B1

B. Eindimensionale stationäre Wärmeleitung

Fourier – Gesetz

Grundversuch :

Newton (~1700) und Fourier (1820)

Wärmeaustausch zwischen Reservoiren durch ebene Platte.

1T t 2T t

Thermometer

Isolierung

Rührer

dBad1 Bad2

AQ

B2

Beobachtung

1. HS: 1,0 2,0 1 2U U U U const (17)

1 10 2 20 1 2C T C T (C C ) T (18)

1 10 2 20

1 2

C T C TT

C C (19)

Gleichgewichtstemperatur zwischen Bad1, Bad 2.

Kinetik: 1 2 1T T T 0 (20)

2 1 2T T T 0 (21)

1. HS, Bad1

Wärmedifferential

1 1 1dU dQ C dT 1

dt (22)

(20-22) 2 1Q T T (23)

Kühlkurve

Heizkurve

2T 0

1T 0

T

t

1 2T t , T t

B3

Experiment Newton – Fourier:

Fläche

Wärmestrom 2 1A

Q T Td

… d A Dicke Wand (24)

Wärmeleitfähigkeit Dicke

2 1Q

q T TA d

(25)

W mK … Wärmeleitfähigkeit

Wärme, die durch Würfel (A 1m², d 1m ) bei

2 1T T 1K hindurchtritt.

A3 A5 Messmethode

Physik Molekulare Situation

W mK

Gase Wenige Stöße

Druckunabhängigkeit klein

Flüssigkeiten Größere Dichte mittel

Nichtmetalle Gitterschwingungen

der Atome hoch

Metalle Elektronensee ) T 0 2

1

T

) Beziehung zur elektrischen Leitfähigkeit!

B4

Zahlenwerte W mK

Luft, ruhend (V) 0.025

Wasser ( L) 0,6

Kork (S) 0,05

Fensterglas 0,12

Ziegel (trocken) 0,5

Silber (Ag) 420

Kupfer (Cu) 380

Weitere Daten: VDI Wärmeatlas

2. HS: Wärme fließt immer von Systemen höherer zu Systemen niedrigerer

Temperatur.

Gl. (24): 2 1T T .

Die Wärmeleitfähigkeit hängt von thermodynamischen Parametern,

nämlich

Zusammensetzung (Legierungen)

Temperatur (Mittelwert)

Druck etc.

des wärmeleitenden Stoffes ab!

B5

Wärmeleitfähigkeit

Abhängigkeit von Druck p und Temperatur T

Taylor – Reihe

0 0T p

0 0 0

T T p p1 K K 2

T p

TK pK TTK

Luft 0,891 0,002 …

Wasser 0,823 0,00008 …

0 T 50 °C , 1 < p < 20 bar

Zahlenwerte : VDI – Wärmeatlas

Landolt – Börnstein

ASME – Tables etc.

B6

B7

Literatur: [7,10], Temperatur in Kelvin (K)

B8

Wärmewiderstand

(24) 2 1d

T T QA

(30)

Ohmsches Gesetz

e2 e1 e eU U R Q , ee

dQI

dt (31)

(30): 2 1 wT T R Q (32)

wd

RA

, wK

RW

(33)

Elektrischer Widerstand

Wärmewiderstand

B9

Anwendung von (32)

Wärmeleitung durch inhomogene Platte bzw. Plattensysteme (A = const)

Q

Tn

Tn-1

T2

T1

T0

AA

Q

wn

n

n

R

d

2

2

2

wR

d

1

1

1

wR

d

Q

Tn

Tn-1

T2

T1

T0

AA

Q

wn

n

n

R

d

2

2

2

wR

d

1

1

1

wR

d

Platte i: i i 1 wi iT T R Q i

(34)

Stationarität! 1 2 hQ Q .... Q Q (35)

(34,35) n 0 wT T R Q (36)

B10

n

w wii 1

R R (36a)

wd

RA

(37)

(36a) i

ii

1 1 d

d (38)

Effektive oder äquivalente Wärmeleitfähigkeit der geschichteten Platte

n

ii 1

d d (39)

Siehe auch Aufgabe A8

B11

WL einer Platte mit kontinuierlich veränderlicher

Wärmeleitfähigkeit x

(Legierungen, Verunreinigungen, Feuchte etc.)

Fourier:

dT x

AQ x T x dx T x const

dx (40)

T x T x dx

Q

0T dT

A const

xdx x dx0

B12

Energieerhaltung / Stationarität

dx

Q AdT xx

d

x 0

d

0

dxQ A T d T 0

x

eff d 0A

Q T Td

(41)

effd

0

1

d dx

x

d

eff 0

d dx

x … Def. „effektive“„äquivalente“

WLF: (41a)

B13

Fourier – WL Gesetz :

Lokale Form

Stationarität, 1 – Dimension

Taylor Reihe

xQq T x dx T x

A dx

22

2

T 1 Tdx dx

x 2! x

T x

q xx

(42)

T x T x dx

q

x x dxx

B14

Beispiel:

Temperaturverlauf in ebener Platte, A const , const

const

dTq x

dx

x

x0

dx

0q x x T x T 0

d 0 d 0q

T T x x

0 0

d 0 d 0

T x T x x

T T x x (43)

Verallgemeinerung von (42) auf 3 Dimensionen:

q(x) (x) grad T (44)

x

y

z

q T / x

q (x) T / y

T / zq

(44a)

0T

dT

xT

d0xx

B15

Beispiel:

Wärmeleitung und Temperaturverlauf in einer inhomogenen

Platte, Stationarität!

(42) dT

q (x) constdx

Temperaturverlauf in Platte?

q

dT dx(x)

x,T

x ,T1 1

x

1

x1

qT(x) T dx

(x) (45)

q

1x x 2x0

A A

1T

T x

2T

T

x

B16

Stationarität: Q A q const

(Energiesatz) A const q const! (46)

(45,46)

x

1

x1

dxT(x) T q

(x) (47)

x = x2 :

x2

2 1

x1

dxT T q

(x) (47a)

x

x11 2 1 x2

x1

dx

(x)T(x) T (T T )

dx

(x)

(48)

B17

Stationäre Wärmeleitung durch Kreisrohrwand

Beispiel: Temperaturverlauf in Zylinderwand

const Rohrlänge

Stationarität , Zylindersymmetrie

Fourier für Massenelement r,r dr, , d ,

dA r d

dQ q dA

q T

dA

iT

aT

T r

T r dr

arir

dQ

B18

T 1 T

q ,r r

T,

z

T

dQ r dr

2

0

T

Q 2 r constr

1.HS – Stationarität

U ui u

i

J P

: m r,r r : U Q r r Q r

0 Q r r Q r Q const

dr

Q 2 dTr

r,ra

ri

B19

i iQln r r 2 T r T

ar r :

a i a iQln r r 2 T T ….. Grenzbedingung

i i

a i a i

T r T ln r r

T T ln r r

Temperaturverlauf in Zylinderwand

Aus a ia i

2Q T T

ln r r

T r

rarir

iT

aTi

rln

r

0

B20

Aufgabe A9 / U – Boot

Nährung für dünnwandige Rohre

a ir r d , id r ,

1

a i a iQ 2 ln r r T T

a ii

dln r r

r

ia i

rQ 2 T T

d….. “ Platte “