Ay t mod5

56

57Álgebra y trigonometría

El número es una conquista del pensamiento humano.

2Potenciación yradicación

Módulo 5 Leyes de los exponentes y los

radicales Racionalización

EjerciciosCapítulo 2, módulo 5

Capítulo 2

Presentación

En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar oreducir determinadas expresiones algebraicas.

Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constan-tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, divi-sión, potenciación y radicación.

Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exacta-mente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válidopara constantes tomadas de un conjunto de referencia.

En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en losnúmeros reales.

Contenido breve

58


Leyes de los exponentes y los radicales Racionalización

Introducción

En este módulo se le dará significado a expresiones como ,p

qa donde a, p, q sonnúmeros, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permiteobtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,

10010 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere

de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.

Objetivos

1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.2. Establecer las propiedades de los exponentes.3. Definir el concepto de raíz enésima.4. Definir el concepto de racionalización.

Preguntas básicas1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?3.¿ Qué es base y qué es exponente?4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?

Contenido

5.1 Exponentes5.2 Propiedades de los exponentes5.3 Raíz enésima5.4 Exponentes racionales5.5 Radicales5.6 Racionalización5.7 Factor racionalizador

Vea el módulo 5 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

5Alejandría

Por el año 300 a. C. la ciudad griega de Alejandría, fundadapor Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto,era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30metros de ancho, un magnífico puerto y un gigantesco faropara anunciar a los marinos que allí se dirigían que seacercaban a su destino. El faro fue una de las siete maravillasdel mundo antiguo.

Alejandría era una ciudad cosmopolita donde convivían enpaz ciudadanos de muchas nacionalidades; era el lugar idealpara un centro internacional de investigación. Ese centroera la biblioteca y museo de Alejandría. El museo, un lugardedicado a las especialidades de las nueve musas, era elcentro de investigaciones propiamente dicho. La bibliotecase guiaba por el ideal de reunir una colección de libros delmundo con obras griegas y traducciones al griego de obrasescritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo,el Medio Oriente y la India.

60

5.1 Exponentes

Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:

1. · · ... ,na a a a a n= veces.

2. 0 1a = , con 0,a ≠ 00 no está definido.

3.1

,n

na

a− = con 0.a ≠

5.2 Propiedades de los exponentes

Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:

1. · .m n m na a a +=

2. ( ) . .mn n ma a=

3. , con 0.m m

m

a ab

b b⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

4. ( )· · .m m ma b a b=

5. , con 0.1

m nm

n

n m

aa

aa

a

−

−

⎧⎪= ≠⎨⎪⎩

Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 00 . Si se tratara de

definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:0 2 0 2 20 · 0 0 0 0 0 0.+= = = × = O sea que como 20 0,= entonces 00 podría ser cual-

quier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.

Ejemplo 1

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230 = 1.

33

17 .

7− = ;

5 7 5 72

1· .a a a

a− −= =

55

1.a

a− = ; ( ) 32

6

1.a

a

−=

( )3 3 3· · .a b a b= ;7 7

7.

a a

b b⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5.3 Raíz enésima

La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2 = b. La raíz cúbica de unnúmero b es un número r tal que r3 = b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésimade b si rn = b.

Capitulo 2: Potenciación y radicación

Escuche La historia deAlejandría en su multimedia de

Álgebra y trigonometría


Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - RacionalizaciónEjemplo 2

2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.

4− no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla

que 2 4.a = −

Si n N∈ y ,b R∈ se dice que 1/ nb en una raíz enésima de b.

Si n es par y b es positivo, entonces 1/ nb representa la raíz enésima real positiva de

b, y 1/ nb− representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que

1/( ) nb− no representa un número real.

Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ nb representa la raíz enésima real

de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/0 0.n =

Ejemplo 3

¿Cómo podría definirse un símbolo como 2/ 37 ?

Solución

Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,se tiene que:

( )22 / 3 1/ 37 7 .=

O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Loanterior motiva la siguiente definición:

5.4 Exponentes racionales

Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b nopuede ser negativo cuando n es par, entonces:

1. ( ) ( )1/1/ .m

m nn mnb b b= =

2.1

.m

nm

n

b

b

−=

5.5 Radicales

Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n

es par, se define la raíz enésima de b como b1/n y se denota como .n b

62


El símbolo se llama radical.El símbolo n se llama índice.El símbolo b se llama radicando.

De lo anterior se concluye que:

1. ( )1

.m

nm mn nb b b= =

2. ( )1

.

mm mnn nb b b

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:

1. .n nx x=2. · .nn nxy x y=

3. .n

nn

x x

y y=

4. . .m n m nx x=

Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedadde expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se diceque una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la formaradical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual alíndice del radical.

2. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor comúnaparte del 1.

3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.4. No aparece ningún radical en el denominador.

Ejemplo 4

Escriba en la forma radical más simple la expresión 3 5 212 .x y z

Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 5 2 2 4 2 2 2 212 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy= = = =

5.6 Racionalización

Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominadorconsiste en eliminar los radicales en un denominador.


Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización

Escuche Los grandes números ensu multimedia de Álgebra y

trigonometría

Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan ymultiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-ciones de números reales, es decir:

· ·,

a c a d b c

b d bd

++ = con b y d diferentes de cero.

·· ,

·

a c a c

b d b d= con b y d diferentes de cero.

·,

·

a c a d

b d b c÷ = con b y c diferentes de cero.

· · .a c

a d b cb d

= ⇔ =

·,

·

k a a

k b b= con k diferente de cero.

En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.

Ejemplo 5

Racionalice la expresión 2

3

6.

9

x

x

Solución

32 2 2

3 3 3 2

6 6 3·

9 9 3

x x x

x x x= (¿Por qué?).

( )

3 3 32 2 2 2 2 2

3 3 33

6 3 6 3 6 3

327 3

x x x x x x

xx x= = =

3 22 3 .x x=

Ejemplo 6

Simplifique 4 43 3 5 327 3 .a b a b

64

Capitulo 2: Potenciación y radicaciónSolución

( )( )

( )( )

( )

4 43 3 5 3 3 3 5 34

4 8 6

42 24

4 42 24

1/ 442 2 2 2

2

27 3 27 3

81

3

3

3 3

3

a b a b a b a b

a b

a b b

a b b

a b b a b b

a

=

=

=

=

= =

= 1/ 2

2

·

3 .

b b

a b b=

5.7 Factor racionalizador

Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión conradicales, si su producto es libre de radicales.

Ejemplo 7

3 1− es factor racionalizador de 3 1+ porque ( )( )3 1 3 1 2.− + =

a x b y+ es factor racionalizador de a x b y− (¿Por qué?).

Ejemplo 8

3 3x y− es factor racionalizador de 3 2 23 33x x y y+ + porque su producto es

.x y−

Ejemplo 9

Racionalice la siguiente expresión: .a b

a b

+−

Solución

Notemos que a b+ es un factor racionalizador del denominador, pues

( )( ) .a b a b a b+ − = −

Multiplicando el numerador y el denominador por el factor racionalizador se obtiene:

( )( ) 2.

( )( )

a b a b a b a a b b

a ba b a b a b

+ + + + += =−− − +


Ejemplo 10

Simplifique y exprese con exponentes positivos

1112 432

2 2 2.

ay bx y

x y a b

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solución

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 21 1 1 2 2 23 3 32 2 2 4 4 4

1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 13 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3

13

16

1112 432

2 2 2

.

ay bx ya y x b x y y a b

x y a b

a b x y b x y

y

xb

−− − −

− − − +− − −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

=

Ejemplo 11


312 1 4

1 3.

n n

n

a a b

a ab

+

+

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solución31 31 34

84 1 3 118 82 2

1 1 14 4

2 1 2

1 3.

n n

n

n

n

a a b a a a baa b a b

a ab a baa

+

+

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 12


( )1

2 2

2

2

.

ab

a b

b

a b

ab b

x y

x

y

+

−

−

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución

( ) 2

1 2 22 2

2

22 2

.

aab bb

a b

a ba b a b

bba b a b b b

a b ba b

ab b

x y x y y x y y x x

yx yxx

y

++

−+ +

−− −

−−

+

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


66

Ejemplo 13


3

1

2 2 7 3 9.

2 2 1 9 27

n n a a

an n a a

+

+

− + +÷

− + +

Solución

( )( )

( )( )

( )

1

1

3 3

1 1

3

2 2 7 3 9 2 2 7 9 27

2 2 1 9 27 2 2 1 3 9

2 2 1 7 9 1 3

2 2 1 1 3 1 3

7 2 1 97 3 21.

32 1

a

a

n n a a n n a a

an n a a n n a a

n a a

n a a

n

n

+ +

+ +

⎛ ⎞− + + − + +÷ = ⋅⎜ ⎟− + + − + +⎝ ⎠

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

+= ⋅ = ⋅ =

+

Ejemplo 14


( ) ( )

( )

2 2

22

.

1

x x x x

x xx x

x x

a a a a

a aa a

a a

− −

−−

−

+ − −

⎛ ⎞−+ − ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Solución

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

2 2 2 2 222

2

22

2 2

2 21

4 2 2.

2 1

x x x x x x x x

x x x xx xx xx x

x x x x

x

x x xx x

x x

a a a a a a a a

a a a aa a a aa aa a a a

a

a a aa aa a

− − − −

− −− −−− −

−−

−

+ − − + + − + −=+ + − + −⎛ ⎞− ++ − ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= = =+ ++

+

Ejemplo 15


2 2

2 2

2.

a b a b a ba b

a b a b a b

− + +⋅ + ⋅ −+ − −



Solución

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2

.

a b a b a b a a b b a b a ba b

a b a b a b a b a b a ba b

a a b b a b a b

a b a b

b b a b

a ba b

− + + − + +⋅ + ⋅ − = + −+ − + − − +−

− + + − −=

− +

− −= = −−−

Ejemplo 16


3 2 52

3 3 5 7

2 18 50 32.

5

a b a b aa

ab ab b b+ + −

Solución

3 2 5 2 2 22

3 3 5 7 2 3

2

2 2 2

2

2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 2

5 5

2 3 2 2 4 2

2 3 2 2 4 2

2 2.

a b a b a a a a b a a b aa

ab ab b b b b b ab b b ab b

a a a a a a

b b b ab b b b b

a a a a

b ab

a ab

bb ab

+ + − = + + −

= + + −

+ + −=

= =

Ejemplo 17

Racionalice

2 2

2 2

1 1.

1 1

x x

x x

+ − −

+ + −

Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:

2 21 1x x+ − − .


68

Entonces,

( ) ( )( )( )

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 4

2 2

1 1 1 11 1

1 1 1 1 1 1

1 1 2 (1 )(1 )

1 (1 )

2 2 1 1 1.

2

x x x xx x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

x x

+ − − + − −+ − − =+ + − + + − + − −

+ + − − + −=

+ − −

− − − −= =

Ejemplo 18

Racionalice

2

2

9 3.

9 3

x

x

+ −

+ +

Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:

29 3x+ − .

Entonces,

( )( )( )( )

2 22

2 2 2

2 2 2 2

2 2

9 3 9 39 3

9 3 9 3 9 3

9 9 6 9 6 9 18.

9 9

x xx

x x x

x x x x

x x

+ − + −+ − =+ + + + + −

+ + − + − + += =+ −

Ejemplo 19

Racionalice

2 6.

2 3 5+ −

Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5+ + se obtiene:



( )( ) ( ) ( )2

2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 30

2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5

4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 30

2 3 2 6 5 2 6

4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 52 3 5.

12 12

+ + + += =+ − + − + + + −

+ + + += =+ + −

+ + + += = = + +

Ejemplo 20

Racionalice

3 2 23

1.

x y+

Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de lasuma de cubos:

( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b+ = + − +

En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:

( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b− = − + +

Utilizando entonces como factor racionalizador:

( )3 34 2 2 43 3 ,x x y y− +

se obtiene

( )( ) ( )

3 34 2 2 43 3

3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3

3 4 2 2 43 3

2 2

1

.

x x y y

x y x y x x y y

x x y y

x y

− +=

+ + − +

− +=

+


70

1. Simplifique ( )163 1 2 1 2 4 .ab c a b c

−− − − − − RTA: 12a .

2. Simplifique 1 1

1 1

3 2.

2 3

− −

− −

+−

3. Simplifique ( )2 212

1 .n

nn n

n n nxx x x

x

−− +⎡ ⎤

⎡ ⎤+ ÷ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ RTA: 1.

4. Simplifique

12 1 1

2 1 1

·.

·

a a b

a a b

−− − −

− − −

⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎝ ⎠

5. Simplifique

1

9 27.

3 9

nn n

n n

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

RTA: 3.

6. Simplifique ( ) ( )1 1

1 11

2 4.

2 2

n n

n nn n

+ +

− +−÷

7. Simplifique

12 2

3 2

3( ) .a

n

a ba b

a a ab

xa

x

−+

−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

RTA: 3 ( )n a ba + .

8. Simplifique

12 1

.2 1

mmxmx

⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

9. Simplifique

14

13 2 2 2

52 3 2 2

.a b b a

b a a b

− −− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ RTA:

1 15 5 .a b

10. Racionalice la siguiente expresión:2

.3

m

m n+

11. Simplifique ( ) ( )1 1

1 11

2 4.

2 2

n n

n nn n

+ +

− +−÷ RTA:

1.

4

12. Racionalice la siguiente expresión: 3

1.

0.008

13. Simplifique 4 1

2

3 6 3.

7 3

n n

n

+ +

+

− ⋅⋅

RTA: 1.

14. Racionalice la siguiente expresión: 2

.3 2−

Capítulo 3: Potenciación y radicación

Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)


15. Simplifique ( )1 4

322 4 3 362 4 .

163 8 81

x x xx x

x x

+ −⋅ ⋅ ⋅ +⋅

RTA: 6 3

3.

2 x+

16. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:2

1

3 · 2 4 · 2.

2 2

n n

n n

−

−

−−

17. Simplifique ( ) ( )( )

( ) ( )

1122 2

4 4

2 22 .

x xx x

x x x x x x x x

e eae ae

e e ae ae e e e e

−−

− − − −

⎡ ⎤⎡ ⎤ +− ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ÷⎢ ⎥− +⎢ ⎥ + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

RTA: 2.

18. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:( )

( )

2 2 2

1

2

·.

x y x y

x y

+ −

−

19. Simplifique ( ) ( )

( )

1 22 ( 1)

1 11

3 81 243.

3 27

a aa a a a

a aa

− − −

+ +−⋅ RTA: 9.

20. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:4 1

2

3 6 · 3.

7 · 3

n n

n

+ +

+

−

21. Simplifique ( )

( )( )

( )( )

( )

2

2

2 12 2 1

1 3 1 22

5 5 3 5.

3225 5 3 3

nn n n n

n n nn n

−+

+ −

⎡ ⎤÷ ⎡ ⎤⎢ ⎥÷ ⎢ ⎥⎢ ⎥÷ ⎣ ⎦⎣ ⎦ RTA: 2.025.

22. Simplifique completamente ( ) ( )( ) ( )

1 1

1 1.

m n m n

m n m n

− −

− −

+ − −

+ + −

23. Simplifique y racionalice ( )

2 23

23

( )( ).

b c b c

b c

− −

+ RTA:

( )22 23

.( )

b c

b c

−

+

24. Demuestre que .1 1n n

n nn

x x−+ =− −

25. Simplifique y racionalice 3 3

.3 3

x y x y

x y x y

− +++ − RTA:

2 2

2 2

2 9.

9

x x y

x y

−−

26. Demuestre que 2 1 4 1

4 · 6 1.

44 2

n

nn n+ + =

+

27. Racionalice

2

2 2.

y

x x y+ − RTA: 2 2 .x x y− −

28. Demuestre que 3

1

2 2 77.

2 2 1

n n

n n

+

+

− + =− +

72

29. Racionalice 2 3

.2

a b a b

a b a b

+ + −+ − −

RTA: ( )2 27 8

.3 5

a b a b

a b

+ + −

+

30. Racionalice 2 5 7

.2 5 7

− −+ +


.1 2 3

++ +

RTA: 1 2 3.− +

32. Demuestre que 1 1

1.1 1m n n mx x− −+ =

+ +

33. Racionalice 3 6

.5 3 2 12 32 50

+− − +

RTA: 3.

34. Simplifique completamente 3 8 5 18

.2

+


.2 3 5

− ++ −

RTA: 6 15

.3

+

36. Simplifique completamente 4 4

2 2.

m n

m n

x x

x x

−+

37. Racionalice 3

1.

2 3− RTA: 3 32(4 3 9)

.5

+ +

38. Simplifique completamente 1 1

1 1

( ) ( ).

( ) ( )

m n m n

m n m n

− −

− −

+ − −+ + −


1.

x xy y+ + RTA:

3 3

.x y

x y

−−

40. Escriba en la forma más simple

11.

49 · 3 · 3.

3 · 3

n nn

n

+

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

41. Racionalice 33 3

1.

9 6 4+ + RTA: 33 3 2.−

42. Demuestre que

112 2

. .p q p q p p q p

p qp q p q

−− ⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥ =⎢ ⎥

+ + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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