Clculo das coordenadas (X,Y,Z)Anteriormente, foi visto como
calcular a distncia reduzida (Dr), o desnvel (Dh) e o ngulo
horizontal () para um ponto qualquer (Pi). Agora, vamos ver como
calcular as coordenadas (X,Y, Z) de Pi, tendo por base as
coordenadas (X, Y, Z) dos pontos que formam a linha base.
Definio de azimuteSuponha um espao coordenado sobre o qual se
identifiquem 2 pontos P e Q. O azimute de PQ, ou o Azimute de P
para Q, ou o ngulo azimutal PQ, o ngulo contado a partir do eixo
das ordenadas (Norte), no sentido horrio, at o segmento de reta PQ.
Como podemos ver, este ngulo pode variar de 00 a 3600 em funo das
localizaes de P e Q.
Apq Yq
Q
Apr Yp P
R
tan (Azpq) =
X Y
eq. (2)
Xp
Xq
Clculo do Azimute da linha baseTendo por base as grandezas
calculadas anteriormente, ou seja: Dr, Dh e , temos ento que
calcular o azimute da linha base a partir das coordenadas
cartesianas dos marcos topogrficos, usados como referncia para o
levantamento. No caso do primeiro levantamento o marco topogrfico
ocupado foi M2 e o marco topogrfico visado foi M1, ento temos que
calcular o azimute de M2 M1. Sendo as coordenadas cartesianas de M1
(X=7699,865; Y =4124,629; Z = 908,664), M2(X=7750,883; Y=4102,025;
Z = 911,260) e M3(X=7717,378; Y=4146,631; Z = 909,695). Y (Norte)
M1
Azimute X M2 Linha base M2 M1 e o seu Azimute Obs. O Azimute um
ngulo contado no sentido horrio a partir do norte at a direo M2-M1.
O azimute dado pela seguinte equao: tan(Az) = X Y (3)
1
Para o exemplo em questo, podemos escrever ento: tan(Az(M2-M1) )
= XM1 - XM2 YM1 - YM2 = 7699,865 -7750,883 4124,629 -4102,025 =
-51,018 22,604
Como sugesto isolar os sinais para fazer a discusso de que
quadrante o azimute est, ou seja numerador negativo e denominador
positivo, temos: Y + X Y X Azimute est no 4 quadrante
Ento, calculamos o azimute como se tivesse no 1 quadrante e
depois converte-se para o 4 quadrante, ou seja: tan(Az(M2-M1) ) =
51,018 = 2,257034 22,604 Az(M2-M1)* = arcTan(2,257034) = 66,103817
= 66 06' 14 Pela discusso do quadrante, foi deduzido que o azimute
est no 4 quadrante. Ento, temos que converter do 1 para 4
quadrante, ou seja: 1 4 Az(M2-M1) =360 - Az(M2-M1)* = 360 -(66 06'
14) = 359 59' 60 -(66 06' 14) = 293 53' 46 Y (Norte) M1
X M2 Azimute(M2-M1) =293 53' 46 Linha base (M2-M1) orientada a
partir do azimute
2
Clculo do azimute do ponto irradiadoSobre a figura do azimute da
linha base, vamos introduzir as grandezas Dr e ,, que foram
calculadas para o ponto 1 irradiado a partir da linha base: Y
(Norte)
M1
= 155 13' 48m 40 5,6 4
1
X
M2 Az(M2-M1) =293 53' 46 Azimute da linha base (M2-M1). Da
figura acima, podemos escrever que o Azimute(M2 1) = Az (M2-M1) + ,
ou seja: Az(M2 1) = 293 53' 46 +( 155 13' 48 ) = 89 07' 34 OBS.
Quando o valor do Azimute ultrapassar 360, temos que retirar o que
excede de 360.
Clculo das coordenadas (X,Y,Z) do ponto irradiadoO prximo passo
calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto irradiado, para isto temos
que calcular as projees sobre o eixo X e sobre o eixo Y, como na
figura abaixo: Y (Norte) 1 Y AzimuteDr
X M2 X
Como so conhecidos o Azimute de M2--> 1 e a distncia
reduzida, podemos escrever que: sen(Az M2-1) = X Dr Ou X = Dr *
sen(Az M2-1) (4)
Substituindo os valores calculados na equao (4), obtemos: X =
45,640 * sen(89 07' 34) = 45,640 * 0,999884 = 45,635m
3
cos(Az M2-1) =
Y Dr
Ou Y = Dr * cos(Az M2-1)
(5)
Y = 45,640 * cos(89 07' 34) = 45,640 * 0,015252 = 0,696m Ento as
coordenadas do ponto A1 so: X1 = XM2 +X = 7750,883 + 45,635 =
7796,518m Y1 = YM2 +Y = 4102,025 + 0,696 = 4102,721m Z1 = ZM2 +Dh =
911,260 +1,504 = 912,764m
Calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto 2, obteremos:ngulo
horizontal: 2 = 341 26' 40 Distncia reduzida: Dr = 56,766m Desnvel:
Dh = 0,426m Azimute da linha base: 293 53' 46 (j foi calculado para
o ponto anterior) Azimute do ponto irradiado (2): Az(M2 2) = 293
53' 46 +( 341 26' 40 ) = 275 20' 26 Clculo das coordenadas (X,Y,Z)
do ponto irradiado X = 56,766 * sen(275 20' 26) = 56,766 *
-0,995659 = -56,520m Y = 56,766 * cos(275 20' 26) = 56,766 *
0,093075 = 5,284m Ento as coordenadas do ponto 2 so: X2 = XM2 +X =
7750,883 -56,520 = 7694,363m Y2 = YM2 +Y = 4102,025 +5,284 =
4107,309m Z2 = ZM2 +Dh = 911,260 +0,426 = 911,686m
Calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto 8, obteremos:ngulo
horizontal: 8 = 30 40' 28 Distncia reduzida: Dr = 77,654m Desnvel:
Dh = 1,034m Azimute da linha base (M3 - M2): tan(Az(M3-M2) ) = XM2
- XM3 YM2 - YM3 = 7750,883 -7717,378 4102,025 -4146,631 = 33,505
-44,606
Az(M3-M2) * = 36 54' 41
4
Como o Azimute est no 2 quadrante (converter do 1 2 ) Az(M3-M2)
= 180 -(36 54' 41) = 143 05' 19 Azimute do ponto irradiado
(Az-linhaBase + ): Az(M3 B1) = 143 05' 19 +( 30 40' 28 ) = 173 45'
47 Clculo das coordenadas (X,Y,Z) do ponto irradiado X = 77,654 *
sen(173 45' 47) = 8,436m Y = 77,654 * cos(173 45' 47) = -77,194m
Ento as coordenadas do ponto 8 so: X = XM3 +X = 7717,378 +8,436 =
7725,814mB1
Y = YM3 +Y = 4146,631 -77,194 = 4069,437mB1
Z
B1
= ZM3 +Dh = 909,695 +0,426 = 910,121m
Calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto 9, obteremos:ngulo
horizontal: 9 = 117 02' 33 Distncia reduzida: Dr = 59,633m Desnvel:
Dh = -1,871m Azimute da linha base (M3 - M2): 143 05' 19 Azimute do
ponto irradiado (Az-linhaBase + ): Az(M3 B2) = 143 05' 19 +( 117
02' 33 ) = 260 07' 52 Clculo das coordenadas (X,Y,Z) do ponto
irradiado X = 59,633 * sen(260 07' 52) = -58,751m Y = 59,633 *
cos(260 07' 52) = -10,221m Ento as coordenadas do ponto 9 so: X9 =
XM3 +X = 7717,378 -58,751 = 7725,814m Y9 = YM3 +Y = 4146,631
-10,221 = 4069,437m Z9 = ZM3 +Dh = 909,695 -1,872 = 907,823m
5
