1.- ECUACIONES

a) x b a b

b) xa

b

c) xa

d) x aba) x b a

abe) x

c f) x b a

3bg) x

2a h) x 6ab

1.- ECUACIONES

a) 3x 1 25 3x 24 x 8

b) 5x 13 2 5x 15 x 3

c) Como 7.9 63 x 7

d) 5x 2 18 5x 20 x 4

1.- ECUACIONES

0v va) a

t

0

0v v

b) At v v tA

9C 5(F 32)c) F 32 C

5 9

22at 2(3v e) 2(3v e)

d) 3v e t t2 a a

22x

e) a 2b x 5a 10b x 5a 10b5

22 0 0

02(E E ) 2(E E )mx

f) E E x x2 m m

1.- ECUACIONES

VTa) VT V´T´ T´

V´

6.20b) T´ 8 ºC

15

1.- ECUACIONES

4(v L)a) 4v 3Ln 4L 4v 4L 3Ln n

3L

4(224 16) 4.240 960b) n 20 veces

3.16 48 48

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

a) Si D 0, hay dos; si D 0, no hay ninguna; si D 0, hay una

2 2b) 1) x 36 x 6 2) x 4 no tiene solución

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

xc) x mi edad 3x 49

2

d) x 2x 24 3x 24 x 8. Pañuelo : 2x 2.8 16 €

2 2e) x.3x 12 3x 12 x 4 x 2. Largo : 3x 3.2 6 cm

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2a) 3x 5x 2 0 D b 4ac 25 4.3.( 2) 49

2 1x

b D 5 49 5 7 6 3x

122a 2.3 6x 2

6

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2b) Dividiendo entre 100 : 4x 20x 25 0 D 400 4.4.25 0

20 5x

b D 20 0 20 0 8 2x

20 52a 2.4 8x

8 2

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 81 9c) 81 49x x x

49 7

2x 0

d) 5x x 0 x(5x 1) 0 15x 1 0 x

5

2 x 0e) x x 0 x(x 1) 0

x 1 0 x 1

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2 2 2

2

f)x 1 15x 5x 2(x 4x 4) 9 4x 15x 1 2x 8x 8 9

x 0

6x 23x 0 x(6x 23) 0 23x

6

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2 2 2 2

2

g)3(x 4x 4) x 1 3x 15x 11 3x 12x 12 x 1 3x 15x 11

x 0x 27x 0 x(x 27) 0

x 27

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2 2 2 2

: ( 4)2 2

2

h)x 4 3(x 2x 1) 2x 2x 5 x 4 3x 6x 3 2x 2x 5

4x 8x 12 0 x 2x 3 0

D b 4ac 4 4.1.3 8 0 (incompatible)

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

x x 1 x xNúmeros : mcm(3,7,5) 105

x 1 3 7 5

35(x 1) 15x 21x

105 105 105

35x 35 15x 21x 35 x

Los números son 35 y 36

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2x 7nº de panteras : x nº de tigres : 2x 7 nº de leones : 8

3

2x 7 2x 7x 2x 7 8 17 16 3x 2x 7 3(16 3x)

3 3

2x 7 48 9x 11x 55 x 5

3nº de panteras : 5 nº de tigres : 2.5 7 3 nº de leones : 8 9

3

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

. 60 24

t tiempo que tardan en encontrarse

75t 100t 420 t 2, 4

Dis tancia a Granada : 75t 75.2, 4 180

Dis tancia a Madrid : 100t 100.2, 4 240

Tardan 2, 4 h 2 h y 0, 4 h 2h y 24 min

A 180 km de Granada y 240 km de Madrid

����

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

t tiempo que tardan en encontrarse

90t 60t 900 t 6

Dis tancia a Granada : 90t 90.6 540

Se encuentran a 540 km de

Granada a las 16 h (4 de la tarde)

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

tiempo que está circulando la furgoneta : t

tiempo que está circulando el coche : t 2

Como recorren la misma dis tancia : 80t 120(t 2)

80t 120t 240 t 6

Dis tancia a Madrid : 80t 80.6 480 km

Le alcanza a las 15 h (3 de la tarde)

A 180 km de Granad

a y 240 km de Madrid

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

. 60 12

tiempo que está circulando el primer coche : t

1tiempo que está circulando el 2º coche : t

2

1Como recorren la misma dis tancia : 85t 110(t )

2

85t 110t 55 t 2,2 h 2 h y 0,2h 2h y 12 min

Dis tancia a Málaga : 85t 85.2,2 187 km

����

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2

edad actual : x x 7 (x 5) x 7 x 10x 25

x 11x 18 0 D 121 4.1.18 49

18x 9

b D 11 49 11 7 2x

42a 2.1 2x 2

2

Luego, tiene 9 años porque x 2 no es una solución válida

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2

edad actual : x x 16 (x 14) x 16 x 28x 196

x 29x 180 0 D 841 4.1.180 121

40x 20

b D 29 121 29 11 2x

182a 2.1 2x 9

2

Luego, tiene 20 años porque x 9 no es una solución válida

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2

2

l argo : x ancho : x 8 x(x 8) 240 x 8x 240

x 8x 240 0 D 64 4.1.( 240) 1024

40x 20

b D 8 1024 8 32 2x

242a 2.1 2x 12

2

Luego, mide 20 m de largoy 12 m de ancho

Porque x 12 no es una solución válida

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2

2

l argo : x ancho : x 9 x(x 9) 136 x 9x 136

x 9x 136 0 D 81 4.1.( 136) 625

34x 17

b D 9 625 9 25 2x

162a 2.1 2x 8

2

Luego, mide 17 m de l argo y 8 m de ancho

Su perímetro es 2.17 2.8 50 m

Porque x 8 no es una solución válida

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2 2

2

La sup erficie de la caja es A(cartón) 4A(cuadrado)

24.18 4x 432 4x

Luego, 432 4x 143 4x 289

289 289 17x x 8,5 cm

4 4 2

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

a) 2(2x 3) 1.(4x 6) 4x 6 4x 6

0 0 (es una identidad)

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

x 4 8x 4 4x 2 2x 6 5x 6b)

5 1 10 1 2

2(x 4) 10(8x 4) 4x 2 10(2x 6) 5(5x 6)

10 10 10 10 10

2x 8 80x 40 4x 2 20x 60 25x 30

2086x 50 45x 30 41x 20 x

41

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

6 6x 12 6x 1c) x 3x 2

5 2

x 18 12x 3x 1 2

1 5 1 2 1

10x 2(18 12x) 30x 5 20

10 10 10 10 10

10x 36 24x 30x 5 20 4x 16 x 4

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2 2

2 2

5x 5x x 1 1 2x x 1 5xd)

6 2 3 6

5x 4x 1 3(1 2x) 2x 1 5x

6 6 6 6

35x 4x 1 3 6x 2x 1 5x 8x 3 x

8

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2a) 3x 15x 2x 6x 3x 9 77 5x 24x 68 0

D 576 4.5.( 68) 1936

68 34x

b D 24 1936 24 44 10 5x

202a 2.5 10x 2

10

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2 2 2

b) 6x 2x 9x 3 (x 2x 3x 6) 6x

6x 2x 9x 3 x 2x 3x 6 6x 5x 18x 9 0

D 324 4.5.9 144

30x 3

b D 18 144 18 12 10x

6 32a 2.5 10x

10 5

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

2 2 2

c) 2(x 4x 4) (4x 25) 4x 1

2x 8x 8 4x 25 4x 1 2x 12x 32 0

D 144 4.( 2).32 400

32x 8

b D 12 400 12 20 4x

82a 2.( 2) 4x 2

4

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2 2d) 2x 10x 3x 2x 3x 8 8x 12x 8 0

D 144 4.( 8).8 400

8 1x

b D 12 400 12 20 16 2x

322a 2.( 8) 16x 2

16

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 20a) 2x 10x 3x 15 2x 6x 5 13x 20 x

13

2 2b) 4x 4x 1 (4x 4x 1) 16 8x 16 x 2

2 2

2 2

2(x 1) 2x 2x 6( x 5)c)

6 6 6

2x 2 2x 2x 6x 30 8x 32 x 4

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2 2

2 2 2

3(4x 16x 16) 8x 24x 4x 8xc)

3 3 3

48 312x 48x 48 8x 24x 4x 8x 64x 48 x

64 4

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

x 0a) x(2x 8) 0

x 4

x 0b) x( x 15) 0

x 15

2 48c) x 16 x 4

3

2 20d) x 4 x 2

5

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2

2

l argo : x 4 ancho : x x(x 4) 480 x 4x 480

x 4x 480 0 D 16 4.1.( 480) 1936

40x 20

b D 4 1936 4 44 2x

482a 2.1 2x 24

2

Luego, mide 20 cm de ancho y 24 cm de l argo

Su perímetro es 2.20 2.24 88 cm

Porque x 24 no es una solución v

álida

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2x 4x x 7x1er mes : 2x 2º mes : 4x 3er mes :x 4º mes :

4 4

7x 7x 35x 4 . 3,52x 4x x 3,5 7x 3,5 3,5 x 0,4

4 4 4 35

Luego, 1er mes : 2x 2.0,4 0,8 km 800 m

2º mes : 4x 4.0,4 1,6 km 1600 m

7x 7.0,43er mes :x 0,4 km 400 m 4º mes : 0,7 km 700 m

4 4

2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO

2 2

l ado mayor : 2x 2

lado menor : x

(2x 2) 3 x 3 x 4

A(cuadrado) 4 16 cm

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

x 0a)

x 3 0 x 3

x 1 0 x 1

x 4 0 x 4b)

x 2 0 x 2

x 3 0 x 3

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

3 2

2

2

1 1 36 36

a) x(x x 36x 36) 0 1 1 0 36

1 0 36 0

x 0

x(x 1)(x 36) 0 x 1 0 x 1

x 36 0 x 6

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

2

2 22

x 0 x 0b) x (3x 48) 0 48

x 16 x 43

3 2 2

2

1 5 7 3

c) x(x 5x 7x 3) 0 1 1 4 3 x(x 1)(x 4x 3) 0

1 4 3 0

x 0, x 1 0 x 1, x 4x 3 0 x 1, x 3

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

3 2

2

2

1 2 5 6

d) x(x 2x 5x 6) 0 1 1 1 6

1 1 6 0

x(x 1)(x x 6) 0

x 0, x 1 0 x 1, x x 6 0 x 2, x 3

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

2 3 2

3 2

2

V(caja) largo . ancho . alto (24 2x)(18 2x)x 640 (432 84x 4x )x 640 4x 84x 432x 640 0

1 21 108 160

Simplificando entre 4 x 21x 108x 160 0 4 4 68 160

1 17 40 0

x 4

(x 4)(x 17x 40) 0 x 14,2 (imposible)

x 2,8

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

2

2

1 2 1 2

a) 1 1 1 2 (x 1)(x x 2) 0

1 1 2 0

x 1 0 x 1, x x 2 0 x 1, x 2

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

3 2

2

2

1 7 1 7

b) x(x 7x x 7) 0 1 1 8 7

1 8 7 0

x(x 1)(x 8x 7) 0

x 0, x 1 0 x 1, x 8x 7 0 x 1, x 7

3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

3 2

2

2

2 3 11 6

c) x(2x 3x 11x 6) 0 2 4 14 6

2 7 3 0

x(x 2)(2x 7x 3) 0

1x 0, x 2 0 x 2, 2x 7x 3 0 x , x 3

2

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

b) Sumando las ecuaciones : 2x 10 x 5

c) Sumando las ecuaciones : 2y 8 y 4 d) 3x 5y 80

a) Incompatible

e) x 5, y 2 f) ninguna

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

6 8 2a) Como , se trata de un sistema

3 4 7

incompatible. Representa dos rectas paralelas

9 7b) Como , se trata de un sistema

6 11

compatible determinado. Representa dos rectas secantes

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

a) Por ejemplo, por sustitución. Despejamos x en la 2ª ecuación, x 6y 5,

y sustituimos en la 1ª ecuación : 5(6y 5) 4y 8 30y 25 4y 8

1 1 134y 17 y . Luego, x 6 5 2. La solución es x 2, y

2 2 2

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

(4x 5y 17).6 24x 30y 102b) Por ejemplo, por doble reducción :

(6x 7y 18).4 24x 28y 72

Restando las ecuaciones, 58y 174 y 3

(4x 5y 17).7 28x 35y 119

(6x 7y 18).5 30x 35y 90

Sumando las ecuaciones, 58x 29

1

x2

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

(3x 4y 6).2 6x 8y 12c) Por ejemplo, por doble reducción :

(2x 7y 25).3 6x 21y 75

Restando las ecuaciones, 29y 87 y 3

(3x 4y 6).7 21x 28y 42

(2x 7y 25).4 8x 28y 100

Sumando las ecuaciones, 29x 58 x 2

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

2 x y x 1 y 12 2x 2y 3x 6 6y12 2x 2y 3x 6 6y1 3 2 1 6 6 6 6

d)x 1 y 2 3x 6x 6 4y 8 9x6x 6 4y 8 9x

2 3 4 12 12 12

5x 8y 18 ( 5x 8y 18).3 1.Por ejemplo, por doble reducción :

3x 4y 2 ( 3x 4y 2).5

5x 24y 54

15x 20y 10

Restando las ecuaciones, 44y 44 y 1

5x 8y 18 5x 8y 18. Sumando las ecuaciones, 11x 22 x 2

( 3x 4y 2).2 6x 8y 4

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

precio de un bocadillo : x 2x 2y 4,20

precio de un refresco : y x 3y 4,50

2x 2y 4,20 2x 2y 4,20Por reducción :

(x 3y 4,50).2 2x 6y 9

Restando las ecuaciones, 4y 4,8 y 1,2

Sustituyendo en la 2ª ecuación : x 3.1,2 4,50

x 0,9

Luego, el bocadillo cuesta 0,90 € y el refresco 1,20 €

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

nº de monedas de Juan : x x 2 y 2 x y 4

nº de monedas de Roberto : y y 4 4(x 4) 4x y 20

Por reducción, sumando las ecuaciones, 3x 24 x 8

Sustituyendo en la 1ª ecuación : 8 y 4 y 12

Luego, Juan tiene 8 monedas y Roberto 12

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

nº de gallinas : x x y 20 x y 20

nº de conejos : y 2x 4y 52 x 2y 26

Por reducción, restando las ecuaciones, y 6 y 6

Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 6 20 x 14

Luego, hay 14 gallinas y 6 conejos

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

edad actual de Luis : x x 8 7(y 8) x 7y 48

edad actual de Lucía : y x 12 2(y 12) x 2y 12

Por reducción, restando las ecuaciones, 5y 60 y 12

Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 7.12 48 x 36

Luego, Luis tiene 36 años y Lucía 12

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

nº de pizzas "margarita" : x x y 45

nº de pizzas "cuatro quesos" : y 4x 6y 226

(x y 45).4 4x 4y 180Por reducción :

4x 6y 226 4x 6y 226

Restando las ecuaciones, 2y 46 y 23

Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 23 45 x 22

Lu

ego, vendió 22 pizzas "margarita" y 23 pizzas "cuatro quesos"

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES

. 10

nº de kg de té de Ceilán : x x y 300

nº de kg de té de la India : y 3,60x 4,80y 4,50.300

x y 300 x y 300

36x 48y 135003,60x 4,80y 1350

(x y 300).36 36x 36y 10800Por reducción :

36x 48y 13500 36x 48y 13500

Restando las ecuaciones, 12y 2700 y 225

Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 225 300 x 75

Luego, hay que mezclar 75 kg de té de Ceilán y 225 kg de té de la India