Murray 3ra edicionProblema 1:Una partcula P se mueve a lo largo
del eje x (figura 1.1) de tal manera que su aceleracin en cualquier
tiempo t0 est dado por a=16-24t. Encuentre la posicin x de la
partcula medida del origen O a cualquier tiempo t>0, asumiendo
que inicialmente (t=0) est localizada en x=2 y est viajando a una
velocidad v=-5.
Para formular matemticamente este problema, recordemos primero
del clculo que la velocidad y aceleracin de una partcula que se
mueve a lo largo del eje x estn dadas respectivamente por
Entonces de la primera frase del enunciado del problema se tiene
(I)La cual es la ecuacin diferencial requerida para el
movimiento.Solucin a la parte (a):Las condiciones sobre la funcin x
dadas en parte (a) son En t=0 esto es, (II)Se debera notar que el
significado del signo menos en es de que la partcula est viajando
inicialmente hacia la izquierda. Si integramos una vez, encontramos
(III)Donde es una constante arbitraria. Esta constante puede
determinarse de la segunda condicin en (II) con t=0 en (III).
Encontramos , esto es, , de modo que (IV)La integracin de (IV) da
(V)Donde es otra constante arbitraria que puede determinarse de la
primera condicin en (II) con t=0 en (V). Encontramos o . As
La cual es la ley requerida de movimiento permitindonos
determinar la posicin en cualquier tiempo t>0; por ejemplo, al
tiempo t=1, x=1, al tiempo t=2, x=-8, etc.Solucin a la parte (b) En
esta parte todava tenemos la misma ecuacin diferencial (I) para el
movimiento, pero las condiciones han cambiado a en , en o , (VI)En
este caso integramos (I) como antes para obtener (III). Sim
embargo, puesto que no tenemos una condicin para , no podemos
todava determinar , y por tanto debemos integrar (III) para obtener
(VII)Las formulaciones matemticas de las partes (a) y (b) en el
problema anterior son, respectivamente,(a) . (b) . , Reflexin: Una
diferencia importante entre ellas es que en (a) las condiciones
sobre la funcin desconocida x y sus derivadas x o estn
especificadas en un valor de la variable independiente (en este
caso t=0), mientras que en (b) las condiciones sobre la funcin
desconocida x se especifican en dos valores de a variable
independiente (en este caso t=0 y t=1). Los dos tipos de problemas
presentados en (a) y (b), respectivamente, se llama problemas de
valor inicial y problemas de valor de frontera.
Mtodo:-Primero observamos el problema y notamos si es una
ecuacin diferencial de primer orden.-Luego vemos si podemos
factorizar y as podremos separar las variables.-Despus quedara una
ecuacin que puede ser resuelta inmediatamente por integracin.
Problema 2:Resolver:
Solucin:Al multiplicar la ecuacin por y dividirla entre
obtenemos para separar las variablesDivisin termino a trmino o sea
En el primer trmino integramos por partes
La familia monoparamtrica de soluciones tambin se puede escribir
en la forma
Problema 3:Problema 20 denis zill pag 50Resolver:
Solucin:
Problema 4:Resolver:
Sea , reemplazando en la ecuacin diferencial se tiene ,
separando las variables, integrando se tiene:
Problema 3: Resolver:
Solucin:La ecuacin diferencial expresamos en la forma:
Sea Reemplazando en la ecuacin diferencial Simplificando y
separando la variable se tiene
Integrando ambos miembros de donde
