Ay t mod9-10

Muchas trayectorias, como el salto, son de tipo parabólico.

4Polinomios degrado superior

Módulo 9 •Polinomios de grado superior •Teoremas del residuo y del factor

Módulo 10La división sintética

EjerciciosCapítulo 4, módulos 9 y 10

Capítulo 4

Presentación

Existen métodos para resolver ecuaciones polinómicas de primero y segundo gra-dos; así, dadas las ecuaciones siguientes:

0,ax b+ = su solución es b

xa

= − con 0,a ≠

2 0,ax bx c+ + = su solución es 2 4

,2

b b acx

a

− ± −=

se puede demostrar que existen métodos directos para encontrar todas las solucio-nes de ecuaciones polinómicas de tercero y cuarto grados. Évariste Galois demos-tró, a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de grado mayor quecuatro no existe un proceso finito paso por paso que siempre conduzca a todas lassoluciones. Esta fue, tal vez, una de las contribuciones matemáticas de más altaoriginalidad. Galois murió trágicamente a la edad de 21 años.

En este capítulo se estudiarán métodos para hallar o aproximar todas las solucionesreales de polinomios con coeficientes reales.

Contenido breve

110

111Álgebra y trigonometría

Introducción

En este módulo se desarrollan teoremas que facilitan la búsqueda de las raíces depolinomios de grado superior. Éstos, y otros teoremas que se estudiarán en módu-los posteriores, permitirán, bajo ciertas condiciones, obtener todas las raíces depolinomios de grado mayor que cuatro.

Objetivos

1. Hallar métodos para obtener ceros reales de un polinomio.2. Hallar métodos para aproximar ceros reales de un polinomio.3. Conocer las características de los ceros complejos de un polinomio.

Preguntas básicas

1. ¿Cómo se enuncia el teorema del factor?2. ¿En qué consiste la regla de los signos de Descartes?3. ¿Cómo se enuncia el algoritmo de la división para polinomios?

Contenido

9.1 Polinomios de grado superior9.2 Teoremas del residuo y del factor

9.2.1 Algoritmo de la división9.2.2 Teorema del residuo9.2.3 Teorema del factor9.2.4 Teorema de los n ceros9.2.5 Teorema de los ceros complejos9.2.6 Regla de los signos de Descartes

Vea el módulo 9 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

9 Polinomios de grado superior Teoremas del residuo y del factor

René Descartes (1596-1650)

Descartes tiene fama de filósofo y de ser el intelecto másgrande de los que contribuyeron a crear la llamada «Edadde la Razón».

Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos parallegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamentalde ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo delíneas y figuras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba lagráfica marcando unidades en una línea horizontal (eje x)y una línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráficapodía describirse con dos números. El primer númerorepresentaba una distancia en el eje x y el otro númerorepresentaba una distancia en el eje y. Aunque conservabalas reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebray la geometría, consideradas entonces como independientes,para formar una nueva disciplina matemática llamadageometría analítica.

112

9.1 Polinomios de grado superior

Se dice que una función polinómica es de grado superior si el grado de la función esmayor o igual que tres. En una función polinómica, los ceros de P (x) correspondena las raíces de la ecuación P (x) = 0.

Existen métodos directos finitos para encontrar todas las soluciones o raíces, paraecuaciones polinómicas de tercero o cuarto grados. Évariste Galois, matemáticofrancés, demostró a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de gradomayor que cuatro no hay un proceso finito paso por paso que siempre conduzca atodas las soluciones. Debido a lo anterior, en este capítulo se desarrollarán méto-dos para encontrar o aproximar todas las soluciones reales de polinomios concoeficientes reales.

9.2 Teoremas del residuo y del factor

9.2.1 Algoritmo de la división Para cada polinomio ( )P x de grado mayor o igual a 1 y para cada número γ existe

un polinomio único ( )Q x de un grado menor que el de ( )P x y un número único R,

tal que ( ) ( ) ( ) .P x x Q x Rγ= − +

Al polinomio ( )Q x se le denomina cociente, x γ− es el divisor y R es el residuo.

9.2.2 Teorema del residuo

Si R es el residuo de dividir el polinomio ( )P x entre ,x γ− entonces ( ) .P Rγ =

Demostración

Como ( ) ( ) ( )P x x Q x Rγ= − + por el algoritmo de la división, se tiene que si x γ= ,

( ) ( ) ( ) .P Q Rγ γ γ γ= − + O sea, ( )P Rγ = .

Ejemplo 1

Halle el residuo de dividir el polinomio ( ) 4 34 10 19 5P x x x x= + + + entre 3.x +

Solución

3x + se puede escribir como ( )3 ,x − − por tanto 3.γ = −

( ) ( ) ( ) ( )4 33 4 3 10 3 19 3 5P − = − + − + − +

= 2.

O sea que el residuo es 2.

Capítulo 4: Polinomios de grado superior


9.2.3 Teorema del factor

Si γ es un cero del polinomio ( ) ,P x entonces x γ− es un factor de ( ).P x

Demostración

Si γ es un cero de ( ) ,P x ( ) 0.P γ =

Pero por el algoritmo de la división, ( ) ( ) ( ) .P x x Q x Rγ= − +

Como ( ) 0P γ = , ( ) ( ) ( ) 0.P Q Rγ γ γ γ= − + =

Por tanto, 0R = y ( ) ( ) ( ).P x x Q xγ= −

Ejemplo 2

Use el teorema del factor para probar que 1x + es un factor de 13 1.x +

Solución

( )1 1x x+ = − − , así 1.γ = −

( ) ( )131 1 1 1 1 0.P − = − + = − + =

Luego –1 es un cero de ( ) 13 1.P x x= + Así, ( )1 1x x− − = + es un factor de 13 1.x +

9.2.4 Teorema de los n ceros

Todo polinomio de grado 1n ≥ con coeficientes reales o complejos se puede expre-sar como el producto de n factores lineales. En consecuencia, tiene exactamente nceros, no necesariamente distintos.

Ejemplo 3

Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de ( ) 4 27 4 20,P x x x x= − + + escriba ( )P x como

un producto de factores lineales.

Solución

Como –2 es un cero de multiplicidad 2, el factor lineal (x + 2) aparece 2 veces y portanto:

( ) ( ) ( )22 ,P x x Q x= +

( ) ( )24 27 4 20 2 ,x x x x Q x− + + = +

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor

Escuche Contribución de Galois ala solución de polinomios en su

multimedia de Álgebra ytrigonometría

114

4 2

2

4 3 2 3 2 2

2

2 2 2 2

2

2

7 4 20( )

4 4

4 4 4 16 16 5 20 20

4 4

( 4 4) 4 ( 4 4) 5( 4 4)

4 4

4 5.

x x xQ x

x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

x x

− + +=+ +

+ + − − − + + +=+ +

+ + − + + + + +=+ +

= − +

Al usar la fórmula cuadrática, se hallan los ceros de ( ),Q x que son 2 i− , 2 .i+ Así,

P(x) escrito como el producto de factores lineales, es

( ) ( 2)( 2)( 2 )( 2 ).P x x x x i x i= + + − + − −

9.2.5 Teorema de los ceros complejos

Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presen-tan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que siun polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos uncero real.

Ejemplo 4

Si P(x) es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de lassiguientes afirmaciones es falsa:

a. P(x) tiene al menos un cero real.b. P(x) tiene tres ceros.c. P(x) puede tener dos ceros reales y uno complejo.

Solución

La afirmación c es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficien-tes reales deben presentarse en pares conjugados. Si P(x) tiene dos ceros reales,entonces el tercer cero debe ser también real.

9.2.6 Regla de los signos de Descartes

Dado un polinomio P(x) con coeficientes reales, entonces:

El número de ceros reales positivos de P(x) nunca es mayor que el número devariaciones en el signo de P(x); si es menor, entonces siempre será en un númeropar.

El número de ceros reales negativos de P(x) nunca es mayor que el número de

variaciones en el signo de ( );P x− si es menor, entonces siempre será en un número

par.

Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en formadecreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tienensignos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientescero, se ignoran. Véase el siguiente ejemplo:

Escuche HIstoria del planocartesiano en su multimedia de

Àlgebra y trigonometría



Ejemplo 5

En 4 3( ) 3 2 3 5P x x x x= − + − hay tres variaciones en el signo, por tanto existen tres

o una raíces reales positivas.

4 3( ) 3( ) 2( ) 3( ) 5P x x x x− = − − − + − −

4 33 2 3 5.x x x= + − −

En ( )P x− hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.

Ejemplo 6

Halle el residuo de dividir el polinomio 4 3 2( ) 2 13 14 15P x x x x= − + + entre 5.x −

Solución

Por el teorema del residuo, tenemos que el residuo es:

4 3 2(5) 2(5) 13(5) 14(5) 15 10.R P= = − + + = −

Ejemplo 7

Halle el residuo de dividir el polinomio 4 3 2( ) 4 2 6 5 1P x x x x x= + − − + entre 1

.2

x +

Solución

El polinomio lineal 1

2x + se puede escribir como

1.

2x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Por el teorema del

residuo, tenemos que el residuo es:4 3 2

1 1 1 1 14 2 6 5 1 2.

2 2 2 2 2R P

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − − − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 8

Use el teorema del factor para determinar si el segundo polinomio es un factor delprimero:

a. 3 2( ) 2 8 4; 2.P x x x x x= − − + −

b. 3 2( ) 2 8 4; 1.P x x x x x= − − + +

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor

Escuche Descartes en sumultimedia de Àlgebra y

trigonometría

116

Solución

a. Calculando 3 2(2) 2 (2) (2) 8(2) 4 0,P = − − + = por el teorema del factor tene-

mos que ( 2)x − es un factor de P(x).

b. x + 1 puede escribirse ( 1).x − −

Calculando 3 2( 1) 2( 1) ( 1) 8( 1) 4 9,P − = − − − − − + = entonces 1− no es un

cero de P(x) y por tanto (x + 1) no es un factor de P(x).

Ejemplo 9

Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:

a. 2 (multiplicidad 2); 1 (multiplicidad 2) y –3.b. 1 – 2i; 1 + 2i y 2 (multiplicidad 3).

Solución

a. Por el teorema del factor tenemos que:

2 2

2 2

4 3 2

5 4 3 2

( ) ( 2) ( 1) ( ( 3))

( 4 4) ( 2 1) ( 3)

( 6 13 12 4) ( 3)

3 5 27 32 12.

P x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

= − − − −= − + − + += − + − + += − − + − +

b. Por el teorema del factor tenemos que:

3

2 3 2

2 3 2

5 4 3 2

( ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2)

(( 1) 4) ( 6 12 8)

( 2 5) ( 6 12 8)

8 29 62 76 40.

P x x i x i x

x x x x

x x x x x

x x x x x

= − + − − −= − + − + −= − + − + −= − + − + −

Ejemplo 10

Escriba el polinomio P(x) = x3 – 4x2 – 3x + 18 como producto de polinomios linealessi 3 es un cero doble de P(x).

Solución

Como 3 es un cero de multiplicidad 2, por el teorema de los n ceros tenemos queP(x) = x3 – 4x2 – 3x + 18 = (x – 3)2 Q(x), donde Q(x) es un polinomio de grado 1 deltipo (x – y). Reemplazando tenemos:



Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor3 2 2 24 3 18 ( 3) ( ) ( 6 9 )( )x x x x x x x xγ γ− − + = − − = − + −

3 2 26 9 6 9 ,x x x x xγ γ γ= − + − + −

de donde 2γ = − y por tanto 3 2 2( ) 4 3 18 ( 3) ( 2).P x x x x x x= − − + = − +

Ejemplo 11

Escriba el polinomio 5 4 3 2( ) 8 8 16 16P x x x x x x= − + − + − como producto de

polinomios lineales si 2i es un cero doble de P(x).

Solución

Como 2i es un cero complejo, su conjugado es también un cero y tiene la mismamultiplicidad. Como ambos son ceros de multiplicidad 2, por el teorema de los cerostenemos que:

5 4 3 2 2 2( ) 8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( ),P x x x x x x x i x i Q x= − + − + − = − +

donde Q(x) es un polinomio de grado 1 del tipo ( ).x γ− Reemplazando tenemos:

[ ]25 4 3 2 2 2

2 2 4 2

5 3 4 2

8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 )( 2 ) ( )

( 4) ( ) ( 8 16) ( )

8 16 8 16 ,

x x x x x x i x i x x i x i x

x x x x x

x x x x x

γ γ

γ γγ γ γ

− + − + − = − + − = − + −

= + − = + + −= + + − − −

de donde 1γ = y por tanto:

5 4 3 2 2 2( ) 8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( 1).P x x x x x x x i x i x= − + − + − = − + −

Ejemplo 12

La soluciones de la ecuación 4 16 0x − = son las raíces cuartas de 16. ¿Cuántasraíces cuartas de 16 existen? Hállelas.

Solución

Por el teorema de los n enteros, existen 4 raíces cuartas de 16. Aplicando la diferen-cia de cuadrados tenemos:

24 2 2 2 2 2 2 216 ( ) (2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )( 2) ( 2).x x x x x i x i x x− = − = + − = + − − +

Por tanto las raíces cuartas de 16 son 2 , 2 , 2 y 2.i i− −

118

Capítulo 4: Polinomios de grado superiorEjemplo 13

En las siguientes ecuaciones, cuáles son las combinaciones posibles de solucionesreales y complejas.

a. 3 22 4 3 0.x x x− − + =

b. 5 4 24 5 3 0.x x x x+ − − + =

c. 4 23 2 1 0.x x x+ + + =

Solución

a. Como es un polinomio de grado 3 y las raíces complejas siempre se presen-tan en pares de números complejos conjugados las posibilidades son:

tres raíces reales. una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas.

b. Como es un polinomio de grado 5 las posibilidades son:

cinco raíces reales. tres raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas. una raíz real y dos pares de raíces complejas conjugadas.

c. Como es un polinomio de grado 4 las posibilidades son:

cuatro raíces reales. dos raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas. dos pares de raíces complejas conjugadas.

Ejemplo 14

Dado 2( ) 2 8P x x ix= − + muestre que i−2 es un cero de P(x) pero que 2i no lo es.

¿Contradice esto el teorema de las raíces complejas conjugadas?

Solución

2 2 8 ( 2 ) ( 4 ).x ix x i x i− + = + −

Por tanto, los ceros de este polinomio son 2 y 4i i− . Esto no contradice el teorema

de las raíces conjugadas, pues en este polinomio existe un coeficiente que no esreal.

Ejemplo 15

Encuentre los otros dos ceros del polinomio 3 2( ) 4 6P x x x x= + − + si 1 + i es un

cero de P(x).


Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factorSolución

Como 1 + i es un cero, su conjugado 1 i− también lo es. Sólo faltaría hallar el otro

cero que es real. Si denotamos este cero por γ tenemos:

3 2 2

2

3 2 2

( ) 4 6 ( 1 ) ( 1 ) ( ) (( 1) 1) ( )

( 2 2) ( )

2 2 2 2 ,

P x x x x x i x i x x x

x x x

x x x x x

γ γγ

γ γ γ

= + − + = − − − + − = − + −= − + −= − + − + −

de donde 3.γ = −

Ejemplo 16

Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales positi-vos y negativos usando la regla de los signos de Descartes:

a. 6 4( ) 2 3.P x x x x= + − +

b. 5 4 3( ) 4 2 5.P x x x x x= + − + −

c. 3 2( ) 3 5.P x x x= + +

Solución

a. 6 4( ) 2 3,P x x x x= + − + dos variaciones de signo, dos ceros reales positivos

o ninguno.6 4( ) 2 3,P x x x x− = + + + no hay variaciones de signo, no hay ceros reales

negativos.

b. 5 4 3( ) 4 2 5,P x x x x x= + − + − tres variaciones de signo, tres ceros reales positi-

vos o uno.5 4 3( ) 4 2 5,P x x x x x− = − + + − − dos variaciones de signo, dos ceros reales

negativos o ninguno.

c. 3 2( ) 3 5,P x x x= + + no hay variaciones de signo, no hay ceros reales positivos.

3 2( ) 3 5,P x x x− = − + + una variación de signo, un cero real negativo.

Ejemplo 17

Sin graficar, pruebe que la gráfica del polinomio 5 3( ) 3P x x x x= + + cruza el eje x

una sola vez.

120

Solución

Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos:

5 3( ) 3 ,P x x x x= + + no hay variaciones de signo, no hay ceros reales positivos.

5 3( ) 3 ,P x x x x− = − − − no hay variaciones de signo, no hay ceros reales negativos.

Como P(0) = 0, entonces 0 es el único cero real del polinomio y por tanto su gráficasólo interseca el eje x en el punto (0, 0).

Ejemplo 18

Pruebe que 6 4 3( ) 4 10P x x x x= + + − tiene cuatro ceros complejos y dos ceros rea-

les.

Solución

Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos:

6 4 3( ) 4 10,P x x x x= + + − una variación de signo, tiene un cero real positivo.

6 4 3( ) 4 10,P x x x x− = + − − una variación de signo, tiene un cero real negativo.

Como (0) 0,P ≠ entonces tiene únicamente dos ceros reales, uno positivo y otro

negativo. Por el teorema de los n ceros, los otros cuatro ceros son complejos.



Introducción

En este módulo se terminan de desarrollar teoremas que permiten hallar, a veces deforma aproximada, los ceros de cualquier polinomio de grado superior. Éstos, jun-tos con los teoremas que se desarrollaron en el módulo anterior, permitirán, bajociertas condiciones, obtener todas las raíces de polinomios de grado mayor quecuatro.

Objetivos

1. Desarrollar un método corto para dividir un polinomio entre otro de la forma .x a−2. Desarrollar teoremas que ayudarán a aproximar ceros reales.3. Hallar métodos alternativos para aproximar ceros irracionales.

Preguntas básicas

1. ¿Cómo se enuncia la regla de la división sintética?2. ¿En qué consiste el teorema de los ceros racionales?3. ¿Cómo se enuncia el teorema de aislamiento de ceros?4. ¿Qué es una cota superior e inferior para ceros reales?

Contenido

10.1 División sintética10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales10.3 Teorema de aislamiento de ceros10.4 Teorema de los ceros racionales10.5 Aproximación de los ceros irracionales

Vea el módulo 10 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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10La división sintética

122

10.1 División sintética

Es un método rápido y exacto para dividir un polinomio P(x) entre un polinomiolineal de la forma x γ− . El método se describe en la forma siguiente:

Se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente de las potencias de x,poniendo cero como coeficiente de cada potencia que no aparezca. Después deescribir el divisor en la forma x γ− , se usa γ para generar la segunda y la tercera

filas, así: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por ;γ se suma el

producto al segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por γ y sesuma al tercer coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un productose suma al término constante del dividendo.

El último número de la tercera fila es el residuo; los otros números de la tercerafila son los coeficientes del cociente, que es de un grado menor que P(x).

Ejemplo 19

Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir5 3( ) 4 15 40P x x x x= − − entre 2.x +

Solución

2 ( 2),x x+ = − − o sea que 2.γ = −5 3 5 4 3 2( ) 4 15 40 4 0 15 0 40 0.P x x x x x x x x x= − − = + − + − +

4 0 15− 0 40− 0 2− 8− 16 2− 4 72

4 8− 1 2− 36− 72

En consecuencia, el cociente es 4 3 2( ) 4 8 2 36.Q x x x x x= − + − − El residuo es

72.R =

El siguiente teorema proporciona un método para hallar entre qué números reales seencuentran los ceros reales de un polinomio P(x).

10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales

Dado un polinomio con coeficientes reales de grado 1,n ≥ y tal que el coeficientedel término enésimo es positivo, si este polinomio se divide sintéticamente por

,x γ− se tiene:

Si 0γ > y todos los números de las filas del cociente son no negativos, entonces

γ es una cota superior de los ceros de P(x).



Si 0γ < y todos los números de la fila del cociente alternan de signo, entonces γ es

una cota inferior de los ceros de P(x).

Ejemplo 20

Encuentre el menor entero positivo y el mayor entero negativo que sean cotas

superior e inferior del polinomio 3 2( ) 3 18 4.P x x x x= − − +

Solución

Para hallar la cota inferior, hay que obrar por inspección analizando con

1, 2, 3γ = − − − etc. Es fácil verificar que la cota inferior es 4.γ = − Dividiendo

sintéticamente se tiene que:

1 3− 18− 4 4− 4− 28 40−

1 7− 10 36−

Obrando de manera similar se demuestra que γ = 6 es una cota superior de esepolinomio. Como consecuencia, cualquier cero real del polinomio anterior es menorque 6 y mayor que –4.

10.3 Teorema de aislamiento de ceros

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, y si P(a) y P(b) son de signoopuesto, entonces existe al menos un cero real entre a y b.

Ejemplo 21

Muestre que existe al menos un cero real en el polinomio4 3( ) 2 3 3 4P x x x x= − − − entre 2 y 3.

Solución

4 3(2) 2(2) 3(2) 3(2) 4 2.P = − − − = −

4 3(3) 2(3) 3(3) 3(3) 4 68.P = − − − =

Ya que P(2) y P(3) tienen signos opuestos, existe al menos un cero real entre 2y 3.

10.4 Teorema de los ceros racionales

Todo cero racional del polinomio 11 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + es de la for-

ma b

c, donde b es un factor de 0a y c es un factor de .na

Módulo 10: La división sintética

124

Ejemplo 22

Halle todos los posibles ceros racionales del polinomio 4 3( ) 2 3 9.P x x x x= − + −

Solución

0 9,a = − por tanto b consta de los divisores de –9, o sea: 1, 3, 9.± ± ±

2,na = por tanto c consta de los divisores de 2, o sea: 1, 2.± ±

En consecuencia, los posibles ceros racionales de P(x) son los de la forma ,b

co sea

que son:

1 3 91, 3, 9, , , .

2 2 2± ± ± ± ± ±

Así, si P(x) posee ceros racionales deben ser los de la lista anterior.

Ejemplo 23

Encuentre todos los ceros racionales de 3 2( ) 2 8 4.P x x x x= − − +

Solución

En este proceso se van a utilizar varios teoremas, así:

como 3 2( ) 2 8 4,P x x x x= − − + y hay dos variaciones de signo, existen dos

ceros reales positivos o ninguno;

como 3 2( ) 2 8 4,P x x x x− = − − + + y hay una variación de signo, se puede

asegurar que hay un cero real negativo;

como 0 4a = y 2,na = los posibles ceros racionales son: 1

1, 2, 4, .2

± ± ± ±

Se puede verificar que 2 es un cero real así:

2 1− 8− 4 2 4 6 4−

2 3 2− 0

Por tanto, 2( ) ( 2)(2 3 2).P x x x x= − + −

Los ceros de 2( ) 2 3 2Q x x x= + − se hallan resolviendo la ecuación cuadrática y

son 1

2 y –2.




Así, los ceros racionales de P(x) son: 2, 2− , 1

2.

10.5 Aproximación de los ceros irracionales

Para hallar los ceros irracionales en forma aproximada, se buscan dos reales a y btales que P(a) y P(b) sean de signo diferente. Se divide ese intervalo en una serie desubintervalos y se halla un c entre a y b que cumpla que P(a) y P(c) o P(c) y P(b)

sean de signos diferentes. El proceso se repite tantas veces como se desee, hasta

obtener una aproximación al cero irracional con la precisión pedida.

Ejemplo 24

Utilice la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividirel polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) de grado 1.

a. 4 3 2( ) 3 5 6 3; ( ) 4.P x x x x x Q x x= − − + − = −

Solución

Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es 4y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos:

1 3− 5− 6 3− 4 4 4 4− 8

1 1 1− 2 5

Por tanto el cociente es el polinomio 3 2 2x x x+ − + y el residuo es 5, lo que signi-fica que:

4 3 23 2( ) 3 5 6 3 5

2 .( ) 4 4

P x x x x xx x x

Q x x x

− − + −= = + − + +− −

b. 3 2 3( ) 4 4 7 6; ( ) .

2P x x x x Q x x= + − − = +

Solución

Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es

3

2− y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos:

126


4 4 7− 6− 32−

6− 3 6

4 2− 4− 0

Por tanto el cociente es el polinomio 24 2 4x x− − y el residuo es 0, lo que significaque:

3 22( ) 4 4 7 6

4 2 4.3( )2

P x x x xx x

Q x x

+ − −= = − −+

c. 5 2( ) 10 5 2; ( ) 2.P x x x x Q x x= + + + = +

Solución

Escribiendo los coeficientes del polinomio 5 2( ) 10 5 2P x x x x= + + + =5 4 3 20 0 10 5 2,x x x x x+ + + + + el cero del polinomio Q(x) que es 2− y aplicando el

algoritmo de la división sintética, tenemos:

1 0 0 10 5 2 2− 2− 4 8− 4− 2−

1 2− 4 2 1 0

Por tanto el cociente es el polinomio 4 3 22 4 2 1x x x x− + + + y el residuo es 0, lo que

significa que:

5 24 3 2( ) 10 5 2

2 4 2 1.( ) 2

P x x x xx x x x

Q x x

+ + += = − + + ++

Ejemplo 25

Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del

polinomio 3 2( ) 4 5 8.P x x x x= − − +

Solución

Para hallar la menor cota positiva hay que obrar por inspección dividendo

sintéticamente el polinomio por 1, 2, 3,...x x x− − − hasta hallar que todos los coefi-

cientes del polinomio cociente son no negativos.



1 4 5 8 1

1 3 8

1 3 8 0

− −− −

− −

1 4 5 8 2

2 4 18

1 2 9 10

− −− −

− − −

1 4 5 8 3

3 3 24

1 1 8 16

− −− −

− − −

1 4 5 8 4

4 0 20

1 0 5 12

− −−

− −

1 4 5 8 5

5 5 0

1 1 0 8

− −

−

Como todos los coeficientes del polinomio cociente x2 + x son no negativos, enton-ces 5 es una cota superior para los ceros del polinomio P(x). Realizando el mismoprocedimiento, dividiendo ahora por x + 1, x + 2, ... encontramos la cota inferiorcuando el polinomio cociente tenga todos sus coeficientes que alternen sus sig-nos. En este caso, si aparece el 0 como coeficiente puede considerarse con el signoconveniente.

1 4 5 8 1

1 5 0

1 5 0 8

− − −−

−

Como todos los coeficientes del polinomio cociente 2 5 0x x− + alternan su signo,

entonces 1− es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tanto los

ceros reales de este polinomio están entre 1− y 5.

Ejemplo 26

Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del

polinomio 4 3 2( ) 4 2 12 3.P x x x x x= + − − −

128

Solución

Siguiendo el procedimiento del ejercicio anterior, tenemos que:

1 4 2 12 3 1

1 5 3 9

1 5 3 9 12

− − −−

− −

1 4 2 12 3 2

2 12 20 16

1 6 10 8 13

− − −

Como el polinomio cociente 3 26 10 8x x x+ + + tiene todos sus coeficientes no ne-

gativos, los ceros reales de P(x) tienen como cota superior el número 2. Para la cotainferior procedemos como en el ejercicio anterior:

1 4 2 12 3 1

1 3 5 7

1 3 5 7 4

− − − −− −

−

1 4 2 12 3 2

2 4 12 0

1 2 6 0 3

− − − −− −

− −

1 4 2 12 3 3

3 3 15 9

1 1 5 3 12

− − − −− − −

− −

1 4 2 12 3 4

4 0 8 16

1 0 2 4 13

− − − −−

− −



1 4 2 12 3 5

5 5 15 135

1 1 3 27 132

− − − −− −

− −

Como todos los coeficientes del polinomio cociente 3 2 3 27x x x− + − alternan su

signo, entonces –5 es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tantolos ceros reales de este polinomio están entre –5 y 2.

Ejemplo 27

En los siguientes polinomios, muestre que existe al menos un cero real entre a y b.

a. P(x) = x4 – 2x3 – 6x2 +6x + 9, a = 1, b = 2.

Solución

Evaluando tenemos:

P(1) = 1 – 2 – 6 + 6 + 9 = 8 > 0.P(2) = (2)4 – 2(2)3 – 6(2)2 + 6(2) + 9 = 16 – 16 – 24 + 12 + 9 = –3 < 0.

Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre 1 y 2.

b. P(x) = x3 – 3x2 – 3x + 9, a = –2, b = –1.

Solución

Evaluando tenemos:

P(–2) = (–2)3 – 3(–2)2 – 3(–2) + 9 = – 8 – 12 + 6 + 9 = –5 < 0.P(–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 3(–1) + 9 = – 1 – 3 + 3 + 9 = 8 > 0.

Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre –2 y –1.

Ejemplo 28

Escriba todos los posibles ceros racionales del polinomio P(x) = 3x3 + 2x2 – 5x – 8.

Solución

Si b

c es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b

debe ser un factor de –8 y c debe ser un factor de 3. Entonces tenemos:


b

c

130

Valores posibles de b: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Valores posibles de c: 1, 3.± ±

Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son:

1 2 4 81, 2, 4, 8, , , , .

3 3 3 3± ± ± ± ± ± ± ±

Ejemplo 29

Halle todos los ceros racionales del polinomio 3 2( ) 3 10 6.P x x x x= + + −

Solución

Primero se hace una lista de todos los posibles ceros racionales del polinomio. Si b

c

es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b es unfactor de 6− y c es un factor de 3. Por tanto tenemos:

Valores posibles de b: 1, 2, 3, 6.± ± ± ±

Valores posibles de c: 1, 3.± ±

Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son:

1 21, 2, 3, 6, , .

3 3± ± ± ± ± ±

Aplicando la regla de los signos de Descartes:

3 2( ) 3 10 6,P x x x x= + + − una variación de signo; tiene un cero real positivo.

3 2( ) 3 10 6,P x x x x− =− + − − dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales negativos o

ninguno.

Probando los posibles ceros positivos, tenemos:

(1) 3 10 1 6 8,

(2) 24 40 2 6 60,

(3) 81 90 3 6 168,

(6) 648 360 6 6 1008,

1 1 10 1 406 ,

3 9 9 3 9

2 8 40 26 0.

3 9 9 3

P

P

P

P

P

P

= + + − == + + − == + + − == + + − =

⎛ ⎞ = + + − =−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠



Como 2

3 es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse

así:

2( ) ( ),

3P x x Q x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

donde Q(x) lo obtenemos por división sintética:

23 10 1 6

32 8 6

3 12 9 0

−

Por tanto 2 2( ) 3 12 9 3( 4 3) 3( 3) ( 1),Q x x x x x x x= + + = + + = + + lo que significa que

los otros dos ceros racionales son 3− y 1.−

Ejemplo 30

Halle todos los ceros reales del polinomio 3 2( ) 2 5 8 6.P x x x x= − − +

Solución

Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 6 y c es factor de 2,entonces los posibles ceros racionales son:

1 31, 2, 3, 6, , .

2 2± ± ± ± ± ±


3 2( ) 2 5 8 6,P x x x x= − − + dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos o

ninguno.3 2( ) 2 5 8 6,P x x x x− = − − + + una variación de signo; tiene un cero real negativo.

Busquemos por inspección el único cero real negativo:

( 1) 2 5 8 6 7,

( 2) 16 20 16 6 14,

( 3) 54 45 24 6 69,

( 6) 432 180 48 6 558,

1 1 5 174 6 ,

2 4 4 2

3 27 4512 6 0.

2 4 4

P

P

P

P

P

P

− = − − + + =− = − − + + =−− = − − + + = −− = − − + + =−

⎛ ⎞− = − − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− =− − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠


132

Como3

2− es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse

así:

3( ) ( ),

2P x x Q x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


32 5 8 6

23 12 6

2 8 4 0

− − −

− −

−

Por tanto 2 2( ) 2 8 4 2( 4 2).Q x x x x x= − + = − + Aplicando la fórmula para las raíces

de la ecuación cuadrática, tenemos que los ceros reales positivos son 2 2,± que

no son racionales sino irracionales.

Ejemplo 31

Halle todos los ceros de 3 2( ) 2 7 6 5.P x x x x= − + +

Solución

Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 5 y c es factor de 2,entonces los posibles ceros racionales son:

1 51, 5, , ,

2 2± ± ± ±


3 2( ) 2 7 6 5,P x x x x= − + + dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos

o ninguno.3 2( ) 2 7 6 5,P x x x x− = − − − + una variación de signo; tiene un cero real negativo.


( 1) 2 7 6 5 10,

( 5) 250 175 30 5 450,

1 1 73 5 0.

2 4 4

P

P

P

− = − − − + =−− = − − − + =−

⎛ ⎞− = − − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠



Como 1

2− es un cero, para hallar los restantes dos ceros tenemos que el polinomio

puede escribirse así:

1( ) ( ),

2P x x Q x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


12 7 6 5

21 4 5

2 8 10 0

− −

− −

−

Por tanto:

2 2 2

2 2

( ) 2 8 10 2( 4 5) 2( 4 4 1)

2 ( 2) ( ) 2( 2 )( 2 ).

Q x x x x x x x

x i x i x i

= − + = − + = − + +

⎡ ⎤= − − = − − − +⎣ ⎦

Es decir, los restantes dos ceros son los números complejos conjugados 2 + i y

2 .i−

Ejemplo 32

Halle todos los ceros reales del polinomio 3( ) 2 7.P x x x= + + Aproxime los ceros

irracionales hasta dos decimales.

Solución

Hallemos primero los ceros racionales si existen. Como b es factor de 7 y c es factorde 1, entonces los posibles ceros racionales son:

1, 7.± ±


3( ) 2 7,P x x x= + + no hay variaciones de signo; no tiene ceros reales positivos.

3( ) 2 7,P x x x− = − − + una variación de signo; tiene un cero real negativo.



134

( 1) 1 2 7 4,

( 7) 343 14 7 350.

P

P

− = − − + =− =− − + = −

De lo anterior se concluye que el polinomio no tiene ceros racionales. Por tanto elúnico cero negativo es irracional y los otros dos ceros números complejos conjuga-

dos. Como ( 1) 4 0P − = > y ( 7) 0,P − < entonces por el teorema de aislamiento de

ceros el cero irracional está entre –7 y –1. El punto medio del intervalo [ 7, 1]− − es

0 4.x =− Evaluando tenemos que ( 4) 65 0,P − =− < por tanto por el teorema del

aislamiento, como ( 1) 4 0,P − = > el cero irracional está en el intervalo [ 4, 1].− − El

punto medio de este intervalo es x1 = –2.5 y evaluando tenemos

( 2.5) 13.625 0,P − = − < por tanto el cero está en el intervalo [ 2.5, 1].− − El valor

–2.5 es la aproximación de este cero con un decimal. Repitiendo el procedimiento, el

punto medio de este intervalo es 1.75− que es un valor aproximado hasta dosdecimales del cero irracional buscado. Por supuesto que este procedimiento puedeprolongarse, aproximándose cada vez más al valor real del cero.



1. Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir:

a. 43 4x x− − entre x + 1. RTA: 3 23 3 3 4, 0.x x x R− + − =

b. 5 1x + entre x + 1. RTA: 4 3 2 1, 0.x x x x R− + − + =

c. 4 3 22 13 14 15x x x− + + entre 5.x− RTA: 3 22 3 5, 10.x x x R− − − = −

d. 4 3 24 2 6 5 1x x x x+ − − + entre 1

.2

x + RTA: 34 6 2, 2.x x R− − =

2. Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir:

a. 4 25 2 3x x− − entre 1.x−

b. 3 22 4 9 11x x x+ + − entre 3.x+c. 5 210 5 2x x x+ + + entre 5.x−

d. 3 23 2x x x− + + entre 3

.2

x +

3. Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin emplear la división sintética:

a. 4 33 2 5 6; 1.x x x x− + − − RTA: Sí.

b. 3 23 7 8 2; 1.x x x x− − + + RTA: Sí.

c. 4 24 4 1; 2.x x x x− − − − RTA: No.

4. Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin dividir ni emplear división sintética:

a. 3 23 7 8 2x x x− − + ; x + 1.

b. 4 33 2 5 6x x x− + − ; 1x − .

c. 18 1x − ; 1x − .

5. Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:

a. 3 (multiplicidad 2) y 4.− RTA: 2( 3) ( 4).x x− +

b. 7− (multiplicidad 3), 2

3 y 5.− RTA:

3 2( 7) ( 5).

3x x x

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

c. (2 3 ), ( 2 3 )i i− + y 4− (multiplicidad 2). RTA: 2 2( 4 13) ( 4) .x x x− + +

Ejercicios del capítulo 4 (módulos 9 y 10)

136

6. Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:

a. 3− de multiplicidad 2 y –4.

b. 7− de multiplicidad 3, 2

3 y –5.

c. 2 3 ,i− − 2 + 3i, 4− de multiplicidad 2.

7. Escriba P(x) como producto de factores lineales:

a. 3 2( ) 9 24 16P x x x x= + + + si –1 es un cero. RTA: 2( 4) ( 1).x x+ +

b. P(x) = x4 – 1 si 1 y –1 son ceros. RTA: ( 1) ( 1) ( ) ( ).x x x i x i− + + −

c. 3 2( ) 2 17 90 41P x x x x= − + − si 1/2 es un cero. RTA: (2 1) ( 4 5 )( 4 5 ).x x i x i− − − − +

8. Escriba a 4 2( ) 2 1P x x x= + + como producto de factores lineales si i es un cero doble.

9. En las ecuaciones siguiente determine las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas:

a. 4 3 24 5 1 0.x x x− + + = RTA: cuatro ceros reales; dos ceros reales y un par de ceros complejos conjugados;

dos pares de ceros complejos conjugados.

b. 3 2.x x+ + RTA: tres ceros reales; un cero real y un par de ceros complejos conjugados.

c. 5 3 24 9.x x x x+ + + + RTA: cinco ceros reales; tres ceros reales y un par de ceros complejos conjugados;

un cero real y dos pares de ceros complejos conjugados.

10. En las ecuaciones siguientes cuáles son las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas:

a. 4 33 5 6 0.x x x− + − =b. 6 4 33 7 0.x x x x− + − − =c. 5 4 24 5 3 0.x x x x+ − − + =

11. La soluciones de la ecuación 3 27x + son las raíces cúbicas de 27.− ¿Cuántas raíces cúbicas de 27− existen?

Hállelas. RTA: 3 raíces: 3 3 3 3 3 3

3, , .2 2

i i+ −−

12. Las soluciones de la ecuación 3 8 0x − = son las raíces cúbicas de 8. ¿Cuántas raíces cúbicas de 8 existen? Hállelas.

13. Muestre que i es un cero del polinomio 2 2x ix+ + y que i− no es un cero de este polinomio. ¿Contradice esto el

teorema de los ceros complejos? RTA: ( ) 0; ( ) 2.P i P i= − = No lo contradice pues el polinomio tiene coeficientes

complejos.


Capítulo 5: Ecuaciones polinómicas

14. Dado ( ) 2 2 5,P x x ix= + − con un cero que es 2 ,i− demuestre que 2 i+ no es un cero de ( ).P x ¿Contradice esto

el teorema de las raíces conjugadas?

15. En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b:

a. 2( ) 3 2; 1; 0.P x x x a b= − − = − = RTA: ( 1) 2 0; (0) 2 0.P P− = > = − <

b.3( ) 3 5; 3; 2.P x x x a b= − + = − = − RTA: ( 3) 13 0; ( 2) 3 0.P P− = − < − = >

c. 3 2( ) 3 3 9; 1; 2.P x x x x a b= − − + = = RTA: (1) 4 0; (2) 1 0.P P= > = − <

16. En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b:

a. ( ) 2 3 2;P x x x= − − 3,a = 4b = .

b. ( ) 2 3 1;P x x x= + + 3,a = − 2b = − .

c. ( ) 3 23 3 9;P x x x x= − − + 2,a = − 1b = − .

17. Encuentre, para cada uno de los siguientes polinomios, el menor entero positivo y el mayor entero negativo que son,respectivamente, cota superior e inferior de sus ceros reales:

a. 3 2( ) 6 6.P x x x x= − − + RTA: 3− y 3.

b. 3( ) 2 6.P x x x= − − RTA: 2− y 3.

c. 5 3( ) 3 2 5.P x x x x= − + − RTA: 2− y 2.

18. Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales de los siguientes polinomios:

a. ( ) 3 22 3.P x x x= − +

b. ( ) 4 32 4 3.P x x x x= − + +

19. Para los polinomios del ejercicio 17 halle el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes.

a. RTA: ninguno o dos ceros positivos; un cero negativo.

b. RTA: un cero positivo; ninguno o dos ceros negativos.

c. RTA: uno o tres ceros positivos; ninguno o dos ceros negativos.

20. Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes:

a. ( ) 3 2 6 6.P x x x x= − − +

b. ( ) 4 3 24 2 12 3.P x x x x x= + − − −

c. ( ) 5 33 2 5.P x x x x= − + −

138

21. Muestre que el polinomio 6 4 2( ) 3 1P x x x x x= + + − − tiene dos ceros reales y dos pares de ceros complejos conjugados.

RTA: por la regla de Descartes el polinomio tiene un cero real positivo y un cero real negativo. Como (0) 1 0,P = − ≠entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.

22. Pruebe que 4 2( ) 3 5P x x x x= + − − tiene dos ceros complejos, y dos reales, sin usar calculadora.

23. Muestre que el polinomio 5 4( ) 4 3P x x x= − + + tiene un cero real positivo y dos pares de ceros complejos conjugados.

RTA: por la regla de Descartes, el polinomio tiene un cero real positivo y no tiene ceros reales negativos. Como

(0) 3 0,P = ≠ entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.

24. Pruebe que 3 2( ) 3 5P x x x= + + tiene un cero real negativo y dos complejos, sin usar calculadora.

25. Dado el polinomio 6 4( ) 4 3,P x x x= + + muestre, sin dibujar su gráfica, que ésta no cruza el eje x. RTA: por la regla

de Descartes no tiene ceros reales positivos ni negativos. Como (0) 3 0,P = ≠ entonces el polinomio no tiene

ceros reales, es decir, su gráfica no cruza el eje de las x.

26. Pruebe que la gráfica del polinomio 4 2( ) 3 7P x x x= + + no cruza el eje x, sin graficar la función.

27. Dados los siguientes polinomios, halle todos los ceros racionales:

a. 3 2( ) 3 6.P x x x= − + RTA: No tiene.

b. 4 3 2( ) 2 2 8 8.P x x x x x= − − + − RTA: 2; 2.−

c. 4 3 2( ) 3 8 6 17 6.P x x x x x= − − + + RTA: 1/ 3; 2.−

28. Halle todas las raíces, racionales, irracionales y complejas, de las siguientes ecuaciones:

a. 5 42 3 2 3 0.x x x− − + =b. 4 22 16 15 0.x x x− − − =c. 4 3 24 20 20 0.x x x x+ − − − =d. 3 22 5 1 0.x x− + =

29. Aproxime los ceros irracionales de los siguientes polinomios, con un decimal, en el intervalo indicado:

a. 3 2( ) 5 3; [4,5].P x x x= − + RTA: 4.9.

b. 3( ) 1; [0,1].P x x x= + − RTA: 0.7.

30. Halle los ceros reales de los siguientes polinomios (aproxime los ceros irracionales):

a. 4 3 2( ) 10 28 18.P x x x x x= − + − +

b. 4( ) 6 7.P x x x= + −

c. 5 4 3 2( ) 2 5 7 4 21 9.P x x x x x x= − − + + +

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Ay t mod9-10