AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2566824/FULLTEXT01.pdf · AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Sprickbredders beroende av

ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE

Examensarbete 15 hp

November 2012

Axial- och gradientkrympning hos

golv på mark enligt Eurokod 2

Sprickbredders beroende av betongkvalité,

tvångseffekter och armeringshalt

Robert Edlinger

Karls Svansbo

AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING

HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT

EUROKOD 2

Sprickbredders beroende av betongkvalité,

tvångseffekter och armeringshalt

Robert Edlinger

Karl Svansbo

Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik

Byggteknik, Uppsala universitet Examensarbete 2012

ii

Denna rapport är tryckt på Polacksbackens Repro, Institutionen för

informationsteknologi, Uppsala universitet, Box 337, 751 05 Uppsala

Copyright©Robert Edlinger och Karl Svansbo

WSP Byggprojektering, Stockholm

Institutionen för teknikvetenskaper, Tillämpad mekanik,

Byggnadsteknik, Uppsala universitet

Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten

Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0

Postadress: Box 536 751 21 Uppsala

Telefon: 018 – 471 30 03

Telefax: 018 – 471 30 00

Hemsida: http://www.teknat.uu.se/student

Abstract

Axial- och gradientkrympning hos golv på mark enligt

Eurokod 2

Axial and gradient shrinkage of concrete slabs according to Eurocode 2 Robert Edlinger och Karl Svansbo Concrete foundation slabs are usually exposed to unilateral drying during the curing process. The unilateral drying causes an axial shrinkage and a concave curvature of the construction. The curvature results from the fact that the upper part of the slab is drying and shrinking faster than the lower part. This is called gradient shrinkage.

A problem occurs when the slab is considered fully restrained by adjoining structural parts. The deformations caused by axial contraction due to the constant part of the shrinkage and the curvature caused by gradient shrinkage of the slab are then prevented by the fact that the slab is fully restrained. When the shrinkage and the curvature are prevented, constraints occur in terms of an axial force and a bending moment. These constraints cause cracking in the upper part of the slab. These cracks can cause inconveniences for the user of the slab and the cracks should therefore be minimized.

It is important to determine the precise magnitude of the constraints so that sufficient amount of reinforcement can be applied into the concrete and the crack widths can be reduced.

The construction consultancy company WSP has an interest in structural design methods for reducing the risk for concrete cracking through establishing engineering guidelines for the structural design of foundation slabs which are exposed to axial and gradient shrinkage.

The result in this report shows the magnitude of the constraints for slabs of varying thickness and molded with different types of concrete. The constraints are later used to determine the crack widths. Two different reinforcement standards, both in compliance with the minimum requirements of Eurocode 2, are included in the study.

A conclusion based on the results shows that the amount of reinforcement can be reduced in foundation slabs up to 300 millimeters thickness without significant impact on the crack widths.

Handledare: Kent Arvidsson

Ämnesgranskare: Ali Farhang

Examinator: Patrice Godonou

ISRN UTH-INGUTB-EX-BI-2012/03-SE

Tryckt av: Polacksbackens Repro, Institutionen för informationsteknologi,

Uppsala universitet

http://www.teknat.uu.se/student

iv

SAMMANFATTNING Betonggolv på mark utsätts för ensidig uttorkning. Den ensidiga

uttorkningen orsakar en axial krympning och ger en konkav krökning

av konstruktionen, s.k. kantresning. Krökningen uppkommer då

golvplattans överkant torkar och krymper snabbare än underkanten.

Detta kallas gradientkrympning.

Ett problem uppstår då betongplattan är fast inspänd i närliggande

konstruktionsdelar. De deformationer som orsakas av axiell

sammandragning på grund av den konstanta delen av krympningen,

och krökningen orsakad genom krympningsgradienten av plattan,

förhindras av det faktum att plattan är helt fastspänd. När krympning

och krökning förhindras uppstår tvång i form av axialkraft och böjande

moment. Dessa tvång ger upphov till sprickbildning i plattans

överkant.

Dessa sprickor kan medföra olägenheter för beställaren och bör

därför minimeras. Det är viktigt att fastställa tvångets storlek så att

tillräcklig armeringsmängd kan användas i konstruktionen för att

minska sprickbredderna. Konsultföretaget WSP har ett intresse av att

upprätta ingenjörsmässiga riktlinjer för dimensionering av golv på

mark utsatta av axial- och gradientkrympning så risken för dessa

sprickor kan minimeras.

Resultatet i denna rapport redovisar tvångens storlek för varierande

plattjocklekar gjutna med olika sorters betong. Tvången används sedan

som underlag för att beräkna sprickbredder, som också redovisas i

rapporten. I studien har två olika armeringshalter använts enligt

Eurokod 2:s minimiarmerings krav.

Slutsatsen av resultaten är att armeringsmängden kan reduceras i

plattor upp till 300 millimeters tjocklek utan någon påtaglig förändring

av sprickbredder sker.

v

FÖRORD Med detta examensarbete avslutar vi vår högskoleingenjörsutbildning i

byggteknik vid Uppsala universitet. Vårt examensarbete har utförts

under våren 2012 på WSP Byggprojektering i Stockholm med Tekn. Dr.

Kent Arvidsson som upprättat programmet för examensarbetet.

Vi vill tacka Mattias Ek på WSP som har varit till stor hjälp med stöd

och vägledning i de datorprogram vi använt. Framförallt vill vi tacka

vår handledare Kent Arvidsson som har varit ett enormt stöd under

resans gång.

Vi skulle även vilja tacka Mikael Hallgren adjungerad professor och

Måns Thulin, doktorand i matematisk statistik. Mikael skulle vi vilja

tacka för rådgivning och tolkning av Eurokod 2. Måns skulle vi vilja

tacka för hjälp och rådgivning.

Vi skulle till sist vilja tacka vår ämnesgranskare Ali Farhang Tekn. Dr.

för sitt engagemang och granskningssynpunkter.

Uppsala i maj 2012

Robert Edlinger och Karl Svansbo

vi

vii

INNEHÅLL 1 Introduktion 1

1.1 Inledning 1

1.2 Bakgrund 2

1.2.1 Betong och dess egenskaper 2

1.2.2 Platta på mark 2

1.2.3 Gjutningsklimat 3

1.2.4 Vattencementtal 3

1.2.5 Betongens krympning 4

1.2.5.1 Uttorkningskrympning 4

1.2.5.2 Autogen krympning 4

1.2.6 Tvångseffekter 5

1.2.7 Krypning 5

1.2.8 Åtgärder mot sprickbildning 6

1.2.9 Normer 7

1.3 Avgränsningar 7

2 Företagsbeskrivning 9

3 Genomförande 11

3.1 Beräkningsmodell 11

3.2 Förutsättningar 11

3.3 Val av betong 11

3.4 Lösningsmetoder 12

4 Beräkning av tvång 13

4.1 Beräkningsmodell 13

4.2 Beräkningsgång 13

4.2.1 Beräkning av total krympning 14

4.2.1.1 Uttorkningskrympning 14

4.2.1.2 Autogen krympning 15

4.2.2 Beräkning av kryptal 16

viii

4.2.2.1 Inverkan av relativ fuktighet 16

4.2.2.2 Inverkan av betongens ålder vid pålastning 17

4.2.2.3 Inverkan av krypningens utveckling med tiden 17

4.2.2.4 Delresultat 21

4.2.2.5 Verifiering av kryptal 21

4.2.3 Beräkning av effektiv elasticitetsmodul 21

4.2.4 Beräkning av axialtvång 22

4.2.5 Beräkning av neutrala lagret 23

4.2.6 Beräkning av momenttvång 23

5 Beräkning av deformationer 25


5.2 Beräkning av yttröghetsmoment 25

5.3 Beräkning av böjmotstånd 26

5.4 Beräkning av spänning 26

5.4.1 Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar 27

5.4.1.1 Spänningsbidraget av normalkraften 27

5.4.1.2 Spänningsbidraget av det böjande momentet 27

5.5 Beräkning av medelkrympning och medelkryptal 29

5.6 Beräkning av vinkelförändring 29

5.7 Beräkningsnoggrannhet 30

5.8 Delresultat och kommentarer 30

6 Beräkning av sprickbredder 31


6.2 Armeringshalt 31

6.3 Modell i Ramanalys 32

6.4 Beräkningsnoggrannhet 33

6.5 Delresultat och kommentarer 33

7 Resultat och analys 35

7.1 Sprickbreddsdiagram 35

ix

7.2 Armeringspåkänning 38

7.3 Verifiering 41

7.4 Analys 42

7.5 Jämförelse mellan EC 2 och BBK 43

8 Slutsats 45

9 Referenser 51

BILAGOR

Bilaga 1, Beräkning i Mathcad B1

Bilaga 2, Verifiering av kryptal B2

Bilaga 3, Passningsberäkning i Ramanalys B3

x

1

1 INTRODUKTION

1.1 Inledning

Platta på mark är en betongkonstruktion där skador ofta inträffar. Ofta

består skadorna i att betongen spricker. En sammanställning av

betongrelaterade skadeutredningar visar att golv utgör 20 % av

skadefallen och det vanligaste problemet hos golv är sprickor med

oönskade sprickbredder [1]. Det finns många orsaker till varför

betongplattor på mark spricker och det är av stor betydelse att minimera

risken för icke önskade sprickbredder. Denna rapport behandlar en av

orsakerna till sprickor som kallas axial- och gradientkrympning.

När en betongplatta gjuts på mark uppkommer oliksidig uttorkning i

plattan. Överkant platta befinner sig i kontakt med den omgivande luften

medan underkanten befinner sig i en fuktigare miljö mot marken. Denna

oliksidiga uttorkning ger upphov till ojämn krympning, s.k.

gradientkrympning. Betongen krymper snabbare i plattans överkant än i

dess underkant och detta i sin tur ger upphov till problem där plattan vill

kröka sig uppåt längs dess kanter, s.k. kantresning. När plattans kanter

reser sig kommer egentyngden att motverka denna resning och

spänningar i plattan uppstår.

Om plattan gjuts inspänd i anslutande konstruktioner, exempelvis

väggar, motverkas plattans krympning i axialled av dessa. Plattans

inspänning och dess egentyngd orsakar dragspänningar i plattan i form av

ett axialtvång och ett momenttvång. Dessa tvång ger upphov till oönskade

tvångssprickor i plattan när betongen krympt så pass mycket att

dragspänningarna överstiger betongens draghållfasthet.

Det är i dagens läge svårt att uppskatta sprickbredderna från axial- och

gradientkrympning därför att det är ett komplext problem som varierar

med plattors tjocklek. Detta leder till osäkerhet vid val av armeringshalt

och branschen skulle gynnas om nya riktlinjer ritades upp.

Syftet med denna rapport är att för fem plattor av olika tjocklek och tre

olika sorters betonghållfastheter beräkna de tillhörande tvången samt

AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2

2

analysera vilka sprickbredder som erhålls vid användning av

minimiarmering enligt Eurokod 2. Totalt studeras 15 plattor.

Eurokod 2 även kallad EC 2 är Europas gemensamma

dimensioneringsregler för bärverksdelar i betong.

Ett tidigare examensarbete har skrivits om detta ämne vid lärosätet

Kungliga tekniska högskolan, campus Haninge [2]. Detta har dock gjorts

enligt Sveriges gamla normer, Boverkets bestämmelser för

betongkonstruktioner även kallad BBK 04. Det finns därför ett stort

intresse att bestämma minimiarmering och sprickbredder enligt EC 2.

Målet med denna rapport är att jämföra resultaten enligt EC 2 och BBK

04 så att en slutsats om skillnaderna mellan normerna kan fastställas.

1.2 Bakgrund

1.2.1 Betong och dess egenskaper

Materialet betong har högre tryckhållfasthet än draghållfasthet, d.v.s.

materialet går sönder lättare när det utsätts för drag- än tryckpåkänningar.

Det är betongens låga draghållfasthet som gör att betong behöver armeras.

Tryckhållfastheten brukar i beräkningar betecknas , draghållfastheten

betecknas . Betongens medeltryckhållfasthet vid 28 dagar betecknas

och hållfastheterna anges i MPa.

Betongens elasticitet mäts i något som kallas elasticitetsmodul, även

kallad E-modul. Dennas karakteristiska värde betecknas och varierar

med hållfastheten. Medelelasticitetsmodulen efter 28 dagar betecknas .

E-modulen anges i enheten GPa.

När betong härdar krymper den. Betongens krympning betecknas och

mäts i promille.

1.2.2 Platta på mark

Platsgjutna golv på mark är en mycket vanlig golvkonstruktion i Sverige

och används både till småhus och större industribyggnader.

Konstruktionen innebär att en platta av betong gjuts med viss tjocklek,

antingen mot markisolering eller direkt mot kapillärbrytande skikt.

Under bärande väggar måste plattan förstärkas, plattan utformas

tjockare så att den kan bära mer last. Dessa förstärkningar, eller voter som

Kap. 1 Introduktion

3

de kallas, har en djupare grundläggningsnivå och låser fast plattan när

den vill krympa. När krympningen förhindras töjs istället betongen och

dragspänningar uppstår. Sprickorna som då uppkommer beror således på

att plattans rörelsemöjligheter förhindras. Underlaget på vilken plattan

gjuts avgör rörelsemöjligheten. Denna rapport behandlar det fall när

plattan gjuts direkt mot kapillärbrytande skikt och kan anses vara

fullständigt fastlåst. Se figur 1.1.

Figur 1.1 Krympning förhindras i plattans längdled pga. friktion mot mark

1.2.3 Gjutningsklimat

Vid det ögonblick då betongen precis lämnat blandaren och placerats i

formen har betongen 100 % relativ fuktighet. Betongens relativa fuktighet

kommer sedan att minska mot det värde på den relativa fuktigheten som

den omgivande miljön har.

Då ingen markisolering används finns ingen temperaturgradient

mellan marken och betongplattan. Detta medför att underkant platta

initialt antar markens relativa fuktighet, 100 %, således samma som den

startade med. Överkant platta som är i kontakt med luften kommer

snabbare anta en lägre relativ fuktighet. Denna fuktgradient är det som

gör att den ojämna krympningen uppkommer.

I denna undersökning kommer det mest ogynnsamma

gjutningsklimatet att undersökas, när det är som torrast i luften och störst

fuktgradient uppstår. Detta klimat är gjutning inomhus i maj då den

relativa luftfuktigheten är ca 55 % [2].

1.2.4 Vattencementtal

Andelen vatten i betongen anges med ett s.k. vct-tal och beskriver hur

vattnet förhåller sig gentemot cementmängden. Andelen vatten i betongen

bestämmer betongens hållfasthet och hur mycket betongen kommer att

krympa. Detta beror på att betongen krymper när vattnet dunstar och


4

lämnar betongmassan, s.k. uttorkningskrympning. I denna studie

undersöks tre olika vct: 0.38, 0.43, 0.53.

1.2.5 Betongens krympning

Betongens krympning kan delas upp i två komponenter,

uttorkningskrympning och autogen krympning.

Krympningens storlek beror främst på:

Konstruktionsdelens geometri och uttorkningsytor

Mängden cementpasta gentemot vatten i betongen

Omgivningens fuktighet och temperatur

Betongens behandling

Betongens ålder [3]

1.2.5.1 Uttorkningskrympning

Uttorkningskrympning är den krympning som sker pga. fuktutbytet

mellan betong och omgivande miljö, det är också den som pågår under

längst tid.

I betong lagras en betydande del av vattnet i betongens porsystem. När

betongen lämnar blandaren kommer denna inlagrade mängd vatten att

med tiden avta och betongen krymper. Uttorkningskrympningen som

sker under de första månaderna efter gjutning kallas för

förstagångskrympningen.

Viktigt att nämna är att under betongens livscykel kommer omväxlande

uttorkning och nedfuktning över månadernas gång bidra till krympning

respektive svällning, dock mindre än förstagångskrympningen. [4]

1.2.5.2 Autogen krympning

Autogen krympning är en krympning som kan ske utan fuktutbyte med

omgivningen. Denna form av krympning beror på den kemiska process

som sker i cementpastan när betongen härdar.

Autogen krympning är av större betydelse i betong med låga vct då den

större delen av det totala vatteninnehållet binds och förbrukas när

betongen härdar. Den andel vatten som lagras i porerna för att med tiden

torka ur blir därmed mindre. Betong med lägre vct har högre hållfasthet

och ett tätare porsystem som bidrar till mindre mängd lagrat vatten [3].

Kap. 1 Introduktion

5

I de gamla normerna, BBK 04, beaktas inte den autogena krympningen

när krympberäkningar utförs. Detta blir därför en ny aspekt att ta hänsyn

till när beräkningarna genomförs enligt EC 2.

1.2.6 Tvångseffekter

När plattan är fastinspänd i angränsande konstruktioner, t.ex. vid

etappvis gjutning av stora betonggolv, begränsas dess rörelsemöjligheter.

Detta innebär att när plattan krymper förhindras dess rörelse och

tvångskraft i form av axial dragkraft uppstår. Den axiala kraftens storlek

beror såväl på plattans storlek som på gjutningsunderlaget. Den ojämna

uttorkningen ger i sin tur upphov till ett böjande momenttvång som inte

kan elimineras.

När luften i den omgivande miljön har en låg relativ fuktighet torkar

plattan ut snabbt och ojämnt. Då kan dessa tvång bli så pass stora att

sprickor erhålls. När betongen spricker minskar tvångskrafterna. Detta

sker därför att betongen inte kan ”hålla emot” den axiala dragkraften i

samma utsträckning som när den var osprucken. När betongen med tiden

fortsätter torka kommer tvångsspänningarna igen att öka tills betongens

draghållfasthet åter är uppnådd och nya sprickor uppstår i nya snitt i

plattan.

När betongen spricker kommer armeringen att ta större delen av

dragkraften. Det är därför viktigt att armeringen kan ta upp dessa

spänningar och inte ger efter så att stora sprickor, s.k. ”single cracks”

uppstår. Armeras betongen på rätt sätt, med tillräcklig mängd armering,

förhindras dessa ”single cracks” och flera små sprickor uppträder istället

[3]. Detta är mer gynnsamt ur användarsynpunkt

1.2.7 Krypning

När en konstruktion pålastas deformeras den omedelbart. Denna

deformation kommer sedan att växa med tiden. Detta fenomen kallas

krypning. Krypning är en deformation som beror av spänningen i

betongen och antas nå ett slutligt värde efter ungefär 70 år. [3] Krypningen

definieras med ett så kallat kryptal och betecknas . Ju större kryptal,

desto större krypdeformation.


6

I fallet som studeras, när plattan är fastlåst och krymper ojämnt,

uppkommer krypdeformationen till följd av de tvång som plattan belastas

av. Betongens egenskap att krypdeformeras har en gynnsam inverkan på

konstruktionen då dragkraften minskar, betongen relaxeras, när plattan

töjs ut. Denna minskning av dragkraft kan liknas med den som sker när

plattan spricker, d.v.s. att betongen inte längre kan ”hålla emot” [5].

Krypningen beaktas i beräkningarna.

1.2.8 Åtgärder mot sprickbildning

Gradientkrympning kan till viss del reduceras. Det finns idag tekniker för

att sakta ned krympning och avdunstning genom att få överkanten av

plattan att torka långsammare. Detta sker genom vattenbehandling och

övertäckning med plastfolie. Friktionen mot underlag, som ger upphov till

axialtvång, kan reduceras genom gjutning mot glatt underlag.

Problemen går dock inte att eliminera helt. I de gamla normerna, BKR

och BBK 04, beaktas problemet med ojämn krympning och riktvärden för

krympskillnaden vid oliksidig uttorkning finns att tillgå. Detta återfinns

inte i EC 2 [3].

Idag finns möjligheter att påverka betongen genom tillsatsmedel. Det

finns tillsatser för många olika ändamål, bland annat krympreducerande.

Vacuumsugning är ett alternativ där vatten avlägsnas från

betongplattans överkant. På så sätt kan ytkrympningen reduceras upp till

50 % [6].

I denna rapport undersöks endast hur stora sprickbredder som

uppkommer utan användning av tillsatser eller krympreducerande

åtgärder.

Problemet med axial- och gradientkrympning är omfattande och

resulterar ibland i juridiska konflikter mellan berörda parter. Om detta

problem kan lösas kan branschen besparas mycket tid och pengar [5].

Kap. 1 Introduktion

7

1.2.9 Normer

Det finns betydande skillnader i hur BBK 04 skiljer sig mot EC 2, bland

annat när det gäller beräkning av krympning och kryptal. I BBK 04

beaktas inte den autogena krympningen, vilken beaktas i EC 2.

EC 2 har infört noggrannare metoder för beräkning av kryptal där

kryptalet är beroende av tiden, till skillnad från BBK 04 där tiden inte

beaktas. Det finns också skillnader i hur minimiarmering beräknas.

EC 2 finns i flera olika upplagor för olika länder. I denna studie följs EC

2 med svenskt annex.

1.3 Avgränsningar

Femton olika plattor studeras och inverkan av temperaturvariationer

beaktas inte. Inverkan av cementtyp på betongens kryptal studeras inte,

och heller inga yttre laster. Ingen behandling av eftergivlighet i plattans

inspänning.


8

9

2 FÖRETAGSBESKRIVNING Folke Jacobson Och Hans Wildmark bildade 1938 företaget J&W, Jacobson

& Wildmark. J&W växte starkt och introducerades 1976 på

Stockholmsbörsen med 750 anställda. 2001 sammanslogs J&W med WSP

(ursprungligen Williams Sayles Partnership), ett brittiskt bolag grundat

1970 och noterat på Londonbörsen sedan 1987.

WSP är idag ett av världens största konsultföretag med mer än 9000

medarbetare på 200 kontor i 35 länder världen över. Det är ett globalt

analys- och teknikkonsultbolag som deltar i samhällsbyggande över hela

världen. WSP har sina huvudsakliga säten i Storbritannien, Sverige, övriga

Europa, USA, Afrika, Indien, Mellanöstern, Asien och Australien. De

erbjuder sina kunder kvalificerade helhetslösningar med hjälp av kunniga

team som har erfarenhet från olika delar av världen. WSP erbjuder

konsulttjänster inom fastighet, transport & infrastruktur, miljö & energi

och industri. I Sverige är WSP ett rikstäckande företag med ca 2400

medarbetare.

WSP byggprojektering är en del av WSP Group och har idag ca 360

medarbetare i Sverige.

Syftet med detta examensarbete från WSP:s sida är att kunna upprätta

en handbok för praktiskt ingenjörsarbete. I denna ska ingenjören kunna

påvisa sprickrisker i betonggolv för konstruktörer och framför allt

beställare.


10

11

3 GENOMFÖRANDE

3.1 Beräkningsmodell

Beräkningsmodellen som används har erhållits av handledare Kent

Arvidsson, teknisk doktor. Beräkningsmodellen bygger på att plattans

tvärsnitt som studeras delas upp i millimeterstrimlor i höjdled. På så sätt

kan fuktgradienten över tvärsnittet studeras mycket noggrant och en axial

dragkraft kan beräknas för varje millimeterstrimla. Plattorna studeras per

meter strimla i breddled. Beräkningarna följer EC 2.

3.2 Förutsättningar

Oliksidig uttorkning råder

Fullständig fastlåsning, plattan utsätts för fullt tvång

Plattor av tjocklekar 120, 160, 200, 300 och 400 millimeter

Betong av vct 0.38, 0.43 och 0.53, svensk standardbetong används

Snabbhärdande cement används, cementklass R

Plattans gjuts i maj, inomhusklimat, luftens relativa fuktighet 55 %

Markens relativa fuktighet 100 %

Minimiarmering enligt det underlag som finns att tillgå i EC 2

Två armeringshalter studeras

Beräkningarna utförs i brukgränstillstånd

Långtidslast betraktas

Plattorna betraktas efter 365 dygn

3.3 Val av betong

Betongens hållfasthet är en osäker parameter som kan variera, även inom

samma hållfasthetsklass. Hållfastheten i betong anses variera enligt

normalfördelningen [3] och det är mycket viktigt att rätt hållfasthet väljs

då beräkningarna i stor utsträckning är beroende av hållfastheten.

Enligt tidigare examensarbete kan följande vct kopplas till respektive

hållfasthetsklass [2]. Detta gäller för svensk standardbetong.


12

vct 0.38 motsvarar C54/65, och



I fallet med platta på mark som utsätts för tvång så kommer en hög

draghållfasthet att verka ogynnsamt. Detta beror på att större spänningar

byggs upp i plattan när betongen förblir osprucken [3].

3.4 Lösningsmetoder

Beräkningsmodellen appliceras i datorprogrammet Mathcad, där en

generell algoritm för beräkning av tvång kan skapas. Utifrån algoritmen

kan sedan alla 15 plattor analyseras och deras tillhörande tvång

bestämmas. Indata för beräkningarna är uttorkningsprofiler som

tillhandahålls av Jonas Carlswärd på Betongindustri AB.

Uttorkningsprofilerna är simuleringar från ett datorprogram, BI dry, där

de tidigare nämnda förutsättningarna kunnat matas in. Dessa

uttorkningsprofiler är data över hur relativa fuktigheten varierar i plattans

höjdled över tiden. Indatafilerna erhölls i Excelformat och noggrannheten

är mätvärden av den relativa fuktigheten för var femte millimeter i

plattans höjdled med tidsintervallet 9.1 dagar under ett år.

Beräkningen av de sprickbredder som uppträder som följd av tvången

beräknas i datorprogrammet Ramanalys. I Ramanalys beaktas

uppsprickningen, och på så sätt även minskningen av tvång när betongen

spricker med tiden.

Lösningen erhålls genom passningsberäkning avseende vinkeländring

och axiell töjning av en betraktad plattstrimla. Det aktuella systemet är

således ett statiskt obestämt system av grad två.

När sprickbredderna beräknats görs sedan en överskådlig

resultatsammanställning varifrån man kan analysera resultatet och dra

slutsatser.

13

4 BERÄKNING AV TVÅNG

4.1 Beräkningsmodell

Beräkningar av tvångskrafter över tvärsnittet sker enligt elasticitetsteorin

då Hookes lag gäller:

(4.1)

Vidare blir den axiala tvångskraften för en millimeterstrimla

(4.2)

Krympningen och kryptalet varierar över tvärsnittshöjden pga. den

ojämna uttorkningen. Det första steget är att bestämma dessa. Arean A är

konstant och representerar en millimeterstrimla. är medelvärdet på

betongens E-modul och är en konstant. Formel 4.2 beräknas således för

varje strimla.

Summeras alla axialkrafter för varje millimeterstrimla erhålls den totala

axiala dragtvångskraften för hela tvärsnittet. Det böjande momentet kan

sedan beräknas.

4.2 Beräkningsgång

Följande beräkningsgång tillämpas för samtliga plattor. Figurer i kapitel 4

till 6 och bilaga 1 baseras på en 400 millimeters platta med vct 0.38.

Beräkningarna sker i varje millimeterstrimla om inget annat anges.

Beräkningarna baseras på fuktprofilerna från Betongindustri AB.

1. Beräkning av total krympning

2. Uttorkningskrympning

3. Autogen krympning

4. Beräkning av kryptal

5. Ingående faktorer för kryptal

6. Beräkning av effektiv E-modul

7. Beräkning av axiala tvångskrafter


14

8. Beräkning av neutrala lagret för hela tvärsnittet

9. Beräkning av momenttvång i tvärsnittets neutrala lager

4.2.1 Beräkning av total krympning

Den totala krympningen beräknas generellt som summan av

uttorkningskrympningen och den autogena krympningen.

(4.3)

motsvarar uttorkningskrympningen, motsvarar autogena

krympningen och är den totala krympningen.

För varje millimeterstrimla i höjdled kommer en total krympning att

beräknas. På detta sätt beaktas krympvariationen över tvärsnittet.

4.2.1.1 Uttorkningskrympning

Uttorkningskrympningen beräknas enligt formeln:

( ) (4.4)

De ingående faktorerna beror av cementtyp, betonghållfasthet, hur lång

tid betongen har krympt, en fiktiv höjd av tvärsnittet och av den relativa

fuktigheten.

Den faktor som beaktar den relativa fuktigheten, , är en delfaktor i

och beaktar enligt EC 2 omgivningens relativa luftfuktighet, RH. Se bilaga

1 för detaljerad information.

Betraktas en enskild millimeterstrimla är omgivningen den

överliggande och den underliggande millimeterstrimlan. Medelvärdet av

den relativa fuktigheten av dessa två blir det representativa värdet av

omgivningens relativa fuktighet.

Det visar sig att medelvärdet av den över och underliggande strimlan

motsvarar värdet för den betraktade strimlans RH, med en mycket liten

felmarginal. Därför kan den betraktade strimlans RH anses tillräckligt

noggrann och användas i beräkningarna. Figur 4.1 visar hur den relativa

fuktigheten varierar med plattans höjd. För plattan som studeras kommer

Kap. 4 Beräkning av tvång

15

således denna faktor som tar hänsyn till relativa fuktigheten, , att

beräknas för varje millimeterstrimla i plattan.

För den faktor som tar hänsyn till hur lång tid betongen har

krympt, ( ), så anges betraktad tidpunkt till 365 dagar. Betongens

ålder vid början av uttorkningskrympning, , anges till en dag. Den

fiktiva höjden, som bestämmer värdet på , anges till halva

tvärsnittshöjden [3]. Denna faktor, ( ) , är samma för alla

millimeterstrimlor. Se bilaga 1 för utförliga beräkningar.

Figur 4.1 Fuktfördelningen över tvärsnittshöjden efter ett år, indata från

Betongindustri AB

4.2.1.2 Autogen krympning

Den autogena krympningen beräknas enligt formeln:

( ) ( ) (4.5)

Den autogena krympningen beror av två faktorer. Faktorn ( ) som

beror av betongens ålder vid betraktad tidpunkt, , och faktorn ( )

som beror av betongens karakteristiska hållfasthet. Se bilaga 1.

50 60 70 80 90 1000

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Fuktfördelning platta 400,maj, inne, vct 0.38 dag 365

RH (%)

h (

m)

z

RH


16

Summeras uttorkningskrympningen och autogena krympningen enligt

formel 4.3 i varje millimeterstrimla erhålls krympningsgradienten över

tvärsnittshöjden. Se figur 4.2.

Figur 4.2 Totala krympningen över tvärsnittshöjden efter ett år

4.2.2 Beräkning av kryptal

De med tvärsnittshöjden varierande kryptalen beror av betonghållfasthet,

relativ fuktighet, pålastningstid och lastens varaktighet. Vad som menas

med de tre sist nämnda effekterna förklaras mer ingående nedan.

Kryptalet beräknas enligt formeln:

( ) ( ) ( ) (4.6)

4.2.2.1 Inverkan av relativ fuktighet

Faktorn som korrigerar för den relativa fuktigheten, , beaktar enligt EC

2 den relativa luftfuktigheten i omgivande miljö. I de studerade fallen är

miljön inomhus i maj månad med den relativa fuktigheten 55 %. Faktorn

är även beroende av den fiktiva höjden och betongens hållfasthet.

Eftersom faktorn beror av luftens relativa fuktighet kommer faktorn att ha

samma värde för samtliga millimeterstrimlor.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Krympningen över tvärsnittshöjden dag 365

Krympning (promille)

Tv

ärsn

itts

höjd

en (

m)

p2

cs


17

4.2.2.2 Inverkan av betongens ålder vid pålastning

Den totala krypdeformationen är beroende av när betongen första gången

pålastas och får en påkänning. Det bör noteras att i normer är kryptalet

vanligen relaterat till att hela pålastningen sker vid 28 dagar. Vid senare

pålastning blir kryptalet mindre än det för pålastning efter 28 dagar.

Pålastas betongen sent blir följaktligen krypdeformationen mindre.

Pålastningsåldern i det studerade fallet blir vid den tidpunkt då

betongen har krympt och spänningar uppträtt. Pålastningsåldern blir tidig

för överkant platta och senare för underkanten på grund av den ojämna

uttorkningen. Enligt uttorkningsprofilerna från Betongindustri AB har

hela tvärsnittet en påkänning först efter 9.1 dagar. Detta värde är det som

används i beräkningar då noggrannare värde inte kunnat bestämmas via

indata från Betongindustri AB. Detta värde visade sig gälla för alla plattor

som studeras. Denna faktor blir därför samma för samtliga studerade

plattor.

4.2.2.3 Inverkan av krypningens utveckling med tiden

Krypdeformationen påverkas även av hur länge lasten har verkat på

konstruktionen. I EC 2 beaktas detta med en faktor, ( ) . I EC 2

förutsätts det vara en konstant last som belastar plattan. Pålastningen sker

enligt EC 2 vid en specifik tidpunkt som avgör hur lång tid lasten har verkat

på konstruktionen.

Eftersom att krympningen och därmed tvångslasterna växer med tiden

kan lasten inte anses som konstant och den specifika tidpunkten för

pålastning, som dessutom ska motsvara en konstant last, blir därför svår

att bestämma. Tvångslasterna växer dessutom olika snabbt över

tvärsnittshöjden pga. den ojämna uttorkningen. Detta problem måste lösas

då normen annars inte kan följas, detta förklaras nedan.

Krympningens utveckling för ett antal millimeterstrimlor studeras över

tiden, från dag ett till dag 365. Se figur 4.3.


18

Figur 4.3 Krympningen som funktion av tiden i överkant, mitt och underkant

platta under ett år

Som figur 4.3 visar ökar den totala krympningen för varje dag som går,

men krympningsförändringen minskar med tiden. Studeras

krympningsförändringen som funktion av tiden erhålls följande graf, se

figur 4.4.

Figur 4.4 Krympningsförändringen som funktion av tiden, överkant, mitt och

underkant platta under ett år

0 100 200 300 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Krympning i olika snitt som funktion av tiden

Tid (dagar)

Kry

mpnin

g (

pro

mille

)

cs .överkant

cs .mitt

cs .underkant

tdag

0 100 200 3000

5 103

0.01

0.015

0.02

Krympningsförändringen som funktion av tiden

tid (dagar)

Kry

mpnin

gsf

örä

ndri

ng (

pro

mille

)

cs .överkant

cs .mitt

cs .underkant

tdag


19

Denna graf visar hur stor krympning som tillkommer varje dag och är

derivatan av grafen i figur 4.3. Eftersom att det finns ett samband mellan

krympning och kraft, se formel 4.2, kan grafen i figur 4.4 anses

representera hur stor last som tillkommer per dag. Plattan kan således anses

ha 365 olika pålastningstillfällen där olika mycket last tillkommer per dag.

Se figur 4.5.

Figur 4.5 Krympningsökningen per dag avtar med tiden

Det gäller att bestämma en ekvivalent tidpunkt för millimeterstrimlan där

den, över tiden ett år, kan anses belastas med en konstant last istället för

en varierande. Detta utförs genom en viktningsberäkning av

krympningsförändringen över ett år. Se ekvation 4.7

(4.7)

Krympningen som uppkommer första dagen belastar plattstrimlan i 365

dagar om den betraktas efter ett år, krympningen som uppkommer den

andra dagen belastar plattstrimlan i 364 dagar o.s.v.

På detta sätt beräknas pålastningstiden för en ekvivalent konstant last

för en millimeterstrimla, se bilaga 1. Detta måste upprepas för varje


20

millimeterstrimla för att ta hänsyn till den varierande lastvaraktigheten

över tvärsnittshöjden. Beräkningarna för varje millimeterstrimla är mycket

omfattande och sker i denna studie för var tjugonde millimeter i höjdled.

En kurva kan sedan anpassas från dessa framräknade värden. Se figur 4.6.

Det bör noteras att viktningen av krympförändringskruvan som anses

representera lastförändringskurvan inte tar hänsyn till det varierande

kryptalet, utan endast krympningen. Kryptalets beroende verifieras i

avsnitt 4.1.2.5.

Figur 4.6 Pålastningstiden för en ekvivalent konstant last i varje

millimeterstrimla efter ett år

Kurvan interpoleras sedan så att pålastningstid för alla millimeterstrimlor

erhålls och ( ) över höjden kan bestämmas. Faktorn ( ) kommer

därför att variera med tvärsnittets höjd.

200 220 240 260 280 300 3200

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Framviktad pålastningstid som funktion av tvärsnittshöjd

Tid (dagar)

Tv

ärsn

itts

hö

jd (

m)

p2

ds


21

4.2.2.4 Delresultat

När hänsyn tagits till de ingående faktorerna kan formel 4.6 beräknas för

varje studerad millimeterstrimla. Se figur 4.7

Figur 4.7 Kryptalet i varje millimeterstrimla efter ett år

4.2.2.5 Verifiering av kryptal

I beräkningen för pålastningstiden i varje millimeterstrimla så beaktas inte

kryptalets variation med pålastningstiden. Det är möjligt att beakta

kryptalets variation med pålastningstiden men beräkningsarbetet blir

ännu mer omfattande. En verifieringsberäkning ger att om kryptals

variation beaktas ökar kryptalet med 1.5 till 2.5 % i millimeterstrimlorna.

Beräkningen av kryptalet i denna rapport kan därför anses som

konservativ då ett lägre kryptal används i beräkningarna. Se bilaga 2.

4.2.3 Beräkning av effektiv elasticitetsmodul

Den s.k. effektiva E-modulen tar hänsyn till att betongen krypdeformeras

och beräknas för varje millimeterstrimla med formeln:

(4.8)

0.8 0.9 1 1.1 1.20

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Kryptalet över tvärsnittshöjden dag 365

Kryptal

Tvär

snitts

höjd

(m

)

z

1


22

Rekommenderat värde på enligt EC 2. Kryptalet varierar

i studien med tvärsnittshöjden. Den effektiva E-modulen varierar därmed

också över tvärsnittet. Se figur 4.8.

Figur 4.8 Den varierande effektiva E-modulen över tvärsnittet efter ett år

4.2.4 Beräkning av axialtvång

Ekvation 4.2 kan nu lösas. Resultatet visas i figur 4.9

Figur 4.9 Axiala dragkraftens variation över tvärsnittshöjden efter ett år

18 19 20 21 220

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Effektiv E-modul

E (Gpa)

Tvär

snit

tshöjd

(m

)

z

Ec.eff

2 103

4 103

6 103

8 103

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Axial dragtvångskraft över tvärsnittet dag 365

Kraft (N)

Tvär

snitts

höjd

(m

)

z

Ft1


23

Det bör noteras att summan av axiala tvångskrafternas inte angriper i

plattans tyngdpunkt. Detta ger därmed upphov till böjande moment i

plattan vilket studeras mer ingående nedan.

4.2.5 Beräkning av neutrala lagret

I belastade betongtvärsnitt finns något som kallas det neutrala lagret.

Detta är för ospruckna, oarmerade konstruktioner med samma effektiva

E-modul över tvärsnittet beläget i mitten av tvärsnittet. Detta för att

tvärsnittet är lika elastiskt i tvärsnittets höjdled. I studien där effektiva E-

modulen varierar med tvärsnittshöjden måste därför läget för det neutrala

lagret beräknas fram, se figur 4.10. Detta sker genom en

viktningsberäkning där effektiva E-modulen viktas på lika sätt som

pålastningstiden i avsnitt 4.1.2.3. Detta ska senare användas för beräkning

av det böjande momenttvånget.

Figur 4.10 Placering av neutrala lagret

4.2.6 Beräkning av momenttvång

De storleksvarierande krafterna över tvärsnittets höjd som angriper i varje

millimeterstrimlas mitt ger upphov till ett böjande moment. Till en början

beräknas detta moment i underkant platta. Varje millimeterstrimlekraft

har således sin egen hävarm mätt från underkant platta. Detta moment

reduceras sedan och flyttas till plattans neutrala lager. Momentet i det

neutrala lagret används senare för beräkning av spänningar. Det neutrala

lagret är beläget under plattans mitt eftersom betongens effektiva E-modul

ökar från överkant platta mot underkant platta. Se figur 4.8.


24

Datorprogrammet Ramanalys kräver att momentet verkar i plattans

mitt för beräkningar av sprickbredder. Därför reduceras åter igen

momentet och förflyttas till plattans mitt. Se bilaga 1 för detaljer.

25

5 BERÄKNING AV DEFORMATIONER


Följade beräkningsgång tillämpas för beräkning av deformationer:

1. Beräkning av yttröghetsmoment

2. Beräkning av böjmotstånd

3. Beräkning av spänning

4. Beräkning av spänning med varierande effektiv E-modul

5. Beräkning av spänningsbidrag av normalkraft

6. Beräkning av Spänningsbidrag av moment

7. Beräkning av medelkrympning och medelkryptal

8. Beräkning av vinkelförändring

5.2 Beräkning av yttröghetsmoment

I hållfasthetsläran används något som kallas yttröghetsmoment som ett

mått på hur styvt ett materialtvärsnitt är mot böjdeformation.

Yttröghetsmomentet beror av det belastade tvärsnittets geometri . I de

studerade fallen varierar dock tvärsnittets elasticitet vilket komplicerar

beräkningen av yttröghetsmoment och därmed deformationen. Detta löses

genom att man antar tvärsnittets effektiva E-modul till överkantens och

låter tvärsnittets geometri ändras. Detta kan liknas med att beräkna

yttröghetsmomentet för ett samverkanstvärsnitt. Tvärsnittets bredd

varierar med förhållandet mellan effektiva E-modulen i överkant och

effektiva E-modulen i millimeterstrimlorna. Detta betyder i det studerade

fallet att bredden ökar mot underkanten och tvärsnittets area ökar, se figur

5.1. För mer ingående förklaring av breddökningen, se avsnitt 5.3.1.

Figur 5.1 Tvärsnitsarean som yttröghetsmomentsberäkningen baseras på


26

Med hjälp av Steiners sats kan yttröghetsmomentet beräknas.

∑(

( )) (5.1)

är en millimeterstrimlas area och är avståndet mellan en

millimeterstrimlas tyngdcentrum och det neutrallagret för tvärsnittet

Vid beräkning av Steiners sats försummas faktorn

för varje

millimeterstrimla eftersom den har försumbar påverkan på

yttröghetsmomentet, vilket ger:

∑( ) (5.2)

5.3 Beräkning av böjmotstånd

Böjmotståndet används vid beräkningar av spänningar i tvärsnitt. På

samma sätt som yttröghetsmomentet beror böjmotståndet av tvärsnittets

geometri. Böjmotståndet varierar med avståndet från det neutrala lagret

och kan beräknas i över och underkant enligt:

(5.3)

(5.4)

betecknar böjmotståndet i överkant av tvärsnittet och betecknar

böjmotståndet i underkant av tvärsnittet. är avståndet från det neutrala

lagret till överkanten av tvärsnittet och är avståndet från det neutrala

lagret till underkanten av tvärsnittet.

5.4 Beräkning av spänning

Plattan som studeras är utsatt för böjande moment. De största

spänningarna uppkommer i över och underkant platta. Dessa är de mest

intressanta snitten. Plattan påverkas även av en normalkraft. Detta gör att

Naviers formel används vid beräkningarna för spänning.

Kap. 5 Beräkning av deformationer

27

(5.5)

( ) (5.6)

betecknar spänningen som uppkommer i överkant av plattan på grund

av normalkraften och det böjande momentet. betecknar spänningen

som uppkommer i underkant av plattan på grund av normalkraften och

det böjande momentet. betecknar normalkraften som verkar på

tvärsnittet. betecknar arean av tvärsnittet. betecknar momentet i det

beräknade neutrala lagret. ( ) betecknar en multiplikator som

förstorar upp inverkan av momentet i underkant platta. Mer ingående

förklaring av denna faktor följer.

5.4.1 Spänning i tvärsnitt med effektiv E-modul som varierar

Nedan redovisas hur Naviers formel tillämpas i beräkningarna.

5.4.1.1 Spänningsbidraget av normalkraften

Spänningsbidraget från normalkraften är samma, oavsett vilken av

plattkanterna som studeras. När antagandet att hela tvärsnittets effektiva

E-modul är den samma som överkantens så ändras tvärsnittets area, se

figur 5.1. Normalkraften, , kommer dock inte att fördelas över denna

förstorade area. Det betyder att arean är tvärsnittets verkliga area, inte

den förstorade.

5.4.1.2 Spänningsbidraget av det böjande momentet

Tvärsnittet betraktas som ett samverkanstvärsnitt. Den varierande

effektiva E-modulen över tvärsnittet ger ett böjande moment. Detta

eftersom den axiala tvångskraften inte verkar i det faktiska tvärsnittets

geometriska tyngdpunkt utan i det fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt. Det

fiktiva tvärsnittets tyngdpunkt är belägen i det beräknade neutrala lagret.

Det böjande momentet betraktas som att det verkar på det fiktiva

tvärsnittet. De beräknade påkänningarna i det fiktiva tvärsnittet måste

korrigeras för att påkänningarna uppträder i det faktiska tvärsnittet.

Erhållen påkänning i det fiktiva snittet verkar på en bredd som är

( ) mot i det faktiska tvärsnittet. De verkliga påkänningarna blir


28

således ( ) gånger högre i det faktiska tvärsnittet än i det fiktiva. Se

figur 5.2 och 5.3.

( )

(5.7)

varierar i varje millimeterstrimla vilket gör att också varierar i varje

millimeterstrimla. För spänningsfördelningen över tvärsnittet. Se figur 5.4.

Figur 5.2 Effektiva E-modulens förändring över tvärsnittet

Figur 5.3 Effektiva E-modulen omsatt till areaökning av tvärsnittet

Kap. 5 Beräkning av deformationer

29

Figur 5.4 Spänningsfördelningen över tvärsnittet efter ett år

5.5 Beräkning av medelkrympning och medelkryptal

Medelkrympningen beräknas fram genom viktning av krympningen i

varje millimeterstrimla efter 365 dagar. På samma sätt viktas

medelkryptalet fram efter 365 dagar. Dessa medelvärden är de värden

som senare används i Ramanalys.

5.6 Beräkning av vinkelförändring

Beräkningen av vinkelförändringen sker genom elasticitetslärans formel

för det aktuella lastfall som gäller, en fritt upplagd balk med i de två

stöden verkande böjmoment.

(5.8)

Längden l på plattan anges värdet fem meter och momentet är

momentet som verkar i tvärsnittets mitt. är den framviktade effektiva E-

modulen över tvärsnittet och är tröghetsmomentet [8].

Vinkeländringen tillsammans med den beräknade medelkrympningen

är nu bestämda och kan matas in i Ramanalys för vidare

passningsberäkningar och beräkning av sprickbredder.

3 4 5 6 70

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Spänningsfördelningen över tvärsnittet dag 365

Spänningen (MPa)

Tvär

snit

tshöjd

en (

m)

z


30

5.7 Beräkningsnoggrannhet

Indata för var femte millimeterstrimla från Betongindustri AB har

interpolerats så den relativa fuktigheten för varje millimeterstrimla kan

erhållas. Den relativa fuktigheten har även interpolerats över tiden så att

den relativa fuktigheten erhålls för varje dag under året.

Kryptalet är generellt definierat för betong utsatt för tryckpåkänningar.

I denna studie utsätts betongen för dragpåkänningar. Samtliga

beräkningar bygger således på antagandet att betongen krypdeformeras

lika mycket utsatt för drag som för tryck. Som tidigare nämnts är ett stort

kryptal och en stor krypdeformation gynnsam för plattan.

Praktiska prövningar visar att kryptalet i drag är lika stort som

kryptalet i tryck, eller större [9]. Beräkningarna kan därför anses som

konservativa och på säker sida då beräkningarna bygger på det mer

ogynnsamma kryptalet i tryck.

Krypningens utveckling med tiden har beräknats med intervallet 20

millimeter, detta får anses ge tillräcklig noggrannhet för beräkningarna.

5.8 Delresultat och kommentarer

Tabell 5.1

Platta 400, vct 0.38 Fullt axialtvång

Startvärden D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ϕm ε[‰]

ök+uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 1.10 0.30

ök+0.5uk 1996,050 42,160 0,001 1,484 1.10 0.30

ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar

underkantsarmeringen. betecknar tvångskraften och betecknar

momenttvånget. betecknar vinkeländringen. betecknar

längdförändringen av plattstrimlan. betecknar medelkryptalet över

tvärsnittet och betecknar medeltöjningen över tvärsnittet i promille. Se

tabell 5.1

Resultatsammanställning av samtliga belastande tvång, deformationer,

medelkryptal och medelkrympning av respektive platta presenteras i

bilaga 3. Information om val av armeringshalt följer i avsnitt 6.1.

31

6 BERÄKNING AV SPRICKBREDDER Beräkningar av sprickbredder genomförs i programmet Ramanalys.

Programmet räknar även fram stålpåkänningar i armeringsstängerna.

För att beräkna sprickbredder i Ramanalys måste ett aktuellt lastfall

appliceras. Det lastfall som används och motsvarar fullt axialtvång och

momenttvång är ett böjande moment i respektive stöd och en dragande

normalkraft, se figur 6.1.

Sprickbredder och stålpåkänningar beräknas för samtliga femton

plattor. Två olika armeringshalter kontrolleras för varje studerad platta.

Första fallet är armeringsmängd i över och underkant av plattan enligt EC

2:s minimiarmeringskrav för sprickbreddsbegränsningen 0.4 millimeter. I

det andra fallet halveras armeringsmängden i underkant platta. För

beräkningarna är exponeringsklass är vald till XC3, måttligt fuktigt, och en

livslängd på 50 år.

Figur 6.1 Modell i Ramanalys


Följande beräkningsgång tillämpas i Ramanalys om inget annat anges.

Minimiarmeringsmängd beräknas i Mathcad enligt EC 2

Plattans upplagsförhållanden anges i Ramanalys, se figur 6.1

Plattdimension anges

Beräknad armeringsmängd med tillhörande täckande betongskikt

appliceras i plattan

Beräknade tvång appliceras på plattan

Passning av tvång utförs så att beräknade deformationer i avsnitt

5.5 och 5.6 uppfylls

6.2 Armeringshalt

Den studerade armeringskvalitén är B500B. Armeringen placeras i ett

lager i överkant och ett i underkant. Denna placering gäller för

plattjocklekarna 400, 300, 200 och 160 mm. Det täckande betongskiktet är

valt till 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Den valda


32

stångdiametern i platta 400 och 300 är 12 mm och för platta 200 och 160 är

stångdiametern vald till 10 mm.

Placeringen av armeringen i plattjockleken 120 mm är centrisk med ett

täckande betongskikt på 54 mm och stångdiameter på 12 mm.

Täckande betongskikt i överkant avser måttet från överkant platta ner

till armeringsjärnets överkant. Det täckande betongskiktet i underkant

mäts på samma sätt, dock från underkant platta till underkant armering.

6.3 Modell i Ramanalys

Den statiska modellen som tillämpas i programmet Ramanalys är fritt

upplagd med ett fast och ett rörligt upplag.

Den verkliga plattstrimlan som studeras är fast inspänd i båda ändar,

denna statiska modell har dock visat sig ge upphov till orimliga

sprickbredder [2].

Längden på plattstrimlan tilldelas värdet fem meter. Axiala

tvångskrafterna angriper som en dragkraft i plattstrimlans längdriktning

och momenttvånget som moment ett i vartdera upplaget, se figur 6.1.

De böjande momenten gör att plattstrimlan får en konvex krökning, och

dragkraften en nodförskjutning i längdled. Krökningen som uppkommer

av momenten ger en vinkeländring vid upplagen och nodförskjutningen

ger en längdförändring av plattstrimlan, se figur 6.2.

Vinkeländringen och längdförändringen i Ramanalys ska sedan

stämma överens med de beräknade deformationerna i avsnitt 5.5 och 5.6

så att deformationsvillkoren uppfylls. Uppsprickningen innebär att

plattans böjstyvhet och axialstyvhet kraftigt minskar och därmed minskar

också uppträdande tvång påtagligt. Dessa minskade tvång uppnås genom

passningsberäkning, resultatet av denna återfinns i bilaga 3. När

deformationsvillkoren är uppfyllda kan sprickbredderna i betongens

överkant och stålspänningarna i armeringen erhålls. De bör igen påpekas

att systemet är 2-gradigt statiskt obestämt.

Figur 6.2 Deformationen av plattelement

Kap. 6 Beräkning av sprickbredder

33

6.4 Beräkningsnoggrannhet

Representativa värden på krympning och kryptal för hela tvärsnittet

krävs för att kunna använda datorverktyget Ramanalys. Detta medför en

viss felmarginal då datorprogrammet inte kan hantera de gradienter av

krympning och krypning som egentligen råder.

Passningen som utförts i Ramanalys är också en osäkerhetsfaktor som

måste nämnas. Denna osäkerhetsfaktor hade kunnat elimineras om

datorprogrammet hade kunnat analysera det aktuella systemet som ett

statiskt andragradigt obestämt system, d.v.s. att deformationerna i form

av vinkeländring och töjning hade kunnat matas in och uppträdande

krafter och sprickbredder hade kunnat beräknas.

6.5 Delresultat och kommentarer

Tabell 6.1

Platta 400, vct 0.38, Ø12s110

Fullt axialtvång

wk,ök [mm] σs.uk [Mpa] σs.ök [Mpa]

ök,uk 0,670 416,000 467,000

ök,0.5uk 1,240 739,000 460,000

ök betecknar överkantsarmeringen och uk betecknar

underkantsarmeringen. betecknar sprickbredden i överkant platta.

betecknar stålspännigen i underkant platta och betecknar

stålspännigen i överkant platta. Se tabell 6.1

Resultatsammanställning av stålspänningar, sprickbredder för samtliga

plattor och armeringshalter presenteras i kapitel 7 samt bilaga 3.


34

35

7 RESULTAT OCH ANALYS I avsnitt 7.1 presenteras resultat av sprickbredder och armeringsmängden.

7.1 Sprickbreddsdiagram

Figur 7.1 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt,

relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.53

Tabell 7.1 Minimiarmering och sprickbredder, vct 0.53

vct 0.53 Aök=Auk

h [mm] As,min,ök As,min,uk wk,ök [mm] TBök [mm] TBuk [mm]

120 Ø12s250 0.29 54 54

160 Ø10s160 Ø10s160 0.21 30 50

200 Ø10s125 Ø10s125 0.21 30 50

300 Ø12s125 Ø12s125 0.30 30 50

400 Ø12s125 Ø12s125 0.69 30 50

vct 0.53 Auk=0.5Aök


120 Ø12s250 0.29 54 54

160 Ø10s160 Ø10s330 0.21 30 50

200 Ø10s125 Ø10s250 0.23 30 50

300 Ø12s125 Ø12s250 0.35 30 50

400 Ø12s125 Ø12s250 1.36 30 50

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000.2

0.32

0.44

0.56

0.68

0.8

0.92

1.04

1.16

1.28

1.4

Sprickbredder i överkant, vct 0.53

Platt jocklekar (120,160,200,300,400) (mm)

Sp

rick

bre

dd

(m

m)

ök_uk0.53

ök_halvuk0.53

Plattor


36




vct 0.43 Aök=Auk


120 Ø12s200 0.27 54 54

160 Ø10s140 Ø10s140 0.19 30 50

200 Ø10s110 Ø10s110 0.20 30 50

300 Ø12s110 Ø12s110 0.29 30 50

400 Ø12s110 Ø12s110 0.53 30 50



120 Ø12s200 0.27 54 54

160 Ø10s140 Ø10s250 0.20 30 50

200 Ø10s110 Ø10s200 0.23 30 50

300 Ø12s110 Ø12s200 0.39 30 50

400 Ø12s110 Ø12s200 0.96 30 50

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000.1

0.19

0.28

0.37

0.46

0.55

0.64

0.73

0.82

0.91

1



Sp

rick

bre

dd

(m

m)

ök_uk0.43

ök_halvuk0.43

Plattor

Kap. 7 Resultat och analys

37




vct 0.38 Aök=Auk


120 Ø12s200 0.27 54 54

160 Ø10s125 Ø10s125 0.15 30 50

200 Ø10s110 Ø10s110 0.21 30 50

300 Ø12s100 Ø12s100 0.41 30 50

400 Ø12s110 Ø12s110 0.67 30 50



120 Ø12s200 0.27 54 54

160 Ø10s125 Ø10s250 0.19 30 50

200 Ø10s110 Ø10s200 0.24 30 50

300 Ø12s100 Ø12s200 0.48 30 50

400 Ø12s110 Ø12s200 1.24 30 50

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000

0.14

0.28

0.42

0.56

0.7

0.84

0.98

1.12

1.26

1.4



Spri

ckbre

dd (

mm

)

ök_uk0.38

ök_halvuk0.38

Plattor


38

7.2 Armeringspåkänning

I diagrammen redovisas spänningarna i armeringen då sprickor

uppträder. Beräkningarna är baserade på armeringssorten B500B,

kamstänger används. Se figur 7.4.

Figur 7.4 Stålspänningar för olika plattjocklekar och armeringshalt, relativa

luftfuktigheten 55 %, vct 0.53

Tabell 7.4 Minimiarmering och stålspänningar

vct 0.53 Aök=Auk

h [mm] As,min,ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]

120 Ø12s250 504 504

160 Ø10s160 Ø10s160 136 342

200 Ø10s125 Ø10s125 159 299

300 Ø12s125 Ø12s125 174 309

400 Ø12s125 Ø12s125 379 445



120 Ø12s250 504 504

160 Ø10s160 Ø10s330 289 342

200 Ø10s125 Ø10s250 280 299

300 Ø12s125 Ø12s250 287 300

400 Ø12s125 Ø12s250 739 439

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400100

170

240

310

380

450

520

590

660

730

800

Stålspänning vct 0.53


Spän

nin

g (

MP

a)

sök.0.53

suk.0.53

sök_halvuk.0.53

suk_halvuk.0.53

Plattor


39




vct 0.43 Aök=Auk


120 Ø12s200 466 466

160 Ø10s140 Ø10s140 172 326

200 Ø10s110 Ø10s110 175 304

300 Ø12s110 Ø12s110 192 315

400 Ø12s110 Ø12s110 328 383



120 Ø12s200 466 466

160 Ø10s140 Ø10s250 295 326

200 Ø10s110 Ø10s200 301 301

300 Ø12s110 Ø12s200 330 308

400 Ø12s110 Ø12s200 576 376

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400150

195

240

285

330

375

420

465

510

555

600



Spän

nin

g (

MP

a)

sök.0.43

suk.0.43

sök_halvuk.0.43

suk_halvuk.0.43

Plattor


40




vct 0.38 Aök=Auk

h [mm] As,min ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]

120 Ø12s200 474 474

160 Ø10s125 Ø10s125 157 286

200 Ø10s110 Ø10s110 188 309

300 Ø12s100 Ø12s100 276 428

400 Ø12s110 Ø12s110 416 467


h [mm] As,min ök As,min,uk σs,uk [MPa] σs,ök [MPa]

120 Ø12s200 474 474

160 Ø10s125 Ø10s250 309 286

200 Ø10s110 Ø10s200 291 308

300 Ø12s100 Ø12s200 383 410

400 Ø12s110 Ø12s200 739 460

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 400100

170

240

310

380

450

520

590

660

730

800



Spän

nin

g (

MP

a)

sök.0.38

suk.0.38

sök_halvuk.0.38

suk_halvuk.0.38

Plattor


41

7.3 Verifiering

För att verifiera att Ramanalys räknar korrekt har en jämförelse med en

handberäknat exempel i Betongrapport 13 [1] utförts. Det handberäknade

exemplet har översatts till samma modell som används i programmet

Ramanalys för beräkning av sprickbredder.

I Betongrapport 13 betraktas följande platta:

Figur 7.7 Indata beräkningsexempel

I exemplet i Betongrapport 13 enligt figur 7.7 antas plattan endast vara

utsatt av en axial tvångskraft som verkar i plattans längdriktning. Den

totala slutkrympningen blir: . Överförs detta till modellen i

Ramanalys antas värdet på , räknat på en meter lång plattstrimla:

(7.1)

Passningsberäkningen i Ramanalys ger således att sprickbredden för

plattstrimlan är 0,40 mm. Denna sprickbredd jämförs sedan med det

handberäknade exemplets sprickbredd på 0,41 mm, se figur 7.8, detta

tyder på att modellen i Ramanalys är korrekt och kan användas.


42

Figur 7.8 Resultat sprickbredder och minimiarmering i betongrapport 13

7.4 Analys

Tvången ökar med plattjockleken, vilket kan utläsas i bilaga 3. Från

sprickbreddsdiagrammen i avsnitt 7.1 kan utläsas att även sprickbredden

ökar med plattjockleken, undantag för plattor av tjocklek 120 millimeter.

I plattorna med tjockleken 120 millimeter användes centrisk armering

med diametern tolv millimeter. Anledningen till den stora sprickbredden

beror på armeringsutförandet, vid centrisk armering sjunker

momentkapaciteten påtagligt jämfört med ett dubbelarmerat tvärsnitt

med samma armeringshalter.

Ur diagrammen kan utläsas att för plattor tjockare än 300 millimeter har

en halvering av armeringsmängden i underkant en stor betydelse för

sprickbredden i överkant. När armeringen halveras i det undre

armeringslagret ökar stålspänningarna och för vissa plattor passerar

stålspänningen armeringens flytgräns, 500 MPa.

Studeras betonghållfastheten i koppling till vilken armeringshalt och

sprickbredd som erhållits visar att ju lägre vct betongen har, desto mer

armering krävs för att reducera sprickbredden.

Vid krympning efter två år för en 400 millimeter tjock platta ökar

krympningen med 3 till 4 % i överkant platta. Kryptalet ökar med ca 11 %,

från 1.1 till 1.22. Effektiva E-modulen minskar då med ca 5 % från första

året till andra. Tvångskrafterna minskar till följd av att effektiva E-

modulen minskar mer än krympningen ökar. Tvångskrafterna minskar

med ca 1 % från år ett till år två. Detta innebär att erhållna sprickbredder

vid år ett är representativa för långtidslastfallet [5].


43

7.5 Jämförelse mellan EC 2 och BBK

I figur 7.9 visas sprickbredderna för de studerade plattorna med

minimiarmering enligt respektive norm.

Figur 7.9 Sprickbredder i överkant för olika plattjocklekar och armeringshalt

enligt EC 2 och BBK 04, relativa luftfuktigheten 55 %, vct 0.38

Tabell 7.7 Jämförelse mellan normerna, täckande betong enligt tabell 7.3

EC 2

BBK vct 0.38 Aök=Auk vct 0.38 Aök=Auk

h [mm] As,min,ök wk,ök [mm] h [mm] As,min,ök wk,ök [mm]

120 Ø12s200 0.27 120 Ø12s110 0.19

160 Ø10s125 0.15 160 Ø12s110 0.16

200 Ø10s110 0.21 200 Ø12s110 0.27

300 Ø12s100 0.41 300 Ø12s110 0.58

400 Ø12s110 0.67 400 Ø12s110 0.89

vct 0.38 Auk=0.5Aök vct 0.38 Auk=0.5Aök

h [mm] As,min,ök wk,ök [mm] h [mm] As,min,ök wk,ök [mm]

120 Ø12s200 0.27 120 Ø12s110 0.19

160 Ø10s125 0.19 160 Ø12s110 0.20

200 Ø10s110 0.24 200 Ø12s110 0.37

300 Ø12s100 0.48 300 Ø12s110 0.65

400 Ø12s110 1.24 400 Ø12s110 1.26

120140 160180 200220 240 260280 300320 340360 380 4000

0.14

0.28

0.42

0.56

0.7

0.84

0.98

1.12

1.26

1.4



Sp

rick

bre

dd

(m

m) BBK_ök_uk0.38

BBK_ök_halvuk0.38

EC_2_ök_uk0.38

EC_2_ök_halvuk0.38

Plattor


44

Det bör noteras att jämförelsen som görs inte kan anses gälla på exakt

samma villkor eftersom beräkning av armeringsmängd i respektive norm

beräknas på helt olika sätt. Studeras dock plattan 400 millimeter, full

minimiarmering, används samma armeringshalt enligt båda normer. Trots

detta skiljer sig sprickbredderna, vilket påvisar att tvångens storlek

varierar beroende på vilken norm man räknar efter.

Värt att notera är att i BBK används samma minimiarmeringsmängd för

samtliga plattjocklekar.

Jämförelse mellan EC 2 och BBK 04 [2] visar att resultaten har en rimligt

god samstämmighet vid lika armeringshalt. I denna rapport har

noggrannare beräkningar av kryptal och neutrala lagrets läge utförts. Vad

gäller kryptalen i beräkningen enligt BBK 04 är de inte tidsberoende utan

enbart långtidsvärden valda. Detta är verifieringar och de båda normerna

ger rimlig samstämmighet vad gäller uppträdande sprickbredder.

49

8 SLUTSATSER En nyanserad beräkning av uppträdande tvångskrafter har

upprättats enligt uttorkningsdata från Betongindustri AB och

samtliga beräkningar följer EC 2. Det bör noteras att EC 2 inte

explicit behandlar de tvång som uppkommer vid oliksidig

uttorkning, utan extrapolering har fått göras för de studerade

plattorna.

Beräkningarna har skett under antagandet att kryptalet under drag

påkänningar är samma som kryptalet under tryckpåkänningar.

Praktiska försök visar att kryptalet under drag är lika stort eller

större än under tryck [9] och beräkningarna kan därför anses

konservativa.

I EC 2 finns riktvärden för minimiarmering ”om inte noggrannare

beräkning visar att mindre armering är tillräcklig” [7]. I denna

rapport har en noggrannare beräkning utförts som beaktar att vid

uppsprickning av betongen minskar tvångskrafterna. Antagen

minimiarmering baseras på effektiv betongarea

( ( ) ( ) ). Vald stålspänning är enligt tabell

7.2N i EC 2 beroende på vald stångdiameter.

Med den erhållna mängden armering har en beräkning utförts i

programmet Ramanalys som beaktar att det axial- och

momenttvånget minskar vid uppsprickning, varvid aktuella

sprickbredder erhålls. Det bör noteras att formell 7.1 i EC 2 är en

uppskattning ger orimligt höga armeringshalter. Eftersom effektiv

betongarea blir hela tvärsnittet i studerade fallet. blir då 4.5

gånger större än för den noggrannare beräkningen i denna rapport

[5].

Det kan noteras att uppsprickningen har stor effekt eftersom de

initiala tvången för en osprucken sektion kraftigt reduceras, vilket

gäller både axial- och momenttvång.


46

Beräkningen av sprickbredder är utförda i programmet Ramanalys

för de tvågradigt statiskt obestämda systemen med

passningsberäkning, tills att deformationskraven av rotation och

axial töjning är uppfyllda.

Inlagd armering är studerad med två fall. Fall 1 lika mängd i

överkant och underkant av plattan. Fall 2 armeringshalten i

underkant är halva den i överkant.

För plattor med tjockleken större än 300 millimeter uppfylls

spänningskravet, mindre än 500 Mpa, på underkantsjärnen för fall

1 men inte för fall 2. Ingen av dessa plattor klarar

sprickbreddskravet på 0.4 millimeter.

Erhållna sprickbredder för plattor 160, 200 och 300 millimeter

erhölls max sprickbredd 0.19-0.41 millimeter med samma

armeringshalt i underkant och överkant. Vid halva armeringshalten

i underkant till skillnad från överkant ger max sprickbredd 0.19-

0.48 millimeter. För plattor 400 millimeter erhölls vid samma

armeringshalt i underkant och överkant max sprickbredder 0.53-

0.69 millimeter. I fall 2 överskreds dimensionerade spänningen i

underkantsjärnen.

I 120 millimetersplattorna klaras kraven på sprickbredd men

järnspänningarna överstiger armeringsstålets flytgräns, 500 MPa.

Dessa plattor bör armeras med högre armeringshalt.

Det konstateras att vid de tjockare plattjocklekarna erhölls större

sprickbredder än för de tunnare plattjocklekarna.

Krymptvången baseras på uttorkningsdata vid ett år. Det har visats

att vid längre uttorkningstider två år ökar krympningen relativt

Kap. 8 Slutsats

47

mindre än vad effektiv E-modul minskar pga. ökat kryptal.

Beräknade sprickbredder är representativa för långtidslastfallet.

En jämförelse med tidigare examensarbete [2] baserat på regler

enligt BBK 04 ger rimlig samstämlighet med detta examensarbete

enligt EC 2. Båda examensarbetena är baserade på samma

uttorkningsdata från Betongindustri AB för de studerade plattorna.

De båda examensarbetena verifierar att inga grova numeriska fel

föreligger i respektive rapport


48

49

9 FORTSATTA STUDIER Rekommendationer för fortsatta studier är att genomföra

sprickbreddsberäkningarna för samtliga plattor i ett datorprogram som

kan hantera statiskt obestämda konstruktioner. Passningsberäkning blir

då inte nödvändig. Ett datorprogram som kan hantera ickelinjära

tvångseffekter bör användas.

Vidare studier skulle även kunna utföras när plattorna utsätts för en

annan inspänningsgrad.


50

51

10 REFERENSER [1] Svenska Betongföreningens kommitté. Industrigolv - Rekommendationer

för projektering, materialval, produktion, drift och underhåll, Svenska

Betongföreningen, Betongrapport 13, Stockholm, 2008

(ISBN 91-973445-7-5)

[2] Vainio, V och Wallin, T. Gradientkrympning i platta på mark- Sprickvidder

relaterade till tvångskrafter och armeringshalter, Examensarbete, KTH,

Högskoleingenjörsutbildning i Byggteknik och Design, 2010;24 ABE,

Stockholm, 2010

[3] Engström, B. Beräkning av betongkonstruktioner, Chalmers tekniska

högskola, Institutionen för bygg- och miljöteknik, avdelningen för

konstruktionsteknik, Rapport 2007:13, Göteborg, 2008

(ISSN 1652-9162)

[4] Burström, P-G. Byggnadsmaterial uppbyggnad, tillverkning och egenskaper,

Studentlitteratur, Lund, 2007

(ISBN 978-91-44-02738-8)

[5] Arvidsson, K. Teknisk Dr och teknisk mentor, WSP Byggprojektering,

Stockholm, 2012 (Muntlig information)

[6] Svensk byggtjänst. Betonghandbok - Material, LiberTryck, Stockholm,

1980

(ISBN 91-7332-060-9)

[7] Swedish Standards Institute. Eurokod 2: Dimensionering av

betongkonstruktioner – Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader, SIS

Förlag AB, Stockholm, 2008


52

[8] Johannesson, P. och Vretblad, B. Byggformler och tabeller, Liber AB,

Vällingby, 2005

(ISBN 978-91-47-05318-6)

[9] Brooks, J. J. och Neville, A. M. A comparison of creep, elasticity and

strength of concrete in tension and in compression, Magazine of Concrete

Research, Vol. 30, Nr. 104, 165-166, 1978

B1.1

Bilaga 1, Beräkning i Mathcad Allt i bilaga 1 hänvisas till EC 2, svenskt annex om inget annat anges.

Indata platta 400 mm, maj, inne, vct 0.38

Interpolering så att relativa fuktigheten erhålls i varje millimeterstrimlas mitt, RH blir en vektor med 400 värden

x är de betraktade snitten i höjdled, indata från Betongindustri AB

x=0.000:0.005:0.400=startvärde:intervall:slutvärde,kolumnvektor [m]

y är den relativa fuktigheten efter 365 dagar i de betraktade snitten enligt Betongindustri AB

f är de snitt i höjdled [meter] som interpoleringen beräknas över, en kolumnvektor. f=0.0005:0.001:0.3995=startvärde:intervall:slutvärde

Relativ luftfuktighet i omgivande miljö [%]

Karakteristiskt värde på tryckhållfastheten av betongen [MPa]

Karakteristiskt medelvärde på tryckhållfastheten av betongen [MPa]

Elasticitetsmodulens medelvärde för betongen [GPa]

Elasticitetsmodulens tangentmodul rekommenderat värde [GPa]

Tvärsnittshöjden [mm]

Ekvivalenta tvärsnittshöjden [mm]

För en vägg som endast kan torka ut åt ett håll att den nominella tjockleken är lika med halva väggtjockleken [3]

Tvärsnittshöjden [m]

Betraktad plattstrimlebredd [m]

Koefficient som beror på den fiktiva tjockleken h0

enligt tabell 3.3

Koefficient som beror av cementtyp, betraktad cementtyp: snabbtorkande cement, cementklass R

Betongens ålder vid pålastning [dagar]

Betongens ålder vid betraktad tidpunkt [dagar]

RH linterp x y f( )

RH1 55

fck 54

fcm fck 8 62

Ecm 37.8

Ec Ecm 1.05

h 400

h0h

2200

hmh

10000.4

b 1

kh 0.85

sR 0.2

t0 9.1

t1 365


B1.2

Beräkningar

z är en kolumnvektor över millimeterstrimlorna i höjdled z=0.000:0.001:0.400=startvärde:intervall:slutvärde [m]

Grundläggande uttryck för krympning orsakad av uttorkning

[MPa]

[%]

Koefficient som beror av cementtyp

Koefficient som beror av cementtyp

Betongens ålder vid början av uttorkningskrympningen. Detta är normalt vid slutet av efterbehandlingen. [dagar]

[Formel B.12]

[Formel B.11]

50 60 70 80 90 1000

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Fuktfördelning platta 400,maj, inne, vct 0.38 dag 365

RH (%)

h (

m)

z

RH

fcmo 10

RH0 100

ds1 6

ds2 0.11

ts 1

RH 1.55 1RH

RH0

3

cd.0 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH

Bilaga 1

B1.3

Uttorkningskrympning

[Formel 3.10]

[Promille] [Formel 3.9]

Autogen krympning

[Formel 3.13]

[Formel 3.12]

[Formel 3.11]

Total krympning

[Formel 3.8]

Beräkning av ekvivalent pålastningstid för den icke konstant belastade plattan (Används senare för beräkning av kryptal) Beräkningen utförs var 20 mm i höjdled och gick inte att systematisera, därav antalet Algoritmer

Kolumnvektor

Interpolering så att relativa fuktigheten erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar

tid är en kolumnvektor dag 0 och dag 365

PL är en kolumnvektor med relativa fuktigheten dag 0 och dag 365 över en specifik millimeterstrimla

tdag är de dagar interpoleringen beräknas över,

en kolumnvektor tdag=1:1:365=startvärde:intervall:slutvärde [dag]

ds.t1.ts

t1 ts

t1 ts 0.04 h03

0.7629

cd.t1 kh cd.0 ds.t1.ts

as.t1 1 e0.2 t1

0.5

0.9781

ca.inf 2.5 fck 10 106

0.0001

ca.t1 as.t1 ca.inf 0.0001

cs.t1 cd.t1 ca.t1

tid0

365

RH0.005 linterp tid PL1

tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


B1.4

För en specifik millimeterstrimla [Formel B.12]


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag


tdag

RH.0.005 1.55 1RH0.005

RH0

3

RH.0.02 1.55 1RH0.02

RH0

3

Bilaga 1

B1.5

RH.0.04 1.55 1RH0.04

RH0

3

RH.0.06 1.55 1RH0.06

RH0

3

RH.0.08 1.55 1RH0.08

RH0

3

RH.0.10 1.55 1RH0.10

RH0

3

RH.0.12 1.55 1RH0.12

RH0

3

RH.0.14 1.55 1RH0.14

RH0

3

RH.0.16 1.55 1RH0.16

RH0

3

RH.0.18 1.55 1RH0.18

RH0

3

RH.0.20 1.55 1RH0.20

RH0

3

RH.0.22 1.55 1RH0.22

RH0

3

RH.0.24 1.55 1RH0.24

RH0

3

RH.0.26 1.55 1RH0.26

RH0

3


B1.6

För en specifik millimeterstrimla [Formel B.11]

RH.0.28 1.55 1RH0.28

RH0

3

RH.0.30 1.55 1RH0.30

RH0

3

RH.0.32 1.55 1RH0.32

RH0

3

RH.0.34 1.55 1RH0.34

RH0

3

RH.0.36 1.55 1RH0.36

RH0

3

RH.0.38 1.55 1RH0.38

RH0

3

RH.0.395 1.55 1RH0.395

RH0

3

cd.0.0.005 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.005

cd.0.0.02 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.02

cd.0.0.04 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.04

cd.0.0.06 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.06

Bilaga 1

B1.7

cd.0.0.08 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.08

cd.0.0.10 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.10

cd.0.0.12 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.12

cd.0.0.14 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.14

cd.0.0.16 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.16

cd.0.0.18 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.18

cd.0.0.20 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.20

cd.0.0.22 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.22

cd.0.0.24 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.24

cd.0.0.26 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.26


B1.8

Uttorkningskrympning i specifika snitt över 365 dagar

[Formel 3.10]

Autogen krympning

[Formel 3.13]

[Formel 3.11]

cd.0.0.28 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.28

cd.0.0.30 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.30

cd.0.0.32 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.32

cd.0.0.34 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.34

cd.0.0.36 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.36

cd.0.0.38 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.38

cd.0.0.395 0.85 220 110ds1 e

ds2

fcm

fcmo

10

6 RH.0.395

ds.t.dag.ts

tdag ts

tdag ts 0.04 h03

as.t.dag 1 e0.2 tdag

0.5

ca as.t.dag ca.inf

Bilaga 1

B1.9

Total krympning i specifika snitt över 365 dagar

[Formel 3.9]

cd.t.dag.0.005 kh cd.0.0.005ds.t.dag.ts






















B1.10

[Formel 3.8]

cs.t.dag.0.005 cd.t.dag.0.005 ca





















Bilaga 1

B1.11

0 100 200 300 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Krympning i olika snitt som funktion av tiden

Tid (dagar)

Kry

mp

nin

g (

pro

mille

)1000cs .t.dag.0.005

1000cs .t.dag.0.04

1000cs .t.dag.0.08

1000cs .t.dag.0.12

1000cs .t.dag.0.16

1000cs .t.dag.0.20

1000cs .t.dag.0.24

1000cs .t.dag.0.28

1000cs .t.dag.0.32

1000cs .t.dag.0.36

1000cs .t.dag.0.395

tdag


B1.12

Viktning för beräknig av pålastningstid för ekvivalent konstant last för specifika millimeterstrimlor [dagar]

tdag1 är en kolumnvektor

tdag1=365:1:1=

startvärde:intervall:slutvärde [dag]

0 100 200 3000

5 103

0.01

0.015

0.02

Krympningsförändringen som funktion av tiden

tid (dagar)

Kry

mp

nin

gsf

örä

nd

rin

g (

pro

mille

)1000 cs .t.dag.0.005

1000 cs .t.dag.0.04

1000 cs .t.dag.0.08

1000 cs .t.dag.0.12

1000 cs .t.dag.0.16

1000 cs .t.dag.0.20

1000 cs .t.dag.0.24

1000 cs .t.dag.0.28

1000 cs .t.dag.0.32

1000 cs .t.dag.0.36

1000 cs .t.dag.0.395

tdag

t001

cs.t.dag.0.005tdag.1

cs.t.dag.0.005316.0806

t002

cs.t.dag.0.02tdag.1

cs.t.dag.0.02286.9802

t003

cs.t.dag.0.04tdag.1

cs.t.dag.0.04261.2802

Bilaga 1

B1.13

t004

cs.t.dag.0.06tdag.1

cs.t.dag.0.06245.7

t005

cs.t.dag.0.08tdag.1

cs.t.dag.0.08236.9609

t006

cs.t.dag.0.10tdag.1

cs.t.dag.0.10232.7572

t007

cs.t.dag.0.12tdag.1

cs.t.dag.0.12231.0486

t008

cs.t.dag.0.14tdag.1

cs.t.dag.0.14230.4626

t009

cs.t.dag.0.16tdag.1

cs.t.dag.0.16230.2929

t010

cs.t.dag.0.18tdag.1

cs.t.dag.0.18230.2775

t011

cs.t.dag.0.20tdag.1

cs.t.dag.0.20230.3236


B1.14

t012

cs.t.dag.0.22tdag.1

cs.t.dag.0.22230.4316

t013

cs.t.dag.0.24tdag.1

cs.t.dag.0.24230.5716

t014

cs.t.dag.0.26tdag.1

cs.t.dag.0.26230.6973

t015

cs.t.dag.0.28tdag.1

cs.t.dag.0.28230.6343

t016

cs.t.dag.0.30tdag.1

cs.t.dag.0.30230.1556

t017

cs.t.dag.0.32tdag.1

cs.t.dag.0.32228.8271

t018

cs.t.dag.0.34tdag.1

cs.t.dag.0.34226.2754

t019

cs.t.dag.0.36tdag.1

cs.t.dag.0.36222.6574

t020

cs.t.dag.0.38tdag.1

cs.t.dag.0.38219.5366

Bilaga 1

B1.15

Interpolering så att pålastningstiden erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar

p är en kolumnvektor med de betraktade millimeterstrimlorna [m]

p2 är en kolumnvektor med tvärsnittshöjden var 0.02 meter

t021

cs.t.dag.0.395tdag.1

cs.t.dag.0.395219.5094

ds

t001

t002

t003

t004

t005

t006

t007

t008

t009

t010

t011

t012

t013

t014

t015

t016

t017

t018

t019

t020

t021

p

0.0005

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

0.30

0.32

0.34

0.36

0.38

0.3995

p2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

0.30

0.32

0.34

0.36

0.38

0.40

t01 linterp p ds f( )


B1.16

200 220 240 260 280 300 3200

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Framviktad pålastningstid som funktion av tvärsnittshöjd

Tid (dagar)

Tv

ärsn

itts

hö

jd (

m)

p2

ds

Bilaga 1

B1.17

Grundläggande uttryck för bestämning av kryptalet

Koefficienter som beaktar inverkan av betongens hållfasthet [Formel B.8c]

Faktor som beaktar inverkan av relativ luftfuktighet [Formel B.3c]

Faktor som beaktar inverkan av betongens hållfasthet [Formel B.4]

Faktor som beaktar inverkan av betongens ålder vid pålastning [Formel B.5]

Koefficient som beror av den relativa luftfuktigheten och bärverksdelens ekvivalenta tjocklek [Formel B.8b]

If-sats

Koefficient som beskriver krypningens utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]

Det nominella kryptalet [Formel B.2]

Kryptalet [Formel B.1]

135

fcm

0.7

0.6702

235

fcm

0.2

0.8919

335

fcm

0.5

0.7513

RH 1

1RH1

100

1

0.13

h0

2 1.3519

fcm16.8

fcm

2.1336

t01

0.1 t00.2

0.6041

H 1.5 1 0.012RH1 18

h0 250 3

T 15003

R H H Tif

T otherwise

c.t1.t01

t1 t01 R t1 t01

0.3

0 RHfcm t0 1.7425

1 c.t1.t010


B1.18

Viktning av tvärsnittets medelkryptal

0.8 0.9 1 1.1 1.20

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Kryptalet över tvärsnittshöjden dag 365

Kryptal

Tvär

snitts

höjd

(m

)

z

1

medel

f 1

f1.1033

Bilaga 1

B1.19

Elasticitetsmodulen

Effektiv elasticitetsmodul i varje Millimeterstrimla [GPa]

Effektiv medelelasticitetsmodulen över tvärsnittet [GPa]

Ec.eff

Ec

1 1

Ec.eff.medel

Ec

1 medel18.8707

18 19 20 21 220

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Effektiv E-modul

E (Gpa)

Tvär

snit

tshöjd

(m

)

z

Ec.eff


B1.20

Axial tvångskraft

En millimeterstrimlas area [mm²]

Axialkraft i varje millimeterstrimlas mitt [N]

Totala axiala kraften [N]

Aa 0.001

Ft1 Aa Ec.eff 109

cs.t1

2 103

4 103

6 103

8 103

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Axiell dragtvångskraft över tvärsnittet (1år)

Kraft (N)

Tv

ärsn

itts

höjd

(m

)

z

Ft1

Ftot Ft1 1996049.1612

Bilaga 1

B1.21

Momenttvång

Momenttvångsbidrag [Nm]

Mt1 Ft1 f

0 1 103

2 103

3 103

4 103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Momenttvångsbidraget i underkant platta

Moment (Nm)

Tvär

snit

tshöjd

(m

)

z

Mt1


B1.22

Spänning, moment och placering av neutrala lagret

Momentet som verkar i plattans underkant [Nm]

Momentet som verkar i det geometriska neutrallagret, mittsnittet [Nm]

Viktade avståndet från underkant platta till neutrallagret [m]

Momentet som verkar i det riktiga neutrallagret [Nm]

Tvärsnittsarean [m²]

Spänningen av kraften över tvärsnittet [Pa]

Böjmotståndet över tvärsnittet, rektangulärt [m³]

Spänningen av momentet över tvärsnittet [Pa]

Spänningen i överkant av plattstrimlan [Pa]

Spänningen i underkant av plattstrimlan [Pa]

Mtot Mt1 438417.0635

MNL Mtot Ftot 0.5 hm 39207.2313

enl

Ec.eff 109

f

Ec.eff 109

0.1981

MNL2 Mtot Ftot enl 42979.0479

Ac hmb 0.4

kraft

Ftot

Ac

4990122.903

Wc

b hm2

60.0267

moment

MNL2

Wc

1611714.2952

ök kraft moment 6601837.1981

uk kraft moment 3378408.6078

Bilaga 1

B1.23

Krympning

Krympning i specifika lager efter 365 dagar

Viktad medelkrympning [Promille]

cs

1000cs.t.dag.0.005 364

1000cs.t.dag.0.02 364

1000cs.t.dag.0.04 364

1000cs.t.dag.0.06 364

1000cs.t.dag.0.08 364

1000cs.t.dag.0.10 364

1000cs.t.dag.0.12 364

1000cs.t.dag.0.14 364

1000cs.t.dag.0.16 364

1000cs.t.dag.0.18 364

1000cs.t.dag.0.20 364

1000cs.t.dag.0.22 364

1000cs.t.dag.0.24 364

1000cs.t.dag.0.26 364

1000cs.t.dag.0.28 364

1000cs.t.dag.0.30 364

1000cs.t.dag.0.32 364

1000cs.t.dag.0.34 364

1000cs.t.dag.0.36 364

1000cs.t.dag.0.38 364

1000cs.t.dag.0.395 364

cs.medel

cs p2

p20.2968


B1.24

Elasticitetsmodulens förhållande och ökning av tvärsnittsarean

E-modulen i överkanten av plattstrimlan [GPa]

E-modulen i underkanten av plattstrimlan [GPa]

Härledning av breddökning

Förhållande E-moduler

Förhållande i varje millimeterstrimla

Breddökningsfaktor i varje millimeterstrimla (vektor)

Kontroll att förhållandet i underkant stämmer

OK !

Bredd av tvärsnittet i varje millimeterstrimla [m]

Tvärsnittsarean med hänsyn till E-modulsvariationen över tvärsnittet [m²]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Krympningen över tvärsnittshöjden dag 365

Krympning (promille)

Tv

ärsn

itts

höjd

en (

m)

p2

cs

Eök Ec.eff399

18.715

Euk Ec.eff0

21.4623

Eök

Euk

0.872

EEc.eff

Eök

E 1

2

b

b 1 20

0.872

be b 2 b ( )

A1 Ac be 0.001

0.4038

Bilaga 1

B1.25

Deformationer

Yttröghetsmomentet i varje millimeterstrimla [m4]

Yttröghetsmomentet för tvärsnittet [m4]

Böjmotståndet i överkant plattstrimlan [m3]

Böjmotståndet i underkant plattstrimlan [m3]

Verkliga spänningen i överkant plattstrimlan [Pa]

Verkliga spänningen i underkant plattstrimlan [Pa]

Känslighetskontroll

Spänningsskillnaden i överkant förhållande verkliga och geometriska neutrala lagret

Spänningsskillnaden i underkant förhållande verkliga och geometriska neutrala lagret

Spänningsfördelning över tvärsnittet

Avstånd från neutrala lagret till varje millimeterstrimlas tyngdpunkt [m]

Böjmotståndet för varje millimeterstrimla [m³]

Spänningen i varje millimeterstrimla [MPa]

Ie be 0.001 f enl 2

Itot Ie 0.0055

Wök.v

Itot

hm enl0.0272

Wuk.v

Itot

enl

0.0277

ök.v

Ftot

Ac

MNL2

Wök.v

6570966.5058

uk.v

Ftot

Ac

MNL2

Wuk.v

1 2 0

3211152.916

ök.v

ök

0.9953

uk.v

uk

0.9505

ei f enl

Wt

Itot

ei

Ftot 10

6

Ac

MNL2 106

Wt

1 2 ( )


B1.26

Till Ramanalys

Moment i mitten av plattstrimlan [Nm]

Axialkraften [N]

Längd plattelement [m]

Vinkelförändringen [rad]

Längdförändringen [mm]

Täckande betongskikt [mm]

Armeringsdiameter [mm]

Stålspänning i armering [MPa]

[Formel 3.2]

Draghållfastigheten för betongen [MPa]

3 4 5 6 70

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

0.4

Spänningsfördelningen över tvärsnittet dag 365

Spänningen (MPa)

Tvär

snit

tshöjd

en (

m)

z

MRamanalys ök.v

Ftot

Ac

Wc 42155.8294

D Ftot 1996049.1612

L 5

MRamanalys L

2 Ec.eff.medel 109

Itot

0.001

1 cs.medel L 1.484

TB 30

12

s 320

cc.t e

sR 128

t0

1

2

0.86

fctm 4.18

Bilaga 1

B1.27

Tidsberoende draghållfastighet för betongen [MPa] [Formel 3.4]

Avståndet från plattkant till centrum armering [m] [Figur 7.1]

[m] [Figur 7.1]

Effektiva höjden [m] [Figur 7.1]

Effektiva arean [m²] [Figur 7.1]

Medelspänningen i betongen [Pa] [Formel 7.4]

Koefficient som beaktar inverkan av normalkraft på spänningsfördelningen

Koefficient som kompenserar för inverkan av ojämna egenspänningar som medför en minskning av tvångskrafter

Koefficient som beaktar spänningsfördelningen inom tvärsnittet omedelbart före uppsprickning och inre hävarmens ändring [Formel 7.2]

Minimiarmerig [m²] [Formel 7.1]

Antal järn i varje lager [st]

Halverat antal järn i varje lager [st]

fctm.t cc.t

2

3fctm 3.7801

d h TB

2

103

0.364

xh 0

hc.ef min 2.5 hm d hm xh

3

hm

2

0.09

Ac.eff hc.ef b 0.09

cD

b hm 4990122.903

k1

2 hm

3 hm0.6667

k 0.93

kc 0.4 1c

k1

hm

hm

fctm.t 106

1.1921

kcc 1 kc 1if

kc otherwise

As.min

kcc k fctm.t Ac.eff

s

0.00098874

n1

4 As.min

103

2

8.7424

n2

2 As.min

103

2

4.3712


B1.28

Inmatning i Ramanalys

Centrumavståndet i varje lager [m]

Centrumavståndet i varje lager med halv armeringsmängd [m]

Axialkraften [kN]

Moment i mitten av plattstrimlan [kNm]

Medelkrympning [Promille]

Medelkryptal

s1b

ceil n1 0.1111111111

s2b

ceil n2 0.2

DkN D 10( )3

1996.05

MRamanalys.kNm MRamanalys 103

42.16

cs.medel 0.2968

medel 1.1033

B2.1

Bilaga 2, Verifiering av kryptal

Verifiering

βH Koefficient som beror av den relativa luftfuktigheten och bärverksdelens ekvivalenta tjocklek [Formel B.8b]

t1 Betongens ålder vid betraktad tidpunkt [dagar]

tdag är de dagar intepoleringen

beräknas över, en kolumnvektor tdag=1:1:365=startvärde:intervall:slutvärde [dag]

βc Koefficent som beskriver krypningens utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]

φ0 Det nominella kryptalet [Formel B.2]

φ2 Kryptalet [Formel B.1]

Kraftförändringen för varje dag i en millimeterstrimla, kolumnvektor

c

t1 tdag H t1 tdag

0.3

2 c 0

F 0.005 0.001 cs.t.dag.0.005 1 2 1

Ec

F 0.02 0.001 cs.t.dag.0.02 1 2 1

Ec

F 0.04 0.001 cs.t.dag.0.04 1 2 1

Ec

F 0.06 0.001 cs.t.dag.0.06 1 2 1

Ec

F 0.08 0.001 cs.t.dag.0.08 1 2 1

Ec

F 0.10 0.001 cs.t.dag.0.10 1 2 1

Ec

F 0.12 0.001 cs.t.dag.0.12 1 2 1

Ec


B2.2

F 0.14 0.001 cs.t.dag.0.14 1 2 1

Ec

F 0.16 0.001 cs.t.dag.0.16 1 2 1

Ec

F 0.18 0.001 cs.t.dag.0.18 1 2 1

Ec

F 0.20 0.001 cs.t.dag.0.20 1 2 1

Ec

F 0.22 0.001 cs.t.dag.0.22 1 2 1

Ec

F 0.24 0.001 cs.t.dag.0.24 1 2 1

Ec

F 0.26 0.001 cs.t.dag.0.26 1 2 1

Ec

F 0.28 0.001 cs.t.dag.0.28 1 2 1

Ec

F 0.30 0.001 cs.t.dag.0.30 1 2 1

Ec

F 0.32 0.001 cs.t.dag.0.32 1 2 1

Ec

F 0.34 0.001 cs.t.dag.0.34 1 2 1

Ec

F 0.36 0.001 cs.t.dag.0.36 1 2 1

Ec

F 0.38 0.001 cs.t.dag.0.38 1 2 1

Ec

F 0.395 0.001 cs.t.dag.0.395 1 2 1

Ec

Bilaga 2

B2.3

Viktning av pålastningstiden med hänsyn till kryptalsvariationen med pålastningstiden

t0.005

F 0.005tdag.1

F 0.005311.533

t0.02

F 0.02tdag.1

F 0.02278.3206

t0.04

F 0.04tdag.1

F 0.04250.2997

t0.06

F 0.06tdag.1

F 0.06233.9264

t0.08

F 0.08tdag.1

F 0.08224.9734

t0.10

F 0.10tdag.1

F 0.10220.7402

t0.12

F 0.12tdag.1

F 0.12219.0368

t0.14

F 0.14tdag.1

F 0.14218.4551


B2.4

t0.16

F 0.16tdag.1

F 0.16218.287

t0.18

F 0.18tdag.1

F 0.18218.2717

t0.20

F 0.20tdag.1

F 0.20218.3173

t0.22

F 0.22tdag.1

F 0.22218.4244

t0.24

F 0.24tdag.1

F 0.24218.5632

t0.26

F 0.26tdag.1

F 0.26218.688

t0.28

F 0.28tdag.1

F 0.28218.6254

t0.30

F 0.30tdag.1

F 0.30218.151

Bilaga 2

B2.5

t0.32

F 0.32tdag.1

F 0.32216.8398

t0.34

F 0.34tdag.1

F 0.34214.3476

t0.36

F 0.36tdag.1

F 0.36210.9051

t0.38

F 0.38tdag.1

F 0.38208.1919

t0.395

F 0.395tdag.1

F 0.395208.8851


B2.6

Interpolering så att pålastningstiden erhålls i en specifik millimeterstrimla över 365 dagar

p är en kolumnvektor med de betraktade millimeterstrimlorna [m]

f är de snitt interpoleringen beräknas över, en kolumnvektor f=0.0005:0.001:0.3995=startvärde:intervall:slutvärde [m]

dss

t0.005

t0.02

t0.04

t0.06

t0.08

t0.10

t0.12

t0.14

t0.16

t0.18

t0.20

t0.22

t0.24

t0.26

t0.28

t0.30

t0.32

t0.34

t0.36

t0.38

t0.395

t02 linterp p dss f( )

Bilaga 2

B2.7

β c200 Koefficent som beskriver krypningens

utveckling med tiden efter pålastning [Formel B.7]

φ 3 Kryptalet [Formel B.1]

φ 1 är det kryptal som används i studien

φ 3 är det verkliga kryptalet efter verifiering

c200

t1 t02 H t1 t02

0.3

3 c2000

0 0.1 0.2 0.3 0.40.8

0.9

1

1.1

1.2

Verifiering av kryptalet

Tvärsnittshöjd (m)

Kry

pta

l 1

3

z


B2.8

B3.1

Bilaga 3, Passningsberäkning i Ramanalys En fem meter lång plattstrimla undersöks i samtliga beräkningar. Den

studerade plattorna är gjutna i inomhus miljö i maj månad med den

relativa fuktigheten 55 %.

Tabell B2.1 Plattor 120 med olika vct och armeringshalt

Platta 120, vct 0.53, Ø12s250 ϕm = 1.87

ε = 0.38 Fullt axialtvång

Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] centrisk 411,670 7,140 0,009 1,883 Ramanalys

Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm] σs.c [Mpa]

centrisk 161,500 3,700 0,009 1,957 0,290 504,000

Platta 120, vct 0.43, Ø12s200 ϕm = 1.54




centrisk 187,710 4,200 0,009 1,874 0,270 466,000

Platta 120, vct 0.38, Ø12s200 ϕm = 1.44




centrisk 191,000 4,300 0,009 1,945 0,270 474,000


B3.2


Platta 160, vct 0.53, Ø10s160 ϕm = 1.76


Startvärd D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] ök+uk 559,810 12,740 0,007 1,802 ök+0.5uk 559,810 12,740 0,007 1,802 Ramanalys

Passning D [kN] M [kNm] θ [rad] δ [mm] wk,ök [mm]

σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 213,800 5,900 0,007 1,664 0,210 136,000 342,000

ök+0.5uk 219,000 5,800 0,007 1,876 0,210 289,000 342,000

Platta 160, vct 0.43, Ø10s140 ϕm = 1.45




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 262,000 6,000 0,006 1,787 0,190 172,000 326,000

ök+0.5uk 262,000 6,000 0,006 1,875 0,200 295,000 326,000

Platta 160, vct 0.38, Ø10s125 ϕm = 1.36




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 266,300 5,900 0,006 1,883 0,150 157,000 286,000

ök+0.5uk 266,300 5,900 0,006 1,830 0,190 309,000 286,000

Bilaga 3

B3.3


Platta 200, vct 0.53, Ø10s125 ϕm = 1.67




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 282,000 8,000 0,005 1,688 0,210 159,000 299,000

ök+0.5uk 270,000 8,500 0,005 1,797 0,230 280,000 299,000

Platta 200, vct 0.43, Ø10s110 ϕm = 1.39




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 332,000 8,700 0,004 1,742 0,200 175,000 304,000

ök+0.5uk 327,510 8,700 0,004 1,751 0,230 301,000 301,000

Platta 200, vct 0.38, Ø10s110 ϕm = 1.30




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 345,000 8,500 0,004 1,731 0,210 188,000 309,000

ök+0.5uk 328,200 9,200 0,004 1,922 0,240 291,000 308,000


B3.4


Platta 300, vct 0.53, Ø12s125 ϕm = 1.52




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 435,000 17,200 0,003 1,345 0,300 174,000 309,000

ök+0.5uk 399,000 18,900 0,003 1,360 0,350 287,000 300,000

Platta 300, vct 0.43, Ø12s110 ϕm = 1.27




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 514,300 18,350 0,002 1,686 0,290 192,000 315,000

ök+0.5uk 500,000 18,350 0,002 1,681 0,390 330,000 308,000

Platta 300, vct 0.38, Ø12s100 ϕm = 1.19




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 551,000 18,200 0,002 1,635 0,410 276,000 428,000

ök+0.5uk 470,000 22,900 0,002 1,552 0,480 383,000 410,000

Bilaga 3

B3.5


Platta 400, vct 0.53, Ø12s125 ϕm = 1.42




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 745,000 16,800 0,001 1,370 0,690 379,000 445,000

ök+0.5uk 731,070 17,000 0,001 1,521 1,360 739,000 439,000

Platta 400, vct 0.43, Ø12s110 ϕm = 1.18




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 723,850 16,000 0,001 1,412 0,530 328,000 383,000

ök+0.5uk 709,000 16,000 0,001 1,335 0,960 576,000 376,000

Platta 400, vct 0.38, Ø12s110 ϕm = 1.10




σs.uk [Mpa]

σs.ök

[Mpa]

ök+uk 899,000 17,000 0,001 1,404 0,670 416,000 467,000

ök+0.5uk 885,000 17,000 0,001 1,534 1,240 739,000 460,000

Documents

AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2566824/FULLTEXT01.pdf · AXIAL- OCH GRADIENTKRYMPNING HOS GOLV PÅ MARK ENLIGT EUROKOD 2 Sprickbredders beroende av