Axiomatique de Bachmann

Montréal - 15 juin 2001Yves MartinIUFM de La Réunionmartin@univ-reunion.fr

Illustrations elliptiques et

hyperboliquesavec

Cabri-géomètre

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai

• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai

• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

La théorie des parallèles (1829)

Les droites sont :• sécantes• parallèles • ayant une perpendiculaire commune

Il existe un objet spécifique

Les horicycles

La science absolument vraie de l’espace (1832)

Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible

La science absolument vraie de l’espace (1832)

Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible

Géométrie différentielle (1828)

Courbure intégrale

Géodésiques

Géométrieintrinsèquedes surfaces

Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1854)

Géométrie elliptique sur la sphère

Variétés différentielles

Essai d’interprétation de la géométrie non euclidienne (1868)

La géométrie sur les surfaces à courbure constante négative sont localement des plans de Lobatchevsky

Construction du premier modèle hyperbolique plan (1869)

Classification des Géométries (1871)

Il existe trois types de géométrie projective à courbure constante :

• Elliptique

• Euclidien

• Hyperbolique

Le programme d’Erlangen (1872)

L’objet de la géométrie :

« Étant donné une multiplicité et un groupe de transformation, développer la théorie des invariants par rapport à ce groupe »

Les fondements de la Géométrie (1899)

• Construction catégorique de la géométrie plane euclidienne

• Indépendance des axiomes (par groupe)

• Causalité des propositions : introduction d’autres géométries (non arguésienne, non archimédiennes, legendrienne …)

Une classification des géométries

"Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points; ...; nous nommons droites les choses du deuxième système...; nous appelons plans les choses du troisième système …

Entre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que être sur, entre, congruent; la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie.

Empirisme et intuition chez Hilbert

Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l'énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc . On pourrait dire que c'est la position d'Euclide et interpréter en partie, l'histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l'histoire d'une défiance de plus en plus grande vis à vis des vérités appuyées sur l'intuition de l'espace, mais qui aboutit à la constatation qu'on ne peut pas s'en passer totalement.

Empirisme et intuition chez Hilbert

Les modèles euclidiens conformes (1901)

Les modèles euclidiens conformes (1901)

Les modèles euclidiens conformes (1901)

Les modèles euclidiens conformes (1901)

L’après Hilbert

1905 - Hessenberg

• Caractère arbitraire de la notion de parallélisme

• Théorème d’antiappariement

• Preuve de Pappus dans les plans métriques non euclidiens

L’après Hilbert

1907 - Hjelmslev

• Premier travail sur les faisceaux

• Théorème fondamental des plans métriques

• Notion de demi-rotation pour le plongement projectif

L’après Hilbert

1933 - Thomson

Première tentative de présentation algébrique de la géométrie euclidienne à partir des symétries

1943 - Arnold Schmidt

Extension du travail précédent aux cas non euclidiens

1959 - Friedrich Bachmann

Algébrisation ultime de la géométrie absolue plane

1924 - Geiger

Première définition axiomatique de la géométrie

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai

• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Propriétés de la géométrie elliptique

• Non orientable

Propriétés de la géométrie elliptique

• Non orientable

• Notion de pôle et de polaire

Propriétés de la géométrie elliptique

• Non orientable

• Notion de pôle et de polaire

• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites

Propriétés de la géométrie elliptique

• Non orientable

• Notion de pôle et de polaire

• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites

Propriétés de la géométrie elliptique

• Non orientable

• Notion de pôle et de polaire

• Le médiateur de deux pointsest la réunion de deux droites

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai

• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Point et orthogonalité

Incidence

Composition de 3 symétries - axes sécants

Composition de 3 symétries - axes à perpendiculaire commune

Préambule à l’axiomatique de Bachmann

Lecture algébrique des propriétés euclidiennes

L’environnement des axiomes de BachmannOn considère un groupe noté multiplicativement, d'unité 1, et on note∆ un ensemble générateur maximal pour ces deux propriétés :

Tous les générateurs sont d'ordre 2

L'ensemble des générateurs est globalement stable par conjugaison.

Dans toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann, on désignera :

• Par une lettre minuscule grecque un élément de , appelée une isométrie.• Par une lettre minuscule latine un élément de .• Par une lettre majuscule latine le produit de deux éléments de quand ce produit est d’ordre 2.

Par | la relation  : le produit est d'ordre 2Ainsi a | b signifie (ab)2 = 1 ou encore ab=ba. (et ab ≠ 1)De même P | a signifie (Pa)2 = 1 ou encore Pa = aP

On choisit de noter P, Q | a pour signifier P | a et Q | a.De même on écrira P, Q | a, b pour exprimer P, Q | a et P, Q | b.

Le groupe opère naturellement par conjugaison sur lui-même, et donc en particulier sur .L'action d'un élément de sur un élément a pour résultat -1 et se notera dans la suite .

En particulier : si a | b alors ab = a et ba = b. De même si P | a alors Pa = P et aP = a.

Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g

Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h

Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiomes des trois symétries

Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h ,j F g, j F gh.

Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiome d'existence d'un plan

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :

Axiomes d’incidenceOn appelle droite les éléments de ∆.

On appelle point le produit de deux droites quand ce produit est d'ordre 2

On dira qu’un point P et une droite g sont incidents si P | g.

On dira que deux droites g et h sont orthogonales si g | h. Elles sont alors distinctes.

Si g | h alors le produit gh est un point P incident à g et à h.

Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g

Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h

Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiomes des trois symétries

Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiome d'existence d'un plan

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :

Axiomes d’incidenceÉtant donnés deux points il existe une droite qui leur est incidente.

Si deux points sont incidents à deux droites, alors soit les points, soit les droites sont confondues

Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g

Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h

Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiomes des trois symétries

Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h ,j F g, j F gh.

Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiome d'existence d'un plan

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :

Axiomes d’incidence

Si trois droites sont concourantes en un point, leur produit est une droite

Si trois droites ont une droite orthogonale commune, leur produit est une droite

Axiome 1 :Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g

Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h

Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiomes des trois symétries

Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d

Axiome d'existence d'un plan

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :

Axiomes d’incidence

Dans cette géométrie, il existe un trianglerectangle

Action des isométries

De par les propriétés de G, les isométries :

• Transforment les droites en droites

• Transforment les points en points

• Conservent l’incidence et l’orthogonalité

L'action d'un élément de G sur un élément a pour résultat -1 que l’on a noté .

Droites invariantes par l’action d’une droite

Soit u et a deux droites.

• Si a = u, alors uau = a, et donc au = a. • Sinon uau = a ssi (ua)2 = 1 ssi u | a.

Autrement dit, les seules droites a globalement invariantes par l'action de u sont la droite u elle-même et toutes les droites a orthogonales à u.

Pôles et polaires

Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1.

ab = c

a | b

a et b orthogonales

ab = c = C

Dans le cas où abc = 1, les droites sont deux à deux distinctes, et chacune égale au point incident aux deux autres.

Poles et polaires - Conséquence pour l’incidence

Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1.

Quand C = c, on a bien-sûr C | c. Toutefois, pour éviter qu'un point soit incident à lui-même, on ne dit pas que C et c sont incidents. Ainsi la définition sur l'incidence que l'on retiendra sera désormais :

(P est incident à a) ssi (P | a et P ≠ a). On écrira P I a.

Faisceaux

Trois droites a, b, et c sont dites en faisceaux si la composée des trois abc est une droite.

Pour trois droites, "être en faisceau" est indépendant de l'ordre.

L'axiome 3 veut que si trois droites sont incidentes à un point alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à centre.

De même l'axiome 4 veut que si trois droites sont orthogonales à une droite donnée, alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à axe.

La notion est plus générale que ces deux cas particuliers. Quand l'un de ces deux cas n'est pas satisfait, on parle de faisceau sans support.

Premières conséquences (incidence et orthogonalité)

Tout point P est le produit de toute paire de droites orthogonales incidentes à P.

Il y a équivalence entre l’orthogonalité de trois droites prises deuxà deux et le produit des trois égal à 1.

Il existe toujours (au moins) une perpendiculaire à une droite incidente à un point donné

De plus il y a unicité de cette droite si le point n’est pas le pôle de la droite.

Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (incidence et orthogonalité)

Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (axiomes des 3 symétries)

Dans l’axiome 3 le produit d= abc est aussi incident à P.

Dans l’axiome 4 le produit d= abc est aussi orthogonal à l’axe g.

Réciproque de l’axiome 3 :

Soit P un point incident à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors P | c.

Réciproque de l’axiome 4 :

Soit g une droite orthogonale à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors g | c.

Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev)

AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C

aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Le théorème de Hjelmslev :

Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d.Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).

Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev)

AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C

aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Le théorème de Hjelmslev :

Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d.Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc

Le principe avec Cabri :

Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc

Le principe avec Cabri :

Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.

Il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucun problème dans les modèles utilisés

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’b’) par P

Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’c’) par P

Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'

Si A = C, alors A | c' et la droite a convient.Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P. Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'après le théorème fondamental b est la droite cherchée car a'bc' est une droite.

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

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• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Les médiatricesThéorème des milieux

HauteursBissectrices

Les Faisceaux : généralisation des faisceaux du triangle

Propriété absolue des bissectrices

Les médianes

TRIANGLE

TRILATERE

Théorème de transitivité :Pour a ≠ b, si abc et abd sont deux droites, alors acd est une droite

Intersection de deux faisceaux

Isogonalité absolue

Les Faisceaux - propriétés absolues

« Malfatti »

Conséquence 1 :Deux droites distinctes d’un faisceau caractérisent ce faisceau

Conséquence 2 :Deux faisceaux distincts ont au plus une droite en commun

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

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• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Classification des géométries

• Axiome de Polarité

• Axiome du rectangle• Equi-perpendicularité• Axiome de connexion

• Axiome hyperbolique

Axiome de polarité - Géométrie elliptique

Il existe une droite a égale à un point A

Dans un plan elliptique toute droite est égale à un point et réciproquement

Axiome de polarité - Géométrie elliptique

Pour deux droites distinctes a et b, soient a = A et b = B

B est donc un point distinct de A, milieu de [AA]

Dualité en géométrie elliptiqueTout théorème a son dual en inversant la notion de droite et point

Axiomes 1 et 2Par deux points distincts il passe une et une seule droite

Dual 1 :Par deux droites distinctes il passe un et un seul point.

Dual 2 :Deux droites distinctes ont toujours une et une seule perpendiculaire.

Pour tout A ≠ B , il existe un unique d telle que A, B | d

Dual 3:Par un point et une droite (non polaire de ce point), il existe une unique perpendiculaire à la droite passant par ce point.

Son dual ? ….. Ses duaux …

Il existe deux droites qui admettent (au moins) deux perpendiculaires communes

a, b, c, d, a≠b et c≠d tels que a, b | c, d

P R, donc R P

L’axiome du rectangle entraîne que :

Par un point il passe une uniqueperpendiculaire à une droite donnée

Axiome du rectangle : vers l’euclidien

Axiome du rectangle : vers l’euclidien

L’axiome R est équivalent au :

Théorème du rectanglea et b étant deux droites distinctes Si a, b | c et a | d alors b | d

Mais l’axiome R ne suffit pas à assurer l’unicité de la non sécante à une droite en un point donné

Il est aussi équivalent au :

Théorème des 3 points :Le produit de 3 points est toujours un point

L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien

Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux

Plans semi-euclidiens

L’axione R est vérifié, mais par un point il passeplus d’une non sécante à une droite donnée

• Deux droites équi-perp. sont sans point commun• Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp.

L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens

Plans semi-euclidiens

L’axione R est vérifié, mais par un point il passeplus d’une non sécante à une droite donnée

L’équi-perpendicularité des plans semi-euclidiens correspond au parallélisme des plans euclidiens

L’équi-perpendicularité : vers l’euclidien

Deux droites sont équi-perpendiculaires si leurs faisceaux de droites orthogonales sont égaux

• Deux droites équi-perp. sont sans point commun• Deux droites ayant une perp. commune sont équi-perp.

Axiome de connexion Géométrie euclidienne

Connexion :Deux droites sont connectables si elles ont un point ou une perpendiculaire en commun

Plans euclidiensCe sont les plans dans lesquels l’axiome R et l’axiome C sont vérifiés

L’équi-perpendicularité coïncide alors avec le parallélisme

Axiome de connexion (C)Deux droites quelconques sont toujours connectables

Géométrie hyperbolique

On se situe dans C :Il existe des droites non connectables

Axiome H :

Par un point il passe au plus deux droites non connectables à une droite

La géométrie hyperbolique est celle qui vérifie H et C

Classification des géométries

Classification des géométries

Classification des géométries

Classification des géométries

Classification des géométries

Classification des géométries

Axiomatique de Bachmann avec Cabri

• Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai

• Familiarisation des modèles des G.N.E.

• Axiomes et premiers théorèmes

• Théorèmes sur les faisceaux

• Les différentes géométries

• Plongement dans un modèle projectif

Brianchon et Pappus-Pascal absolus

La géométrie absolue vérifie le théorème de Brianchon :

Les trois diagonales d'un hexagramme issu de deux faisceaux à centre sont en faisceau.

On note Fij le faisceau F(ai,bj) de centre fij s’il existe

Sommet : Fij d’opposé : Fji

Diagonale : unique droite du faisceau de sommets opposés (si elle existe)

Brianchon et Pappus-Pascal absolus

Le dual du théorème de Brianchon est le théorème de Pappus :

Si les sommets (Ai) et (Bj) d'un hexagramme sont alternativement sur deux droites données a et b, les trois intersections (Ci) des diagonales opposées (AjBk) et (AkBj) - pour i, j, k différents - sont alignées.

Le faisceau A, a1, a2, a3 devient A1, f12, f13, a. Le faisceau B, b1, b2, b3 devient B1, f31, f21, b.

Prolongement projectif

Tout plan métrique de Bachmann se prolonge dans un plan idéal projectif

Les faisceaux de la géométrie sont les points du plan idéal

Les droites idéales sont construisent à partir des demi-rotations.