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problemas resolvidos
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA
LABORATRIO DE AR CONDICIONADO E CONFORTO TRMICO
Rua Augusto Corra, 01 Campus Universitrio do Guam Setor Profissional - Belm PA / CEP: 66.075 - 010
LABEM Laboratrio de Engenharia Mecnica / Sala 203 / (91) 3201 7962 / [email protected]
PROBLEMAS RESOLVIDOS CONVECO FORADA EM ESCOAMENTOS EXTERNO E INTERNO
Prof. Dr. Jorge E. Corra
(1) O motor de automvel pode ser considerado um bloco retangular de dimenses 40cm 40cm 80cm (altura largura profundidade). Sua superfcie inferior est 100C e apresenta emissividade de 0,95. A temperatura do ar ambiente de 20C e a da pista de rolamento 25C. Admite-se que o ar escoa na direo da maior dimenso do motor. Determine a taxa de transferncia de calor a partir de superfcie inferior do bloco se o carro viaja a velocidade de 80 km/h. Passo 1: Declarao do problema O motor de um veculo representado por um bloco retangular de faces planas, com temperatura e emissividade conhecidas na face inferior (voltada para a pista de rolamento). So fornecidas sua velocidade, a temperatura do ar e a temperatura da pista de rolamento. A transferncia de calor na superfcie inferior do bloco deve ser determinada. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras
a) Processo em regime permanente; b) Propriedades constantes para o ar; c) Coeficiente de transferncia de calor por conveco constante e uniforme na superfcie inferior do bloco; d) A superfcie inferior do bloco ser tratada como uma placa plana e os efeitos de borda sero desconsiderados; e) Admite-se que as superfcies do bloco e da pista so cinzentas; f) Admite-se o ar como meio transparente radiao.
Passo 4: Leis Fsicas A superfcie inferior do bloco troca calor por conveco com o ar e por radiao com a pista de rolamento. Assim, a transferncia total de calor a soma dessas duas parcelas:
total conv radQ Q Q
A parcela convectiva calculada pela lei do resfriamento de Newton, dada por:
( )conv s sQ hA T T
onde: rea da superfcie inferior do bloco, m; coeficiente de transferncia de calor por conveco, W/mC; temperatura da superfcie inferior do bloco (constante e uniforme), C; e temperatura do ar, C. O valor de deve ser obtido por correlaes em funo de caractersticas do escoamento e geometria da superfcie. A transferncia de calor por radiao entre a superfcie inferior do bloco e a da pista dada por:
4 4( )rad s s pQ A T T
onde: temperatura da pista de rolamento, K; emissividade das superfcies; 8 2 45,67 10 W m K , constante
de Stefan-Boltzmann. Passo 5: Propriedades termofsicas As propriedades do ar devem ser avaliadas na temperatura de pelcula:
100 20
602 2
sm
T T C CT C
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Da tabela de propriedades termofsicas do ar (presso atmosfrica de 101,325 kPa):
-50,02808W/m.C 1,89610 m/s Pr 0,7202k
Passo 6: Clculos Inicialmente, vamos calcular as trocas por radiao. Substituindo os valores conhecidos, teremos:
-8 4 4 4 4(0,8m0,4m)(0,95)(5,6710 W/m.K )[(100+273) - (25+273) ]K = 198 WradQ
Para calcular as trocas por conveco, devemos antes determinar . Para isso, vamos verificar o regime de escoamento predominante na superfcie, atravs do Reynolds:
5
-5
(80km/h1.000m/km1/3600h/s)(0,8m)Re 9,4 10
1,89610 m/s
VL
Na placa plana, o Reynolds crtico . Assim, teremos escoamento turbulento a partir de:
5 -5(510 )(1,89610 m/s)=0,43m
80km/h1.000m/km1/3600h/scrx
A transio ocorre praticamente na metade do comprimento da superfcie e uma correlao para escoamento combinado em placa plana deveria ser usada. Entretanto, decorrente da vibrao do motor, pode-se admitir, sem perda considervel de preciso, que o escoamento turbulento em toda a superfcie. Da, usando a correlao para escoamento turbulento, teremos:
e o coeficiente de transferncia de calor por conveco:
0,2808W/m.C
(1.988) = 70 W/m.C0,8m
kh Nu
L
Substituindo os valores na lei do resfriamento de Newton, teremos:
(0,4m0,8m)(70W/m.C)(100-20)C = 1.792 WconvQ
Finalmente, podemos calcular a taxa total de transferncia de calor por:
1.792W+198W = 1.990 Wtotal conv radQ Q Q
Passo 7: Comentrios
- A troca de calor por radiao prxima de 9% do total. Se a velocidade do veculo variasse esse valor continuaria o mesmo, pois as temperaturas superficiais no sofrem influncia da velocidade;
- As trocas por conveco variam diretamente com a velocidade, pois esta tem influencia direta nos coeficientes convectivos.
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(2) Considere um escoamento laminar com velocidade da corrente livre , paralelo a uma placa plana mantida em
temperatura constante . Se a velocidade da corrente livre for duplicada, mantendo ainda o escoamento laminar,
determine nas duas situaes consideradas: (a) A razo entre as foras de arrasto na placa; e (b) A razo entre as taxas de
transferncia de calor do fluido para a placa.
Passo 1: Declarao do problema
Placa plana com escoamento laminar e temperatura constante. Obter a fora de arrasto e a taxa de TRC se a velocidade
do escoamento laminar for duplicada.
Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Escoamento laminar em regime permanente; b) Temperatura da superfcie da placa constante e uniforme; c) Propriedades do fluido constante. Passo 4: Leis Fsicas
Para escoamento laminar sobre placa plana, a fora de arrasto na superfcie DF dada por:
2
2D f s
VF C A
onde
1,33
RefC
e a taxa de transferncia de calor sQ por:
s s sQ Ah T T onde 0,5 1/3Nu 0,664 Re Pr
hL
k
onde Re VL v . Observe que nessas equaes os coeficientes de atrito fC e de transferncia de calor h so dependentes
do nmero de Reynolds, e, portanto, da velocidade do escoamento.
Passo 5: Propriedades termofsicas Como a soluo do problema literal, no h necessidade de valores numricos de propriedades termofsicas. Passo 6: Clculos
Item (a): Na situao 1, com velocidade do escoamento V , teremos a fora de arrasto dada por:
0,52 2 2 0,50,5 1,5
1 0,51,33Re 1,33 0,664
2 2 2D f s s s s
V V VL V vF C A A A V A
v L
e, de modo idntico, na situao 2, com velocidade de escoamento 2V , teremos: 0,52 2 2 0,5
0,5 1,5
2 0,5
(2 ) (2 ) 2 (2 )1,33Re 1,33 0,664(2 )
2 2 2D f s s s s
V V VL V vF C A A A V A
v L
da,
1,51,52
1,5
1
(2 )2 2,8284D
D
F V
F V
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Item (b): Na situao 1, com velocidade do escoamento V , teremos a taxa de transferncia de calor dada por:
0,5 1/3
1
0,5
1/3
0,5 1/3
0,5 0,5
( ) ( ) (0,664 Re Pr ) ( )
0,664 Pr ( )
0,664 Pr ( )
s s s s s s
s s
s s
kNu kQ hA T T A T T A T T
L L
k VLA T T
L
kV A T T
L
e, de modo idntico, na situao 2, com velocidade de escoamento 2V , teremos:
0,5 1/3
2 0,5 0,50,664(2 ) Pr ( )s s
kQ V A T T
L
da, 0,5
2
0,5
1
(2 )2 1,4142
Q V
Q V
Passo 7: Comentrios - No escoamento laminar a fora de arrasto aumenta bem mais com a velocidade do que a taxa de transferncia de calor.
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(3) A superfcie externa do teto de um vago de passageiros, que viaja a 70 km/h, tem 8,0 m de comprimento e 2,8 m de largura. A temperatura do ar ambiente de 30 C. Um fluxo uniforme de 200 W/m de radiao solar que incide sobre esta superfcie completamente absorvido pela mesma. Admitindo a superfcie interna do teto do vago perfeitamente isolada, e que as trocas de calor por radiao com a vizinhana podem ser desprezadas frente conveco, determine a temperatura nessa superfcie.
Passo 1: Declarao do problema
Superfcie externa de um teto de vago de passageiros com velocidade conhecida recebe radiao solar e troca calor por conveco com o ar ambiente. Determinar a temperatura nessa superfcie. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Escoamento em regime permanente sobre placa plana; b) Temperatura da superfcie constante e uniforme; c) Propriedades do ar constante; d) Desprezam-se as trocas de calor por radiao com a vizinhana. Passo 4: Leis Fsicas Como a radiao solar completamente absorvida, um balano de energia em regime permanente na superfcie mostra que:
,,,, ,, ( ) radrad conv s s
qq q h T T T T
h
onde o valor de h deve ser obtido em funo de caractersticas do escoamento e da geometria da superfcie. Passo 5: Propriedades termofsicas As propriedades devem ser avaliadas na temperatura de pelcula. Entretanto, a temperatura da superfcie a incgnita do
problema. Nesse caso, as propriedades do ar sero avaliadas inicialmente 30CT . Das tabelas de ar, tem-se: 5 20,02588W m C 1,608 10 m s Pr 0,7282k .
Passo 6: Clculos O nmero de Reynolds baseado no comprimento do vago dado por:
6
5 2
(70km/h)(8m) 1.000m/kmRe 9,674 10
(1,608 10 m / s) 3.600s/hL
VL
Com o 5Re Re 5 10L cr verificamos que a mudana para escoamento turbulento ocorre em:
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5 5 2(5 10 )(1,608 10 m /s)0,41m
(70 1000 / 3600)m/scrx
Nesse caso, somente (0,41 8 ) 100 5%m m do comprimento da superfcie apresenta escoamento laminar. Portanto, admite-se escoamento turbulento sobre toda a superfcie. Alm disso, a vibrao do vago ajuda a manter essa condio. Portanto, o nmero de Nusselt ser:
0,8 1/3 6 0,8 1/30,037 Re Pr 0,037(9,674 10 ) (0,7828) 13.220L
hLNu
k
e o coeficiente de TRC por conveco:
20,02588 W/mCNu (13.220) 42,7 W/m C
8m
kh
L
Substituindo, os valores na equao do balano de energia, teremos:
,, 2
2
200W/m30 34,7C
42,7W/m C
rads
qT T C
h
Passo 7: Comentrios Observe que as propriedades foram obtidas na temperatura do ar, quando deveriam ser obtidas na temperatura de filme. Entretanto, como a temperatura da superfcie calculada no muito diferente da temperatura do ar, refazer os clculos no implicar em ganho significante de preciso.
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(4) Numa instalao industrial, verificou-se que uma seo de 12 m de comprimento de uma tubulao de vapor, com 10 cm de dimetro externo, est completamente exposta ao ar ambiente, cuja temperatura 5C. Medies com um termmetro de radiao mostram que a temperatura da superfcie externa da tubulao 75C, e um anemmetro indica que os ventos na rea esto a 10 km/h, e que sua direo dominante perpendicular ao eixo da tubulao. A emissividade da superfcie da tubulao 0,8 e a vizinhana est a uma temperatura radiante mdia de 0C. Determine a quantidade de calor perdido na tubulao durante o perodo de 10 horas de trabalho. Passo 1: Declarao do problema Tubulao de vapor com temperatura superficial conhecida exposta ao vento com velocidade e temperatura conhecidas. Determinar a perda de calor na tubulao, durante determinado perodo de horas. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Propriedades termofsicas uniformes e constantes; b) Processo em regime permanente; c) Fluxo de ar na direo perpendicular ao eixo do tubo. Passo 4: Leis Fsicas Na superfcie do tubo as trocas de calor ocorrem por conveco e radiao. Assim, a taxa total de transferncia de calor ser dada por:
4 4( ) ( )total conv rad s s s s vizQ Q Q hA T T A T T
onde, a temperatura da vizinhana, vizT , corresponde temperatura do cu, e o coeficiente de TRC por conveco h deve ser
determinado em funo da geometria e de caractersticas do escoamento. Passo 5: Propriedades termofsicas
Para o ar, a temperatura de filme dada por: 75 5
402 2
sm
T T C CT C
. Da, das tabelas para o ar na
presso atmosfrica padro (1 atm) tem-se: 5 20,02662W/mC =1,702 10 m /s Pr=0,7255k .
Passo 6: Clculos O nmero de Reynolds baseado no dimetro do tubo dado por:
5 2
(10km/h)(0,1m) 1.000m/kmRe 16.320
(1,702 10 m / s) 3.600s/hL
VD
Re Pr 0,7255 16.320 11.840 0,2L
e o nmero de Nusselt correspondente ser (correlao de Churchill & Bernstein), vlida para RePr 0,2 :
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e o coeficiente de TRC por conveco:
20,02662 W/mCNu (71,2) =19W/m C
0,1m
kh
L
A rea superficial de troca de calor dada por:
2(0,1m)(12m)=3,77msA DL
Assim, a taxa total de TRC ser:
4 4
-8 4 4 4
( ) (19 W/m C)(3,77 m)(75- 5)C = 5.014 W
( )
(0,8)(3,77m)(5,6710 W/mK )[(75+273K) - (0+273K) ] = 1.558 W
5.014W+1.558W = 6.572 W
conv s s
rad s s viz
total conv rad
Q hA T T
Q A T T
Q Q Q
E o calor perdido na tubulao em 10 horas de trabalho:
5
10 (6.752 W)(10 h/dia3.600 s/h) = 2,4310 kJ/diahs totalQ Q t
Passo 7: Comentrios - Como reduzir as perdas de calor?
- Existe outra correlao disponvel que pode ser usada?
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(5) Coletores solares de placa plana cobrem o telhado de uma casa (vide figura). Nas superfcies dos coletores a temperatura de 15C, enquanto o ar escoa paralelamente s superfcies dos coletores e na direo longitudinal do telhado, velocidade de 2 m/s com 10C de temperatura. Determine a taxa de transferncia de calor por conveco para o ar externo: (a) No primeiro coletor; (b) No terceiro coletor. Passo 1: Declarao do problema Determinar as taxas de TRC por conveco em superfcies de coletores solares com temperatura conhecida instalados no telhado de uma casa, com escoamento de ar atmosfrico sobre a superfcie do coletor de velocidade e temperatura conhecidas. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Propriedades termofsicas uniformes e constantes; b) Escoamento permanente sobre placa plana; c) Fluxo de ar na direo longitudinal do telhado paralelo superfcie dos coletores; d) Trocas de calor por radiao e efeitos de borda desprezados; e) Presso atmosfrica ao nvel do mar. Passo 4: Leis Fsicas Nesse caso, como as trocas de calor por radiao so desprezadas, ocorre somente trocas de calor por conveco entre as superfcies dos coletores e o ar, dadas por:
, ( )m coletor m s sQ h A T T
onde os coeficientes mdios de TRC por conveco, no primeiro e no terceiro coletor, precisam ser determinados em funo da geometria e de caractersticas do escoamento. Passo 5: Propriedades termofsicas
Para o ar, a temperatura de filme dada por: 15 10
12,52 2
sm
T T C CT C
. Da, interpolando
linearmente na tabela de ar na presso atmosfrica normal, tem-se: 50,02458W/mC 1,448 10 m/s Pr 0,733k
Passo 6: Clculos
Na placa plana Re 500.000cr . De modo que, sobre o telhado, o escoamento turbulento inicia em:
5 -5Re (510 )(1,44810 m/s)3,62 m
2 m/s
crcrx
V
e tanto o primeiro, como o terceiro coletor, esto em contato com escoamento laminar. Como todos os coletores tm as mesmas
dimenses, a rea de troca de calor por conveco em qualquer um deles ser: (4m)(1m)= 4 msA .
Daqui em diante, os clculos podem ser feitos de dois modos: primeiro, usando os coeficientes locais e integrando no comprimento do coletor para obter o coeficiente mdio no coletor; segundo, usando as expresses das mdias dos coeficientes para obter o coeficiente em cada coletor.
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PRIMEIRO MODO:
Em qualquer coletor, o coeficiente mdio de TRC por conveco dado por: 1
x b
x
c x a
h h dxL
. Para escoamento
laminar, a funo xh obtida a partir de: 0,5
0,5 1/3 1/30,332 Re Pr 0,332 Prxx xh x Vx
Nuk
Explicitando xh , substituindo na integral, e integrando, teremos:
0,5
1/3
0,5 0,5
1/3 0,5 1/3 0,5
0,5 0,50,51/3 1/3 0
1 10,332 Pr
1 10,332 Pr 0,332 Pr
1 10,332 Pr 0,664 Pr
0,5
x b x b
x
c cx a x a
x b x b
c cx a x a
x b
c cx a
k Vxh h dx dx
L L x
V Vk x dx k x dx
L L
V x Vk k x
L L
,5x b
x a
Item (a): No primeiro coletor, 0 e 1ma b . Da, substituindo os valores: 0,5
1/3 0,5
1
0,5
1/3 0,5 0,5
1 -5
1
10,664 Pr
2m/s 10,664(0,02458W/mC) (0,733) (1m) -(0m)
1,44810 m/s 1m
5,47 W/mC
x b
x ac
Vh k x
L
h
h
Da, a perda de calor por conveco no primeiro coletor ser:
1, 1 ( ) (5,47W/ m C)(4m)(15 10) C 109Wcoletor s sQ h A T T
Item (b): No terceiro coletor, 2m e 3ma b . Da, substituindo os valores: 0,5
1/3 0,5
3
0,5
1/3 0,5 0,5
3 -5
3
10,664 Pr
2m/s 10,664(0,02458W/mC) (0,733) (3m) -(2m)
1,44810 m/s 1m
1,74 W/mC
x b
x ac
Vh k x
L
h
h
Da, a perda de calor por conveco no terceiro coletor ser:
3, 1 ( ) (1,74W/ m C)(4m)(15 10) C 34,8Wcoletor s sQ h A T T
SEGUNDO MODO:
Item (a): No primeiro coletor:
511 -5
1/2 1/3 5 1/2 1/3
1
1 1
(2m/s)(1m)Re =1,38110
1,44810 m/s
0,664 Re Pr 0,664(1,381 10 ) (0,7330) 222,5
0,02458 W/m.C(222,5)=5,47 W/m.C
1m
VL
Nu
kh Nu
L
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Assim, a taxa de TRC por conveco no coletor 1 ser:
1 1 1( ) (5,47 W/m.C)(4 m)(15-10)C=109 WsQ h A T T
Item (b): Do mesmo modo, at o final do segundo coletor ( 2mL ), teremos:
522 -5
1/2 1/3 5 1/2 1/3
2
2 2
(2m/s)(2m)Re =2,76210
1,44810 m/s
0,664 Re Pr 0,664(2,762 10 ) (0,7330) 314,7
0,02458 W/m.C(314,7)=3,87 W/m.C
2m
VL
Nu
kh Nu
L
e do terceiro ( 3mL ):
533 -5
1/2 1/3 5 1/2 1/3
3
3 3
(2m/s)(3m)Re =4,14410
1,44810 m/s
0,664 Re Pr 0,664(4,144 10 ) (0,7330) 385,4
0,02458 W/m.C(385,4)=3,16 W/m.C
3m
VL
Nu
kh Nu
L
Assim, no terceiro coletor, o coeficiente mdio de TRC por conveco ser:
3 3 2 22 3
3 2
(3,16 W/m.C)(3m)-(3,87 W/m.C)(2m)=1,74 W/m.C
3m-2m
h L h Lh
L L
e sua taxa de TRC por conveco:
3 2 3 3( ) (1,74 W/m.C)(4 m)(15-10)C=34,8 WsQ h A T T
Passo 7: Comentrios - Observar a reduo da TRC do terceiro coletor em relao ao primeiro; - Deve-se evitar posicionar os coletores no incio da regio laminar e em toda a regio turbulenta, pois as perdas por conveco aumentam.
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(6) Um escoamento de gua, com velocidade de 0,8 m/s, deve ser aquecido de 15C para 65C, passando num banco de resistncias eltricas cilndricas de 1cm de dimetro e 4m de comprimento com arranjo em linha (vide figura). A temperatura na superfcie das resistncias de aquecimento de 90C. Determine o nmero de fileiras na direo do escoamento para obter a elevao de temperatura desejada.
Passo 1: Declarao do problema gua escoando aquecida num banco de resistncias tubulares. So conhecidas a velocidade e as temperaturas de entrada e sada da gua, a temperatura na superfcie dos tubos, e detalhes geomtricos do banco de tubos. Determinar o nmero de fileiras na direo longitudinal (mesma do escoamento) para obter o aquecimento desejado. Passo 2: Esboo Fornecido no problema. Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Propriedades termofsicas e temperaturas superficiais uniformes e constantes; b) Escoamento permanente em bancos de tubos circulares; c) Fluxo de gua na direo transversal ao eixo longitudinal dos tubos. Passo 4: Leis Fsicas A taxa de TRC por conveco entre a gua e o banco de tubos dada por:
ln ( )s p e iQ hA T mc T T
onde, o coeficiente de TRC por conveco no banco de tubos deve ser obtido em funo da geometria e de caractersticas do escoamento. A mdia logartmica da diferena de temperaturas dada por:
ln( ) ( )
ln[( ) / ( )]
s i s e
s i s e
T T T TT
T T T T
onde T refere-se temperatura e os subscritos: s superfcie dos tubos, i entrada do banco de tubos, e e sada do banco de tubos. A rea superficial dos tubos obtida por:
( )s tubos T LA DLN DL N N
onde TN nmero de fileiras transversal e LN nmero de fileiras longitudinal (incgnita do problema).
Passo 5: Propriedades termofsicas Para avaliao das propriedades termofsicas, a temperatura mdia dada por:
15 65
402 2
entrada sadam
T T C CT C
.
Da tabela da gua, tem-se:
3=0,631W/m.K; 992,1kg/m; 0,653 10 kg/m.s
4,179kJ/kg.K; Pr 4,32p
k
c
Passo 6: Clculos De acordo com Zukauskas, as correlaes em bancos de tubos so da forma:
0,25Re Pr (Pr/ Pr )m nD D s
hDNu C
k
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onde os valores de , e dependem do nmero de Reynolds: Re mxDV D
com Tmx
T
SV V
S D
.
So dados: 0,01m; 0,04m ; 0,03m 0,8m/sL TD S S e V . Da, teremos:
0,03m
(0,8m/s)=1,20m/s0,03m-0,01m
Tmx
T
SV V
S D
e
-3
(992,1kg/m)(1,20m/s)(0,01m)Re =18.232
0,65310 kg/m.s
mxD
V D
Observe que Pr e ReD calculado satisfazem as faixas de validade da correlao. Assim, da Tabela 7-2, teremos:
0,63 0,36 0,25 60,27 Re Pr (Pr/ Pr ) 0,7 Pr 500 e 0 Re 2 10D D s DNu .
Substituindo valores, com Pr 1,96s (avaliado 90 CsT ): 0,63 0,36 0,25 0,63 0,36 0,250,27 Re Pr (Pr/ Pr ) 0,27(18.232) (4,32) (4,32 /1,96) 269,3D D sNu
As correlaes da Tabela 7-2 so para bancos de tubos com mais de 16 fileiras longitudinais. Caso contrrio, devem ser
corrigidos pelos fatores da Tabela 7-3. Como o nmero de fileiras longitudinal a incgnita do problema, admitiremos inicialmente
que o banco de tubos tem mais de 16 fileiras longitudinal. Assim, com ,1 269,3LD N DF Nu Nu , e o coeficiente
mdio de TRC ser dado por:
, (269,3)(0,631W/m.C)
=16.966 W/m.C0,01m
LD NNu k
hD
Em termos de fileiras transversal, o que acontece em uma delas se repete nas outras. Assim, analisando somente uma
fileira transversal, ou seja, fazendo 1TN , a rea de TRC torna-se:
(0,01 )(4 ) 0,1257 ms L L LA DLN m m N N
Com os valores dados de temperatura, tem-se:
ln
( ) ( ) (90 15) C (90 65) C=45,5C
ln[( ) / ( )] ln[(90 15) C/ (90 65) C]
s i s e
s i s e
T T T TT
T T T T
Assim, a taxa de TRC torna-se:
ln (16.966 W/m.C)(0,1257 m)(45,5C)=9.034 Ws L LQ hA T N N
A vazo mssica de gua numa fileira transversal de tubos dada por:
(999,1kg/m)(4m)(0,03m)(0,8m/s)=95,9kg/si c i Tm AV LS V
com i avaliado 15 CiT . No escoamento, a taxa de TRC dada por:
7( ) (96kg/s)(4.179J/kg.C)(65-15)C=2,00610 Wp e iQ mc T T
Finalmente, igualando os resultados das taxas de TRC, teremos:
797.034 W 2,006 10 W 207L LN N fileiras longitudinais.
Passo 7: Comentrios
- 16LN , portanto nossa considerao inicial quanto ao nmero de fileiras longitudinal est correto.
- Como poderamos obter a temperatura da gua em qualquer fileira de tubos longitudinal?
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( )exp
(0,1257207m)(16.966W/m.C)= 90C-(90-15)C exp - 65C
(95,9kg/s)(4.179J/kg.C)
se s s i
p
e
A hT T T T
mc
T
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(7) gua, razo de 5 litros por minuto, escoa por dentro de um tubo liso com dimetro interno de 20 mm e comprimento de 13 m. Resistncias eltricas so instaladas em toda a extenso da superfcie externa do tubo, de modo que em condies de regime permanente geram um fluxo de calor constante e uniforme, que aquece a gua de 10C para 80C, sem perdas de calor para o ambiente. Determine: (a) A taxa de transferncia de calor para a gua, em W; e (b) A temperatura da superfcie interna na sada do tubo, em C. Passo 1: Declarao do problema gua aquecida com resistncias eltricas ao escoar no interior de um tubo. So conhecidas as temperaturas de entrada e sada no escoamento. Determinar a taxa de TRC para o fluido e a temperatura na superfcie interna do tubo na sada. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses para simplificaes (a) Escoamento em regime permanente, (b) Fluxo de calor, na superfcie interna do tubo, constante e uniforme, (c) Tubo liso. Passo 4: Leis fsicas Um balano de energia no VC fornece a taxa de TRC para a gua:
( )p e iQ mc T T
e, em termos de temperatura local, teremos:
,( )s s e es
Qq h T T
A
onde o coeficiente de TRC por conveco h deve ser determinado em funo da geometria e de caractersticas do escoamento. Passo 5: Propriedades termofsicas No caso de escoamento interno, as propriedades so determinadas na temperatura mdia entre a de entrada e a de
sada, dada por: ( ) / 2 (80 10) C/ 2 45m e iT T T C . Portanto, da tabela de propriedades termofsicas da gua,
tem-se:
6990,1kg/m 0,602 10 m/s Pr 3,91
0,637W/m.C 4.180J/kg.Cpk c
Passo 6: Realizar os clculos Item (a): A vazo mssica obtida por:
3 3(990,1kg/m )(5L/min)(0,001m /L)(1/ 60 min/s) 0,0825kg/sm V
da, a taxa de TRC para a gua ser:
( ) (0,0825 kg/s)(4.180 J/kg.C)(80-10)C=24.140 Wp e iQ mc T T
Item (b): A velocidade mdia do escoamento dada por:
3 3
2
(5 10 / 60)m /s0,2653m/s
(0,02m) / 4c
VV
A
e o nmero de Reynolds, por:
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6 2
(0,2653m/s)(0,02m)Re 8.813
0,602 10 m /s
hVD
v
Embora o nmero de Reynolds esteja na faixa de escoamento de transio, seu valor esta prximo do Reynolds para
escoamento turbulento, Re 10.000 . Assim, podemos assumir o escoamento como turbulento, e, nesse caso, o comprimento de entrada hidrodinmico ser igual ao trmico, dados por:
10 10(0,02m)=0,20mh tL L D
Como o comprimento de entrada muito menor do que o comprimento do duto assume-se escoamento completamente
desenvolvido em todo o duto. Nesse caso, o nmero de Reynolds dado pela correlao de Ditus-Boelter, com 0,4n , pois o fluido aquecido:
0,8 0,4 0,8 0,40,023Re Pr 0,023(8.813) (3,91) 56,85h
hDNu
k
Da, o coeficiente de TRC por conveco ser:
0,637 W/m.C
(56,85)=1.811 W/m.C0,02mh
kh Nu
D
No escoamento completamente desenvolvido, o coeficiente de TRC por conveco constante. Assim, a temperatura da superfcie interna do tubo na sada ser:
, ,
24.140W( ) (1.811W/ m . C)( 80 C)
0,02m 13m
96,3C
s s e e s e
s
se
Qq h T T T
A
T
Passo 7: Comentrios - Essa temperatura deve ser sempre superior do escoamento na sada.
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(8) Ar quente, em presso atmosfrica normal e temperatura de 85C, escoa a razo de 0,10 m/s por dentro de um duto quadrado com superfcie interna lisa de 15 cm de lado e 10 m de comprimento, localizado no tico de uma residncia. O duto no est isolado termicamente de modo que sua superfcie isotrmica est 70C. Determine: (a) Temperatura do ar na sada do duto, em C; (b) A taxa de transferncia de calor do ar no duto, em W. Passo 1: Declarao do problema Ar quente escoa no interior de um duto liso de seo quadrada com temperatura superficial interna conhecida. Obter a temperatura do ar na sada e a taxa de TRC para o escoamento com resfriamento. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses para simplificaes a) Escoamento em regime permanente; b) Propriedades termofsicas do ar constantes, 1 atm de presso; c) Duto com superfcies internas lisas. Passo 4: Leis fsicas
Um balano de energia no VC fornece a taxa de TRC para o ar, dada por: p e iQ mc T T onde, eT a temperatura do ar na sada do duto. Como a temperatura na superfcie do duto constante e uniforme, essa temperatura dada por:
( )exp se s s ip
hAT T T T
mc
onde, o coeficiente de TRC por conveco h deve ser determinado em funo da geometria e de caractersticas do escoamento. Passo 5: Propriedades termofsicas
As propriedades do ar devem ser obtidas na temperatura mdia ( ) 2m i eT T T . Entretanto, no conhecemos a
temperatura de sada. Assim, vamos admitir inicialmente uma temperatura mdia de 80C, pois o ar ser resfriado. Da:
50,9994kg/m 2,097 10 m/s Pr 0,7154
0,02953W/m.C 1.008J/kg.Cpk c
Passo 6: Clculos
Item (a): O nmero de Reynolds dado por: Re hVD
v
com: 24 / 4 0,15mhD a a a e
3 2/ (0,10m /s) / (0,15m) 4,444m/scV V A
da, substituindo valores, teremos:
-5
(4,444m/s)(0,15m)Re =31.788
2,09710 m/s
hVD
Como Re 10.000 o escoamento turbulento, e os comprimentos de entrada so:
10 10(0,15m)=1,5mh t hL L D
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Os comprimentos de entrada correspondem a 15% do comprimento total do duto. Assim, podemos considerar o escoamento completamente desenvolvido. Nesse caso, o nmero de Nusselt dado por:
0,8 0,3 0,8 0,30,023Re Pr 0,023(31.788) (0,7154) 83,16Nu
onde 0,3n para resfriamento e o coeficiente de TRC por:
0,02953 W/m.C
(83,16)=16,37 W/m.C0,15mh
kh Nu
D
e a temperatura de sada do ar pode ser calculada como:
4 4(0,15m)(10m) = 6 m
(0,9994kg/m)(0,10m/s) = 0,09994 kg/s
16,37W/mC6m( )exp 70C-(70-85)C exp - 75,7C
0,09994kg/s1.008J/kgC
s
se s s i
p
A aL
m V
hAT T T T
mc
Item (b): Substituindo valores, a taxa de resfriamento do ar ser:
(0,09994kg/s)(1.008 J/kg. C)(85 75,7 C) 937Wp e iQ mc T T Outra forma de calcular a taxa de TRC de calor usa a mdia logartmica da diferena de temperatura, dada por:
ln(75,7 85) C
= 9,61Cln[( ) / ( )] ln[(70 75,7) C/ (70 85) C]
e i
s e s i
T TT
T T T T
da, teremos:
ln (16,37 W/m.C)(6 m)(9,61C) = 944 WsQ hA T
Passo 7: Anlise, verificao e discusso - A pequena diferena entre as duas formas de clculo deve-se aos arredondamentos.
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(9) Os componentes de um dispositivo eletrnico geram 180 W de calor, e esto localizados dentro de um duto com 1 m de comprimento e seo transversal quadrada com 16 cm de lado. O resfriamento dos componentes realizado por ar forado, que entra no duto com vazo de 0,65 m/min e temperatura de 27C. Admitindo 85 % do calor gerado removido pelo ar de resfriamento, determine: (a) A temperatura do ar na sada do duto, C; (b) A temperatura mxima na superfcie interna do duto, C. Passo 1: Declarao do problema Duto quadrado contm dispositivos eletrnicos que geram calor numa taxa conhecida. Obter temperatura do ar na sada e a temperatura mxima na superfcie interna do duto se o resfriamento feito com ar forado, para o qual so conhecidas vazo e temperatura. Passo 2: Esboo
Passo 3: Hipteses simplificadoras a) Escoamento do ar em regime permanente, b) Duto com superfcies internas lisas, c) Ar com propriedades constantes, presso de 1 atm, d) Desconsiderar a resistncia trmica do duto. Passo 4: Leis Fsicas A temperatura do fluido na sada do duto pode ser obtida atravs da taxa de TRC da superfcie para o fluido, dada por:
( )p e i e ip
QQ mc T T T T
mc
A temperatura mxima na superfcie interna do duto ocorre na sada. Para um fluxo de calor uniforme e constante na superfcie do duto, tem-se:
, ,( )s s e e s e es s
Q Qq h T T T T
A hA
Passo 5: Propriedades termofsicas
Para o ar as propriedades termofsicas devem ser avaliadas na temperatura mdia ( ) 2m i eT T T . Entretanto, no
se conhece a temperatura de sada. Assim, admite-se inicialmente 35 CmT pois o ar ser aquecido. Da tabela de ar presso
de 1 atm, tem-se:
Passo 6: Clculos Item (a): A vazo mssica de ar dada por:
27( ) (1,176kg/m)(0,65m/min)(1/60min/s) = 0,01274 kg/s Cm V
(0,85)(180W)
27 = 39 C(0,01274kg/s)(1.007J/kg.C)
e i
p
QT T C
mc
Item (b): A velocidade mdia do escoamento e o dimetro hidrulico do duto so obtidos por:
(0,65m/min)(1/60min/s)
= 0,4232 m/s(0,16m)(0,16m)c
VV
A
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4 4(0,16m)(0,16m) = 0,16 m
4(0,16m)
ch
AD
p
e o nmero de Reynolds:
-5
(0,4232m/s)(0,16m)Re = 4.091
1,65510 m/s
hVD
Embora Re 10.000 , os componentes eletrnicos na superfcie interior do duto provocaro turbulncia, de modo que o escoamento pode ser considerado completamente desenvolvido e turbulento em todo o comprimento do duto. Assim, a correlao para o nmero de Nusselt ser:
0,8 0,4 0,8 0,40,023Re Pr 0,023(4.091) (0,7268) 15,7Nu
com
0,02625 W/m.C
(15,7) = 2,58 W/m.C0,16mh
hh Nu
D
e
,
(0,85)(180W)39C + = 92,7 C
(2,58W/m.C)(40,16m1m)s e e
s
QT T
hA
Passo 7: Comentrios - Observe que a temperatura da superfcie do duto na sada bem maior que a do ar; - A temperatura na superfcie do duto pode ser reduzida se sua superfcie externa tambm for ventilada.