass Transf. 77, s.369–376.(IF 2.383, Punktacja MNiSW 40)

(Mój udział procentowy szacuję na 45%).

Tabela 1: Dane dotyczące prac składających się na cykl publikacji

Rok Udział Impact Punktywydania (%)1 Factor MNiSW

[IN1] 2018 100% – 14[IN2] 2017 60% 4.520 45[IN3] 2017 100% 4.520 45[IN4] 2015 80% – 14[IN5] 2014 45% 2.383 40

suma 11.423 158

1 oświadczenia współautorów artykułów [IN2], [IN4] oraz

[IN5] – załącznik 5.

3. omówienie celu naukowego wyżej wymienionych prac i osiągniętych wyników.

I.3.1 Wprowadzenie

Osiągnięcie habilitacyjne zostało opracowane w postaci cyklu pięciu publikacji powią-zanych tematycznie, dla których informacje o wskaźnikach bibliometrycznych zestawio-no w tabeli 1. Jestem wyłączną autorką dwóch artykułów, a w pozostałych, zgodniez oświadczeniami współautorów dołączonymi do wniosku, mój udział wynosi od 45%

2

do 80%.Trzy, spośród wskazanych artykułów, to prace opublikowane w czasopismach znajdu-jących się na liście Journal Citation Reports (JCR). Sumaryczny impact factor dlawymienionych publikacji wynosi 11.423, a liczbie punktów MNiSW dla całego cykluwynosi 158. Wkład wniesiony przeze mnie do prac wybranych do cyklu opisany zostałw tabeli 2.

Tabela 2: Wkładu poszczególnych autorów w powstanie prac składają-cych się na cykl publikacji

[IN1] I. Nowak: praca wyłącznie mojego autorstwa (100%)

[IN2] K. Rogoziński: budowa modelu numerycznego orazwykonanie obliczeń przepływowych za pomocą Fluent(30%)

I. Nowak: budowa, sformułowanie i rozwiązanie anali-tyczne modelu silnika, analiza porównująca rozwiązanienumeryczne z analitycznym (60%)

G. Nowak: nadzór merytoryczny nad modelem nume-rycznym (10%)

[IN3] I. Nowak: praca wyłącznie mojego autorstwa (100%)

[IN4] I. Nowak: dostosowanie heurystyk populacyjnych dorozwiązywania problemów optymalizacji wielokryterial-nej, przeprowadzenie obliczeń dla zadań typu bench-mark oraz przykładowych zadań inżynierskich (80%)

G. Nowak: sformułowanie problemów inżynierskich dooptymalizacji (20%)

[IN5] I. Nowak: budowa i rozwiązanie analityczne modelusilnika (45%)

S. Rulik: budowa i rozwiązanie modelu numerycznegooraz wykonanie obliczeń w tym modelu (30%)

W.Wróblewski: sformułowanie założeń modelu nume-rycznego oraz zbadanie i opis aktualnego stanu wiedzy(10%)

G. Nowak: postawienie celów badawczych oraz koor-dynowanie prac (10%)

J. Szwedowicz: sformułowanie problemu technicznego(5%) - partner przemysłowy

Wszystkie, wykonane na potrzeby przeprowadzonych badań, obliczenia uzyskane zo-stały za pomocą moich programów autorskich (w Fortran i Wolfram Mathematica).

3

Heurystyki optymalizacyjne, modele bezpośrednie wykorzystywane w optymalizacji, atakże oprogramowanie niezbędne do rozwiązania problemów odwrotnych zostały przezmnie dostosowane i zaimplementowane na potrzeby rozwiązywanych problemów.

Uzasadnienie wyboru tematyki badań

Naturalną konsekwencją mojego podstawowego wykształcenia są zainteresowania na-ukowe głównie ukierunkowane na wykorzystywanie metod matematycznych w proble-mach praktycznych.

Rzeczywiste problemy pochodzące z wielu dziedzin nauki, inżynierii i technologiinformatycznych często formułowane są jako problemy optymalizacyjne bezpośrednielub odwrotne. Przedmiotem optymalizacji może być zarówno optymalne zaprojektowa-nie urządzenia lub przebiegu procesu albo odtworzenie warunków w jakich przebiegazjawisko. Z matematycznego punktu widzenia optymalizacja polega na wyznaczeniuzestawu parametrów, powszechnie nazywanych zmiennymi decyzyjnymi, które w naj-lepszym stopniu mają realizować cele postawione w analizowanym problemie. Jakośćrozwiązania ocenia się na podstawie wartości funkcji celu (funkcji ewaluacyjnej, funkcjioceny) zdefiniowanej dla problemu. Model matematyczny wykorzystywany do analizy,determinuje funkcję celu, której optimum znajdowane jest na drodze analitycznej lub,częściej, numerycznej.

Wiele rzeczywistych problemów optymalizacyjnych należy do grupy zadań trud-nych. Wg Michalewicza i Fogela [1] podstawowymi przyczynami trudności w optyma-lizacji jest np. ogromna liczba możliwych rozwiązań, problemy tak skomplikowane, żepowstaje konieczność korzystania z modelu uproszczonego na tyle, że uzyskany wy-nik jest dla problemu rzeczywistego bezużyteczny, zmienna w czasie funkcja ocenyoraz ograniczenia sprawiające, że wygenerowanie jakiekolwiek rozwiązania jest trudne,nawet bez rozważania jego optymalności. Ci sami badacze przestrzegają przed poszuki-waniem uniwersalnej metody optymalizacji. Droga do rozwiązania powinna być zawszedobierana do postawionego problemu, powinna uwzględniać model, oczekiwania doty-czące czasu obliczeń oraz przede wszystkim sformułowanie i cel.

W problemach trudnych, w których tzw. klasyczne metody optymalizacyjne (np.metody oparte na optymalizacji gradientowej) nie mogą być wykorzystane lub nie radząsobie ze wspomnianymi powyżej trudnościami, od pewnego czasu powszechnie stosu-je się metody inspirowane naturą, fizyką lub zjawiskami społecznymi, nazywane me-todami heurystycznymi. Jest to grupa adaptacyjnych technik, należących do ogólniepojętego obszaru sztucznej inteligencji, koncentrujących się na dwóch podstawowychelementach: strategii oraz wyniku. Do grupy tej należą głównie metody inspirowanebiologicznie, takie jak metody obliczeń ewolucyjnych, inteligencji rojowej, systemy roz-myte, sztuczne sieci neuronowe oraz sztuczne systemy immunologiczne. Kolejna grupametod dobrze radzących sobie z wieloma wymagającymi problemami rzeczywistymi,to metody wzorowane na zjawiskach fizycznych (klasycznym reprezentantem którychjest symulowane wyżarzanie) lub modyfikacje algorytmów ewolucyjnych wzbogacone omodel probabilistyczny.

Silną stroną metod heurystycznych jest zupełny lub prawie zupełny brak wyma-gań dotyczących funkcji celu. Większość metod z tej grupy, do wyznaczenia optimum,

4

wykorzystuje mechanizm porównywania między sobą poszczególnych wariantów roz-wiązania. Do oceny parametrów wykorzystuje się często system black box, który napodstawie rozwiązania problemu bezpośredniego, przypisuje ocenę output, wprowadzo-nym, jako input, wartością zmiennych decyzyjnych. Niestety takie podejście odpowie-dzialne jest za (często długi) czas wymagany do optymalizacji. Techniki adaptacyjnei samoudoskonalające, wymagają oceny wielu propozycji rozwiązań, co oznacza koniecz-ność wielokrotnego wywołania obliczeń w modelu bezpośrednim (black box ). Oznaczato, że tempo pracy zależy w sposób bezpośredni od czasu wymaganego do pojedynczejoceny oraz w sposób pośredni od samej metody optymalizacyjnej. Stały wzrost mo-cy obliczeniowej daje szanse na budowanie coraz lepszych modeli matematycznych, coznacznie zbliża je do rzeczywistości, a także sprzyja rozwojowi technik numerycznych,dzięki czemu spektrum ich zastosowań stale rośnie.

Badanie możliwości metod matematycznych oraz heurystyk, jako potencjalnychnarzędzi do rozwiązywania rzeczywistych problemów inżynierskich, jest od wielu latgłównym obszarem moich badań i zainteresowań naukowych. Efektem tego są publi-kacje w renomowanych czasopismach, wystąpienia na międzynarodowych i krajowychkonferencjach naukowych oraz udział w badaniach związanych z rozwiązywaniem pro-blemów inżynierskich.

Jedna z najważniejszych grup moich prac dotyczy problemów, w których wy-stępują zjawiska termodynamicze, dlatego też wyniki tych badań zdecydowałam sięprzedłożyć do oceny jako osiągnięcie habilitacyjne.

Przedstawiony cykl publikacji, ze względu na temat, podzieliłam na trzy części.Pierwsza dotyczy modelowania silnika termoakustycznego, w drugiej podjęłam się roz-wiązania termoakusytycznego problemu odwrotnego, polegającego na odtworzeniu heatrelise na podstawie pomiaru ciśnienia na ścianach komory spalania, a trzecią poświęci-łam optymalizacji geometrii silnika termoakustycznego. Ostatni problem formułowanybył jako zadanie optymalizacji wielokryterialnej, bezpośredni oraz odwrotny.

W niniejszym omówieniu przedstawiłam główne osiągnięcia badawcze, elementymetodyki obliczeniowej oraz wybrane wyniki. Elementy autorskie omówiłam szerzej,podczas gdy elementy stanowiące wkład współautorów zostały jedynie zasygnalizo-wane. Szczegóły dotyczące badań oraz pełna ich dokumentacja zawarte zostały jestw tekstach publikacji [IN1]-[IN5].Bibliografia zamieszczona na końcu rozdziału zawiera tylko pozycje bezpośrednio wy-korzystane w tekście autoreferatu.

I.3.2 Modelowanie silnika termoakustycznego

Zjawiska termoakustyczne modelować można zarówno za pomocą modeli analitycznychjak i numerycznych. Modelowanie numeryczne wiąże się zwykle z dużymi nakładami ob-liczeniowymi, wynikającymi z konieczności przeprowadzania obliczeń niestacjonarnych.Dotyczy to również modelowania pracy maszyn o stosunkowo wyrafinowanej geome-trii. w rezultacie, jeśli obliczenia muszą być powtarzane wielokrotnie, na przykład napotrzeby optymalizacji lub na etapie projektowania procesu albo urządzenia, wyko-rzystanie modelu numerycznego może być trudne, często jest kosztowne, a czasami

5

Rysunek 1: Schemat silnika termoakustycznego fali stojącej.

nawet niemożliwe. Możliwość wykorzystania rozwiązania analitycznego, które możnauzyskać przy minimalnym koszcie obliczeniowym i w znacznie krótszym czasie, jestdlatego kusząca i uzasadniona. Oczywiście, modele analityczne są zazwyczaj budowa-ne przy założeniu znacznych uproszczeń, co budzi wątpliwości co do ich przydatności dorozwiązywania złożonych procesów fizycznych. Chociaż analiza modelu teoretycznegoprzyczynia się do lepszego zrozumienia zjawiska, to jego wykorzystanie do optymaliza-cji lub w razie potrzeby do rozwiązania zadania odwrotnego, bez rozpoznania w jakimstopniu rozwiązanie takie opisuje rzeczywistość, może nie wzbudzać zaufania.Dlatego też podjęłam się wyznaczenia analitycznego rozwiązania równań opisującychzjawiska zachodzące w silniku termoakustycznym, aby następnie porównać je z odpo-wiednim modelem numerycznym. Za budowę i obliczenia w modelu numerycznym od-powiedzialni byli moi współpracownicy z Instytutu Maszyn i Urządzeń Energetycznychna Wydziale Inżynierii Środowiska i Energetyki. Oba modele opracowaliśmy w taki spo-sób, aby z jednej strony możliwie było uzyskanie rozwiązania, z drugiej zaś porównaniewyników.

W naszych badaniach zajęliśmy się silnikiem termoakustycznym o fali stojącej pra-cującym w zakresie temperatur 300–700 K, którego działanie polega na przekształcaniuciepła w moc akustyczną. Przyjęto, że czynnikiem roboczym jest powietrze. Urządzenietakie składa się z rurki (tuby rezonansowej) zamkniętej na jednym z końców i otwartejna drugim. Wewnątrz, w pobliżu zamkniętego końca rezonatora, znajduje się tzw. stos,kluczowy element urządzeń termoakustycznych. Element ten umieszczony jest pomię-dzy dwoma wymiennikami ciepła, z których jeden odpowiada za dostarczanie ciepłado układu, a drugi za jego odbiór. Stos składa się z licznych równoległych płyt (lubrur koncentrycznych), które tworzą małe kanały (pory). Należy zauważyć, że w obrębiestosu występuje znaczna zmiana przekroju gazu w porównaniu do rury rezonatora, cowpływa na wzrost prędkości gazu przez niego przepływającego (rys.1).Dostarczane za pośrednictwem jednego z wymienników ciepło, wymusza gradient tem-peratury w kierunku osiowym silnika, co wywołuje zakłócenia ciśnienia w gazie robo-czym. Umieszczenie porowatego stosu w pobliżu zamkniętego końca sprawia, że pomię-dzy zamkniętym końcem a stosem, gaz roboczy doświadcza silnych oscylacji ciśnienia(wynikających z dostarczania ciepła) ale stosunkowo małych przesunięć. Nierównowagaenergetyczna powoduje zwiększanie amplitudy ciśnienia w kolejnych cyklach, aż do mo-mentu w którym akustyczne rozproszenie energii wyrówna się z ciepłem dostarczanymdo układu. Osiągnięciu stanu ustalonego towarzyszy emisja dźwięku wywołana przezstojącą falę akustyczną, przy czym na zamkniętym końcu rurki rezonansowej znajdu-

6

je się strzałka ciśnienia i węzeł prędkości, podczas gdy w jego otwartym końcu węzełciśnienia i strzałka prędkości.Zjawisko przekształcenia ciepła w pracę jest w silniku możliwe, jeśli tylko nałożonygradient temperatury jest większy niż krytyczny gradient temperatury (co uzyskiwa-ne jest poprzez odpowiednie grzanie i chłodzenie końców stosu). Formuła określającakrytyczny gradient temperatury pochodzi od Swifta [2] i ma następującą postać:

∇Tcrit =ωp

ρmcpu.

Wykorzystanie pracy silnika termoakustycznego fali stojącej możliwe jest po uzyskaniustanu ustalonego.

Podstawowym równaniem opisującym rozkład ciśnienia p1 fali akustycznej (wzdłuż osisilnika) jest równanie różniczkowe Helmholtza:

p1 +c2

ω2d2p1dx2

= 0 (1)

gdzie ω to częstotliwość fali, zaś c – prędkość dźwięku w gazie. Równanie to obowiązujew części silnika termoakustycznego poza stosem i wymiennikami ciepła, przy założeniuże rozważany jest stan ustalony. Jest to kluczowe założenie, oznaczające, że poza stosemtemperatura gazu w silniku jest stała (ustabilizowana).Zamiast równania falowego (1) wygodniej jest analizować równoważny mu układ rów-nań różniczkowych pierwszego rzędu opisujący zarówno ciśnienie p1, jak i prędkośćobjętościową przepływu u1, w postaci [2]:

dp1dx

= −iωρRg

u1

du1dx

= −iωRg

ρc2p1

, (2)

gdzie Rg oznacza pole przekroju rezonatora, ρ gęstość gazu, a i to jednostka urojonaW stosie, zjawiska termoakustyczne opisane są równaniem Rotta [3], uwzględniającymprzewężenia w stosie oraz zachodzące tam zjawiska termiczne:(

1 +(κ− 1)fk

1 + εs

)p1 +

ρmc2

ω2d

dx

(1− fvρm

dp1dx

)+

−β c2

ω2fk − fv

(1− Pr)(1 + εs)dT

dx

dp1dx

= 0(3)

gdzie κ to wykładnik izentropowy, β współczynnik rozszeżalności objętościowej przystałym ciśnieniu, a εs pojemność cieplną stosu.Występujące w równaniu (3) funkcje Rotta fk, fv, przybliża się za [2] przez:

fk = (1− i) δk2r, gdzie δk =

√√√√ 2kref

ωρrefcrefp

fv = (1− i) δv2r, gdzie δv =

√2µref

ωρref

7

gdzie r jest promieniem porów, a indeks ref oznacza wartości referencyjne (dla średniejtemperatury gazu w stosie).Tak jak w poprzednim przypadku równanie (3) można zapisać jako układ równańróżniczkowych pierwszego rzędu:

dp1dx

= − iωρmRs(1− fv)

u1

du1dx

= −iωRs

ρmc2

(1 +

(κ− 1)fk1 + εs

)p1 + β

(fk − fv)(1− Pr)(1 + εs)

dT

dxu1

(4)

gdzie Rs to pole przekroju gazu w stosie. W modelu teoretycznym zakłada się, że stosma wystarczającą pojemność do utrzymywania płyt stosu w stałej temperaturze, cooznacza że εs = 0 [3].

W miejscach połączenia stosu z innymi częściami silnika spełnione muszą być rów-nania ciągłości masy i momentu, które określają warunki brzegowe dla poszczególnychczęści (segmentów) silnika. Przyjmuje się także, że w modelu analitycznym temperaturawewnątrz stosu zmienia się liniowo, co pociąga dT/dx = const., podczas gdy rzeczywi-sty rozkład opisuje się funkcją cosinus. Takie uproszczenie, ze względu na małą długośćstosu, ma nieznaczny wpływ na model zjawiska, ale równocześnie umożliwia znalezienieanalitycznego rozwiązania równań (2) i (4).

Na potrzeby porównania modelu analitycznego i numerycznego, rozwiązałamukłady równań (2) i (4) wykorzystując metodę opartą na wartościach własnych macie-rzy układów równań różniczkowych. Szczegóły procedury opublikowane zostały w [IN5].Takie podejście pozwoliło mi wyznaczyć jawne formuły na rozkład ciśnienia oraz pręd-kość gazu w silniku (w stosie i poza nim).Uzyskane rezultaty porównano z modelem numerycznym, którego szczegóły budowyznaleźć można w [IN2] .

Podsumowanie

W modelu numerycznym przyjęto założenia niemal takie same, jak te zastosowanew podejściu analitycznym. Długość rezonatora, położenie stosu i parametry gazu w obumodelach są takie same. Nieznaczne różnice w obu podejściach, to: model rozkładutemperatury w stosie (liniowy w modelu analitycznym i opisany funkcją cos w modelunumerycznym), zależne od temperatury niektóre parametry gazu w modelu numerycz-nym, podczas gdy w analitycznym parametry przyjmowano jako średnie wartości dlaprzyjętego zakresu temperatur. Wszystkie istotne różnice dokładnie omówiono w [IN5].

Na potrzeby obliczeń analitycznych, opracowałam własne oprogramowanie, które(wykorzystując wyprowadzone wcześniej jawne formuły) wyznacza rozkłady ciśnieniai prędkości w silniku we wskazanej fazie fali akustycznej. W celu dokonania założonegoporównania, wartości ciśnienia i prędkości osiowej w różnych fazach pracy urządzeniazamodelowano także numerycznie. Analizowano pracę w stanie ustalonym przez półokresu oscylacji, przy czym cały okres podzielony został na 8 faz. W fazie 7/8, 6/8i 5/8 rozkład ciśnienia wyznaczony numerycznie wykazuje dużą zgodność rozkłademznalezionym z modelu analitycznym. Skrajne fazy (4/8 i 8/8) pokazują nieco więk-sze różnice w pobliży otwartego końcu silnika, ale w stosie i na zamkniętym końcurezonatora wyniki są porównywalne (lewy wykres na Rys.2).

8

Rysunek 2: Porównanie rozkładu ciśnienia i prędkości wzdłuż urządzenia (model anali-tyczny – linia przerywana, model numeryczny – linia ciągła).

W przypadku prędkości gazu, większe różnice zauważyć można na końcach stosu, gdziepojawiają się lokalne zakłócenia w modelu numerycznym. Jest to spowodowane gwał-towną zmianą przekroju przepływu, a także ostrymi końcami płyt stosu, które powodu-ją zwiększoną turbulencję. Takie zjawiska nie są uwzględniane w modelu analitycznym.Pomimo tego satysfakcjonująca zgodność pomiędzy obydwoma podejściami, występujew fazach 4/8, 5/8 i 6/8 (prawy wykres na Rys.2).

Wynikiem podjętych badań było uzyskanie odpowiedzi na temat różnic ilościo-wych i jakościowych w modelu numerycznym silnika termoakustycznego oraz odpowied-niego modelu analitycznego. Zgodnie z oczekiwaniami, wykazano, że model analitycznyoparty na ogólnym równaniu falowym, nie obejmuje miejscowych zjawisk związanych zezmianami przepływu z rezonatora do stosu (np. zaburzenia przepływu, wiry, pulsacjestrumienia ciepła, lokalne turbulencje itp.). Choć dobrze zbudowany model numerycznyzapewnia bardziej szczegółowe rozwiązanie omawianego problemu, należy pamiętać ojego wysokich kosztach obliczeniowych. Dla porównania rozwiązanie analityczne, choćnie pozbawione wad, uzyskać można w ciągu kilku sekund. Istotną zaletą modelu ana-litycznego jest niski koszt obliczeniowy.

Nasze obliczenia pokazały, że w modelu analitycznym, do określenia chwilowegorozkładu parametrów, można uzyskać podobną dokładność jak w modelu numerycz-nym. Oprogramowanie wykorzystujące rozwiązania w postaci jawnej, zapewnia wynikw ciągu kilku sekund, podczas gdy rozwiązanie numeryczne może wymagać nawet kil-ku tygodni obliczeń. Dlatego w problemach koncepcyjnych, podejście analityczne jestjedynym narzędziem do szybkiej oceny efektów termoakustycznych w silniku. Zapro-ponowane przeze mnie podejście wydaje się być także dobrym sposobem określaniawartości wariantu rozwiązania w problemach optymalizacyjnych, które z reguły wyma-gają przeprowadzenia dużej liczby symulacji.

9

W konsekwencji rozwiązanie analityczne jest narzędziem, które może być wy-korzystywane do uzyskania przybliżenia rozwiązania optymalnego, którego dokładnaanaliza powinna być później przeprowadzona na drodze numerycznej.

I.3.3 Termoakustyczny problem odwrotny

Kolejnym tematem podjętym w moich badaniach związanych z termoakustyką, by-ło odtworzenie tempa wyzwalania ciepła na podstawie pomiaru ciśnienia na ścianachkomory spalania czyli rozwiązanie termoakustycznego problemu odwrotnego. Sformu-łowanie, metody wykorzystane do rozwiązania oraz uzyskane wyniki opublikowane zo-stały w artykule [IN3].Występowanie niestabilności spalania jest poważnym problemem pojawiającym sięw projektowaniu komory spalania turbiny gazowej lub silnika odrzutowego, gdyż nie-stabilne wahania szybkości wyzwalania ciepła mogą mieć negatywny wpływ na emisjęzanieczyszczeń oraz produkcję hałasu [4]. Niestety, dość trudno jest zmierzyć prędkośćuwalniania ciepła w komorze spalania nawet przy użyciu zaawansowanych technik.Z drugiej strony, oscylacje ciśnienia na ścianach komory spalania mogą być stosunkowołatwo mierzone np. za pomocą ściennych mikrofonów lub przetworników ciśnienia.Oznacza to, że skuteczna metoda odtwarzania szybkości wyzwalania ciepła na podsta-wie informacji o ciśnieniu na ścianach komory spalania, może pomagać w modelowaniui analizie zjawisk zachodzących w samej komorze.

Tak postawiony problem jest przykładem termoakustycznego problemu odwrot-nego, który jak większość problemów odwrotnych, jest zadaniem silnie źle uwarunkowa-nym (ang. ill-conditiond). Oznacza to, że nawet niewielkie niedokładności w odczycieobserwowanych/mierzonych wielkości (skutków) mogą sprawić, że jakość odtworzeniaparametrów (przyczyn) od których wielkości te zależą będzie niska. Każdy problemodwrotny charakteryzuje się niepełnym opisem matematycznym. Brakująca informa-cja o warunkach brzegowych, parametrach lub geometrii musi być uzupełniona przezdane pochodzące np. z pomiarów. W rzeczywistych warunkach, dane takie obarczonesą błędami wynikającymi z ograniczeń urządzenia pomiarowego lub/oraz braku pre-cyzji w określeniu punktu w którym dokonano pomiaru. Złe uwarunkowanie zadaniaodwrotnego oznacza, że niedokładność danych, która może znacząco wpłynąć na roz-wiązanie problemu, musi zostać zneutralizowana na poziomie modelu lub za pomocąmetody wybranej do uzyskania rozwiązania.

Typowym podejściem do problemów odwrotnych jest wykorzystanie regularyzacji,mającej na celu ograniczenie wpływu błędów obarczających dane, na uzyskany wynik.Niestety w takim wypadku konieczny jest odpowiedni dobór parametrów regularyzacji,co często bywa problemem samym w sobie.W podjętch badaniach, do rozwiązywania problemu odwrotnego związanego z odtwo-rzeniem niestabilności w szybkości wyzwalania ciepła, zaproponowałam wykorzystaniemetody opartej na stochastycznym podejściu Bayesa, której cechą charakterystycznąi podstawową zaletą jest wykorzystywanie informacji o zaburzeniach danych jako do-datkowego źródła informacji.

10

Rysunek 3: Schemat rozważanego problemu

Sformułowanie

Oscylacje w tempie wyzwalania ciepła q występują w równaniu falowym w postaciczłonu źródłowego:

1c2∂2p

∂t2− ρ∇ ·

(1ρ∇p

)=κ− 1c2

∂q

∂t. (5)

gdzie c jest średnią prędkością dźwięku, ρ to średnia gęstość, a κ wykładnik izentro-py. Równanie (5) jest przykładem równania hiperbolicznego drugiego rzędu i odgrywakluczową rolę w modelu matematycznym opisującym zależność między oscylacjami ci-śnienia na ścianach komory spalania a szybkością wydzielania ciepła w jej wnętrzu.Subrahmanyam et al. zaproponował w artykule [5] model matematyczny omawianegozjawiska, dla geometrii przedstawionej na Rys. 3. W zaprezentowanym tam wypro-wadzeniu założono, że wszystkie zmienne fizyczne są funkcjami wyłącznie położenia(zmiennej x) wzdłuż osi komory spalania, a zmiany w pozostałych kierunkach są za-niedbywane. W konsekwencji główne równanie (5) jest jednowymiarowym równaniemróżniczkowym, z którego wraz z równaniami zachowania momentu i energii oraz rów-naniem stanu wyprowadzić można równanie różniczkowe drugiego rzędu dla amplitudyciśnienia akustycznego. Przy dodatkowym założeniu, że średnia prędkość przepływuw komorze spalania jest na początku stała, równanie (5) może być zapisane jako:

d2p

dx2+ Z1

dp

dx+ Z2p = Z3

(ikq +M

dq

dx

), (6)

gdzie

Z1 = − 2ikM1−M2

,

Z2 =k2

1−M2,

Z3 = −κ− 1c

.

(7)

W powyższych zależnościach M =u

coznacza liczbę Macha, k =

ω

cjest liczbą falową.

Zaproponowany model obowiązuje dla małej liczby Macha (M2 � 1).Układ równań (6)–(7), rozwiązany w ze względu na funkcję p, przy założeniu, że

właściwości fizyczne, geometria układu oraz wypływ ciepła q są znane, odgrywa rolętermoakustycznego modelu bezpośredniego rozważanego zjawiska.

11

Jeśli istnieje potrzeba rozwiązania równania (6) ze względu na funkcję q, co ozna-cza rekonstrukcję wydzielania ciepła w komorze spalania, układ równań (6) -(7) staje się(rekonstrukcyjnym) problemem odwrotnym. Informacją uzupełniającą model odwrot-ny są pomiary wahań ciśnienia, odczytywane na ścianach komory spalania. Oznacza to,że mierząc ciśnienie (efekt wywoływany przez wypływ ciepła w komorze) odtwarzamyprzyczynę jego powstawania.Tak sformułowany termoakustyczny problem odwrotny jest przykładem zadania silnieźle uwarunkowanego. Wysoka wrażliwość rozwiązania na błędy danych pomiarowychwymaga albo alternatywnego podejścia do sformułowania problemu albo wyboru wła-ściwej metody rozwiązywania problemu.

Łatwo zauważyć, że ze względu na funkcję q równanie (6) jest równaniem różniczko-wym zwyczajnym, które można rozwiązać analitycznie. Rozwiązanie takiego równa-nia istnieje i jest jedyne, jeśli tylko zdefiniowany zostanie warunek początkowy dla q.W omawianym problemie wystarczy założyć, że

q(0) = 0,

co ma uzasadnienie fizyczne związane z faktem, że na początku spalania nie występujeuwalnianie ciepła.Analitycznym rozwiązaniem równania (6), w postaci jawnej, jest:

q(x) =

= exp(−i · k

Mx

)(q(0) +MZ3

(−px(0) +

(i · kM− Z1

)p(0)

))+

+MZ3

(px(x)−

(i · kM− Z1

)p(x)

)+

+MZ3

−( k

M

)2− i · Z1

k

M+ Z2

x∫0

exp(i · kM

(ξ − x))p(ξ)dξ.

(8)

Niestety w formule (8), pojawia się całka z funkcji p oraz jej pochodna p′. Ponieważ in-formacja o ciśnieniu p pochodzi wyłącznie z pomiarów, w praktyce mamy do dyspozycjiskończony zbiór danych dyskretnych, nie zaś funkcję w formie wymaganej do całkowa-nia lub różniczkowania analitycznego. Oznacza to, że rozwiązanie (8) jest w praktycebezużyteczne.

W stosunkowo nielicznej literaturze na ten temat, znaleźć można różne podejścia dosformułowanego powyżej problemu odwrotnego. Proponuje się przekształcenie równa-nia różniczkowego (6) do równania całkowego Voltera pierwszego rzędu albo równaniaFredholma lub wykorzystanie podejścia numerycznego wspartego regularyzacją [6].Mała liczba publikacji skłoniła mnie do podjęcia tematu i rozwiązania postawionegoproblemu odwrotnego, przy wykorzystaniu podejścia odmiennego od metod prezento-wanych w literaturze.

12

Podejście Bayesa

Przyrządy pomiarowe, nawet najwyższej jakości, dostarczają zaburzonych danych. Źró-dłem tych zaburzeń jest samo urządzenie, ale także problem z precyzyjnym określeniemwspółrzędnych geometrycznych punktu, w którym pomiary są odczytywane. Staran-ność badacza może podnieść dokładność pomiaru, ale nie ulega wątpliwości, że istniejeniezgodność odczytanych danych z wartościami rzeczywistymi i zwykle jest ona uwa-żana za czynnik utrudniający znalezienie prawidłowego rozwiązania. Zazwyczaj klasaurządzenia umożliwia określenie rozkładu błędu pomiarów, a także jego parametry, cowykorzystane może zostać przy rozwiązywaniu problemu odwrotnego za pomocą po-dejścia Bayesa. W przeciwieństwie do innych metod, w podejściu tym probabilistycznainformacja o zakłóceniach danych pomiarowych (o maksymalnej wielkości oraz rozkła-dzie błędów) jest aktywnie wykorzystywana w procedurze rozwiązującej i traktowanajako dodatkowe źródło informacji. Ważnym założeniem metody jest to, że zarówno po-miary Y, jak i odtwarzane parametry P, traktowane są jako zmienne losowe, dziękiczemu uwzględnić można niepewność pomiarów w rozwiązaniu problemu odwrotnego.

W podejściu Bayesa, procedura rozwiązująca realizowana jest zgodnie z następującymschematem (szczegółowy opis metody opublikowano w [?]).

� W pierwszym kroku, bazując na dostępnych informacjach o poszukiwanych para-metrach P = [p1, p2, · · · , pN ], wybiera się funkcję π(P) opisującą rozkład gęstościparametrów, jest to tzw. informacja a priori.Każde badane zjawisko fizyczne lub technologia wymaga zbudowania modelu ma-tematycznego który odpowiada rzeczywistemu zachowaniu danego systemu. Dotego niezbędna jest dogłębna analiza fizyki zjawiska, na podstawie której, zazwy-czaj nie jest trudno określić ograniczenia i/lub rozkłady parametrów, które chcemyodtworzyć.Jeśli wiadomo, że ∀j : pj ∈ [αl,j, αu,j] oraz spodziewamy się, że parametry pj mająrozkład równomierny w przedziałach [αl,j, αu,j], to:

π(P) =

1

N∏i=1

(αu,i−αl,i), P ∈ 〈αl, αu〉

0, w przeciwnym wypadku

. (9)

Jeśli oczekujemy innego rozkładu parametrów (np. normalnego), funkcję π(P) do-biera się odpowiednio do niego.

� Następny krok polega na wybraniu funkcji prawdopodobieństwa warunkowegoπ(Y|P), która modeluje błędy pomiaru i określa odpowiedź modelu matematycz-nego rozważanego zjawiska na zmiany parametrów P.W tym etapie procedury chodzi o określenie szansy uzyskania wartościY (pomiaru)dla ustalonych wartości P (estymowanych wielkości)1. Gęstość takiego prawdopo-dobieństwa określa się często na podstawie następującego wzoru:

π(Y|P) =1√

(2π)L|W|exp

[−1

2(Y −T(P))TW (Y −T(P))

], (10)

1π(Y|P) określa, jakie jest prawdopodobieństwo, że mając P uzyska się Y

13

gdzie W jest macierzą kowariancji pomiarów, L to liczba pomiarów, a T(P) towektor wielkości wyznaczonych (w punktach w których odczytywane są pomiary)w modelu bezpośrednim dla ustalonego P. Formuła (10) jest najczęściej używana,ponieważ w rzeczywistych warunkach błędy pomiarowe mają zazwyczaj rozkładnormalny. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby w uzasadnionych przypadkachwykorzystywać inne rozkłady.

� Ostatnim krokiem proponowanego podejścia jest określenie informacji a posterioriczyli wyznaczenie funkcji gęstości π(P|Y), określającej rozkład prawdopodobień-stwa warunkowego, uzyskania parametrów P pod warunkiem, wykorzystania da-nych pomiarów Y. Wyznaczenie π(P|Y) teoretycznie nie jest trudne, ponieważzgodnie z klasycznym twierdzeniem Bayesa, jeśli P i Y są ciągłymi zmiennymilosowymi:

π(P|Y) =π(Y|P)π(P)

π(Y). (11)

W powyższym równaniu, prawdopodobieństwo π(Y) odgrywa rolę czynnika nor-malizującego, dlatego twierdzenie Bayesa można zapisać także jako:

π(P|Y) ∝ π(Y|P)π(P), (12)

gdzie symbol ∝ oznacza proporcjonalność.Wartość oczekiwaną rozkładu π(P|Y) interpretuje się jako najbardziej prawdopo-dobne wartości odtwarzanych parametrów, pod warunkiem że wykorzystano po-miary Y. Wartość oczekiwana jest traktowana jako rozwiązanie Popt rozważanegoproblemu odwrotnego.Niestety, w praktyce analityczne opisanie gęstości prawdopodobieństwa a posterioriπ(P|Y) nie zawsze jest możliwe. Dlatego na tym etapie zazwyczaj wykorzystuje siępodejście numeryczne, polegające na wygenerowaniu łańcucha Markowa któregokolejne stany P(t) próbkowane są zgodnie z zadanym rozkładem π(P|Y). Śred-nia arytmetyczna stanów wygenerowanego łańcucha traktowana jest jako wartośćoczekiwana rozkładu. Do generowania łańcuchów Markowa o zadanym rozkładzienajczęściej wykorzystuje się algorytmy z grupy MCMC (Monte Carlo Markow Cha-in methods). Szczegóły pracy takiego algorytmu opublikowane zostały w [IN3].

Możliwość wykorzystania informacji o błędach obciążających pomiary jest główną zale-tą podejścia Bayesa. Poprzez konstrukcję modelu probabilistycznego oraz użycie twier-dzenia Bayesa, metoda ta wykorzystuje w obliczeniach informacje nieistotne (a częstonawet niekorzystne) z punktu widzenia innych metod. Kolejną zaletą jest brak koniecz-ności doboru wielu parametrów, które decydują o jego skuteczności. Jedną z głównychwad podejścia Bayesa jest czas potrzebny do budowy łańcucha Markowa o odpowiedniejdługości. Duża czasochłonność, typowa dla metod opartych na modelach probabilistycz-nych, rekompensowana jest możliwością rozwiązania nawet silnie źle uwarunkowanychzadań.

Podsumowanie

Możliwości i skuteczność podejścia Bayesa do rozwiązywania problemów odwrotnych,przeanalizowałam m.in. na podstawie dwóch problemów termoakustycznych.

14

Pierwsze zadanie było tzw. eksperymentem numerycznym. Na podstawie funkcji re-ferencyjnej qref , w zadaniu bezpośrednim, wyznaczano na ścianach komory spalaniaciśnienie pref . Następnie, funkcję pref , wykorzystano do wygenerowana danych, którepo obciążeniu błędami pseudolosowymi, pełniły rolę pomiarów ciśnienia na ścianachkomory. Zadanie odwrotne polegało na rekonstrukcji funkcji qref na podstawie danychwygenerowanych z funkcji odniesienia pref .

Przyjmując jako funkcję referencyjną:

qref (x) = 3 000 · sin ((2π − 1) · x) , x ∈ 〈0, 1〉 , (13)

gdzie M = 0.1, k = 0.5 i κ = 1.2, i rozwiązując rozwiązanie równania (6) wyznaczonofunkcję rozkładu ciśnienia pref . Dla tak otrzymanego rozwiązania obliczono wartościciśnienia w ustalonych punktach pomiarowych. Wybrane i obarczone błędem pseu-dolosowym wartości od tego momentu traktowano jako zestaw danych pomiarowychYδ = (yδ1, y

δ2, · · · , yδL). Taka procedura jest standardowym podejściem w eksperymen-

tach numerycznych, których głównym celem jest weryfikacja poprawności pracy meto-dy.

W analizowanym problemie zakładano, że rozwiązania poszukuje się w postaci:

qpred(x) = 1000 · p1 · sin(p2 · x), (14)

gdzie poszukiwane parametry p1, p2 są składowymi wektora P. Postać funkcji qpreddobrano tak, aby jak najwłaściwiej ocenić skuteczności proponowanej metody. Rekon-struowanie wyzwalania ciepła, w postaci funkcji znacznie odbiegającej of funkcji refe-rencyjnej, mogłoby wprowadzić niepewność co do źródła niedokładności rozwiązania.

Syntetyczne dane pomiarowe wygenerowano przez dodanie błędów pseudoloso-wych o rozkładzie normalnym N (′, δ). Obliczenia przeprowadzono dla różnych zesta-wów danych wygenerowanych odpowiednio dla δ = 0.002, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, co pouwzględnieniu wartości funkcji pref daje błędy odpowiednio na poziomie 0.2%, 1%, 2%,5%, 10% i 20%.Założono, że oba estymowane parametry należą do przedziału 〈0, 10〉 i że mają w nimrozkład jednorodny. W celu rekonstrukcji wektora P, wykorzystywano L = 51 pomia-rów. Obliczenia zatrzymywano po wygenerowaniu łańcucha Markowa składającego sięz 500 stanów.

Tabela 3: Wyniki uzyskane w 1. eksperymencie numerycznym

δ (p1, p2) errδ(2)

ref (0.3, 5.283)

0.002 (0.3007, 5.388) 0.0220.01 (0.2993, 5.5104) 0.0450.02 (0.2916, 5.4686) 0.0630.05 (0.2883, 5.6372) 0.1060.1 (0.3068, 5.1213) 0.0530.2 (0.3143, 5.8584) 0.156

2errδ =2∑j=1

|pj−prefj |prefj

15

Tabela 3 przedstawia wyniki uzyskane dla różnych wartości δ, w porównaniu dowartości (0, 3, 2π − 1) ≈ (0, 3, 5, 283) wykorzystanych do generowania pomiarów. Narys. 4 przedstawiono graficzną ilustrację rozwiązania dla δ = 0.05 (co odpowiada błę-dom na poziomie 5%). Na lewym wykresie przedstawiono porównanie funkcji qref (liniaprzerywana) ze rekonstruowaną qpred. Wykres środkowy to funkcja pref (linia przerywa-na), dane pomiarowe (kropki) i ppred będące rozwiązaniem równań (5) z odtworzonymqpred. Wykresy po prawej to łańcuchy Markowa generowane dla obu odtwarzanych pa-rametrów. Wartości oczekiwane wygenerowanych rozkładów oznaczone są przerywanąlinią.

Rysunek 4: Wyniki uzyskane w 1. eksperymencie numerycznym dla δ = 0.05

Na podstawie przedstawionych wyników stwierdzić można, że rekonstrukcja wy-zwalania ciepła jest zadowalająca, niezależnie od poziomu błędów pomiaru. Wykresśrodkowy pokazują, że dzięki podejściu bayesowskiemu wykorzystującemu informacjęo błędzie danych, rekonstrukcja rozkładu ciśnienia na ściankach komory spalania jestzasadniczo zadowalająca.

W następnym kroku badano wpływ liczby pomiarów, na jakość rozwiązania pro-blemu odwrotnego. W tym celu ustalono, że wszystkie zestawy danych pomiarowychgenerowane są z δ = 0.05, a zmienna jest liczba pomiarów wykorzystywanych w oblicze-niach. Wyniki uzyskane w testach numerycznych przedstawiono na Rys. 5, gdzie zre-konstruowaną funkcję qpred dla różnych ilości danych pomiarowych zestawiono z funkcjąreferencyjną qref .

Rysunek 5: Funkcja qpred odtworzona za pomocą różnej liczby pomiarów (qref – niebieska,L = 21 – żółta, L = 51 – zielona, L = 101 – czerwona)

Łatwo zauważyć, że przy rosnącej liczbie pomiarów rekonstrukcja jest lepsza. Takasytuacja z jednej strony wydaje się być naturalna, bo większa liczba danych dostępnych

16

w obliczeniach powinna dawać lepsze wyniki. Z drugiej strony, należy jednak zauważyć,że każdy pomiar niesie błąd, który po zsumowaniu może znacząco wpłynąć na uzyska-ne wyniki. Z tego powodu, w przypadku problemów odwrotnych, duże ilości danychnależy wykorzystywać ostrożnie. Taki problem nie istnieje w podejściu bayesowskim,które bierze pod uwagę niedokładności pomiarów. Metoda „wie”, że dane są obarczonebłędami i w sposób aktywny wykorzystuje tą informację. Dzięki temu większa liczbapomiarów przekłada się na lepsze rezultay, nawet w przypadku problemów źle uwa-runkowanych (takich jak rozpatrywany problem), które są szczególnie czułe na jakośćdanych pomiarowych.

Drugi przykład pochodzi z pracy [6]. W zadaniu tym oscylacyjne uwalnianie ciepłaq jest odtwarzane przy wykorzystaniu, obciążonych błędem pseudolosowym, wartościfunkcji p opisującej ciśnienie na ścianie komory spalania. Na podstawie znanej funkcjipref , funkcję q wyznaczyć można analitycznie [IN3].Istnienie rozwiązania analitycznegopozwala ocenić metodę numeryczną zastosowaną dla rozwiązania problemu odwrotne-go i porównać rezultaty z wynikami uzyskanymi w pracy, z której pochodzi zadanie.

Graficzną ilustrację rozwiązania w przypadku gdy δ = 0.2 przedstawiono na rys. 6(wykresy należy interpretować dokładnie tak, jak w poprzednim przykładzie).

Rysunek 6: Wyniki uzyskane w 2. eksperymencie numerycznym dla δ = 0, 2.

Przedstawione powyżej rozwiązanie pokazuje satysfakcjonującą rekonstrukcję funkcjiq, opisującą wahania wydzielania ciepła w komorze. Pomimo stosowania zaburzonegopomiaru ciśnienia na ściankach komory spalania, błąd rekonstrukcji jest w pełni akcep-towalny. Należy również zauważyć, że w przeciwieństwie do wcześniejszego problemu,łańcuch Markowa zbudowany w procesie iteracyjnym jest tutaj mniej rozproszony.Wynika to z warunków, w których generowane stany łańcucha są akceptowane. W roz-patrywanym problemie odwrotnym relatywnie rzadko pojawiają się stany uznane zawartościowe z punktu widzenia problemu, co nie zmienia faktu, że uzyskane rozwiąza-nia są w pełni satysfakcjonowane i nie różnią się od wyników uzyskanych w pracachz których pochodzi przykład.Wszystkie szczegóły dotyczące obliczeń oraz pozostałe wyniki opublikowano w pracy[IN3]. Obliczenia bezpośrednie oraz rozwiązanie problemu odwrotnego uzyskano przywykorzystaniu moich własnych procedur napisanych w języku Fortran oraz systemieWolfram Mathematica.

17

I.3.4 Optymalizacja wielokryterialna w termoakustyce

Doświadczenie zdobyte podczas pracy nad modelowaniem silnika termoakustycznegozaowocowało sformułowaniem kolejnego tematu badań. Tym razem podjęłam się roz-wiązania problemu wielokryterialnego polegającego na optymalizacji geometrii silnikatermoakustycznego, której celem była maksymalizacja pracy urządzenia przy równo-czesnej minimalizacji strat ciepła.

Podstawowym celem jaki stawia się na etapie projektowania każdego urządze-nia, nie wyłączając urządzeń termoakustycznych, jest takie zaplanowanie jego budowy,które zapewnia najbardziej wydajne funkcjonowanie. W przypadku silnika termoaku-stycznego, zwykle chodzi o maksymalizację wykonywanej przez niego pracy przy rów-noczesnej minimalizacji strat ciepła. Choć koncepcja konstrukcji silnika oraz sprężarkitermoakustycznej nie jest nowa (pierwszy silnik opisany został przez Stirlinga w 1816)prostota ich budowy sprawia, że od pewnego czasu rośnie zainteresowanie tego typuurządzeniami. Mogą być one wykorzystywane np. w układach scalonych jako pompyciepła lub chłodziarki punktowe elementów obwodu, jako tanie generatory prądu dlaobszarów wiejskich lub inne urządzenia oszczędzające energię. Właściwe zaprojekto-wanie budowy nie tylko pozwala podnieść sprawność, ale także dostosować urządzeniedo warunków, w których ma ono pracować. Dzięki optymalizacji, spektrum zastosowańurządzeń termoakustycznych może być bardzo szerokie.

Możliwości jakie niesie ze sobą modelowanie numeryczne, dając m.in. szansę naocenę rozwiązania bez konieczności budowania prototypu, są współcześnie powszech-nie wykorzystywane na etapie projektowania. Wraz z odpowiednio dobranymi metoda-mi optymalizacyjnymi, modelowanie pozwala na znalezienie rozwiązań podnoszącychsprawność lub poprawiających parametry pracy na których zależy projektantowi.Głównym celem moich badań podjętych w tym zakresie, było znalezienie zbioru roz-wiązań optymalnych w sensie Pareto, czyli równoważnych wariantów kompromisu po-między wzajemnie sprzecznymi celami: maksymalizacją pracy i minimalizacją stratciepła. Do tego zadania zaproponowałam wykorzystanie heurystyki populacyjnej zdol-nej do równoczesnego znajdowania wielu takich rozwiązań. Nawet najlepiej prowadzo-na optymalizacja wielokryterialna nie jest w stanie wyznaczyć wszystkich możliwychrozwiązań. Dlatego drugim celem mojej pracy było rozwiązanie problemu odwrotnegopolegającego na odtworzeniu geometrii stosu silnika, dla takich rozwiązań, o którychwiadomo, że leżą na froncie Pareto, ale nie zostały znalezione w optymalizacji wielokry-terialnej. W pracy zaproponowałam użycie heurystyki Real Ant Colony Optimization(RACO) do wyznaczania rozwiązań p-optymalnych oraz podejście Bayesa jako metodęrozwiązania problemu odwrotnego. Obie metody optymalizacyjne wykorzystują modelprobabilistyczny, dzięki czemu przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań dopuszczalnychjest bardziej wydajne.

Do obliczeń optymalizacyjnych przyjęłam model silnika termoakustycznego zapropo-nowany przez Trapp et.all. w [7]. Jest to dwuwymiarowy nieliniowy model silnika ter-moakustycznego fali stojącej.Budowa i położenie stosu, kluczowego elementu każdego urządzenia termoakustyczne-go, ma istotny wpływ na pracę silnika. Wraz ze wzrostem długości stosu, maleniem

18

Rysunek 7: Model silnika termoakustycznego przyjęty do optymalizacji

odległości od zamkniętego końca tuby rezonansowej, a także wzrostem promienia rezo-natora rośnie praca wykonywana przez urządzenie, ale także rosną straty ciepła [7].

W pracy, głównym celem było znalezienie takich wartości parametrów konstruk-cyjnych L - długość stosu, H - promień tuby rezonacyjnej oraz Z - położenie lewegokońca stosu (Rys.7), aby wyznaczyć kompromis pomiędzy wzajemnie sprzecznymi kry-teriami: maksymalizacji pracy silnika przy równoczesnej minimalizacji strat ciepła.Formalnie funkcja celu Φ przyjmuje w tym zadaniu postać:

Φ: R3 −→ R2,

Φ(L,Z,H) = (W,−Qall) −→ max,(15)

gdzie zmienne decyzyjne to L, Z oraz H, a kryteria ze względu na które prowadzonajest optymalizacja to praca W (maksymalizacja) oraz strumień ciepła Qall (minimali-zacja).

W przyjętym modelu, praca silnika termoakustycznego obliczana jest wg następującegowzoru [7]:

W = ω

[δk

(γ − 1)p2

ρc2(1 + ε)(Γ− 1)− δνρu2

]LNdc , (16)

podczas gdy straty ciepła

Qall = Qconv +Qcond +Qrad , (17)

gdzie poszczególne strumienie ciepłą oblicza się za pomocą przybliżonych formuł:

Qconv = 2πHLh

Th

ln(TcTh

) (TcTh− 1

)− T∞

, (18)

Qcond =kzzLπH2Tc ln

(ThTc

), (19)

19

Qrad = 2πHLkbε

T 4h

(e4 ln(TcTh

)− 1

)4 ln

(TcTh

) − T 4∞

. (20)

Warto zwrócić uwagę, że pomimo aproksymacji (18)-(20), model matematyczny pozo-staje nieliniowy. Wszystkie szczegóły dotyczące modelu, a także wartości parametrówniezbędnych do określenia wielkości optymalizowanych, opublikowane zostały w [IN1].

Ze względu na symetrię osiową silnika, obliczenia prowadzono w dziedzinie dwuwymia-rowej (Rys. 7). W modelu zakładano stałą temperaturę na obu końcach stosu (Th -temperatura gorącego końca, Tc - temperatura zimnego końca) oraz swobodną kon-wekcję i promieniowanie do otoczenia (w T∞). Struktura stosu (liczba kanałów i ichpromienie są stałe) była również ustalona, a na zmienne decyzyjne nakładano ograni-czenia wynikające z geometrii rezonatora.

Ponieważ zmienne decyzyjne, będące tutaj zmiennymi geometrycznymi stosu, wpły-wają sprzecznie na oceniane kryteria, sformułowane powyżej zadanie jest problememdwu-kryterialnym. W pracy do jego rozwiązana zdecydowałam się wykorzystać mody-fikację algorytmu mrówkowego RACO. Jako heurystyka populacyjna, metoda ta dosko-nale nadaje się do równoczesnego wyznaczania wieloelementowego zbioru zawierającegorównoważne warianty rozwiązań leżących na froncie Pareto, z których każdy reprezen-tuje kompromis pomiędzy obydwoma kryteriami.

W zadaniach wielokryterialnych, optymalizacja prowadzona jest w podzbiorze zbioruRm, w którym nie definiuje się w sposób naturalny relacji porządkującej. To sprawia, żeporównywanie pomiędzy sobą poszczególnych wartości funkcji celu Φ nie jest możliwe.Ponieważ pojęcie optymalizacji, ze swej natury polegające na poszukiwaniu najlepsze-go rozwiązania, wymaga możliwości porównania i jednoznacznej oceny poszczególnychwariantów, w optymalizacji wielokryterialnej, wprowadza się relację dominacji, którama pomóc w porównywaniu poszczególnych rozwiązań. Mówimy, że punkt x dominujey (lub y jest zdominowany przez x), co jest oznaczane jako x ≺ y, jeśli:

∀ k = 1, . . . ,m; ϕk(x) ¬ ϕk(y) ∧ ∃ k ∈ {1, . . . ,m} ϕk(x) < ϕk(y), (21)

gdzie ϕi oznacza i-te kryterium (i-tą składową wektora wartości funkcji celu Φ(x) =[ϕ1(x), . . . , ϕn(x)] ). Relacja dominacji wprowadza pewnego rodzaju porządek w zbio-rze Rm, zgodnie z którym rozwiązanie zdominowane traktowane jest jako „gorsze” wporównaniu z rozwiązaniem dominującym. Łatwo zauważyć, że będzie istniała gru-pa rozwiązań, które nie są zdominowane i których wzajemnie nie można między sobąporównać. W ramach tego zbioru, rozwiązania traktowane są jako równoważne, ponie-waż każde z nich jest „lepsze” od innych ze względu na co najmniej jedno kryteriumi równocześnie „gorsze” ze względu na inne.W wyniku dobrze prowadzonej optymalizacji wielokryterialnej, wszystkie rozwiązania(lub znakomita ich większość) ułożą się w warstwie rozwiązań niezdominowanych, wy-znaczając tzw. front Pareto. Front Pareto definiuje się jako zbiór, do którego należą

20

wszystkie możliwe (i równoważne) warianty rozwiązania problemu wielokryterialnego.Ponieważ zawiera on zwykle nieskończenie wiele rozwiązań, znalezienie ich wszystkichnie jest w praktyce możliwe. Celem optymalizacji, jest zatem znalezienie możliwie jaknajliczniejszej (skończonej) grupy punktów niezdominowanych leżących na tym froncie.Jest to zbiór SpOpt – zbiór rozwiązań p-optymalnych (optymalnych w sensie Pareto).Mając do dyspozycji wiele równoważnych, optymalnych w sensie Pareto wariantówrozwiązania, badacz (np. przed ostatecznym wybrania rozwiązania do realizacji) mamożliwość ich dalszej oceny wykorzystując dodatkowe (np. nieliczbowe) kryterium.

Niejednoznaczność rozwiązania problemu wielokryterialnego sprawia, że w tego typuzadaniach do równoczesnego poszukiwania wielu wariantów rozwiązania wygodnie jestwykorzystywać heurystyki populacyjne. Techniki takie przeszukują przestrzeń wyko-rzystując populację agentów, co pozwala na równoczesne znalezienie wielu punktówna froncie Pareto. Odpowiednia modyfikacja takich metod jak algorytm ewolucyjny,algorytm optymalizacji rojem cząstek lub innej heurystyki populacyjnej powinna byćdobrym narzędziem do optymalizacji tego typu problemów.

W swojej pracy do wyznaczenia rozwiązań p-optymalnych wykorzystałam zmodyfiko-waną Real Ant Colony Optimization, jedną z heurystyk inspirowanych zachowaniemkolonii mrówek.

Real Ant Colony Optimization

Oryginalna wersja Real Ant Colony Optimization zaproponowana została przez Sochai Dorigo w pracy [8]. Idea algorytmu polega na tworzeniu tzw. plam feromonowych (ichrolę pełnią propozycje rozwiązań) o jak największej intensywności, przy czym intensyw-ność plamy związana jest z jakością rozwiązania, które ona reprezentuje. W pojedyn-czym kroku iteracyjnym nowe, lepsze rozwiązania powstają w wyniku pracy mrówek,z których każda nakłada nowy ślad feromonowy, czyli tworzy nową propozycję rozwiąza-nia. Działanie mrówek jest losowe, ale ich wybory odbywają się zgodnie z odpowiednimmodelem probabilistycznym, którego budowa jest kluczową częścią RACO.

Na potrzeby optymalizacji wielokryterialnej zaproponowałam modyfikację RACOpolegającą na zastąpieniu standardowej selekcji, selekcją rankingową zależną od przy-należności do warstwy rozwiązań niezdominowanych. Rozwiązania w populacji bieżącejdzieli się na warstwy, w ramach których rozwiązania są wzajemnie niezdominowanch.O pozycji rozwiązania na liście rankingowej decyduje numer warstwy, na której sięono znajduje. Przyjęłam ponadto, że sukcesja polega na zachowaniu ustalonej liczbynajlepszych plam (rozwiązań) w danej iteracji i „odparowaniu” pozostałych. Procestworzenia nowych rozwiązań jest identyczny jak w oryginalnej wersji RACO.

Badania wstępne, dotyczące testowania zmodyfikowanego algorytmu RACO oraz szcze-góły tej heurystyki zaprezentowałam podczas konferencji NHT2015, Eurotherm Semi-nar No109 w Warszawie. Referat po uzupełnieniu wydano jako [IN4].

Real Ant Colony Optimization pracę rozpoczyna od inicjalizacji, w której okre-śla się parametry algorytmu oraz generuje początkowe archiwum t plam feromonowych

21

(rozwiązań); plamy są porządkowane wg ich jakości, co w przypadku wielokryterialnymoznacza podział na warstwy rozwiązań niezdominowanych.W głównej pętli iteracyjnej, powtarzanej do momentu spełnienia kryterium zatrzy-mania, nowe rozwiązania powstają jako efekt pracy mrówek. Mrówka o numerze ilosowo wybiera j-te rozwiązanie („plamę” feromonową) z prawdopodobieństwem

pj =ωjk∑l=1

ωl

, (22)

gdzie ωj jest wagą rozwiązania j, określaną za pomocą funkcji Gaussa g(µ, ρ) = g(1, qk)(k – liczba plam, q – parametr), czyli

ωj =1

qk√

2π· e−(j−1)2

2q2k2 . (23)

Wagi reprezentują „intensywność” feromonu, a zgodnie z ideą heurystyki, mrówki pre-ferują miejsca bardziej nasycone feromonami. Wykorzystanie funkcji (23) zapewniaponadto, że wagi ωj przyjmowały będą wyłącznie wartości dodatnie, co ma znaczenieprzy ustalaniu wartości pj wg (22).W następnym kroku mrówki próbkują podprzestrzeń w otoczeniu wybranej plamy,zgodnie z rozkładem Gaussa. Prawdopodobieństwo, że r-ta współrzędna nowej plamyprzyjmie wartość xr określane jest wg następującej zależności:

p(xr) = g(xr, µ, σ) =1

σ√

2πe−(xr−µ)2

2σ2 , (24)

gdzie wartość oczekiwana µ = srj jest r-tą współrzędną wybranej przez mrówkę plamy,

a odchylenie standardowe σ = ξk∑p=1

|srp−srj |k−1 jest równe średniej odległości r-tej składo-

wej wybranej plamy od r-tych składowych pozostałych palm w populacji. Dzięki temu,na początku procesu iteracyjnego, kiedy plamy są mocno rozproszone, duże odchy-lenie standardowe sprzyja poprawnej eksploracji przestrzeni. Na późniejszym etapieobliczeń, tak określana σ wymusza eksploatację, czyli zwiększenie dokładności wyni-ku. Konstrukcja jest powtarzana dla każdej z m mrówek (powstaje m nowych plamferomonowych). Wykorzystanie funkcji Gaussa sprawia, że nowe rozwiązania nie sąpróbkowane z rozkładem równomiernym, ale powstają w rejonach rozpoznawanych ja-ko obiecujące.Jak wspomniano, modyfikacja metody dla optymalizacji wielokryterialnej polega nazastąpieniu standardowej selekcji, selekcją rankingową, w której ranga rozwiązania za-leży od przynależności do danej warstwy rozwiązań niezdominowanych i założenia, żeoperacja sukcesji zachowuje najlepsze plamy w iteracji i „odparowuje” pozostałe.

Taka zmiana powoduje, że najlepiej oceniane są rozwiązania niezdominowaneleżące w pierwszej warstwie, a heurystyka pracuje tak, aby jak najwięcej rozwiązańnależało do tej grupy. Plamy feromonowe przesuwają się w kolejnych iteracjach, abyuniknąć zdominowania, co sprawia, że ostatecznie układają się one na froncie Pareto.Jako kryterium zatrzymania przyjmuje się zwykle moment w którym wszystkie plamyferomonowe należą do jednej, nieprzesuwającej się warstwy. Uzyskane w ten sposóbpunkty traktuje się jako rozwiązania p-optymalnie należące do zbiorze SpOpt.

22

Zaprezentowana powyższa metoda może być alternatywą np. dla algorytmu ewo-lucyjnego ze względu na bardziej zaawansowany model przeszukiwania przestrzeni. Mo-del probabilistyczny sterujący generowaniem nowych propozycji rozwiązań jest bardziejwydajny od schematu stosowanego w AE [8].

Przyjmuje się, że uzyskany w wyniku optymalizacji skończony zbiór SpOpt to gru-pa rozwiązań leżących na froncie Pareto czyli zbiór punktów, których współrzędnereprezentują wartości kryteriów ze względu na które prowadzono optymalizację. Wartozauważyć, że tylko dla rozwiązań ze zbioru SpOpt (skutków czyli wartości funkcji Φ)znane są wartości zmiennych decyzyjnych (argumenty, czyli estymowane parametry L,Z oraz H), które są przyczyną rozwiązania optymalnego. Niestety, znalezione rozwiąza-nia p-optymalne często „układają się” nierównomiernie na froncie. Choć odpowiednioliczna reprezentacja frontu Pareto pozwala zwykle określić jego przybliżony kształt,wiele punktów na froncie Pareto jest pominiętych [9],[IN4]. Jeśli, z jakich powodów, in-teresujące okazałoby się rozwiązanie leżące na froncie, ale nie należące do zbioru SpOpt,nie można określić dla jakich parametrów zostałoby ono uzyskane.

Odtworzenie zmiennych decyzyjnych dla rozwiązań nienależących do zbioru SpOptjest przykładem problemu odwrotnego wymagającym osobnego rozważenia.

Problem odwrotny

Z problemami odwrotnymi spotykamy się wszędzie tam, gdzie na podstawie skutkuodtworzyć należy wywołujące go przyczyny.

Próba odtworzenia parametrów geometrycznych silnika termoakustycznego, takaby wywoływały one ustaloną, znaną wartość jego pracy oraz strat ciepła, jest przykła-dem rekonstrukcyjnego problemu odwrotnego. Oczywiste jest, że sensowne i najbardziejinteresujące jest odtwarzanie parametrów dla par (W,Qall), optymalnych w sensie Pare-to. Jeśli znany jest przybliżony kształt frontu, dzięki rozwiązaniu problemu odwrotnego,uzyskać można dostęp do każdego rozwiązania optymalizowanego problemu wielokry-terialnego. Wyznaczony kształt frontu Pareto jest aproksymowany na podstawie kilku,kilkunastu punktów, dlatego informację na temat wartości (W,Qall) punktu do niegonależącego, traktować należy jako informację niepewną lub zaburzoną.

W rozważanym przeze mnie problemie, zadanie odwrotne polega na określeniu dla ja-kich wartości L, Z oraz H, strata ciepła Qall oraz praca W silnika termoakustycznegoprzyjmowały będą określone wartości. Dzięki znajomości wcześniej aproksymowanegokształtu frontu Pareto wiadomo jaki kompromis pomiędzy nimi może być brany poduwagę i dla jakich wartości W i Qall należy szukać geometrii silnika. Sformułowanieproblemu odwrotnego na pierwszy rzut oka nie różni się od sformułowania bezpośred-niego, które zaprezentowano wcześniej. Z matematycznego punktu widzenia jest tojednak problem zupełnie innego rodzaju, ponieważ wymaga on rozwiązania ze względuna inne zmienne.

Do odtworzenia L, Z i H na podstawie W i Qall, zdecydowałam się ponowniewykorzystać heurystykę populacyjną wzbogaconą o informacje stochastyczne. Dobredoświadczenia z wcześniejszej pracy spowodowały, że także do tego problemu zastoso-wałam podejście Bayesa, metodę która wykorzystuje aktywnie informację o rozkładzie

23

zaburzeń obarczających dane. Podejście to dobrze sprawdza się we, wrażliwych na dane,problemach odwrotnych [IN2],[10].

Podsumowanie

W testach numerycznych przyjęto, że estymowane wielkości mogą przyjmować wartościodpowiednio z przedziałów Z ∈ 〈0.01, 0.9〉, L ∈ 〈0.01, LTAE − Z〉, H ∈ 〈0.05, 0.5〉,co podyktowane zostało możliwościami konstrukcyjnymi silnika. Pozostałe szczegółyprzyjęte w modelu, w tym wartości parametrów fizycznych, opublikowano w [IN1].

Optymalizację prowadzono wykorzystując algorytm mrówkowy, w którym w każ-dej iteracji generowano 20 plam feromonowych nakładanych przez 20 mrówek. Procesiteracyjny prowadzono do uzyskania 100% plam w zbiorze rozwiązań niezdominowa-nych, ale nie krócej niż przez 100 iteracji. Uzyskany dzięki temu zbiór SPopt traktowanojako zbiór rozwiązań wyznaczających front Pareto.

Rysunek 8: Rozwiązania niedominowane na tle początkowej populacji plam feromonowych

Na rysunku 8 zaprezentowano przykładowe rozwiązanie zagadnienia. Na lewymwykresie przedstawiono punkty reprezentujące wartości kryteriów dla populacji star-towej (czarne punkty) oraz punkty ze zbioru SpOpt czyli uzyskane rozwiązania p-optymalne (zielone okręgi). Ciągła zielona linia to front aproksymowany wielomianem3 stopnia (na podstawie SpOpt). Do aproksymacji wykorzystano standardowe narzędziedostępne w Wolfram Mathematica.

Na prawym wykresie zaprezentowano aproksymacje frontów Pareto wyznaczo-ne na podstawie zbiorów rozwiązań niezdominowanych uzyskanych dla kilku różnychuruchomień optymalizacji wielkoryterialnej. Łatwo zauważyć, że wyznaczone fronty sąniemal identyczne, co dowodzi, że znalezione zbiory rozwiązań niezdominowanych wy-znaczają rozwiązania Pareto-optymalne.Sformułowany wcześniej problem odwrotny rozwiązywano w celu uzyskania wartości L,Z iH dla rozwiązań leżących na froncie Pareto ale nie należących do zbioru SPopt. Przyj-mowano, że L, Z i H są zmiennymi losowymi o rozkładzie równomiernym odpowiedniow przedziałach L ∈ 〈0.01, 0.9〉, Z ∈ 〈0.1, 0.9 − L〉 oraz H ∈ 〈0.05, 0.5〉. W związkuz tym, że krzywa opisująca front Pareto wyznaczona została poprzez aproksymację,zakładano, że wielkości dane, tzn. odczytane z frontu punkty o współrzędnych W i Qall

są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym odpowiednio N (W ∗, 0.1) i N (Q∗, 0.1),gdzie W ∗ i Q∗ to współrzędne punktu leżącego dokładnie na aproksymowanym froncie.

24

W zadaniu odtwarzano 3 konfiguracje L, Z i H dla punktów leżących na aprok-symowanym froncie Pareto. Pierwszy z punktów należy do zbioru SpOpt, a odtworzenieparametrów silnika wykonano w celu weryfikacji podejścia Bayesa jako metody rozwią-zywania problemu odwrotnego. Kolejne dwa przypadki, to punkty leżące na aproksymo-wanym froncie Pareto, ale nie należące do zbioru rozwiązań uzyskanych w optymalizacjiwielokryterialnej. Rozwiązania p-optymalne, dla których odtwarzano parametry L, Zi H zaznaczono rombami na rysunku 9.

Rysunek 9: Aproksymowany front Pareto z rozwiązaniami wybranymi do zadania odwrot-nego (romby) i punktami znalezionymi w optymalizacji wielokryterialnej (kółka)

Uzyskane wyniki umieszczono w tabeli poniżej.

odtwarzane wartościparametry p-optymalne

L Z H W Qall

1.3 0.73888 0.14726 0.17846 24.5954 3 803.1152. 0.74528 0.17649 0.31119 42. 8 634.8863. 0.83921 0.17209 0.46944 −65. 17 244.6

Obie metody wykorzystane do obliczeń związanych z optymalizacją geometrii silnikatermoakustycznego, pozwoliły uzyskać wyniki, które świadczą o użyteczności omówio-nych metod i możliwości ich wykorzystania także w innych problemach inżynierskich.

I.3.5 Podsumowanie cyklu

Przedstawiony cykl publikacji [IN1]-[IN5] łączy tematyka optymalizacji w problemachw których występują zjawiska termoakustczne. W przedstawionym powyżej skróconymopisie, zaprezentowałam głownie te elementy pracy które stanowią mój wkład w po-wstanie każdej z publikacji.Wg mojej wiedzy, jako nowe, wcześniej nie publikowane elementy badań wskazałabym:

1. wykorzystanie podejścia Bayesa do rozwiązania silnie źle uwarunkowanego pro-blemu odtworzenia prędkości uwalniania ciepła w komorze spalania na podstawiepomiaru ciśnienia na ścianach komory;

3wobec (0.7647, 0.141, 0.1829) wyznaczonego w optymalizacji wielokryterialnej

25

2. wykazanie, że podejście Bayesa to metoda umożliwiająca rozwiązywanie źle uwa-runkowanych problemów odwrotnych bez potrzeby wykorzystywania regularyzacji;

3. dostosowanie i wykorzystanie heurystyki mrówkowej RACO do wielokryterialnejoptymalizacji struktury silnika termoakustycznego,

4. zbadanie możliwości wykorzystania heurystyk wzbogaconych modelem probabili-stycznym w rozwiązaniach zadań inżynierskich,

5. sformułowanie i rozwiązanie zadania odwrotnego, polegającego na wyznaczeniuparametrów dla rozwiązań p-optymalnych, dla których znane jest tylko przybliżonepołożenie na froncie Pareto,

6. wyznaczenie na drodze analitycznej formuł opisujących rozkład ciśnienia oraz pręd-kości w silniku termoakustycznym, pozwalających na ilościowe i jakościowe porów-nanie modelu numerycznego oraz odpowiadającego modelu analitycznego, prowa-dzące do określenia wykorzystania ich w zadaniach optymalizacyjnych (np. naetapie projektowania)

Całe oprogramowanie powstałe na potrzeby moich badań, to moje autorskie procedu-ry zaimplementowane w języku Fortran lub przy wykorzystaniu platformy WolframMathematica.Cząstkowe wyniki zaprezentowanych powyżej prac prezentowano na konferencjach mię-dzynarodowych [poz26] oraz krajowych [poz38], [poz11], [poz25], [poz9].

Literatura

[1] Michalewicz Z., Fogel D.B., Jak to rozwiązać czyli nowoczesna heurystyka, Wydaw-nictawa Naukowo-Techniczne, Warszawa, (2006)

[2] Swift G.W. (2003) Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines andRefrigerators, American Institute of Physics, New York, (2003)

[3] Petrus Hendrikus Maria Wilhelmus in ’t panhuis, 2009, Mathematical Aspects ofThermoacoustics, Print Service Tech Unv Eindhoven, ISBN 978 90 386 1862 3

[4] Chmielniak T., Rusin A., Czwiertnia K., Turbiny gazowe, Ossolineum,. Wrocław,Warszawa, (2001)

[5] Bala Subrahmanyam, P., Sujith, R., Ramakrishna, M., Determination of UnsteadyHeat Release Distribution from Acoustic Pressure Measurements: A reformulationof the inverse problem, J.Acoust.Soc.Am. 114 (2), 686–696, (2003)

[6] Kaltenbacher, B., Polifke, W.: Some regularization methods for a thermoacousticinverse problem. Journal of Inverse and Ill-Posed Problem. Vol. 18, 997–1011, (2011)

[7] Trapp A.C.,Zink F., Prokopyev O.A., Thermoacoustic heat engine modelling anddesign optimization, Applied Thermal Engineering 31, 2518–2528, (2011)

[8] Socha K., Dorigo M., Ant colony optimization for continuous domains, EuropeanJournal of Operational Research 185, 1155–1173, (2008)

[9] de Weck O.L., Multiobjective optimization: history and promise. Keynote Paper.The 3rd China-Japan-Korea Joint Symposium on Optim. of Structural and Mecha-nical Systems, Kanazawa, Japan, October 30-November 2, (2004).

[10] Orlande H.R.B., Fudym O., Maillet D., Cotta R.M.: Thermal Measurements andInverse Techniques, CRC Press (2011)

26

II. WYKAZ INNYCH (NIEWCHODZĄCYCH W SKŁAD OSIĄGNIĘCIA wymienionegow pkt. I.) opublikowanych po uzyskaniu stopnia doktora prac naukowych oraz wskaźnikidokonań naukowych

1. Omówienie osiągnięć naukowo-badawczych spoza cyklu

Poza pracami z cyklu publikacji przedstawionego w pkt.I., realizowane przeze mniebadania dotyczyły nastepujacych zagadnień: (1.) rozwiązanie odwrotnych problemówbrzegowych w procesie ciągłego odlewana, (2.) optymalizacji układu chłodzenia łopatki,(3.) homotopijnej metody perturbacji (4.) innych tematów związanych z optymalizacjąi metodami numerycznymi. Krótki opis tych prac przedstawiono w kolejnych punktachautoreferatu, natomiast w podpunkcie II.2. zamieszczono listę prac opublikowanych pouzyskaniu stopnia doktora, które nie weszły w skład cyklu przedstawionego w punkcie I.

A. Rozwiązanie odwrotnych problemów brzegowych w procesie ciągłegoodlewana w układzie trójwymiarowym.

Publikacje dotyczące rozwiązania trójwymiarowego problemu odwrotnego w pro-cesie ciągłego odlewana powstały jako efekt pracy w ramach grantu badawczego„Rozwiązywanie odwrotnych problemów brzegowych przepływu ciepła w układzietrójwymiarowym” (nr 3 T10B 007 30). Moimi współpracownikami w projekcie byliprof. dr hab. inż. Andrzej J. Nowak oraz dr Jacek Smołka.

W badaniach, będących kontynuacją mojej pracy doktorskiej, dokonanoznacznego udoskonalenia modelu numerycznego oraz rozszerzenia dziedziny do wy-miaru 3D. Głównym celem podjętych badań było rozwiązanie brzegowego i geome-trycznego problemu odwrotnego dla ciągłego procesu odlewania stopu aluminium.Rozwiązanie takich zadań może pomóc we właściwym zaprojektowaniu efektyw-nego układu chłodzenia oraz kontroli całego procesu odlewania, co ma znaczeniedla jakości odlewu.

W pierwszej kolejności, wraz z zespołem, zajęłam się problemem odtwarza-nia warunków brzegowych w trójwymiarowym modelu ciągłego odlewania. Na tymetapie badań, naszym głównym celem, była identyfikacja rozkładu strumienia cie-pła wzdłuż zewnętrznej powierzchni wlewka, na podstawie pomiaru temperaturyw kilku punktach wewnętrznych. Efektem pracy nad podjętym tematem są artyku-ły [A-8] oraz [B-7] w których szczegółowo omówiono budowę modelu, proponowanepostępowanie numeryczne oraz uzyskane rezultaty. Wyniki badań zostały takżezaprezentowane na konferencji World Academy of Science, Engineering and Tech-nology w Heidelbergu (później także opublikowane jako [B-8]). We wcześniejszejpracy [B-9] skupiono się głownie na budowie modelu matematycznego w ukła-dzie 3D. Uwzględniono w nim szczelinę gazu pomiędzy krzepnącym wlewkiem akrystalizatorem, co znacznie zbliżyło model do warunków rzeczywistych. Zdobytedoświadczenie oraz sam model wykorzystaliśmy w kolejnych pracach realizowanychw ramach projektu.

W cyklu wspomnianych powyżej prac, do modelowania procesu odlewaniaużyto oprogramowania komercyjnego Fluent wykorzystującego technikę entalpową,w której front zmiany fazy określany był na podstawie udziału fazy ciekłej. Rozwią-zane w ten sposób zadanie bezpośrednie wykorzystywano zarówno w procedurzeodwrotnej, jak i do numerycznego generowania pomiarów temperatury. W zada-

27

niu, odtwarzaną wielkością był strumień ciepła w wybranych punktach na brzeguwlewka. Warunek na całym brzegu opisywano następnie funkcją zależną od esty-mowanych parametrów. W procedurze odwrotnej, do wyznaczenia odtwarzanychwarunków brzegowych, wykorzystano analizę wrażliwości. Określenie wrażliwościodbywało się na drodze analitycznej, poprzez rozwiązanie odpowiednio zdefiniowa-nego zadania bezpośredniego uzyskiwanego (poprzez różniczkowanie) z problemuprzepływu ciepła dla ciągłego odlewania.

W powyższych badaniach odpowiedzialna byłam za sformułowanie zadaniabezpośredniego i odwrotnego, projekt całej procedury numerycznej, implementacjęprocedur rozwiązujących problem odwrotny oraz wyprowadzenie formuł umożli-wiających badanie wrażliwości obszaru na zmiany parametrów decyzyjnych. Ana-liza wrażliwości pomogła wskazać miejsca, w których rejestrowanie pomiarów jestnajkorzystniejsze z punktu widzenia procedury rozwiązania problemu odwrotnego.W problemach odwrotnych dane pomiarowe mają za zadanie uzupełnienie niepeł-nego opisu matematycznego i są w procedurze niezbędną informacją. Ponieważw praktyce dane te zawsze obarczone są błędami, ważne było także sprawdzenie,w jakim stopniu zaburzenia te przenoszą się na dokładność odtworzenia strumie-ni ciepła. Zadania odwrotne ze swej natury są problemami źle uwarunkowanymi,dlatego przeprowadzona została wnikliwa analiza wpływu błędów na wynik. Wobliczeniach dane pomiarowe generowane były w sposób numeryczny. Do wyzna-czonych w zadaniu bezpośrednim temperatur dodawano błąd pseudolosowy o roz-kładzie równomiernym nie większym niż 2%. W projekcie analizowaliśmy takżewpływ wielkości startowych na przebieg procesu iteracyjnego oraz na dokładnośćuzyskanych rezultatów. Zaproponowana procedura okazała się być bardzo efektyw-na. Średni błąd procentowy odtworzenia estymowanych parametrów był znacznieniższy od maksymalnego błędu procentowego jakim obarczane były dane pomia-rowe. Zaimplementowane algorytmy pracowały właściwe niezależnie od siatki nu-merycznej modelu bezpośredniego oraz wartości początkowej przyjętego warunkubrzegowego.

Kolejnym zadaniem, związanym z ciągłym odlewaniem aluminium, było roz-wiązanie geometrycznego problemu odwrotnego polegającego na określeniu poło-żenia i kształtu frontu zmiany fazy na podstawie pomiarów temperatury w wy-branych punktach części stałej wlewka. W celu rozwiązania tak postawionego pro-blemu zaproponowałam algorytm, który stanowi rozszerzenie do przypadku 3-D,procedury opracowanej przeze mnie wcześniej, dla dwuwymiarowego geometrycz-nego zadania odwrotnego. W celu zamodelowania granicy rozdziału faz, linie Bez-iera dla procedur 2-D, zastąpiono powierzchniami Beziera. Powierzchnie takie de-finiowane są w sposób jednoznaczny przez zestaw punktów kontrolnych, będącychw tym wypadku estymowanymi wielkościami. Podejście takie znacznie ograniczaliczbę odtwarzanych zmiennych. W procedurze odwrotnej ponownie wykorzysta-no analizę wrażliwości, rozwiązując problem bezpośredni sformułowany na drodzeanalitycznej, poprzez różniczkowanie równań przepływu ciepła.

Opisana powyżej praca jest kontynuacją wcześniej wspomnianych badań, do-tyczących odtwarzania warunków brzegowych w identycznym modelu i przy wy-korzystaniu analogicznych metod. Uzyskane wyniki, szczegóły procedur numerycz-

28

nych, sposób modelowania frontu zmiany fazy oraz modelu całego procesu opubli-kowane zostały w artykułach [A-8] oraz [B-6].

Mój udział w tej części badań obejmował sformułowanie zadania, zaplanowa-nie procedury obliczeniowej, opracowanie formuł pozwalających wyznaczyć współ-czynniki wrażliwości oraz modelowanie frontu zmiany fazy przy wykorzystaniupowierzchni Beziera. Odpowiadałam także za analizę i interpretację wyników orazocenę ich dokładności. Uzyskane i opublikowane w artykułach naukowych orazraporcie grantu wyniki, świadczą, że zaproponowane metody nadają się do roz-wiązywania brzegowego oraz geometrycznego zadania odwrotnego i mogą zostaćwykorzystane w zastosowaniach przemysłowych.

Wyniki zamieszczone w artykule [A-10] zostały opublikowane już po mojejrozprawie doktorskiej, ale dotyczącą moich wcześniejszych badań i zostały uzyska-ne w końcowej fazie pracy nad doktoratem. W artykule zaprezentowano algorytmrównoczesnej identyfikacji strumienia ciepła na brzegu wleka oraz kształtu i poło-żenia frontu zmiany fazy w ciągłym odlewaniu. Problem został sformułowany jakodwuwymiarowy brzegowo-geometryczny problem odwrotny, a procedura rozwiąza-nia wykorzystywała pomiary temperatury wewnątrz fazy stałej wlewka oraz analizęwrażliwości. Obliczenia bezpośrednie prowadzono przy wykorzystaniu metody ele-mentów brzegowych, z sześciennymi elementami brzegowymi i krzywymi Beziera,służącymi do modelowania frontu pomiędzy fazą stałą i ciekłą. Jako główny autorpracy, odpowiadałam za implementację programu odtwarzającego estymowane pa-rametry, analityczne przygotowanie procedur umożliwiających badanie wrażliwościoraz analizę uzyskanych wyników.

B. Optymalizacja układu chłodzenia.

Kolejna grupa prac dotyczy optymalizacji układu chłodzenia łopatek turbiny gazo-wej. Prace te powstały we współpracy z pracownikami Zakładu Maszyn i UrządzeńEnergetycznych na Wydziale Inżynierii Środowiska i Energetyki.

W pracy [B-10], która jest pierwszą publikacją w cyklu, zaprezentowanowstępne wyniki uzyskane w optymalizacji systemu chłodzenia w łopatce turbi-ny gazowej. Analiza polegała na optymalizacji położenia i wielkości wewnętrznychkanałów chłodzących (okrągłych i nieokrągłych) w łopatce za pomocą algoryt-mu ewolucyjnego. Do określenia rozkładu ciepła w obrębie łopatki wykorzystanoMES. Wykorzystanie algorytmu ewolucyjnego wymagało zautomatyzowania bu-dowy geometrii otworów chłodzących i procedury generowania siatki do obliczeńnumerycznych MES.W pracy odpowiedzialna byłam za opracowanie procedury automatycznej budowygeometrii otworów chłodzących oraz projektowanie procedury optymalizującej, atakże kontrolę przebiegu optymalizacji. Zaproponowałam funkcję mapującą profilłopatki na kwadrat jednostkowy, co umożliwiło AE generowanie takich rozkładówotworów kołowych, które są fizycznie prawdopodobnymi wariantami układu chło-dzenia. Dzięki tej funkcji, operatory genetyczne (mutacja, krzyżowanie) nie gene-rowały otworów nachodzących na siebie lub leżących poza obrębem łopatki. Moimwkładem w powstanie pracy był także opis niekołowych kanałów przy pomocydwóch krzywych Beziera, które tworzą zamknięty profil kanału chłodzenia. Ta-

29

kie podejście pozwoliło znacznie ograniczyć liczbę estymowanych zmiennych przyrównoczesnym zachowaniu znacznej różnorodności kształtu i położenia kanałów.Wykorzystany do obliczeń algorytm ewolucyjny był także przez mnie modyfikowa-ny tak, aby jak najbardziej zoptymalizować jego pracę.

W artykule [A-7] rozwinęliśmy problem optymalizacji kształtu i położenianiekołowych kanałów chłodzących. Do modelowania kształtu wykorzystano tym ra-zem cztery krzywe Beziera. W celu dopasowania kształtu kanału do profilu łopatki,zaproponowałam technikę budowania kanału na podstawie kopiowanych i skalowa-nych fragmentów profilu łopatki. Dla tak opisywanych kanałów chłodzących prze-prowadzono obliczenia optymalizacyjne prowadzące do określenia ich optymalnegokształtu i położenia. Zakładano, że system składa się z czterech lub pięciu kanałów.Zmodyfikowana metoda definiowania rozkładu niekołowych otworów chłodzącychwymagała udoskonalenia procedury automatycznej ich budowy.W ramach tej pracy, zadanie zostało rozwiązane jako problem wielokryterialnyz zastosowaniem metody Pareto, a narzędziem stosowanym do optymalizacji byłzmodyfikowany algorytm ewolucyjny. Przeprowadzono także porównawcze oblicze-nia optymalizacyjne dla skalarnych funkcji celu agregujących problem wielokryte-rialny, a także badano wpływ różnych celów optymalizacyjnych na otrzymane opty-malne rozwiązania Pareto. Proces optymalizacji oraz oryginalna metoda budowygeometrii zaowocowała uzyskaniem konfiguracji układu chłodzenia, który pozwalana znaczne obniżenie temperatury i naprężeń cieplnych łopatki w porównaniu dorozwiązań znanych z literatury.

Kolejna praca [A-5] poświęcona została także problemowi optymalizacji ukła-du chłodzenia łopatki, ale przy rozwiązywaniu sprzężonego zadania przepływu cie-pła (CHT) co miało na celu zapewnienie wiarygodnego przewidywania pola ter-micznego w części chłodzonej parą. Pełne rozwiązanie CHT, które obejmuje głównyprzepływ, materiał łopatki i domenę przepływu płynu chłodzącego jest niezwyklekosztowny obliczeniowo, co praktycznie uniemożliwia optymalizację. Dlatego zde-cydowano się zmodyfikować podejście do problem, ustalając warunki brzegowe napowierzchni łopatki i rozwiązując zadanie tylko dla jej wnętrza (dziedzina obejmo-wała zarówno materiał stały jak i płyn chłodzący). Założenie to z jednej stronysprawiło, że obliczenia stały się możliwe, z drugiej zaś zapewniło bardziej wiary-godne przewidywanie pola termicznego niż uzyskiwane w relacjach empirycznych.Problem sformułowano jako zadanie wielokryterialne, w którym równocześnie mi-nimalizowano maksymalną temperaturę i naprężenia łopatki. Analiza objęła opty-malizację kształtu wewnętrznych kanałów chłodzących w jej obrębie, przy czymkanały chłodzące ponownie modelowano zestawem czterech krzywych Beziera, do-pasowujących się do konturu łopatki. Mój wkład w powstanie pracy polegał nawykorzystaniu zaproponowanych wcześniej rozwiązań oraz kontroli przebiegu opty-malizacji.

Opublikowane prace oraz referaty wygłaszane na konferencjach (ESMC 2009w Lisonie oraz ASME Turbo Expo 2011 w Vancouver) zostały zauważone przezedytorów monografii „Cooling systems: energy, engineering, and applications” wy-danej przez Nova Science Publishers [C-1], co poskutkowało zaproszeniem naszegozespołu do napisania jednego z jej rozdziałów. W pracy tej zamieszczone zostaływyniki naszych badań oraz wprowadzone przez nas oryginalne rozwiązania, głownie

30

dotyczące zautomatyzowanego modelowania niekołowych kanałów układu chłodze-nia i optymalizacji wielokryterialnej.

C. Homotopijna metoda perturbacji.

Kolejna grupa prac, powstała w ramach współpracy z moimi kolegami z ZakładuMetod Numerycznych i Informatyki na Wydziale Matematyki Stosowanej, i doty-czyła homotopijnej metody perturbacyjnej.

W artykule [B-4], pierwszym w cyklu, przedstawiono zastosowanie homoto-pijnej metody perturbacyjnej (HPM) do rozwiązania ustalonego zagadnienia prze-wodzenia ciepła, opisanego równaniem Laplace’a. Przedstawiono tam także sposóbwykorzystania omawianej metody do rozwiązania zagadnienia nieustalonego prze-wodzenia ciepła. Stosując homotopijną metodę perturbacyjną otrzymujemy szeregfunkcyjny, który (przy odpowiednich założeniach) jest zbieżny do rozwiązania roz-ważanego zagadnienia. W wielu przypadkach można wyznaczyć sumę uzyskanegoszeregu, a tym samym otrzymać rozwiązanie dokładne. W przypadkach, gdy niejest możliwe analitycznie wyznaczenie sumy szeregu, do budowy rozwiązania przy-bliżonego wykorzystać można jego sumę częściową. Ze względu na szybką zbieżnośćotrzymanego szeregu, już kilka początkowych wyrazów zapewnia bardzo dużą do-kładność uzyskanego rozwiązania.W pracy odpowiedzialna byłam za sformułowanie i rozwiązanie przykładów orazinterpretację i badanie dokładności wyników.

Efektem kolejnego etapu badań jest praca [A-4]. W artykule omówiono zasto-sowanie homotopijnej metody perturbacyjnej do rozwiązania odwrotnego proble-mu przewodzenia ciepła. Problem polegał na równoczesnym wyznaczeniu rozkładutemperatury w rozważanej dziedzinie oraz odtworzeniu warunku brzegowego, czylifunkcji opisujących temperaturę i strumień ciepła na brzegu obszaru, na podsta-wie pomiarów temperatury w jego wnętrzu. W artykule znaleźć można przykładyilustrujące omówione zastosowanie i potwierdzające przydatność metody w rozwią-zywaniu tego typu problemów. Kontynuacja badań znalazła swój wyraz w artykule[A-3], w którym także przedstawiono rozwiązanie problemu odwrotnego przewo-dzenia ciepła, ale w modelu z warunkami brzegowymi Neumanna.Mój udział w powstaniu obu prac polegał na sformułowaniu zadania odwrotnegooraz rozwiązaniu wybranych przykładów.

Dalsze badania skupiły się na wykorzystaniu homotopijnej metody pertur-bacyjnej do rozwiązania równań całkowych. W pracy [A-2] przedstawiliśmy roz-wiązanie równań Volterra-Fredholma drugiego rodzaju. Poza zaprezentowaniemsamej metody, przede wszystkim rozważano tam problem zbieżności konstruowa-nych szeregów. W artykule sformułowano i udowodniono odpowiednie twierdzenia,a także oszacowano przybliżone błędy rozwiązania, które pojawiają się jeśli roz-wiązanie buduje się jak sumę częściową szeregu. Efekty naszych dalszych badańopublikowane zostały w artykule [A-1], gdzie wykorzystano metodę homotopij-nej perturbacji do rozwiązania pewnego rodzaju nieliniowych i liniowych równańcałkowych drugiego rodzaju. W ramach tej pracy uogólniono wcześniej uzyska-ne wyniki, ponieważ szczególnym przypadkiem rozważanych równań jest równaniecałkowe Volterra-Fredholma. Wykazano, że przy prawidłowych założeniach, rozwa-

31

żane równanie posiada jednoznaczne rozwiązanie, a powstające w metodzie szeregisą zbieżne. Jeszcze bardziej uogólnione wyniki, tym razem dla dwuwymiarowychliniowych i nieliniowych równań całkowych drugiego rodzaju, przedstawiono w ar-tykule [B-1].We wszystkich pracach brałam czynny udział w opracowaniu i dostosowaniu meto-dy do postawionego zadania, formułowaniu wniosków oraz konstrukcji przykładów.

D. Pozostałe publikacje.

Poza publikacjami, które stanowiły cykle powiązane tematycznie, brałam udziałw pracach, których efektem są pojedyncze artykuły. W związku z moimi zainte-resowaniami naukowymi dotyczyły one zwykle metod numerycznych, heurystyk,optymalizacji oraz wszelkiego rodzaju zastosowania matematyki.

W pracy [B-2] znaleźć można matematyczne podstawy jednej z wersji meto-dy PageRank, algorytmu do pozycjonowania stron internetowych wprowadzonegoprzez firmę Google. Biorąc pod uwagę kluczowe słowa, różne typy wyszukiwarek in-ternetowych generują listę witryn internetowych według priorytetów (teoretycznieodpowiadających zapytaniu). To jak wysoko strona znajduje się na liście zależyod bardzo wielu czynników. Jednym z nich jest ranga jaką algorytm PageRankprzypisuje stronie internetowej, w zależności od liczby i jakości linków do niejprowadzących. W artykule przedstawiono dwa podejścia: algebraiczne i probabili-styczne. Oba do oceny poziomu, w jakim strona odpowiada zapytaniu użytkownikawykorzystują tzw. macierz przechodzenia, która opisuje zachowanie użytkownikaw pojedynczym kroku jego ścieżki przeszukiwania Internetu. Macierze przechodze-nia to zwykle macierze stochastyczne, dlatego kolejne decyzje użytkownika tworząciąg stanów będących łańcuchem Markowa. Jeśli jest to ciąg zbieżny, ranking stroninternetowych określany jest w sposób jednoznaczny, ale ze względu na strukturęInternetu, tworzony łańcuch Markowa zwykle zbieżny nie jest. W takim przypad-ku macierz przechodzenia wykorzystana do pozycjonowania musi być odpowiedniozmodyfikowana. W pracy omówiono niezbędne jej modyfikacje, także te wymaga-ne w przypadku występowania tzw. dangling nodes oraz dla sieci składającej sięz rozłączonych podsieci.Mój wkład w powstanie pracy polegał na analizie matematycznych aspektów me-tody, udowodnieniu wybranych twierdzeń oraz opracowaniu przykładów.

Celem kolejnego artykułu [B-3] było zaprezentowanie nowoczesnych heury-styk wieloagentowych wykorzystujących model probabilistyczny. W pracy omó-wiono dwie metody: the Probabilistic-Based Incremental Learning (PBIL) orazthe compact Genetic Algorithm (cGA), będące przykładami heurystyk z modelemprobabilistycznym, których głównym przeznaczeniem jest rozwiązywanie proble-mów binarnych. W ramach pracy metody te testowano na trzech funkcjach zdefi-niowanych w przestrzeni ciągów binarnych. Testy miały zbadać zalety, wady orazograniczenia obu prezentowanych heurystyk populacyjnych. Wykorzystanie mo-deli probabilistycznych (pełniących rolę pamięci długotrwałej lub doświadczeniapopulacji) powoduje, że schemat przeszukiwania przestrzeni jest bardziej zaawan-sowany. Choć heurystyki te wciąż pozostają metodami randomistycznymi, kolejnegeneracje osobników tworzone są przy znacznym uwzględnieniu wcześniejszego do-

32

świadczenia populacji.Ponieważ praca ta jest wynikiem mojej współpracy ze studentką studiów 2-gostopnia, mój wkład w jej powstanie polegał na współtworzeniu oprogramowania,wygenerowaniu przykładów do testów numerycznych oraz pomocy w analizie wy-ników i przygotowaniu tekstu opracowania.

W artykule [B-5] przedstawiono przegląd tematyczny oraz wybrane wynikidotyczące asymptotycznych zachowań ciągów średnich arytmetycznych i geome-trycznych danych ciągów liczb dodatnich. Podano wiele oryginalnych wyników orazniezależnych dowodów znanych faktów. Przypomniano i zastosowano kilka, rzadkocytowanych wyników klasycznych (m.in. twierdzenie Kaleckiego, tożsamość Hur-witza).Moją rolą w powstaniu pracy było opracowanie dowodów wybranych twierdzeńoraz przykładów je ilustrujących.

Praca [A-6] prezentuje algorytm immunologiczny jako narzędzie rozwiązaniaodwrotnego problem przewodzenia ciepła i odwrotnego problemu Stefana z trze-cim warunkiem brzegowym. Zastosowana do obliczeń heurystyka to, stosunkowonowa, metoda należąca do grupy algorytmów optymalizacji zainspirowanych na-turalnymi procesami. Jej idea oparta została na zasadach funkcjonowania układuodpornościowego w organizmie kręgowców, a typową jej rolą jest minimalizacjafunkcjonału, który definiowany jest w zależności od rozwiązywanego problemu.Omawiany algorytm zbadano ze względu na parametry, od doboru których zależyjego wydajność.Mój wkład w powstanie pracy polegała na budowie struktury algorytmu immuno-logicznego, kontroli jego pracy i ocenie uzyskanych wyników.

2. Lista publikacji spoza cyklu wskazanego w pkt. I.

A. Publikacje naukowe z bazy Journal Citation Reports (JCR)

Mój wkład w powstanie poszczególnych prac opisany został w pt. II.A.-II.D.

[A-1] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, (2015),Convergence and error estimation of homotopy analysis method for some typeof nonlinear and linear integral equations, J. Numer. Math., vol. 23(4), s.331–344(IF: 0.405, Punktacja MNiSW: 45)

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[A-2] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, (2013), Astudy of the convergence of and error estimation for the homotopy perturbationmethod for the Volterra-Fredholm integral equations, Appl. Math. Lett. vol.26(1), s.165–169(IF: 2.233, Punktacja MNiSW: 35)

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[A-3] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zie-lonka, (2013), Solution of the inverse heat conduction problem with Neumann

33

boundary condition by using the homotopy perturbation method, Therm. Sci.vol. 17(3), s.643–650(IF: 1.093, Punktacja MNiSW: 25)

Mój udział procentowy szacuję na 20%

[A-4] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, (2012),Application of the homotopy perturbation method for the solution of inverseheat conduction problem, Int. Commun. Heat Mass Transf. vol. 39(1), s.30–35(IF: 3.718, Punktacja MNiSW: 30)

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[A-5] Grzegorz Nowak, Włodzimierz Wróblewski, Iwona Nowak, (2012), Convecti-ve cooling optimization of a blade for a supercritical steam turbine, Int. J. HeatMass Transf. vol. 55(17/18), s.4511–4520(IF: 3.458, Punktacja MNiSW: 40)

Mój udział procentowy szacuję na 30%

[A-6] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Adam Zielonka, (2012),Determination of optimal parameters for the Iimune algorithm used for solvinginverse heat conduction problems with and without a phase change, Numer.Heat Transf., vol. 62(6), s.462–478(IF: 1.663, Punktacja MNiSW: 30)

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[A-7] Grzegorz Nowak, Iwona Nowak, (2012), Shape design of internal cooling pas-sages within a turbine blade, Eng. Optim. vol. 44(4), s.449–466(IF: 1.728, Punktacja MNiSW: 30)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[A-8] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej Józef Nowak,(2011), Application ofBezier surfaces to the 3-D inverse geometry problem in continuous casting,Inverse Probl. Sci. Eng. 2011 vol. 19 iss. 1, s.75–86(IF: 1.033, Punktacja MNiSW: 20)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[A-9] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej Józef Nowak, (2010), An effective 3-Dinverse procedure to retrieve cooling conditions in an aluminium alloy continu-ous casting problem, Appl. Therm. Eng. vol. 30(10), s.1140–1151(IF: 3.444, Punktacja MNiSW: 35)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[A-10] Iwona Nowak, Andrzej Józef Nowak, L. Wrobel, (2003), Inverse analysisof continuous casting processes, Int. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow,vol.13(5), s.547–564(IF: 1.713, Punktacja MNiSW: 35)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

B. Monografie, publikacje naukowe w czasopismach międzynarodowych lub krajowychinnych niż znajdujące się w bazie o której mowa w pkt II A

34

Mój wkład w powstanie poszczególnych prac opisany został w pt. II.A.–II.D.

[B-1] Kamil Książek, Wojciech Masarczyk, Iwona Nowak, (2017), Heuristic appro-ach to the game of darts by using Genetic Algorithm and Ant Colony Opti-mization w ”Information Society and University Studies”, Eds. Robertas Da-masevicius, Tomas Krilavicius, Audrius Lopata, Christian Napoli, Marcin Woź-niak. Kaunas University of Technology, Vytautas Magnus University, VilniusUniversity Kaunas Faculty, s.143–148

Mój udział procentowy szacuję na 30%

[B-2] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Adam Zielonka, (2016), Ho-motopy approach for solving two-dimensional integral equations of the secondkind, Comput. Assist. Methods Eng. Sci. vol. 23(1), s.19–41(Punktacja MNiSW: 14)

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[B-3] Katarzyna Adrianowicz, Iwona Nowak, (2016), Mathematical methods in al-gorithm for websites positioning, Sil. J. Pure Appl. Math. vol. 6(1), s.137–153(Punktacja MNiSW: 4)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[B-4] Anna Reichel, Iwona Nowak, (2015), Probabilistic model-building algorithmsas tool to find optimum of a function, Zesz. Nauk. PŚl., Mat. Stosow. vol. 5,s.79–97(Punktacja MNiSW: 4)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[B-5] Grzegorz Nowak, Włodzimierz Wróblewski, Iwona Nowak, (2011), Convec-tive cooling optimization of a blade for a subercritical steam turbine, Proc. ofthe ASME Turbo Expo 5(A), s.2069–2078(Punktacja MNiSW: 15)

Mój udział procentowy szacuję na 30%

[B-6] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, (2011),Homotopy perturbation method in the heat conduction problems, Zesz. Nauk.PŚl., Mat. Stosow. vol.1, s.109–120

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[B-7] Roman Wituła, Danuta Jama, Iwona Nowak, P. Olczyk, (2011) Variations onsequences of arithmetic and geometric means, Zesz. Nauk. PŚl., Mat. Stosow.vol 1, s.81–98

Mój udział procentowy szacuję na 25%

[B-8] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej J. Nowak, (2010), Odtwarzanie kształtuobszaru w trójwymiarowym modelu ciągłego odlewania stopu aluminium, Rudyi Metale Nieżelazna vol. 55(2), s.63–71(Punktacja MNiSW: 7)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

35

[B-9] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej Józef Nowak, (2009), Odtwarzanie wa-runków brzegowych w trójwymiarowym modelu ciągłego odlewania stopu alumi-nium, Rudy i Metale Nieżelazna vol. 54(6), s.345-355(Punktacja MNiSW: 7)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[B-10] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej Józef Nowak, (2009), A reproductionof boundary conditions in three-dimensional continuous casting problem, Int.J. Math. Phys. Eng. Sci. vol. 3(4), s.193–198

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[B-11] Iwona Nowak, Jacek Smołka, Andrzej Józef Nowak, (2008), 3-D inverse solu-tion for continuous casting taking an air cap into consideration, Arch. FoundryEng. vol.8(4), s.157–162(Punktacja MNiSW: 6)

Mój udział procentowy szacuję na 50%

[B-12] Grzegorz Nowak, Iwona Nowak, Tadeusz Chmielniak, (2006), Optimizationprocedure of blade cooling system Arch. Thermodyn. vol.27(3), s.63–82(Punktacja MNiSW: 7)

Mój udział procentowy szacuję na 30%

C. Opracowania zbiorowe, katalogi zbiorów, dokumentacja prac zbiorowych, eksper-tyz, utworów i dzieł artystycznych

[C-1] Grzegorz Nowak, Iwona Nowak, (2011) Optimization of airfoil’s cooling pas-sages, rozdział w monografii Cooling systems: energy, engineering, and appli-cations. Ed. A. I. Shanley. Hauppauge: Nova Science Publishers, s.99–134

Rozdział w monografii powstał na zaproszenie jej edytorów i jest opracowaniem pre-zentującym wyniki badań oraz oryginalne rozwiązania dotyczące optymalizacji i mo-delowania układu chłodzenia łopatek turbin gazowych.

Mój wkład w powstanie pracy szczegółowo opisany został w pkt.II.B..

Mój udział procentowy szacuję na 50%.

[C-2] Katarzyna Adrianowicz, Iwona Nowak, (2016), ”Po co nam ta matematyka?Cz. 1, Zastosowania algebry liniowej nie tylko dla studentów pierwszych latstudiów technicznych.” Wydaw. Politechniki Śląskiej, 2016.

Podręcznik powstał jako próba odpowiedzi na zadawane przez studentów pytanie do-tyczące potrzeby nauki matematyki na studiach niematematycznych. Książka prezen-tuje praktyczne zastosowania algebry liniowej. Każdy z rozdziałów poświęcony jestinnej dziedzinie i zawiera wprowadzenie teoretyczne wraz z rozwiązanymi przykła-dowymi problemami oraz zadania do samodzielnego rozwiązywania z odpowiedziami.Celem podręcznika jest pokazanie jak szeroki jest zakres zastosowań algebry liniowej,nawet przy wykorzystaniu do tego języka matematyki zrozumiałej dla studentów zna-jących jedynie jej podstawy. Prezentowane zagadnienia zostały uproszczone tak, abybyły zrozumiałe dla studentów pierwszych lat studiów. Zarówno opis problemów jaki zamieszczone zadania opierają się o wiadomości z podstawowego kursu matematyki.W podręczniku znaleźć można także wsparcia teoretycznego, które traktować można

36

jako pomoc przy odświeżaniu posiadanych już wiadomości, ewentualnie jako spoj-rzenie na nie pod kątem typowo praktycznym. Nie zawiera ono ścisłych, formalnychdefinicji i twierdzeń, lecz pokazuje zasady działania na konkretnych, bardzo prostychprzykładach.Książka została zaplanowana jako podręcznik uzupełniający dla studentów, a takżejako źródło przykładów dla wykładowców. Praca przeznaczona jest dla studentów ma-tematyki stosowanej oraz studentów oraz pracowników kierunków technicznych.Publikacja znalazła duże uznanie czytelników i aktualnie przygotowywana jest drugajej część poświęcona zastosowaniom analizy matematycznej.

Mój wkład w powstanie podręcznika polegał na opracowaniu wybranych rozdziałów,zarówno w części teoretycznej jak i części prezentującej zastosowania.

Mój udział procentowy szacuję na 50%.

[C-3] Radosław Grzymkowski, Adam Kapusta, Iwona Nowak, Damian Słota(2009), Metody numeryczne. Zagadnienia początkowo-brzegowe, Podręcznikakademicki Wydaw. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice

Książka powstała w celu wprowadzenia Czytelnika w zagadnienia związane z przy-bliżonym rozwiązywaniem zagadnień brzegowych dla fizyki matematycznej. Skupionosię w niej na najbardziej znanych i najczęściej stosowanych metodach numerycz-nych przeznaczonych do tego celu. Wszystkie metody zilustrowane zostały licznymiprzykładami procedur i obliczeń zaprogramowanych w języku platformy Wolfram Ma-thematica.Mój wkład w powstanie tej pracy polegał na opracowaniu i zredagowaniu rozdziałudotyczącego metody elementów brzegowych oraz przygotowaniu przykładów i zadańdo samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika.

Mój udział procentowy szacuję na 25%.

[C-4] Radosław Grzymkowski, Konrad Kaczmarek, Stanisław Kiełtyka, Iwona No-wak, (2008), Wybrane algorytmy optymalizacji. Algorytmy genetyczne. Algo-rytmy mrówkowe., Wydaw. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gli-wice, seria Wykłady z Modelowania Matematycznego 6

Książka jest publikacją zapoznającą Czytelnika z wybranymi metodami optymalizacji,w tym z rozwijającymi się intensywnie w ostatnich latach heurystykami populacyj-nymi.

Mój wkład w powstanie tej pracy polegał na opracowaniu i zredagowaniu rozdziałuopisującego wybrane wersje algorytmu mrówkowego. Zaproponowałam także przykła-dy i zadania do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika.

Mój udział procentowy szacuję na 25%.

[C-5] Radosław Grzymkowski, Adam Kapusta, Iwona Nowak, Damian Słota,(2003), Metody numeryczne. Zagadnienia brzegowe., Wydaw. Pracowni Kom-puterowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice,

Książka powstała w celu wprowadzenia Czytelnika w zagadnienia związane z przy-bliżonym rozwiązywaniem zagadnień brzegowych dla fizyki matematycznej. Skupionosię w niej na najbardziej znanych i najczęściej stosowanych metodach numerycz-nych przeznaczonych do tego celu. Wszystkie metody zilustrowane zostały licznymi

37

przykładami procedur i obliczeń zaprogramowanych w języku platformy Wolfram Ma-thematica.

Mój wkład w powstanie tej pracy polegał na opracowaniu i zredagowaniu rozdziałudotyczącego metody elementów brzegowych oraz przygotowaniu przykładów i zadańdo samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika.

Mój udział procentowy szacuję na 25%.

3. Dane bibliometryczne dotyczące mojego dorobku naukowego po uzyskaniu stopnia na-ukowego doktora wg Web of Science oraz Scopus

Tabela 4: Dane bibliometryczne (stan na 15.05.2018r.)

Liczba Liczba cytowań Indeks Sumarycznypublikacji (bez autocytowań) Hirsha impact factor

Web of Science 15 171 (155) 8 31.919Scopus 18 197 (152) 9 36.601

4. Projekty badawcze oraz prace naukowo-badawcze wykonane dla partnerów przemysło-wych

� 2006-2009 – projekt badawczy Nr 3 T10B 007 30 p.t. Rozwiązywanie odwrotnychproblemów brzegowych przepływu ciepła w układzie trójwymiarowym,

rola: kierownik� 2004-2007 – projekt badawczy nr 3 T10B 033 27 p.t. Optymalizacja kanałów chło-

dzących łopatki turbiny gazowej,

rola: wykonawca� 2013 – opracowanie naukowe w ramach Work Package 2 of the Framework Agre-

ement 1PSP000020/Att4 dla Alstom Power Ltd. Switzerland Posibilites of heattransfer enhancement by acoustic effects,

rola: wykonawca

5. Informacje dodatkowe

W latach 2010-2018 wykonałam 14 recenzji artykułów kierowanych do wysoko punk-towanych czasopism naukowych m.in. Energy, Energy Conversion and Management,Inverse Problems in Science & Engineering, International Journal of Heat and MassTransfer, Inverse Problems itp. Jestem także autorką opinię na temat monografii au-torstwa prof. Radosława Grzymkowskiego pt. „Nieklasyczne metody rozwiązywaniazagadnień przewodzenia ciepła” wydanej w roku 2010.

38

Tabela 5: Dane bibliometryczne dotyczące prac opublikowanych po uzy-skaniu stopnia doktora.

IF PunktacjaMNiSW

Udział (%) Liczbacytowań2

publikacje [IN2] 4.520 45 60 0 (1)

z bazy [IN3] 4.520 45 100 0 (0)

JCR [IN5] 2.383 40 45 12 (13)

[A-1] 0.405 45 25 5 (3)

[A-2] 2.233 35 25 8 (9)

[A-3] 1.093 20 25 7 (7)

[A-4] 3.718 30 25 33 (36)

[A-5] 3.458 40 30 12 (16)

[A-6] 1.663 30 25 22 (22)

[A-7] 1.728 30 50 7 (9)

[A-8] 1.033 20 50 8 (11)

[A-9] 3.444 35 50 30 (32)

[A-10] 1.713 35 50 6 (8)

publikacje [IN1] - 14 100 - (-)

spoza bazy [IN2] - 14 80 - (-)

JCR [B-1] - - 30 - (-)

[B-2] - 14 25 - (-)

[B-3] - 4 50 - (-)

[B-4] - 4 50 - (-)

[B-5] - 15 30 - (1)

[B-6] - - 25 - (-)

[B-7] - - 25 - (-)

[B-8] - 7 50 - (-)

[B-9] - 7 50 - (-)

[B-10] - - 50 - (-)

[B-11] - 6 50 - (-)

[B-12] - 7 30 - (-)

monografie [C-1] - 15 50 - (2)

i [C-2] - - 50 - (-)

podręczniki [C-3] - - 25 - (-)

[C-4] - - 25 - (-)

[C-5] - - 25 - (-)

suma 31.911 561 171 (197)

2 suma wg bazy Web of Science (w nawiasie Scopus) – (stan na 15.05.2018r.)39

III. Podsumowanie dorobku naukowego, dydaktycznego i organizacyjnego.

Na mój dorobek naukowy składa się 35 publikacji, w tym 15 artykułów indeksowanychw bazie Web of Science. Poza tym jestem autorką rozdziałów w 4 monografiach (w tymjednej wydanej za granicą) oraz współautorką 1 podręcznika akademickiego.

Po uzyskaniu stopnia doktora (w lutym 2003 roku) opublikowałam 27 prac naukowychz czego 13 w czasopismach indeksowanych w bazie JCR.

Dane bibliometryczne zaczerpnięte z bazy Web of Science oraz Scopus dla prac opubliko-wanych po uzyskaniu stopnia doktora przedstawiono w tabeli 5.

Sumaryczny impact factor wg bazy Web of Science (Scopus) wynosi 31.919 (36.601), aindeks Hirsha jest aktualnie na poziomie 8 (9).

Po uzyskaniu stopnia doktora wygłosiłam 13 referatów na międzynarodowych konferencjachnaukowych i 7 na konferencjach krajowych.

Otrzymałam siedem zespołowych nagród Rektora Politechniki Śląskiej za działalność na-ukową (w tym jedną nagrodę 1. stopnia).

W latach 2006-2009 kierowałam grantem badawczym pt. „Rozwiązywanie odwrotnych pro-blemów brzegowych przepływu ciepła w układzie trójwymiarowym”, a w dwóch innychprojektach pełniłam rolę wykonawcy.

Od 2012 r. jestem członkiem komitetu organizacyjnego cyklicznej konferencji ZaMa (Za-stosowanie Matematyki w Technice, Informatyce i Ekonomii) organizowanej przez InstytutMatematyki Politechniki Sląskiej w Gliwicach.

Oprócz wspomnianych powyżej osiągnięć, biorę czynny udział w działalności SeminariumZakładu Matematyki Obliczeniowej i Przemysłowej w Instytucie Matematyki, czego wyni-kiem są liczne referaty wygłoszone na tym seminarium.

Od 21 lat prowadzę zajęcia (wykłady i ćwiczenia, głównie na kierunkach z językiem angiel-skim jako językiem wykładowym) na Wydziale Inżynierii Środowiska i Energetyki (Mathe-matics), Wydziale Automatyki, Elektroniki i Informatyki (Algebra and Analytical Geometryoraz Analiza Matematyczna) oraz Wydziale Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej(Heurystyczne Metody Optymalizacyjne, Algorytmy Genetyczne, Computer Simulations inPhysics, Technology and Natural Sciences). Od kilku lat prowadzę zajęcia z przedmiotu Ana-liza i Statystyka Matematyczna dla doktorantów Wydziału Inżynieria Środowiska i Energe-tyka.Jestem współautorką dobrze ocenianego podręcznika „Po co nam ta matematyka? Cz. 1, Za-stosowania algebry liniowej nie tylko dla studentów pierwszych lat studiów technicznych.”,którego druga część, poświęcona zastosowaniom analizy matematycznej, jest aktualnie przy-gotowywana.Byłam promotorem ponad 20 prac licencjackich lub inżynierskich oraz jednej pracy magi-sterskiej, a także recenzentem ponad 30 prac inżynierskich, licencjackich lub magisterskich.Byłam członkiem komisji odpowiedzialnej za przygotowanie programu kształcenia w językuangielskim dla kierunku Mathematics (specjalizacja Applied Mathematisc).Otrzymałam dwie nagrody Rektora Politechniki Śląskiej za działalność dydaktyczną.

40