NZQR

N=mulimea numerelor naturaleZ=mulimea numerelor ntregiQ=mulimea numerelor raionaleR=mulimea numerelor realeR-Q=mulimea numerelor iraionale

NZQRNZQR

Adevrat sau fals ?

Atenie ! Nu asociai automat numerele scrise cu radical cu numerele iraionale!Afirmaiile anterioare sunt false. Demonstrm cu metoda contraexemplului.

Georg Cantor (1845-1918) a avut o contribuie remarcabil n fundamentarea teoriei mulimilor. n acelai timp el a dat o construcie a numerelor reale printr-o metod diferit de cele realizate de predecesorii si.Creator al teoriei numerelor reale, poate fi ns considerat matematicianul grecEudoxus (408-355 .Hr.)Ideile sale inspirate din geometrie au fost preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) i de Richard Dedekind (1831-1916) i dezvoltate prin metode aritmetice i analitice moderne.NZQR

Mulimea numerelor naturale

Mulimea numerelor ntregi

Mulimea numerelor raionale Se noteaz cu Q Orice numr raional se poate scrie sub forma: , aZ, b Z* Numerele raionale pot avea dup virgul: - un numr finit de zecimale; - o infinitate de zecimale care se repet periodic; - o parte finit urmat de o parte periodic. Numere care aparin mulimii Q: 0; 1; 10; -1; -106; 2-3; -0,5; 3,(74); 1,8(2); . Numere care nu aparin mulimii Q: ; ; ; ; .

Mulimea numerelor reale Se noteaz cu R Un numr real este sau raional, sau iraional. Numerele iraionale au dup virgul o infinitate de zecimale fr parte periodic. Numere care aparin mulimii R: 0; 1; 10; -1; -106; 2-3 ; -0,5; 3,(74); 1,8(2); ;

Numere care nu aparin mulimii R: soluii ale unor ecuaii precum: x2+1=0.

Un numr de forma , aN, este iraional dac:

Ce este axa numerelor reale ?O dreapt pe care am fixat:

un punct O numit origine; un sens pozitiv (indicat de sgeat); o unitate de msur.origineaOA=1sens pozitiv

Oricrui numr real i se poate asocia un punct de pe axa Ox i reciproc, oricrui punct de pe axa Ox i se poate asocia un numr real; Numerele reale ocup toate punctele dreptei Ox

Folosind Cum reprezentm pe ax numerele iraionale ?construcii geometriceaproximri

Aproximrin funcie de precizia cu care dorim s lucrm, putem nlocui un numr real cu aproximri ale sale, care s aib un ordin de mrime dat. De cele mai multe ori, nu avem nevoie de o precizie att de mare nct s folosim rigla i compasul pentru a reprezenta un numr pe ax. n aceste situaii, recurgem la ncadrarea numrului dat ntre dou numere raionale care l aproximeaz prin lips, respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe ax numrul dat printr-un punct situat ntre punctele corespunztoare unei ncadrri date.

aproximareprin lipsaproximareprin adaos

Dac avem nevoie de o precizie maimare, atunci folosim rigla i compasul.

Construcii geometrice

Teorema stabilete echivalena ntre o proprietategeometric (a fi un triunghi dreptunghic) i o proprietatenumeric (suma ptratelor a dou numere este ptratulunui alt numr), trasnd o legtur ntre geometrie i aritmeticntr-un triunghi dreptunghic suma ptratelorlunghimilor catetelor este egal cu ptratul lunghimii ipotenuzei.

matematician i filozof grec, spunea:

Cedeaz ntotdeauna cuvintelor blnde i faptelor folositoare.

Obinuiete-te s domini: lcomia n primul rnd, apoi lenea, luxul i mnia.

Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujete mai ru dect dumanul care ni le reproeaz.

(Vezi I. Dncil Matematica gimnaziului-pag. 108)

Desenul urmtor v sugereaz un procedeu pentrua construi segmente de lungime

a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei i al antichitii, dar i unul al tuturor timpurilor.Pliniu l-a numit zeul matematicii, iar Leibniz a scris c, dac cunoti opera lui Arhimede, nu mai poi admira descoperirile noi.Legendele i anecdotele care au mpodobit inveniile sale sunt aproape singurele izvoare de unde putem afla amnunte despre opera sa matematic i inginereasc. (Vezi I. Dncil Matematica gimnaziului-pag. 141)

Folosii spirala lui ARHIMEDE pentru a reprezenta pe axa numerelor:

Un procedeu pentru a construi, ct mai rapid, un segment de lungime 34 = 25 + 9 = 52+32

Desenul urmtor v sugereaz cum putem construi,ct mai rapid, un segment de lungime 15 = 32 + 22 + 12 + 12

Construii asemntor segmente de lungime:INDICAII

17=16+141=25+1635=25+9+1, sau 35=132-12239=36+1+1+1, sau 39=202-19286=81+4+1106=81+25INDICAII

Numrul 12 345 678 987 654 321 este un numr remarcabil. Dar i rdcina luiptrat este tot aa: este un numr ntreg !Voi l putei calcula ?

Numrul 12 345 678 987 654 321 este ptrat perfect i se citete astfel:12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,987 milioane, 654 mii, 321.rdcina lui ptrat este: 111 111 111.

112=1211112=1232111112=1234321111112=1234543211111112=1234565432111111112=1234567654321111111112=1234567876543211111111112=12345678987654321

Ai ajuns la sfrit. IEIRENAPOIALEGE !