FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. 2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. 3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido. Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, cbxax ++2 , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma ( )mqpx + , donde 1≥m o ( )ncbxax ++2 los números m y n no pueden ser negativos. Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

...factor factor

++segundo

Bprimer

A

Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

xxxxx329134

23

2

−+

−+

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga. Segundo: factorizo el denominador

( ) ( )( )133232 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

13329134

23

2

−+

++=

−+−+

xC

xB

xA

xxxxx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis

( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 3329134 2222 ++−+−+=−+ Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxCBAxxxACxBxAxCxBxAxxxCxCxBxBxAAxAxxxCxCxBxBxAAxAxxx

xxCxxBxxAxx

3329134332913433291343329134

3329134

22

2222

2222

2222

2222

−+−+++=−+

−+−+++=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

++−+−+=−+

Mis tres ecuaciones son:

4111 =+++ CBA 13312 +=+− CBA

A39 −=− Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A

A39 −=−

A

A

=

=−−

339

Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

( )( )

13443413

4111

=+

−=+

=++

=++

=+++

CBCBCBCB

CBA

( )( )

736133

133613332

13312

=+−

−=+−

=+−

=+−

+=+−

CBCBCB

CBCBA

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo asi

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C

731 =+−

=+

CBCB

2C 84

=

=C

121121

−=

−=

=+

=+

BBBCB

Coloco las respuestas en la letra correspondiente

12

313

13329134

23

2

−+

+−=

−+

++=

−+−+

xxxxC

xB

xA

xxxxx

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho mas fácil.

1332

913423

2

−+

++=

−+−+

xC

xB

xA

xxxxx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

0=x 303

−=

=+

xx

101

=

=−

xx

Ahora sustituyo los valores de x x = 0

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

AA

CBACBA

=

−=−

++−=−+

++−+−+=−+

339

00139003001001030901304 2

x = -3

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

BB

CBACBA

=−

=−

−+−−+−=−−

+−−+−−−+−−+−=−−+−

11212

034340939363331331333931334 2

x = 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

CC

CBACBA

=

=

++=−+

++−+−+=−+

248

41010491343111111131911314 2

Respuesta:

12

313

13329134

23

2

−+

+−=

−+

++=

−+−+

xxxxC

xB

xA

xxxxx

EJERCICIOS

1) ( )( )32

18+−

−xx

x 2) ( )( )14

29+−

−xx

x 3) 124

342 −−

+xx

x

4) xx

x4125

2 −− 5)

( )( )( )3211154 2

−+−−−xxxxx 6)

( )( )5220192

−+++xxxxx

7) xxx

xx541554

23

2

−−−− 8)

( )( )6511137

2 +−+−

xxx

Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. Ejemplo:

( )22

33610

−

−+

xxxx

Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )23−x Entonces lo colocamos asi:

( )233 −+

−+

xC

xB

xA

Si fuera al cubo el término repetido ( )33−x lo pondríamos:

( ) ( )32 333 −+

−+

−+

xD

xC

xB

xA

Ejemplo resuelto por pasos:

( )22

33610

−

−+

xxxx

Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado así:

( ) ( )22

2

3333610

−+

−+=

−

−+

xC

xB

xA

xxxx

Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones. Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.

( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610 22 Operamos los paréntesis

( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ACBAxBAxxxACxBxAxBxAxxxCxBxBxAAxAxxxCxBxBxAAxAxxx

93636109363610

39636103963610

22

222

222

222

++−−++=−+

++−−+=−+

+−++−=−+

+−++−=−+

Formo mis 3 ecuaciones

3691036

1

−=

=+−−

=+

ACBA

BA

Resolviendo me queda:

4369

−=

−=

AA

Sustituyo valores en la primera ecuación:

514141

=

+=

=+−

=+

BB

BBA

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo asi

Sustituyo valores en la segunda ecuación

1910109

1015241036

=

−=

=+

=+−

=+−−

CCC

CCBA

respuesta

( ) ( )22

2

31

354

33610

−+

−+

−=

−

−+

xxxxxxx

EJERCICIOS

9) ( )21

32−

+

xx 10)

( )245

2

2

+−xxx 11) 23

2

53255019

xxxx

−

−+

12) 2510

102 ++

−xxx 13)

( )( )12262

−+−xx

x 14) ( ) ( )22

2

112

+−

+

xxxx

Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible.

48229154

23

23

−+−−+−xxxxxx

Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una división larga. 2

482 23 −+− xxx 2915 4 23 −+− xxx 8 1624 23 +−+− xxx 2x x− 21−

482212

48229154

23

2

23

23

−+−−−

+=−+−−+−

xxxxx

xxxxxx

Factorizo el denominador:

( ) ( ) ( )( )12412412482 2223 −+=−+−=−+− xxxxxxxx

42 +x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:

12448221

223

2

−+

+

+=

−+−

−−

xC

xBAx

xxxxx

Operamos el mínimo común denominador

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )CBBAxCAxxxCBBxAxCxAxxxCCxBBxAxAxxx

xCxBAxxx

422214222142221

41221

22

222

222

22

+−++−++=−−

+−+−+=−−

++−+−=−−

++−+=−−

Formar las ecuaciones:

21412

12

−=+−

−=+−

=+

CBBA

CA

Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por matices

2141010211102

−−

−+−

+++

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo asi

1102214101021

+++

−−+

+−+

1140214101021

−++

−−+

+−+

851700214 101 0 21

−++

−−+

+−+

58517

−=

−=

CC

12021214

=

+−=−

−=+−

BB

CB

3212112

=

+=

+=

=−

AA

BABA

RESPUESTA:

125

4132

1242

482212

48229154

2223

2

23

23

−−

+++

+=−

+++

+=−+−

−−+=

−+−−+−

xxx

xC

xBAx

xxxxx

xxxxxx

11 RR =−

3312 RRR =+−

114011022042

−++

+++

−+−

3324 RRR =+

8517001 140

841640

−+

−++

−−