Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
VŨ THỊ HỒNG THANH (CHỦ BIÊN)
ĐINH HUY HOÀNG, TRẦN VĂN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI, NGUYỄN VĂN
ĐỨC, NGUYỄN HUY CHIÊU, TRẦN ĐỨC THÀNH, NGUYỄN THỊ QUỲNH
TRANG, ĐẬU HỒNG QUÂN
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH
(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸ
THUẬT VÀ CÔNG NGHỆ)
VINH - 2018
MỤC LỤC
Thông tin về học phần 6
Mở đầu 8
Chương 1 Số thực và giới hạn của dãy số 1
1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Tập hợp các số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tập hợp số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số hội tụ . . . . . 6
2.2 Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu, số e . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Giới hạn vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Câu hỏi thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2 Giới hạn của hàm số và hàm số liên tục 20
1 Hàm số và giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Một số loại hàm số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . 25
1.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Các phép tính và các định lý cơ bản về giới hạn hàm . . . . . 33
1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng
lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
3 Giáo trình Giải tích
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số liên tục . . . . 40
2.2 Tính liên tục của các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Các định lý cơ bản về hàm số liên tục trên một đoạn . . . . . 42
2.4 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Giới hạn dạng limx→a
(u(x)
)v(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Câu hỏi thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chương 3 Phép tính vi phân hàm một biến 50
1 Đạo hàm của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . 54
1.4 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5 Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . 56
2 Vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 Hàm khả vi và vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . 57
2.2 Các quy tắc lấy vi phân và tính bất biến của vi phân cấp 1 . . 58
2.3 Các định lý cơ bản về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Tính không bất biến của vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi . . . . . . . . . . . . 65
4 Một số ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1 Quy tắc L′Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương 4 Tích phân của hàm một biến 89
1 Nguyên hàm và tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Giáo trình Giải tích
1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần 93
1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.4 Tích phân một số hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.5 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân xác định . . 107
2.2 Tính tích phân từng phần, đổi biến số . . . . . . . . . . . . . 109
3 Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5 Tính diện tích xung quanh của mặt tròn xoay . . . . . . . . . 125
3.6 Một số ứng dụng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1 Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Chương 5 Chuỗi số và chuỗi hàm 144
1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.2 Một số tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.3 Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . 147
1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.2 Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 155
3 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa . . . . . . . 158
3.2 Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . 160
5 Giáo trình Giải tích
3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 162
4 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier . . . . . . . . 166
4.3 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ . . . 167
Chương 6 Giới hạn, tính liên tục và vi phân của hàm nhiều biến 178
1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1.1 Cấu trúc tuyến tính và khoảng cách trên Rn . . . . . . . . . . 179
1.2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong Rn . 180
2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép và mối liên hệ giữa chúng . . . . . . 185
3 Tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm liên tục . . . . . . 187
3.2 Tính liên tục theo từng biến và mối liên hệ với tính liên tục . 188
4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 188
4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến . . 188
4.2 Đạo hàm của hàm hợp và tính bất biến của vi phân . . . . . . 194
4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . 197
5.1 Cực trị không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Chương 7 Tích phân bội 205
1 Tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp . . . 206
1.2 Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . 208
1.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2 Tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2.1 Định nghĩa và các tính chất cở bản của tích phân ba lớp . . . 219
6 Giáo trình Giải tích
2.2 Cách tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.1 Tính diện tích miền phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm của vật thể . . . . . 235
Chương 8 Phương trình vi phân 240
1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 241
1.1 Khái niệm phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 243
2.2 Phương trình có biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2.4 Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
2.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân . . . . . 254
2.7 Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut . . . . . . . 258
3 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.1 Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . 260
3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . 262
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng . . . . . 266
4 Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . . . . 273
THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN
Đây là học phần thuộc nhóm kiến thức cơ sở cho sinh viên khối ngành Kỹ thuật
- Công nghệ, nó được giảng dạy ở học kỳ 2 của năm thứ nhất. Nếu sinh viên đã học
học phần Đại số tuyến tính, thì việc tiếp thu nhiều kiến thức trong học phần này
sẽ được tốt hơn.
Giảng viên sẽ dạy học phần này 75 tiết trên lớp, gồm 60 tiết lý thuyết và 15 tiết
bài tập, còn sinh viên tự học 150 tiết. Thi trắc nghiệm giữa kỳ 2 lần và thi tự luận
vào cuối kỳ.
Học phần này cung cấp các kiến thức cơ sở về Toán Giải tích giúp cho sinh viên
có công cụ để tiếp thu được các các học phần chuyên ngành thuộc các ngành Kỹ
thuật - Công nghệ. Thông qua đó, rèn luyện cho sinh viên tính cẩn thận, chính xác,
tỉ mỉ và sáng tạo, đồng thời, giúp sinh viên rèn luyện và làm quen với một số kỹ
năng như hợp tác làm việc nhóm, tổ chức nhóm làm việc, chuẩn bị và thuyết trình
báo cáo kết quả làm việc nhóm trước tập thể.
7
MỞ ĐẦU
Bài giảng này dùng cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ, nó được biên
soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích trong chương trình đào tạo đại học
hệ chính qui theo chương trình tiếp cận CDIO của Trường Đại học Vinh, ban hành
năm 2017. Vì đặc thù của ngành học kỹ thuật, công nghệ và thời lượng hạn chế nên
chúng tôi cố gắng hình thành các khái niệm, giới thiệu các tính chất cơ bản, không
đi sâu vào những vấn đề nặng về lý thuyết mà tập trung vào những kết quả và ứng
dụng của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng chỉ ra những tài liệu để những người có
nhu cầu nghiên cứu tìm đọc.
Nội dung chính của tập bài giảng này là lý thuyết giới hạn, liên tục, phép tính
vi phân, phép tính tích phân của hàm một biến số và lý thuyết chuỗi, hàm nhiều
biến, tính liên tục và tính khả vi của hàm nhiều biến, tích phân bội và đại cương về
phương trình vi phân. Một số vấn đề trong đó, sinh viên đã được làm quen ở chương
trình phổ thông, khi giảng dạy giảng viên có thể trình bày lướt qua như việc tính
đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm, cách tính tích phân xác
định,... Trong giáo trình này, chúng tôi vẫn trình bày đầy đủ các vấn đề trên nhưng
ở mức độ chi tiết hơn.
Bài giảng này trước đây sinh viên được lên lớp nghe giảng khoảng 90 tiết. Bây
giờ, đào tạo theo chương trình tiếp cận CDIO, để phát huy khả năng tự học, sinh
viên chỉ lên lớp nghe giảng 75 tiết, phần còn lại phải tự nghiên cứu ở nhà. Để tạo
điều kiện thuận lợi cho người đọc, sau các định nghĩa, định lý chúng tôi đưa ra nhiều
ví dụ minh hoạ, sau mỗi chương có đưa ra các vấn đề thảo luận và hệ thống bài tập.
Đây là lần đầu tiên biên soạn bài giảng theo chương trình tiếp cận CDIO, cho
nên mặc dù chúng tôi đã có rất nhiêu cố gắng nhưng chắc rằng còn có những sai
sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của người đọc.
8
CHƯƠNG 1
SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I.1. GIỚI THIỆU
Để nghiên cứu các khái niệm cơ bản của giải tích (như hội tụ, liên tục, phép tính
vi phân, phép tính tích phân,...) đòi hỏi người học phải nắm vững các khái niệm
cơ bản về số thực, dãy số, sự hội tụ của dãy số và các tính chất của chúng. Vì vậy,
chương này trình bày đại cương về số thực, dãy số, sự hội tụ của dãy số và các tính
chất của chúng.
I.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Giới thiệu cấu trúc cơ bản của tập các số thực, trình bày các khái niệm và tính
chất cơ bản của giới hạn dãy số.
I.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Giới thiệu cấu trúc cơ bản của tập các số thực, nắm được các khái niệm
và phân biệt được maximum với suprimum, minimum với infimum và biết cách tìm
inf, sup của một số tập hợp, điều kiện tồn tại sup, inf.
2. Phát biểu được các khái niệm về các loại dãy: dãy hội tụ, dãy con, dãy đơn
điệu, dãy bị chặn.
3. Phát biểu được các tính chất cơ bản của dãy số hội tụ và biết vận dụng để
tính giới hạn của dãy số.
4. Trình bày được điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu và biết vận dụng để xét
sự tồn tại giới hạn của các dãy số.
5. Trình bày được mối liên hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.
6. Trình bày được định nghĩa dãy có giới hạn bằng ±∞ và mối quan hệ giữa
dãy có giới hạn ±∞ với dãy bị chặn.
7. Biết được các cách tìm được giới hạn của một số dãy số.
1
2 Giáo trình Giải tích
I.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
1 Số thực
1.1 Tập hợp các số thực
Vì thời lượng không cho phép, chúng ta không đi sâu nghiên cứu việc xây dựng
tập các số thực và các tính chất của nó. Chúng ta công nhận sự tồn tại của tập các
số thực và nhận biết tập các số thực qua những mô tả sau đây.
Như thường lệ, ta ký hiệu
Tập các số tự nhiên 0, 1, 2, ... được ký hiệu là N.
Tập các số tự nhiên dương 1, 2, ... được ký hiệu là N∗.
Tập các số nguyên ...,−2,−1, 0, 1, 2, ... được ký hiệu là Z. Các số −1, −2, −3, −4, . . .
được gọi là các số nguyên âm.
Tập các số hữu tỷmn
: m ∈ Z, n ∈ N∗
được ký hiệu là Q. Hai số hữu tỷm
n,
r
sđược gọi là bằng nhau và viết
m
n=r
snếu ms = nr. Người ta chứng minh được
rằng mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay vô
hạn tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là các số vô tỷ.
Tập hợp gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực (nói gọn
là tập số thực) và ký hiệu là R.
Các phép toán, thứ tự (các bất đẳng thức) trong tập số thực; khái niệm và tính
chất của giá trị tuyệt đối đã được giới thiệu trong chương trình toán phổ thông, ở
đây không trình bày lại, muốn tìm hiểu đầy đủ các vấn đề này cũng như việc xây
dựng tập số thực và tính chất của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1. Sau đây chúng ta trình bày một số tính chất của
tập các số thực cần dùng về sau.
Trên tập các số thực R ta trang bị 2 phép toán cộng và nhân thỏa mãn các
tính chất kết hợp, giao hoán, phân phối của phép nhân với phép cộng, phép cộng có
phần tử không 0 mà cộng với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, phép nhân
có phần tử đơn vị 1 mà nhân với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, mỗi số
thực có phần tử đối và mỗi số thực khác 0 có phần tử nghịch đảo.
Mỗi số thực x ∈ R được đặt tương ứng với một số thực không âm duy nhất |x|
3 Giáo trình Giải tích
và gọi là giá trị tuyệt đối của x được cho bởi
|x| =
x nếu x ≥ 0,
−x nếu x < 0.
Trên tập các số thực R ta còn trang bị một thứ tự ≤ cho bởi
Với x, y ∈ R, x ≤ y (hay y ≥ x) ⇔ y − x ≥ 0.
Cho một trục số ∆ (Hình 1.1).
O x M
Hình 1.1
Chọn một điểm gốc O cố định trên ∆. Người ta có thể chứng minh rằng tương ứng
R ∋ x 7→M ∈ ∆ xác định như sau:
a) Độ dài của đoạn OM là |x|,
b) M ở bên phải điểm gốc O nếu x > 0, ở bên trái nếu x < 0 và M trùng với O
nếu x = 0, cho ta một song ánh từ R lên trục số ∆. Vì vậy trục số ∆ xem như một
biểu diễn hình học của R.
1.2 Tập hợp số thực mở rộng
1.2.1 Định nghĩa. Tập số thực mở rộng ký hiệu là R theo định nghĩa là tập R
cùng với hai điểm được ký hiệu là −∞ và +∞ không thuộc R,
R = R ∪ −∞,+∞, −∞,+∞ /∈ R.
Điểm −∞ được gọi là điểm âm vô cùng còn +∞ gọi là dương vô cùng.
1.2.2 Chú ý. Ta luôn quy ước
1) −∞ < x < +∞ với mọi x ∈ R.
2) −(+∞) = −∞; −(−∞) = +∞.
3) x+ (+∞) = +∞; x+ (−∞) = −∞;x
±∞= 0, với mọi x ∈ R.
4) Nếu x ∈ R, x > 0 thì x.(+∞) = +∞; x.(−∞) = −∞. Còn nếu x ∈ R, x <
0 thì x.(+∞) = −∞; x.(−∞) = +∞
4 Giáo trình Giải tích
1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận dưới
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử A ⊆ R và y ∈ R. Ta nói
1) y là cận trên của A nếu x 6 y với mọi x ∈ A. Khi đó ta còn nói A bị chặn
trên bởi y.
2) y là cận dưới của A nếu x > y với mọi x ∈ A. Khi đó ta còn nói A bị chặn
dưới bởi y.
3) A là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới tức là tồn tại y, z ∈ R
sao cho
y 6 x 6 z ∀x ∈ A.
1.3.2 Ví dụ. 1) Cho A = 1− x2 : x ∈ R. Khi đó 1 là cận trên của A.
2) Cho A = x2 − 1 : x ∈ R, x = 0. Khi đó −1 là cận dưới của A.
3) Cho A = 2x2
1 + x4: x ∈ R
. Khi đó 0 là cận dưới của A và 1 là cận trên của
A. Do đó A bị chặn.
1.3.3 Định nghĩa. Giả sử A ⊆ R và A = ϕ.
1) Số nhỏ nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận trên của A gọi là cận
trên đúng của A và viết là supA hay supx∈A
x.
2) Số lớn nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận dưới của A gọi là cận dưới
đúng của A và viết là inf A hay infx∈A
x.
1.3.4 Nhận xét. a) Hiển nhiên supA là cận trên của A và inf A là cận dưới của
A.
b) y = supA khi và chỉ khi x 6 y ∀x ∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ A sao
cho y − ε < xϵ.
y = inf A khi và chỉ khi x > y ∀x ∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ A sao cho
xϵ < y + ε.
c) − supA = inf(−A), − inf A = sup(−A).
1.3.5 Ví dụ. 1) Cho A = 1− x2 : x ∈ R. Ta thấy 2 và 3 đều là cận trên của A.
Tuy nhiên cận trên đúng của A là 1. Thật vậy, rõ ràng 1 là cận trên của A. Ta cần
chứng minh 1 là cận trên nhỏ nhất. Giả sử a < 1. Lấy 0 < x <√1− a. Ta có
1− x2 > a
5 Giáo trình Giải tích
hay a không là cận trên của A. Do đó 1 là cận trên nhỏ nhất. Vậy supA = 1.
Tương tự ta chứng minh được B = 1 − x2 : x ∈ R, x = 0 cũng có cận trên
đúng là 1. Điều này chứng tỏ cận trên đúng có thể không phải là giá trị lớn nhất.
2) Cho A = 1n: n = 1, 2, ...
. Khi đó supA = 1 và inf A = 0.
Rõ ràng supA = 1. Ta chỉ ra inf A = 0. Thật vậy, vì x =1
n> 0 với mọi
n = 1, 2, ..., nên 0 là cận dưới của A. Với mọi ε > 0 nếu chọn
n0 =[1ε
]+ 1 ∈ N
trong đó [x] ký hiệu là phần nguyên của số thực x thì xε =1
n0
∈ A và xε < ε. Vậy
inf A = 0.
Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện để một tập là có cận trên đúng hoặc cận
dưới đúng. Chứng minh định lý này có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2],
[3], [5] của chương 1.
1.3.6 Định lý. (Nguyên lý supremum) Cho A ⊆ R và A = ϕ.
1) Nếu A bị chặn trên thì A có cận trên đúng.
2) Nếu A bị chặn dưới thì A có cận dưới đúng.
1.3.7 Định nghĩa. Cho a, b ∈ R với a 6 b. Đặt
[a, b] = x ∈ R : a 6 x 6 b; [a, b) = x ∈ R : a 6 x < b;
(a, b] = x ∈ R : a < x 6 b; (a, b) = x ∈ R : a < x < b.
Tập thứ nhất được gọi là đoạn, tập thứ hai và thứ ba gọi là nửa đoạn, tập cuối gọi
là khoảng với hai đầu mút là a và b.
Giả sử a ∈ R và δ > 0. Khoảng (a − δ, a + δ) được gọi là δ-lân cận bán kính δ
của a.
1.3.8 Định lý. (Bổ đề các đoạn lồng nhau) Nếu [an, bn] là dãy các đoạn lồng
nhau giảm dần, tức là
[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ ... ⊃ [an, bn] ⊃ ...
thì∞∩n=1
[an, bn] = ϕ.
6 Giáo trình Giải tích
1.3.9 Định lý. Nếu α và β là hai số thực và α < β thì tồn tại số hữu tỷ r sao cho
α < r < β.
1.3.10 Chú ý. 1) Định lý 1.3.9 nói lên tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập
các số thực và cho thấy rằng giữa hai số thực có vô số số hữu tỷ nằm giữa chúng.
2) Muốn tìm hiểu chứng minh Định lý 1.3.9 chúng ta có thể xem trong các tài
liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
1.3.11 Định nghĩa. Nếu A ⊆ R, A = ϕ không bị chặn trên hoặc +∞ ∈ A thì ta
coi supA = +∞.
Cũng như vậy nếu A ⊆ R, A = ϕ không bị chặn dưới hoặc −∞ ∈ A thì ta coi
inf A = −∞.
2 Giới hạn của dãy số
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số hội tụ
2.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp tuỳ ý. Một ánh xạ u : N∗ → X được
gọi là một dãy trong X.
Nếu X = R thì dãy trong R gọi là dãy số. Bằng cách đặt un = u(n), n ∈ N∗,
dãy u có thể viết là
u1, u2, ..., un, ... hay viết gọn un∞n=1 hoặc un.
Một phần tử của dãy được gọi là số hạng của dãy. Phần tử un được gọi là số hạng
thứ n của dãy.
Dãy được gọi là vô hạn nếu u(N∗) là tập vô hạn. Nói chung ta thường xét dãy
là vô hạn. Khi un = um với mọi n = m dãy un được gọi là dãy phân biệt.
2.1.2 Ví dụ. 1) Ánh xạ u : N∗ → R xác định bởi u(n) =n
1 + n2với mọi n ∈ N∗
là một dãy số. Dãy này là vô hạn. Ta còn viết dãy này là n
1 + n2
∞
n=1.
2) Ánh xạ u : N∗ → R xác định bởi u(n) = (−1)n với mọi n ∈ N∗ là một dãy
số. Dãy này chỉ gồm hai phần tử là ±1.
7 Giáo trình Giải tích
Về sau người ta còn cho một dãy số bởi công thức xác định số hạng tổng quát
của nó là un = u(n), n = 1, 2, ... Chẳng hạn, cho dãy số un =n
1 + n2, n = 1, 2, ...
Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm quan trọng nhất liên quan đến dãy số là
khái niệm giới hạn dãy số.
2.1.3 Định nghĩa. Cho dãy số un ⊂ R. Nếu tồn tại a ∈ R sao cho
∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∀n > n0 : |un − a| < ε
thì ta nói a là giới hạn của dãy un và un gọi là hội tụ tới a. Lúc đó, ta viết
a = limn→∞
un hay un → a khi n→ ∞.
Một dãy có giới hạn trong R được gọi là dãy hội tụ. Các trường hợp còn lại gọi là
dãy phân kỳ.
2.1.4 Ví dụ. 1) Dãy 1n
hội tụ đến 0 , bởi vì với mọi ε > 0 nếu ta lấy n0 =
[1ε
],
thì với mọi n > n0 =[1ε
]ta sẽ có
1
n< ε, trong đó
[1ε
]là phần nguyên của
1
ε.
2) Dãyn+ 1
n− 1
hội tụ tới 1. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có
∣∣∣n+ 1
n− 1− 1∣∣∣ = 2
n− 1< ε
với mọi n > n0 =[2ε
]+ 1.
2.1.5 Định lý. Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng nếu |a1 − a2| < ε với mọi ε > 0 thì a1 = a2.
Thật vậy, giả sử a1 = a2. Khi đó nếu lấy ε =|a1 − a2|
2> 0 thì |a1 − a2| > ε. Điều
này mâu thuẫn với |a1 − a2| < ε với mọi ε. Vậy a1 = a2.
Bây giờ, nếu un có giới hạn là a1 và a2. Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.3, với
ε > 0 bé tùy ý
∃n1, ∀n > n1 : |un − a1| <ε
2
∃n2, ∀n > n2 : |un − a2| <ε
2.
8 Giáo trình Giải tích
Khi đó, với n0 > maxn1, n2 ta có
|a1 − a2| 6 |a1 − un0 |+ |un0 − a2| <ε
2+ε
2= ε.
Từ chứng minh trên ta suy ra a1 = a2.
2.1.6 Định nghĩa. Dãy số un ⊂ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M ∈ R
sao cho
un 6M, ∀n > 1.
Dãy un ⊂ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m ∈ R sao cho
un > m, ∀n > 1.
Dãyun vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn. Như vậy dãy unbị chặn khi và chỉ khi
supn>1
|un| <∞.
2.1.7 Ví dụ. 1) Dãy 1n
bị chặn vì 0 <
1
n6 1, với mọi n ≥ 1.
2) Dãy (−1)n bị chặn vì |(−1)n| = 1 với mọi n ≥ 1.
3) Dãy (−1)nn không bị chặn trên vì với mọi M ∈ R đều tồn n sao cho
(−1)nn > M. Tương tự dãy này cũng không bị chặn dưới.
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.
2.1.8 Định lý. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Chứng minh. Giả sử limn→∞
un = a ∈ R. Khi đó từ Định nghĩa 2.1.3 tồn tại n0 sao
cho
|un − a| < 1 ∀n > n0.
Đặt M = max|u1|, |u2|, ..., |un0 |, |a| + 1. Ta nhận được |un| 6 M ∀n > 1. Vậy
un là dãy bị chặn.
2.1.9 Chú ý. Điều ngược lại của định lý nói chung không đúng. Dãy (−1)n bị
chặn nhưng không hội tụ.
2.1.10 Định nghĩa. Cho hai dãy số un và vn. Khi đó các dãy un + vn,
un−vn, unvn vàun
vn, (vn = 0) lần lượt được gọi là dãy tổng, hiệu, tích và thương
của hai dãy trên.
9 Giáo trình Giải tích
Định lý sau nói về các phép toán của dãy hội tụ. Bạn đọc có thể xem chứng
minh trong tài liệu tham khảo [2], [3].
2.1.11 Định lý. Giả sử un và vn là các dãy hội tụ. Khi đó các dãy tổng, hiệu
và tích của chúng cũng hội tụ và
limn→∞
(un + vn) = limn→∞
un + limn→∞
vn;
limn→∞
(un − vn) = limn→∞
un − limn→∞
vn;
limn→∞
(unvn) = limn→∞
un. limn→∞
vn.
Nếu limn→∞
vn = 0 thì
limn→∞
un
vn=
limn→∞
un
limn→∞
vn.
Từ Định nghĩa 2.1.3 và bất đẳng thức∣∣|x| − |y|∣∣ 6 |x− y|, ∀x, y ∈ R
ta có ngay định lý sau.
2.1.12 Định lý. Nếu limn→∞
un = a thì limn→∞
|un| = |a|.
2.1.13 Chú ý. 1) Chiều ngược lại của định lý là không đúng. Chẳng hạn limn→∞
|(−1)n| =1 nhưng không tồn tại lim
n→∞(−1)n.
2) Nếu a = 0 thì chiều ngược lại của định lý vẫn đúng, tức là limn→∞
un = 0 khi và
chỉ khi limn→∞
|un| = 0.
Các định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của dãy số hội tụ. Bạn đọc có
thể xem chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
2.1.14 Định lý. Cho un là dãy hội tụ.
1) Nếu un > α với mọi n đủ lớn, tức là tồn tại n0 ∈ N sao cho un > α với mọi
n > n0 thì limn→∞
un > α. Ngược lại, nếu limn→∞
un > α thì un > α với mọi n đủ lớn.
2) Nếu un 6 β với mọi n đủ lớn thì limn→∞
un 6 β. Ngược lại, nếu limn→∞
un < β thì
un > β với mọi n đủ lớn.
2.1.15 Định lý. (Nguyên lý kẹp) Cho un, vn là hai dãy số hội tụ, limn→∞
un =
limn→∞
vn = a và dãy số wn. Nếu khi n đủ lớn ta có un 6 wn 6 vn thì wn hội tụ
và limn→∞
wn = a.
10 Giáo trình Giải tích
Định lý trên có nhiều ứng dụng trong việc tìm giới hạn của dãy số.
2.1.16 Ví dụ. 1) Tìm giới hạn limn→∞
sinn
n.
Ta có
− 1
n6 sinn
n6 1
n∀n = 1, 2, ...
và
limn→∞
(− 1
n
)= lim
n→∞
1
n= 0.
Do đó limn→∞
sinn
n= 0
2) Tìm giới hạn limn→∞
(1
√n2 + 1
+1
√n2 + 2
+ ...+1
√n2 + n
).
Ta có
n√n2 + n
<1
√n2 + 1
+1
√n2 + 2
+ ...+1
√n2 + n
<n
√n2 + 1
∀n
và
limn→∞
n√n2 + n
= limn→∞
n√n2 + 1
= 1.
Vậy
limn→∞
(1
√n2 + 1
+1
√n2 + 2
+ ...+1
√n2 + n
)= 1.
2.2 Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu, số e
Trong mục này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy đơn điệu.
2.2.1 Định nghĩa. Dãy số un được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng, tăng ngặt)
nếu
un 6 un+1 (tương ứng, un < un+1) ∀n > 1.
Dãy số un được gọi là đơn điệu giảm (tương ứng, giảm ngặt) nếu
un > un+1 (tương ứng, un > un+1) ∀n > 1.
Dãy đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Định lý sau đưa ra điều kiện đủ để dãy đơn điệu là hội tụ.
11 Giáo trình Giải tích
2.2.2 Định lý. 1) Nếu dãy un đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
limn→∞
un = supnun.
2) Nếu dãy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và
limn→∞
un = infnun.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
2.2.3 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của dãy số un,
un = 1 +1
4+
1
9+ ...+
1
n2, n = 1, 2, ...
Vì
un+1 − un =1
(n+ 1)2> 0 ∀n
nên dãy un đơn điệu tăng. Mặt khác
un = 1 +1
4+
1
9+ ...+
1
n2
< 1 +1
1.2+
1
2.3+ ....+
1
(n− 1)n
= 1 + 1− 1
2+
1
2− 1
3+ ...+
1
n− 1− 1
n
= 2− 1
n< 2 ∀n.
nên dãy un bị chặn trên. Do đó dãy un hội tụ.
2.2.4 Ví dụ. Số e. Xét dãy số un =(1 +
1
n
)n.
Ta chứng minh un là dãy tăng. Xét n+ 1 số dương
x1 = 1, x2 = x3 = .... = xn+1 = 1 +1
n.
Theo bất đẳng thức Cauchy
x1 + x2 + ...+ xn+1
n+ 1> n+1
√x1.x2....xn.xn+1.
⇔1 + n
(1 + 1
n
)n+ 1
> n+1
√(1 +
1
n)n ⇔
(1 +
1
n+ 1
)n+1
>(1 +
1
n
)n, ∀n.
Vậy un+1 > un ∀n hay un là dãy tăng.
12 Giáo trình Giải tích
Tiếp theo ta chứng minh un bị chặn trên. Dùng khai triển nhị thức Newton
ta có (1 +
1
n
)n= 1 +
n
1!
1
n+n(n− 1)
2!
1
n2+ ...+
n(n− 1)...2.1
n!
1
nn.
Vìn(n− 1)...(n− k + 1)
k!
1
nk<
1
k!<
1
2k−1∀k > 2
nên (1 +
1
n
)n= 1 +
n
1!
1
n+
(n(n− 1)
2!
1
n2+ ...+
n(n− 1)...2.1
n!
1
nn
< 1 + 1 +1
2+
1
22+ ...+
1
2n−1
= 1 +1−
1
2n
1−1
2
< 3 ∀n.
Vậy(
1 +1
n
)nlà một dãy tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Ta đặt
e = limn→∞
(1 +
1
n
)n.
Người ta chứng minh được số e là số vô tỷ và tính được giá trị gần đúng của nó:
e ≈ 2, 718281...
2.3 Tiêu chuẩn Cauchy
Trong mục này chúng ta trình bày nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của dãy số.
2.3.1 Định nghĩa. Dãy số un được gọi là dãy cơ bản (hay là dãy Cauchy) nếu
với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho
|un − um| < ε ∀m,n > n0.
Hay một cách tương đương với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho
|un+p − un| < ε ∀n > n0, ∀p ∈ N.
Định lý sau là nguyên lý Cauchy về tính đầy đủ của R.
2.3.2 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi dãy số đó là
dãy cơ bản.
13 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
2.3.3 Ví dụ. 1) Khảo sát sự hội tụ của dãy
un = 1 +1
2+ ...+
1
n, n = 1, 2, ...
Ta có
a2n − an =1
n+ 1+
1
n+ 2+ ...+
1
2n>
1
2n+
1
2n+ ...+
1
2n=
1
2∀n.
Do đó dãy này không phải là dãy Cauchy. Theo Định lý 2.3.2 nó là dãy phân kỳ.
2) Khảo sát sự hội tụ của dãy un =cos 1
1!+
cos 2
2!+ ...+
cosn
n!, n = 1, 2, ....
Ta có
|un+p − un| =∣∣∣ cos(n+ 1)
(n+ 1)!+
cos(n+ 2)
(n+ 2)!+ ...+
cos(n+ p)
(n+ p)!
∣∣∣6∣∣∣ cos(n+ 1)
(n+ 1)!
∣∣∣+ ∣∣∣ cos(n+ 2)
(n+ 2)!
∣∣∣+ ...+∣∣∣ cos(n+ p)
(n+ p)!
∣∣∣<
1
(n+ 1)!+
1
(n+ 2)!+ ...+
1
(n+ p)!
<1
2n+
1
2n+1+ ...+
1
2n+p=
1
2n
(1 +
1
2+ ..+
1
2p
)
=1
2n
1−1
2p+1
1−1
2
<1
2n−1∀n, ∀p ∈ N.
Do đó với mọi ε > 0 ta có
|un+p − un| <1
2n−1< ε
với mọi n > n0 = 1+[log2
1
ε
]và p ∈ N. Vậy un là dãy Cauchy và do đó un hội
tụ.
Trong phần tiếp theo của mục này chúng tôi giới thiệu một số nguyễn lý khác
về sự hội tụ của dãy số.
2.3.4 Định nghĩa. Cho X ⊂ R, X = ϕ là một tập hợp tuỳ ý và dãy un∞n=1 ⊂ X.
Nếu n1 < n2 < ... < nk < ... là một dãy tăng ngặt các số tự nhiên thì dãy
un1 , un2 , ..., unk, ... gọi là dãy con của dãy un∞n=1.
14 Giáo trình Giải tích
Mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa sự hội tụ của dãy và các dãy con của nó
mà chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].
2.3.5 Định lý. Nếu dãy un hội tụ và limn→∞
un = a thì mọi dãy con unk của nó
cũng hội tụ và limk→∞
unk= a.
Tiếp theo, chúng ta trình bày nguyên lý Bolzano-Weierstrass mà người ta còn
gọi là nguyên lý compact địa phương.
2.3.6 Định lý. (Nguyên lý Bolzano-Weierstrass). Mỗi dãy bị chặn trong R có một
dãy con hội tụ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
2.3.7 Định nghĩa. Dãy các đoạn [an, bn] trong R được gọi là dãy các đoạn thắt
nếu [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] với mọi n > 1 và limn→∞
(bn − an) = 0.
Định lý sau là nguyên lý Cantor cho dãy các đoạn thắt trong R.
2.3.8 Định lý. Nếu [an, bn] là dãy các đoạn thắt trong R thì chúng có một điểm
chung duy nhất.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
Trong phần cuối của mục này chúng tôi trình bày về giới hạn trên, giới hạn
dưới và một số tính chất cơ bản của chúng. Trước hết, ta định nghĩa khái niệm giới
hạn riêng của dãy.
2.3.9 Định nghĩa. Cho dãy số un. Nếu có một dãy conunk của un hôi tụ
và limk→∞
unk= a thì a được gọi là giới hạn riêng của un.
2.3.10 Nhận xét. 1) Một dãy số có thể có nhiều giới hạn riêng khác nhau. Chẳng
hạn dãy số un = (−1)n có các giới hạn riêng là −1 và 1.
2) Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, mọi dãy số bị chặn un tồn tại ít nhất
một giới hạn riêng.
2.3.11 Định lý. Mỗi dãy bị chặn luôn có giới hạn riêng lớn nhất và giới hạn riêng
nhỏ nhất.
15 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],
[3].
Từ định lý này ta có định nghĩa sau.
2.3.12 Định nghĩa. Cho un là một dãy số bị chặn. Giới hạn riêng lớn nhất của
un được gọi là giới hạn trên của nó và ký hiệu limn→∞
un.
Giới hạn riêng bé nhất của un được gọi là giới hạn dưới của nó và ký hiệu
limn→∞
un.
2.3.13 Ví dụ. Xét dãy un =(−1)nn
2n+ 1, n = 1, 2, .... Ta có dãy con
u2n =2n
4n+ 1→ 1
2khi n→ ∞
và
u2n+1 =−(2n+ 1)
4n+ 3→ −1
2khi n→ ∞.
Vậy −1
2và
1
2là các giới hạn riêng của un. Mặt khác
|un| =∣∣∣(−1)nn
2n+ 1
∣∣∣ < 1
2∀n.
Suy ra limn→∞
un =1
2và lim
n→∞un = −
1
2.
Từ định nghĩa giới hạn trên, giới hạn dưới và các tính chất của cận trên đúng
và cận dưới đúng ta có định lý sau. Chứng minh của nó dành cho bạn đọc.
2.3.14 Định lý. Cho un và vn là các dãy số bị chặn. Khi đó
1) limn→∞
(un + vn) 6 limn→∞
un + limn→∞
vn.
2) limn→∞
(un + vn) > limn→∞
un + limn→∞
vn
3) − limn→∞
un = limn→∞
(−un).
Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một dãy số hội tụ.
2.3.15 Định lý. Điều kiện cần và đủ để dãy số hội tụ là giới hạn trên và giới hạn
dưới của nó tồn tại và bằng nhau.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.
16 Giáo trình Giải tích
2.3.16 Chú ý. Nếu dãy un không bị chặn trên thì ta đặt limn→∞
un = +∞.
Nếu dãy un không bị chặn dưới thì ta đặt limn→∞
un = −∞.
2.4 Giới hạn vô hạn
Trong các mục trước, ta xét giới hạn hữu hạn của các dãy số. Tuy nhiên
đường thẳng thực R có hai hướng xác định vì vậy ta có thể xét giới hạn theo hai
hướng này.
2.4.1 Định nghĩa. Cho dãy số un. Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n0 ∈ N sao
cho an > M với mọi n > n0 thì ta nói dãy un có giới hạn là dương vô cùng và ký
hiệu limn→∞
un = +∞.
Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho an < −M với mọi n > n0 thì ta
nói dãy un có giới hạn là âm vô cùng và ký hiệu limn→∞
un = −∞.
2.4.2 Nhận xét. 1) Nếu limn→∞
un = −∞ hoặc limn→∞
un = +∞ thì dãy un là phân
kỳ.
2) Nếu dãy un không bị chặn trên thì tồn tại một dãy con unk của nó có
giới hạn là dương vô cùng. Vì vậy dãy không bị chặn trên có thể xem có giới hạn
riêng là +∞.
Tương tự, dãy không bị chặn dưới xem là có giới hạn riêng là −∞.
3) Ta dễ dàng chứng minh được nếu dãy un đơn điệu tăng và không bị chặn
trên thì limn→∞
un = +∞. Và nếu dãy un đơn điệu giảm và không bị chặn dưới thì
limn→∞
un = −∞.
2.4.3 Chú ý. Nếu dãy un không bị chặn trên thì chưa thể kết luận limn→∞
un = +∞.
Chẳng hạn, dãy un = (−1)nn không bị chặn trên bởi vì với mọi M > 0 tồn tại
n = 2k sao cho u2k = 2k > M. Tuy nhiên, từ u2k+1 = −(2k + 1) < 0 với mọi k suy
ra limn→∞
un = +∞.
Tương tự dãy không bị chặn dưới thì chưa kết luận được
limn→∞
un = −∞.
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 1
17 Giáo trình Giải tích
Câu hỏi thảo luận
1. Ôn tập các tính chất của phép toán trong tập số thực. Thực hiện các phép toán
trên tập số thực mở rộng. Ôn tập về cấu trúc thứ tự (bất đẳng thức) và giá trị
tuyệt đối trong tập số thực.
2. Phân biệt giữa giá trị bé nhất với cận dưới đúng, giá trị lớn nhất với cận trên
đúng. Thực hành tìm cận trên đúng, và cận dưới đúng của các tập hợp.
3. Nghiên cứu mối liên hệ của sự hội tụ của dãy số và sự hội của các dãy con của
nó. Mối liên hệ giữa tính hội tụ và bị chặn của dãy số. Tìm hiểu các tính chất
của dãy hội tụ.
4. Tìm hiểu các khái niệm về dãy đơn điệu tăng, giảm và dấu hiệu hội tụ của các
lớp dãy này; áp dụng vào khảo sát sự hội tụ của dãy.
5. Tìm hiểu các nguyên lý về dãy số thực.
6. Mối liên hệ giữa tính không bị chặn và giới hạn bằng ±∞ của một dãy số.
7. Giải các bài tập cuối chương.
Một số giới hạn đặc biệt
1) limn→+∞
qn = 0 nếu |q| < 1.
2) limn→∞
nk
an= 0, với (a > 1).
3) limn→∞
n√a = 1, với (a > 0).
4) limn→∞
an
n!= 0, với (a > 0).
5) limn→∞
n√n = 1.
Bài tập Chương 1
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1) limn→∞
(1
2+
3
22+
5
23+ · · ·+
2n− 1
2n
).
2) limn→∞
( 1
2.1+
1
2.3+ ...+
1
n(n+ 1)
).
18 Giáo trình Giải tích
3) limn→∞
√2. 4√2. 8√2 . . . 2n
√2.
4) limn→∞
√n(√n+ 1−
√n).
5) limn→∞
√n2 + n+ 1− 2
√n2 − n+ 1
n.
6) limn→∞
(√n+ 1−
√n)
Bài 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát an sau đây là phân
kỳ.
1) an = (−1)n.
2) an = 1 +1
2+
1
3+ ...+
1
n
3) an =1
ln 2+
1
ln 3+ ...+
1
lnn.
4) an = 1 +13√2+
13√3+ · · ·+
13√n.
5) an =n+ (−1)nn
n+ 2.
Bài 3. Dùng tiêu chuẩn Cauchy khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của các dãy sau:
1) xn = 1 +1
2+
1
4+ ...+
1
2n.
2) xn =
√2 +
√2 +
√2 + ....+
√2 (n dấu căn).
3) xn =sin 1
2+
sin 2
22+ ...+
sinn
2n.
4) xn = 1 +1
22+
1
32+ ...+
1
n2.
5) xn =1
√1.2
+1
√2.3
+ ...+1√
n(n+ 1).
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 1
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
19 Giáo trình Giải tích
Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
CHƯƠNG 2
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN
TỤC
II.1. GIỚI THIỆU
Hàm số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số là các khái niệm cơ bản của
giải tích toán học. Việc nắm vững khái niệm hàm số, các tính chất của chúng, giúp
cho người học tiếp thu tốt các khái niệm và tính chất của giới hạn hàm và tính liên
tục của các hàm số để từ đó tiếp cận được với các kiến thức về phép tính vi phân,
phép tính tích phân,...
II.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của hàm số, giới hạn hàm, hàm số
liên tục.
II.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Phát biểu được các định nghĩa về hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm hợp,
hàm ngược, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm số sơ cấp.
2. Trình bày được các định nghĩa về giới hạn hàm số, giới hạn trái, giới hạn
phải và biết vận dụng để tính giới hạn hàm số. Nắm được và biết vận dụng điều
kiện cần và đủ để hàm số có giới hạn tại 1 điểm.
3. Trình bày được các tính chất cơ bản của giới hạn hàm và biết vận dụng để
tính giới hạn.
4. Trình bày được định nghĩa, các tính chất cơ bản của vô cùng bé, vô cùng
lớn và biết sử dụng các tính chất này để tính giới hạn.
5. Phát biểu được các định nghĩa: hàm liên tục tại một điểm, liên tục trái, liên
tục phi, liên tục trên một tập, liên tục trên 1 đoạn và biết vận dụng để xét tính liên
20
21 Giáo trình Giải tích
tục của hàm số.
6. Trình bày được các tính chất đơn giản của hàm số liên tục tại một điểm,
liên tục trên một đoạn và biết vận dụng để xét tính liên tục của hàm số và một số
bài tập liên quan trực tiếp.
II.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
1 Hàm số và giới hạn của hàm số
1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số
1.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊂ R. Ta gọi một ánh xạ f : X → R là một hàm số.
Tập X được gọi là tập xác định của hàm f , tập Y = f(x) :∈ X := f(X) được gọi
là tập giá trị của hàm f . Lúc đó ta ký hiệu
y = f(x), x ∈ X. (2.1)
Đẳng thức (2.1) cho phép ta xác định giá trị của hàm số f tại điểm x ∈ X. Khi đó
x được gọi là biến số và y được gọi là giá trị của hàm số tại x. Nếu f(X) chỉ có một
giá trị thì ta nói f là hàm hằng trên X.
Tập Gf = (x, f(x)
): x ∈ X ⊂ R2 được gọi là đồ thị của hàm số f .
1.1.2 Ví dụ. 1) Ánh xạ f : R → R cho bởi công thức y = f(x) = x2 + 1 là một
hàm số. Tập xác định của f là X = R và tập giá trị là Y = [1,+∞).
2) Công thức
y = f(x) =x|x|2
=
x2
2nếu x > 0
− x2
2nếu x < 0.
cho ta một hàm số xác định trên R.
3) Hàm số
sign(x) =
1 nếu x > 0
0 nếu x = 0
-1 nếu x < 0.
được gọi là hàm dấu.
22 Giáo trình Giải tích
1.1.3 Định nghĩa. Hai hàm số f và g được gọi là bằng nhau trên tập G ⊂ R nếu
các điều kiện sau được thoả mãn
1) f và g cùng xác định trên G.
2) f(x) = g(x) với mọi x ∈ G.
Khi đó ta ký hiệu f = g trên G.
1.1.4 Ví dụ. Cho các hàm số
f(x) =
x2 − 4
x− 2nếu x = 2
a nếu x = 2
(a là hằng số cho trước) và
g(x) = x+ 2.
Khi đó f và g cùng xác định trên R. Rõ ràng f = g trên R khi và chỉ khi a = 4.
1.1.5 Định nghĩa. Hàm số f được gọi là lớn hơn hàm g trên tập G ⊂ R và viết
f > g trên G nếu các điều kiện sau đồng thời được thoả mãn
1) f và g cùng xác định trên G.
2) f(x) > g(x) với mọi x ∈ G.
1.1.6 Ví dụ. Cho các hàm số f(x) = x2 + 2x+ 2 và g(x) = 2x+ 1. Khi đó f lớn
hơn g trên R.
Giả sử f và g lần lượt là các hàm số xác định trên các tập D1 và D2. Giả sử
D = D1 ∩D2 = ϕ. Ta định nghĩa các phép toán của f và g như sau
1.1.7 Định nghĩa. 1) Hàm h được gọi là tổng của f và g nếu h(x) = f(x) +
g(x), ∀x ∈ D.
2) Hàm h được gọi là hiệu của f và g nếu h(x) = f(x)− g(x), ∀x ∈ D.
3) Hàm h được gọi là tích của f và g nếu h(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ D.
4) Hàm h được gọi là thương của f và g nếu g(x) = 0 ∀x ∈ D và h(x) =
f(x)
g(x), ∀x ∈ D.
Định nghĩa tiếp theo đưa ra khái niệm về hàm đơn điệu
23 Giáo trình Giải tích
1.1.8 Định nghĩa. 1) Hàm số f được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng, đơn điệu
giảm) trên tập G ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ G sao cho x1 < x2 thì f(x1) 6 f(x2)
(tương ứng, f(x1) > f(x2)).
2) Hàm số f được gọi là đơn điệu tăng ngặt (tương ứng, đơn điệu giảm ngặt)
trên tập G ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ G sao cho x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) (tương
ứng, f(x1) > f(x2)).
3) Hàm số đơn điệu tăng (ngặt) hoặc đơn điệu giảm (ngặt) được gọi chung là
hàm số đơn điệu (ngặt).
1.1.9 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = x + 1 tăng ngặt trên R. Hàm số g(x) = x2 tăng
ngặt trên [0,+∞), giảm ngặt trên (−∞, 0]. Hàm số Dirichlet
D(x) =
0 nếu x ∈ Q
1 nếu x /∈ Q
là hàm không tăng và không giảm trên R.
2) Hàm số
h(x) =
x+ 1 nếu x 6 0
1 nếu 0 < x 6 2
x− 1 nếu x > 2
là hàm đơn điệu tăng trên R, nhưng không tăng ngặt trên R.
1.1.10 Định nghĩa. 1) Hàm số f được gọi là bị chặn trên trên tập D ⊂ R nếu
tồn tại số M sao cho f(x) 6M, với mọi x ∈ D.
2) Hàm số f được gọi là bị chặn dưới trên tập D ⊂ R nếu tồn tại số m sao cho
f(x) > m, với mọi x ∈ D.
3) Hàm số f được gọi là bị chặn trên tập D ⊂ R nếu nó đồng thời bị chặn trên
và bị chặn dưới trên D.
Ta dễ dàng suy ra f bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại M > 0 sao cho
|f(x)| 6M, ∀x ∈ D.
1.1.11 Ví dụ. 1) Các hàm số f(x) = sinx, f(x) = cosx bị chặn trên R.
2 ) Hàm số f(x) =1
xbị chặn dưới trên (0,+∞), nhưng không bị chặn trên trên
khoảng này.
24 Giáo trình Giải tích
1.2 Một số loại hàm số đặc biệt
1.2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f có tập xác định là Df .
1) Hàm số f được gọi là hàm chẵn nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f(x) = f(−x),với mọi x ∈ Df .
2) Hàm số được gọi là hàm lẻ nếu x ∈ Df thì −x ∈ Df và f(−x) = −f(x), với
mọi x ∈ Df .
3) Hàm số được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nếu với mọi x ∈ Df mà
x+ T ∈ Df thì f(x) = f(x+ T ), với mọi x ∈ Df .
1.2.2 Ví dụ. 1) Các hàm f(x) = sin x, f(x) = x3 và f(x) =1
xlà hàm số lẻ trên
tập xác định của nó.
2) Các hàm f(x) = cosx, f(x) = sin2 x là hàm chẵn trên tập xác định của nó.
3) Hàm y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos 4x tuần hoàn với chu
kỳπ
4trên R.
1.2.3 Nhận xét. 1) Cho hàm số f với đồ thị Gf . Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị
Gf đối xứng qua trục Oy trong hệ toạ độ Descartes. Nếu f là hàm số lẻ thì đồ thị
Gf đối xứng qua gốc toạ độ. Như vậy việc khảo sát hàm số chẵn, hoặc lẻ ta chỉ cần
khảo sát trên tập x > 0 ∩Df .
2) Từ định nghĩa suy ra rằng để khảo sát hàm tuần hoàn chỉ cần khảo sát trong
một chu kỳ của nó.
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm hàm số hợp và hàm số ngược.
1.2.4 Định nghĩa. Cho X,Y và Z là các tập con của R và các hàm số
f : X → Y, g : Y → Z.
Khi đó ánh xạ F : X → Z được xác định bởi
F (x) = g(f(x)), ∀x ∈ X
được gọi là hàm số hợp của g và f . Ký hiệu F = g f .
1.2.5 Ví dụ. Cho các hàm số f(x) = 2x2 +1 và g(x) = cos x. Khi đó hàm số hợp
của g và f là
F (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = cos(2x2 + 1), ∀x ∈ R.
25 Giáo trình Giải tích
1.2.6 Định nghĩa. Cho f là một hàm số xác định trên tập X và có tập giá trị
là Y = f(X). Giả sử f là một song ánh. Khi đó ánh xạ ngược f−1 : Y → X của f
được gọi là hàm số ngược của hàm số f .
Từ định nghĩa trên suy ra nếu f−1 là hàm số ngược của f thì f cũng là hàm số
ngược của f−1. Hàm số ngược của f : X → Y tồn tại khi và chỉ khi f là một song
ánh. Hơn nữa (f−1 f
)(x) = x, ∀x ∈ X;
(f f−1
)(y) = y, ∀ ∈ Y.
Như vậy nếu f có hàm số ngược và M(x, y) thuộc vào đồ thị của của hàm f thì
M ′(y, x) sẽ thuộc vào đồ thị của f−1. Mặt khác như chúng ta đã biết ở chương trình
phổ thông là trong mặt phẳng R2 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc thì các
điểm M và M ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Do đó đồ thị của f và f−1
đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
1.2.7 Ví dụ. 1) Cho a > 0 và a = 1. Khi đó hàm số y = loga x là hàm số ngược
của hàm số mũ y = ax.
2) Hàm số y = 3√x là hàm số ngược của hàm số y = x3.
3) Hàm số y = x2 không có hàm số ngược trên R bởi vì nó không phải là một
song ánh từ R vào tập giá trị của nó là [0,+∞). Tuy nhiên nếu chỉ xét nó trên
[0,+∞) thì nó có hàm ngược là y =√x.
1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp
Trong mục này chúng ta trình bày các hàm số sơ cấp thường gặp trong giải
tích.
1.3.1 Hàm luỹ thừa. Cho α là một số thực khác không. Hàm số f : R+ → R+
xác định bởi f(x) = xα được gọi là hàm luỹ thừa. Hàm này có hàm ngược f−1 :
R+ → R+ xác định bởi f−1(x) = x1α . Khi đó f−1 cũng là hàm luỹ thừa.
Trong một số trường hợp đặc biệt của số mũ α người ta có thể mở rộng tập xác
định của nó. Tuy nhiên xác định sự tồn tại các hàm ngược của chúng là cần phải
lưu ý. Chẳng hạn:
Nếu α = n ∈ N là số tự nhiên thì f(x) = xn xác định trên R. Tuy nhiên nếu n
chẵn thì nó không có hàm ngược trên R.
26 Giáo trình Giải tích
y
xO
y =√x
y = x2
Nếu α = n là số nguyên âm thì f(x) = xn xác định trên R \ 0. Chẳng hạn
f(x) = x−3 =1
x3.
Giả sử α =m
nlà số hữu tỷ. Khi đó vì n > 0, nên hàm f(x) = x
mn còn được viết
dưới dạng
f(x) = n√xm.
Tập xác định của hàm này có thể mở rộng hay không là tuỳ thuộc vào tính chẵn
hay lẻ của n và dấu của m.
1.3.2 Hàm số mũ. Hàm số f : R → R+ xác định bởi f(x) = ax (a > 0, a = 1)
là hàm số mũ cơ số a. Nó là một song ánh từ R vào R+ và hàm ngược của nó như
đã biết là hàm số logarit y = loga x.
O
y = loga x
y = ax
y = x
y
x
(a > 1)
O
y = loga x
y = ax
y = x
y
x
(0 < a < 1)
27 Giáo trình Giải tích
1.3.3 Các hàm lượng giác và hàm ngược của nó. Các hàm lượng giác
sin x, cos x, tanx, cotanx chúng ta đã biết ở chương trình phổ thông. ở đây chúng
ta trình bày sơ lược cách xây dựng hàm ngược của chúng.
i) Xét hạn chế của hàm y = sin x trên [−π
2,π
2]. Khi đó, hàm
sin : [−π
2,π
2] → [−1, 1]
là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu là arcsin
arcsin : [−1, 1] → [−π
2,π
2].
Hàm y = arcsin x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là
sin(arcsinx) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và arcsin(sinx) = x, ∀x ∈ [−π
2,π
2].
y
x
π
2
−π2
−1
O 1
y = arcsinx
π
2
O−1 1
y
x
π
y = arccosx
ii) Xét hạn chế của hàm y = cos x trên [0, π]. Khi đó, hàm
cos : [0, π] → [−1, 1]
là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccos
arccos : [−1, 1] → [0, π].
28 Giáo trình Giải tích
Hàm y = arccos x thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là
cos(arccosx) = x, ∀x ∈ [−1, 1] và arccos(cosx) = x, ∀x ∈ [0, π].
iii) Xét hạn chế của hàm y = tan x trên (−π
2,π
2). Khi đó, hàm
tan : (−π
2,π
2) → R
là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu là arctan
arctan : R → (−π
2,π
2).
Từ định nghĩa dễ thấy rằng
tan(arctanx) = x, ∀x ∈ R và arctan(tanx) = x, ∀x ∈ (−π
2,π
2).
y
x
π
2
−π2
O
π
2
O
y
x
π
y = arccotanxy = arctanx
iv) Xét hạn chế của hàm y = cotan x trên (0, π). Khi đó hàm
cotan : (0, π) → R
là một song ánh. Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccotan
arccotan : R → (0, π).
29 Giáo trình Giải tích
Từ định nghĩa dễ thấy rằng
cotan(arccotanx) = x, ∀x ∈ R và arccotan(cotanx) = x, ∀x ∈ [0, π].
1.3.4 Định nghĩa. 1) Các hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm lượng giác và các hàm
ngược của chúng được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản.
2) Các hàm nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia và phép lấy hàm hợp được gọi là hàm số sơ cấp.
1.3.5 Các hàm hyperbolic. Tiếp sau đây chúng ta đến với một lớp hàm sơ cấp
còn được gọi là các hàm hyperbolic.
1) Hàm cosin hyperbolic là hàm
chx =ex + e−x
2, x ∈ R.
Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh được hàm ngược của hàm này trên R là
y = ln(x+√x2 + 1).
2) Hàm sin hyperbolic là hàm
sh x =ex − e−x
2, x ∈ R.
Hàm này có hàm ngược xác định trên [1,+∞) và nhận giá trị trên [0,+∞) là
y = ln(x+√x2 − 1).
3) Hàm tan hyperbolic là hàm
thx =shx
chx=ex − e−x
ex + e−x, x ∈ R.
4) Hàm cotan hyperbolic là hàm
cothx =chx
sh x=ex + e−x
ex − e−x, x ∈ R.
Bạn đọc tự chứng minh các tính sau của các hàm hyperbolic.
sh(x+ y) = sh x ch y + chx sh y;
ch(x+ y) = chx ch y + sh x sh y;
sh(x− y) = sh x ch y − chx sh y;
ch(x− y) = chx ch y − shx sh y;
ch2 x− sh2 x = 1; sh 2x = 2 sh x chx; ch 2x = ch2 x+ sh2 x.
30 Giáo trình Giải tích
1.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số
Trong phần này nếu không giải thích gì thêm thì các hàm sẽ được hiểu là xác
định trên X ⊂ R.
1.4.1 Định nghĩa. Giả sử a ∈ R, ε > 0. Ta gọi khoảng (a− ε, a+ ε) là ε-lân cận
của a, hay nói gọn là một lận cận của a và ký hiệu là B(a, ε). Tập U ⊂ R được gọi
là một lân cận của điểm a nếu U chứa một ε-lân cận B(a, ε) của điểm a.
Các tập x ∈ R : x > ε và x ∈ R : x < −ε lần lượt được gọi là lận cận của
+∞ và −∞.
1.4.2 Định nghĩa. ChoX ⊂ R và x0 ∈ R. Điểm x0 được gọi là điểm tụ hay là điểm
giới hạn của tập X nếu với mỗi lận cận U của điểm x0 đều có U ∩ (X \ x0) = ϕ.
Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gọi là điểm cô lập của X nếu tồn tại lận cận U
của x0 sao cho U ∩X = x0, nghĩa là x0 là điểm chung duy nhất của U và X.
1.4.3 Ví dụ. 1) Mọi điểm x0 ∈ [a, b] đều là điểm tụ của (a, b) vì với mọi ε-lân cân
(x0 − ε, x0 + ε) của x0 đều có (x0 − ε, x0 + ε) ∩((a, b) \ x0
)= ϕ.
2) Các điểm +∞ và −∞ là điểm tụ của R vì với mọi α > 0 ta có
x ∈ R : x > α ∩R = ϕ, x ∈ R : x < −α ∩R = ϕ.
3) Mọi điểm của tập số số nguyên Z đều là điểm cô lập của nó bởi vì với mỗi n ∈ Z
tồn tại lân cận U = (n−1
2, n+
1
2) là lân cận của n và Z ∩ U = n.
1.4.4 Nhận xét. Dễ dàng chứng minh được rằng, x0 là điểm tụ của X khi và chỉ
khi tồn tại một dãy xn ⊂ X sao cho xn = x0 với mọi n và xn → x0.
1.4.5 Định nghĩa. Giả sử f : X → R và x0 ∈ R là điểm tụ của X. Hàm f được
gọi là có giới hạn l ∈ R khi x tiến tới x0 và viết limx→x0
f(x) = l hay f(x) → l
khi x → x0, nếu với mọi lân cận U của l tồn tại lân cận V của x0 sao cho với mọi
x ∈ X ∩ V mà x = x0 thì f(x) ∈ U.
1.4.6 Chú ý. Sử dụng Định nghĩa 1.4.1 về lân cận ta có thể phát biểu Định nghĩa
1.4.5 dưới dạng ngôn ngữ (ε, δ), chẳng hạn xét các trường hợp sau:
1) x0 và l hữu hạn. Khi đó ta có
a) limx→x0
f(x) = l ⇔ với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà
0 < |x− x0| < δ thì ta có |f(x)− l| < ε, hay
31 Giáo trình Giải tích
b) limx→x0
f(x) = l ⇔ với mọi ε−lân cận của l đều tồn tại δ-lân cận của x0 sao
cho với mọi x ∈ X mà x ∈ X ∩ (x0 − δ, x0 + δ), x = x0 thì ta có f(x) ∈ (l− ε, l+ ε).
2) x0 hữu hạn, l = +∞. Khi đó ta có
limx→x0
f(x) = +∞ ⇔ với mọi α > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà
0 < |x− x0| < δ thì ta có f(x) > α.
3) x0 = +∞, l hữu hạn. Khi đó ta có
limx→+∞
f(x) = l ⇔ với mọi ε > 0 tồn tại α > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà x > α
thì ta có |f(x)− l| < ε.
4) x0 = −∞, l = +∞. Khi đó ta có
limx→−∞
f(x) = +∞ ⇔ với mọi α > 0 tồn tại β > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà
x < −β thì f(x) > α.
Tương tự như trên, bạn đọc có thể phát biểu định nghĩa cho các trường hợp còn
lại: x0 = +∞, l = ±∞; x0 hữu hạn, l = −∞; x0 = −∞, l = −∞; và x0 = −∞, l
hữu hạn.
1.4.7 Ví dụ. 1) Với mọi x0 ∈ R ta có limx→x0
cos x = cos x0.
Thật vậy,
| cos x− cos x0| = 2| sin x+ x02
sinx− x0
2| 6 2
∣∣ sin x− x02
∣∣.Mặt khác | sin t| 6 |t| với |t| 6
π
2. Như vậy với mọi ε > 0 nếu chọn
δ = minε,π
2
thì với mọi x mà 0 < |x− x0| < δ ta có
| cosx− cosx0| 6 |x− x0| < δ 6 ε.
Vậy limx→x0
cos x = cos x0.
2) limx→0
1
x2= +∞.
Thật vậy, với mọi α > 0 nếu chọn δ =
√1
αthì
1
x2> α với mọi 0 < |x| < δ. Do đó
limx→0
1
x2= +∞.
32 Giáo trình Giải tích
3) Dễ dàng chứng minh được limx→±∞
1
x= 0.
4) limx→1
x2 − 1
x− 1= 2.
Với mọi x = 1 ta có ∣∣∣x2 − 1
x+ 1− 2∣∣∣ = |x+ 1− 2| = |x− 1|.
Vì vậy với mọi ε > 0 nếu chọn δ = ε thì với x mà 0 < |x− 1| < δ ta có∣∣∣x2 − 1
x+ 1− 2∣∣∣ = |x− 1| < δ = ε.
Vậy limx→1
x2 − 1
x− 1= 2.
1.4.8 Nhận xét. Vì điểm tụ của một tập có thể không thuộc tập đó nên trong
Định nghĩa 1.4.5 hàm f có thể không xác định tại x0.
Các định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của giới hạn hàm mà chứng
minh của chúng bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3],
[5] của chương 2.
1.4.9 Định lý. Giới hạn của hàm số f khi x→ x0 nếu có là duy nhất.
Định lý sau đây cho chúng ta phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số thông qua
giới hạn dãy số.
1.4.10 Định lý. Điều kiện cần và đủ để limx→x0
f(x) = l là với mọi dãy xn ⊂ X
mà xn → x0 thì f(xn) → l.
1.4.11 Chú ý. Từ định lý trên suy ra rằng nếu tồn tại các dãy xn ⊂ X và
x′n ⊂ X đồng thời hội tụ về x0 sao cho f(xn) → l , f(x′n) → l′ và l = l′ thì hàm
số f không có giới hạn tại x0.
1.4.12 Ví dụ. limx→+∞
sin x là không tồn tại.
Thật vậy, xét các dãy xn = 2nπ, và x′n =π
2+2nπ, n = 1, 2, ... Rõ ràng xn → +∞
và x′n → +∞ khi n→ +∞. Tuy nhiên sinxn = 0 và sinx′n = 1 với mọi n. Điều này
dẫn tới limx→+∞
sinx là không tồn tại.
Tương tự chúng ta có thể chứng minh limx→0
sin1
xkhông tồn tại.
33 Giáo trình Giải tích
1.4.13 Định nghĩa. Cho x0 ∈ R là điểm tụ của X và l ∈ R. Hàm f được gọi là
có giới hạn trái (tương ứng giới hạn phải) là l khi x tiến tới x0 nếu với mọi lân cận
U của l đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà 0 < x0 − x < δ (tương ứng
0 < x− x0 < δ) thì f(x) ∈ U . Khi đó ta ký hiệu
limx→x−
0
f(x) = l (tương ứng limx→x+
0
f(x) = l).
1.4.14 Ví dụ. Xét hàm dấu signx. Ta có limx→0+
signx = 1 và limx→0−
signx = −1.
2) Dễ dàng chứng minh được limx→0+
1
x= +∞ và lim
x→0−
1
x= −∞.
Định lý sau được suy ra trực tiếp từ các Định nghĩa 1.4.5 và Định nghĩa 1.4.13.
1.4.15 Định lý. Điều kiện cần và đủ để limx→x0
f(x) = l là
limx→x−
0
f(x) = limx→x+
0
f(x) = l.
1.5 Các phép tính và các định lý cơ bản về giới hạn hàm
Trong mục này, giả thiết x0 ∈ R là điểm tụ của X và các hàm số xác định
trên X.
A. Các phép tính về giới hạn hàm số
Cho f, g là các hàm xác định trên X và x0 ∈ R là điểm tụ của X.
1.5.1 Định lý. Giả sử limx→x0
f(x) = a, limx→x0
g(x) = b và một trong hai số a, b là hữu
hạn. Khi đó ta có
1) limx→x0
(f(x) + g(x)
)= a+ b.
2) limx→x0
(f(x)− g(x)
)= a− b.
3) Nếu ab = 0 hoặc a, b đều hữu hạn, thì limx→x0
f(x)g(x) = ab.
4) Nếu b = 0 thì limx→x0
f(x)
g(x)=a
b.
Phần chứng minh của định lý dành cho bạn đọc.
34 Giáo trình Giải tích
1.5.2 Chú ý. 1) Các kết quả trong định lý trên không thay đổi nếu ta thay giới
hạn bởi giới hạn một phía.
2) Trong trường hợp cả a, b đều vô hạn ta chỉ xét cho một số trường hợp đặc
biệt sau:
i) Nếu limx→x0
f(x) = +∞, limx→x0
g(x) = +∞, thì limx→x0
[f(x) + g(x)] = +∞.
ii) Nếu limx→x0
f(x) = −∞, limx→x0
g(x) = −∞, thì limx→x0
[f(x) + g(x)] = −∞.
iii) Nếu limx→x0
f(x) = +∞ (tương ứng −∞), limx→x0
g(x) = +∞ (tương ứng −∞)
thì limx→x0
f(x)g(x) = +∞.
3) Các trường hợp còn lại nói chung giới hạn là chưa thể xác định. Người ta gọi
chung là các dạng vô định. Chẳng hạn
i) Xét f(x) = x và g(x) =1
x2. Khi đó lim
x→0f(x) = 0, lim
x→0g(x) = +∞. Nhưng
limx→0
f(x)g(x) = limx→0
1
xlà không tồn tại.
Trong khi, nếu chọn f(x) = x3 và g(x) =1
x2thì
limx→0
f(x) = 0, limx→0
g(x) = +∞
và
limx→0
f(x)g(x) = limx→0
x = 0.
ii) Xét f(x) = −1
x2+ x2 và g(x) =
1
x2. Khi đó
limx→0
f(x) = −∞, limx→0
g(x) = +∞
và limx→0
[f(x) + g(x)] = limx→0
x2 = 0.
Trong khi, nếu chọn f(x) = −1
x2và g(x) =
1
x2+
1
x4thì
limx→0
f(x) = −∞, limx→0
g(x) = +∞
và
limx→0
[f(x) + g(x)] = limx→0
1
x4= +∞.
4) Một vài giới hạn đặc biệt.
a) limx→0
sinx
x= 1, b) lim
x→0
ln(1 + x)
x= 1, c) lim
x→0
ex − 1
x= 1.
35 Giáo trình Giải tích
B. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số
Các định lý sau đây chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài
liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.
1.5.3 Định lý. Nếu limx→x0
f(x) = l thì limx→x0
|f(x)| = |l|.
1.5.4 Chú ý. Chiều ngược lại của định lý trên nói chung là không đúng. Chẳng
hạn limx→0
| signx| = 1 nhưng limx→0
signx là không tồn tại. Tuy nhiên bạn đọc có thể tự
chứng minh được , nếu limn→x0
|f(x)| = 0 thì limn→x0
f(x) = 0.
1.5.5 Định lý. Nếu limx→x0
f(x) = l và l hữu hạn thì tồn tại δ > 0 sao cho f bị chặn
trên((x0 − δ, x0 + δ) \ x0
)∩X.
1.5.6 Định lý. Nếu limx→x0
f(x) = l và A < l < B với A,B ∈ R thì tồn tại δ-lân cận
của x0 sao cho
A < f(x) < B, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩X, x = x0.
1.5.7 Chú ý. Đặc biệt, nếu limx→x0
f(x) = l > 0 thì tồn tại δ lân cận U của x0 sao
cho f(x) > 0 với mọi x ∈ X ∩ U và x = x0.
1.5.8 Định lý. Nếu limx→x0
f(x) = l và tồn tại lận cận U của x0 sao cho α < f(x) < β
với mọi x ∈ U ∩X, x = x0 thì α 6 l 6 β.
1.5.9 Định lý. Cho limx→x0
f(x) = l và limx→x0
g(x) = l′. Nếu l > l′ thì tồn tại lận cận
U của x0 sao cho f(x) > g(x) với mọi x ∈ U ∩X, x = x0.
Từ Định lý 1.5.9 ta nhận được hệ quả sau:
1.5.10 Hệ quả. Cho f và g là các hàm xác định trong lân cận U điểm x0 và
f(x) > g(x), ∀x ∈ U . Nếu limx→x0
f(x) = l và limx→x0
g(x) = l′ thì l > l′.
Định lý sau đây thường được dùng để tìm giới hạn của hàm số, nó còn được gọi
là nguyên lý kẹp.
1.5.11 Định lý. Cho limx→x0
f(x) = limx→x0
g(x) = l (l hữu hạn). Nếu tồn tại lận cận
U của x0 sao cho
f(x) 6 h(x) 6 g(x)
với mọi x ∈ U ∩X, x = x0 thì limx→x0
h(x) = l.
36 Giáo trình Giải tích
1.5.12 Ví dụ. 1) Chứng minh limx→0
xn sin1
xm= 0 (n > 0,m > 0).
Với mọi x = 0 ta có
0 6∣∣∣xn sin 1
xm
∣∣∣ 6 |xn|.
Vì vậy từ limx→0
|xn| = 0 ta có limx→0
∣∣∣xn sin 1
xm
∣∣∣ = 0. Suy ra limx→0
xn sin1
xm= 0.
2) limx→±∞
(1 +
1
x
)x= e.
a) Đầu tiên ta chứng minh cho x → +∞. Với mọi x > 0 tồn tại n ∈ N sao
cho
n 6 x 6 n+ 1.
Ta có (1 +
1
n+ 1
)n<(1 +
1
x
)x<(1 +
1
n
)n+1
.
Mặt khác ta có
limn→∞
(1 +
1
n+ 1
)n= lim
n→∞
(1 +
1
n+ 1
)n+1n+ 1
n+ 2
= limn→∞
(1 +
1
n+ 1
)n+1
limn→∞
n+ 1
n+ 2= e
và
limn→∞
(1 +
1
n
)n+1
= limn→∞
(1 +
1
n
)nn+ 1
n= lim
n→∞
(1 +
1
n
)nlimn→∞
n+ 1
n= e.
Vì nếu x→ +∞ thì n→ ∞ nên limx→+∞
(1 +
1
x
)x= e
b) Khi x → −∞ bằng cách đặt x = −(t + 1) ta có t = −(x + 1). Khi đó nếu
x→ −∞, thì t→ +∞ và nhờ chứng minh a) ở trên ta có
limx→−∞
(1 +
1
x
)x= lim
t→+∞
(1−
1
t+ 1
)−(t+1)
= limt→+∞
( t
t+ 1
)−(t+1)
=
= limt→+∞
(1 +
1
t
)t+1
= limt→+∞
(1 +
1
t
)t(1 +
1
t
)= e.
Cũng như trong giới hạn dãy số, định lý sau đây còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy
về sự tồn tại giới hạn hàm số
1.5.13 Định lý. Điều kiện cần và đủ để limx→x0
f(x) = l hữu hạn là với mọi ε-lận cận
U của 0 tồn tại δ-lân cận V của x0 sao cho f(x)− f(x′) ∈ U với mọi x, x′ ∈ V ∩X,
x = x0 và x′ = x0.
37 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.
1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô
cùng lớn
A. Đại lượng vô cùng bé
1.6.1 Định nghĩa. Cho A ⊂ R, x0 là điểm tụ của A và f : A → R. Ta nói f là
vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x→ x0 nếu limx→x0
f(x) = 0.
1.6.2 Ví dụ. f(x) = sinx là vô cùng bé khi x→ 0 bởi vì limx→0
sin x = 0.
f(x) =1
xlà vô cùng bé khi x→ ±∞ bởi vì lim
x→±∞
1
x= 0.
Định lý sau đưa ra một số tính chất của VCB.
1.6.3 Định lý. 1) Cho f, g là các VCB khi x → x0. Khi đó, f ± g và fg là các
VCB khi x→ x0.
2) Giả sử f là VCB khi x → x0 và g là một hàm bị chặn trong lân cận nào đó
của x0 trừ x0, tức là tồn tại r > 0 và M > 0 sao cho
|g(x)| < M ∀x ∈ x ∈ A : 0 < |x− x0| < r.
Khi đó fg là một VCB khi x→ x0.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],
[3].
Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày về so sánh các vô cùng bé.
1.6.4 Định nghĩa. Cho f, g là các VCB khi x→ x0 và giả sử limx→x0
f(x)
g(x)= l ∈ R.
1) Nếu l = 0 thì ta nói f là VCB có bậc cao hơn g, hay g là VCB có bậc thấp
hơn f và ký hiệu là f = o(g).
2) Nếu l = 0 và l ∈ R thì ta nói f và g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt nếu l = 1
ta nói f và g là hai VCB tương đương và ký hiệu f ∼ g.
3) Nếu l = ±∞ thì ta nói f là VCB có bậc thấp hơn VCB g.
38 Giáo trình Giải tích
Trong trường hợp không tồn tại limx→x0
f(x)
g(x)thì ta nói hai VCB f và g không so
sánh được với nhau.
1.6.5 Nhận xét. Cho f và g là các VCB khi x→ x0. Nếu f ∼ g thì f ∼ g+ o(g).
1.6.6 Ví dụ. 1) Xét các VCB f(x) = ln(1 + x) và g(x) = x khi x→ 0. Khi đó,
limx→0
ln(1 + x)
x= 1.
Vì vậy hai VCB f và g là tương đương.
2) Xét các VCB f(x) = x sin1
xvà g(x) = x khi x→ 0. Khi đó
limx→0
f(x)
g(x)= lim
x→0sin
1
x
không tồn tại. Do đó hai VCB f và g không so sánh được.
B. Đại lượng vô cùng lớn
1.6.7 Định nghĩa. Cho f : A→ R và x0 là điểm tụ của A ⊂ R. Nếu limx→x0
|f(x)| =
+∞ thì ta nói f là vô cùng lớn (viết gọn là VCL) khi x→ x0.
Từ định nghĩa ta có ngay rằng nếu f(x) là VCL khi x → x0 thì1
f(x)là VCB
khi x→ x0.
1.6.8 Ví dụ. 1) f(x) =1
sin xlà VCL khi x→ 0.
2) f(x) = x3 là VCL khi x→ ±∞.
Tương tự như các vô cùng bé, bây giờ chúng tôi giới thiệu về việc so sánh các
vô cùng lớn.
1.6.9 Định nghĩa. Cho f, g là các VCL khi x→ x0.
1) Nếuf
glà một VCL khi x→ x0 thì ta nói f là một VCL bậc cao hơn VCL g .
2) Nếu limx→x0
f(x)
g(x)= b hữu hạn thì ta nói f và g là các VCL cùng bậc.
Đặc biệt nếu b = 1 thì ta nói f và g là các VCL tương đương và ký hiệu f ∼ g.
3) Nếu không tồn tại limx→x0
f(x)
g(x)thì ta nói hai VCL f và g không so sánh được.
39 Giáo trình Giải tích
C. Các dạng vô định0
0và
∞∞
Cho c ∈ R. Giả sử f(x) và g(x) là các hàm xác định trong lân cận của c có thể
trừ điểm c. Xét giới hạn limx→c
f(x)
g(x).
1) Nếu limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = 0, thì giới hạn limx→c
f(x)
g(x)được gọi là dạng vô định
0
0.
2) Nếu limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = ∞, thì giới hạn limx→c
f(x)
g(x)được gọi là dạng vô định
∞∞
.
Ta có mệnh đề sau, bạn đọc có thể xem chứng minh của nó trong các tài liệu
tham khảo [2], [3].
1.6.10 Mệnh đề. Giả sử f , g, f ∗, g∗ là các VCB khi x → x0, f ∼ f ∗ và g ∼ g∗.
Khi đó ta có
limx→x0
f(x)
g(x)= lim
x→x0
f ∗(x)
g∗(x)
nếu một trong hai giới hạn trên tồn tại.
Như vậy khi khử dạng vô định0
0ta có thể thay tử số và mẫu số bởi các VCB
tương đương.
1.6.11 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→0
ex2 − 1
ln(1− 2x2).
Ta đã biết limt→0
et − 1
t= 1 và lim
t→0
ln(1 + t)
t= 1. Vì vậy khi x→ 0 ta có
ex2 − 1 ∼ x2
và
ln(1− 2x2) ∼ −2x2.
Do đó
limx→0
ex2 − 1
ln(1− 2x2)= lim
x→0
x2
−2x2=
−1
2.
Hoàn toàn tương tự, sử dụng các vô cùng lớn tương đương ta có thể khử được
dạng vô định∞∞
.
40 Giáo trình Giải tích
2 Hàm số liên tục
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số liên tục
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X ⊂ R, f : X → R và x0 ∈ X. Hàm số f được gọi
là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà
|x− x0| < δ thì |f(x)− f(x0)| < ε.
Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.
Hàm số được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.
2.1.2 Ví dụ. 1) Từ định nghĩa trên trực tiếp suy ra hàm hằng f(x) = c - hằng số,
với mọi x ∈ R là hàm hiên tục trên R.
2) Cho c là một hằng số khác 0 và f : R → R là hàm được cho bởi f(x) = cx,
x ∈ R. Khi đó, hàm f liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ R. Thậy vậy, với mọi ε > 0 chọn
δ =ε
|c|thì với mọi x ∈ R mà |x− x0| < δ ta có
|f(x)− f(x0)| = |c||x− x0| < |c|δ = ε.
2.1.3 Chú ý. 1) Từ định nghĩa 1.4.2 về điểm cô lập suy ra rằng hàm số f : X → R
là liên tục tại mọi điểm cô lập của X. Do đó, từ nay về sau nếu không giải thích gì
thêm thì khi nói tới tính liên tục của một hàm số tại một điểm nào đó thì giả thiết
điểm đó không phải là điểm cô lập.
2) Nếu x0 không phải là điểm cô lập của X thì từ Định nghĩa 2.1.1 và Chú ý
1.4.6 suy ra rằng hàm số f liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0
f(x) = f(x0).
Định lý sau suy ra từ Định lý 1.4.10 và Chú ý 2.1.3.
2.1.4 Định lý. Hàm f : X → R liên tục tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy
xn ⊂ X và xn → x0 thì f(xn) → f(x0).
Định lý sau nói lên tính liên tục của hàm số hợp.
2.1.5 Định lý. Cho A,B ⊂ R. Giả sử f : A→ B liên tục tại x0 ∈ A và g : B → R
liên tục tại y0 = f(x0) ∈ B. Khi đó hàm số hợp g f : A→ R liên tục tại x0.
Định lý sau nói lên sự tồn tại và liên tục của hàm số ngược.
41 Giáo trình Giải tích
2.1.6 Định lý. Cho hàm số f tăng ngặt và liên tục trên (a, b). Đặt A = infx∈(a,b)
f(x)
và B = supx∈(a,b)
f(x). Khi đó hàm ngược x = f−1(y) là tồn tại, liên tục và tăng ngặt
trên (A,B).
2.1.7 Nhận xét. Định lý trên vẫn đúng khi thay tăng ngặt bởi giảm ngặt hoặc
(a, b) bởi [a, b].
Chứng minh của 2 định lý trên, bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu
tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.
2.1.8 Định nghĩa. Cho hàm số f : A → R và x0 ∈ A (không là điểm cô lập).
Hàm số f được gọi là liên tục phải tại x0 ∈ A nếu limx→x+
0
f(x) = f(x0).
Hàm số được gọi là liên tục trái tại x0 ∈ A nếu limx→x−
0
f(x) = f(x0).
Từ Định lý 1.4.15 và Chú ý 2.1.3 ta có ngay định lý sau.
2.1.9 Định lý. Hàm số f : A → R liên tục tại x0 ∈ A khi và chỉ khi nó liên tục
trái và liên tục phải tại x0.
2.1.10 Ví dụ. Xét hàm số f(x) = [x], với mọi x ∈ A, ở đây [x] là phần nguyên của x.
Tại các điểm x0 = n ∈ Z ta có
limx→n−
f(x) = n− 1, và limx→n+
f(x) = n.
và f(n) = n. Như vậy hàm liên tục phải tại x0 = n nhưng không liên tục trái tại
x0 = n. Kéo theo hàm không liên tục tại các điểm nguyên. Rõ ràng tại các điểm
không nguyên thì hàm số liên tục.
2.1.11 Định nghĩa. (Phân loại điểm gián đoạn). Cho f : [a, b] → R và x0 ∈ [a, b]
là điểm gián doạn của f . Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu x0 ∈ (a, b)
và tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của f tại x0 và các giới hạn này là hữu hạn.
Điểm x0 = a được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu giới hạn phải của f tại x0 = a
là hữu hạn.
Điểm x0 = b được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu giới hạn trái của f tại x0 = b
là hữu hạn.
Một điểm không phải là điểm gián đoạn loại I được gọi là điểm gián đoạn loại
II.
42 Giáo trình Giải tích
2.1.12 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = [x] với mọi x ∈ R gián đoạn tại các điểm nguyên
n ∈ Z. Vì limx→n−
f(x) = n − 1 và limx→n+
f(x) = n, nên các điểm nguyên n là điểm
gián đoạn loại I của f .
2) Hàm số Dirichlet D(x) =
0 nếu x vô tỷ
1 nếu x hữu tỷlà hàm gián đoạn loại II tại
mọi điểm.
Thật vậy, giả sử x0 ∈ R. Khi đó, từ tính trù mật của tập số thực suy ra tồn
tại dãy rn các số vô tỷ và dãy qn các số hữu tỷ sao cho qn, rn < x0 với mọi
n ≥ 1 và qn → x0, rn → x0 khi n → ∞. Khi đó, ta có limn→∞
D(qn) = 1 trong khi
limn→∞
D(rn) = 0. Vì vậy không tồn tại giới hạn trái limx→x−
0
D(x).
Tương tự ta chứng minh được không tồn tại giới hạn phải limx→x+
0
D(x).
2.2 Tính liên tục của các hàm sơ cấp
Ta dễ dàng chứng minh được rằng các hàm đa thức, phân thức hữu tỷ, hàm
lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó. Người ta cũng chứng minh được sự
liên tục của hàm số mũ (xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2).
Vì vậy từ định nghĩa các hàm số sơ cấp, các định lý về tính liên tục của hàm số hợp
và hàm số ngược ta có định lý sau.
2.2.1 Định lý. Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.
2.2.2 Ví dụ. 1) Hàm số sin[ln(1 +√1 + x2)] liên tục tại mọi x ∈ R.
2) Hàm số
√x− 1
x2 − 1liên tục tại mọi x = ±1.
3) Hàm sốx2 − 9
x2 − 3xliên tục tại mọi x = 0 và x = 3.
2.3 Các định lý cơ bản về hàm số liên tục trên một đoạn
Trong mục này chúng ta trình bày những tính chất cơ bản của hàm số liên
tục trên một đoạn. Định nghĩa sau là cụ thể hoá định nghĩa tổng quát về tính liên
tục cho hàm số xác định trên một đoạn
2.3.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : [a, b] → R. Hàm số được gọi là liên tục trên
[a, b] nếu nó liên tục trên (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
43 Giáo trình Giải tích
Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn.
2.3.2 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] . Khi đó, hàm số đạt
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b]. Nói cách khác, tồn tại u, v ∈ [a, b] sao
cho
maxx∈[a,b]
f(x) = f(u); minx∈[a,b]
f(x) = f(v).
2.3.3 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b]. Nếu f(a)f(b) < 0 thì
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.
2.3.4 Hệ quả. Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục, khác hằng trên [a, b]. Ký hiệu
M = maxx∈[a,b]
f(x); m = minx∈[a,b]
f(x).
Khi đó, với mọi L ∈ (m,M) tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = L.
Chứng minh của các định lý và hệ quả trên bạn đọc có thể tìm đọc trong
các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.
2.4 Hàm số liên tục đều
2.4.1 Định nghĩa. Cho hàm f : A ⊆ R → R. Hàm f được gọi là liên tục đều
trên tập A nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ A mà
|x− y| < δ ta có |f(x)− f(y)| < ε.
2.4.2 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa hàm liên tục đều suy ra nếu hàm số liên tục
đều trên A thì nó liên tục trên A, điều ngược lại là không đúng.
2) Ta có thể chứng minh được rằng hàm số f liên tục đều trên A khi và chỉ khi với
mọi dãy xn ⊂ A, yn ⊂ A mà |xn − yn| → 0 khi n→ ∞ thì |f(xn)− f(yn)| → 0
khi n→ ∞.
3) Từ Định nghĩa 2.4.1 ta suy ra rằng hàm số f không liên tục đều trên A khi
và chỉ khi tồn tại số ε0 > 0 sao cho với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, tồn tại xn ∈ A và
yn ∈ A sao cho |xn − yn| → 0 khi n→ ∞, nhưng ta có |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 với mọi
n ≥ 1.
2.4.3 Ví dụ. 1) Hàm số f(x) = x+ sin x liên tục đều trên R.
Ta có
|f(x)− f(y)| = |x− y + sin x− sin y| 6 |x− y|+ | sinx− sin y|
6 |x− y|+ 2∣∣∣ cos x+ y
2sin
x− y
2
∣∣∣ 6 |x− y|+ 2∣∣∣ sin x− y
2
∣∣∣6 |x− y|+ 2
∣∣∣x− y
2
∣∣∣ = 2|x− y| ∀x, y ∈ R.
44 Giáo trình Giải tích
Với mọi ε > 0 chọn δ =ε
2. Khi đó, nếu x, y ∈ R mà |x− y| < δ thì
|f(x)− f(y)| 6 2|x− y| < 2δ = 2ε
2= ε.
2) Hàm số f(x) = x2 không liên tục đều trên R. Thật vậy, Với mội số tự nhiên
n ≥ 1 ta lấy xn = n+1
n, yn = n. Khi đó ta có xn ⊂ R, yn ⊂ R. Hơn nữa
|xn − yn| =1
n→ 0 khi n→ ∞.
Tuy nhiên
|f(xn)− f(yn)| = (n+1
n)2 − n2 = 2 +
1
n2≥ 2 = ε0 với mọi n ≥ 1.
Vậy f không liên tục đều trên R.
Lưu ý rằng hàm số f(x) = x2 liên tục trên R nhưng không liên tục đều trên R.
Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để hàm f liên tục là liên tục đều.
2.4.4 Định lý. (Cantor). Cho hàm số f : [a, b] → R. Nếu hàm f liên tục trên
[a, b], thì nó liên tục đều trên đoạn đó.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.
2.5 Giới hạn dạng limx→a
(u(x)
)v(x)A. Giới hạn lim
x→a
(u(x)
)v(x)Giả sử tồn tại các giới hạn lim
x→au(x) = A > 0 và lim
x→av(x) = B (A,B có thể
nhận giá trị vô hạn). Nhờ tính liên tục của hàm số mũ và hàm logarit ta có
limx→a
ln f(x) = ln(limx→a
f(x))
và limx→a
ef(x) = elimx→a
f(x).
Vì thế, ta suy ra
1) Nếu A = +∞ và B = ±∞, thì
limx→a
(u(x)
)v(x)= lim
x→aev(x) lnu(x) = e
limx→a
v(x) lnu(x)= eB lnA = AB.
2) Nếu 0 < A < 1 và B = +∞, thì lnA < 0. Do đó, limx→a
v(x) lnu(x) = −∞. Vì
vậy
limx→a
(u(x)
)v(x)= lim
x→aev(x) lnu(x) = e
limx→a
v(x) lnu(x)= 0.
45 Giáo trình Giải tích
3) Nếu 0 < A < 1 và B = −∞, thì lnA < 0. Do đó, limx→a
v(x) lnu(x) = +∞. Vì
vậy
limx→a
(u(x)
)v(x)= lim
x→aev(x) lnu(x) = e
limx→a
v(x) lnu(x)= +∞.
4) Nếu A > 1 và B = +∞, thì lnA > 0. Vì vậy
limx→a
(u(x)
)v(x)= lim
x→aev(x) lnu(x) = e
limx→a
v(x) lnu(x)= e
lnA limx→a
v(x)= +∞.
5) Nếu A > 1 và B = −∞, thì lnA > 0. Vì vậy
limx→a
(u(x)
)v(x)= lim
x→aev(x) lnu(x) = e
limx→a
v(x) lnu(x)= e
lnA limx→a
v(x)= 0.
6) Nếu A = 1 và B = ±∞, thì ta biến đổi như sau
(u(x)
)v(x)=(1 + u(x)− 1
)v(x)=
(1 + u(x)− 1
) 1
u(x)− 1
(u(x)−1)v(x)
.
Nếu đặt α(x) = u(x)− 1 thì limx→a
α(x) = 0. Khi đó,
limx→a
(1 + u(x)− 1
) 1
u(x)− 1 = limα(x)→0
(1 + α(x)
) 1
α(x) = e.
Vì vậy
limx→a
(u(x)
)v(x)= e
limx→a
(u(x)−1
)v(x)
.
2.5.1 Ví dụ. 1) Tìm giới hạn limx→∞
(x+ 2
2x+ 1
)x2
. Ta có u(x) =x+ 2
2x+ 1và v(x) = x2.
Do đó
limx→∞
u(x) = limx→∞
x+ 2
2x+ 1=
1
2và lim
x→∞v(x) = lim
x→∞x2 = +∞.
Vì vậy
limx→∞
(x+ 2
2x+ 1
)x2
== eln1
2lim
x→∞x2
= 0.
2) Tìm giới hạn limx→∞
(x2 + 1
x2 − 2
)x2
. Ta có u(x) =x2 + 1
x2 − 2và v(x) = x2. Do đó
limx→∞
u(x) = limx→∞
x2 + 1
x2 − 2= 1.
Vì vậy
limx→∞
(x2 + 1
x2 − 2
)x2
= elim
x→∞
(u(x)−1
)v(x)
= elim
x→∞
3x2
x2 − 2 = e3.
46 Giáo trình Giải tích
B. Một số giới hạn đặc biệt
Trong chương trình phổ thông chúng ta đã được làm quen với một số giới
hạn quan trọng như:
limx→0
sin x
x= 1; lim
x→0
ex − 1
x= 1; lim
x→0
ln(1 + x)
x= 1
và limx→∞
(1 +
1
x
)x= e. Sử dụng tính liên tục của hàm số chúng ta còn chứng minh
một số giới hạn quan trọng sau:
1) limx→0
(1 + x)1x = e.
2) limx→0
loga(1 + x)
x= loga e, (a > 0, a = 1).
3) limx→0
ax − 1
x= ln a, (a > 0, a = 1).
4) limx→0
(1 + x)α − 1
x= α.
Như vậy khi x→ 0 ta còn có thể viết
1) sinx ∼ x.
2) ax − 1 ∼ x ln a, (a > 0, a = 1). Đặc biệt ex − 1 ∼ x.
3) ln(1 + x) ∼ x.
4) (1 + x)α − 1 ∼ αx.
2.5.2 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→0
n√1 + x− 1
sinmx(m,n ∈ N∗).
Khi x→ 0 ta cón√1 + x− 1 ∼ x
n
và
sinmx ∼ mx.
Vì vậy
limx→0
n√1 + x− 1
sinmx= lim
x→0
x
nmx
=1
mn.
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 2
47 Giáo trình Giải tích
Câu hỏi thảo luận
1) Phát biểu định nghĩa giới hạn limx→x0
f(x) = l theo ngôn ngữ (ε, δ) cho tất cả
các trường hợp. Các tính chất của giới hạn hàm. Các phép toán về giới hạn hàm.
Các phương pháp tìm giới hạn của một hàm số (Chú ý các trường hợp giới hạn tại
vô cực và giới hạn là vô cực).
2) Các khái niệm hàm liên tục, điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn. Các
tính chất của hàm liên tục. Các phép toán trên các hàm liên tục. Mối liên hệ giữa
tính liên tục và tính bị chặn, mối liên hệ giữa tính liên tục và tính liên tục đều của
hàm số. Các bước kiểm tra hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một tập. Các
bước kiểm tra tính liên tục đều của một hàm trên một tập.
3) Các khái niệm VCB, VCL. Mối liên hệ giữa VCB và VCL; VCL và tính không
bị chặn của hàm số. Ứng dụng VCB tính giới hạn.
Bài tập chương 2
A. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các giới hạn sau đây
1) limx→1
x3 − x2 − x+ 1
x3 − x2 + x− 1; ; 2) lim
x→1
x1000 − 2x+ 1
x500 − 2x+ 1.
3) limx→+∞
(2x− 3)20.(2x+ 2)30
(2x+ 1)50; 4) lim
x→1
x2 − 1
x2 − 4x+ 3;
5) limx→1
√x− 1
x2 − 1; 6) lim
x→0
e4x − 3√1 + 6x
ln(1 + 2x).
7) limx→0
√1 + sin 3x− 3
√1 + 2x
sin 2x.
Bài 2. Tìm các giới hạn sau đây
1) limx→0
sin2 2x
sin 4x; 2) lim
x→0
sin2 5x
1− cosx;
3) limx→a
sinx− sin a
x− a; 4) lim
x→0
sin2 2x+ sin x
sin 3x;
5) limx→0
√1 + 3 sin x−
√1− tanx
x; 6) lim
x→0
√1 + 3 sin x+
√1 + sinx− 2
sin 2x.
48 Giáo trình Giải tích
7) limx→0
√1 + x− 3
√1 + sin 2x
3√1− 2x−
√1− 3x
.
Bài 3. Tìm các giới hạn sau
1) limx→3
x2 − 9
x2 − 3x; 2) lim
x→0
√x+ 4− 2
x;
3) limx→1
x+ x2 + · · ·+ xn − n
x− 1, n ∈ N; 4) lim
x→π
sinmx
sinnx, m, n ∈ N.
5) limx→a
√x−
√a+
√x− a√
x2 − a2; 6) lim
x→1
m√x− 1
n√x− 1
.
7) limx→0
(1 +mx)n − (1 + nx)m
x2, m, n ∈ N.
Bài 4. Tìm các giới hạn sau đây
1) limx→+∞
(3x2 − x+ 1
2x2 + x+ 1
) x2
1− x ; 2) limx→+∞
(x2 + 1
x2 − 2
)x2
.
3) limx→0
(1 + x2)cotan2x; 4) lim
x→0
(1 + tanx
1 + sinx
) 1
sin x .
B. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 5. Xét tính liên tục của các hàm số.
1) f(x) =
∣∣∣sin xx
∣∣∣ nếu x = 0
1 nếu x = 0; 2) f(x) =
sin x
|x|nếu x = 0
1 nếu x = 0
3) f(x) =
x2 nếu 0 6 x 6 1
2− x nếu 1 < x 6 2
Bài 6. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên miền được chỉ ra.
1) f(x) =
2ex nếu x < 0
a+ 2x nếu x > 0trên toàn trục số (−∞,+∞).
2) f(x) =
2x+ a nếu x ∈ [0, 1]
ax2 + 2 nếu x ∈ (1, 2]trên [0, 2].
3) f(x) =
x tan x
ln(1 + x2)với x = 0
2a+ 1 với x = 0tại x = 0.
49 Giáo trình Giải tích
4) f(x) =
x sinx+ ln(1 + 2x)
sinxvới − 1
2< x < 0
x2 + sin x+ a với x > 0tại x = 0.
5) f(x) =
e3x − 1
xnếu x > 0
5x+ a nếu x ≤ 0.
trên R.
6) f(x) =
a
xnếu x > 1
3a− x2
2nếu x ≤ 1.
trên R.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 2
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
III.1. GIỚI THIỆU
Các khái niệm và tính chất của đạo hàm và hàm một biến khả vi có nhiều ứng
dụng trong thực tế, các ngành kỹ thuật, kinh tế,... Trên cơ sở các kiến thức đã được
chuẩn bị ở chương 1 và chương 2 trong chương này chúng tôi trình bày những khái
niệm và tính chất cơ bản của phép tính vi phân hàm một biến và một số ứng dụng
của chúng.
III.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm, vi phân cấp 1 và cấp
cao; các định lý cơ bản về hàm khả vi và một số ứng dụng của phép tính vi phân.
III.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày khái niệm đạo hàm, đạo hàm phải, đạo hàm trái và biết vận dụng
để tính đạo hàm.
2. Trình bày được mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi. Ý nghĩa cơ
học, ý nghĩa hình học của đạo hàm.
3. Trình bày được các quy tắc tính đạo hàm và biết vận dụng để tính đạo hàm
của các hàm sơ cấp.
4. Biết cách khảo sát được tính có đạo hàm của các hàm không sơ cấp.
5. Tính được đạo hàm và vi phân cấp một, cấp cao của hàm số.
6. Viết được khai triển Taylor, Maclourin của một số hàm số đặc biệt.
7. Biết sử dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn hàm số dạng vô định.
8. Biết sử dụng đạo hàm để tìm cực trị và xét tính đơn điệu của hàm số.
9. Biết cách vận dụng các định lí về hàm khả vi để giải quyết các bài toán liên
quan trực tiếp.
50
51 Giáo trình Giải tích
III.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
Chúng ta đã được làm quen với khái niệm đạo hàm của hàm số trong chương
trình toán phổ thông. Đây là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải
tích toán học, nó còn có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều môn khoa học tự nhiên
và xã hội, như vật lý, hoá học, sinh học, kinh tế, xã hội học,... Nhiều bài toán trong
hình học (tìm hệ số góc của tiếp tuyến), cơ học (tìm vận tốc tức thời của chất điểm
chuyển động),... dẫn đến khái niệm đạo hàm, được Newton và Leibnitz hoàn thiện
để có phép tính vi phân hàm một biến số như ngày nay.
1 Đạo hàm của hàm một biến
1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), lấy số gia ∆x đủ
bé sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b). Khi đó số ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) được gọi là số
gia hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x0. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x, thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm
số f theo biến số x tại x0 và ký hiệu là f ′(x0), nghĩa là
f ′(x0) = lim∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x. (3.1)
1.1.2 Nhận xét. 1) Trong một số trường hợp (3.1) còn được viết
f ′(x0) = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h.
2) Nếu đặt x = x0 +∆x thì ta viết f ′(x0) = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0.
1.1.3 Ví dụ. 1) Xét hàm số y = ax (a > 0, a = 1). Với mỗi x0 ∈ R ta có
∆y = ax0+∆x − ax0 = ax0(a∆x − 1
).
Do đó
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0
ax0(a∆x − 1
)∆x
= ax0 lim∆x→0
a∆x − 1
∆x= ax0 ln a.
Vì vậy (ax)′ = ax ln a.
2) Xét hàm số y = sin x. Với mỗi x0 ∈ R ta có
∆y = sin(x0 +∆x)− sin x0 = 2 cos(x0 +
∆x
2
)sin
∆x
2.
52 Giáo trình Giải tích
Do đó
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0cos(x0 +
∆x
2
)sin ∆x
2∆x
2
= cos x0.
Vì vậy (sinx)′ = cos x.
1.1.4 Định lý. Cho f : (a, b) → R. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b),
thì
f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0)h+ hr(h) (3.2)
trong đó r(h) → 0 khi h→ 0.
Chứng minh. Đặt r(h) =f(x0 + h)− f(x0)
h− f ′(x0). Vì hàm f có đạo hàm tại
điểm x0, nên ta suy ra r(h) → 0 khi h→ 0. Do đó khi h gần 0 ta có
f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0)h+ hr(h).
1.1.5 Hệ quả. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x0, thì f liên tục tại điểm này.
Chứng minh. Từ (3.2) ta có limx→x0
f(x) = f(x0). Do đó f liên tục tại x0.
1.1.6 Chú ý. Điều ngược lại của Hệ quả 1.1.5 không đúng. Một hàm liên tục tại
điểm x0 có thể không có đạo hàm tại x0. Chẳng hạn, hàm f(x) = |x| liên tục tại
x = 0. Tuy nhiên, không tồn tại giới hạn
lim∆x→0
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x= lim
∆x→0
|∆x|∆x
,
vì lim∆x→0+
|∆x|∆x
= 1 còn lim∆x→0−
|∆x|∆x
= −1. Vậy f không có đạo hàm tại 0.
1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái
1.2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại
lim∆x→0+
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm f tại điểm x0 và ký hiệu là
f ′+(x0). Tương tự nếu tồn tại
lim∆x→0−
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
53 Giáo trình Giải tích
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm f tại điểm x0 và ký hiệu là
f ′−(x0).
Ví dụ sau chứng tỏ các đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại một điểm có
thể khác nhau.
1.2.2 Ví dụ. Xét hàm số f(x) = |x|. Ta có
lim∆x→0+
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x= lim
∆x→0+
|∆x|∆x
= 1
trong khi
lim∆x→0−
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x= lim
∆x→0−
|∆x|∆x
= −1.
Từ đó ta có f ′+(0) = 1 = −1 = f ′
−(0).
Từ Định lý 1.4.15 Chương 2 và Định nghĩa 1.2.1 ta có định lý sau.
1.2.3 Định lý. Cho hàm số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Khi đó, hàm f có đạo
hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của f tại x0
và hai đạo hàm này bằng nhau:
f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′
+(x0).
1.2.4 Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số sau tại x = 1
f(x) =
1
xnếu x > 1
3− x2
2nếu x < 1.
Ta có
lim∆x→0+
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x= lim
∆x→0
1
1 + ∆x− 1
∆x= −1
và
lim∆x→0−
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x= lim
∆x→0
3− (1 + ∆x)2
2− 1
∆x= −1.
Do đó f ′+(1) = f ′
−(1) = −1. Vậy hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 và f ′(1) = −1.
54 Giáo trình Giải tích
1.3 Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm
1.3.1 Ý nghĩa hình học. Cho hàm số f liên tục trên (a, b) có đồ thị Gf như hình
vẽ. Giả sử M0
(x0, f(x0)
)và M
(x, f(x)
)là hai điểm thuộc đồ thị Gf . Khi đó đường
thẳng M0M là một cát tuyến của Gf nó có hệ số góc
tan β =f(x)− f(x0)
x− x0.
y
x
M
M0
x0 x
f(x0)
f(x)
αβ
O
Nếu x → x0 thì M → M0. Khi đó cát tuyến MM0 dần đến tiếp tuyến (nếu có)
của Gf tại M0. Do đó nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tồn tại thì nó có hệ số
góc là
tanα = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0= f ′(x0).
Như vậy đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
hàm số f tại điểm (x0, f(x0)). Người ta cũng chứng minh được nếu hàm số f(x) có
đạo hàm tại x0 thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x0, f(x0)). Khi đó tiếp tuyến có
phương trình
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
1.3.2 Ý nghĩa cơ học. Giả sử chất điểm chuyển động trong một hệ quy chiếu
chọn trước. Khi đó quảng đường S(t) mà chất điểm di chuyển được phụ thuộc theo
55 Giáo trình Giải tích
biến thời gian t. Quảng đường mà chất điểm di chuyển từ thời điểm t đến thời điểm
t+∆t là
∆S = S(t+∆t)− S(t).
Nếu chất điểm chuyển động đều thì quảng đường tỉ lệ với thời gian, khi đó vận tốc
đều (hằng số) của nó là∆S
∆t.
Trong trường hợp tổng quát, vận tốc của chất điểm không nhất thiết phải đều thì tỉ
số trên biểu thị vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian [t, t+∆t].
Nếu ∆t nhỏ thì vận tốc trung bình sẽ gần với vận tốc tức thời tại thời điểm t. Như
vậy
S ′(t) = lim∆t→0
∆S
∆t
là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.
1.4 Các quy tắc tính đạo hàm
Ta nhắc lại và không chứng minh các quy tắc tính đạo hàm đã được làm
quen trong chương trình phổ thông.
1.4.1 Định lý. Cho f, g : (a, b) → R. Giả sử f, g khả vi tại điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó
các hàm f ± g , cf , fg khả vi tại điểm x0 trong đó c là hằng số thực. Nếu g(x0) = 0
thìf
gkhả vi tại x0 và ta có
1) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g′(x0).
2) (cf)′(x0) = cf ′(x0).
3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).
4)
(f
g
)′
(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g
′(x0)
g2(x0).
Định lý sau nói lên sự khả vi của hàm số hợp và công thức tính đạo hàm của
nó.
1.4.2 Định lý. Cho các hàm số f : (a, b) → (c, d) và g : (c, d) → R. Giả sử hàm
y = f(x) khả vi tại x0 ∈ (a, b) và z = g(y) khả vi tại y0 = f(x0) ∈ (c, d). Khi đó
hàm số g f : (a, b) → R khả vi tại x0 và
z′(x0) =(g f
)′(x0) = g′
(f(x0)
)f ′(x0).
56 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
1.4.3 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x2)100.
Đặt y = u100 và u = 1 + x2. Khi đó ta có y′(u) = 100.u99 và u′(x) = 2x. Áp
dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có
y′(x) = 100.u99.2x = 100.(1 + x2)99.2x.
Định lý sau trình bày về tính khả vi của hàm số ngược.
1.4.4 Định lý. Cho hàm số f : (a, b) → R. Giả sử
1) Hàm f liên tục và đơn điệu ngặt trên (a, b).
2) Hàm f có đạo hàm f ′(x0) = 0 tại x0 ∈ (a, b).
Khi đó, hàm ngược g = f−1 của hàm f có đạo hàm tại y0 = f(x0) và g′(y0) =1
f ′(x0).
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
1.4.5 Ví dụ. 1) Tính đạo hàm của hàm số y = loga x (a > 0, a = 1).
Ta có x = ay là hàm ngược của hàm y = loga x. Từ Ví dụ 1.1.3 ta có x′y = ay ln a.
Vì thế áp dụng Định lý 1.4.4 ta có
y′x =1
x′y=
1
ay ln a=
1
x ln a, ∀x ∈ R.
2) Xét hàm số y = arcsin x, x ∈ (−1, 1). Hàm này là hàm ngược của hàm
x = sin y, y ∈ (−π2,π
2). Ta có
(arcsin x)′ =1
x′y=
1
cos y=
1√1− sin2 y
=1√
1− x2, x ∈ (−1, 1).
1.5 Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp
Trong mục này, ta nhắc lại bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp mà chúng
ta đã làm quen ở chương trình phổ thông.
1) y = c (c là hằng số), y′ = 0.
2) y = xα, y′ = αxα−1.
57 Giáo trình Giải tích
3) y = ax, y′ = ax ln a (y = ex, y′ = ex).
4) y = loga |x|, y′ =1
x ln a(y = ln |x|, y′ =
1
x).
5) y = sinx, y′ = cos x.
6) y = cosx, y′ = − sin x.
7) y = tanx, y′ =1
cos2 x.
8) y = cotan x, y′ = − 1
sin2 x.
9) y = arcsinx, y′ =1√
1− x2.
10) y = arccosx, y′ = − 1√1− x2
.
11) y = arctanx, y′ =1
1 + x2; 12) y = arccotan x, y′ = − 1
1 + x2.
13) y = shx, y′ = chx
14) y = chx, y′ = shx.
2 Vi phân của hàm một biến
2.1 Hàm khả vi và vi phân của hàm một biến
2.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R. Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm
x0 ∈ (a, b), thì f được gọi là khả vi tại điểm x0.
Hàm f được gọi là khả vi trên (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc (a, b).
Nếu đạo hàm f ′ liên tục trên (a, b) thì ta nói f là hàm khả vi liên tục trên (a, b).
2.1.2 Định nghĩa. Cho hàm số f : [a, b] → R. Hàm số được gọi là khả vi trên
[a, b] nếu có f khả vi trên (a, b), có đạo hàm bên phải tại x = a và có đạo hàm bên
trái tại x = b.
2.1.3 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R khả vi tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, nhờ
Định lý 1.1.4 số gia ∆y của hàm số y = f(x) tại điểm x0 có thể viết được dưới dạng
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ o(∆x),
trong đó o(∆x) là một vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x.
Ta gọi đại lượng f ′(x0)∆x trong đẳng thức cuối cùng ở trên là vi phân của hàm
58 Giáo trình Giải tích
số y = f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là dy hay df(x0), nghĩa là
dy = df(x0) = f ′(x0)∆x.
2.1.4 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa vi phân và đạo hàm ta suy ra rằng nếu hàm f
khả vi tại x0 thì
f(x0 +∆x)− f(x0) = df(x0) + o(∆x)
khi ∆x→ 0, nghĩa là
f(x0 +∆x)− f(x0) ≈ df(x0) = f ′(x0)∆x,
khi ∆x→ 0.
2) Vì hàm số y = f(x) = x có đạo hàm y′ = f ′(x) = 1 tại mọi x ∈ R, nên ta có
dy = dx = ∆x. Vì vậy, vi phân của hàm f tại điểm x có thể viết
dy = df(x) = f ′(x)dx.
Do đó, đạo hàm của hàm số y = f(x) còn được ký hiệu một cách khác là f ′(x) =dy
dx.
2.2 Các quy tắc lấy vi phân và tính bất biến của vi phân
cấp 1
Từ các tính chất và phép toán của đạo hàm ta có định lý sau.
2.2.1 Định lý. Giả sử f, g : (a, b) → R khả vi tại x0 ∈ (a, b). Ký hiệu df, dg lần
lượt là vi phân của f, g tại x0. Khi đó
1) d(f + g) = df + dg.
2) d(cf) = cdf , c là hằng số.
3) d(fg) = gdf + fdg.
4) d(fg
)=gdf − fdg
g2,(nếu g(x0) = 0
).
2.2.2 Tính bất biến của vi phân cấp 1. Cho các hàm số f : (a, b) → (c, d) khả
vi tại điểm x ∈ (a, b). Khi đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) vi phân của hàm f tại điểm x
được tính theo công thức
df = f ′(x)dx. (3.3)
59 Giáo trình Giải tích
Bây giờ, nếu x : (c, d) → R lại là hàm khả vi tại điểm t ∈ (c, d) và x = x(t), thì
hàm f [x(t)] cũng khả vi tại điểm t. Do đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) ta có
df =(f [x(t)]
)′dt và dx = x′(t)dt. (3.4)
Nhờ Định lý 1.4.2 về đạo hàm hàm hợp ta có(f [x(t)]
)′= f ′(x).x′(t). (3.5)
Từ các công thức (3.4) và (3.5) ta có
df =(f [x(t)]
)′dt = f ′(x).x′(t)dt = f ′(x)dx. (3.6)
So sánh các công thức (3.3) và (3.6) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay
đổi khi các biến của nó là độc lập hay phụ thuộc. Tính chất này còn gọi là tính bất
biến của vi phân cấp 1 đối với biến số độc lập.
2.3 Các định lý cơ bản về hàm khả vi
Trong mục này chúng ta trình bày những định lý cơ bản về hàm số khả vi.
2.3.1 Định nghĩa. (Cực trị địa phương). Cho hàm f : (a, b) → R. Ta nói hàm f
đạt cực đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương) tại x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại
δ > 0 sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và
f(x) 6 f(x0) (tương ứng, f(x) > f(x0))
với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Điểm x0 mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu đại phương được
gọi chung là điểm cực trị của hàm f . Ta sẽ gọi cực đại (cực tiểu) để thay cho cực
đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương).
Định lý sau còn gọi là bổ đề Fermat, đưa ra một điều kiện cần để điểm x0 là
điểm cực trị của hàm f . Chứng minh của định lý sau đây bạn đọc có thể tham khảo
trong các tài liệu [2], [3].
2.3.2 Định lý. Cho hàm f : (a, b) → R. Nếu c ∈ (a, b) là điểm cực trị của f và f
khả vi tại c thì f ′(c) = 0.
2.3.3 Chú ý. Điểm c mà tại đó f ′(c) = 0 được gọi là điểm dừng của hàm f . Như
vậy nếu hàm khả vi trên (a, b) thì hàm chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.
60 Giáo trình Giải tích
Ba định lý sau đây cho ta các tính chất của hàm khả vi trên một đoạn.
2.3.4 Định lý. (Định lý Rolle). Cho hàm số f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và
khả vi trong (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0.
2.3.5 Định lý. (Định lý Cauchy). Cho các hàm số f, g : [a, b] → R liên tục trên
[a, b] và khả vi trong (a, b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho(f(b)− f(a)
)g′(c) =
(g(b)− g(a)
)f ′(c).
Ngoài ra nếu g′(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì công thức trên có thể viết dưới dạng
(f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c).
Định lý sau là trường hợp riêng của định lý Cauchy với g(x) = x. Đây là định
lý Lagrange hay còn gọi là định lý số gia giới nội.
2.3.6 Định lý. (Định lý Lagrange). Cho hàm số f : [a, b] → R liên tục trên [a, b]
và khả vi trong (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f(b)− f(a)
b− a= f ′(c).
Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu [2],
[3].
2.3.7 Nhận xét. 1) Giả sử f khả vi trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Lấy số gia ∆x > 0
sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b). Khi đó, theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ (x0, x0 + ∆x)
sao cho
f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(c)∆x.
Viết lại c dưới dạng c = x0 + θ∆x trong đó θ ∈ (0, 1) ta có
f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0 + θ∆x)∆x.
Người ta còn gọi công thức này là công thức số gia giới nội Lagrange.
2) Từ công thức trên suy ra nếu f ′(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm đơn
điệu tăng trên (a, b) và nếu f ′(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm đơn điệu giảm
trên (a, b).
61 Giáo trình Giải tích
2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng
2.4.1 Công thức tính gần đúng nhờ vi phân. Giả sử f(x) là hàm khả vi tại
điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó, từ hệ thức
f(x0 + h)− f(x0) = df(x0)(h) + o(h) khi h→ 0
suy ra khi |h| đủ bé thì
f(x0 + h) ≈ f(x0) + df(x0)(h).
2.4.2 Ví dụ. 1) Tính gần đúng sin 31o. Xét hàm số f(x) = sinx. Ta có
sin(x+ h) ≈ sin x+ h cosx
khi |h| đủ bé. Vì vậy
sin 31o = sin31π
180= sin
(π6+
π
180
)≈ sin
π
6+
π
180cos
π
6
≈ 0.5 +
√3
2.0.01745 ≈ 0, 5151.
2) Tính gần đúng√410 và 3
√128.
Xét hàm số f(x) = x1n , (x > 0, n ∈ N∗). Khi đó, với |h| đủ bé ta có
(x+ h)1n ≈ x
1n +
1
n
x1n
xh.
Đặc biệt, với x = an, (a > 0) ta có
(x+ h)1n ≈ a+
h
an−1n.
Vì vậy√410 =
√202 + 10 ≈ 20 +
10
20.2= 20, 25
và3√128 =
3√53 + 3 ≈ 5 +
3
25.3= 5, 04.
62 Giáo trình Giải tích
3 Đạo hàm và vi phân cấp cao
3.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao
3.1.1 Định nghĩa. Cho f : (a, b) → R là hàm số khả vi trong (a, b). Khi đó, ta
xác định được hàm số f ′ : (a, b) → R, cho bởi x 7→ f ′(x) với mọi x ∈ (a, b).
Nếu tại x0 ∈ (a, b) hàm số f ′ khả vi thì ta nói hàm f khả vi cấp 2 tại x0 và đạo
hàm của f ′ tại x0 được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x0. Ký hiệu đạo hàm
cấp 2 là f ′′(x0),
f ′′(x0) = (f ′)′(x0).
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n− 1 của hàm số f trong (a, b).
Khi đó, xác định hàm số
f (n−1) : (a, b) → R, x 7→ f (n−1)(x)
trong đó f (n−1)(x) là đạo hàm cấp n− 1 của f tại x. Nếu hàm f (n−1) khả vi tại x0
thì đạo hàm của nó tại x0 gọi là đạo hàm cấp n của f tại x0 và ký hiệu là f (n)(x0),
f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0).
Hàm số có đạo hàm cấp n tại x0 được gọi là khả vi cấp n tại x0.
Hàm số được gọi là khả vi liên tục đến cấp n trên (a, b) nếu đạo hàm f (n) cấp n
của nó là hàm số liên tục trên (a, b).
Hàm số được gọi là khả vi vô hạn tại x0 nếu nó có đạo hàm mọi cấp tại x0.
3.1.2 Ví dụ. 1) Hàm f(x) = xn, (n là số tự nhiên) khả vi vô hạn trên R và
f (k)(x) = n(n− 1)...(n− k + 1)xn−k với k 6 n
và
f (k)(x) = 0, ∀k > n.
2) f(x) = sinx khả vi vô hạn trên R và
f (n)(x) = sin(x+nπ
2).
3) Hàm f(x) =1
ax+ b, (với a = 0) khả vi vô hạn trên R \ − b
a và
f (n)(x) =(−1)nann!
(ax+ b)n+1.
63 Giáo trình Giải tích
3.1.3 Chú ý. 1) Các đạo hàm trái, đạo hàm phải cấp cao được định nghĩa tương
tự. Chẳng hạn
f ′′+(x0) = (f ′
+)′+(x0) = lim
∆x→0
f ′+(x0 +∆x)− f ′
+(x0)
∆x;
f ′′−(x0) = (f ′
−)′−(x0) = lim
∆x→0
f ′−(x0 +∆x)− f ′
−(x0)
∆x.
2) Giả sử f, g : (a, b) → R là các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ (a, b). Khi đó, ta có
các công thức sau:
a) (f + g)(n)(x0) = f (n)(x0) + g(n)(x0).
b) (cf)(n)(x0) = cfn(x0), c là hằng số.
3.1.4 Định nghĩa. Cho hàm f : (a, b) → R khả vi cấp n tại mọi x ∈ (a, b). Vi
phân của df tại x được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f tại x và được ký hiệu là
d2f(x). Như vậy
d2f(x) = d(df)(x) = (df)′(x)dx = (f ′′(x)dx)dx = f ′′(x)(dx)2 = f ′′(x)dx2.
trong đó ký hiệu dx2 dùng để chỉ (dx)2.
Một cách tổng quát vi phân cấp n của hàm f tại x ∈ (a, b) ký hiệu là dnf là vi
phân của vi phân cấp n− 1 của hàm f tại x, trong đó dx được coi là một hằng số
đối với mọi vi phân và mọi x ∈ (a, b). Như vậy
dnf(x) := d(dn−1f)(x).
Dễ thấy rằng
dnf(x) = f (n)(x)dxn, với mọi n ∈ N∗.
Do đó đạo hàm cấp n của hàm f có thể biểu diễn qua vi phân cấp n của nó
f (n)(x) =dnf(x)
dxn. Trường hợp hàm số f cho bởi y = f(x), khi đó ta có f (n)(x) =
dny
dxn.
3.2 Công thức Newton-Leibniz
Đối với đạo hàm cấp n của f.g tại x0 ta có công thức tính như sau đây còn gọi
là công thức Leibnitz.
3.2.1 Định lý. Giả sử f, g : (a, b) → R là các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ (a, b).
Khi đó hàm fg khả vi cấp n tại x0 và
(fg)(n)(x0) =n∑
k=0
Cknf
(k)(x0)g(n−k)(x0), n = 1, 2, ... (3.7)
64 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
3.2.2 Ví dụ. Cho hàm số f(x) = x3ex. Tính đạo hàm cấp 7 của hàm số. Ta có
f (7)(x) =7∑
k=0
Ck7 (x
3)(k)(ex)(7−k) = C07x
3ex + 3C17x
2ex + 6C27xe
x + 6C37e
x
= ex(x3 + 21x2 + 126x+ 210).
3.3 Tính không bất biến của vi phân cấp cao
3.3.1 Nhận xét. 1) Vi phân cấp hai, tổng quát hơn là vi phân cấp n > 2 không
bất biến khi thay biến số độc lập bởi biến số phụ thuộc. Thật vậy, với y = f(x) ta
có dy = f ′(x)dx. Từ đó theo định nghĩa trên ta có
d2y = d(f ′(x)dx
)= dxd(f ′)(x) + f ′(x)d(dx) = f ′′(x)dx2 + f ′(x)d2x. (3.8)
Nếu x = φ(t) với φ là hàm khả vi cấp 2 trên khoảng (α, β) nào đó thì d2x =
φ′′(t)dt2 = 0. Vì vậy số hạng f ′(x)d2x sẽ không bị triệt tiêu. Điều này cho thấy vi
phân cấp 2 của hàm f khi xem x là hàm theo biến t có dạng khác với vi phân cấp
2 của nó khi xem x là biến độc lập là d2y = f ′′(x)dx2.
Nói cách khác vi phân cấp n > 2 không bất biến khi thay biến số độc lập bởi
biến số phụ thuộc.
2) Từ (3.6) ta cũng nhận được
f ′′(x) =d2y − f ′(x)d2x
dx2=d2ydx− dyd2x
dx3. (3.9)
Do đó nếu hàm f cho bởi tham sốx = x(t)
y = y(t), t ∈ (α, β).
trong đó x(t), y(t) là các hàm khả vi cấp 2 trên (α, β), thì bằng cách sử dụng công
thức đạo hàm của hàm số cho bởi tham số ta có
f ′(x) =dy
dx=x′(t)
y′(t).
Hơn nữa
dx = x′(t)dt, d2x = x′′(t)dt2
65 Giáo trình Giải tích
và
dy = y′(t)dt, d2y = y′′(t)dt2.
Vì vậy theo (3.9) ta có
f ′′(x) =d2ydx− dyd2x
dx3=y′′(t)x′(t)− x′′(t)y′(t)(
x′(t))3 . (3.10)
3.3.2 Ví dụ. Đường Xycloid có phương trình
x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), a = 0, t ∈ R.
Ta có
y′x =x′(t)
y′(t)= cos
t
2
và
y′′x =y′′(t)x′(t)− x′′(t)y′(t)(
x′(t))3 = − 1
4a sin4 t
2
.
3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi
Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b) ta có
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Vế phải là một đa thức bậc nhất của đối với x. Như vậy giá trị của hàm f được
xấp xỉ bởi một đa thức bậc nhất. Trong trường hợp f khả vi đến cấp n thì chúng
ta còn thu được một xấp xỉ f(x) bởi một đa thức bậc n, đây là nội dung của công
thức Taylor mà chúng ta trình bày sau đây. Với n càng lớn thì sự xấp xỉ có độ chính
xác càng cao. Đây là một công thức quan trọng trong các phương pháp tính toán
sau này.
3.4.1 Định lý. (Khai triển Taylor với số dư Lagrange) Giả sử f : (a, b) → R có
đạo hàm đến cấp (n+ 1) trong (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi x ∈ (a, b) ta có
f(x) =n∑
k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)
k +f (n+1)(c)
(n+ 1)!(x− x0)
n+1 (3.11)
trong đó c là một điểm ở giữa x và x0.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
66 Giáo trình Giải tích
3.4.2 Chú ý. 1) Vì c nằm giữa x0 và x nên tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho c =
x0 + θ(x− x0). Do đó công thức (3.9) có thể viết lại
f(x) = pn(x) + rn(x) =n∑
k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)
k +f (n+1)
(x0 + θ(x− x0)
)(n+ 1)!
(x− x0)n+1
trong đó θ ∈ (0, 1).
Đại lượng
rn(x) =f (n+1)(x0 + θ(x− x0)
(n+ 1)!(x− x0)
n+1
đựoc gọi là số dư thứ n dạng Lagrange của khai triển Taylor.
2) Nếu chọn hàm ψ(t) = x− t thì ta có
ψ(x0) = x− x0, ψ(x) = 0 và ψ′(c) = −1.
Thay vào (3.14) và viết
(x− c)n =(x− x0 − θ(x− x0)
)n= (1− θ)n(x− x0)
n
ta sẽ nhận được biểu thức sau đây của số dư
rn(x) =f (n+1)
(x0 + θ(x− x0)
)n!
(1− θ)n(x− x0)n+1.
Biểu thức này được gọi là số dư thứ n dạng Cauchy của khai triển Taylor.
3) Nếu x0 = 0 ∈ (a, b) thì khai triển Taylor với số dư Lagrange được gọi là khai
triển Maclaurin. Khi đó
f(x) =n∑
k=0
f (k)(0)
k!xk +
f (n+1)(θx)
(n+ 1)!xn+1.
4) Khi n = 0 thì công thức Taylor với số dư Lagrange trở thành công thức số
gia giới nội Lagrange (xem Nhận xét 2.3.7).
Trong một số trường hợp nếu chúng ta chỉ quan tâm đến bậc của vô cùng bé
của số dư đối với x− x0 khi x → x0 mà không quan tâm đến biểu thức cụ thể của
số dư thì chúng ta dùng công thức khai triển Taylor với số dư Peano sau đây:
3.4.3 Định lý. (Khai triển Taylor với số dư Peano) Giả sử f : (a, b) → R có đạo
hàm đến cấp n trong (a, b), f (n) liên tục trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi
x ∈ (a, b) ta có
f(x) =n∑
k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)
k + o((x− x0)
n). (3.12)
67 Giáo trình Giải tích
Ta gọi rn(x) = o((x− x0)
n)
là số dư Peano.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
3.4.4 Ví dụ. Chúng ta viết khai triển Macraulin của một số hàm số sơ cấp thường
gặp.
1) Hàm f(x) = ex. Hàm số này khả vi mọi cấp trên R và
f (k)(x) = ex, ∀x ∈ R, ∀k = 1, 2, ...
Ta có thể khai triển Macraulin (Taylor) hàm số đến bậc tuỳ ý
f(x) =n∑
k=0
f (k)(0)
k!xk +
f (n+1)(θx)
(n+ 1)!xn+1
trong đó θ ∈ (0, 1). Suy ra
ex =n∑
k=0
1
k!xk +
eθx
(n+ 1)!xn+1 = 1 + x+
x2
2!+ · · ·+ xn
n!+
eθx
(n+ 1)!xn+1 (3.13)
ở đây rn(x) =eθx
(n+ 1)!xn+1 là số dư Lagrange thứ n của khai triển. Công thức (3.13)
có thể viết lại dưới dạng khai triển với số dư Peano
ex = 1 + x+x2
2!+ · · ·+ xn
n!+ o(xn). (3.14)
Tương tự ta chứng minh được các công thức sau
2)
sinx = x− x3
3!+x5
5!+ · · ·+ (−1)n−1 x2n−1
(2n− 1)!+ o(x2n). (3.15)
3)
cos x = 1− x2
2!+x4
4!+ · · ·+ (−1)n
x2n
(2n)!+ o(x2n+1
). (3.16)
4)
ln(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ · · ·+ (−1)n−1x
n
n+ o(xn), (x > −1). (3.17)
5)
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2!+ · · ·+ α(α− 1)...(α− n+ 1)
n!xn + o
(xn)
(3.18)
trong đó x > −1, α ∈ R.
68 Giáo trình Giải tích
3.4.5 Ví dụ. Trong một số trường hợp, chúng ta có thể dùng khai triển Taylor để
khử các vô cùng bé bậc cao trong quá trình tìm giới hạn. Chẳng hạn, tìm giới hạn
limx→0
3√1 + 3x−
√1 + 2x
x2.
Theo công thức (3.18) ta có
3√1 + 3x = (1+3x)
13 = 1+
1
3(3x)+
1
3(1
3− 1)(3x)2 + o
((3x)2
)= 1+ x− 2x2 + o(x2)
và
√1 + 2x = (1+ 2x)
12 = 1+
1
2(2x) +
1
2(1
2− 1)(2x)2 + o
((2x)2
)= 1+ x− x2 + o(x2).
Vì vậy
limx→0
3√1 + 3x−
√1 + 2x
x2= lim
x→0
(1 + x− 2x2 + o(x2)
)−(1 + x− x2 + o(x2)
)x2
= limx→0
−x2 + o(x2)
x2= −1.
3.4.6 Ví dụ. Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn 0, 001.
Ta có
ex = 1 + x+x2
2!+ · · ·+ xn
n!+
eθx
(n+ 1)!xn+1
với θ ∈ (0, 1). Vì vậy
e = 1 + 1 +12
2!+ · · ·+ 1
n!+
eθ
(n+ 1)!.
Chọn n sao choeθ
(n+ 1)!<
e
(n+ 1)!<
3
(n+ 1)!< 0, 001.
Ta thấy với n = 6 bất đẳng thức được thoả mãn. Khi đó
e ≈ 1 + 1 +1
2+
1
6+
1
24+
1
120+
1
720≈ 2, 718.
4 Một số ứng dụng của phép tính vi phân
Trong phần này chúng ta trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân trong
việc khử dạng vô định tìm giới hạn của hàm số, khảo sát hàm số. Bạn đọc có thể
tìm hiểu thêm một số ứng dụng khác như tính gần đúng nghiệm của phương trình,
và một số ứng dụng hình học trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương
3.
69 Giáo trình Giải tích
4.1 Quy tắc L′Hospital
Dưới đây, chúng ta trình bày một số điều kiện đủ để khử dạng vô định bằng đạo
hàm. Chúng được gọi là quy tắc L’Hospital. Các quy tắc này chỉ được phát biểu với
đạo hàm tuy nhiên nó vẫn đúng cho đạo hàm bên trái (tương ứng với giới hạn trái)
và đạo hàm bên phải (tương ứng với giới hạn phải) .
Cho c ∈ R. Giả sử f(x) và g(x) là các hàm xác định trong lân cận của c có thể
trừ điểm c. Xét giới hạn limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = 0. Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu các
ứng dụng của đạo hàm để khử các dạng vô định0
0và
∞∞
. Vì rằng các dạng vô định
khác có thể đưa về hai dạng vô định này bởi một số phép biến đổi thích hợp.
A. Khử dạng vô định0
0
4.1.1 Định lý. (Quy tắc L’ Hospital I) Cho f và g là các hàm xác định trong (a, b)
có thể trừ điểm c ∈ (a, b) sao cho limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = 0. Giả sử trong một lân cận
nào đó của điểm c ( có thể trừ điểm c) tồn tại các đạo hàm của f , g và g′(x) = 0.
Khi đó, nếu limx→c
f ′(x)
g′(x)tồn tại hữu hạn thì
limx→c
f(x)
g(x)= lim
x→c
f ′(x)
g′(x).
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
4.1.2 Chú ý. Trong định lý trên vì c ∈ (a, b) nên c là hữu hạn.
4.1.3 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→0
2x − 1
3x − 1.
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
limx→0
2x − 1
3x − 1= lim
x→0
2x ln 2
3x ln 3=
ln 2
ln 3.
Nếu cả hai đạo hàm f ′ và g′ vẫn dần tới 0 khi x→ c và chúng thoả mãn các giả
thiết của định lý thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa. Một
cách tổng quát ta có định lý sau.
4.1.4 Định lý. Cho f, g : (a, b) → R. Nếu trong một lân cận nào đó của điểm
c ∈ (a, b) các hàm f và g có đạo hàm cấp n, g(n)(x) = 0 ( có thể trừ điểm c) và
f(c) = g(c) = f ′(c) = g′(c) = ... = f (n−1)(c) = g(n−1)(c) = 0
70 Giáo trình Giải tích
thì
limx→c
f(x)
g(x)= lim
x→c
f (n)(x)
g(n)(x).
4.1.5 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→0
x3
x− sinx.
Áp dụng quy tắc L’Hospital ( 3 lần ) ta có
limx→0
x3
x− sin x= lim
x→0
3x2
1− cos x= lim
x→0
6x
sin x= lim
x→0
6
cosx= 6.
Định lý sau trình bày cho trường hợp c = +∞. Trường hợp c = −∞ được phát
biểu tương tự. Chứng minh của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
4.1.6 Định lý. Giả sử f và g là các hàm xác định trên (a,+∞) sao cho
1) limx→+∞
f(x) = limx→+∞
g(x) = 0.
2) f và g khả vi trên (a,+∞) và trên đó g′(x) = 0.
3) limx→+∞
f ′(x)
g′(x)= I. Khi đó
limx→+∞
f(x)
g(x)= I.
B. Khử dạng vô định∞∞
4.1.7 Định lý. (Quy tắc L’ Hospital II) Cho f và g xác định trong một δ−lân cận
U của c sao cho
1) limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = +∞.
2) f và g khả vi trên lân cận U ( có thể trừ điểm c) và g′(x) = 0 ∀x ∈ U \ c.
3) limx→c
f ′(x)
g′(x)= I. Khi đó
limx→c
f(x)
g(x)= I.
Ta bỏ qua chứng minh định lý này. Bạn đọc có thể xem chứng minh của nó trong
các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.
4.1.8 Chú ý. 1) Trong định lý trên, c có thể là các điểm vô hạn ±∞ và I có thể
nhận giá trị +∞.
2) Định lý vẫn đúng khi limx→c
f(x) = limx→c
g(x) = −∞.
71 Giáo trình Giải tích
4.1.9 Ví dụ. Tìm giới hạn limx→+∞
xα
ax, (a > 1, α > 0).
Tồn tại số tự nhiên n sao cho n < α 6 n+ 1. Áp dụng n lần quy tắc L’Hospital
II ta có
limx→∞
xα
ax= lim
x→∞
α(α− 1)...(α− n)x(α−n−1)
ax(ln a)n= lim
x→∞
α(α− 1)...(α− n)
x(n+1−α)ax(ln a)n= 0.
4.1.10 Chú ý. Các quy tắc L’Hospital vừa trình bày chỉ là điều kiện đủ mà không
là điều kiện cần để có giới hạn limx→c
f(x)
g(x), tức là có những trường hợp không tồn tại
limx→c
f ′(x)
g′(x)nhưng vẫn tồn tại lim
x→c
f(x)
g(x). Chẳng hạn bạn đọc có thể chứng minh
limx→0
f(x)
g(x)= lim
x→0
x2 sin1
xsinx
= 0.
Tuy nhiên
limx→0
f ′(x)
g′(x)= lim
x→0
2x sin1
x− cos
1
xcos x
là không tồn tại.
C. Khử các dạng vô định khác
Các dạng vô định khác như ∞−∞, 0.∞, ∞0, 1∞, 00 có thể khử được bằng
quy tắc L’Hospital sau khi thực hiện các phép biến đổi thích hợp. Chúng ta đến với
một ví dụ minh hoạ.
4.1.11 Ví dụ. 1) Tìm limx→0+
(1x
)tanx
.
Đặt u =(1x
)tanx
. Ta có
lnu = − tanx lnx =1
cosx
− lnx1
sinx
.
Do đó
limx→0+
lnu = limx→0+
1
cos xlimx→0+
− lnx1
sinx
= limx→0+
1
xcosx
sin2 x
= limx→0+
sin x
xtanx = 0.
Vậy
limx→0+
(1x
)tanx
= limx→0+
elnu = elim
x→0+lnu
= e0 = 1.
72 Giáo trình Giải tích
2) Tìm giới hạn limx→0
((1 + x)
1
x
e
)1
x.
Đặt u =
((1 + x)
1
x
e
)1
x. Ta có
ln v =1
x
(1
xln(1 + x)− 1
)=
ln(1 + x)− x
x2.
Do đó
limx→0
ln v = limx→0
ln(1 + x)− x
x2= lim
x→0
1
1 + x− 1
2x= lim
x→0
−x2(1 + x)x
= −1
2.
Vậy
limx→0
((1 + x)
1
x
e
)1
x= lim
x→0eln v = e
limx→0
ln v= e−
12 .
4.2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Việc khảo sát hàm số trong hệ trục toạ độ Descartes đã được trình bày trong
chương trình phổ thông. Ở đây, chỉ trình bày việc khảo sát hàm số cho dưới dạng
tham số và hàm số trong hệ toạ độ cực.
A. Khảo sát hàm số cho bởi dạng tham số
Giả sử quan hệ của hàm y với biến x được cho thông qua hệ phương trìnhx = x(t)
y = y(t), t ∈ [α, β].
Ta muốn khảo sát sự phụ thuộc của y và x. Nếu có thể tìm được t theo x từ phương
trình x = x(t) thì thay vào phương trình y = y(t) bài toán dẫn tới việc khảo sát hàm
trong hệ toạ độ Descartes mà chúng ta đã quen thuộc ở chương trình phổ thông.
Do đó khó khăn ở đây thường là không thể giải được (hoặc không giải được hoàn
toàn) t theo x từ phương trình x = x(t).
73 Giáo trình Giải tích
Quá trình khảo sát hàm số cho bởi hệ phương trìnhx = x(t)
y = y(t), t ∈ [α, β].
cũng được tiến hành như hàm số y = f(x) nhưng tiến hành đồng thời cho cả hai
hàm x = x(t) và y = y(t).
Nó được thực hiện theo các bước sau:
1) Tìm miền xác định (thông thường α, β là chưa biết), tìm các điểm gián đoạn
của x(t) và y(t). Xét tính tuần hoàn, chẵn, lẻ của x(t), y(t).
2) Khảo sát sự biến thiên của x(t) và y(t) theo t bằng cách tính đạo hàm.
3) Tìm tiện cận: Nếu t→ t0 ∈ R
+) x(t) → a và |y(t)| → ∞ thì đường thằng x = a là tiệm cận đứng;
+) |x(t)| → ∞ và y(t) → b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang;
+) |x(t)| → ∞,|y(t)| → ∞ và
limt→t0
y(t)
x(t)= k, lim
t→t0
(y(t)− kx(t)
)= b
ta có tiệm cận xiên y = kx+ b.
4) Vẽ đồ thi: Để vẽ đồ thị chúng ta phải dựa vào các dữ liệu về sự biến thiên,
tiệm cận và một số điểm đặc biệt của nó.
4.2.1 Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham sốx = tet
y = te−t.
Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t ∈ R.
Ta có x′(t) = (t + 1)et và y′(t) = (1 − t)e−t và do đó x′(t) = 0 khi t = −1,
y′(t) = 0 khi t = 1 .
74 Giáo trình Giải tích
t −∞ +∞
x′(t)
x(t)
y′(t)
y(t)
−1 1
− + +0
0 −1
2+∞
+ + −0
−∞0
1
2
x
y
O
e
1
e
−e
−1
e
Vì
limt→−∞
x(t) = limt→−∞
tet = 0, limt→−∞
y(t) = limt→−∞
te−t = −∞
nên đồ thị có tiệm cận đứng là x = 0. Đồng thời
limt→+∞
x(t) = limt→+∞
tet = +∞, limt→+∞
y(t) = limt→+∞
te−t = 0
suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 0.
Ta nhận được bảng biến thiên cho cả hai hàm x(t) và y(t) như Hình 3.2.
Ta có hai điểm M(− 1
e,−e
)và N
(e,1
e
)thuộc đồ thị hàm số. Ngoài ra đồ thị
còn đi qua điểm gốc O(0, 0). Đồ thị có dạng như trên ( Hình 3.3) .
75 Giáo trình Giải tích
4.2.2 Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham sốx = cos4 t
y = sin4 t.
1) Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t ∈ R. Miền giá trị là [0, 1].
Mặt khác chúng tuần hoàn theo chu kỳ π. Do đó chúng ta chỉ cần khảo sát chúng
trên [0, π].
t
x′(t)
x(t)
y′(t)
y(t)
− +0
0
+ −0
0
π
2 π
0 0
1 1
0
00
0
1
O
x
y
1
1
Ta có
x′(t) = −4 cos3 t sin t = 0 khi t = 0, t =π
2, và t = π
76 Giáo trình Giải tích
y′(t) = 4 sin3 t cos t = 0 khi t = 0, t =π
2, và t = π
y′(x) =y′(t)
x′(t)= − tan2 t = 0 khi t = 0, và t = π.
Bảng biến thiên như trên.
Đồ thị đi qua M(0, 1) và N(1, 0) có dạng (Hình 3.4).
Tương tự như trên ta có thể vẽ được đồ thị của các đường cong sau đây:
2) Đường Astroid với phương trình (Hình 3.5)x = a cos3 t
y = a sin3 t (a > 0).
Đường này còn có phương trình x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 (trong hệ toạ độ Descartes).
a−a O
x
y
−a
a
3) Lá Descartes với phương trình tham số (Hình 3.6)
x =3at
1 + t3, y =
3at2
1 + t3.
77 Giáo trình Giải tích
O
x
y
−a
−a a 3√2
a 3√2
a 3√4
a 3√4
4) Đường cong Xycloid (Hình 3.7)x = a(t− sin t)
y = a(1− cos t) (a > 0).
O
x
y
πa 2πa
2a
78 Giáo trình Giải tích
B. Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ cực
4.2.3 Hệ tọa độ cực. Trong mặt phẳng, chúng ta đã quen dùng hệ toạ độ Descartes
để biểu thị vị trí của các điểm. Tuy nhiên người ta còn có thể dùng nhiều hệ toạ độ
khác. Một trong những hệ toạ độ quan trọng là hệ toạ độ cực. Hệ toạ độ này được
xây dựng như sau:
O
x
y
φ
r
M
Chọn một điểm O trong mặt phẳng gọi nó là điểm cựcvà một tia Ox được định
hướng từ trái sang phải và gọi nó là trục cực. Khi đó, một điểm M tuỳ ý trong mặt
phẳng được hoàn toàn xác định bởi cặp số (r, φ) trong đó
r = |−−→OM |
(r còn gọi là toạ độ dài của vectơ−−→OM) và
φ =
(Ox,→OM)
là góc giữa trục Ox và−−→OM với 0 6 φ 6 2π.
Chú ý rằng điểm cực O ứng với r = 0 còn φ tuỳ ý trong [0, 2π].
Nếu chọn hệ trục toạ độ Descartes Oxy với trục hoành là trục cực và O là điểm
cực thì ta có mối liên hệ giữa toạ độ (x, y) của điểm M với toạ độ cực (r, φ) như
sau: x = r cosφ
y = r sinφ
và r2 = x2 + y2
tanφ =y
x(r > 0).
79 Giáo trình Giải tích
Trục Oy là trục vuông góc với trục cực.
Cũng như toạ độ Descartes trong hệ toạ độ cực hàm số được cho dưới dạng
r = f(φ)
hoặc cho dưới dạng hàm ẩn
F (r, φ) = 0.
4.2.4 Ví dụ. 1) Trong hệ toạ độ cực, đồ thị của hàm số có phương trình r = a (a >
0) chính là đường tròn tâm O bán kính a.
2)Xét hàm số r = x0 cosφ+ y0 sinφ ( x20 + y20 = 0). Ta nhận dạng đồ thị hàm số
này. Ta có
r2 = x0r cosφ+ y0r sinφ
suy ra
x2 + y2 = x0x+ y0y ⇔ (x− x02)2 + (y − y0
2)2 =
x20 + y204
.
Vậy đồ thị là đường tròn tâm(x02,y02
)bán kính
√x20 + y202
.
4.2.5 Các bước khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực.
Bây giờ chúng ta khảo sát hàm số
r = f(φ)
trong hệ toạ độ cực. Các bước vẫn tiến hành như sau:
1) Tìm miền xác định, điểm gián đoạn, tính tuần hoàn, tính đối xứng của đồ thị
qua trục cực, đối xứng qua trục vuông góc với trục cực và tính đối xứng qua điểm
cực.
2) Lập bảng biến thiên, bằng cách tính đạo hàm.
3) Xác định một số điểm đặc biệt và phác hoạ đồ thị.
4.2.6 Chú ý. a) Về tính đối xứng.
+) Nếu f(φ) = f(φ+ π) thì đồ thị đối xứng qua điểm cực.
+) Nếu f(φ) = f(−φ) thì đồ thị đối xứng qua trục cực.
+) Nếu f(φ) = f(φ+
π
2
)thì đồ thị đối xứng qua trục vuông góc với trục cực.
b) Xác định tiếp tuyến.
Giả sử θ là góc giữa bán kính vectơ→OM và tiếp tuyến của đồ thì r = f(φ) tại
M(r, φ) và α là góc giữa tiếp tuyến với trục cực.
80 Giáo trình Giải tích
O
x
y
φ
Mα
θ
Ta có
tan θ = tan(α− φ) =tanα− tanφ
1 + tanα tanφ.
Đường cong r = f(φ) viết lại dưới dạngx = r(φ) cosφ
y = r(φ) sinφ
Do đó (hệ số góc của tiếp trong hệ toạ độ Descartes)
tanα =y′(φ)
x′(φ)=r′ sinφ+ r cosφ
r′ cosφ− r sinφ.
Từ đó ta nhận được
tan θ =r
r′.
4.2.7 Ví dụ. (Đường Lemniscat-Bernoulli). Khảo sát và vẽ đường Lemniscat-
Bernoulli có phương trình
r2 = 2a2 cos 2φ.
Tập xác định cos 2φ > 0. Hàm số liên tục trên tập xác định, tuần hoàn với chu kỳ
π. Đồ thị hàm số đối xứng qua cực. Viết lại hàm số dưới dạng
r = a√2√cos 2φ.
81 Giáo trình Giải tích
θ 0
π
4
r′
r
a√2
0
−
O
x
y
−a√2
a√2
Ta có r(φ) = r(−φ) vậy đồ thị hàm số đối xứng qua trục cực. Do vậy ta chỉ cần
khảo sát hàm số trên [0,π
4]. Ta có
r′ = −a√2
sin 2φ√cos 2φ
.
Suy ra r′ 6 0 khi φ ∈ [0,π
4]. Ta có bảng biến thiên của hàm số như trên.
Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị trên [0,π
4] lần lượt lấy đối xứng qua trục
cực và điểm cực (Hình 3.8).
4.2.8 Ví dụ. (Đường Pascal) .Khảo sát và vẽ đường Pascal có phương trình:
r = 2a cosφ+ h (a > 0, h > 0).
82 Giáo trình Giải tích
Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số là hàm chẵn, đồ thị
hàm số đối xứng qua trục cực. Do vậy ta chỉ cần khảo sát hàm số trên [0, π]. Ta có
r′ = −2a sinφ. Suy ra r′ 6 0 khi φ ∈ [0, π]. Ta có bảng biến thiên của hàm số
0
π
4
r′
r
−
π
−
h+ 2a
h− 2a
h
φ
Đồ thị của hàm số có dạng sau:
1) Nếu h > 2a thì đường cong có dạng (Hình 3.9)
O
x
a
2) Nếu h < 2a thì đường cong có dạng (đường ốc sên) (Hình 3.10)
O
x
a
83 Giáo trình Giải tích
3) Nếu h = 2a thì đường cong có dạng (đường hình tim Cardionid) (Hình 3.11)
O
a 4a x
4.2.9 Ví dụ. (Đường hoa hồng 3 cánh) .Khảo sát và vẽ đường cong có phương
trình
r = a sin 3φ (a > 0).
Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ2π
3. Khảo sát hàm số trên [0,
π
3].
Ta có
r′ = 3a cos 3φ.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
0
r′
r
−
φ
π
3
π
6
3a −3a0+
0 0
a
Đồ thị của hàm số trong [0,π
3] gồm một cánh. Sau đó qua lần lượt quay đồ thị
một góc2π
3ta thu được hai cánh còn lại (Hình 3.12).
84 Giáo trình Giải tích
x
y
O
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 3
Câu hỏi thảo luận
1) Các khái niệm đạo hàm, hàm khả vi, vi phân của hàm số. Các tính chất của
hàm khả vi.
2) Các ứng dụng của phép tính vi phân trong cơ học và tính toán (tính gần
đúng).
3) Các định lý về gia trị trung bình (Rolle, Cauchy, Lagrange).
4) Ý nghĩa của công thức Taylor là xấp xỉ hàm bởi đa thức. Đánh giá số hạng
dư dạng Lagrange, Cauchy, Peano trong các xấp xỉ đó.
5) Ứng dụng của công thức Taylor để tính gần đúng và tìm giới hạn.
6) Ứng dụng quy tắc L’Hopital tìm giới hạn.
85 Giáo trình Giải tích
Bài tập chương 3
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau
1) y = ln(x+√x2 + 1).
2) y = xx2.
3) y =3
7x3√x− 4
11x5√x+
2
15
√x.
4) y = (x2 + 2x+ 2)e−x
.
5) y = e√2x(
√2x− 1).
6) y =23x
32x.
7) y = x arccosx
2−√4− x2.
8) y = x2 + 2x cos x− 2 sin x.
9) y = (sin x)tanx.
10) y = arctan
√1− x
1 + x.
11) y = ln
√1 + sinx
1− sinx.
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau
1) y = x|x|.
2) y =
1− x nếu x ∈ (−∞, 1)
(1− x)(2− x) nếu x ∈ [1, 2]
−(2− x) nếu x ∈ (2,+∞).
3) y =
x2. sin1
xnếu x = 0
0 nếu x = 0.
4) y =
(x− a)2(x− b)2 nếu x ∈ [a, b]
0 nếu x /∈ [a, b].
Bài 3. 1) Cho hàm số f(x) = (x−a)φ(x) trong đó φ(x) là hàm liên tục tại điểm
x = a. Tính f ′(a).
2) Cho hàm số f(x) = |x−a|φ(x) trong đó φ(x) là hàm liên tục tại điểm x = a
86 Giáo trình Giải tích
và φ(a) = 0. Chứng minh rằng f(x) không có đạo hàm tại x = a. Tính f ′+(a), f
′−(a).
Bài 4. Hãy xác định a, b để các hàm số sau khả vi trên R.
1) f(x) =
x2 nếu x 6 0
ax+ b nếu x > 0.
2) f(x) =
e−2x(x+ 1) nếu x 6 0
x2 + ax+ b nếu x > 0.
Bài 5. Giả sử F (x) = f(x) + g(x).
1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0, còn g(x) không có đạo hàm tại điểm
này thì hàm số F (x) có đạo hàm tại x0 hay không?
2) Nếu cả hai hàm f(x) và g(x) đều không có đạo hàm tại x0 thì hàm F (x) có
thể có đạo hàm tại điểm này hay không? Cho ví dụ.
Bài 6. Giả sử G(x) = f(x).g(x).
1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0, còn g(x) không có đạo hàm tại điểm
này thì hàm số G(x) có đạo hàm tại x0 hay không?
2) Nếu cả hai hàm f(x) và g(x) đều không có đạo hàm tại x0 thì hàm G(x) có
thể có đạo hàm tại điểm này hay không?
Bài 7. Tính các đạo hàm cấp cao
1) Tính y(20) nếu y = x2.e2x.
2) Tính y(8) nếu y =x2
1− x.
3) y =ax+ b
cx+ dtrong đó a, b, c, d là các hằng số, c = 0. Tính y(n).
4) y =1
x2 − 3x+ 2. Tính y(n).
5) Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) = x. ln(x+√x2 + 1).
6) Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) = x4.e2x.
7) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm số f(x) =1
2x+ 3.
8) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm số y =1
2x− 1tại các điểm thuộc tập xác
định của hàm.
Bài 8. Giả sử f(x) là hàm xác định và có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 với
87 Giáo trình Giải tích
x 6 0. Hãy xác định hằng số a, b và c để cho hàm số:
F (x) =
f(x) với x 6 0,
ax2 + bx+ c với x > 0
có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 tại x = 0.
Bài 9. Tính gần đúng
1) 3√1, 02.
2) sin 460.
Bài 10. Cho hàm số
f(x) =
3− x2
2với 0 6 x < 1
1
xvới 1 6 x.
Hãy xác định giá trị c ∈ (0, 2) sao cho:
f(2)− f(0) = 2.f ′(c).
Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) | sin x− sin y| 6 |x− y|, với mọi x, y ∈ R.
2) | arctanx− arctan y| 6 |x− y|, với mọi x, y ∈ R.
3)a− b
a< ln
a
b<a− b
b, nếu 0 < b < a.
Bài 12.
1) Khai triển đa thức P (x) = 1 + 3x+ 5x2 − 2x3 theo lũy thừa nguyên duơng
của (x+ 1).
2) Khai triển hàm f(x) = ln(cos x) theo lũy thừa nguyên duơng của x đến x3.
Bài 13. Dùng quy tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau
1) limx→0
tanx− x
x− sinx.
2) limx→0
x cotx− 1
x2.
3) limx→0
arcsin 2x− 2 arcsinx
x3.
4) limx→0
x cotx− 1
x2.
88 Giáo trình Giải tích
5) limx→0
(sinx
x
) 1x2
.
6) limx→0+
(ln
1
x
)x
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 3
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
CHƯƠNG 4
TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
IV.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của
phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.
IV.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính tích phân bất định, tích
phân xác định, tích phân suy rộng và một số ứng dụng của tích phân.
IV.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày được định nghĩa nguyên hàm, tính phân không xác định và tích
phân xác định. Nắm được các tính chất của tính phân không xác định và tích phân
xác định.
2. Biết thực hiện các phương pháp tính tích phân không xác định và tích phân
xác định.
3. Biết áp dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích miền phẳng, thể tích,
diện tích xung quanh và thể tích của các hình tròn xoay.
4. Biết tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2 và hiểu ý nghĩa của chúng.
IV.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
89
90 Giáo trình Giải tích
1 Nguyên hàm và tích phân không xác định
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : (a, b) → R. Hàm số F (x) khả vi trên (a, b)
được gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) nếu
F ′(x) = f(x), với mọi x ∈ (a, b). (4.1)
Chú ý. 1) Nếu f : [a, b] → R và F ′(x) = f(x) với mọi x ∈ [a, b] trong đó đạo hàm
của F tại x = a là đạo hàm bên phải và đạo hàm của F tại x = b là đạo hàm bên
trái thì ta cũng gọi F (x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b].
2) Người ta chứng minh được rằng mọi hàm liên tục trên [a, b] đều tồn tại nguyên
hàm trên đó.
Định lý sau mô tả tập hợp các nguyên hàm của một hàm cho trước. Chứng minh
của kết quả này có thể đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương
4.
1.1.2 Định lý. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a, b) thì tập tất cả các
nguyên hàm của f(x) trên (a, b) có dạng F (x) + C : C ∈ R.
1.1.3 Định nghĩa. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) được gọi
là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của hàm f(x) trên (a, b) và
được ký hiệu là ∫f(x)dx.
Ta gọi f(x) là hàm dưới dấu tích phân, x là biến số lấy tích phân và f(x)dx là biểu
thức lấy tích phân.
Từ Định lý 1.1.2 và Định nghĩa 1.1.3 ta thấy rằng nếu F (x) là một nguyên hàm
của hàm f(x) thì ta có thể viết∫f(x)dx = F (x) + C (C ∈ R).
Mặt khác do biểu thức vi phân dF (x) = F ′(x)dx nên tích phân trên còn có thể viết
dưới dạng ∫dF (x) = F (x) + C.
91 Giáo trình Giải tích
1.1.4 Ví dụ. a) Nguyên hàm của hàm ex là chính nó trên toàn bộ R và∫exdx = ex + C.
b) Từ (ln |x|)′ = 1
xvới mọi x = 0, suy ra ln |x| là nguyên hàm của
1
xtrên R\0.
Khi đó ∫dx
x= ln |x|+ C
chỉ được xét trên (−∞, 0) hoặc (0,+∞).
c) Hàm f(x) = |x| có một nguyên hàm trên R là hàm
F (x) =x|x|2
=
x2
2nếu x > 0
−x2
2nếu x < 0.
Vậy
∫|x|dx =
x|x|2
+ C.
Trong Định nghĩa 1.1.1 ta nhận thấy rằng đẳng thức (4.1) không phụ thuộc
vào biến số (lấy tích phân) x, t hay u,... miễn sao biến số đó thuộc (a, b). Như vậy∫f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và (a, b) chứ không phụ thuộc vào biến số
lấy tích phân. Ta có tính chất sau đây:
1.1.5 Mệnh đề. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a, b) thì
∫f(x)dx không phụ thuộc
vào biến số lấy tích phân trên (a, b), nghĩa là∫f(x)dx =
∫f(u)du = ...
trong đó x, u, ... đều biến thiên trên (a, b).
Các tính chất sau đây được suy ra từ các định nghĩa.
1.1.6 Mệnh đề. Nếu f(x) và g(x) là các hàm có nguyên hàm trên (a, b) và α là
hằng số khác 0 thì f(x)± g(x) và αf(x) có nguyên hàm trên (a, b) và
a)
∫(f(x)± g(x))dx =
∫f(x)dx±
∫g(x)dx;
b)
∫αf(x)dx = α
∫f(x)dx.
92 Giáo trình Giải tích
1.1.7 Mệnh đề. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a, b) thì
a)(∫
f(x)dx)′
= f(x);
b) d(∫
f(x)dx)= f(x)dx.
Trong tính chất trên ta quy ước lấy đạo hàm hay vi phân của tích phân không
xác định là lấy đạo hàm hay vi phân của từng phần tử của nó.
1.1.8 Bảng tích phân không xác định của một số hàm số. Từ bảng đạo
hàm của các hàm sơ cấp và định nghĩa nguyên hàm ta có các tích phân không xác
định sau đây.
1.
∫αdx = αx+ C, α ∈ R;
2.
∫xαdx =
xα+1
α+ 1+ C, α ∈ R \ −1;
3.
∫dx
x= ln |x|+ C, x thuộc khoảng mở không chứa 0;
4.
∫axdx =
ax
ln a+ C, (0 < a = 1);
5.
∫exdx = ex + C;
6.
∫dx
1 + x2= arctan x+ C;
7.
∫dx√1− x2
= arcsinx+ C = − arccos x+ C;
8.
∫sin xdx = − cos x+ C;
9.
∫cos xdx = sinx+ C;
10.
∫dx
cos2 x= tan x+ C;
11.
∫dx
sin2 x= − cotanx+ C;
12.
∫chxdx = sh x+ C;
93 Giáo trình Giải tích
13.
∫shxdx = chx+ C;
14.
∫dx
ch2 x= th x+ C;
15.
∫dx
sh2 x= − coth x+ C.
1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng
phần
A. Phương pháp đổi biến số
1.2.1 Định lý. Giả sử f(x) là một hàm số xác định và có nguyên hàm F (x) trên
(a, b).
1) Nếu φ : (α, β) → (a, b) là một hàm khả vi thì∫f(φ(x))φ′(x)dx = F (φ(x)) + C, x ∈ (α, β). (4.2)
2) Nếu φ : (α, β) → (a, b) là một hàm khả vi liên tục có hàm ngược ψ(x) sao cho
g = (f φ).φ′ có nguyên hàm G trên (α, β) thì∫f(x)dx = F (x) + C = G(ψ(x)) + C, x ∈ (a, b). (4.3)
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
Từ định lý trên cho ta các phương pháp để tính tích phân bất định, gọi là phương
pháp đổi biến số. Có hai cách sau đây thường dùng trong phương pháp đổi biến số.
Giả sử cần tìm
∫f(x)dx.
1) Phương pháp 1. Nếu f(x) = g(φ(x))φ′(x), x ∈ (a, b) thì bằng cách đặt
u = φ(x), nhờ khẳng định 1) của Định lý 1.2.1 ta có∫f(x)dx =
∫g(φ(x))φ′(x)dx =
∫g(u)du.
Bài toán dẫn tới đi tìm
∫g(u)du.
Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:
94 Giáo trình Giải tích
1.2.2 Ví dụ. a) Tìm I1 =
∫sinx cos xesin
2 xdx ?
I1 =
∫sinx cosxesin
2 xdx =
∫eu
2du (đặt u = sin2 x) =
eu
2+ C.
Vậy
I1 =
∫sinx cos xesin
2 xdx =esin
2x
2+ C.
b) Tìm I2 =
∫dx
sinx?
I2 =
∫dx
sin x=
∫dx
2 sinx
2cos
x
2
=
∫ dx
cos2x
2
2 tanx
2
.
Đặt u = tanx
2, du =
dx
2 cos2x
2
. Ta nhận được
I2 =
∫du
u= ln |u|+ C = ln
∣∣ tan x2
∣∣+ C.
c) Tìm I3 =
∫ (ln
1
x
)αx
dx, (α = −1).
I3 =
∫ (ln
1
x
)αx
dx
= −∫uαdu (đặt u = ln
1
x)
= − uα+1
α + 1+ C
= −
(ln
1
x
)α+1
α+ 1+ C.
2) Phương pháp 2. Trong một số trường hợp ta có thể đặt x = φ(t) với φ là
hàm số thoả mãn điều kiện 2) trong Định lý 1.2.1. Khi đó, ta có∫f(x)dx =
∫f(φ(t))φ′(t)dt =
∫g(t)dt = G(t) + C.
Sau cùng chuyển tích phân về biến x nhờ hàm ngược t = ψ(x).
Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:
95 Giáo trình Giải tích
1.2.3 Ví dụ. Tính J1 =
∫x2√a2 − x2dx (a > 0).
Hàm dưới dấu tích phân chỉ xác định trên [−a, a]. Đặt x = φ(t) = a sin t,
t ∈ [−π2,π
2]. Khi đó φ có hàm ngược trên [−a, a] là t = arcsin
x
a. Theo điều kiện 2)
của Định lý 1.2.1 ta có
J1 = a4∫
sin2 t| cos t| cos tdt (t ∈ [−π2,π
2])
= a4∫
sin2 t cos2 tdt =a4
8
∫(1− cos 4t)dt
=a4
8(t− sin 4t
4) + C
=a4
8arcsin
x
a− a3x
8
√1− x2
a2
√1− 2
x2
a2+ C.
b) Tính J2 =
∫dx√x2 + a2
(a > 0). Đăt x = φ(t) = a sh t, t ∈ (−∞,+∞).
Khi đó φ có hàm ngược được xác định
t = ln(x+√x2 + a2).
Ta thu được
J2 =
∫dx√x2 + a2
=
∫a ch tdt
a ch t= t+ C = ln(x+
√x2 + a2) + C.
Tương tự bằng cách đặt x = a ch t ta tính được
J2 =
∫dx√x2 − a2
(a > 0) = ln |x+√x2 − a2|+ C.
c) Tính J3 =
∫ √x2 + a2dx, (a > 0). Đặt x = a sh t ta có
J3 =
∫ √a2 sh2 t+ a2a ch tdt = a2
∫ √sh t2 + 1 ch tdt
= a2∫
ch2 tdt =a2
2
∫(ch 2t+ 1)
=a2
2
(ch 2t2
+ t)+ C
=a2
2(sh t
√sh2 t+ 1 + t) + C
=x
2
√x2 + a2 +
a2
2ln |x+
√x2 + a2|+ C.
Hoàn toàn tương tự ta tính được∫ √x2 − a2dx =
x
2
√x2 − a2 − a2
2ln |x+
√x2 + a2|+ C, (a > 0).
96 Giáo trình Giải tích
B. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u(x), v(x) là các hàm khả vi trên một khoảng (a, b) nào đó. Khi đó
[u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x).
Như vậy nếu một trong hai hàm u′(x)v(x), u(x)v′(x) có nguyên hàm thì hàm kia
cũng có nguyên hàm và ta có công thức∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x)dx.
hay viết gọn ∫udv = uv −
∫vdu. (4.4)
Công thức (4.4) được gọi là công thức tích phân từng phần.
1.2.4 Ví dụ. a) Tính I1 =
∫x arctanxdx.
Đặt u = arctan x và dv = xdx. Ta nhận được du =dx
1 + x2và v =
x2
2. Theo công
thức tích phân từng phần ta có
I1 =x2
2arctanx− 1
2
∫x2dx
1 + x2=x2
2arctanx− 1
2
(∫dx−
∫dx
1 + x2
)=
1
2(x2 arctanx− x+ arctanx) + C.
b) Tính I2 =
∫xn lnxdx (n = −1).
Đặt u = ln x và dv = xndx . Suy ra du =dx
xvà v =
xn+1
n+ 1. Ta thu được
J2 =xn+1 lnx
n+ 1− 1
n+ 1
∫xndx =
xn+1 lnx
n+ 1− xn+1
(n+ 1)2+ C.
c) Tính I =
∫eax cos bxdx và J =
∫eax sin bxdx, trong đó a, b là các hằng số
khác 0.
Đặt u = eax và dv = cos bxdx. Suy ra du = aeaxdx và v =sin bx
b. Khi đó ta có
I =1
beax sin bx− a
b
∫eax sin bxdx =
1
beax sin bxdx− a
bJ. (4.5)
Tương tự ta có
J = −1
beax sin bxdx+
a
bI. (4.6)
97 Giáo trình Giải tích
Từ (4.5) và (4.6) ta thu được
I =eax
a2 + b2(a cos bx+ b sin bx) + C
và
J =eax
a2 + b2(a cos bx− b sin bx) + C.
Chú ý. 1) Việc tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần phụ thuộc
rất nhiều vào cách chọn u và dv sao cho phù hợp. Nói chung trong mỗi tích phân cụ
thể có thể có nhiều cách chọn khác nhau.
2) Khi tính tích phân
∫f(x)dx trong trường hợp f(x) là tích của một đa thức
với hàm số mũ, hàm số lượng giác hoặc các hàm số ngược của chúng người ta thường
dùng phương pháp tích phân từng phần.
Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp tính tích phân bất định của một số lớp
hàm sơ cấp thường gặp. Đầu tiên ta sẽ đến với tích phân của hàm hữu tỷ.
1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ
1.3.1 Phương pháp chung. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày phương pháp
chung để tính tích phân bất định của hàm hữu tỷ. Hàm hữu tỷ là hàm được viết
dưới dạng thương của hai đa thức hệ số thực
f(x) =P (x
Q(x),
trong đó Q(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Về mặt lý thuyết tích phân này có thể
tính được theo các bước:
1) Phân tích f(x) thành tổng của một đa thức và các phân thức hữu tỷ đơn
giản. Phân thức hữu tỷ đơn giản là các phân thức có dạng sau
A
(x+ a)n,
Bx+ C
(x2 + px+ q)m,
trong đó x2+ px+ q bất khả quy trong R tức là tam thức bậc hai x2+ px+ q không
có nghiệm thực; A,B và C là các hằng số.
2) Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản.
98 Giáo trình Giải tích
1.3.2 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản. Trước hết bằng phép
chia đa thức ta có thể viết lại
f(x) =P (x)
Q(x)= R(x) +
P1(x)
Q(x),
trong đó R(x), P1(x) là các đa thức và bậc của P1(x) bé hơn bậc của Q(x). Do tích
phân của đa thức R(x) được tính đơn giản nên việc tính tích phân của f(x) quy
về tính
∫P1(x)
Q(x)dx. Như vậy chúng ta chỉ cần xét cho trường hợp f(x) =
P (x
Q(x), với
bậc của P (x) bé hơn bậc của Q(x).
Theo định lý cơ bản trong lý thuyết đa thức đại số, đa thức Q(x) luôn phân tích
được dưới dạng sau:
Q(x) = A(x− a1)k1 ...(x− an)
kn(x2 + p1x+ q1)l1 ....(x2 + pmx+ qm)
lm ,
trong đón∑
i=1
ki + 2m∑j=1
lj = bậc của Q(x)
và x2 + pjx + qj là đa thức bậc 2 bất khả quy trong R với mọi j = 1, 2, ...,m. Khi
đó, f(x) =P (x)
Q(x)có thể phân tích được dưới dạng sau
P (x)
Q(x)=
n∑i=1
ki∑s=1
Ai,s
(x− ai)s+
m∑j=1
lj∑r=1
Bj,rx+ Ci,r
(x2 + pjx+ qj)r.
Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định (quy đồng và đồng nhất các hệ số
cùng bậc ở tử số ) ta sẽ tìm được các hệ số Ai,s , Bj,r và Cj,r trong đẳng thức trên.
Ví dụ. Xét phân thức
f(x) =P (x)
Q(x)=
−2x4 + 14x+ 6
x5 − 4x2 + 3x.
Ta có Q(x) = x5 − 4x2 + 3x = x(x− 1)2(x2 + 2x+ 3). Dó đó có thể viết
−2x4 + 14x+ 6
x5 − 4x2 + 3x=A
x+
B
x− 1+
C
(x− 1)2+
Dx+ E
x2 + 2x+ 3.
Quy đồng mẫu số và đồng nhất các hệ số cùng bậc ở tử số hai vế với nhau ta thu
được một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn A,B,C,D và E. Giải hệ này ta có
A = 3, B = −4, C = 2, D = 0, E = 1.
99 Giáo trình Giải tích
1.3.3 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đặc biệt. Trong phần này chúng
tôi trình bày cách tính các phân thức hứu tỷ đặc biệt sau:
1) Tính In =
∫dx
(x+ a)n(n ≥ 1).
Ta dễ dàng có được
∫dx
(x+ a)n=
ln |x+ a|+ C nếu n = 1
1
1− n
1
(x+ a)n−1+ C nếu n > 1.
2) Tính Jm =
∫(Bx+ C)dx
(x2 + px+ q)m(m ≥ 1).
Đầu tiên có thể viết được tích phân này dưới dạng
Jm =M
∫(2x+ p)dx
(x2 + px+ q)m+N
∫dx
(x2 + px+ q)m.
Do ∫(2x+ p)dx
(x2 + px+ q)m=
∫d(x2 + px+ q)
(x2 + px+ q)m
=
ln |x2 + px+ q|+ C nếu m = 1
1
1−m
1
(x2 + px+ q)m−1+ C nếu m > 1
nên để tính Jm ta chỉ cần tính tích phân Km =
∫dx
(x2 + px+ q)m. Vì tính bất khả
quy của x2+px+q nên nó có thể viết được dưới dạng x2+px+q = (x+b)2+c2 (c =0).
a) Nếu m = 1 thì
K1 =
∫dx
x2 + px+ q=
∫dx
(x+ b)2 + c2
=1
c
∫ d(x+ b
c
)(x+ b
c
)2+ 1
=1
carctan
(x+ b
c
)+ C.
100 Giáo trình Giải tích
b) Nếu m > 1 thì
Km =
∫dx
((x+ b)2 + c2)m
=1
c2
∫ (c2 + (x+ b)2 − (x+ b)2
)dx
((x+ b)2 + c2)m
=1
c2Km−1 −
1
c2
∫(x+ b)2dx
((x+ b)2 + c2)m
=1
c2Km−1 −
1
2c2
∫(x+ b)
2(x+ b)dx
((x+ b)2 + c2)m.
Đặt u = x+ b và dv =2(x+ b)dx
((x+ b)2 + c2)m. Suy ra du = dx và
v =1
(1−m)((x+ b)2 + c2)m−1.
Theo công thức tích phân từng phần ta có
Km =1
c2Km−1 −
1
2c2(1−m)
( x+ b
((x+ b)2 + c2)m−1−∫
dx((x+ b)2 + c2
)m−1
).
Ta thu được công thức quy nạp
Km =1
2c2(m− 1)
x+ b
((x+ b)2 + c2)m−1+
1
c22m− 3
2m− 2Km−1.
Vậy tích phân Km được tính hoàn toàn.
Như vậy tích phân bất định của hàm hữu tỷ hoàn toàn tính được.
1.3.4 Một số ví dụ tính tích phân các hàm hữu tỷ. Bây giờ chúng tôi giới
thiệu một số ví dụ áp dụng các phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỷ đã
trình bày ở trên.
1) Tính tích phân
I1 =
∫2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6
x5 − 4x2 + 3xdx.
Thực hiện phép chia đa thức ta có
2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6
x5 − 4x2 + 3x= 2x2 + 1 +
−2x4 + 14x+ 6
x5 − 4x2 + 3x
101 Giáo trình Giải tích
Vì vậy theo Ví dụ ở Mục1.3.2 ta có
I =
∫2x7 + x5 − 10x4 + 6x3 − 4x2 + 17x+ 6
x5 − 4x2 + 3xdx
=
∫(2x2 + 1)dx+
∫−2x4 + 14x+ 6
x5 − 4x2 + 3xdx
=2x3
3+ x+ 2
∫dx
x− 4
∫dx
x− 1+ 3
∫dx
(x− 1)2+
∫dx
x2 + 2x+ 3
=2x3
3+ x+ 2 ln |x| − 4 ln |x− 1| − 3
x− 1+
∫d(x+ 1)
(x+ 1)2 + 2
=2x3
3+ x+ 2 ln |x| − 4 ln |x− 1| − 3
x− 1+
1√2arctan
x+ 1√2
+ C.
b) Tính tích phân
I2 =
∫3x2 + x+ 1
x4 + x.
Ta có x4 + x = x(x+ 1)(x2 − x+ 1). Viết lại hàm dưới dấu tích phân dưới dạng
3x2 + x+ 1
x4 + x=A
x+
B
x+ 1+
Cx+D
x2 − x+ 1.
Bằng phương pháp hệ số bất định ta thu được A = 1, B = −1, C = 0, D = 2. Suy
ra
I2 =
∫3x2 + x+ 1
x4 + x
=
∫dx
x−∫
dx
x+ 1+
∫dx
x2 − x+ 1
= ln |x| − ln |x+ 1|+ 2√3arctan
( 2√3(x− 1
2))+ C.
Chú ý. Trong một số trường hợp đặc biệt người ta có thể dùng phương pháp
đổi biến số thích hợp sẽ cho cách tính tích phân đơn giản hơn so với phướng pháp
hệ số bất định. Đặc biệt khi mẫu số là các đa thức bậc cao.
c) Tính tích phân
J1 =
∫dx
x10 + x.
Ta có
J1 =
∫dx
x10 + x=
∫x8dx
x9(x9 + 1)
=1
9
∫ ( 1x9
− 1
x9 + 1
)dx9
=1
9(ln |x9| − ln |x9 + 1|) + C =
1
9ln( x9
x9 + 1
)+ C.
102 Giáo trình Giải tích
d) Tính tích phân
J2 =
∫(x2 − 1)dx
(x2 − 3x+ 1)(x2 + 5x+ 1).
Ta có
J2 =
∫(x2 − 1)dx
(x2 − 3x+ 1)(x2 + 5x+ 1)=
∫ (1− 1
x2)dx
(x− 3 +1
x)(x+ 5 +
1
x).
Đặt u = x+1
xsuy ra du = (1− 1
x2)dx. Ta thu được
J2 =
∫du
(u− 3)(u+ 5)=
1
8
∫ ( 1
u− 3− 1
u+ 5
)du
=1
8lnu− 3
u+ 5+ C
=1
8lnx+
1
x− 3
x+1
x+ 5
+ C
=1
8lnx2 − 3x+ 1
x2 + 5x+ 1+ C.
1.4 Tích phân một số hàm vô tỷ
Trong mục này, chúng ta trình bày cách tính tích phân bất định của một số
hàm vô tỷ bằng phương pháp đổi biến số thích hợp để đưa về tích phân của hàm
hữu tỷ.
1.4.1. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x, xmn , ..., x
sr ), trong đó R là hàm
số hữu tỷ nhiều biến và m,n, s, r, ... ∈ N∗
Để tính
I =
∫R(x, x
mn , ..., x
sr )dx
ta dùng phép đổi biến số t = x1k trong đó k là bội chung nhỏ nhất của n, ..., s. Khi
đó
I =
∫R(tk, tk1 , ..., tkl)ktk−1dt
là tích phân của một hàm hữu tỷ.
Ví dụ. Tính tích phân
I =
∫ √x
3√x+ 4
√xdx.
103 Giáo trình Giải tích
Đặt t = x112 . Suy ra x = t12 và dx = 12t11dt. Ta có
I =
∫ √x
3√x+ 4
√xdx = 11
∫t17dt
t4 + t3= 11
∫t14
t+ 1dt
= 11
∫(t13 − t12 + t11 − t10 + t9 − t8 + t7 − t6 + t5 − t4 + t3 − t2 + t− 1 +
1
t+ 1)dt
= 11(t1414
+t13
13+t12
12+t10
10+t9
9+t8
8+t7
7+t6
6+t5
5+t4
4+t3
3+t2
2+ t+ ln |t+1|
)+C
với (t = x112 ).
1.4.2. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R
x, n
√ax+ b
cx+ d
, trong đó a, b, c, d
là các hằng số, n là số tự nhiên, ad− bc = 0 và R(u, v) là một hàm hữu tỷ
theo các biến u, v.
Để tính tích phân ∫R(x,
n
√ax+ b
cx+ d
)dx
ta thực hiện phép đổi biến số
t =n
√ax+ b
cx+ dhay tn =
ax+ b
cx+ d.
Suy ra
x =b− dtn
ctn − a.
Thực hiện phép thay biến ta nhận được một tích phân của hàm hữu tỷ.
Ví dụ. Tính
I =
∫1
(x− 1)23
√x+ 1
x− 1dx.
Đặt t = 3
√x+ 1
x− 1. Kéo theo t3 =
x+ 1
x− 1, suy ra x =
t3 + 1
t3 − 1và
dx =−6t2
(t3 − 1)2.
Ta nhận được
I =
∫1
(x− 1)23
√x+ 1
x− 1dx
=
∫t(t3 − 1)2
4
−6t2
(t3 − 1)2dt
= −3
2
∫t3dt = −3
8t4 + C
= −3
8
(3
√x+ 1
x− 1
)4+ C.
104 Giáo trình Giải tích
1.4.3. Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x,√ax2 + bx+ c), trong đó a, b, c
là các hằng số (a = 0, R(u, v)) là một hàm hữu tỷ.
Trong trường hợp này, người ta dùng phép đổi biến số còn gọi là phép đổi biến
Euler.
1) Nếu ax2 + bx+ c có hai nghiệm thực x1 và x2 thì ta dùng phép đổi biến
t =
√x− x1x− x2
nếu a > 0.
Khi đó, ta nhận được
ax2 + bx+ c = (x+b
2a)t−
√−b
2 − 4ac
anếu a < 0.
2) Nếu ax2 + bx+ c không có nghiệm thực, tức ∆ = b2 − 4ac < 0 và a > 0 (nếu
a < 0 thì ax2 + bx+ c < 0, ∀x ∈ R ) thì đặt
t =√ax2 + bx+ c+ x
√a (hoặc t =
√ax2 + bx+ c− x
√a).
Ta thu được
x =t2 − c
2t√a+ b
và√ax2 + bx+ c = t− x
√a = t− t2 − c
2t√a+ b
√a.
Sau khi thực hiện phép thay biến ta thu được tích phân hàm hữu tỷ.
Ví dụ. Tính
I =
∫dx
x+√x2 + x+ 1
.
Ta dùng phép đổi biến√x2 + x+ 1 = t− x. Suy ra
x =t2 − 1
1 + 2tvà dx =
2t2 + 2t+ 2
(1 + 2t)2dt.
Thay biến mới vào ta nhận được tích phân
I =
∫2t2 + 2t+ 2
t(1 + 2t)2dt.
Bằng phương pháp hệ số bất định ta có
I =
∫2t2 + 2t+ 2
t(1 + 2t)2dt = −3
∫dt
(1 + 2t)2− 3
∫dt
1 + 2t+ 2
∫dt
t
=3
2(1 + 2t)+
1
2ln
t4
|1 + 2t|3+ C,
105 Giáo trình Giải tích
trong đó t = x+√x2 + x+ 1.
1.4.4. Tích phân của vi phân nhị thức. Biểu thức xm(a + bxn)pdx, trong đó
a, b ∈ R và m,n, p ∈ Q được gọi là biểu thức vi phân nhị thức. Người ta chứng minh
được rằng chỉ có ba tích phân của biểu thức vi phân nhị thức sau đây có thể đưa
về tích phân hàm hữu tỷ bởi các phép đổi biến thích hợp. Đó là
1) Nếu p nguyên thì đặt x = tN với N là mẫu số chung của m,n .
2) Nếum+ 1
nnguyên thì đặt a+ bxn = tN với N là mẫu số của p.
3) Nếum+ 1
n+ p nguyên thì đặt ax−n + b = tN với N là mẫu số của p.
Ví dụ. Tính
I =
∫dx
4√1 + x4
.
Ta có biểu thức dưới dấu tích phân là một nhị thức vi phân với m = 0, n = 4 và
p = −1
4. Khi đó
m+ 1
n+ p = 0 (nguyên). Đặt t4 = x−4 + 1 hay t = 4
√x−4 + 1. Suy
ra
x = (t4 − 1)−14 và dx = −t3(t4 − 1)−
54dt.
Vì 4√1 + x4 = xt = t(t4 − 1)−
14 nên
I =
∫dx
4√1 + x4
=
∫−t3(t4 − 1)−
54
t(t4 − 1)−14
dt = −∫
t2
t4 − 1dt
=1
4
∫ ( 1
t+ 1− 1
t− 1
)dt− 1
2
∫dt
t2 + 1
=1
4
(ln |t+ 1| − ln |t− 1|
)− 1
2arctan t+ C,
với t = 4√x−4 + 1.
1.5 Tích phân các hàm lượng giác
1.5.1 Phương pháp chung. Trong mục này, chúng ta trình bày cách tính một
số tích phân hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số để đưa về tích phân
hàm số hữu tỷ. Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng R(sinx, cos x) trong đó R(u, v)
là một hàm số hữu tỷ đối với các biến u, v . Phương pháp chung là dùng phép đổi
biến t = tanx
2. Khi đó,
x = 2arctan t; dx =2dt
1 + t2; sin x =
2t
1 + t2; cos x =
1− t2
1 + t2.
106 Giáo trình Giải tích
Thực hiện phép thay biến ta sẽ thu được một tích phân hữu tỷ.
Tuy nhiên trong một số trường hợp hàm R(u, v) có những tính chất đặc biệt,
chúng ta có thể chọn được những cách đổi biến đơn giản hơn, ví dụ:
1) Nếu R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = cos x.
2) Nếu R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = sin x.
3) Nếu R(− sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) thì đổi biến số t = tan x hoặc
t = cotan x.
1.5.2 Ví dụ. Tính
I =
∫dx
1 + sin x+ cos x.
Đặt t = tanx
2. Ta thu được
I =
∫ 2dt
1 + t2
1 +2t
1 + t2+
1− t2
1 + t2
=
∫dt
t+ 1+ C = ln |1 + tan
x
2|+ C.
1.5.3 Ví dụ. Tính
I =
∫cos3 x+ cos5 x
sin2 x+ sin4 xdx.
Trong trường hợp này, nếu dùng phép đổi biến t = tanx
2thì việc tính toán khá
phức tạp. Ta có R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) trong đó R(u, v) =v3 + v5
u2 + u4.
Đặt t = sin x. Ta nhận được
I =
∫cos3 x+ cos5 x
sin2 x+ sin4 xdx
=
∫(1− t2)(2− t2)
t2 + t4dt
=
∫ (1 +
2
t2− 6
1 + t2
)dt
= t− 2
t− 6 arctan t+ C = sin x− 2
sin x− 6 arctan(sinx) + C.
Chú ý. 1) Trên đây, chúng ta chỉ trình bày sơ lược một số cách tìm tích phân của
một số lớp hàm thường gặp. Muốn tìm hiểu sâu thêm vấn đề này bạn đọc có thể
tìm đọc thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
107 Giáo trình Giải tích
2) Nhắc lại rằng nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) có nguyên hàm trên
đoạn đó, hay
∫f(x)dx tồn tại. Tuy nhiên không phải lúc nào nguyên hàm của hàm
liên tục cũng đều có thể biểu diễn được qua các hàm sơ cấp. Chẳng hạn người ta có
thể chứng minh được rằng nguyên hàm của các hàm sau
sinx2, cos x2, e−x2
,sin x
x, ...
không phải là một hàm sơ cấp. Có nhiều tích phân quan trọng trong các bài toán
vật lý hay kỹ thuật không thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp chúng ta sẽ nghiên cứu
riêng về sau.
2 Tích phân xác định
Trong phần này, chúng ta trình bày tích phân Riemann của hàm một biến
trên [a, b] ∈ R hay còn gọi là tích phân xác định.
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân xác
định
2.1.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm số bị chặn trên [a, b] và chỉ gián đoạn tại
hữu hạn điểm. Giả sử Φ là một nguyên hàm liên tục của f trên [a, b]. Tích phân xác
định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] ký hiệu là
b∫a
f(t)dt được định nghĩa là
b∫a
f(t)dt = Φ(b)− Φ(a). (4.9)
Lúc đó ta cũng nói rằng hàm f(x) khả tích trên đoạn [a,b].
2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có
1)
a∫a
f(x)dx = 0, với mọi a ∈ R.
2) Nếu f khả tích trên [a, b] thì đặt
a∫b
f(x)dx = −b∫
a
f(x)dx.
108 Giáo trình Giải tích
2.1.3 Ví dụ. Ta có
1∫0
x(x2 + 1)dx =1
2(x2 + 1)2
∣∣∣10=
1
2(4− 1) =
3
2.
Người ta chứng minh được rằng một số lớp hàm quen thuộc như hàm liên tục,
đơn điệu,... là khả tích.
2.1.4 Định lý. Nếu hàm f liên tục trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó.
Từ các tính chất của tích phân không xác định và định nghĩa tích phân xác định
ta chứng minh được các tính chất sau:
2.1.5 Định lý. Nếu hàm f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] và α, β là các hằng
số thì αf + βg cũng là hàm khả tích trên [a, b] và
b∫a
(αf(x) + βg(x))dx = α
b∫a
f(x)dx+ β
b∫a
g(x)dx.
2.1.6 Định lý. 1) Nếu hàm f hàm khả tích trên [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn
con của [a, b].
2) Cho f : [a, b] → R và c ∈ [a, b]. Khi đó, nếu f khả tích trên các đoạn [a, c] và
[c, b] thì f khả tích trên [a, b] và
b∫a
f(x)dx =
c∫a
f(x)dx+
b∫c
f(x)dx.
2.1.7 Định lý. Cho f : [a, b] → R là hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó,
1) Nếu f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] và a 6 b thì
b∫a
f(x)dx > 0.
2) Nếu f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] và a < b thì
b∫a
f(x)dx > 0.
109 Giáo trình Giải tích
2.1.8 Hệ quả. Nếu f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] (b > a) và
f(x) 6 g(x) ∀x ∈ [a, b]
thìb∫
a
f(x)dx 6b∫
a
g(x)dx.
2.1.9 Định lý. Nếu f là hàm khả tích trên [a, b] thì |f | cũng khả tích trên [a, b] và
∣∣∣ b∫a
f(x)dx∣∣∣ 6 b∫
a
|f(x)|dx.
2.1.10 Định lý. Nếu f là hàm khả tích trên [a, b] và
M = supx∈[a,b]
f(x), m = infx∈[a,b]
f(x)
thì tồn tại m 6 µ 6M sao cho
b∫a
f(x)dx = µ(b− a).
2.1.11 Hệ quả. Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho
b∫a
f(x)dx = (b− a)f(c).
2.1.12 Hệ quả. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì hàm số
F (x) =
x∫a
f(t)dt, x ∈ [a, b]
là nguyên hàm của hàm số f , nghĩa là
F ′(x) =( x∫
a
f(t)dt)′
= f(x), x ∈ [a, b]. (4.7)
2.2 Tính tích phân từng phần, đổi biến số
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày hai phương pháp thường dùng để tính tích
phân xác định đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần.
Về cơ bản việc áp dụng các phương pháp này được làm giống như trong tích phân
bất định. Tuy nhiên có một số lưu ý trong việc xác định cận và tính khả tích của
hàm sau khi thực hiện các phép đổi biến.
110 Giáo trình Giải tích
I. Phương pháp đổi biến
2.2.1 Định lý. Cho f là hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử tồn tại hàm φ : [α, β] →[a, b] sao cho
1) φ(α) = a, φ(β) = b ; khi t biến thiên trong [α, β] thì x = φ(t) biến thiên liên
tục từ a đến b,
2) φ khả vi liên tục trên [α, β].
Khi đó, ta có công thức
b∫a
f(x)dx =
β∫α
f(φ(t))φ′(t)dt.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
2.2.2 Ví dụ. Tính tích phân I =
a∫0
√a2 − x2dx (a > 0).
Đặt x = φ(t) = a sin t, t ∈ [0,π
2]. Khi đó φ : [0,
π
2] → [0, a] là hàm khả vi liên
tục, a = φ(π
2) và 0 = φ(0). Ta có
I =
a∫0
√a2 − x2dx =
π2∫
0
√a2 − a2 sin2 ta cos tdt
= a2
π2∫
0
| cos t| cos tdt = a2
π2∫
0
cos2 tdt
= a2
π2∫
0
1 + cos 2t
2dt =
a2
2
(t+
sin 2t
2
)∣∣∣π20=πa2
4.
2.2.3 Định lý. Cho f là hàm liên tục trên [a, b] và φ : [a, b] → [α, β] là hàm khả
vi liên tục trên [a, b]. Giả sử g là hàm liên tục trên [α, β] sao cho
f(x) = g(φ(x))φ′(x), ∀x ∈ [a, b].
Khi đó ta có công thức
b∫a
f(x)dx =
b∫a
g(φ(x))φ′(x)dx =
φ(b)∫φ(a)
g(t)dt,
trong đó t = φ(x).
111 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
2.2.4 Chú ý. Trong định lý trên điều cốt yếu là sự tồn tại hàm g liên tục trên
[α, β] (chứa tập giá trị của hàm φ). Hàm φ không cần điều kiện gì thêm ngoài điều
kiện khả vi liên tục.
2.2.5 Ví dụ. 1) Tính tích phân I =
1∫0
x7√1 + 3x4dx.
Đặt u =√1 + 3x4. Ta thu được u(0) = 1, u(1) = 2 và x4 =
u2 − 1
3. Ta có
x3dx =udu
6.
Vì vậy
I =
1∫0
x7√1 + 3x4dx =
1∫0
x4√1 + 3x4(x3dx) =
2∫1
(u2 − 1
3)u(
udu
6)
=1
18
2∫1
(u4 − u2)du =1
18(u5
5− u3
3)∣∣∣21=
29
135.
.
2) Tính tích phân J =
e∫1
lnxdx
x(1 + ln2 x)
Đặt u = ln x. Ta nhận được
J =
1∫0
udu
1 + u2=
1
2
1∫0
d(1 + u2)
1 + u2=
1
2ln(1 + u2)
∣∣∣10=
ln 2
2.
B. Phương pháp tích phân từng phần
2.2.6 Định lý. Giả sử u, v là các hàm khả vi liên tục trong [a, b]. Khi đó ta có
b∫a
u(x)v′(x)dx =(u(x)v(x)
)∣∣∣ba−
b∫a
u′(x)v(x)dx. (4.7)
Công thức (4.7) còn gọi là công thức tích phân từng phần. Việc chứng minh là
dễ dàng và dành cho bạn đọc.
112 Giáo trình Giải tích
2.2.7 Ví dụ. 1) Tính tích phân I =
π∫0
ex sinxdx.
Đặt u = ex và dv = sin xdx. Suy ra du = exdx và v = − cos x. Theo công thức
tích phân từng phần
I = −ex cos x∣∣∣π0+
π∫0
ex cosxdx = eπ + 1 +
π∫0
ex cosxdx.
Tương tự ta có
I = (eπ + 1) + ex sinx∣∣∣π0−
π∫0
ex sinxdx = (eπ + 1)− I.
Suy ra I =eπ + 1
2.
2) Tính J =
e∫1
sin(ln x)dx.
Đặt u = sin(ln x) và dv = dx. Ta có du =cos(lnx)
xvà v = x. Theo công thức
tích phân từng phần
J =
e∫1
sin(lnx)dx = x sin(lnx)∣∣∣e1−
e∫1
cos(lnx)dx = e sin 1−e∫
1
cos(lnx)dx.
Tiếp tục áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
J = e sin 1−e∫
1
cos(ln x)dx = e sin 1− e cos 1 + 1−e∫
1
sin(lnx)dx
= e sin 1− e cos 1 + 1− J.
Ta thu được J =e(sin 1− cos 1) + 1
2.
3) Tính tích phân K(m,n) =
1∫0
xm(lnx)ndx (m,n ∈ N).
Để ý rằng hàm số dưới dấu tích phân không xác định tại x = 0. Tuy nhiên chúng
ta dễ dàng chứng minh được limx→0+
xm(lnx)n = 0. Xét hàm số
f(x) =
xm(lnx)n nếu x > 0
0 nếu x = 0.
113 Giáo trình Giải tích
Khi đó hàm số f liên tục trên [0, 1] và
K(m,n) =
1∫0
xm(lnx)ndx =
1∫0
f(x)dx.
Đăt u = (lnx)n và dv = xm+1. Suy ra du =(lnx)n−1dx
xvà v =
xm+1
m+ 1. Theo công
thức tích phân từng phần ta có
K(m,n) =xm+1
m+ 1(lnx)n
∣∣∣10− n
m+ 1
1∫0
xm(lnx)n−1dx = − n
m+ 1K(m,n− 1).
Vậy ta nhận được
K(m,n) = − n
m+ 1K(m,n− 1).
Áp dụng công thức này n lần ta có
K(m,n) =(−1)nn!
(m+ 1)nK(m, 0).
Mặt khác
K(m, 0) =
1∫0
xmdx =1
m+ 1.
Do dó
K(m,n) =(−1)nn!
(m+ 1)n+1.
3 Ứng dụng của tích phân xác định
3.1 Tính độ dài cung
3.1.1 Cung trong Rn. Một ánh xạ γ : [a, b] → Rn cho bởi
γ(t) =(γ1(t), γ2(t), ...., γn(t)
), t ∈ [a, b], (4.8)
trong đó γi : [a, b] → R, i = 1, 2, ..., n là các hàm số liên tục trên [a, b] được gọi
là một cung hay đường cong trong Rn. Khi đó, ta thường đồng nhất γ với ảnh
γ([a, b]) ⊂ Rn. Các điểm A = γ(a), B = γ(b) gọi là các điểm đầu mút của cung và
ta viết γ =
AB. Đẳng thức (4.11) còn có thể viết dưới dạng
xi = γi(t), t ∈ [a, b], i = 1, 2, ..., n,
114 Giáo trình Giải tích
và được gọi là biểu diễn tham số của cung γ.
Nếu γ là một đơn ánh thì ta gọi γ là cung đơn hay cung Jordan. Nếu γi, i = 1, ..., n
là các hàm khả vi liên tục thì γ là cung trơn. Nếu γ(a) = γ(b) thì γ gọi là cung kín.
3.1.2 Ví dụ. 1) Trong Rn cho các điểm A = (a1, a2, ..., an) và B = (b1, b2, ..., bn).
Ánh xạ γ : [0, 1] → Rn được xác định bởi
γ(t) =(a1t+ b1(1− t), a2t+ b2(1− t), ...., ant+ bn(1− t)
)là biểu diễn tham số của đoạn thẳng AB.
2) Ánh xạ γ : [0, 2π] → R2 cho bởi
γ(t) =(x(t), y(t)
)=(a sin t, b cos t
), x ∈ [0, 2π] (a, b > 0)
là biểu diễn tham số của Elip trong R2 có phương trìnhx2
a2+y2
b2= 1.
3) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b]. Khi đó ánh xạ γf : [a, b] → R2 xác định
bởi
γf (x) =(x, f(x)
), x ∈ [a, b]
cho ta biểu diễn tham số một cung trong R2, là đồ thị của hàm số f .
3.1.3 Định nghĩa. Xét cung trong R2 hoặc R3.
Cho cung đơn γ := γ([a, b]) =
AB. Cho T là một phân hoạch của [a, b] với các
điểm chia
a = t0 < t1 < ... < tn = b.
A =M0
M1
M2
Mn = B
Từ đây ta phân hoạch cung γ([a, b]) =
AB bởi các điểm chia
A = γ(a) =M0, γ(t1) =M1, ..., γ(tn) =Mn = B.
115 Giáo trình Giải tích
Nối các điểm Mi−1 và Mi bằng một đoạn thẳng (i = 1, 2, ..., n) ta được một đường
gấp khúc ký hiệu là γ(T ). Gọi d(Mi−1,Mi) là khoảng cách giữa hai điểm Mi−1 và
Mi. Đặt
d(γ(T )) = maxi=1,...,n
d(Mi−1,Mi).
Từ tính liên tục của γ suy ra nếu đường kính của phân hoạch d(T ) → 0 thì
d(γ(T )) → 0. Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T ) có giới hạn hữu hạn khi d(γ(T )) → 0
thì ta nói cung γ có độ dài và giới hạn đó được gọi là độ dài của cung γ, ký hiệu là
l(γ).
3.1.4 Công thức tính độ dài cung. Chúng ta lập công thức tính độ dài các
cung trơn, đơn trong R2. Xét phân hoạch T của [a, b] với các điểm chia
a = t0 < t1 < ... < tn = b.
Đặt Mi = γ(ti) =(x(ti), y(ti)
), i = 1, 2, ..., n. Theo công thức số gia giới nội
Lagrange ta có
x(ti)− x(ti−1) = x′(ξi)∆ti;
y(ti)− y(ti−1) = y′(ηi)∆ti,
trong đó ∆ti = ti − ti−1 và ξi, ηi ∈ [ti−1, ti]. Khi đó độ dài đoạn thẳng
Mi−1Mi =
√(x(ti)− x(ti−1)
)2+(y(ti)− y(ti−1)
)2=
√(x′(ξi)
)2+(y′(ηi)
)2∆ti.
Vậy độ dài đường gấp khúc γ(T ) là
l(γ(T )) =n∑
i=1
√(x′(ξi)
)2+(y′(ηi)
)2∆ti.
Đặt
σ(T, ξ) =n∑
i=1
√(x′(ξi)
)2+(y′(ξi)
)2∆ti.
Khi đó, do các hàm x(t), y(t) là khả vi liên tục trên [a, b] nên
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2khả tích trên [a, b]. Vì vậy
limd(T )→0
σ(T, ξ) =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt.
116 Giáo trình Giải tích
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra
limd(T )→0
l(γ(T )) =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt.
Áp dụng bất đẳng thức∣∣∣√A2 +B2 −√A2 + C2| 6 |B − C|, ∀A,B,C ∈ R
ta nhận được
∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)∣∣ 6 n∑
i=1
∣∣∣√(x′(ξi))2 + (y′(ηi))2 −√(x′(ξi))2 + (y′(ξi))2∣∣∣∆ti6
n∑i=1
|y′(ηi)− y′(ξi)|∆ti.
Vì y′(t) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đoạn đó. Khi đó với mọi ε > 0
tồn tại δ1 > 0 sao cho với mọi T là phân hoạch của [a, b] mà d(T ) < δ1 ta có
|y′(ηi)− y′(ξi)| <ε
2(b− a).
Suy ra
∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)∣∣ 6 n∑
i=1
|y′(ηi)− y′(ξi)|∆ti <ε
2(b− a)(b− a) =
ε
2. (4.9)
Mặt khác từ
limd(T )→0
σ(T, ξ) =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt = I
và định nghĩa tích phân tồn tại δ2 > 0 sao cho với mọi phân hoạch T của [a, b] mà
d(T ) < δ2 ta có
|σ(T, ξ)− I| < ε
2. (4.10)
Đặt δ = minδ1, δ2. Từ (4.9) và (4.10) ta suy ra với mọi phân hoạch T của [a, b]
mà d(T ) < δ∣∣l(γ(T ))− I| 6∣∣l(γ(T ))− σ(T, ξ)
∣∣+ ∣∣σ(T, ξ)− I∣∣ = ε
2+ε
2= ε.
Nói cách khác
limd(T )→0
l(γ(T )) = I =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt.
117 Giáo trình Giải tích
Vậy độ dài cung γ là
l(γ) =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt.
Tương tự nếu γ là cung trơn, đơn trong R3 có biểu diễn tham số
γ(t) =(x(t), y(t), z(t)
), t ∈ [a, b]
thì độ dài cung được tính theo công thức
l(γ) =
b∫a
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2+(z′(t)
)2dt. (4.11)
Nếu f : [a, b] → R là một hàm khả vi liên tục. Độ dài cung phẳng γf =(x, f(x)
):
x ∈ [a, b] là
l(γf ) =
b∫a
√1 +
(f ′(x)
)2dx . (4.12)
Nếu γ là cung trơn, đơn có phương trình trong toạ độ cực là
r = r(φ), α 6 φ 6 β.
Khi đó
l(γ) =
β∫α
√r2(φ) +
(r′(φ)
)2dφ. (4.13)
3.1.5 Ví dụ. 1) Tính độ dài cung Γ có phương trình tham số
x = a(t− sin t)
y = a(1− cos t)0 6 t 6 2π, (a > 0).
118 Giáo trình Giải tích
Áp dụng công thức tính độ dài cung trong R2 ta có
l(Γ) =
2π∫0
√(x′(t)
)2+(y′(t)
)2dt
=
2π∫0
√a2(1 + cos2 t− 2 cos t+ sin2 t)
=
2π∫0
√2a2(1− cos t) =
2π∫0
√4a2 sin2 t
2
= 2a
2π∫0
sint
2dt = −4a cos
t
2
∣∣∣∣∣2π
0
= 8a.
2) Tính độ dài cung có phương trình y = a chx
a(a > 0) từ điểm A(0, a) đến điểm
B(b, h) (b > 0). Áp dụng công thức (4.12) ta có
l(
AB) =
b∫0
√1 +
(y′(x)
)2dx =
b∫0
√1 + sh2 x
adx
=
b∫0
chx
adx = a sh
x
a
∣∣∣∣∣b
0
= a shb
a
= a
√ch2 b
a− 1 = a
√h2
a2− 1 =
√h2 − a2.
3) Tính độ dài cung Γ cho bởi phương trình trong toạ độ cực.
r = a(1 + cosφ), 0 6 φ 6 2π.
Cung đã cho là kín, đối xứng. Áp dụng công thức (4.13) ta có
l(Γ) = 2
π∫0
√r2(φ) +
(r′(φ)
)2dφ
= 2
π∫0
√a2(1 + 2 cosφ+ cos2 φ) + a2 sin2 φdφ
= 2a
π∫0
√2(1 + cosφ)dφ = 2a
π∫0
√4a cos2
φ
2dφ
= 4a
π∫0
cosφ
2dφ = 8a sin
φ
2
∣∣∣∣∣π
0
= 8a.
119 Giáo trình Giải tích
3.2 Tính diện tích hình phẳng
A. Tính diện tích hình phẳng trong hệ toạ độ Đềcác
3.2.1 Khái niệm diện tích của miền trong R2. Cho D là một miền trong R2.
Gọi F∗(D) là tập hợp các đa giác nằm trong D và F∗(D) là tập hợp tất cả các đa
giác chứa D.
D
x
y
O
Ký hiệu S(P ) là diện tích của đa giác P . Khi đó
S(P ) 6 S(Q), ∀P ∈ F∗(D), ∀Q ∈ F∗(D).
Vì vậy tồn tại
S∗(D) = supS(Q) : Q ∈ F∗(D)
và
S∗(D) = infS(P ) : P ∈ F∗(D).
Nếu S∗(D) = S∗(D) thì ta nói miền D có diện tích hay đo được và giá trị
S(D) = S∗(D) = S∗(D)
gọi là diện tích của miền D.
3.2.2 Diện tích tích hình thang cong. Trong R2 với hệ trục toạ độ Descartes
vuông góc Oxy cho miền D giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, y = f(x)
trong đó f(x) liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]. D được gọi là một hình
thang cong. Theo định nghĩa S∗(D) và S∗(D), với mọi phân hoạch T của [a, b] ta có
sf (T ) 6 S∗(D) 6 S∗(D) < Sf (T ).
120 Giáo trình Giải tích
trong đó sf (T ) và Sf (T ) lần lượt là các tổng Darboux trên và dưới của f đối với
phân hoạch T . Từ giả thiết f liên tục kéo theo f khả tích trên [a, b]. Do dó
limd(T )→0
(Sf (T )− sf (T )
)= 0.
Do đó hình thang cong D có diện tích là
S(D) = limd(T )→0
Sf (T ) = limd(T )→0
sf (T ) =
∫ b
a
f(x)dx.
Tương tự nếu f(x) < 0 thì diện tích hình thang cong là
S(D) = −∫ b
a
f(x)dx.
Tổng quát, diện tích hình phằngD giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, (a < b)
và y = f(x) là
S(D) =
∫ b
a
|f(x)|dx. (4.14)
Giả sử D là một hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = f(x), y =
g(x) trong đó f và g là các hàm liên tục trên [a, b].
x
y
y = f(x)
y = g(x)
x = a x = b
Khi đó, diện tích hình phẳng D là
S(D) =
∫ b
a
|f(x)− g(x)|dx. (4.15)
121 Giáo trình Giải tích
3.2.3 Ví dụ. Tính diện tích hình Elipx2
a2+y2
b2= 1.
Phương trình của Elip có thể viết lại dưới dạng y = ± ba
√a2 − x2, x ∈ [−a, a].
Do tính đối xứng qua các trục toạ độ nên diện tích của nó là
S = 4
a∫0
b
a
√a2 − x2dx.
Đổi biến x = a sin t ta tính được S = 4 ba
π2∫
0
a2 cos2 tdt = πab.
B. Tính diện tích hình phẳng trong hệ toạ độ cực
3.2.4 Công thức tính. Cho miền phẳng D được giới hạn bởi các đường cong
trong toạ độ cực
φ = α; φ = β; r = r(φ), (α 6 φ 6 β).
α
β
φ
r(φ)
O x
D
Nếu r(φ) là hàm liên tục thì người ta chứng minh được
S(D) =1
2
β∫α
r2(φ)dφ. (4.16)
3.2.5 Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giói hạn bởi đường Cardioid trong
toạ độ cực r = a(1 + cosφ). Vì D đối xứng qua trục Ox nên ta có
122 Giáo trình Giải tích
S(D) = 2(12
π∫0
a2(1 + cosφ)2dφ)= a2
π∫0
(1 + cosφ)2dφ = a2π∫
0
(1 + 2 cosφ+ cos2 φ)dφ)
= a2π∫
0
(3
2+ 2 cosφ+
cos 2φ
2)dφ = a2(
3
2φ+ 2 sinφ+
sin 2φ
4)
∣∣∣∣∣π
0
=3πa2
2.
3.3 Tính thể tích của vật thể
Trong không gian R3 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho vật
thể (hay miền) Ω được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và
x = b, (a < b). Giả sử thiết diện của vật thể Ω và mặt phẳng x = x0 với x0 ∈ [a, b]
có diện tích là S(x0).
S(x)
O
x
a
b
y
z
Xét một phân hoạch T của [a, b] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Qua các điểm chia ta dựng các mặt phẳng x = xi, i = 1, 2, ..., n. Khi đó, các mặt
phẳng chia Ω thành n phần. Trên mỗi đoạn ∆i = [xi−1, xi] lấy điểm ξi tuỳ ý. Khi đó
S(ξi)∆xi i = 1, 2, ..., n là thể tích các hình trụ với đáy có diện tích S(ξi) và chiều
123 Giáo trình Giải tích
cao ∆xi. Ta có
σ(T, ξ) =n∑
i=1
S(ξi)∆xi
là giá trị xấp xỉ của thể tích Ω. Nếu T càng mịn thì việc xấp xỉ càng tốt. Ta có định
nghĩa sau
3.3.1 Định nghĩa. Nếu σ(T, ξ) có giới hạn hữu hạn khi d(T ) → 0 (không phụ
thuộc vào phân hoạch T và cách chọn bộ điểm ξ) thì ta nói Ω là miền có thể tích
(hay đo được) và gọi giới hạn đó là thể tích của Ω, ký hiệu V (Ω).
V (Ω) =
b∫a
S(x)dx. (4.17)
trong đó S(t) là diện tích của thiết diện của Ω cắt bởi mặt phẳng x = t.
Như vậy nếu S(x) khả tích trên [a, b] thì miền Ω có thể tích và
V (Ω) =
b∫a
S(x)dx.
3.3.2 Ví dụ. Tính thể tích của elipsoidx2
a2+y2
b2+z2
c2= 1.
Cắt elipsoid bởi mặt phẳng x = x0, x0 ∈ [−a, a]. Khi đó thiết diện của elipsoid
với mặt cắt này là elip có phương trìnhy2(
b
√1− x2
0
a2
)2 +z2(
c
√1− x2
0
a2
)2 = 1.
124 Giáo trình Giải tích
z
x
y
O
Theo Ví dụ 3.2.3, diện tích của thiết diện là
S(x0) = πbc(1− x20
a2
).
Vậy thể tích của elipsoid là
V =
a∫−a
S(x)dx = πbc
a∫−a
(1− x2
a2
)dx =
4
3πabc.
3.4 Thể tích của vật thể tròn xoay
3.4.1 Công thức tính. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x =
b, y = f(x), (a < b) trong đó f là hàm liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b].
125 Giáo trình Giải tích
xa b
y
z
x
AB
O
Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay
Ω. Dễ thấy thiết diện của vật thể này cắt bởi mặt phẳng x = x0, x0 ∈ [a, b] là hình
tròn có bán kính là f(x0). Do đó diện tích của thiết diện là
S(x0) = π(f(x0)
)2.
Vì vậy thể tích của vật thể tròn xoay Ω là
V (Ω) = π
b∫a
f 2(x)dx. (4.18)
3.4.2 Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng
được giới hạn bởi các đường y = 2x− x2 và y = 0.
Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 0 và x = 2. Thể tích khối tròn xoay là
V = π
2∫0
(2x− x2)dx = π
2∫0
(4x2 − 4x3 + x4)dx =4x3
3− x4 +
x5
5
∣∣∣∣∣2
0
=16π
15.
3.5 Tính diện tích xung quanh của mặt tròn xoay
3.5.1 Công thức tính. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x =
b, y = f(x) (a < b) trong đó f là hàm khả vi liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈[a, b]. Quay hình thang quanh trục Ox ta nhận được vật thể tròn xoay Ω. Chúng ta
sẽ đưa ra khái niệm và thành lập công thức tính diện tích xung quanh của vật thể
này.
126 Giáo trình Giải tích
O xixi−1
Ai
Ai−1
Xét phân hoạch T của [a, b] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Khi đó đường cong y = f(x), (x ∈ [a, b]) được chia thành n cung nhỏ bởi các điểm
(a, f(a)) =M0,M1 = (x1, f(x1)), ...,Mn = (b, f(b)).
Khi quay các đoạn thẳng Mi−1Mi quanh trục Ox sẽ tạo thành các hình nón cụt có
diện tích xung quanh là
Si = πli(f(xi−1) + f(xi)
)trong đó f(xi−1), f(xi) lần lượt là các bán kính của mặt cắt và li là độ dài của đoạn
thẳng Mi−1Mi. Áp dụng định lý số gia giới nội Lagrange ta có
li =
√(xi − xi−1)2 +
(f(xi)− f(xi−1
)2=
√(xi − xi−1)2 +
(f ′(ξi)
)2(xi − xi−1)2
=
√1 +
(f ′(ξi)
)2∆xi.
Khi đó
Pn =n∑
i=1
π
√1 +
(f ′(ξi)
)2∆xi
(f(xi−1) + f(xi)
)là một giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể Ω. Nếu Pn có giới hạn
hữu hạn khi d(T ) → 0 thì giới hạn đó được gọi là diện tích xung quanh của Ω.
Vì f có đạo hàm liên tục nên tồn tại tích phân
b∫a
2πf(x)
√1 +
(f ′(x)
)2dx = I.
127 Giáo trình Giải tích
Tương tự như trong phần 3.1.4 về thiết lập công thức tính độ dài cung ta chứng
minh được
limd(T )→0
Pn =
b∫a
2πf(x)
√1 +
(f ′(x)
)2dx.
Vậy diện tích xung quanh của vật thể Ω là
Sxq(Ω) = 2π
b∫a
f(x)
√1 +
(f ′(x)
)2dx. (4.19)
3.5.2 Ví dụ. Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay Ω khi quay hình
thang cong giới hạn bởi các đường y = 0, y = ex, x = 0, x = 1 quanh trục Ox.
Ta có
Sxq(Ω) =
1∫0
2πex√1 + e2xdx = 2π
e∫1
√1 + u2du (với u = ex)
= 2π
(u
2
√1 + u2 +
1
2ln∣∣u+√
1 + u2∣∣)∣∣∣∣∣
e
1
= π
(e√1 + e2 −
√2 + ln
e+√1 + e2
1 +√2
).
3.6 Một số ứng dụng vật lý
A. Tính công một lực biến thiên trên đường thẳng
3.6.1 Công thức tính. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho một chất
điểm có khối lượng m = 1 chuyển động từ x = a tới x = b trên trục Ox dưới tác
dụng của một lực−→F có cường độ biến thiên theo hàm F (x). Tính công của lực
−→F
sinh ra khi lực làm chất điểm chuyển động từ x = a đến x = b?
Giả sử T là phân hoạch của [a, b] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Trên mỗi đoạn con ∆i lấy điểm ξi tuỳ ý. Nếu d(T ) bé thì có thể xem trên mỗi ∆i
cường độ lực là không đổi và bằng F (ξi), i = 1, 2, ..., n. Khi đó, trên mỗi đoạn ∆i
công có thể tính gần đúng bằng
αi = F (ξi)∆i.
128 Giáo trình Giải tích
Khi đó, tổng
An =n∑
i=1
F (ξi)∆i
là giá trị xấp xỉ công cần tính. Nếu khi d(T ) → 0 thì An dần đến giá trị hữu hạn,
giới hạn đó là công cần tính A. Đặc biệt nếu F khả tích thì
A =
b∫a
F (x)dx.
3.6.2 Ví dụ. Lực đẩy của hai điện tích e1 và e2 cùng dấu đặt cách nhau một
khoảng r được cho bởi công thức
F =e1e2r2
.
Giả sử e1 được đặt tại điểm gốc có hoành độ x = 0. Hãy tính công sinh ra khi điện
tích e2 được đẩy trên đường thẳng Ox từ điểm có hoành độ x = r1 đến điểm có
hoành độ x = r2.
Ta có công của lực đẩy là
A =
∫ r2
r1
e1e2r2
dr =e1e2(r2 − r1)
r1r2.
B. Tính khối lượng, mômen, trọng tâm của một đoạn vật
chất
3.6.3 Công thức tính. Giả sử có một đoạn vật chất [a, b] nằm trên trục Ox và
tại mỗi điểm x ∈ [a, b] đoạn vật chất này có mật độ khối lượng là ρ(x). Bằng lý luận
tương tự như các mục trên ta chứng minh được các công thức
a) Khối lượng của đoạn vật chất
m =
∫ b
a
ρ(x)dx.
b) Mômen khối lượng của đoạn vật chất [a, b] đối với điểm x = a
Mx=a =
∫ b
a
xρ(x)dx.
129 Giáo trình Giải tích
c) Trọng tâm của đoạn vật chất
xG =
∫ b
a
xρ(x)dx∫ b
a
ρ(x)dx
.
3.6.4 Ví dụ. Trên trục toạ độ Ox cho đoạn vật chất OA có mật độ khối lượng
phân bố theo phương trình của hoành độ
ρ(x) = x2.
Giả sử A có hoành độ x = a. Tìm khối lượng, trọng tâm của đoạn vật chất OA.
Khối lượng của đoạn vật chất là m =
∫ a
0
x2dx =a3
3.
Mômen khối lượng của đoạn vật chất đối với điểm O là Mx=0 =
∫ a
0
x3dx =a4
4.
Hoành độ trọng tâm của đoạn vật chất là xG =
∫ a
0
x3dx∫ a
0
x2dx
=
a4
4
a3
3
=3a
4.
4 Tích phân suy rộng
Trong phần trước chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định của một hàm
số. Khi đó, hàm dưới dấu tích phân là hàm bị chặn và tập lấy tích phân [a, b] là
tập bị chặn. Trong lý thuyết và ứng dụng việc mở rộng tập lấy tích phân lên miền
không bị chặn; cũng như hàm dưới dấu tích phân không bị chặn là rất cần thiết.
Trong phần này chúng ta nghiên cứu hai hướng mở rộng này và thu được hai loại
tích phân suy rộng.
4.1 Tích phân suy rộng loại I
Cho a ∈ R và f : [a,+∞) → R là một hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b], (b > a).
Khi đó đẳng thức
F (b) =
∫ b
a
f(x)dx, b > a (4.20)
xác định một hàm F : [a,+∞) → R. Ta có định nghĩa sau
130 Giáo trình Giải tích
4.1.1 Định nghĩa. Nếu hàm F trong (4.20) có giới hạn I (hữu hạn hoặc vô hạn)
khi b → +∞ thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm f trên [a,+∞) và ký
hiệu ∫ +∞
a
f(x)dx (4.21)
Như vậy ta có thể viết∫ +∞
a
f(x)dx = limb→+∞
∫ b
a
f(x)dx. (4.22)
Ta còn gọi
+∞∫a
f(x)dx là tích phân suy rộng loại I.
Trong định nghĩa trên nếu I là hữu hạn thì ta nói rằng tích phân
+∞∫a
f(x)dx hội
tụ về I và viết ∫ +∞
a
f(x)dx = I.
Ngược lại, nếu I vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân
+∞∫a
f(x)dx phân kỳ.
Tương tự như trên ta có định nghĩa sau:
4.1.2 Định nghĩa. Cho f : (−∞, a] → R là hàm khả tích trên mọi đoạn [b, a], (b 6a). Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞, a] là giới hạn (nếu có)∫ a
−∞f(x)dx := lim
b→−∞
∫ a
b
f(x)dx. (4.23)
4.1.3 Định nghĩa. Cho f : (−∞,+∞) → R là hàm khả tích trên mọi đoạn
[a, b], (a 6 b). Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞,+∞) được xác dịnh bởi∫ +∞
−∞f(x)dx :=
∫ a
−∞f(x)dx+
∫ +∞
a
f(x)dx. (4.24)
trong đó a ∈ R và tổng trong vế phải là có nghĩa.
Ta có thể chứng minh được sự xác định của
+∞∫−∞
f(x)dx không phụ thuộc vào
a ∈ R.
4.1.4 Ví dụ. 1) Tính tích phân
+∞∫−∞
dx
1 + x2.
131 Giáo trình Giải tích
Ta có+∞∫0
dx
1 + x2= lim
b→+∞
b∫0
dx
1 + x2= lim
b→+∞
(arctanx
∣∣∣∣∣b
0
)= lim
b→+∞arctan b =
π
2
và0∫
−∞
dx
1 + x2= lim
b→−∞
0∫b
dx
1 + x2= lim
b→−∞
(arctanx
∣∣∣∣∣0
b
)= − lim
b→−∞arctan b =
π
2.
Ta thu được+∞∫
−∞
dx
1 + x2=
0∫−∞
dx
1 + x2+
+∞∫0
dx
1 + x2= π.
2) Tính tích phân
+∞∫0
xe−x2
dx. Ta có
+∞∫0
xe−x2
dx = −1
2lim
b→+∞
∫ b
0
e−x2
d(−x2)
= −1
2lim
b→+∞
(e−x2
∣∣∣∣∣b
0
)= −1
2lim
b→+∞(1− e−b2) = −1
2.
Ví dụ sau đây là một kết quả thường được sử dụng trong khảo sát sự hội tụ của
tích phân suy rộng loại I.
4.1.5 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân
+∞∫a
dx
xαtrong đó a > 0 và α ∈ R.
Ta có với b > a > 0 hàm f(x) =1
xα= x−α liên tục trên [a, b]. Do đó
b∫a
dx
xαlà
tồn tại và
b∫a
dx
xα=
ln b− ln a nếu α = 1
1
1− α
(b1−α − a1−α
)nếu α = 1.
Cho b→ +∞ ta thu được
+∞∫a
dx
xα=
+∞ nếu α 6 1
a1−α
α− 1nếu α > 1.
132 Giáo trình Giải tích
Vậy tích phân hội tụ khi và chỉ khi α > 1.
Từ định nghĩa tích phân suy rộng loại I và các tính chất của giới hạn hàm số
chúng ta dễ dàng có các tính chất sau (việc chứng minh dành cho bạn đọc).
4.1.6 Định lý. Điều kiện cần và đủ để
+∞∫a
f(x)dx hội tụ là với mọi ε > 0 tồn tại
b0 > a sao cho∣∣∣ ∫ b
a
f(x)dx−∫ b′
a
f(x)dx∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ b′
b
f(x)dx∣∣∣ < ε, ∀ b, b′ > b0.
4.1.7 Định lý. 1)
+∞∫a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi
+∞∫A
f(x)dx hội tụ với mọi A > a
và
∫ +∞
a
f(x)dx =
∫ A
a
f(x)dx+
+∞∫A
f(x)dx.
2) Nếu
+∞∫a
f(x)dx hội tụ thì limA→+∞
+∞∫A
f(x)dx = 0.
4.1.8 Định lý. Giả sử
+∞∫a
f(x)dx và
+∞∫a
g(x)dx hội tụ. Khi đó,
+∞∫a
(αf(x) +
βg(x))dx hội tụ với mọi α, β ∈ R và
+∞∫a
(αf(x) + βg(x)
)dx = α
+∞∫a
f(x)dx+ β
+∞∫a
g(x)dx.
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu về tích phân suy rộng của hàm
không âm. Đối với hàm không âm ta sẽ có nhiều dấu hiệu tốt cho việc khảo sát sự
hội tụ của nó.
4.1.9 Định lý. Cho hàm f : [a,∞) → R, f(x) > 0 với mọi x > a và f khả tích
trên mọi [a, b], (a < b). Khi đó,
+∞∫a
f(x)dx hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại K > 0 sao
chob∫
a
f(x)dx 6 K, ∀ b > a.
133 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
Định lý sau còn gọi là dấu hiệu so sánh.
4.1.10 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,∞) → R, 0 6 f(x) 6 g(x), ∀x > a và f, g
khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Khi đó,
1) Nếu
+∞∫a
g(x)dx hội tụ thì
+∞∫a
f(x)dx hội tụ.
2) Nếu
+∞∫a
f(x)dx phân kỳ thì
+∞∫a
g(x)dx phân kỳ.
Chứng minh của định lý này suy trực tiếp từ Định lý 4.1.9.
Từ Định lý 4.1.7 và Định lý 4.1.10 ta có hệ quả sau. Chứng minh của nó dành
cho bạn đọc.
4.1.11 Hệ quả. Cho f, g : [a,∞) → R là hai hàm không âm trên [a,+∞) và f, g
khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Giả sử limx→+∞
f(x)
g(x)= A, (0 6 A 6 +∞). Khi đó
1) Nếu 0 6 A < +∞ và
+∞∫a
g(x)dx hội tụ thì
+∞∫a
f(x)dx hội tụ.
2) Nếu 0 < A 6 +∞ và
+∞∫a
f(x)dx phân kỳ thì
+∞∫a
g(x)dx phân kỳ.
3) Nếu 0 < A < +∞ thì
+∞∫a
f(x)dx hội tụ (phân kỳ) khi và chỉ khi
+∞∫a
g(x)dx
hội tụ (tương ứng phân kỳ).
4.1.12 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân
+∞∫0
ln(1 + x)
1 + x5dx.
Viết lại tích phân dưới dạng
+∞∫0
ln(1 + x)
1 + x5dx =
1∫0
ln(1 + x)
1 + x5dx+
+∞∫1
ln(1 + x)
1 + x5dx.
Ta chứng minh+∞∫1
ln(1 + x)
1 + x5dx
134 Giáo trình Giải tích
hội tụ. Thật vậy, ta có
0 <ln(1 + x)
1 + x5<
x
1 + x56 x
2x52
=1
2x32
, ∀x > 1.
Từ tích phân
+∞∫1
dx
x32
hội tụ suy ra
+∞∫1
ln(1 + x)
1 + x5dx hội tụ. Vậy
+∞∫0
ln(1 + x)
1 + x5dx hội
tụ.
Trong phần còn lại của mục này ta sẽ nghiên cứu tích phân suy rông loại I của
hàm với dấu tùy ý.
4.1.13 Định nghĩa. Cho tích phân
+∞∫a
f(x)dx. Tích phân này được gọi là hội tụ
tuyệt đối nếu tích phân
+∞∫a
|f(x)|dx hội tụ.
4.1.14 Định lý. Nếu tích phân
+∞∫a
f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
4.1.15 Nhận xét. Chiều ngược lại trong định lý trên không đúng. Xét tích phân+∞∫1
sinx
xdx. Theo phương pháp tích phân từng phần ta có
b∫1
sinx
xdx = −cosx
x
∣∣∣∣∣b
1
+
∫ b
1
cosx
x2dx = 1− cosb
b+
∫ b
1
cosx
x2dx.
Mặt khác ∣∣∣cos xx2
∣∣∣ 6 1
x2∀x > 1
suy ra
∫ +∞
1
cosx
x2dx hội tụ, nghĩa là
limb→+∞
∫ b
1
cos x
x2=
∫ +∞
1
cos x
x2dx.
Từ limb→+∞
cos b
b= 0 ta thu được
+∞∫1
sin x
xdx = lim
b→+∞
∫ b
1
sinx
x= 1 +
∫ +∞
1
cos x
x2dx.
135 Giáo trình Giải tích
Tức là
+∞∫1
sinx
xdx hội tụ.
Giả sử
+∞∫a
sinx
xdx hội tụ tuyệt đối. Khi đó, bất đẳng thức
sin2 x
x6∣∣∣sinxx
∣∣∣ ∀x > 1
kéo theo tích phân
+∞∫1
sin2 x
xdx hội tụ. Viết lại tích phân
+∞∫1
sin2 x
xdx dưới dạng
+∞∫1
sin2 x
xdx =
+∞∫1
1
2xdx−
+∞∫1
cos 2x
2xdx.
Tương tự như trên ta chứng minh được
+∞∫1
cos 2x
2xdx hội tụ. Suy ra
+∞∫1
1
2xdx hội
tụ. Ta nhận được điều vô lý. Vậy
+∞∫a
sinx
xx hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.
Sau đây, chúng ta trình bày một vài dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của tích phân
suy rộng loại I của hàm có dấu tuỳ ý. Đầu tiên là dấu hiệu Abel.
4.1.16 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,+∞) → R. Nếu
1)
+∞∫a
f(x)dx hội tụ,
2) Hàm g đơn điệu và bị chặn trên [a,+∞),
thì
+∞∫a
f(x)g(x)dx hội tụ.
Tiếp theo là dấu hiệu Dirichlet.
4.1.17 Định lý. Cho các hàm f, g : [a,+∞) → R. Giả sử
1) f khả tích trên [a, b] và∣∣∣ b∫a
f(x)dx∣∣∣ 6 K với mọi b > a;
2) Hàm g đơn điệu và limx→+∞
g(x) = 0.
Khi đó,
+∞∫a
f(x)g(x)dx hội tụ.
136 Giáo trình Giải tích
Chúng ta bỏ qua chứng minh các định lý này. Nếu bạn đọc quan tâm các chứng
minh có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4. .
4.1.18 Ví dụ. Với α > 0 các tích phân
+∞∫1
sin x
xαdx và
+∞∫1
cosx
xαdx hội tụ theo dấu
hiệu Dirichlet.
4.2 Tích phân suy rộng loại II
Trong mục này ta xét tích phân
b∫a
f(x)dx trong đó f là hàm không bị chặn trên
[a, b]. Tích phân này còn được gọi là tích phân suy rộng loại II.
4.2.1 Định nghĩa. Cho c ∈ [a, b] và hàm số f xác định trên [a, b] trừ tại điểm
x = c. Nếu tồn tại một lân cận U của điểm c trong [a, b] sao cho f không bị chặn
trên U \ c thì ta gọi c là điểm kì dị của f .
4.2.2 Ví dụ. Điểm x = 0 là điểm kỳ dị của hàm f(x) =1
xtrên [0, 1]. Điểm x = 1
là điểm kỳ dị của hàm f(x) =1
lnxtrên [1,+∞).
4.2.3 Định nghĩa. Cho f : [a, b) → R và b là điểm kì dị của f . Giả sử f khả tích
trên mọi đoạn [a, b− ε] với 0 < ε < b− a. Nếu tồn tại giới hạn limε→0
∫ b−ε
a
f(x)dx, thì
ta gọi I là tích phân suy rộng loại II của f trên [a, b] và ký hiệu là
b∫a
f(x)dx. Như
vậyb∫
a
f(x)dx := limε→0
∫ b−ε
a
f(x)dx. (4.25)
Tương tự nếu f : (a, b] → R, a là điểm kì dị của f và f khả tích trên mọi đoạn
[a+ ε, b] với 0 < ε < b− a thì ta định nghĩa
b∫a
f(x)dx := limε→0
∫ b
a+ε
f(x)dx. (4.26)
Nếu c ∈ (a, b) là điểm kì dị của hàm f trên [a, b] thì ta định nghĩa
b∫a
f(x)dx :=
c∫a
f(x)dx+
b∫c
f(x)dx,
137 Giáo trình Giải tích
trong đó các tích phân
c∫a
f(x)dx và
b∫c
f(x)dx được xác định như trên và tổng ở vế
phải là hữu hạn.
Nếu các giới hạn trong (4.28), (4.29) tồn tại và hữu hạn thì ta nói các tích phân
tương ứng hội tụ. Nếu ngược lại thì các tích phân tương ứng được gọi là phân kỳ.
4.2.4 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân
1∫0
dx√1− x2
.
Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) =1√
1− x2với điểm kì dị là x = 1.
Từ định nghĩa ta có
1∫0
dx√1− x2
= limϵ→0
1−ε∫0
dx√1− x2
= limε→0
(arcsinx
∣∣∣∣∣1−ε
0
)= lim
ε→0arcsin(1− ε) =
π
2.
4.2.5 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân
b∫a
dx
(x− a)α, (a < b, α ∈ R).
Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) =dx
(x− a)αvới điểm kì dị là x = a.
Ta cób∫
a+ε
dx
(x− a)α=
ln(b− a)− ln ε nếu α = 1.1
1− α
((b− a)1−α − ε1−α
)nếu α = 1.
Suy ra
limε→0
b∫a+ε
dx
(x− a)α=
+∞ nếu α > 1.1
1− α(b− a)1−α nếu α < 1.
Vì vậy
b∫a
dx
(x− a)αhội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α > 1.
4.2.6 Nhận xét. 1) Bằng phép đổi biến x = b + a − u thì điểm kì dị a của f(x)
được đưa về điểm kì dị b của hàm g(u) = f(b+ a−u) trên [a, b]. Như vậy ta chỉ cần
khảo sát tích phân suy rộng có dạng
b∫a
f(x)dx với b là điểm kì dị.
2) Bằng phép đổi biến x = b− 1
ythì tích phân
b−ε∫a
f(x)dx =
1ε∫
1b−a
f(b− 1
y)dy
y2=
1ε∫
1b−a
g(y)dy.
138 Giáo trình Giải tích
Vì vậy tích phân suy rộng loại II có dạng
b∫a
f(x)dx có thể đưa về tích phân suy
rộng loại I có dạng∞∫1
b−a
g(y)dy.
Như vậy các tính chất của tích phân suy rộng loại II có thể suy ra từ các tính chất
của tích phân suy rộng loại I.
Trong mục này, chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân suy
rộng loại II, bỏ qua các chứng minh. Như nhận xét trong mục trước, ta có thể nhận
được các tính chất này từ các tính chất của tích phân suy rộng loại I. Trong cả mục
này, chúng ta xét tích phân
b∫a
f(x)dx với b là điểm kì dị. Tuy nhiên các kết quả này
vẫn còn đúng cho trường hợp a là điểm kì dị.
4.2.7 Định lý. Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng
b∫a
f(x)dx hội tụ là với
mọi ε > 0 tồn tại δ0 > 0 sao cho∣∣∣ ∫ b−δ′
b−δ
f(x)dx∣∣∣ < ε với mọi δ, δ : 0 < δ, δ′ < δ0.
4.2.8 Định lý. Cho f : [a, b) → R và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b). Điều kiện cần và đủ
để tích phân suy rộng
b∫a
f(x)dx hội tụ là tồn tại K > 0 sao cho
∣∣∣ ∫ b−ε
a
f(x)dx∣∣∣ < K với mọi ε ∈ (0, b− a).
4.2.9 Định lý. Cho f, g : [a, b) → R là các hàm số không âm, f(x) 6 g(x) ∀x ∈[a, b) và b là điểm kì dị của chúng. Khi đó,
1) Nếu
b∫a
g(x)dx hội tụ thì
b∫a
f(x)dx hội tụ.
2) Nếu
b∫a
f(x)dx phân kỳ thì
b∫a
g(x)dx phân kỳ.
139 Giáo trình Giải tích
4.2.10 Hệ quả. Giả sử f ,g xác định như trong định lý trên và limx→b−
f(x)
g(x)= K (0 6
K 6 +∞). Khi đó
1) Nếu 0 6 K < +∞ và
b∫a
g(x)dx hội tụ thì
b∫a
f(x)dx hội tụ.
2) Nếu 0 < K 6 +∞ và
b∫a
g(x)dx phân kỳ thì
b∫a
f(x)dx phân kỳ.
3) Nếu 0 < K < +∞ thì
b∫a
f(x)dx,
b∫a
g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
4.2.11 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1∫0
dx
sinα x.
Ta có f(x) =1
sinα x> 0 với mọi x ∈ (0, 1]. Xét hàm g(x) =
1
xα> 0 với mọi
x ∈ (0, 1]. Ta có
limx→0+
f(x)
g(x)= lim
x→0+
xα
sinα x= 1
và
1∫0
dx
xαhội tụ khi và chỉ khi α < 1. Do đó
1∫0
dx
sinα xhội tụ khi và chỉ khi α < 1.
4.2.12 Định nghĩa. Cho f : [a, b) :→ R và b là điểm kì dị của f . Tích phân suy
rộng
b∫a
f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
b∫a
|f(x)|dx hội tụ.
Rõ ràng nếu tích phân hội tụ
b∫a
f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ. Điều
ngược lại là không đúng.
4.2.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1∫0
sin 3xdx√x− 1
.
Ta có ∣∣∣ sin 3x√x− 1
∣∣∣ 6 1√x− 1
, ∀x ∈ [0, 1).
Do tích phân
1∫0
dx√x− 1
hội tụ, nên
1∫0
∣∣∣ sin 3x√x− 1
∣∣∣dx hội tụ, hay
1∫0
sin 3xdx√x− 1
hội tụ
tuyệt đối. Suy ra
1∫0
sin 3xdx√x− 1
hội tụ.
140 Giáo trình Giải tích
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 4
Câu hỏi thảo luận
1) Các khái niệm nguyên hàm, tích phân không xác định, phương pháp tính
nguyên hàm của các lớp hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác.
2) Khái niệm tích phân xác định, các tính chất của tích phân xác định. Mối liên
hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định. Các phương pháp tính tích phân xác
định.
2) Các ứng dụng của tích phân xác định trong việc tính độ dài cung, diện tích,
thể tích,...; trong vật lý và kỹ thuật .
3) Các khái niệm cơ bản của tích phân suy rộng và xét sự hội tụ của tích phân
suy rộng.
Bài tập của chương 4
Bài 1. Chọn phép biến đổi thích hợp tính các tích phân sau:
1)
∫x2 3√1− xdx.
2)
∫x2√1− x
dx.
3)
∫dx
ex2 + ex
.
4)
∫dx√1 + ex
.
5)
∫x2dx√x2 − 2
.
Bài 2. Dùng phuơng pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau
1)
∫x3e−x2
dx.
2)
∫x2 sin 2xdx.
3)
∫x arctanxdx.
4)
∫x arcsinxdx.
141 Giáo trình Giải tích
5)
∫x3e−x2
dx.
6)
∫x2 sin 2xdx.
7) a)
∫eax sin bxdx, b)
∫eax cos bxdx.
8)
∫ √x2 − a2dx
Bài 3. Tính các tích phân sau
1)
∫xdx
(x+ 1)(x+ 2).
2)
∫ 1
x(x2 + x+ 1)dx.
3)
∫ x+ 1
x2 + 2x+ 5dx.
4)
∫x2 + 1
(x+ 1)(x+ 2)2dx.
5)
∫dx
x4 − 1.
6)
∫ x+ 1
x3 − 1dx.
Bài 4. Tính các tích phân sau
1)
∫sin 5x. cosxdx.
2)
∫cos4 x
sin3 xdx.
3)
∫sin3 x
cos4 xdx.
4)
∫dx
sin x sin 2x.
5)
∫dx
4 sin x+ 3 cos x+ 5
Bài 5. Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−a, a]. Chứng minh
rằng
1)
a∫−a
f(x)dx = 2
a∫0
f(x)dx, nếu f(x) là hàm chẵn.
142 Giáo trình Giải tích
2)
a∫−a
f(x)dx = 0, nếu f(x) là hàm lẻ.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1)
1∫0
x15√1 + 3x8dx; 2)
e∫1
e
| lnx|dx.
3)
∫ 12
− 12
dx√1− x2
; 4)
2∫0
ex.|x− 1|dx.
5)
1∫0
x. lnxdx; 6)
1∫−1
xdx
x2 + x+ 1.
Bài 7. Tính độ dài cung của các đuờng sau:
1) y2 = 2px, với (0 6 x 6 a), p > 0.
2) x =1
4y2 − 1
2ln y, với (1 6 y 6 e).
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đuờng cho trong hệ tọa độ
Descartes:
1) y = x2 + 1, x+ y − 3 = 0.
2) y = 0, y = (x+ 1)2, x+ y − 4 = 0.
3) y2 = 2x+ 1, x− y − 1 = 0.
4) y = |x2 − 4x+ 3|, y = x+ 3.
Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D được giới hạn
bởi các đồ thị hàm số
1) y = 0, y = x3 và x = 2 quanh trục Ox.
2) y = −x2 + 5 và y = 0 quanh trục Ox.
3) x = 0, y =x
2và y = 4 xung quanh trục Oy.
Bài 10. Tính các tích phân sau:
1)
+∞∫e
dx
x ln2 x; 2)
+∞∫1
e−1xdx
x2;
143 Giáo trình Giải tích
3)
1∫0
lnxdx; 4)
2∫1
(x− 2)dx√x− 1
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 4
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
CHƯƠNG 5
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM
V.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả cơ bản của lý thuyết chuỗi
số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi lượng giác, mà chúng có nhiều ứng dụng trong
ngành toán học khác và các ngành kỹ thuật, kinh tế,...
V.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số;
chuỗi hàm và miền hội tụ, chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.
V.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Trình bày được định nghĩa và các tính chất cơ bản của chuỗi số hội tụ.
2. Tính được tổng của một số chuỗi số đặc biệt.
3. Sử dụng được dấu hiệu hội tụ để xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
4. Sử dụng được dấu hiệu Lepnit để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu. Khảo
sát được sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số.
5. Trình bày được các khái niệm về miền hội tụ của chuỗi hàm, tổng của chuỗi
hàm.
6. Tìm được miền hội tụ của chuỗi hàm.
7. Tìm được bán kính hội tụ, miền hội tụ và tính được tổng của chuỗi lũy
thừa. Viết được khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa.
8. Trình bày được các khái niệm hệ số Fourier, chuỗi Fourier. Viết được khai
triển thành chuỗi Fourier của các hàm chẵn, lẻ, tuần hoàn và không tuần hoàn.
V.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
144
145 Giáo trình Giải tích
Trong chương này chúng ta trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản về
chuỗi số và chuỗi hàm số thực.
1 Chuỗi số
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Cho dãy số thực an∞n=1. Ta gọi tổng hình thức
a1 + a2 + · · ·+ an + · · · (5.1)
là một chuỗi số và ký hiệu là∞∑n=1
an, an được gọi là số hạng thứ n của chuỗi số (5.1).
Với mỗi n = 1, 2, ... đặt
Sn = a1 + a2 + ...+ an =n∑
i=1
ai
và gọi Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi số (5.1). Dãy Sn được gọi là dãy tổng riêng
của chuỗi (5.1).
Nếu tồn tại limn→∞
Sn = S hữu hạn thì chuỗi (5.1) được gọi là hội tụ và có tổng
bằng S. Khi đó ta ký hiệu∞∑n=1
an = S.
Nếu chuỗi không hội tụ thì nó được gọi là phân kỳ. Trong trường hợp limn→∞
Sn =
±∞ thì ta viết là∞∑n=1
an = ±∞.
Như vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó hội tụ trong R, và∞∑n=1
an = S khi và chỉ khi limn→∞
Sn = S. Hơn nữa, nếu chuỗi (5.1) có tổng bằng S thì
với mỗi n = 1, 2, ... chuỗi∞∑i=n
ai cũng hội tụ và có tổng bằng S − Sn−1.
1.1.2 Định nghĩa. Với mỗi n = 1, 2, ... ta đặt rn =∞∑
i=n+1
ai và gọi rn là phần dư
thứ n của chuỗi (5.1).
Như vậy nếu chuỗi (5.1) hội tụ và có tổng S thì rn = S − Sn hội tụ tới 0 khi
n→ ∞.
146 Giáo trình Giải tích
1.1.3 Ví dụ. 1) Xét chuỗi số∞∑n=1
1
n(n+ 1). Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là
Sn =1
1.2+
1
2.3+ ...+
1
n(n+ 1)
= 1− 1
2+
1
2− 1
3+ ...+
1
n− 1
n+ 1= 1− 1
n+ 1.
Từ đó ta có limn→∞
Sn = limn→∞
(1−
1
n+ 1
)= 1. Vì vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng
bằng 1.
2) Xét chuỗi số∞∑n=1
1√n. Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi là
Sn = 1 +1√2+ ...+
1√n>
1√n+ ...+
1√n=
n√n=
√n.
Vì vậy limn→∞
Sn = +∞. Do đó chuỗi phân kỳ.
3) Xét chuỗi số∞∑n=1
(−1)n. Dễ thấy dãy tổng riêng của chuỗi này có hai dãy con
S2n = 0 và S2n+1 = −1. Do đó dãy tổng riêng phân kỳ, kéo theo chuỗi phân kỳ.
4) Xét chuỗi số∞∑n=1
qn (q ∈ R). Khi đó tổng riêng thứ n của chuỗi này là
Sn =n∑
i=1
qi =
q1− qn
1− qnếu q = 1
n nếu q = 1.
Vì vậy nếu |q| < 1 thì limn→∞
Sn =q
1− q, hay chuỗi hội tụ. Nếu |q| > 1 thì chuỗi phân
kỳ.
1.2 Một số tính chất của chuỗi hội tụ
Định lý sau cho ta một điều kiện cần để chuỗi hội tụ.
1.2.1 Định lý. Nếu chuỗi (5.1) hội tụ thì limn→∞
an = 0.
Định lý trên cho chúng ta một dấu hiệu quen thuộc để nhận biết chuỗi phân
kỳ. Chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1],
[2], [3], [5] của chương 5.
147 Giáo trình Giải tích
1.2.2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số∞∑n=1
n sin1
n.
Ta có an = n sin1
n. Vì vậy
limn→∞
an = limn→∞
n sin1
n= lim
n→∞
sin 1n
1n
= 1 = 0.
Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.
1.2.3 Nhận xét. Định lý 1.2.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ
để chuỗi hội tụ. Ta có thể chỉ ra chuỗi số∞∑n=1
an với limn→∞
an = 0 nhưng chuỗi phân
kỳ. Chẳng hạn, chuỗi số∞∑n=1
1√n.
Định lý sau còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy, đưa ra một điều kiện cần và đủ để
chuỗi số hội tụ. Nó được suy ra từ định nghĩa sự hội tụ của chuỗi và tiêu chuẩn
Cauchy về dãy số hội tụ.
1.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số∞∑n=1
an hội tụ khi và chỉ khi với mọi
ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |an+1 + ...+ an+p| < ε với mọi n > n0 và mọi p ∈ N.
Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Bạn đọc tự chứng minh.
1.2.5 Định lý. Nếu các chuỗi số∞∑n=1
an,∞∑n=1
bn hội tụ, có tổng lần lượt là a, b và
α ∈ R, thì các chuỗi∞∑n=1
(an + bn),∞∑n=1
αan cũng hội tụ và lần lượt có tổng là a+ b,
αa.
1.3 Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ
Trong mục này chúng ta nghiên cứu lớp các chuỗi số dương, đối với loại chuỗi
này có nhiều dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của nó.
1.3.1 Định nghĩa. Chuỗi số∞∑n=1
an được gọi là chuỗi số dương nếu an > 0 với mọi
n ≥ 1.
Nhận xét. Đối với chuỗi số dương, dãy tổng riêng của nó luôn là dãy tăng. Do
đó nhờ tính chất của giới hạn ta suy ra chuỗi số dương∞∑n=1
an hội tụ khi và chỉ khi
148 Giáo trình Giải tích
dãy các tổng riêng của nó bị chặn. Trong trường hợp chuỗi∞∑n=1
an phân kỳ thì tổng
của chuỗi sẽ là +∞. Sau đây, chúng ta đưa ra một số dấu hiệu để nhận biết sự hội
tụ của các chuỗi số dương.
Định lý sau cho một phương pháp so sánh theo giới hạn, chứng minh của nó bạn
đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.2 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 1) Cho các chuỗi số dương∞∑n=1
an,∞∑n=1
bn. Giả sử
tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn l = limn→∞
an
bn. Khi đó, ta có các kết luận sau:
1) Nếu 0 < l < +∞ thì các chuỗi∞∑n=1
an và∞∑n=1
bn đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
2) Nếu l = 0 và chuỗi∞∑n=1
an hội tụ thì chuỗi∞∑n=1
bn hội tụ.
3) Nếu l = +∞ và chuỗi∞∑n=1
bn phân kỳ thì chuỗi∞∑n=1
an phân kỳ.
Định lý sau đưa ra phương pháp so sánh theo bất đẳng thức.
1.3.3 Định lý. (Dấu hiệu so sánh 2) Cho các chuỗi số dương∞∑n=1
an,∞∑n=1
bn. Giả sử
tồn tại K > 0 và n0 ∈ N sao cho an 6 K.bn, với mọi n > n0. Khi đó
1) Nếu chuỗi∞∑n=1
bn hội tụ thì chuỗi∞∑n=1
an hội tụ.
2) Nếu chuỗi∞∑n=1
an phân kỳ thì chuỗi∞∑n=1
bn phân kỳ.
1.3.4 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng chuỗi∞∑n=1
1
ns(với s là hằng số)
hội tụ nếu s > 1 và phân kỳ nếu s 6 1 (xem Ví dụ 1.3.13). Nhờ tính chất này, chuỗi
∞∑n=1
1
nsthường được dùng làm chuẩn để so sánh, khi xét sự hội tụ hay phân kỳ của
các chuỗi số dương.
Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ áp dụng dấu hiệu so sánh.
1.3.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1)∞∑n=1
sin1
nα, (α > 0).
149 Giáo trình Giải tích
Ta có limn→∞
sin1
nα
1
nα
= 1. Vì vậy từ dấu hiệu so sánh 1 và sự hội tụ của chuỗi
∞∑n=1
1
nαta suy ra chuỗi
∞∑n=1
sin1
nαhội tụ với α > 1 và phân kỳ với α 6 1.
2)∞∑n=1
1√n(n+ 1)
. Ta có limn→∞
1
n1√
n(n+ 1)
= 1. Do chuỗi∞∑n=1
1
nphân kỳ nên
chuỗi∞∑n=1
1√n(n+ 1)
phân kỳ.
1.3.6 Định lý. (Dalambert) Cho chuỗi số dương∞∑n=1
an. Giả sử tồn tại giới hạn
hữu hạn hay vô hạn d = limn→∞
an+1
an. Khi đó
1) Nếu 0 6 d < 1 thì chuỗi hội tụ;
2) Nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.7 Nhận xét. Nếu d = limn→∞
an+1
an= 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được tính
hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấu
hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.
1.3.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:∞∑n=1
n!an
nn(a > 0).
Ta có an =n!an
nnvà
d = limn→∞
an+1
an= lim
n→∞
a(1 +
1
n
)n =a
e.
Vậy theo dấu hiệu Dalambert ta có.
- Với a < e tức là d < 1, thì chuỗi hội tụ.
-Với a > e tức là d > 1, thì chuỗi phân kỳ.
150 Giáo trình Giải tích
-Với a = e tức là d = 1, thì chưa có kết luận.
Tuy nhiên, từ bất đẳng thức(1 + 1
n
)n< e với mọi n ta nhận được
an+1
an=
e(1 + 1
n
)n > 1
với mọi n. Suy ra an+1 > an với mọi n. Do đó an > a1 = e với mọi n. Vì vậy
limn→∞
an = 0. Do đó chuỗi phân kỳ.
1.3.9 Định lý. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương∞∑n=1
an. Giả sử tồn tại giới
hạn hữu hạn hay vô hạn c = limn→∞
n√an. Khi đó
1) Nếu 0 6 c < 1 thì chuỗi hội tụ.
2) Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.3.10 Nhận xét. 1) Nếu c = limn→∞
n√an = 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được
tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các
dấu hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.
2) Trong Định lý 1.3.9 nếu thay giới hạn c = limn→∞
n√an bởi giới hạn trên c =
limn→∞
n√an thì kết luận của định lý vẫn còn đúng.
1.3.11 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:
1)∞∑n=1
(n− 1
n+ 1
)n(n+1)
.
Ta có an =(n− 1
n+ 1
)n(n+1)
và
c = limn→∞
n√an = lim
n→∞
(n− 1
n+ 1
)n+1
= limn→∞
(1−
2
n+ 1
)n+1
=1
e2< 1.
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi số đã cho hội tụ.
2)∞∑n=1
(2 + (−1)n
)n4n
.
Ta có
c = limn→∞
n√an = lim
n→∞
2 + (−1)n
4=
3
4< 1.
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.
151 Giáo trình Giải tích
1.3.12 Định lý. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương∞∑n=1
an. Giả sử
tồn tại hàm f(x) đơn điệu giảm và liên tục trên [a,+∞) với a > 1 sao cho f(n) = an
với mỗi n = 1, 2, ... Khi đó nếu tích phân suy rộng
+∞∫a
f(x)dx hội tụ (tương ứng
phân kỳ) chuỗi∞∑n=1
an hội tụ (tương ứng phân kỳ).
Chứng minh của định lý này bạn đọc tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],
[2], [3], [5] của chương 5. Chúng ta đến với một ví dụ áp dụng của nó.
1.3.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số∞∑n=1
1
ns(s ∈ R).
- Với s < 0 ta có limn→∞
1
ns= +∞, nhờ điều kiện cần để chuỗi hội tụ ta suy ra
chuỗi phân kỳ.
- Với s = 0 thì dễ thấy chuỗi đã cho phân kỳ.
- Với s > 0 ta xét hàm số f(x) =1
xstrên [1,+∞). Ta có f ′(x) =
− s
xs+1< 0 với
mọi x > 1. Do vậy f(x) đơn điệu giảm trên [1,+∞). Hơn nữa an =1
ns= f(n) với
mỗi n = 1, 2, .... Mặt khác ta có
∫ ∞
1
dx
xs= lim
A→∞
∫ A
1
dx
xs=
limA→∞
( 1
(1− s)xs−1
∣∣∣A1
)nếu s = 1
limA→∞
(lnx∣∣∣A1
)nếu s = 1.
Từ đó suy ra ∫ ∞
1
dx
xs=
1
s− 1nếu s > 1
+∞ nếu 0 < s 6 1.
Vì vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy chuỗi∞∑n=1
1
nshội tụ nếu s > 1 và phân
kỳ nếu s ≤ 1.
1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý
Trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt của chuỗi có dấu bất kỳ là chuỗi đan
dấu, đó là trường hợp các số hạng của chuỗi lần lượt nhận dấu dương rồi dấu âm,
152 Giáo trình Giải tích
hoặc lần lượt nhận dấu âm rồi dấu dương.
1.4.1 Định nghĩa. Cho an là dãy số dương. Chuỗi số có dạng∞∑n=1
(−1)n−1an
(hoặc∞∑n=1
(−1)nan) được gọi là chuỗi đan dấu.
Sự hội tụ của chuỗi đan dấu thường được nhận biết bởi dấu hiệu sau.
1.4.2 Định lý. (Dấu hiệu Leibnitz) Nếu an là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn)
và limn→∞
an = 0 thì chuỗi đan dấu∞∑n=1
(−1)n−1an hội tụ.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.4.3 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
1)∞∑n=1
(−1)n−1
2n− 1.
Ta có an =1
2n− 1>
1
2n+ 1= an+1 với mọi n và lim
n→∞
1
2n− 1= 0. Theo dấu
hiệu Leibnitz thì chuỗi hội tụ.
2)∞∑n=1
sin( 1n+ nπ
).
Ta có sin( 1n+ nπ
)= (−1)n sin
1
nvà vì dãy an với an = sin
1
nlà dãy đơn điệu
giảm hội tụ về 0. Do đó theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi đã cho hội tụ.
1.4.4 Định nghĩa. Chuỗi số∞∑n=1
an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi∞∑n=1
|an|
hội tụ. Một chuỗi hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện
hay bán hội tụ.
Nhận xét. Dùng tiêu chuẩn Cauchy bạn đọc có thể chứng minh được mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Điều ngược lại nói chung là không đúng.
1.4.5 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của chuỗi∞∑n=1
(−1)n−1
npvới p ∈ R.
Với p 6 0 ta có limn→∞
(−1)n−1
np= 0. Do đó chuỗi phân kỳ.
Với p > 1 ta có chuỗi∞∑n=1
1
nphội tụ, tức là chuỗi
∞∑n=1
(−1)n−1
nphội tụ tuyệt đối.
153 Giáo trình Giải tích
Với 0 < p 6 1 ta có chuỗi∞∑n=1
1
npphân kỳ, tức là chuỗi
∞∑n=1
(−1)n−1
npkhông hội tụ
tuyệt đối. Tuy nhiên trong trường hợp này dễ thấy chuỗi∞∑n=1
(−1)n−1
nphội tụ theo
dấu hiệu Leibnitz. Như vậy chuỗi này bán hội tụ.
1.4.6 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử
1) Chuỗi∞∑n=1
an có dãy tổng riêng bị chặn, nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho
|a1 + a2 + ....+ an| < M với mọi n,
2) bn là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn ) và limn→∞
bn = 0.
Khi đó, chuỗi số∞∑n=1
anbn hội tụ.
1.4.7 Định lý. (Dấu hiệu Abel) Giả sử
1) Chuỗi∞∑n=1
an hội tụ
2) bn là dãy số đơn điệu và bị chặn.
Khi đó, chuỗi số∞∑n=1
anbn hội tụ.
Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo
[1], [2], [3], [5] của chương 5.
1.4.8 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi∞∑n=1
cos 2n
n.
Ta cón∑
k=1
cos kx =1
2 sin x2
(sin(2n+ 1)
x
2− sin
x
2
).
Vì vậy ∣∣ n∑k=1
cos 2k∣∣ = ∣∣∣ 1
2 sin 1(sin(2n+ 1)− sin 1
)∣∣∣ < 1
sin 1
với mọi n. Như vậy, chuỗi∞∑n=1
cos 2n có dãy tổng riêng bị chặn. Mặt khác bn =1
n
đơn điệu giảm về 0. Theo dấu hiệu Dirichlet thì chuỗi∞∑n=1
cos 2n
nhội tụ.
154 Giáo trình Giải tích
2 Chuỗi hàm
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản
2.1.1 Định nghĩa. Cho X ⊆ R. Ký hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số xác định
trên X và N∗ = 1, 2, ... Ta gọi mỗi ánh xạ f : N∗ → A đặt tương ứng mỗi n ∈ N∗
với một hàm f(n) ∈ A là một dãy hàm xác định trên X.
Ta ký hiệu dãy hàm này là fn(x) hay
f1(x), f2(x), ..., (5.2)
trong đó fn(x) = f(n).
Trong một số trường hợp dãy hàm còn được ký hiệu gọn là fn hay f1, f2, ...
2.1.2 Định nghĩa. Cho dãy hàm fn xác định trên X ⊆ R. Ta gọi tổng hình
thức
f1(x) + f2(x) + ... (5.3)
là một chuỗi hàm và ký hiệu là∞∑n=1
fn(x) hay∞∑n=1
fn.
Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) nếu chuỗi số∞∑n=1
fn(x0)
hội tụ.
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm (5.3).
Giả sử chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) có miền hội tụ A ⊆ X. Với mỗi x ∈ A đặt
S(x) = limn→∞
n∑i=1
fi(x).
Khi đó, chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) được gọi là hội tụ đến S(x) trên A, S(x) được gọi là
tổng của chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) trên A và ký hiệu là∞∑n=1
fn = S trên A.
2.1.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm∞∑n=1
xn
2n.
Nếu∣∣∣x2
∣∣∣ > 1 thì limn→∞
xn
2n= 0. Do đó chuỗi
∞∑n=1
xn
2nphân kỳ.
155 Giáo trình Giải tích
Nếu∣∣∣x2
∣∣∣ < 1 thì chuỗi∞∑n=1
xn
2nhội tụ tuyệt đối theo dấu hiệu Cauchy. Vì vậy chuỗi
đã cho hội tụ và
S(x) =∞∑n=1
xn
2n= lim
n→∞
n∑i=1
(x2
)i= lim
n→∞
x
2
1−(x2
)n1−
x
2
=x
2− x.
Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là −2 < x < 2 và tổng của chuỗi trên miền hội
tụ là S(x) =x
2− x.
2.1.4 Định nghĩa. Cho chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) trên X ⊆ R, hội tụ đến hàm S(x)
trên X0 ⊆ X. Với mỗi x ∈ X0 đặt
Sn(x) = f1(x) + ....+ fn(x) =n∑
k=1
fk(x), n = 1, 2...
và
rn(x) = S(x)− Sn(x) =∞∑
k=n+1
fk(x).
Khi đó, các dãy hàm Sn(x), rn(x) lần lượt được gọi là dãy tổng riêng và dãy
phần dư của chuỗi hàm (5.3). Hơn nữa dãy hàm Sn hội tụ đến S trên X0.
2.2 Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ
2.2.1 Định nghĩa. Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) được gọi là hội tụ đều đến hàm S(x) trên
tập A ⊆ X0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0(ε) sao cho với mọi n > n0 ta có
|S(x)− Sn(x)| < ε với mọi x ∈ A.
Một cách tương đương, chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với
mọi ε > 0 tồn tại n0 = n0(ε) sao cho với mọi n > n0, với mọi x ∈ A thì
|rn(x)| < ε.
2.2.2 Nhận xét. 1) Từ định nghĩa ta suy ra nếu chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều
đến S(x) trên A thì hội tụ đến S(x) trên A. Điều ngược lại là không đúng.
2) Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi limn→∞
supx∈A
|rn(x)| = 0.
156 Giáo trình Giải tích
2.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi hàm∞∑n=0
xn. Ta thấy chuỗi này hội tụ đến S(x) =1
1− xtrên (0, 1). Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều đến S(x) trên (0, 1). Thật vậy, ta có
rn(x) =∞∑
k=n+1
xk =xn+1
1− x, ∀x ∈ (0, 1).
Vì vậy, với mỗi n ≥ 1 bằng cách chọn xn = 1−1
n∈ (0, 1) ta có
limn→∞
supx∈(0,1)
|rn(x)| = limn→∞
supx∈(0,1)
xn+1
1− x≥ lim
n→∞n(1− 1
n
)n+1
= +∞.
Do đó chuỗi∞∑n=0
xn không hội tụ đều đến S(x) =1
1− xtrên (0, 1).
Định lý sau đây còn được gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của chuỗi
hàm.
2.2.4 Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều trên A khi
và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 = n0(ε) sao cho với mọi n ≥ n0 và
mọi p ∈ N ta có
|fn+1(x) + ...+ fn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A.
Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà chứng
minh của chúng bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5]
của chương 5.
2.2.5 Định lý. (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x). Nếu
1) |fn(x)| 6 an với mọi x ∈ A và với mọi n > n0, (n0 là một số tự nhiên cố
định),
2) Chuỗi số∞∑n=1
an hội tụ,
thì∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều trên A.
2.2.6 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm∞∑n=0
nx sinnx
1 + n5x2trên R.
Ta có ∣∣∣nx sinnx1 + n5x2
∣∣∣ 6 |nx|1 + n5x2
6 1
2n32
, với mọi x ∈ R, với mọi n ∈ N∗.
157 Giáo trình Giải tích
Vì chuỗi số∞∑n=0
1
2n32
hội tụ, nhờ dấu hiệu Weierstrass ta suy ra chuỗi hàm∞∑n=0
nx sinnx
1 + n5x2
hội tụ đều trên R.
2.2.7 Định lý. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho các dãy hàm fn, gn xác định trên
A ⊆ R. Giả sử
1) Dãy tổng riêng của chuỗi∞∑n=1
fn(x) bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M > 0
sao cho ∣∣ n∑k=1
fk(x)∣∣ 6M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...
2) Dãy số gn(x) đơn điệu giảm với mỗi x ∈ A và gn hội tụ đều đến 0 trên
A.
Khi đó, chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
2.2.8 Định lý. (Dấu hiệu Abel). Cho các dãy hàm fn, gn xác định trên A ⊆ R.
Giả sử
1) Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều trên A.
2) Dãy số gn(x) đơn điệu với mỗi x ∈ A và gn bị chặn đều trên A, tức là
tồn tại M > 0 sao cho
|gn(x)| 6M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2, ...
Khi đó, chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất cơ bản của tổng chuỗi hàm.
Ta đã biết tổng của hữu hạn các hàm liên tục trên A là một hàm liên tục trên
A. Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để điều trên đúng cho tổng vô hạn.
2.2.9 Định lý. (Tính liên tục) Cho A ⊆ R và dãy hàm fn xác định trên A. Nếu
1) fn là hàm liên tục trên A với mỗi n = 1, 2, ...,
2) Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đều đến hàm S(x) trên A,
thì S là hàm liên tục trên A.
Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi
hàm.
158 Giáo trình Giải tích
2.2.10 Định lý. (Tính khả vi) Cho dãy hàm fn xác định trên (a, b). Nếu
1) fn là hàm liên tục trên (a, b) với mỗi n = 1, 2, ...,
2) Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đến hàm S(x) trên (a, b),
3) Chuỗi hàm∞∑n=1
f ′n(x) hội tụ đều trên (a, b),
thì S là hàm khả vi trên (a, b) và
S ′(x) =( ∞∑
n=1
fn(x))′
=∞∑n=1
f ′n(x)
với mọi x ∈ (a, b).
Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy tích phân từng số hạng của chuỗi
hàm.
2.2.11 Định lý. (Tính khả tích) Cho dãy hàm fn xác định trên [a, b]. Nếu
1) fn là hàm liên tục trên [a, b] với mỗi n = 1, 2, ...,
2) Chuỗi hàm∞∑n=1
fn(x) hội tụ đến hàm S(x) trên [a, b],
thì S là hàm khả tích trên [a, b] và∫ b
a
S(x)dx =
∫ b
a
( ∞∑n=1
fn(x))dx =
∞∑n=1
∫ b
a
fn(x)dx.
Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3 Chuỗi luỹ thừa
3.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa
3.1.1 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng∞∑n=0
an(x− x0)n, trong đó
x0, a0, a1, a2, ... ∈ R.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi luỹ thừa. Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ
tại tâm của nó.
Nếu đặt y = x − x0 thì chuỗi luỹ thừa được đưa về dạng∞∑n=0
anyn có tâm tại
y = 0.
159 Giáo trình Giải tích
3.1.2 Bổ đề. (Abel) Cho chuỗi luỹ thừa
∞∑n=0
anxn. (5.4)
Khi đó
1) Nếu chuỗi (5.4) hội tụ tại x0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà
|x| < |x0|.
2) Nếu chuỗi (5.4) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi điểm x mà |x| > |x1|.
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.1.3 Nhận xét. Gọi A là miền hội tụ của chuỗi (5.4). Hiển nhiên chuỗi hội tụ tại
x = 0. Do đó A = ϕ và nếu đặt
R = supx : x ∈ A
thì R > 0.
Ta dễ dàng đưa ra các ví dụ về chuỗi (5.4) mà R = 0, R <∞ và R = +∞ (chuỗi
hội tụ trên toàn R). Từ Bổ đề Abel ta chứng minh được rằng nếu R > 0 thì
1) Chuỗi (5.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R,R) và hội tụ đều trong mỗi
đoạn [a, b] ⊂ (−R,R).
2) Chuỗi (5.4) phân kỳ tại mỗi x mà |x| > R.
3.1.4 Định nghĩa. Số R ∈ [0,+∞) trong Nhận xét 3.1.3 được gọi là bán kính hội
tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4). Khoảng (−R,R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi
luỹ thừa (5.4)
Định lý sau cho ta cách tính bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
3.1.5 Định lý. (Cauchy- Hadamard) Cho chuỗi luỹ thừa∞∑n=0
anxn. Giả sử rằng
ρ = limn→∞
n√|an| (hoặc ρ = lim
n→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣).Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi được tính theo công thức sau
R =
1
ρnếu 0 < ρ < +∞
+∞ nếu ρ = 0
0 nếu ρ = +∞.
160 Giáo trình Giải tích
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.1.6 Ví dụ. Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
∞∑n=0
(−1)n
n
(1− x
1 + x
)n.
Giải. Đặt u =1− x
1 + x, (với x = −1). Ta thu được chuỗi lũy thừa
∞∑n=0
(−1)n
nun. Bán
kính hội tụ của chuỗi trên là
R = limn→∞
∣∣∣ anan+1
∣∣∣ = limn→∞
∣∣n+ 1
n
∣∣ = 1.
Khoảng hội tụ của chuỗi là (−1, 1).
Với u = 1 ta thu được chuỗi∞∑n=0
(−1)n
nhội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.
Với u = −1 ta thu được chuỗi∞∑n=0
1
nphân kỳ.
Do đó miền hội tụ của chuỗi∞∑n=0
(−1)n
nun là −1 < u 6 1. Trở lại với chuỗi ban
đầu, miền hội tụ của chuỗi là tập những x ∈ R thoả mãn
−1 <1− x
1 + x6 1.
Giải hệ bất phương trình trên ta thu được miền hội tụ của chuỗi ban đầu là [0,+∞).
3.2 Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa
Các kết quả này suy từ các tính chất tương ứng của tổng chuỗi hàm và tính
hội tụ đều của chuỗi lũy thừa trên các đoạn [−r, r] ⊂ (−R,R).
3.2.1 Định lý. (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0
anxn có bán kính hội tụ
R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó liên tục trên khoảng hội tụ (−R,R)
3.2.2 Định lý. (Tính liên tục tại điểm mút) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0
anxn có bán
kính hội tụ R > 0. Khi đó
1) Nếu chuỗi hội tụ tại x = R thì tổng S(x) liên tục trái tại x = R, tức là
limx→R−
S(x) = S(R).
161 Giáo trình Giải tích
2) Nếu chuỗi hội tụ tại x = −R thì tổng S(x) liên tục phải tại x = R, tức là
limx→−R+
S(x) = S(−R).
3.2.3 Định lý. (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0
anxn có bán
kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của nó khả tích trên mọi đoạn [a, b] trong
khoảng hội tụ (−R,R) và
b∫a
S(x)dx =∞∑n=0
an
b∫a
xndx.
Đặc biệt, nếu x ∈ (−R,R) thì
x∫0
S(t)dt =∞∑n=0
anxn+1
n+ 1.
3.2.4 Định lý. (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa∞∑n=0
anxn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó
1) Chuỗi∞∑n=0
nanxn−1 cũng có bán kính hội tụ là R.
2) Tổng S(x) là hàm khả vi trong khoảng (−R,R) và
S ′(x) =∞∑n=0
nanxn−1.
Chứng minh của những định lý trên bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu
tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
3.2.5 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng trên miền hội tụ của chuỗi
∞∑n=0
xn
n2n.
Giải. Đặt u =x
2. Ta thu được chuỗi
∞∑n=0
un
n. Dễ dàng tìm được bán kính hội tụ của
chuỗi vừa nhận được R = 1 và miền hội tụ −1 6 u < 1. Do vậy miền hội tụ của
chuỗi ban đầu là −2 6 x < 2.
Tiếp theo ta tính tổng S(u) của chuỗi∞∑n=0
un
n. Khoảng hội tụ của nó là (−1, 1).
Lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ta có
S ′(u) =∞∑n=1
un−1 =1
1− u
162 Giáo trình Giải tích
với mọi u ∈ (−1, 1). Suy ra
S(u) =
∫du
1− u= − ln |1− u|+ C
trong đó C là một hằng số cần tìm. Để ý rằng S(0) = 0, vì vậy
0 = − ln 1 + C,
hay C = 0. Do đó S(u) = − ln(1− u).
Theo Định lý 3.2.2 ta có
S(−1) = limu→−1+
S(u) = limu→−1+
− ln |1− u| = − ln 2.
Như vậy
S(u) = − ln(1− u), u ∈ [−1, 1).
Thay u =x
2ta nhận được
S(x) = − ln∣∣∣1− x
2
∣∣∣, với mọi x ∈ [−2, 2).
3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa
3.3.1 Định nghĩa. Cho hàm f xác định trong (a, b). Ta nói rằng hàm f khai triển
được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại δ > 0 và
dãy an sao cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) và với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ta có đẳng
thức
f(x) =∞∑n=0
an(x− x0)n.
3.3.2 Định nghĩa. Giả sử f là hàm xác định và khả vi vô hạn lần trên (a, b) và
x0 ∈ (a, b). Khi đó chuỗi
f(x0) +f ′(x0)
1!(x− x0) + ...+
f (n)(x0)
n!(x− x0)
n + ...
=∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x− x0)
n (5.5)
được gọi là chuỗi Taylor của hàm f . Chuỗi Taylor với tâm tại x0 = 0 được gọi là
chuỗi Maclaurin.
163 Giáo trình Giải tích
Ta có định lý sau.
3.3.3 Định lý. Giả sử f là hàm xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nếu hàm f được
khai triển thành chuỗi lũy thừa
f(x) =∞∑n=0
an(x− x0)n (5.6)
trong lân cận của x0 thì trong lân cận này f khả vi vô hạn lần và chuỗi (5.6) là
chuỗi Taylor của nó, tức là các hệ số của nó được tính theo công thức
an =f (n)(x0)
n!, n = 0, 1, ...
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra hệ quả sau.
3.3.4 Hệ quả. Phép khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm
cho trước là duy nhất.
Tiếp theo ta nghiên cứu các lớp hàm có thể khai triển được thành chuỗi lũy
thừa trong một lân cận của điểm nào đó. Từ định lý trên ta thấy nếu hàm khai
triển được thành chuỗi lũy thừa thì nó khả vi vô hạn lần và chuỗi khai triển chính
là chuỗi Taylor của hàm tại điểm đó. Ta biết rằng nếu hàm khả vi vô hạn lần trong
lân cận của x0 thì nó tồn tại chuỗi Taylor. Vấn đề đặt ra là phải chăng mọi hàm
khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x0 đều có thể khai triển thành chuỗi lũy
thừa? Câu trả lời là phủ định. Chẳng hạn, xét hàm
f(x) =
e− 1
x2 nếu x = 0
0 nếu x = 0.
Ta thấy hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận tùy ý của 0. Hơn nữa
f (n)(0) = 0
với mọi n. Do đó chuỗi Taylor của f tại 0 là
f(x) = 0 + 0x+ 0x2 + ...+ 0xn + ...
Rõ ràng tổng của chuỗi đồng nhất bằng 0 trong mọi lận cận của 0. Do đó nếu f
khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của 0 thì chuỗi đó phải
đồng nhất bằng 0 trong lân cận đó. Điều này mâu thuẫn với f(x) = 0 với x = 0.
Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa. Bạn
đọc tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
164 Giáo trình Giải tích
3.3.5 Định lý. Giả sử f là hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng (x0 − R, x0 + R).
Nếu đạo hàm các cấp của f bị chặn trong khoảng (x0 − R, x0 + R) thì f khai triển
thành chuỗi lũy thừa trên (x0 −R, x0 +R).
Sau đây ta trình bày một vài ví dụ về khai triển thành chuỗi lũy thừa của một
vài hàm sơ cấp cơ bản.
3.3.6 Ví dụ. 1) f(x) = sinx. Vì hàm sinx khả vi vô hạn lần trên R, và
|f (n)(x)| = | sin(x+ nπ
2)| 6 1, ∀x ∈ R, n = 0, 1, 2, ...
nên khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của hàm là
sinx = x− x3
3!+ ...+ (−1)n
x2n+1
(2n+ 1)!+ ..., ∀x ∈ R. (5.7)
Tương tự có các khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của các hàm cos x, ex,1
1− xvà ln(1 + x) như sau
cos x = 1− x2
2!+ ...+ (−1)n
x2n
(2n)!+ ..., ∀x ∈ R; (5.8)
ex = 1 + x+x2
2!+ ...+
xn
n!+ ..., ∀x ∈ R; (5.9)
1
1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn + ..., ∀x ∈ (−1, 1); (5.10)
và
ln(1 + x) = x− x2
2+x3
3− ...+ (−1)n−1x
n
n+ ..., ∀x ∈ (−1, 1).
3.3.7 Ví dụ. Khai triển hàm f(x) =1
x+ 3thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của
điểm x = 1.
Ta có
f(x) =1
x+ 3=
1
4
1
1−1− x
4
=1
4
∞∑n=0
(1− x
4
)n=
∞∑n=0
(−1)n
4n+1(x− 1)n
với x ∈ (−3, 5).
165 Giáo trình Giải tích
4 Chuỗi Fourier
4.1 Chuỗi lượng giác
Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về hàm số tuần hoàn cần dùng
cho các trình bày về sau.
4.1.1 Định nghĩa. Hàm f : R → R được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T nếu tồn
tại T = 0 sao cho
f(x+ T ) = f(x), với mọi x ∈ R.
Như đã biết hàm sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàm tanx tuần hoàn với
chu kỳ π.
4.1.2 Nhận xét. 1) Nếu f tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi số nguyên k = 0 ta
có kT cũng là chu kỳ của f .
2) Nếu T1, T2 là chu kỳ của f thì T1 ± T2 cũng là chu kỳ của f .
3) Nếu hàm f có chu kỳ T thì hàm g(x) = f(nx) (n = 0) có chu kỳ làT
n.
Sau đây là một tính chất quan trọng của hàm tuần hoàn mà chứng minh của nó
bạn đọc có thể tìm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
4.1.3 Tính chất. Tích phân của hàm tuần hoàn với chu kỳ T trên các đoạn có độ
dài bằng T có giá trị không phụ thuộc vào ví trí của đoạn đó trên trục số.
4.1.4 Định nghĩa. Chuỗi có dạng
a0 + (a1 cosx+ b1 sinx) + (a2 cos 2x+ b2 sin 2x) + ...
+ (an cosnx+ bn sinnx) + ... = a0 +∞∑n=1
(an cosnx+ bn sinnx)(5.11)
được gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a0, a1, b1, ..., an, bn, ... là các hằng số thực.
4.1.5 Nhận xét. Các số hạng của chuỗi (5.11) là những hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π. Như vậy nếu chuỗi hội tụ trên R thì tổng của nó cũng là hàm tuần hoàn với
chu kỳ 2π.
Từ dấu hiệu Weierstrass ta dễ dàng suy ra kết quả sau.
166 Giáo trình Giải tích
4.1.6 Định lý. Nếu chuỗi số∞∑n=1
(|an| + |bn|) hội tụ thì chuỗi (5.11) hội tụ tuyệt
đối và đều trên R.
4.1.7 Định nghĩa. Hệ vô hạn các hàm
1, cos x, sin x, ..., sinnx, cosnx, ... (5.12)
được gọi là hệ hàm lượng giác cơ sở.
4.1.8 Định nghĩa. Hai hàm φ(x) và ψ(x) được gọi là trực giao trên đoạn [a, b] ⊂ R
nếu
b∫a
φ(x)ψ(x)dx = 0.
Ta có mệnh đề sau.
4.1.9 Mệnh đề. Các hàm của hệ lượng giác cơ sở (5.12) là đôi một trực giao với
nhau trên [−π, π].
Chứng minh của mệnh đề này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.
4.1.10 Ví dụ. Từ Tính chất của hàm tuần hoàn và mệnh đề trên ta suy ra các
hàm của hệ hàm lượng giác cơ sở là trực giao trên đoạn [a, a+ 2π] với mọi a ∈ R.
4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier
Đầu tiên ta nghiên cứu khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Ta
cần định lý sau.
4.2.1 Định lý. Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và thỏa mãn đẳng
thức
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
(an cosnx+ bn sinnx
)(5.13)
với mọi x ∈ R, trong đó chuỗi ở vế phải của (5.13) hội tụ đều trên R. Khi đó
a0 =1
π
π∫−π
f(x)dx
an =1
π
π∫−π
f(x) cosnxdx n = 1, 2, ...
bn =1
π
π∫−π
f(x) sinnxdx n = 1, 2, ....
(5.14)
167 Giáo trình Giải tích
Các số a0, an, bn được gọi là hệ số Fourier của hàm f .
Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].
4.2.2 Định nghĩa. 1) Chuỗi lượng giác với các hệ số xác định như trong Định lý
4.2.1 được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .
2) Nếu hàm f thỏa mãn đẳng thức
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
(an cosnx+ bn sinnx
)với các hệ số a0, an, bn được xác định như trong Định lý 4.2.1 thì ta nói f khai triển
được thành chuỗi Fourier của nó.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào của hàm f tuần hoàn với
chu kỳ 2π trên R thì nó khai triển được thành chuỗi Fourier. Ta công nhận kết quả
sau của Dirichlet về điều kiện đủ để hàm khai triển được thành chuỗi Fourier.
4.2.3 Định lý. Giả sử rằng
i) f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π,
ii) f và f ′ là các hàm liên tục trừ ra đếm được điểm gián đoạn.
Khi đó, chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi x đến tổng S(x) và
a) S(x) = f(x) tại các điểm liên tục của f ,
b) S(x) =f(x+ 0) + f(x− 0)
2tại các điểm f gián đoạn,
c) Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và
đều.
4.2.4 Nhận xét. 1) Nếu hàm f được cho trên đoạn [−π, π] và điều kiện i) được
thỏa mãn thì f(−π) = f(π).
2) Nếu hàm f đã cho liên tục trên [−π, π] và thỏa mãn f(−π) = f(π) thì nhờ
mở rộng tuần hoàn ta thu được hàm f liên tục trên R. Trong hầu hết các trường
hợp khác mở rộng tuần hoàn là hàm gián đoạn.
4.3 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ
Từ tính chất của hàm chẵn và lẻ ta dễ dàng thu được kết quả sau.
168 Giáo trình Giải tích
4.3.1 Định lý. Giả sử f thỏa mãn các điều kiện của Đinh lý 4.2.3. Khi đó
1) Nếu f là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có dạng
a0
2+
∞∑n=1
an cosnx. (5.15)
2) Nếu f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của nó có dạng
∞∑n=1
bn sinnx. (5.16)
4.3.2 Ví dụ. Khai triển Fourier hàm f(x) = |x|, x ∈ [−π, π].
Giải. Hàm f(x) = |x| là hàm chẵn, đồ thị của f và thác triển tuần hoàn của nó
được mô tả như Hình 5.1. Dễ thấy f thoả mãn các điều kiện của Định lý 4.2.3, vì
vậy f khai triển được thành chuỗi Fourier. Vì f chẵn nên các hệ số Fourier được
tính theo công thức:
bn = 0, với mọi n ≥ 1,
a0 =1
π
∫ π
−π
|x|dx =2
π
∫ π
0
xdx = π.
an =1
π
∫ π
−π
|x| cosnxdx =2
π
∫ π
0
x cosnxdx =
− 4
πn2với n lẻ,
0 với n chẵn.
Do đó với mọi x ∈ [−π, π] ta có
|x| = π
2− 4
π
(cos x+
cos 3x
32+
cos 5x
52+ ...
).
4.3.3 Ví dụ. Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π]
f(x) =
−x nếu −π 6 x 6 0
x2
πnếu 0 6 x 6 π
Đồ thị của f và mở rộng tuần hoàn của nó được mô tả như Hình 5.2.
169 Giáo trình Giải tích
O
y
x
(π, π) (π, 3π)(−π, π)(−3π, π)
y = −xy = x2.
−π π
Hàm liên tục trên [−π, π]. Đạo hàm của nó xác định và liên tục với mọi x ∈ R
trừ các điểm x = kπ, k ∈ Z. Do đó chuỗi Fourier của f hội tụ đến f(x) với mọi x.
Hệ số Fourier được xác định như sau
a0 =1
π
∫ π
−π
f(x)dx =1
π
∫ 0
−π
(−x)dx+ 1
π
∫ π
0
x2
πdx =
5π
6,
an =1
π
∫ π
−π
f(x) cosnxdx
=1
π
(∫ 0
−π
(−x) cosnxdx+∫ π
0
x2
πcosnxdx
)=
3(−1)n − 1
πn2,
bn =1
π
∫ π
−π
f(x) sinnxdx
=1
π
(∫ 0
−π
(−x) sinnxdx+∫ π
0
x2
πsinnxdx
)
=
− 4
π2n3với n lẻ
0 với n chẵn.
Từ đó ta nhận được khai triển Fourier của hàm f là
f(x) =5π
12+
∞∑n=1
(3(−1)n − 1
πn2cosnx−
4
π2(2n− 1)3sin(2n− 1)x
).
4.3.4 Nhận xét. 1) Trong nhiều trường hợp hàm f được cho trên đoạn [0, π]. Khi
đó ta có thể thác triển f lên R thành hàm chẵn có chu kỳ 2π. Thật vậy, đầu tiên
ta dựng đồ thị hàm số trên [0, π] sau đó lấy đối xứng qua trục tung ta được hàm
170 Giáo trình Giải tích
số chẵn xác định trên [−π, π], tiếp tục mở rộng tuần hoàn f lên R ta được hàm số
cần tìm. Bây giờ nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện để khai triển Fourier thì
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
an cosnx
trong đó bn = 0 với mọi n và
a0 =1
π
∫ π
−π
f(x)dx, an =1
π
∫ π
−π
f(x) cosnxdx.
2) Hoàn toàn tương tự ta có thể mở rộng f thành hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ
2π.
4.3.5 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2d. Giả
sử f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2d, đơn điệu từng khúc, bị chặn. Bằng phép biến
đổi x′ =π.x
dta có x =
d.x′
π. Khi đó nếu x biến thiên từ −d đến d, thì x′ biến thiên
từ −π đến π và ta thu được f(x) = f(d.x′π
)= F (x′), với F (x′) là hàm tuần hoàn
chu kỳ 2π đơn điệu từng khúc, bị chặn. Vì thế, sử dụng các kết quả thu được ở trên
ta khai triển được hàm F (x′) thành chuỗi Fourier
F (x′) =a0
2+
∞∑n=1
(an cosnx
′ + bn sinnx′),
hay
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
(an cos
nπx
d+ bn sin
nπx
d
), (5.17)
trong đó
a0 =1
π
π∫−π
F (x′)dx′ =1
d
d∫−d
f(x)dx
an1
π
π∫−π
F (x′) cosnx′dx′ =1
d
d∫−d
f(x) cosnπx
ddx
bn1
π
π∫−π
F (x′) sinnx′dx′ =1
d
d∫−d
f(x) sinnπx
ddx.
(5.18)
4.3.6 Ví dụ. Khai triển Fourier tại các điểm liên tục của hàm
f(x) = x− [x] = x
171 Giáo trình Giải tích
trong đó x là phần thập phân của x.
Hàm f tuần hoàn với chu kỳ d =1
2và f(x) = x với mọi x ∈ [0, 1]. Vì vậy các hệ
số Fourier được xác định như sau
a0 = 2
12∫
− 12
xdx = 1.
an =1
d
d∫−d
f(x) cosπn
dxdx = 2
12∫
− 12
f(x) cosnxdx
= 2
1∫0
f(x) cosnxdx = 2
1∫0
x cosnxdx = 0,
bn =1
d
d∫−d
f(x) sinπn
dxdx = 2
12∫
− 12
f(x) sinnxdx
= 2
1∫0
f(x) sinnxdx = 2
1∫0
x sinnxdx = − 1
nπ.
Do đó
x =1
2− 1
π
∞∑n=1
sin 2πnx
n.
4.3.7 Ví dụ. Khai triển hàm f(x) = | cos x| thành chuỗi Fourier tại các điểm liên
tục.
Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ π, vì thế ta có d =π
2. Hơn nữa nó là hàm
chẵn nên ta có bn = 0 với mọi n = 1, 2, . . .. Sử dụng phương pháp trên, tính các hệ
số theo công thức (5.18) tại các điểm liên tục x ta được
a0 = 2.1π2
π2∫
0
cosxdx =4
π.
an = 2.1π2
π2∫
0
f(x) cosnπxπ2
dx =4
π
π2∫
0
cosx cos 2nxdx
=4
π.2
π2∫
0
[cos(2n+ 1)x+ cos(2n− 1)x]dx =4
π.(−1)n+1
4n2 − 1.
172 Giáo trình Giải tích
Do đó, ta có
| cosx| = 2
π+
4
π
∞∑n=1
(−1)n+1 cos 2nx
4n2 − 1.
Vì hàm f(x) = | cosx| liên tục tại mọi x ∈ R, nên ta có
| cos x| = 2
π+
4
π
∞∑n=1
(−1)n+1 cos 2nx
4n2 − 1với mọi x ∈ R.
4.3.8 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm bất kỳ. Giả sử f(x) là hàm
đơn điệu từng khúc, bị chặn trên đoạn [a, b]. Bây giờ ta mở rộng tuần hoàn f(x)
(như cách đã làm ở trên) thành một hàm tuần hoàn g(x) xác định trên toàn bộ R
sao cho thỏa mãn các điều kiện
(a) g(x) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2d > b− a;
(b) g(x) là hàm đơn điệu từng khúc và bị chặn;
(c) g(x) = f(x) với mọi x ∈ [a, b]
và áp dụng khai triển Fourier cho hàm g(x) trên R. Từ đó ta nhận được khai triển
Fourier của hàm f(x) trên đoạn [a, b].
4.3.9 Nhận xét. Lưu ý rằng khi mở rộng tuần hoàn theo cách này thì sẽ có nhiều
hàm g(x) như vậy và hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Fourier, mà tổng của
chuỗi này bằng g(x), và do đó tổng này sẽ bằng f(x) tại những điểm liên tục của
hàm f(x). Đặc điểm của chuỗi thu được là:
- Nếu hàm g(x) chẵn, thì chuỗi khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm
số cosin.
- Nếu hàm g(x) lẻ, thì khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm số sin.
4.3.10 Ví dụ. Khai triển hàm số f(x) =
1 nếu 0 ≤ x < 1,
2− x nếu 1 ≤ x ≤ 2.
Hãy khai triển hàm này thành chuỗi Fourier sao cho chuỗi thu được
(a) chỉ chứa hàm số sin;
(b) chỉ chứa hàm số cosin.
Thật vậy, (a) Ta xét hàm số f1(x) =
f(x) nếu x ∈ [0, 2],
−f(−x) nếu x ∈ [−2, 0]. Khi đó
f1(x) là hàm số lẻ, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−2, 2]. Bằng cách mở
rộng tuần hoàn hàm f1(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g1(x) là hàm số lẻ đơn
173 Giáo trình Giải tích
điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4. Vì thế hàm số g1(x) có thể
khai triển được thành chuỗi Fourier. Hơn nữa, vì hàm g1(x) lẻ nên chuỗi Fourier chỉ
chứa hàm số sin. Do đó, sử dụng phương pháp trên, tính các hệ số theo công thức
(5.18) tại các điểm liên tục x ta được
an = 0 với mọi n = 0, 1, 2, . . .
bn =1
2
2∫2
g1(x) sinnπx
2dx =
2∫0
f1(x) sinnπx
2dx =
=
1∫0
sinnπx
2dx+
2∫1
(1− x) sinnπx
2dx = · · · =
2
nπ−
4
(nπ)2sin
nπ
2
=
2
nπ−
4
n2
(−1)k−1
(2k − 1)2nếu n = 2(k − 1),
2
nπnếu n = 2k.
Do đó, ta có
g1(x) =2
π
∞∑n=1
1
nsin
nπx
2+
4
π2
∞∑n=1
(−1)n−1
(2n− 1)2sin
(2n− 1)πx
2.
Vì trên đoạn [0, 2] ta có g1(x) = f(x), và f(x) liên tục trên [0, 2] nên ta có
f(x) =2
π
∞∑n=1
1
nsin
nπx
2+
4
π2
∞∑n=1
(−1)n−1
(2n− 1)2sin
(2n− 1)πx
2với mọi x ∈ [0, 2].
(b) Bây giờ ta xét hàm số f2(x) =
f(x) nếu x ∈ [0, 2],
f(−x) nếu x ∈ [−2, 0]. Khi đó f2(x)
là hàm số chẵn, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−2, 2]. Bằng cách mở rộng
tuần hoàn hàm f2(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g2(x) là hàm số chẵn đơn
điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4. Vì thế hàm số g2(x) có thể
khai triển được thành chuỗi Fourier. Hơn nữa, vì hàm g2(x) chẵn nên chuỗi Fourier
chỉ chứa hàm số cosin. Do đó,tương tự như trên ta tính các hệ số an, với n = 0, 1, . . .
và các hệ số bn = 0 với mọi n = 1, 2, . . .. Do đó, ta có
g2(x) =3
4+
4
π2
[cos
πx
2− 2
22cos
2πx
2+
1
32cos
3πx
2
− 2
42cos
4πx
2+
1
52cos
5πx
2− 2
62cos
6πx
2+ · · ·
].
Vì trên đoạn [0, 2] ta có g2(x) = f(x), và f(x) liên tục trên [0, 2] nên ta có
f(x) =3
4+
4
π2
[cos
πx
2− 2
22cos
2πx
2+
1
32cos
3πx
2
− 2
42cos
4πx
2+
1
52cos
5πx
2− 2
62cos
6πx
2+ · · ·
]
174 Giáo trình Giải tích
với mọi x ∈ [0, 2].
Trong phần còn lại chúng tôi trình bày một ứng dụng của khai triển hàm thành
chuỗi Fourier để tỉnh tổng của các chuỗi số.
4.3.11 Ví dụ. Cho hàm số f(x) = x2 xác định trên đoạn [−π, π]. Hãy khai triển
hàm f(x) thành chuỗi Fourier. Dựa vào khai triển thu được, hãy tính tổng của các
chuỗi
a)∞∑n=1
(−1)n−1 1
n2b)
∞∑n=1
1
n2c)
∞∑n=1
1
(2n− 1)2.
Vì hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn
[−π, π]. Bằng cách mở rộng tuần hoàn hàm f(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm
số g(x) là hàm số chẵn đơn điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2π. Vì
thế hàm số f(x) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier với các hệ số bn = 0 với
n = 1, 2, . . . còn các hệ số an với n = 0, 1, 2, . . . được theo công thức như sau
a0 =2
π
π∫0
x2dx =2π2
3, an =
2
π
π∫0
x2 cosnxdx =4(−1)n
n2.
Do đó, ta có
f(x) =π2
3+ 4
∞∑n=1
(−1)n
n2cosnx.
Từ khai triển trên của hàm f(x) với những giá trị đặc biệt của biến x ta có
(a) Với x = 0 ta có f(0) = 0. Do đó ta có đẳng thức
0 = f(0) =π2
3+ 4
∞∑n=1
(−1)n
n2.
Từ đẳng thức này ta suy ra∞∑n=1
(−1)n
n2=π2
12.
(b) Với x = π ta có f(π) = π2. Do đó ta có đẳng thức
π2 = f(π) =π2
3+ 4
∞∑n=1
1
n2.
Từ đẳng thức này ta suy ra∞∑n=1
1
n2=[π2 −
π2
3
]14=π2
6.
175 Giáo trình Giải tích
(c) Cuối cùng ta có
∞∑n=1
1
(2n− 1)2=
1
2
[ ∞∑n=1
(−1)n−1 1
n2+
∞∑n=1
1
n2
]=π2
8.
176 Giáo trình Giải tích
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 5
Câu hỏi thảo luận
1) Sự hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
và tính tổng của chuỗi số. Các dấu hiệu hội tụ.
2) Sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm và các tính chất của tổng chuỗi
hàm. Mối quan hệ giữa hội tụ đều và hội tụ của dãy hàm và chuỗi hàm.
3) Xác định bán kính hội tụ, miền hội tụ, miền hội tụ đều và tính tổng của chuỗi
luỹ thừa. Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa.
4) Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier.
Bài tập chương 5
Bài 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi và tính tổng (nếu có).
1)∞∑n=1
1
(2n+ 1)(2n+ 3); 2)
∞∑n=1
1
(3n− 2)(3n+ 1);
3)∞∑n=1
n+ 1
(2n+ 1)2(2n+ 3)2; 4)
∞∑n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2
5)∞∑n=1
2 + 3n
5n
Bài 2. Dùng các dấu hiệu khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau
1)∞∑n=1
n sin1
n; 2)
∞∑n=1
1
n!;
3)∞∑n=1
(n− 1
n+ 1
)n(n−1)
.
Bài 3. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm trên miền xác định đã cho
1)∞∑n=1
3n sinx
5ntrên [0, 1]; 2)
∞∑n=1
cosnx√n3 + x2
, −∞ < x < +∞,
3)∞∑n=1
xn
n(n+ 1)trên [−1, 1]; 4)
∞∑n=1
xn
n 3√n+ 2
trên (−1, 1).
5)∞∑n=1
xne−nx trên [0,+∞).
Bài 4. Tìm bán kính và miền hội tụ của chuỗi hàm
177 Giáo trình Giải tích
1)∞∑n=1
(n!)3
(3n)!xn; 2)
∞∑n=1
n3 + 3
n!(x− 1)2n; 3)
∞∑n=1
xn√n
;
4)∞∑n=1
xn
n.4n; 5)
∞∑n=1
x2n
32n; 6)
∞∑n=1
n!
nn(x− 2)n.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 5
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
CHƯƠNG 6
GIỚI HẠN, TÍNH LIÊN TỤC VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
VI.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về giới hạn, tính
liên tục, phép tính vi phân của hàm nhiều biến.
VI.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm
riêng và tính khả vi của hàm nhiều biến, cực trị của hàm nhiều biến.
VI.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của dãy trong Rn
2. Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của hàm nhiều biến.
3. Khảo sát được tính liên tục của hàm nhiều biến.
4. Tính được các đạo hàm riêng, khảo sát được tính khả vi của hàm nhiều
biến.
5. Tính được đạo hàm riêng của hàm hợp.
6. Tính được đạo hàm riêng cấp cao.
7. Biết cách tìm cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện.
8. Trình bày được điều kiện cần để hàm có cực trị có điều kiện và biết cách
tìm cực trị hàm nhiều biến có điều kiện.
VI.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về phép tính vi
178
179 Giáo trình Giải tích
phân của hàm nhiều biến.
1 Không gian Rn
Trong mục này, chúng ta trình bày các vấn đề về phép toán và sự hội tụ trên
Rn.
1.1 Cấu trúc tuyến tính và khoảng cách trên Rn
Ký hiệu R là tập hợp các số thực, với mỗi số tự nhiên n > 1, ta đặt
Rn = x = (x1, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, ..., n.
Với mỗi x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, ta gọi xi, i = 1, ..., n là toạ độ thứ i của x. Trên Rn
ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:
Phép toán cộng. Với mọi x = (x1, .., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn ta đặt
x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn).
Phép nhân vô hướng. Với mọi x = (x1, .., xn) ∈ Rn và λ ∈ R ta đặt
λx = (λx1, ..., λxn).
Dễ dàng kiểm tra được rằng với hai phép toán trên Rn là không gian tuyến tính
(không gian vectơ) trên trường R với phần tử không là (0, ..., 0).
1.1.1 Định nghĩa. Hàm d : Rn ×Rn → R cho bởi công thức
d(x, y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi)2, với mọi x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn,
được gọi là mêrtic Euclide hay khoảng cách thông thường trên Rn.
1.1.2 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn và số thực r > 0. Ta gọi các tập
B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) < r,
B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) 6 r
thứ tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r.
180 Giáo trình Giải tích
1.1.3 Nhận xét. - Trên R hình cầu mở B(a, r) là khoảng (a− r, a + r), hình cầu
đóng B(a, r) là đoạn [a− r, a+ r].
- Trên R2 (mặt phẳng) hình cầu mở tâm a = (a1, a2) bán kính r là những điểm
nằm trong hình tròn (x1−a1)2+(x2−a2)2 < r2 (không lấy các điểm nằm trên đường
tròn). Hình cầu đóng tâm a = (a1, a2) bán kính r là hình tròn (x1−a1)2+(x2−a2)2 6r2.
- Trên R3 hình cầu mở tâm a = (a1, a2, a3) bán kính r là những điểm trong hình
cầu (x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 < r2 (không lấy các điểm trên mặt cầu).
Hình cầu đóng là hình cầu (x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 6 r2.
1.1.4 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn. Tập con U ⊂ Rn được gọi là một lân cận của
điểm a nếu tồn tại hình cầu mở B(a, r) sao cho B(a, r) ⊂ U .
Dễ thấy hình cầu mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
1.1.5 Định nghĩa. Cho a ∈ Rn và A ⊂ Rn.
1) a được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(a, r) ⊆ A.
2) a được gọi là điểm biên của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r) ∩ A = ∅ và
B(a, r) ∩ (Rn \ A) = ∅. Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tập A
và ký hiệu là ∂A.
3) a được gọi là điểm tụ hay điểm giới hạn của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r)∩(A \ a) = ∅.
1.1.6 Ví dụ. Mọi điểm của hình cầu mở B(a, r) đều là điểm trong của nó. Biên
của hình cầu mở B(a, r) trùng với biên của hình cầu đóng B(a, r) và bằng mặt cầu
S(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) = r. Hơn nữa tất cả các điểm biên của hình cầu mở là
điểm giới hạn của nó.
1.1.7 Định nghĩa. Tập con E của Rn được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó
đều là điểm trong.
Tập con A của Rn được gọi là tập đóng nếu Rn \ A là tập mở.
1.2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong
Rn
Như đã nói ở trước trong phần này khoảng cách được xét là khoảng cách
thông thường.
181 Giáo trình Giải tích
1.2.1 Định nghĩa. Cho dãy xk∞k=1 ⊂ Rn, với xk = (xk1, ..., xkn) ∈ Rn, k = 1, 2, ...
Dãy xk được gọi là hội tụ tới a ∈ Rn nếu d(xk, a) → 0 khi k → ∞.
1.2.2 Định lý. Dãy xk = (xk1, ..., xkn) ∈ Rn hội tụ tới a = (a1, ..., an) ∈ Rn khi và
chỉ khi xki → ai khi k → ∞, với mọi i = 1, ..., n.
Chứng minh. Xem Bài giảng.
1.2.3 Ví dụ. Trong R2 dãy( 1
n,n− 1
n
)hội tụ tới (0, 1), bởi vì lim
n→∞
1
n= 0 và
limn→∞
n− 1
n= 1.
Định lý sau nêu lên một đặc trưng của tập đóng theo ngôn ngữ dãy. Chứng minh
của nó bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6..
1.2.4 Định lý. Tập A ⊂ Rn là đóng khi và chỉ khi nếu mọi dãy xk ⊂ A mà hội
tụ tới a thì a ∈ A.
Sau đây, chúng ta trình bày sơ lược các nguyên lý của dãy hội tụ trong Rn. Đây
là sự tổng quát của các nguyên lý Cauchy, Cantor và Bonzano-Weierstrass đã biết
trong R. Các chứng minh của các nguyên lý này nếu quan tâm bạn đọc tìm hiểu
trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6.
1.2.5 Định nghĩa. Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn được gọi là dãy cơ bản, hay dãy Cauchy nếu
limk,l→∞
d(xk, xl) = 0, nghĩa là với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên k0 sao cho
d(xk, xl) < ε, với mọi k, l > k0.
1.2.6 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn hội tụ khi và chỉ khi nó là
dãy Cauchy.
1.2.7 Định nghĩa. Tập con A của Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại r > 0 sao
cho A ⊂ B(0, r).
Dãy xk∞k=1 ⊂ Rn được gọi là bị chặn nếu tập xk : k = 1, 2, ... là tập bị chặn.
Các tính chất khác của dãy hội tụ và của các tập con trong Rn có thể xem trong
các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
182 Giáo trình Giải tích
2 Giới hạn của hàm nhiều biến
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản
2.1.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn. Ánh xạ f : A → R được gọi là một hàm n biến
xác định trên A và nhận giá trị trong R. Khi đó A được gọi là tập xác định của hàm
f , f(A) = y = f(x) : x ∈ A ⊆ R được gọi là tập giá trị của hàm f .
2.1.2 Ví dụ. 1) Hàm f(x, y, z) =x+ y
x2 + y2 + z2là hàm ba biến số xác định trên
R3 \ (0, 0, 0).
2) Hàm
f(x, y) =
xy
x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),
0 nếu (x, y) = (0, 0)
là hàm hai biến số xác định trên R2.
2.1.3 Định nghĩa. Cho A ⊂ Rn, hàm f : A ⊆ Rn → R và a là một điểm giới hạn
của A. Ta nói f có giới hạn l ∈ R khi x→ a và viết
limx→a
f(x) = l hay f(x) → l khi x→ a
nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A mà 0 < d(x, a) < δ thì
|f(x)− l| < ε.
Nói một cách tương đương: limx→a
f(x) = l nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của
a sao cho
|f(x)− l| < ε
với mọi x ∈ A ∩ (U \ a).
Định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một
biến.
2.1.4 Định lý. Nếu hàm f có giới hạn khi x→ a thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý sau cho ta một định nghĩa khác của giới hạn hàm nhiều biến theo ngôn
ngữ dãy.
183 Giáo trình Giải tích
2.1.5 Định lý. limx→a
f(x) = l nếu và chỉ nếu với mọi dãy xk ⊂ A mà xk → a thì
limk→∞
f(xk) = l.
Nhận xét. Nhờ định lý trên để chứng minh hàm f(x, y) không có giới hạn khi
(x, y) → (a1, a2) ta chỉ cần chỉ ra 2 dãy (xn, yn), (x′n, y′n) mà (xn, yn) → (a1, a2)
và (x′n, y′n) → (a1, a2), nhưng lim
n→∞f(xn, yn) = lim
n→∞f(x′n, y
′n).
Ví dụ. Xét hàm số f(x, y) =xy
x2 + y2. Hàm này không có giới hạn khi (x, y) →
(0, 0). Bằng cách chọn các dãy xn, yn) = ( 1n, 1n) và (x′n, y′n) = ( 2
n, 1n). Ta có
limn→∞
f(xn, yn) =1
2=
2
5= lim
n→∞f(x′n, y
′n).
Các định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một
biến.
2.1.6 Định lý. Nếu limx→a
f(x) = l > 0 (tương ứng < 0) thì tồn tại lân cận U của a
sao cho f(x) > 0 (f(x) < 0) với mọi x ∈ A ∩ U .
2.1.7 Định lý. Giả sử f, g xác định trên A ⊆ Rn và tồn tại các giới hạn limx→a
f(x) = l
và limx→a
g(x) = r. Khi đó
1) limx→a
[f(x)± g(x)
]= l ± r.
2) limx→a
f(x)g(x) = lr.
3) limx→a
f(x)
g(x)=l
rnếu r = 0.
2.1.8 Định lý. (Nguyên lý Cauchy). Cho f là hàm xác định trên A ⊆ Rn và a là
điểm giới hạn của A. Khi đó limx→a
f(x) = l nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn tại
δ > 0 sao cho
|f(x)− f(x′)| < ε ∀x, x′ ∈ B(a, δ) ∩ (A \ a).
2.1.9 Định lý. Nếu limx→a
f(x) = l thì limx→a
|f(x)| = |l|.
2.1.10 Nhận xét. Chiều ngược lại của định lý trên là không đúng. Tuy nhiên, ta
dễ dàng chứng minh được limx→a
f(x) = 0 khi và chỉ khi limx→a
|f(x)| = 0.
Định lý sau đây còn gọi là Nguyên lý kẹp trong giới hạn của hàm nhiều biến số.
184 Giáo trình Giải tích
2.1.11 Định lý. Cho f, g và h là các hàm số xác định trên A ⊆ Rn, a là điểm giới
hạn của A và
f(x) 6 g(x) 6 h(x), với mọi x ∈ A.
Khi đó, nếu limx→a
f(x) = limx→a
h(x) = l thì limx→a
g(x) = l.
2.1.12 Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
1) lim(x,y)→(0,0)
xy√x2 + y2
.
Ta có
0 6∣∣∣ xy√
x2 + y2
∣∣∣ 6x2 + y2
2√x2 + y2
=
√x2 + y2
2
với mọi (x, y) = (0, 0). Từ lim(x,y)→(0,0)
√x2 + y2 = 0 suy ra
lim(x,y)→(0,0)
xy√x2 + y2
= 0.
2) lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2.
Đặt f(x, y) =xy
x2 + y2. Xét các dãy (xn, yn) =
( 1n,1
n
)và (x′n, y
′n) =
(−
1
n,1
n
)với mỗi n = 1, 2, ... Khi đó (xn, yn) → (0, 0) và (x′n, y
′n) → (0, 0) khi n → ∞. Tuy
nhiên
f(xn, yn) =1
2
và
f(x′n, y′n) =
−1
2, với mọi n = 1, 2, ...
Do đó theo Định lý 2.1.5, không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2.
3) lim(x,y)→(0,0)
x cos1
x2 + y2.
Ta có
0 6∣∣∣x cos 1
x2 + y2
∣∣∣ 6 |x|, với mọi (x, y) = (0, 0).
Vì lim(x,y)→(0,0)
|x| = 0 ta suy ra
lim(x,y)→(0,0)
x cos1
x2 + y2= 0.
185 Giáo trình Giải tích
2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép và mối liên hệ giữa chúng
Một trong những khác biệt giữa giới hạn của hàm n biến với giới hạn của hàm
một biến là khái niệm giới hạn lặp. Để đơn giản chúng ta trình bày cho trường hợp
n = 2. Trường hợp n > 2 được mở rộng một cách tương tự.
Cho A ⊂ R2 và f : A→ R. Với mỗi x ∈ R đặt
Ax = y ∈ R : (x, y) ∈ A
và với mỗi y ∈ R đặt
Ay = x ∈ R : (x, y) ∈ A.
Nếu y ∈ R mà Ay = ∅ thì công thức
f y(x) = f(x, y), x ∈ Ay
xác định một hàm số một biến trên Ay.
Tương tự ta định nghĩa
fx(y) = f(x, y), y ∈ Ax
nếu Ax = ∅.
Giả sử x0 là điểm giới hạn của Ay, xét
limx→x0
f y(x) = limx→x0
f(x, y).
Đặt
Ax0 = y ∈ R : tồn tại limx→x0
f(x, y).
Khi đó công thức
g(y) = limx→x0
f y(x) = limx→x0
f(x, y)
xác định một hàm g trên Ax0 .
Nếu y0 là điểm giới hạn của Ax0 ta xét giới hạn
limy→y0
g(y) = limy→y0
(limx→x0
f y(x))
= limy→y0
(limx→x0
f(x, y))= lim
y→y0limx→x0
f(x, y).(6.1)
Tương tự ta có thể xét giới hạn
limx→x0
(limy→y0
f(x, y))= lim
x→x0
limy→y0
f(x, y). (6.2)
186 Giáo trình Giải tích
2.2.1 Định nghĩa. Ta gọi các giới hạn (6.1) và (6.2) (nếu tồn tại) là các giới hạn
lặp của hàm f tại điểm (x0, y0) và gọi giới hạn trong Định nghĩa 2.1.3 là giới hạn
kép tại điểm (x0, y0).
2.2.2 Ví dụ. Cho hàm số f(x, y) =x+ y
x− y.
Ta có
limx→0
limy→0
f(x, y) = limx→0
x
x= 1
và
limy→0
limx→0
f(x, y) = limy→0
y
−y= −1.
Định lý sau đưa ra mối quan hệ giữa giới hạn kép (giới hạn) và các giới hạn lặp.
2.2.3 Định lý. Cho hàm số f xác định trên A ⊆ R2 và (x0, y0) là điểm giới hạn
của A. Nếu tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) và một trong hai giới hạn lặp tồn tại
thì các giới hạn đó bằng nhau.
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
2.2.4 Nhận xét. 1) Từ sự tồn tại giới hạn của hàm số khi (x, y) → (x0, y0) không
thể suy ra được sự tồn tại của các giới hạn lặp của hàm tại (x0, y0). Chẳng hạn, bạn
đọc tự kiểm tra hàm
f(x, y) = (x+ y) sin1
xsin
1
y
có giới hạn bằng 0 khi (x, y) → (0, 0). Trong khi cả hai giới hạn lặp không tồn tại.
2) Từ sự tồn tại của hai giới hạn lặp tại (x0, y0), thậm chí hai giới hạn lặp bằng
nhau không thể suy ra được sự tồn tại của giới hạn của hàm khi (x, y) → (x0, y0).
Chẳng hạn, bạn đọc dễ dàng chứng minh được hàm
f(x, y) =x2y2
x2y2 + (x2 − y2)2
có hai giới hạn lặp tại (0, 0) là limx→x0
limy→y0
f(x, y) = 0 và limy→y0
limx→x0
f(x, y) = 0. Trong
khi giới hạn của hàm f tại (0, 0) là không tồn tại.
Thật vây. Vì nếu chọn (xn, yn) =( 1n,1
n
)và (x′n, y
′n) =
(0,
1
n
)thì ta có (xn, yn) →
(0, 0) và (x′n, y′n) → (0, 0) và
limn→∞
f(xn, yn) = 1 = 0 = limn→∞
f(x′n, y′n).
187 Giáo trình Giải tích
3 Tính liên tục của hàm nhiều biến
3.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm liên tục
3.1.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn và f : A→ R.
1) Hàm f được gọi là liên tục tại a ∈ A nếu limx→a
f(x) = f(a).
2) Hàm f được gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi điểm của A.
3) Hàm f được gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao
cho với mọi x, y ∈ A mà d(x, y) < δ thì |f(x)− f(y)| < ε.
3.1.2 Nhận xét. Từ Định nghĩa 3.2.1 ta trực tiếp suy ra rằng 3) ⇒ 2) ⇒ 1).
Từ định nghĩa tính liên tục và tính chất của giới hạn ta có định lý sau.
3.1.3 Định lý. Cho hàm f : A ⊆ Rn → R và a ∈ A. Khi đó các mệnh đề sau là
tương đương
1) f liên tục tại a.
2) Với mọi lân cận V của f(a) đều tồn tại lân cận U của a sao cho f(U∩A) ⊆ V.
3) Với mọi dãy xk ⊂ A mà xk → a thì f(xk) → f(a).
Định lý sau đây suy ra từ định nghĩa hàm liên tục, Định lý 2.1.6 và Định lý
2.1.7.
3.1.4 Định lý. Nếu các hàm f, g : A ⊆ Rn → R liên tục tại a ∈ A thì các hàm
f ± g, fg vàf
g(với g(a) = 0) cũng liên tục tại a.
3.1.5 Định lý. (Tính liên tục của hàm hợp) Cho A ⊂ Rn, B ⊂ Rm, f : A → R
là hàm liên tục tại a = (a1, ..., an) ∈ A và gi : B → R là các hàm liên tục tại
b = (b1, ..., bm) ∈ B với mọi i = 1, ..., n sao cho (g1(b), ..., gn(b)) = (a1, ..., an) = a vàn∏
i=1
gi(B) ⊂ A. Khi đó hàm hợp f(g1(u), ..., gn(u)
)) : B → R liên tục tại b.
188 Giáo trình Giải tích
3.2 Tính liên tục theo từng biến và mối liên hệ với tính liên
tục
3.2.1 Định nghĩa. Cho A ⊆ Rn và f : A → R. Hàm số f được gọi là liên tục
theo biến xi, với i = 1, ..., n tại điểm a = (a1, ..., an) ∈ A nếu hàm một biến
xi 7→ f(a1, .., ai−1, xi, ai+1, ..., an)
liên tục tại tại ai ∈ Ai = xi ∈ R : (a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an) ∈ A.
Nếu f liên tục theo biến xi tại a với mọi i = 1, ..., n thì ta nói f liên tục theo
từng biến tại a ∈ A.
Định lý sau cho thấy mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm với tính liên tục
theo từng biến.
3.2.2 Định lý. Nếu hàm f : A → R liên tục tại a = (a1, .., an) ∈ A ⊂ Rn thì nó
liên tục theo từng biến tại a.
Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1].
3.2.3 Nhận xét. Chiều ngược lại của Định lý 3.2.6 là không đúng, nghĩa là hàm f
liên tục theo từng biến, thì chưa chắc đã liên tục. Bạn đọc hãy tìm hiểu thông qua
Bài tập 6 của chương này.
Các tính chất khác của hàm liên tục trên một tập có thể xem trong các tài liệu
tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến
Để đơn giản ta trình bày cho hàm 2 biến. Đối với các hàm nhiều biến hơn,
các kết quả được suy ra một cách hoàn toàn tương tự.
4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm nhiều
biến
Cho hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R2 và điểm (x0, y0) ∈ G. Với mỗi
y ∈ R cố định ta đặt Gy = x ∈ R : (x, y) ∈ G ⊂ R. Nếu Gy = ∅, thì công thức
189 Giáo trình Giải tích
f y(x) = f(x, y), x ∈ Gy xác định một hàm f y : Gy → R trên Gy. Do đó ta có thể
xét đạo hàm của hàm f y trên Gy.
4.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f : G→ R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và điểm
(x0, y0) ∈ G. Nếu hàm f y0 : Gy0 → R tồn tại đạo hàm tại điểm x0 thì ta gọi đạo
hàm đó là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x tại điểm (x0, y0) và ký hiệu là
f ′x(x0, y0), hoặc
∂f
∂x(x0, y0), nghĩa là ta có
f ′x(x0, y0) = lim
∆x→0
f y0(x0 +∆x)− f y0(x0)
∆x
= lim∆x→0
f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x.
(6.3)
Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f theo biến y tại điểm (x0, y0) và
ký hiệu là f ′y(x0, y0), hoặc
∂f
∂y(x0, y0), nghĩa là
f ′y(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0)
∆y. (6.4)
4.1.2 Nhận xét. Các đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên các kết
quả của đạo hàm của hàm một biến đều được áp dụng cho đạo hàm riêng của hàm
hai biến. Chẳng hạn, tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = ex2+y3 .
Ta có
f ′x(x, y) = 2xex
2+y3 , f ′y(x, y) = 3y2ex
2+y3 .
4.1.3 Định nghĩa. Cho hàm số f : G → R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và
điểm (x, y) ∈ G. Cho x một số gia là ∆x và y một số gia là ∆y đủ bé sao cho
(x+∆x, y +∆y) ∈ G. Ký hiệu ∆f(x, y) hay gọn hơn là ∆f là biểu thức
∆f(x, y) = f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y)
và gọi nó là số gia của hàm số f tại điểm (x, y) tương ứng với cặp số gia (∆x,∆y)
của đối số. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm (x, y) nếu tồn tại các số thực A,B
phụ thuộc vào (x, y) mà không phụ thuộc vào ∆x,∆y sao cho
lim(∆x,∆y)→(0,0)
∆f −(A∆x+B∆y
)ρ
= 0 (6.5)
trong đó ρ =√
∆x2 +∆y2.
Khi đó, biểu thức A∆x+B∆y được gọi là vi phân toàn phần (hay vi phân) của
hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là df(x, y), nghĩa là df(x, y) = A∆x+B∆y.
Hàm f được gọi là khả vi trên G nếu nó khả vi tại mọi điểm của G.
190 Giáo trình Giải tích
4.1.4 Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm tại điểm (x, y) ∈ G thì f liên tục và có
các đạo hàm riêng tại điểm này. Hơn nữa A = f ′x(x, y) và B = f ′
y(x, y).
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
4.1.5 Nhận xét. 1) Từ Định lý 4.1.4 ta thấy nếu hàm f khả vi tại điểm (x, y) thì
vi phân của nó tại điểm đó là tồn tại duy nhất và
df(x, y) = f ′x(x, y)∆x+ f ′
y(x, y)∆y.
2) Như đã biết, đối với hàm một biến, sự khả vi và sự tồn tại đạo hàm tại một
điểm là tương đương. Đối với hàm hai biến sự tồn tại các đạo hàm riêng của một
hàm tại một điểm không suy ra được sự khả vi của nó tại điểm đó. Chẳng hạn, xét
hàm số
f(x, y) =√|xy|.
Ta có
f ′x(0, 0) = lim
∆x→0
f(∆x, 0)− f(0, 0)
∆x= lim
∆x→0
0
∆x= 0
và tương tự f ′y(0, 0) = 0.
Nếu f khả vi tại (0, 0) thì từ Định nghĩa 4.1.3 và Định lý 4.1.4 ta có
lim(∆x,∆y)→(0,0)
∆f(0, 0)−(f ′x(0, 0)∆x+ f ′
y(0, 0)∆y)
ρ
= lim(∆x,∆y)→(0,0)
√|∆x∆y|
∆x2 +∆y2= 0.
Tuy nhiên, với ∆x = ∆y > 0 ta có
lim(∆x,∆y)→(0,0)
√|∆x∆y|
∆x2 +∆y2= lim
∆x→0
∆x√2∆x
=1√2.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ f không khả vi tại điểm (0, 0).
Lưu ý rằng hàm số trên liên tục tại (0, 0).
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ của tính khả vi của hàm hai biến.
4.1.6 Định lý. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f ′x(x, y) và f ′
y(x, y) trong một lân
cận của điểm (x0, y0) ∈ G và các đạo hàm riêng đó liên tục tại điểm (x0, y0) thì f
khả vi tại điểm (x0, y0).
191 Giáo trình Giải tích
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
4.1.7 Nhận xét. 1) Từ Định lý 4.1.6 ta thấy các hàm φ(x, y) = x và ψ(x, y) = y
khả vi trên R2 và
dφ = dx = ∆x
dψ = dy = ∆y.
Do đó, kết hợp với Nhận xét 4.1.5 ta có thể viết vi phân của các hàm f khả vi tại
(x, y) dưới dạng
df(x, y) = f ′x(x, y)dx+ f ′
y(x, y)dy.
2) Định lý 4.1.6 chỉ là điều kiện đủ để hàm khả vi tại một điểm mà không phải
là điều kiện cần, nghĩa là tồn tại những hàm có đạo hàm riêng không liên tục tại
điểm nào đó nhưng hàm vẫn khả vi tại đó. Chẳng hạn, xét hàm
f(xy) =
(x2 + y2) sin
1
x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),
0 nếu (x, y) = (0, 0).
Dễ dàng tính được f ′x(0, 0) = f ′
y(0, 0) = 0 và
f ′x(x, y) = 2x sin
1
x2 + y2− 2x
x2 + y2cos
1
x2 + y2
với (x, y) = (0, 0).
Với dãy (xn, yn) =( 1
2√πn,
1
2√πn
)→ (0, 0), ta có
f(xn, yn) → −∞,
khi n→ ∞. Do đó đạo hàm f ′x không liên tục tại điểm (0, 0). Tuy nhiên, hàm f vẫn
khả vi tại điểm (0, 0) vì
limρ→0
∆f(0, 0)−(f ′x(0, 0)∆x+ f ′
y(0, 0)∆y)
ρ
= limρ→0
√∆2x+∆2y sin
1
∆2x+∆2y= 0.
3) Nếu f khả vi tại điểm (x, y) thì
∆f(x, y) = f ′x(x, y)∆x+ f ′
y(x, y)∆y + α
192 Giáo trình Giải tích
trong đó α là vô cùng bé bậc cao hơn ρ. Từ đây ta nhận được công thức gần đúng
f(x+∆x, y +∆y) ≈ f(x, y) + f ′x(x, y)∆x+ f ′
y(x, y)∆y .
Ví dụ. Tính gần đúng a = (1, 04)2,03. Xét hàm f(x, y) = xy. Ta có f ′x(x, y) =
yxy−1 và f ′y(x, y) = xy lnx (với x > 0). Từ đó nhờ Định lý 4.1.6 ta suy ra f khả vi
trên G = (x, y) ∈ R2 : x > 0. Với điểm M(1, 2) ∈ G ta có
f ′x(1, 2) = 2, f ′
y(1, 2) = 0.
Vì vậy với ∆x = 0, 04 và ∆y = 0, 03 ta nhận được
a = (1, 04)2,03 = f(1, 04, 2, 03) ≈ f(1, 2) + 2.(0, 04) + 0.(0, 03)
= 12 + 0, 08 = 1, 08.
Trong phần còn lại của mục này chúng ta tìm hiểu về đạo hàm theo hướng và
mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng và hàm khả vi.
4.1.8 Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R2, điểm M(x, y) ∈ G
và d là nửa đường thẳng xuất phát từ M hợp với chiều dương của trục Ox một góc
φ (Hình 6.1).
y
x
Ox
yM φ
x+∆x
y +∆y M ′
d
Giả sử B(M, r) là hình cầu mở nằm trong G. Lấy điểm M ′(x + ∆x, y + ∆y) ∈d ∩B(M, r), ký hiệu ρ =
√∆x2 +∆y2. Lập tỉ số
∆f
ρ=f(x+∆x, y +∆y)− f(x, y)
ρ.
193 Giáo trình Giải tích
Nếu tồn tại giới hạn limρ→0
∆f
ρkhi M ′ tiến về M dọc theo đường thẳng d. thì ta gọi
giới hạn này là đạo hàm theo hướng φ của hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là
Dφf(x, y).
4.1.9 Nhận xét. Từ các định nghĩa đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng ta thấy
đạo hàm riêng f ′x(x, y) tồn tại khi và chỉ khi D0f(x, y) và −Dπf(x, y) tồn tại và
bằng nhau.
Tương tự, đạo hàm riêng f ′y(x, y) tồn tại khi và chỉ khi Dπ
2f(x, y) và −D 3π
2f(x, y)
tồn tại và bằng nhau.
Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để tồn tại các đạo hàm theo mọi hướng.
4.1.10 Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm (x, y) ∈ G thì nó có đạo hàm theo mọi
hướng tại điểm (x, y) và
Dφf(x, y) = f ′x(x, y) cosφ+ f ′
y(x, y)(x, y) sinφ.
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
4.1.11 Nhận xét. 1) Vì cos(φ+ π) = − cosφ và sin(π + φ) = − sinφ nên từ Định
lý 4.1.10 suy ra
Dφ+π = −Dφ.
2) Ta có thể mở rộng đạo hàm theo hướng cho hàm n biến (với n > 2).
3) Chiều ngược lại của Định lý 4.1.10 là không đúng, tức là tồn tại những hàm
có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm (x, y) nhưng không khả vi tại điểm đó. Chẳng
hạn, xét hàm số
f(x, y) = x+ y +√
|xy|.
Hàm số này có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm (0, 0) nhưng không khả vi tại điểm
đó. Thật vậy, theo hướng φ tùy ý ta có
∆f = ∆x+∆y +√|∆x∆y| = (cosφ+ sinφ+
√| cosφ sinφ|)ρ.
Do vậy
Dφ = limρ→0
∆f
ρ= cosφ+ sinφ+
√| cosφ sinφ|.
Việc chứng minh f không khả vi tạo (0, 0) là dễ dàng và dành cho bạn đọc.
194 Giáo trình Giải tích
4.2 Đạo hàm của hàm hợp và tính bất biến của vi phân
4.2.1 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G và x = x(t), y = y(t) là các hàm
một biến xác định trên (a, b) ⊂ R sao cho(x(t), y(t)
)∈ G với mọi t ∈ (a, b). Nếu f
khả vi trên G còn các hàm x(t), y(t) khả vi trên (a, b) thì hàm hợp f(x(t), y(t)
)có
đạo hàm tại mọi điểm t ∈ (a, b) và
f ′t = f ′
xx′t + f ′
yy′t. (6.6)
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
Tương tự ta chứng minh được kết quả sau.
4.2.2 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G và x = x(u, v), y = y(u, v) là
các hàm hai biến xác định trên tập mở D ⊂ R2 sao cho(x(u, v), y(u, v)
)∈ G với mọi (u, v) ∈ D.
Nếu hàm f khả vi trên G còn các hàm x(u, v), y(u, v) khả vi trên D, thì hàm hợp
f(x(u, v), y(u, v)
)có đạo hàm riêng tại mọi điểm (u, v) ∈ D vàf ′
u = f ′xx
′u + f ′
yy′u,
f ′v = f ′
xx′v + f ′
yy′v.
(6.7)
4.2.3 Nhận xét. Cho các hàm số f, x, y như trong Định lý 4.2.2 Nếu xem f =
f(x, y) là hàm của hai biến độc lập (x, y) ∈ G thì
df = f ′xdx+ f ′
ydy. (6.8)
Bây giờ, nếu xem x, y và f là các hàm phụ thuộc vào (u, v) ∈ D thì
df = f ′udu+ f ′
vdv. (6.9)
Thay (6.7) vào (6.9) và biến đổi ta có
df = (f ′xx
′u + f ′
yy′u)du+ (f ′
xx′v + f ′
yy′v)dv
= f ′x(x
′udu+ x′vdv) + f ′
y(y′udu+ y′vdv) = f ′
xdx+ f ′ydy.
(6.10)
So sánh (6.8) và (6.10) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay đổi khi các
biến của nó là độc lập hay phụ thuộc. Tính chất này cũng giống như tính bất biến
của vi phân cấp 1 của hàm một biến.
195 Giáo trình Giải tích
4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao
Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f ′x, f
′y tại mọi điểm (x, y) trong tập mở G ⊂ R2
thì các đạo hàm riêng này của hàm f cũng là các hàm hai biến trên G (ta gọi chúng
là các đạo hàm riêng cấp 1 của f). Do đó ta có thể xét các đạo hàm riêng của f ′x và
f ′y.
4.3.1 Định nghĩa. Nếu tồn tại các đạo hàm riêng của các đạo hàm f ′x, f
′y tại điểm
(x, y) ∈ G thì ta gọi chúng là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f tại điểm (x, y).
Như vậy, ta có thể có tất cả bốn đạo hàm riêng cấp hai của hàm f tại điểm
(x, y) ∈ G và được ký hiệu là
∂
∂x
(∂f∂x
)=∂2f
∂x2(hay f ′′
xx),
∂
∂y
(∂f∂x
)=
∂2f
∂x∂y(hay f ′′
xy),
∂
∂x
(∂f∂y
)=
∂2f
∂y∂x(hay f ′′
yx),
∂
∂y
(∂f∂y
)=∂2f
∂y2(hay f ′′
yy).
Các đạo hàm riêng cấp 3, 4, ..., n của f được xác định tương tự.
Các đạo hàm riêng cấp cao lấy theo các biến khác nhau được gọi là các đạo hàm
riêng hỗn hợp, chẳng hạn∂2f
∂x∂y,∂3f
∂x2∂y.
Kết quả sau đây của Schwartz cho một điều kiện đủ để các đạo hàm riêng hỗn
hợp cùng cấp bằng nhau. Chứng minh của nó nếu quan tâm bạn đọc có thể tìm
hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
4.3.2 Định lý. Giả sử f là hàm xác định trên tập mở G ⊂ R2, có các đạo hàm
riêng cấp một f ′x, f
′y và các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai f ′′
xy, f′′yx tại mọi điểm
của G. Khi đó, nếu f ′′xy, f
′′yx liên tục tại (x0, y0) ∈ G thì f ′′
xy(x0, y0) = f ′′yx(x0, y0).
4.3.3 Nhận xét. Từ định lý trên ta dễ dàng chứng minh được rằng hai đạo hàm
riêng hỗn hợp cùng bậc, chỉ sai khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm mà liên tục tại
(x, y) ∈ G thì chúng bằng nhau tại điểm đó.
196 Giáo trình Giải tích
Bây giờ cho f là hàm khả vi trên tập mở G ⊆ R2. Vi phân của hàm f tại điểm
(x, y) ∈ G là
df(x, y) = f ′x(x, y)dx+ f ′
y(x, y)dy.
Vì df(x, y) là hàm của hai biến (x, y) (xem dx, dy là các hằng số) nên ta có thể xét
vi phân của nó tại điểm nào đó. Ta gọi df là vi phân cấp một của f .
4.3.4 Định nghĩa. Nếu tồn tại vi phân của df tại điểm (x0, y0) ∈ G thì ta gọi
vi phân đó là vi phân cấp hai của hàm f tại điểm đó và ký hiệu là d2f . Như vậy
d2f = d(df).
4.3.5 Nhận xét. a) Khi lấy vi phân của df ta xem dx, dy là các hằng số. Do đó
d2f = d(f ′xdx+ f ′
ydy)=(f ′′xxdx+ f ′′
yxdy)dx+
(f ′′xydx+ f ′′
yydy)dy
= f ′′xxdx
2 + 2f ′′yxdxdy + f ′′
yydy2
(với giả thiết các đạo hàm hỗn hợp cấp hai bằng nhau).
b) Các vi phân cấp 3, 4, ... được định nghĩa tương tự và ký hiệu là d3f, d4f, ...
Một cách tổng quát, nếu tồn tại d n−1f thì
d nf = d(d n−1f).
Ta thấy rằng, nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng đến cấp n và chúng liên tục
tại điểm (x0, y0) ∈ G, thì f có vi phân cấp n tại điểm đó.
c) Để tính vi phân cấp cao, ta dùng công thức sau đây
d nf =( ∂∂xdx+
∂
∂ydy)nf (6.11)
Trong công thức (6.11), ta hiểu các phép toán theo nghĩa hình thức∂
∂xdx là tích
của∂
∂xvới dx,
( ∂∂xdx +
∂
∂ydy)n
là lũy thừa bậc n của nhị thức trong dấu ngoặc.
Muốn có công thức tính vi phân d nf ta thực hiện vế phải của (6.11) mọi phép toán
một cách hình thức. Chẳng hạn,
d2f =( ∂∂xdx+
∂
∂ydy)2f
=( ∂2∂x2
dx2 + 2∂2
∂x∂ydxdy +
∂2
∂y2dy2)f
=∂2f
∂x2dx2 + 2
∂2f
∂x∂ydxdy +
∂2f
∂y2dy2.
Bạn đọc tự kiểm tra công thức (3.15) cho những n lớn hơn.
197 Giáo trình Giải tích
Trong phần cuối của mục này chúng tôi giới thiệu công thức Taylor đối với hàm
nhiều biến. Cũng như đối với hàm một biến, công thức Taylor đối với hàm nhiều
biến cho ta xấp xỉ một hàm nhiều biến bởi một đa thức. Để đơn giản ta xây dựng
công thức Taylor đối với hàm hai biến từ công thức Taylor đối với hàm một biến.
4.3.6 Định lý. Cho hàm f xác định trên tập mở G ⊂ R2, có các đạo hàm riêng
liên tục đến cấp n tại mọi điểm của G. Giả sử (x, y) ∈ G và h, k là các số gia của
x, y tương ứng sao cho (x+ h, y + k) ∈ G. Khi đó ta có
f(x+ h, y + k) = f(x, y) + h∂f
∂x(x, y) + k
∂f
∂y(x, y)+
1
2!
(∂2f∂x2
h2 + 2∂2f
∂x∂yhk +
∂2f
∂y2k2)(x, y) + · · ·
+1
(n− 1)!
n−1∑r=0
Crn−1h
n−1−rkr∂n−1f
∂xn−r−1∂yr(x, y)
+1
n!
n∑r=0
Crnh
n−rkr∂nf
∂xn−r∂yr(x+ θh, y + θk),
(6.12)
trong đó 0 < θ < 1 và các đạo hàm riêng được lấy tại điểm (x, y).
Công thức (6.12) được gọi là công thức Taylor.
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
5 Cực trị không điều kiện và cực trị có điều kiện
5.1 Cực trị không điều kiện
5.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số n biến f : G→ R xác định trên tập G ⊂ Rn. Điểm
P ∈ G được gọi là điểm cực đại địa phương (tương ứng, điểm cực tiểu địa phương)
của f hay hàm f có cực đại địa phương (có cực tiểu địa phương) tại P nếu tồn tại
lân cận U của P sao cho
f(Q) < f(P ), (tương ứng, f(Q) > f(P ) ), với mọi Q ∈ U \ P.
Các điểm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được định nghĩa ở trên được
gọi chung là điểm cực trị địa phương, hay điểm cực trị không điều kiện và hàm f
được gọi là đạt cực trị hay đạt cực trị không điều kiện tại điểm P .
198 Giáo trình Giải tích
Vấn đề đặt ra ở đây là tìm điểm cực trị địa phương của hàm f . Định lý sau đây
cho ta một điều kiện cần của điểm cực trị địa phương.
5.1.2 Định lý. Nếu hàm f có cực trị địa phương tại điểm P (a1, ..., an) ∈ G và có
các đạo hàm riêng tại P thì các đạo hàm riêng đó bằng 0.
Chứng minh. Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.
5.1.3 Định nghĩa. Điểm P ∈ G được gọi là điểm dừng của hàm f nếu các đạo
hàm riêng của f tại điểm đó tồn tại và bằng 0.
5.1.4 Quy tắc tìm cực trị của hàm 2 biến. Để tìm cực trị địa phương của hàm
2 biến z = f(x, y) ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1. Tìm∂f
∂x,∂f
∂y.
Bước 2. Giải hệ phương trình∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
để tìm các điểm dừng P (a, b).
Bước 3. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 f ′′xx, f
′′xy, f
′′yy. Đặt A = f ′′
xx(a, b), B =
f ′′xy(a, b), C = f ′′
yy(a, b).
Bước 4. Đặt Xét dấu ∆ = AC −B2 và kết luận
a) Nếu AC −B2 > 0, A < 0, thì hàm đạt cực đại tại điểm P (a, b).
b) Nếu AC −B2 > 0, A > 0, thì hàm đạt cực tiểu tại điểm P (a, b).
c) Nếu AC −B2 < 0, thì hàm không có cực trị tại điểm P (a, b).
d) Nếu AC − B2 = 0, thì ta chưa có kết luận gì. Khi đó để xét cực trị địa
phương của hàm f(x, y) ta phải sử dụng Định nghĩa 5.1.1.
5.1.5 Ví dụ. Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.
Giải. Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệf ′x(x, y) = 3x2 − 3y = 0
f ′y(x, y) = 3y2 − 3x = 0.
Giải hệ này ta nhận được các điểm dừng của hàm f là P1(0, 0), P2(1, 1). Ta lại có
f ′′xx = 6x, f ′′
xy = −3, f ′′yy = 6y.
199 Giáo trình Giải tích
a) Tại điểm dừng P1(0, 0) ta có A = C = 0 và B = −3. Vì vậy ∆ = AC −B2 =
−9 < 0. Do đó f không có cực trị tại (0, 0).
b) Tại điểm dừng P2(1, 1) ta có A = C = 6 > 0, B = −3. Vì vậy ∆ = AC−B2 =
27 > 0. Do đó f có cực tiểu tại (0, 0).
5.2 Cực trị có điều kiện
Bài toán tìm cực trị có điều kiện là bài toán tìm các điểm cực trị địa phương
của hàm f(x1, ..., xn) với ràng buộc các điểm cực trị đó phải thỏa mãn các điều kiện
cho bởi hệ:
Fi(x1, ..., xn) = 0, i = 1, 2, ...,m (với m < n).
Dựa vào lý thuyết hàm ẩn (mà chúng ta không trình bày ở đây), người ta có thể
tìm được điều kiện cần để có cực trị có điều kiện. Để đơn giản các ký hiệu ta trình
bày cho trường hợp n = 4 và m = 2.
5.2.1 Định lý. Giả sử hàm số f xác định trên tập mở G ⊂ R4, đạt cực trị tại điểm
P0(x0, y0, z0, t0) ∈ G thỏa mãn hệ phương trìnhF1(x, y, z, t) = 0
F2(x, y, z, t) = 0(6.13)
trong đó f, F1, F2 cùng với các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong một lân cận
nào đó của điểm P0 và
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1
∂z
∂F1
∂t∂F2
∂z
∂F2
∂t
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
tại P0. Khi đó tồn tại các số λ1, λ2 sao cho
∂f
∂x+ λ1
∂F1
∂x+ λ2
∂F2
∂x= 0
∂f
∂y+ λ1
∂F1
∂y+ λ2
∂F2
∂y= 0
∂f
∂z+ λ1
∂F1
∂z+ λ2
∂F2
∂z= 0
∂f
∂t+ λ1
∂F1
∂t+ λ2
∂F2
∂t= 0
(6.14)
(tất cả các đạo hàm riêng lấy tại P0).
200 Giáo trình Giải tích
5.2.2 Nhận xét. Định lý 5.2.1 cho ta một điều kiện cần để điểm P0(x0, y0, z0, t0)
là điểm điểm cực trị có điều kiện của hàm f , đó là tọa độ của P0 phải thỏa mãn
các hệ phương trình (6.13) và (6.14). Tuy nhiên ví dụ sau đây cho thấy có thể dùng
điều kiện cần đó để tìm cực trị có điều kiện như thế nào.
5.2.3 Ví dụ. Tìm cực trị của hàm
f(x, y, z) = x+ y + z
thỏa mãn điều kiện
F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
Giải. Ta xét hệ
x2 + y2 + z2 − 1 = 0
1 + 2λx = 0
1 + 2λy = 0
1 + 2λz = 0.
Từ 3 phương trình sau của hệ ta suy ra
x = y = z = −1
2λ.
Thay vào phương trình đầu ta thu được
x = y = z = ± 1√3.
Như vậy nếu hàm f có cực trị địa phương thỏa mãn điều kiện F (x, y, z) = 0 thì nó
chỉ đạt tại hai điểm P1
( 1√3,1√3,1√3
)hoặc P2
(−
1√3,−
1√3,−
1√3
). Mặt khác vì f
là hàm liên tục trên mặt cầu
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1
và S là tập compắc nên f phải có cực đại (trong trường hợp này là giá trị lớn nhất)
và cực tiểu (giá trị nhỏ nhất) trên S. Từ đó ta thấy rằng f đạt cực đại tại P1 và
cực tiểu tại P2.
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 6
201 Giáo trình Giải tích
Câu hỏi thảo luận
1) Mối liên hệ giữa giới hạn kép và giới hạn lặp của hàm nhiều biến.
2) Mối liên hệ giữa tính liên tục và liên tục theo từng biến của hàm nhiều biến.
3) Mối quan hệ giữa tính khả vi, tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tục của các
đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.
4) Phương pháp xét tính liên tục, khả vi của hàm nhiều biến.
5) Cách tìm cực trị, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.
Bài tập chương 6
Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau.
a) z =
√1−
x2
a2−y2
b2; b) z =
xy
x2 − y2; c) z = 1√
x2+y2.
Bài 2. Cho hàm số f(x, y) =x− y
x+ y. Chứng minh rằng
limx→0
limy→0
f(x, y) = 1, limy→0
limx→0
f(x, y) = −1
nhưng không tồn tại
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y).
Bài 3. Tìm các giới hạn sau.
a) lim(x,y)→(0,0)
sinxy
x; b) lim
(x,y)→(∞,∞)
x+ y
x2 − xy + y2.
c) lim(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)x2y2 .
Bài 4. Chứng minh rằng hàm
f(x, y) =
xy
x2 + y2nếu (x, y) = (0, 0),
0 nếu (x, y) = (0, 0).
liên tục theo từng biến tại điểm (0, 0) nhưng không liên tục tại điểm đó.
202 Giáo trình Giải tích
Bài 5. Chứng minh rằng, hàm
f(xy) =
x2y
x4 + y2nếu (x, y) = (0, 0),
0 nếu (x, y) = (0, 0)
liên tục tại điểm (0, 0) trên mỗi tia (t cosα, t sinα) (0 6 t <∞), theo từng biến tại
điểm (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0).
Bài 6. Xét tính liên tục đều của các hàm số sau trên các miền đã chỉ ra.
1) f(x, y) = 2x+ 3y + 1 trên R2.
2) f(x, y) = sinπ
1− x2 − y2trên miền x2 + y2 < 1.
Bài 7. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau đây
a) z =√x4 + y4.
b) u = x√y +
y3√x
.
c) z = xxy.
d) u = ln(x+ ln y).
Bài 8. Xét tính khả vi của các hàm số sau đây tại điểm (0, 0) ∈ R2.
a) f(x, y) = |xy|.
b) f(x, y) =√x2 + y2.
Bài 9. Cho hàm số
f(xy) =
xy√x2 + y2
nếu (x, y) = (0, 0),
0 nếu (x, y) = (0, 0).
Chứng minh rằng:
1) f liên tục tại điểm (0, 0).
2) f không khả vi tại điểm (0, 0).
Bài 10. Tính gần đúng
1) a = arctan
1, 97
1, 02− 1
.
203 Giáo trình Giải tích
2) c =√
(1, 04)1,99 + ln(1, 02).
Bài 11. Tính đạo hàm được chỉ ra của các hàm số sau:
a) u = ex−y, x = sin t, y = t2. Tính u′t.
b) z = x2y − y2x x = u cos v, y = u sin v. Tính z′u, z′v.
Bài 12. Tính đạo hàm đến các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:
a) z = ln(x+√x2 + y2). Tìm z′′xx, z
′′yy.
b) z = x ln(xy) . Tìm z′′xy.
Bài 13. Tìm vi phân đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây.
a) d2u với u = x2 + y2 + 6xy(x− y).
b) d10u với u = ln(x+ y).
Bài 14. Tìm cực trị của các hàm số
a) z = x2 + y2 + 2x− 6y + 9.
b) z = x2 + (y − 1)2.
c) z = e2x+3y(8x2 − 6xy + 3y2).
d) z = xy ln(x2 + y2).
Bài 15. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a) z =x
a+y
bvới điều kiện x2 + y2 = 1, (a > 0, b > 0).
b) u = xy + xz với các điều kiện x2 + y2 = 1, y + z = 2, (x, y, z > 0).
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 6
[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3
(Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho
sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.
204 Giáo trình Giải tích
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, ...(2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bản
Giáo dục.
CHƯƠNG 7
TÍCH PHÂN BỘI
VII.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của
phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.
VII.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính và một số ứng dụng của
tích phân 2 lớp và 3 lớp.
VII.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 2 lớp.
2. Nắm được phương pháp đổi biến số để tính tích phân 2 lớp.
3. Nắm được cách tính và tính được tích phân 2 lớp.
4. Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 3 lớp.
5. Nắm được các phương pháp đổi biến số để tính tích phân 3 lớp.
6. Nắm được cách tính và tính được tích phân 3 lớp.
7. Biết vận dụng tích phân bội để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể
trong R3, diện tích mặt cong, tính khối lượng và tọa độ trọng tâm vật thể.
VII.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
Trong chương này chúng ta nghiên cứu các mở rộng tích phân Riemann trên
đoạn [a, b] ⊂ R, dẫn tới khái niệm tích phân bội. Đầu tiên ta trình bày tích phân
trên miền phẳng (tích phân hai lớp), tiếp đến là tích phân trên miền không gian
(tích phân ba lớp). Do đặc thù của ngành học chúng ta không đi sâu nghiên cứu
chi tiết cách xây dựng, tính chất của tích phân bội mà tập trung đề cập đến các
phương pháp thực hành tính tích phân bội và các ứng dụng của nó. Muốn tìm hiểu
sâu hơn về tích phân bội, chúng ta có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],
205
206 Giáo trình Giải tích
[2], [3], [5] của chương 7.
1 Tích phân hai lớp
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai
lớp
Trong tiết 3 chương 4 chúng ta đã xây dựng được công thức tính diện tích hình
phẳng từ tích phân xác định một lớp. Trước khi xây dựng định nghĩa tích phân 2
lớp chúng tôi trình bày một số tính khái niệm và tính chất của miền phẳng trong
R2.
1.1.1 Định nghĩa. Cho D là một miền trong R2. Ta nói rằng miền D là đo được
nếu diện tích của nó hữu hạn.
Người ta chứng minh được kết quả sau.
1.1.2 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng
1) Diện tích của một miền con của một miền đo được bé hơn diện tích của miền
đó.
2) Nếu miền được chia thành các miền con không có chung điểm trong thì tổng
diện tích các miền con bằng diện tích cả miền.
3) Nếu các miền D1, D2 đo được thì D1 ∩D2 và D1 ∪D2 đo được.
1.1.3 Định nghĩa. Cho D là một miền bị chặn của R2. Khi đó
d(D) = supd(M,N) :M,N ∈ D,
được gọi là đường kính của miền D, với d(M,N) là khoảng cách giữa hai điểm M
và N .
1.1.4 Định nghĩa. Cho D là một miền đo được của R2. Tập hợp các miền đo được
D1, ..., Dn được gọi là một phép chia của D nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
1) D =n∪
i=1
Di;
2) Di ∩Dj = ∂Di ∩ ∂Dj, với mọi i = j.
Lúc đó ta cũng ký hiệu π = D1, D2, . . . , Dn.
207 Giáo trình Giải tích
Tập hợp tất cả các phép chia của miền D được ký hiệu là P(D). Giả sử π ∈ P(D)
và π = D1, ..., Dn. Đặt d(π) = maxd(Di) : i = 1, ..., n. Số d(π) được gọi là đường
kính của phép chia π.
1.1.5 Định nghĩa. Cho D là miền bị chặn đo được trong R2 và f : D → R
là hàm số xác định trên D. Chia miền D bởi phép chia π thành các miền nhỏ
D1, D2, ..., Dn và ký hiệu S(Di) là diện tích của miền nhỏ Di, i = 1, . . . , n. Trên
mỗi miền nhỏ Di ta chọn điểm tùy ý Mi(ξi, ηi) ∈ Di, i = 1, . . . , n và lập tổngn∑
i=1
f(ξi, ηi).S(Di). Ký hiệu d(π) là đường kính của phép chia π. Nếu tồn tại giới
hạn (hữu hạn) limd(π)→0
n∑i=1
f(ξi, ηi).S(Di) = I, mà giới hạn này không phụ thuộc vào
phép chia π và cách chọn các điểm Mi(ξi, ηi), thì ta nói hàm f khả tích trên miền D
còn I là tích phân hai lớp của hàm f(x, y) trên miền D và kí hiệu là
∫∫D
f(x, y)dxdy,
nghĩa là
∫∫D
f(x, y)dxdyS = I.
Người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau.
1.1.6 Hệ quả. Mọi hàm f(x, y) liên tục trên miền đo được, đóng và bị chặn D ⊂ R2
đều khả tích trên miền đó.
1.1.7 Nhận xét. Cũng như tích phân một lớp, điều kiện cần để hàm f khả tích
trên miền D là f bị chặn trên D.
Tương tự như tích phân một lớp ta chứng minh được tích phân hai lớp có các
tính chất sau.
1.2.1. Tính chất tuyến tính. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và α, β ∈ R.
Khi đó αf + βg khả tích trên D và∫∫D
(αf(x, y) + βg(x, y)
)dxdy
= α
∫∫D
f(x, y)dxdy + β
∫∫D
g(x, y)dxdy.
1.2.2.Tính chất cộng tính. Giả sử f là hàm xác định trên D = D1 ∪D2, trong đó
D1, D2 là các miền đo được, không có chung điểm trong. Khi đó, nếu f khả tích
208 Giáo trình Giải tích
trên D1 và D2 thì f khả tích trên D và∫∫D
f(x, y)dxdy =
∫∫D1
f(x, y)dxdy +
∫∫D2
f(x, y)dxdy.
1.2.3. Tính chất đơn điệu. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và f(x, y) 6g(x, y), với mọi (x, y) ∈ D. Khi đó∫∫
D
f(x, y)dxdy 6∫∫D
g(x, y)dxdy.
1.2.4. Tính khả tích tuyệt đối. Giả sử f là hàm khả tích trên D. Khi đó |f | khả
tích trên D và ∣∣∣ ∫∫D
f(x, y)dxdy∣∣∣ 6 ∫∫
D
|f(x, y)|dxdy.
1.2.5.Định lý giá trị trung bình. Giả sử f là hàm liên tục trên miền D liên thông.
Khi đó tồn tại (x0, y0) ∈ D sao cho∫∫D
f(x, y)dxdy = f(x0, y0)S(D),
trong đó S(D) là diện tích của miền D.
1.2.6.Tính chất hình học
a)
∫∫D
dxdy là diện tích của miền D.
b) Nếu f(x, y) > 0 thì
∫∫D
f(x, y)dxdy là thể tích của hình trụ cong trong R3
với đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, mặt trên được giới hạn bởi mặt cong có
phương trình z = f(x, y).
1.2 Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp
Trong mục trước chúng ta đã nghiên cứu định nghĩa và các tính chất cơ bản của
tích phân hai lớp. Cũng như tích phân một lớp sẽ rất khó khăn nếu dùng trực tiếp
định nghĩa để tính các tích phân hai lớp. Trong thực hành tính tích phân hai lớp
chúng ta dựa vào kết quả căn bản của Định lý Fubini để đưa tích phân hai lớp về
tích phân lặp. Chúng ta chấp nhận các kết quả này mà không trình bày chứng minh
209 Giáo trình Giải tích
của chúng. Người đọc có thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1],
[2], [3], [5] của chương 7.
1.2.1 Định lý. (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền
D = (x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, φ1(x) 6 y 6 φ2(x)
trong đó φ1, φ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó D là miền đo được, f khả tích
trên D và ∫∫D
f(x, y)dxdy =
b∫a
( φ2(x)∫φ1(x)
f(x, y)dy)dx. (7.1)
y
O xa b
y = φ1(x)
y = φ2(x)
x = ax = b
Do vai trò của x và y là như nhau nên ta có kết quả tương tự sau.
1.2.2 Định lý. (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền
D = (x, y) ∈ R2 : c 6 y 6 d, φ1(y) 6 x 6 φ2(x)
trong đó φ1, φ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó D là miền đo được và
∫∫D
f(x, y)dxdy =
d∫c
( φ2(y)∫φ1(y)
f(x, y)dx)dy. (7.2)
210 Giáo trình Giải tích
O x
y
y = b
y = a
x = φ1(y)
x = φ2(y)
1.2.3 Nhận xét. Trong nhiều trường hợp chúng ta viết
b∫a
dx
φ2(x)∫φ1(x)
f(x, y)dy
thay chob∫
a
( φ2(x)∫φ1(x)
f(x, y)dy)dx.
Chúng ta đến với một vài ví dụ minh họa.
1.2.4 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
(x+ y)dxdy
trong đó
1) D là hình chữ nhật: D = (x, y) : 0 6 x 6 1, 1 6 y 6 2.
2) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =1
xvà x = 2.
Giải. 1) Áp dụng công thức (4.1) ta có∫∫D
(x+ y)dxdy =
∫ 1
0
( 2∫1
(x+ y)dy)dx =
1∫0
((xy +
y2
2
)∣∣∣21
)dx
=
1∫0
(x+
3
2
)dx =
(x22
+3x
2
)∣∣∣10= 2.
211 Giáo trình Giải tích
2) Miền D giới hạn bởi các đường y = x, y =1
xvà x = 2 được xác định như sau:
D =(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2,
1
x6 y 6 x
.
O
y
x
y = x
y =1
x
1
x = 2
Vì vậy
∫∫D
(x+ y)dxdy =
2∫1
( x∫1x
(x+ y)dy)dx =
1∫0
((xy +
y2
2
)∣∣∣x1x
)dx
=
2∫1
(3x22
− 1− 1
2x2
)dx =
(x32
− x+1
2x
)∣∣∣21=
9
4.
1.2.5 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
(x+ y)dxdy
trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =1
x, y = 0 và x = 2.
Giải. Miền D giới hạn bởi các đường y = x, y =1
x, y = 0 và x = 2 được xác định
như sau: D = D1 ∪D2 với
D1 =(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x
212 Giáo trình Giải tích
và
D2 =(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 1
x
.
O
y
x
y = x y =1
x
1
x = 2
Vì vậy∫∫D
(x+ y)dxdy =
∫∫D1
(x+ y)dxdy +
∫∫D2
(x+ y)dxdy
=
1∫0
( x∫0
(x+ y)dy)dx+
2∫1
( 1x∫
0
(x+ y)dy)dx
=
1∫0
((xy +
y2
2
)∣∣∣x0
)dx+
2∫1
((xy +
y2
2
)∣∣∣ 1x0
)dx
=
1∫0
(x2 +x2
2)dx+
2∫1
(1 +1
2x2)dx =
7
4.
1.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp
Trong tích phân một lớp các phương pháp đổi biến số là công cụ hữu hiệu
để thực hành tính tích phân. Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp đổi
biến số cho tích phân hai lớp.
Cho D là một miền bị chặn, đo được của R2. Phép đổi biến trong tích phân hai
lớp được thực hiện nhờ phép chuyển từ các biến (x, y) đến các biến mới (u, v) theo
213 Giáo trình Giải tích
các công thức x = x(u, v)
y = y(u, v)(u, v) ∈ D∗. (7.3)
Ánh xạ Φ biến miền D∗ trong mặt phẳng tọa độ (u, v) thành miền D được xác định
bởi
(u, u) 7→ (x, y) =(x(u, v), y(u, v)
), với (u, v) ∈ D∗.
Ta có định lý sau.
1.3.1 Định lý. Giả sử rằng:
1) Φ là một song ánh từ D∗ vào D.
2) Các hàm x(u, v) và y(u, v) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên D∗.
3) Jacobi của ánh xạ Φ
J(u, v) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (7.4)
tại mọi điểm của D∗. Khi đó nếu f(x, y) là một hàm liên tục trên D thì∫∫D
f(x, y)dxdy =
∫∫D∗
f(x(u, v), y(u, v)
)∣∣J(u, v)∣∣dudv. (7.5)
Công thức (7.5) được gọi là công thức đổi biến trong tích phân hai lớp.
Chúng ta đến với vài ví dụ minh họa.
1.3.2 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
(x+ 2y)dxdy,
trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường thẳng x + y = 0, x + y =
1, x− 2y = 1 và x− 2y = 2.
Giải. Đặt x+ y = u, x− 2y = v. Suy rax =
2u+ v
3
y =u− v
3.
Khi đó D là ảnh của miền
D∗ = (u, v) ∈ R2 : 0 6 u 6 1, 1 6 v 6 2
214 Giáo trình Giải tích
qua phép đổi biến Φ cho bởi Φ(u, v) =(2u+ v
3,u− v
3
), với (u, v) ∈ D∗. Khi đó ta
có
J(u, v) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣2
3
1
31
3
− 1
3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−1
3.
Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có∫∫D
(x+ 2y)dxdy =
∫∫D∗
4u− v
3
1
3dudv
=1
9
1∫0
( 2∫1
(4u− v)dv)du
=1
9
1∫0
(4u− 3
2)du =
1
18.
1.3.3 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
y2
x3dxdy,
trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 2x , y = x2 và
y = 2x2.
Giải. Đặty
x= u,
y
x2= v. Suy ra
x =u
v
y =u2
v.
Khi đó, D là ảnh của miền
D∗ = (u, v) ∈ R2 : 1 6 u 6 2, 1 6 v 6 2
qua phép đổi biến Φ cho bởi Φ(u, v) =(uv,u2
v
), với (u, v) ∈ D∗. Khi đó ta có
J(u, v) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣1
v
− u
v2
2u
v
− u2
v2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =u2
v3.
215 Giáo trình Giải tích
Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có
∫∫D
y2
x3dxdy =
∫∫D∗
uvu2
v3dudv =
2∫1
( 2∫1
u3
v2dv)du
=
2∫1
1
2u3du =
15
8.
1.3.4 Nhận xét. Một trong những phép đổi biến thường gặp trong tích phân 2 lớp
là phép đổi biến sang tọa độ cực. Các vấn đề liên quan cụ thể hơn đến tọa độ cực
bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo.
O
y
xφ
M(x, y)
r
Chúng ta đến với phép đổi biến này.
Trong mặt phẳng R2 với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy ta đưa vào hệ
tọa độ cực (r, φ) với cực tại O và trục cực là Ox. Khi đó hệ phương trìnhx = r cosφ
y = r sinφ,0 6 r <∞, 0 6 φ 6 2π, (7.6)
thực hiện phép biến đổi mặt phẳng tọa độ cực thành mặt phẳng tọa độ Descartes.
Ta có
J(r, φ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂r
∂x
∂φ
∂y
∂r
∂y
∂φ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣cosφ −r sinφsinφ r cosφ
∣∣∣∣∣ = r.
Giả sử miền D là ảnh của D∗ qua ánh xạ đổi biến (7.6). Khi đó ta có công thức đổi
216 Giáo trình Giải tích
biến của tọa độ cực∫∫D
f(x, y)dxdy =
∫∫D∗
f(r cosφ, r sinφ
)rdrdφ. (7.7)
Phép đổi biến tọa độ cực đặc biệt có hiệu lực khi tích phân được lấy trên các miền
có biên là các đường tròn. Sau đây là một số miền quen thuộc được đổi biến sang
tọa độ cực.
1) Hình tròn
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 R2
là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 R, 0 6 φ 6 2π.
2) Hình vành khăn
D = (x, y) ∈ R2 : R21 6 x2 + y2 6 R2
2
là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : R1 6 r 6 R2, 0 6 φ 6 2π.
3) Hình quạt
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 R2, tanα 6 y
x6 tan β
là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 R, α 6 φ 6 β.
Chúng ta đến với vài ví dụ minh họa.
1.3.5 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
sin√x2 + y2dxdy
với D là miền (x, y) ∈ R2 : 1 6 x2 + y2 6 4.
Giải. Dùng phép đổi biến tọa độ cựcx = r cosφ
y = r sinφ,0 6 r <∞, 0 6 φ 6 2π,
ta có D là ảnh của
D∗ = (r, φ) : 1 6 r 6 2, 0 6 φ 6 2π.
217 Giáo trình Giải tích
Vì vậy ∫∫D
sin√x2 + y2dxdy =
∫∫D∗
r sin rdrdφ
=
2∫1
( 2π∫0
r sin rdφ))dr = 2π
2∫1
r sin rdr
= 2π(− r cos r
∣∣∣21+
2∫1
cos rdr)= 2π(cos 1− 2 cos 2 + sin 2− sin 1).
1.3.6 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫D
√x2 + y2dxdy
với D là miền giới hạn bởi đường tròn x2 + y2 = 2x.
Giải. Dùng phép đổi biến tọa độ cựcx = r cosφ
y = r sinφ.
Từ
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2x
suy ra 0 6 r 6 2 cosφ và −π
26 φ 6
π
2. Vậy D là ảnh của
D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 2 cosφ, −π
26 φ 6
π
2.
Vì vậy ∫∫D
√x2 + y2dxdy =
∫∫D∗
r2drdφ
=
π2∫
−π2
( 2 cosφ∫0
r2dr)dφ =
8
3
π2∫
−π2
cos3 φdφ
=8
3
π2∫
−π2
(1− sin2 φ)d(sinφ) =32
9.
218 Giáo trình Giải tích
1.3.7 Ví dụ. Tính tích phân∫∫D
√1− x2
a2− y2
b2dxdy,
trong đó D là hình elipx2
a2+y2
b26 1.
Giải. Ta dùng phép đổi biến dạng tọa độ cực suy rộngx = ra cosφ
y = rb sinφ.
Khi đó D là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π
và Jacobian của phép đổi biến là
J(r, φ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂r
∂x
∂φ
∂y
∂r
∂y
∂φ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣a cosφ −ar sinφb sinφ br cosφ
∣∣∣∣∣ = abr.
Vì vậy∫∫D
√1− x2
a2− y2
b2dxdy = ab
∫∫D∗
r√1− r2drdφ
= ab
2π∫0
dφ
1∫0
r√1− r2dr
= πab
1∫0
(1− r2
) 12d(r2) = −
2πab
3
(1− r2
) 32
∣∣∣10=
2πab
3.
219 Giáo trình Giải tích
2 Tích phân ba lớp
Trong mục trước, chúng ta đã trình bày khái niệm, tính chất và cách tính của
tích phân hai lớp (cho hàm hai biến số). Trong phần này chúng ta nghiên cứu tích
phân ba lớp (cho hàm ba biến số). Việc xây dựng tích phân ba lớp là hoàn toàn
tương tự như xây dựng tích phân hai lớp.
2.1 Định nghĩa và các tính chất cở bản của tích phân ba lớp
Trong tiết 3 chương 4 chúng ta đã xây dựng được công thức tính thể tích vật
thể từ tích phân xác định một lớp. Trước khi xây dựng định nghĩa tích phân 3 lớp
chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất của vật thể trong R3.
2.1.1 Định nghĩa. Cho Ω là một miền trong R3. Ta nói rằng miền Ω là đo được
nếu thể tích của nó hữu hạn.
2.1.2 Nhận xét. Người ta chứng minh được rằng
1) Cho miền bị chặn, đo được Ω ⊂ R3 và G ⊂ Ω. Khi đó V (G) ≤ V (Ω).
2) Nếu miền được chia thành các miền con không có chung điểm trong thì tổng
thể tích các miền con bằng thể tích của miền đó.
3) Nếu các miền Ω1, Ω2 đo được thì Ω1 ∩ Ω2 và Ω1 ∪ Ω2 đo được.
2.1.3 Định nghĩa. Cho Ω là một miền bị chặn của R3. Khi đó
d(Ω) = supd(M,N) :M,N ∈ Ω,
được gọi là đường kính của miền Ω, với d(M,N) là khoảng cách giữa hai điểm M
và N .
2.1.4 Định nghĩa. Cho Ω là một miền đo được của R3. Tập hợp các miền đo được
Ω1, ...,Ωn được gọi là một phân hoạch của Ω nếu
1) Ω =n∪
i=1
Ωi,
2) Ωi ∩ Ωj = ∂Ωi ∩ ∂Ωj, ∀i = j.
Lúc đó ta cũng ký hiệu π = Ω1,Ω2, . . . ,Ωn.
Tập hợp tất cả các phân hoạch của miền Ω được ký hiệu là P(Ω). Giả sử π ∈ P(Ω)
với π = Ω1, ...,Ωn. Đặt d(π) = maxd(Ωi) : i = 1, ..., n. Số d(π) được gọi là đường
kính của phép phân hoạch π.
220 Giáo trình Giải tích
2.1.5 Định nghĩa. Cho Ω ⊂ R3 là miền đo được bị chặn và f(x, y, z) làm một hàm
số bị chặn trên Ω. Chia miền Ω bởi phép chia π thành các miền nhỏ Ω1,Ω2, ...,Ωn
và ký hiệu V (Ωi) là thể tích của miền nhỏ Ωi, i = 1, . . . , n. Trên mỗi miền nhỏ Ωi ta
chọn điểm tùy ý Mi(ξi, ηi, γi) ∈ Ωi, i = 1, . . . , n và lập tổngn∑
i=1
f(ξi, ηi, γi).V (Ωi).
Ký hiệu d(π) là đường kính của phép chia π. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
limd(π)→0
n∑i=1
f(ξi, ηi, γi).V (Ωi) = I, mà giới hạn này không phụ thuộc vào phép chia π
và cách chọn các điểm Mi(ξi, ηi, γi), thì ta nói hàm f khả tích trên miền Ω còn I là
tích phân ba lớp của hàm f(x, y, z) trên miền Ω và kí hiệu là
∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz,
nghĩa là
∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydzS = I.
Người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau.
2.1.6 Hệ quả. Mọi hàm f(x, y, z) liên tục trên miền đo được, đóng và bị chặn
Ω ⊂ R3 đều khả tích trên miền đó.
2.1.7 Nhận xét. Cũng như tích phân một lớp và tích phân hai lớp, điều kiện cần
để hàm f(x, y, z) khả tích trên miền Ω là hàm f bị chặn trên Ω.
Tương tự như tích phân một lớp và hai lớp ta chứng minh được tích phân ba
lớp có các tính chất sau.
2.2.1. Tính chất tuyến tính. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên Ω và α, β ∈ R.
Khi đó αf + βg khả tích trên Ω và∫∫∫Ω
(αf(x, y, z) + βg(x, y, z)
)dxdydz
= α
∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz + β
∫∫∫Ω
g(x, y, z)dxdydz.
2.2.2. Tính chất cộng tính. Giả sử f là hàm xác định trên Ω = Ω1 ∪ Ω2, trong đó
Ω1,Ω2 là các miền đo được, không có chung điểm trong. Khi đó, nếu f khả tích trên
Ω1 và Ω2 thì f khả tích trên Ω và∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫Ω1
f(x, y)dxdydz +
∫∫∫Ω2
f(x, y)dxdydz.
221 Giáo trình Giải tích
2.2.3. Tính chất đơn điệu. Giả sử f, g là các hàm khả tích trên Ω và f(x, y, z) 6g(x, y, z), với mọi (x, y, z) ∈ Ω. Khi đó∫∫∫
Ω
f(x, y, z)dxdydz 6∫∫∫Ω
g(x, y, z)dxdydz.
2.2.2. Tính khả tích tuyệt đối. Giả sử f là hàm khả tích trên Ω. Khi đó |f | khả
tích trên Ω và ∣∣∣ ∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz∣∣∣ 6 ∫∫∫
Ω
|f(x, y, z)|dxdydz.
2.2.5. Định lý giá trị trung bình. Giả sử f là hàm liên tục trên miền Ω đóng, liên
thông. Khi đó tồn tại (x0, y0, z0) ∈ Ω sao cho∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz = f(x0, y0, z0)V (Ω),
trong đó V (Ω) là thể tích của miền V .
2.2.6. Tính chất hình học.
∫∫∫Ω
dxdydz là thể tích của miền Ω.
2.2 Cách tính tích phân ba lớp
Cũng như tích phân hai lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân ba lớp là
đưa tích phân ba lớp về tích phân lặp bởi định lý Fubini.
Giả sử Ω ⊂ R3 là miền đo dược bị chặn cho bởi
Ω =(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b, y1(x) 6 y 6 y2(x), z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)
(7.8)
trong đó y1(x), y2(x) là các hàm liên tục trên [a, b] và z1(x, y), z2(x, y) là các hàm
liên tục trên miền
D =(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, y1(x) 6 y 6 y2(x)
.
222 Giáo trình Giải tích
z = z2(x, y)
z = z1(x, y)
D
Ω
x
y
z
O
Khi đó, chú ý rằng D là hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy. Ta có định lý
sau.
2.2.1 Định lý. (Fubini) Giả sử Ω là miền xác định như trong công thức (7.8) và
f(x, y, z) là một hàm số liên tục trên Ω. Khi đó
∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
b∫a
( y2(x)∫y1(x)
[ z2(x,y)∫z1(x,y)
f(x, y, z)dz]dy)dx. (7.9)
2.2.2 Nhận xét. 1) Chúng ta thường dùng ký hiệu
b∫1
dx
y2(x)∫y1(x)
dy
z2(x,y)∫z1(x,y)
f(x, y, z)dz
thay chob∫
1
( y2(x)∫y1(x)
[ z2(x,y)∫z1(x,y)
f(x, y, z)dz]dy)dx.
2) Trong công thức (7.9) vai trò của x, y, z có thể hoán đổi nếu ta thay đổi sự
biểu diễn của miền Ω.
3) Nếu miền Ω viết dưới dạng
Ω =(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)
223 Giáo trình Giải tích
với D là miền đo dược bị chặn trong R2. Khi đó∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫D
dxdy
∫ z2(x,y)
z1(x,y)
f(x, y, z)dz (7.10)
2.2.3 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫∫Ω
dxdydz
(1 + x+ y + z)3,
với Ω ⊂ R3 là miền giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, z = 0 và x+ y + z = 1.
Hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là
D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x.
Miền Ω được cho bởi
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x, 0 6 z 6 1− x− y
= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 0 6 z 6 1− x− y.
x
y
z
O
1
1
1
224 Giáo trình Giải tích
Vì vậy áp dụng công thức (4.7) ta có∫∫∫Ω
dxdydz
1 + x+ y + z
3
=
1∫0
dx
1−x∫0
dy
1−x−y∫0
dz
(1 + x+ y + z)3
=1
2
1∫0
dx
1−x∫0
( 1
(1 + x+ y)2− 1
4
)dy
=1
2
1∫0
( 1
1 + x+x− 3
4
)dx =
1
2
(ln 2− 5
8
).
2.2.4 Ví dụ. Tính tích phân ∫∫∫Ω
zdxdydz,
với Ω ⊂ R3 là miền giao giữa hai hình cầu x2+y2+ z2 6 1 và x2+y2+(z−1)2 6 1.
Giải. Biên của miền Ω gồm hai phần, phía trên là một phần mặt cầu có phương
trình
z =√
1− x2 − y2,
phía dưới là phần mặt cầu có phương trình
z = 1−√
1− x2 − y2.
Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 =3
4, z =
1
2.
O
x
y
z
1
2
x2 + y2 =3
4
225 Giáo trình Giải tích
Từ đó suy ra hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là hình tròn
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 3
4.
Miền Ω được cho bởi
Ω =(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 1−
√1− x2 − y2 6 z 6
√1− x2 − y2
.
Vì vậy theo công thức (4.7) ta có
I =
∫∫∫Ω
zdxdydz =
∫∫D
dxdy
√1−x2−y2∫
1−√
1−x2−y2
zdz
=
∫∫D
(√1− x2 − y2 − 1
2
)dxdy.
Dùng cách tính trong tọa độ cực ta có
I =
∫∫D
(√1− x2 − y2 − 1
2
)dxdy =
2π∫0
( √3
2∫0
(√1− r2 − 1
2
)rdr)dφ
= 2π[−
1
2
√32∫
0
(1− r2)
12d(1− r2)−
1
2
√3
2∫0
rdr]= 2π
[− 1
3
(1− r2)
32
∣∣∣√32
0− r2
4
∣∣∣√32
0
]=
5π
24.
2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp
A. Đổi biến trong hệ tọa độ Đề các. Tương tự như tích phân hai lớp , phép
đổi biến trong tích phân ba lớp∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz (7.11)
là phép chuyển từ các biến x, y, z sang các biến mới u, v, w thích hợp theo công thứcx = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w),
(u, v, w) ∈ Ω∗ (7.12)
trong đó Ω∗ là miền đo được trong R3 xác định bởi hệ tọa độ (u, v, w). Xét ánh xạ
Φ : (u, v, w) 7→(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
)với (u, v, w) ∈ Ω∗.
Ta có định lý về công thức đổi biến số trong tích phân ba lớp.
226 Giáo trình Giải tích
2.3.1 Định lý. Giả sử
1) Φ là một song ánh từ Ω∗ vào Ω.
2) Các hàm x(u, v, w) , y(u, v, w), z(u, v, w) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục
trên Ω∗.
3) Jacobi của ánh xạ Φ
J(u, v, w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (7.13)
tại mọi điểm của Ω∗. Khi đó, nếu f(x, y, z) là một hàm liên tục trên Ω thì
∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz
=
∫∫∫Ω∗
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
)∣∣J(u, v, w)∣∣dudvdw. (7.14)
Công thức (7.14) được gọi là công thức đổi biến trong tích phân ba lớp.
Chúng ta trình bày hai phương pháp đổi biến quen thuộc trong tích phân ba lớp
là đổi biến sang tọa độ cầu và tọa độ trụ.
B. Đổi biến sang tọa độ cầu.
Phép đổi biến Φ : R3 → R3 từ tọa độ Descartes (x, y, z) sang tọa độ cầu (r, φ, θ)
cho bởi công thức x = r cosφ sin θ
y = r sinφ sin θ
z = r cos θ
(7.15)
trong đó r > 0, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π.
227 Giáo trình Giải tích
M(x, y, z)
M ′
φ
x
y
z
Or
θ
Khi đó
J(u, v, w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂r
∂x
∂φ
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂φ
∂y
∂θ
∂z
∂r
∂z
∂φ
∂z
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣sin θ cosφ −r sin θ sinφ r cos θ cosφ
sin θ sinφ r sin θ cosφ r cos θ sinφ
cos θ 0 −r sin θ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r2 sin θ.
(7.16)
Vì vậy, nếu Ω = Φ(Ω∗) thì∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫Ω∗
f(r cosφ sin θ, r sinφ sin θ, r cos θ
)r2 sin θdrdφdθ.
(7.17)
2.3.2 Ví dụ. Tính tích phân
I =
∫∫∫Ω
(x2 + y2)dxdydz,
với Ω là nửa trên hình cầu x2 + y2 + z2 6 R2, z > 0.
Giải. Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cầux = r cosφ sin θ
y = r sinφ sin θ
z = r cos θ
ta nhận được Ω là ảnh của Ω∗ được xác định như sau
Ω∗ = (r, φ, θ) ∈ R3 : 0 6 r 6 R, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π
2.
228 Giáo trình Giải tích
Từ đó suy ra
I =
∫∫∫Ω
(x2 + y2)dxdydz =
∫∫∫Ω∗
r4 sin3 θdrdφdθ =
2π∫0
dφ
π2∫
0
dθ
∫ R
0
sin3 θr4dr =
= 2π[r55
∣∣∣R0
π2∫
0
(cos2 θ − 1)d(cos θ)]
= 2πR5
5
[cos3 θ3
− cos θ]∣∣∣π2
0= 2π
R5
5
[− 1
3+ 1]=
4πR5
15.
2.3.3 Ví dụ. Tính tích phân
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2 + z2dxdydz,
trong đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 z.
Giải. Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ cầux = r cosφ sin θ
y = r sinφ sin θ
z = r cos θ
ta nhận được Ω là ảnh của Ω∗ được xác định như sau
Ω∗ = (r, φ, θ) ∈ R3 : 0 6 r 6 cos θ, 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π
2.
Từ đó suy ra
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2 + z2dxdydz =
∫∫∫Ω∗
r3 sin θdrdφdθ =
2π∫0
dφ
π2∫
0
dθ
cos θ∫0
sin θr3dr =
=π
2
π2∫
0
cos4 θ sin θdθ = − π
10cos5 θ
∣∣∣π20=
π
10.
C. Đổi biến sang tọa độ trụ.
Phép đổi biến Φ : R3 → R3 từ (x, y, z) sang tọa độ trụ (r, φ, z) cho bởi công
thức x = r cosφ
y = r sinφ
z = z
(7.18)
229 Giáo trình Giải tích
trong đó r > 0, 0 6 φ 6 2π, −∞ < z <∞.
M(x, y, z)
M ′
φ
x
y
z
O
r
Khi đó
J(u, v, w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂r
∂x
∂φ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂φ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂φ
∂z
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣cosφ −r sinφ 0
sinφ r cosφ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = r. (7.19)
Vì vậy nếu Ω = Φ(Ω∗) thì∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫Ω∗
f(r cosφ, r sinφ, z
)rdrdφdθ.
2.3.4 Ví dụ. Tính tích phân
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2dxdydz,
trong đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 1.
Giải. Sử dụng phép đổi biến sang toạ độ trụx = r cosφ
y = r sinφ
z = z
230 Giáo trình Giải tích
ta nhận được Ω là ảnh của Ω∗ được xác định như sau
Ω∗ = (r, φ, z) ∈ R3 : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π, r 6 z 6 1.
Từ đó suy ra
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2dxdydz =
∫∫∫Ω∗
r2drdφdz
=
2π∫0
dφ
1∫0
dr
∫ 1
r
r2dz =
2π∫0
dφ
1∫0
r2(1− r)dr =π
6.
2.3.5 Ví dụ. Tính tích phân
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2dxdydz,
trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt nón z =√x2 + y2 và mặt paraboloide
z = 2− x2 − y2.
Giải. Ta có miền Ω được xác định bởi
Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 2− x2 − y2.
Sử dụng phép đổi biến sang tọa độ trụx = r cosφ
y = r sinφ
z = z
ta nhận được Ω là ảnh của Ω∗ được xác định như sau
Ω∗ = (r, φ, z) ∈ R3 : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π, r 6 z 6 2− r2.
Từ đó suy ra
I =
∫∫∫Ω
√x2 + y2dxdydz =
∫∫∫Ω∗
r2drdφdz
=
2π∫0
dφ
1∫0
dr
∫ 2−r2
r
r2dz =
2π∫0
dφ
1∫0
r2(2− r − r2)dr =13π
30.
231 Giáo trình Giải tích
3 Ứng dụng của tích phân bội
3.1 Tính diện tích miền phẳng
Giả sử D là một miền phẳng đo được, bị chặn của R2. Từ định nghĩa tích phân
hai lớp ta có diện tích của D được tính bởi công thức.
S(D) =
∫∫D
dxdy. (7.20)
3.1.1 Ví dụ. Tính diện tích hình elip (E)x2
a2+y2
b26 1.
x
y
O
a
b
Dùng phép đổi biến
x = ar cosφ
y = br sinφta có J(r, φ) = abr và E là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π. Do đó ta có
S(E) =
∫∫E
dxdy =
∫∫D∗
abrdrdφ =
2π∫0
dφ
1∫0
abrdr = abπ.
3.1.2 Ví dụ. Tính diện tích hình sao (D) x23 + y
23 6 a
23 .
Dùng phép đổi biến cho bởi các công thức
x = ar cos3 φ
y = ar sin3 φta có D là ảnh
của miền
D∗ = (r, φ) : 0 6 r 6 1, 0 6 φ 6 2π
232 Giáo trình Giải tích
và Jacobi của phép đổi biến
J(r, φ) =
∣∣∣∣∣a cos3 φ −3ar sinφ cos2 φ
a sin3 φ 3ar cosφ sin2 φ
∣∣∣∣∣ = 3a2r cos2 φ sin2 φ.
x
y
O a
Vì vậy
S(D) =
∫∫D
dxdy =
∫∫D∗
3a2r cos2 φ sin2 φdrdφ =
2π∫0
dφ
1∫0
3a2 cos2 φ sin2 φrdr
= 3a22π∫0
cos2 φ sin2 φdφ
1∫0
rdr =3a2
4
2π∫0
sin2 2φ(r22
∣∣∣10
)dφ
=3a2
8
2π∫0
sin2 2φdφ =3a2
16
2π∫0
(1− cos 4φ)dφ =3a2π
8.
3.2 Tính thể tích của vật thể
Giả sử Ω là một miền phẳng đo được, bị chặn của R3. Từ định nghĩa tích
phân ba lớp ta có thể tích của Ω được tính bởi công thức.
V (Ω) =
∫∫∫Ω
dxdydz. (7.21)
Đặc biệt, nếu miền Ω có dạng
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y),
233 Giáo trình Giải tích
trong đó D là miền đo được trong R2 và z1, z2 là các hàm liên tục trên D thì thể
tích được tính theo công thức
V (Ω) =
∫∫D
(z2(z, y)− z1(x, y)
)dxdy. (7.22)
3.2.1 Ví dụ. Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi các mặt z =√x2 + y2 và
z = 6− x2 − y2.
Giải. Hai mặt cong cắt nhau theo giao tuyến
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4, z = 2.
Vì vậy hình chiếu của Ω trên miền mặt phẳng xOy là
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4.
Do đó
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D,√x2 + y2 6 z 6 6− x2 − y2.
Áp dụng công thức (7.22) ta nhận được V (Ω) =
∫∫D
(6−x2−y2−
√x2 + y2
)dxdy.
Dùng phép đổi sang tọa độ cực x = r cosφ, y = r sinφ, miền D là ảnh của miền
D∗ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π trong tọa độ cực. Khi đó ta có
V (Ω) =
∫∫D
(6− x2 − y2 −
√x2 + y2
)dxdy
=
∫∫D∗
(6− r2 − r)rdrdφ =
2π∫0
dφ
2∫0
(6− r2 − r)rdr =32π
3.
3.2.2 Ví dụ. Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi các mặt z = x2+y2, z = 2(x2+y2),
y = x và y = x2.
Giải. Hình chiếu của Ω trên mặt phẳng xOy là
D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x.
Do đó Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x, x2 + y2 6 z 6 2(x2 + y2). Vì
vậy áp dụng công thức tính thể tích vật thể ta nhận được
V (Ω) =
∫∫∫Ω
dxdydz =
1∫0
dx
x∫x2
dy
2(x2+y2)∫x2+y2
dz
=
1∫0
dx
x∫x2
(x2 + y2)dy =
∫ 1
0
(4x33
− x4 − x6
3
)dx =
3
35.
234 Giáo trình Giải tích
3.3 Tính diện tích mặt cong
Giả sử P là mặt cong xác định bởi phương trình z = f(x, y) trong đó f(x, y)
và các đạo hàm riêng của nó liên tục trên miền đo được, bị chặn D ⊂ R2. Khi đó
người ta chứng minh được công thức tính diện tích của P là
S(P) =
∫∫D
√1 +
(∂f∂x
)2+(∂f∂y
)2dxdy (7.23)
Nếu mặt cong P được xác định bởi phương trình tham sốx = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v), (u, v) ∈ D,
(7.24)
trong đó x(u, v), y(u, v),z(u, v) là các hàm có các đạo hàm riêng liên tục trên miền
bị chặn, đo được D trong mặt phẳng uOv. Khi đó, ta có công thức tính diện tích
mặt cong P
S(P) =
∫∫D
√EF −G2dudv (7.25)
trong đó E,F,G là các hệ số Gauss của mặt được xác định bởi
E =(∂x∂u
)2+(∂y∂u
)2+(∂z∂u
)2;
F =(∂x∂v
)2+(∂y∂v
)2+(∂z∂v
)2;
G =∂x
∂u
∂x
∂v+∂y
∂u
∂y
∂v+∂z
∂u
∂z
∂v.
3.3.1 Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt nón z = f(x, y) =√x2 + y2 nằm phía
dưới mặt phẳng z = 4.
Giải. Mặt nón cắt mặt phẳng z = 4 theo giao tuyến
(x, y, z) ∈ R3 : z = 4, x2 + y2 = 16.
Do đó hình chiếu của phần mặt nón cần tính diện tích trên mặt phẳng xOy là
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 16.
Như vậy ta cần tính diện tích của mặt có phương trình
z = f(x, y) =√x2 + y2, (x, y) ∈ D.
235 Giáo trình Giải tích
Áp dụng công thức (4.20) ta có
S =
∫∫D
√1 +
x2
x2 + y2+
y2
x2 + y2dxdy =
√2
∫∫D
dxdy = 16√2π.
3.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm của vật thể
Cho Ω là một vật thể trong không gian R3 với khối lượng riêng phân bố theo
hàm tọa độ ρ(x, y, z). Giả sử rằng Ω là miền bị chặn, đo được và ρ liên tục trên Ω.
Khi đó, ta có công thức tính khối lượng m của Ω là
m =
∫∫∫Ω
ρ(x, y, z)dxdydz. (7.26)
Tọa độ trọng tâm G của vật thể Ω được xác định như sau
xG =1
m
∫∫∫Ω
xρ(x, y, z)dxdydz
yG =1
m
∫∫∫Ω
yρ(x, y, z)dxdydz
zG =1
m
∫∫∫Ω
zρ(x, y, z)dxdydz,
(7.27)
trong đó m là khối lượng của vật thể Ω.
3.4.1 Ví dụ. Cho khối nón
Ω = (x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 6 z 6 2
có khối lượng riêng phân bố theo hàm ρ(x, y, z) = x2 + y2.
a) Tính khối lượng của Ω.
b) Tìm tọa độ trọng tâm của Ω.
Giải. a) Theo công thức tính khối lượng (7.26) ta có
m =
∫∫∫Ω
(x2 + y2)dxdydz.
Dùng phép đổi biến tọa độ trụ x = r cosφ, y = r sinφ, z = z ta có Ω là ảnh của
miền Ω′ = (r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π, r ≤ z ≤ 2 trong tọa độ trụ. Do đó
ta có khối lượng của Ω là
236 Giáo trình Giải tích
m =
∫∫∫Ω
(x2 + y2)dxdydz =
∫∫∫Ω′
r2.rdrdφdz
=
2π∫0
dφ
2∫0
dr
2∫r
r3dz = 2π
2∫0
r3(2− r)dr =16π
5.
b) Gọi G là trọng tâm của Ω. Khi đó, theo công thức (7.27) ta có
xG =1
m
∫∫∫Ω
xρ(x, y, z)dxdydz =5
16π
∫∫∫Ω
x(x2 + y2)dxdydz
=5
16π
2π∫0
cosφdφ
2∫0
dr
2∫r
r4dz = 0;
yG =1
m
∫∫∫Ω
yρ(x, y, z)dxdydz =5
16π
∫∫∫Ω
y(x2 + y2)dxdydz
=5
16π
2π∫0
sinφdφ
2∫0
dr
2∫r
r4dz = 0.
và
zG =1
m
∫∫∫Ω
zρ(x, y, z)dxdydz =5
16π
∫∫∫Ω
z(x2 + y2)dxdydz
=5
16π
2π∫0
dφ
2∫0
dr
2∫r
r3zdz =5
3.
Vậy trọng tâm G có tọa độ(0, 0,
5
3
).
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 7
Câu hỏi thảo luận
1) Tính tích phân hai lớp, ba lớp và đổi biến trong tích phân hai lớp và ba lớp.
2) Ứng tích phân hai lớp hoặc ba lớp để tính diện tích, tính thể tích, tính khối
lượng và tìm toạ độ trọng tâm của vật thể.
237 Giáo trình Giải tích
Bài tập chương 7
Bài 1. Tính các tích phân sau
1) I =
∫∫D
(x+ y)dxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường thẳng
y = x+ 2, y = x− 1, y = −2x+ 1 và y = −2x+ 4.
2)
∫∫Ω
xy2dxdy, trong đó Ω là miền được giới hạn bởi parabol y2 = 2px và đường
thẳng x =p
2, p > 0.
3)
∫∫Ω
|xy|dxdy, trong đó Ω là hình tròn bán kính a, và tâm là gốc toạ độ.
4)
∫∫Ω
(x2 + y2)dxdy, trong đó Ω là hình bình hành được giới hạn bởi các đường
thẳng: y = x, y = x+ a, y = a, y = 3a, (a > 0).
5)
∫∫x2+y26a2
√x2 + y2dydy.
6)
∫∫D
√1−
x2
a2−y2
b2dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường ellipse
x2
y2+y2
b2= 1.
7)
∫∫D
(x+ y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường cong:
y2 = 2x, x+ y = 4, x+ y = 12.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
∫∫∫B
xy2z3dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt z = xy, y =
x, x = 1 và z = 0.
2)
∫∫∫B
xyzdxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt x2+y2+z2 =
1, x > 0, y > 0, z > 0
238 Giáo trình Giải tích
3)
∫∫∫B
(x2
a2+y2
b2+z2
c2
)dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi mặt
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1.
4)
∫∫∫B
√x2 + y2dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặt:x2+y2 =
z2 và z = 1.
Bài 3.Tính diện tích của miền D được giới hạn bởi các đường cong
1) xy = a2, x+ y =5
2a, (a > 0).
2) (x− y)2 + x2 = a2, (a > 0).
3) xy = a2, xy = 2a2, y = x và y = 2x, (x > 0, y > 0).
4) x2 = ay, x2 = by, x3 = cy2 và x3 = dy2, (0 < a < b, 0 < c < d).
Bài 4.Tính thể tích của miền Ω được giới hạn bởi các mặt:
1) z = x+ y, z = 0, x+ y = 1, x = 0, y = 0.
2) z = x2 + y2, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x, z = 0.
3) z = x2 + y2, z = x+ y.
4) z = xy, x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = 0.
Bài 5.Tính diện tích của phần mặt được xác định là giao của các mặt sau:
1) x2 + y2 = a2, y2 + z2 = a2.
2) x2 + y2 + z2 = a2,x2
a2+y2
b2= 1.
Bài 6. Tính khối lượng của hình cầu bán kính bằng 2 nếu khối lượng riêng tại mỗi
điểm tỉ lệ với bình phương khoảng cách từ điểm đó tới tâm và khối lượng riêng bằng
γ nếu khoảng cách nói trên bằng đơn vị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 7
[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3
(Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
239 Giáo trình Giải tích
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho
sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, ...(2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bản
Giáo dục.
CHƯƠNG 8
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VIII.1. GIỚI THIỆU
Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết
phương trình vi phân thường mà chúng có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.
VIII.2. MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
Trình bày cách giải một số phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân
cấp 2 có hệ số hằng số và cách giải hệ phương trình vi phân.
VIII.3. CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
1. Nắm được các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Khái niệm phương
trình, khái niệm các loại nghiệm.
2. Nhận dạng được và biết cách giải các loại phương trình vi phân cấp 1:
Phương trình tách biến, phương trình vi phân đẳng cấp, phương trình vi phân
tuyến tính, phương trình Becnoulli, phương trình vi phân toàn phần, phương trình
Lagrange, phương trình Clero.
3. Nắm được khái niệm và biết cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp
2 có hệ số là hằng số.
4. Nắm được khái niệm và giải được hệ phương trình vi phân tuyến tính.
VIII.4. NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG
Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết
phương trình vi phân thường, nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.
240
241 Giáo trình Giải tích
1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân
1.1 Khái niệm phương trình vi phân
Khi nghiên cứu các hiện tượng trong vật lý và trong các lĩnh vực khoa học kỹ
thuật, nhiều quy luật được phát hiện nằm trong mối quan hệ (phương trình) giữa
một hàm cần tìm với các đạo hàm của nó, các phương trình như vậy được gọi là
phương trình vi phân. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến số thì phương
trình vi phân được gọi là phương trình vi phân thường, hay nói gọn là phương trình
vi phân. Nếu hàm cần tìm phụ thuộc nhiều biến số thì ta gọi là phương trình đạo
hàm riêng.
Ví dụ. 1) Các phương trình
y sinx+ y′ cosx− 1 = 0 (a)
y′′3 − 7y3 = 1 (b)
y′′′2 − 3y′4 = ex − x+ 5 (c)
là các phương trình vi phân thường.
2) Phương trình
∂2z
∂x2+∂2z
∂y2= 0 (d)
là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
3) Trong chương trình vật lý chúng ta đã biết phương trình của dao động điều
hoà của chất điểm có dạng
x = A sin(ωt+ φ), t ∈ R, (8.1)
trong đó A là biên độ của giao động, ω là tần số góc, φ là pha ban đầu và x là li độ
ở thời điểm t. Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là
x′ = Aω cos(ωt+ φ)
và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là
x′′ = −Aω2 sin(ωt+ φ) (8.2)
Từ (8.1) và (8.2) ta thu được
x′′ = −ω2x. (8.3)
242 Giáo trình Giải tích
Phương trình (8.3) là một phương trình vi phân nó biểu thị quy luật của giao động
điều hoà.
1.1.1 Định nghĩa. Dạng tổng quát của phương trình vi phân là
F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0, (8.4)
trong đó F là một hàm n+1 biến cho trước thoả mãn một số điều kiện về liên tục,
khả vi,...; x là biến số độc lập; y = y(x) là hàm chưa biết cần tìm; y′, y′′, ...y(n) là
các đạo hàm của y.
Cấp cao nhất của đạo hàm của y có mặt trong phương trình vi phân được gọi
là cấp của phương trình vi phân.
1.1.2 Ví dụ. 1) y′′ + xy′ + y = ex là một phương trình vi phân cấp 2.
2) y′ + y = sinx là phương trình vi phân cấp 1.
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy
1.2.1 Định nghĩa. Nghiệm của phương trình vi phân (8.4) là hàm y = y(x) có các
đạo hàm y′, y′′, ...y(n) trên miền X ⊂ R thoả mãn đẳng thức
F (x, y(x), y′(x), ..., y(n)(x)) = 0, với mọi x ∈ X.
Đồ thị của nghiệm của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân của
phương trình.
Giải phương trình vi phân là tìm tất cả nghiệm của phương trình đã cho. Việc
giải các phương trình vi phân bao giờ cũng là quá trình thực hiện một số phép lấy
tích phân nên ta còn gọi là tích phân phương trình vi phân.
1.2.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm khoảng (a, b) ⊂ R và
nghiệm y = y(x) xác định trên khoảng (a, b) của phương trình (8.4) thỏa mãn điều
kiện y(x0) = y0 với điểm x0 ∈ (a, b) và y0 cho trước. Điều kiện y(x0) = y0 được gọi
là điều kiện đầu.
243 Giáo trình Giải tích
2 Phương trình vi phân cấp một
2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản
2.1.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng tổng
quát
F (x, y, y′) = 0 (8.5)
trong đó F là hàm ba biến số xác định trên miền Ω ⊂ R3, y = y(x) là hàm cần tìm,
x là biến số độc lập và y′ là đạo hàm của hàm y.
Nghiệm của phương trình (8.5) là hàm y khả vi trên khoảng (a, b) ⊂ R nào đó
thoả mãn đẳng thức
F (x, y(x), y′(x)) = 0,
với mọi x ∈ (a, b) và (x, y(x), y′(x)) ∈ Ω.
Nếu phương trình (8.5) có thể viết dưới dạng
y′ =dy
dx= f(x, y), (8.6)
trong đó f là hàm hai biến xác định trên miền D ⊂ R2 thì ta gọi (8.6) là phương
trình vi phân đã giải ra được đối với đạo hàm.
2.1.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 là
bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình vi phân (8.6) thoả mãn y(x0) = y0,
với (x0, y0) là một điểm cho trước thuộc mặt phẳng R2. Điều kiện y(x0) = y0 được
gọi là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân.
Về mặt hình học thì bài toán Cauchy là tìm đường cong tích phân của phương
trình đi qua điểm (x0, y0). Trong các trường hợp cụ thể bài toán Cauchy có thể có
nghiệm hoặc vô nghiệm.
Định lý cơ bản sau đây trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy. Chúng ta bỏ qua chứng minh của định lý này, nếu quan tam bạn đọc có
thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo.
2.1.3 Định lý. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân
y′ = f(x, y). (8.6)
244 Giáo trình Giải tích
Nếu trên hình chữ nhật
D = (x, y) : xo − a ≤ x ≤ xo + a, yo − b ≤ y ≤ yo + b
hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau đây
1) f(x, y) liên tục (và do đó tồn tại số M để |f(x, y)| ≤M với mọi (x, y) ∈ D);
2) f(x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến y
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ N |y1 − y2|
với mọi (x, y1) ∈ D, (x, y2) ∈ D,N = const, thì trên đoạn [xo − h, xo + h] với
h = mina, bM phương trình vi phân (8.6) có nghiệm duy nhất y = y(x) thỏa mãn
điều kiện đầu y(x0) = y0.
2.1.4 Các loại nghiệm. 1) Ta gọi mỗi nghiệm duy nhất y = y(x) của phương
trình vi phân (8.6), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(xo) = yo là một nghiệm riêng
của phương trình (8.6).
2) Hàm số y = y(x,C) phụ thuộc một tham số C được gọi là nghiệm tổng quát
của phương trình vi phân (8.6) nếu nó thỏa mãn các điều kiện
a) y(x,C) thỏa mãn phương trình (8.6) với mọi giá trị C ∈ R.
b) Với điều kiện ban đầu bất kỳ cho trước y(xo) = yo với (xo, yo) ∈ G luôn
tìm được giá trị C = Co sao cho nghiệm y = y(x,Co) thỏa mãn điều kiện ban đầu
này.
3) Ta gọi nghiệm của phương trình (8.6) là một nghiệm kỳ dị nếu tại mỗi điểm
thuộc nó tính duy nhất nghiệm bị vi phạm.
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, nhiều khi ta đi đến một hệ
thức dạng
Φ(x, y, C) = 0. (8.7)
Ta gọi hệ thức (8.7) là tích phân tổng quát của phương trình vi phân (8.6).
Ta nói giải hay tích phân một phương trình vi phân có nghĩa là
a) Tìm nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát (nếu không biết điều kiện
ban đầu) và tìm mọi nghiệm kỳ dị của phương trình, hoặc
b) Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu
cho trước.
Ví dụ . Xét phương trìnhdy
dx= −y
x. (8.8)
245 Giáo trình Giải tích
Ta có (8.8) khi và chỉ khi xdy + ydx = 0 khi và chỉ khi d(xy) = 0 khi và chỉ khi
xy = C với C là hằng số tùy ý.
Muốn tìm nghiệm riêng của phương trình (8.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(2) = 1 ta chỉ việc thay xo = 2, yo = 1 vào công thức nghiệm tổng quát ta được
1 = C2, ta tìm được C0 = 2. Vậy nghiệm riêng phải tìm là y =
2
x.
2.1.5 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân. Cho phương trình vi phân
y′ = f(x, y) (8.6) trong đó f(x, y) xác định trong một miền mở G nào đó trong
mặt phẳng. Giả sử rằng y = y(x,C) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
(8.6). Khi đó tại mỗi điểm P (x, y) ∈ G phương trình vi phân (8.6) cho ta hệ số góc
của tiếp tuyến với đường cong tích phân tại điểm đó. Vì vậy, phương trình vi phân
(8.6) cho ta tập hợp mọi hướng của tiếp tuyến. Ta nói rằng phương trình vi phân
(8.6) xác định một hướng trường trên G. Khi đó bài toán giải phương trình vi phân
(8.6) là: Tìm các đường cong sao cho tiếp tuyến của mỗi đường tại mỗi điểm của nó
trùng với hướng trường tại điểm đó.
2.1.6 Nhận xét. 1) Như vậy, tích phân tổng quát hay tìm nghiệm tổng quát của
một phương trình vi phân là tìm ra họ các đường cong phẳng phụ thuộc một hằng
số và thỏa mãn phương trình vi phân đã cho. Còn tìm nghiệm riêng của một phương
trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(xo) = yo đã cho là chỉ ra một đường
cong thuộc họ các đường cong phẳng tìm được mà đường cong đó đi qua điểm có
tọa độ (xo, yo).
2) Định lý 2.1.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm của một lớp các phương trình vi
phân, song không phải tất cả các phương trình vi phân, nghiệm của nó đều có thể
biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích phân của
nó. Chẳng hạn người ta chứng minh được nghiệm của phương trình
y′ = y2 − x
không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích
phân của nó. Trong một số trường hợp đặc biệt của hàm f(x, y) thì chúng ta có thể
giải được phương trình (8.6), tức là có thể tìm được nghiệm của nó sau hữu hạn
phép lấy tích phân thích hợp.
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
246 Giáo trình Giải tích
Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số lớp phương trình vi phân cấp một quen
thuộc và cách giải của nó.
2.2 Phương trình có biến số phân ly
2.2.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân có dạng
M(x)dx+N(y)dy = 0 (8.9)
trong đó M(x) và N(y) là các hàm số liên tục trên khoảng nào đó, được gọi là
phương trình vi phân biến số phân ly (hay phương trình tách biến).
2.2.2 Cách giải. Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (8.9) thì
M(x)d(x) = −N(y(x))dy(x).
Lấy tích phân hai vế ta nhận được∫M(x)dx = −
∫N(y(x))dy(x) = −
∫N(y)dy + C,
hay ∫M(x)dx+
∫N(y)dy = C
là tích phân tổng quát của (8.9).
2.2.3 Ví dụ. Giải phương trình vi phân
xdx
1 + x2+
ydy
1 + y2= 0.
Giải. Lấy tích phân hai vế ∫xdx
1 + x2+
∫ydy
1 + y2= C ′,
1
2ln(1 + x2) +
1
2ln(1 + y2) = C ′,
ta thu được tích phân tổng quát
ln(1 + x2)(1 + y2) = C với C = 2C ′.
247 Giáo trình Giải tích
2.2.4 Nhận xét. Phương trình có dạng
M(x)N(y)dx+ P (x)Q(y)dy = 0, (8.9′)
trong đó M(x), N(y), P (x), Q(y) là các hàm liên tục trên khoảng nào đó, có thể đưa
về phương trình biến số phân ly.
Tại các điểm có N(y)P (x) = 0 chia hai vế phương trình cho N(y)P (x) ta nhận
đượcM(x)
P (x)dx+
Q(y)
N(y)dy = 0
là phương trình biến số phân ly. Tích phân hai vế ta thu được tích phân tổng quát.
Nếu y = b là nghiệm của phương trình N(y) = 0, thì y = b cũng là nghiệm của
phường trình vi phân (8.9’).
2.2.5 Ví dụ. Giải phương trình vi phân
x√1− y2dx+ y
√1− x2dy = 0.
Giải. Miền xác định
G = (x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1.
Với |x| < 1, |y| < 1 chia hai vế phương trình cho√1− x2
√1− y2 ta nhận được
xdx√1− x2
+ydy√1− y2
= 0.
Tích phân hai vế phương trình ta có tích phân tổng quát là
√1− x2 +
√1− y2 = C.
Hiển nhiên các đường y = ±1 với −1 < x < 1 là nghiệm kỳ dị của của phương trình
đã cho.
2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp
2.3.1 Định nghĩa. Cho G ⊂ R2 và hàm f : G → R. Hàm f được gọi là đẳng cấp
(hay thuần nhất) bậc m (m ∈ N) nếu
f(tx, ty) = tmf(x, y), với mọi t > 0 và (tx, ty) ∈ G.
248 Giáo trình Giải tích
Phương trình vi phân có dạng
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (8.10)
được gọi là phương trình vi phân đẳng cấp (hay phương trình vi phân thuần nhất)
nếu các hàm M(x, y), N(x, y) là hàm đẳng cấp (thuần nhất) bậc m, m ∈ N.
2.3.2 Cách giải. Viết lại phương trình (8.10) dưới dạng
y′ =dy
dx= −M(x, y)
N(x, y)= −
M(x, x yx)
N(x, x yx)
= −xmM(1, y
x)
xmN(1, yx)= −
M(1, yx)
N(1, yx):= f
(yx
)với x = 0. Như vậy phương trình đẳng cấp luôn có thể biến đổi về dạng
dy
dx= f
(yx
). (8.11)
Đặt u =y
x. Ta có y = ux và
dy
dx= u+ x
du
dx.
Thay vào phương trình (8.11) ta nhận được
xdu
dx= f(u)− u.
Với f(u)− u = 0, phương trình viết lại dưới dạng biến số phân ly như sau
du
f(u)− u=dx
x.
Tích phân hai vế phương trình ta được tích phân tổng quát
ln |x| =∫
du
f(u)− u+ ln |C|, (C = 0).
Thay u =y
xta nhận được tích phân tổng quát của phương trình ban đầu.
Nếu u = a là nghiệm của phương trình f(u)− u = 0, thì đường thẳng y = ax là
nghiệm của phương trình (8.10).
2.3.3 Ví dụ. Giải phương trình vi phân
(x2 + y2)dx+ xydy = 0.
249 Giáo trình Giải tích
Giải. Đây là phương trình đẳng cấp với các hàm M(x, y) = x2+ y2 và N(x, y) = xy
là các hàm đẳng cấp bậc 2. Với x = 0 chia hai vế cho x2 ta nhận được
(1 +y2
x2)dx+
y
xdy = 0.
Đặt y = xu, suy ra dy = xdu+ udx, thay vào phương trình trên ta có
(1 + u2)dx+ u(xdu+ udx) = 0.
Phương trình tương đương với
dx
x= − udu
1 + 2u2.
Tích phân hai vế ta có
ln |x| = − ln(1 + 2u2)
4+ ln |C| (C = 0).
Dễ dàng suy ra
x =C
4√1 + 2u2
Thay u =y
xta nhận được tích phân tổng quát của phương trình là
x2(x2 + 2y2) = C4.
2.3.4 Nhận xét. Xét phương trình có dạng
dy
dx= f
(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2
)(8.12)
trong đó a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈ R. Phương trình dạng này có thể biến đổi về phương
trình đẳng cấp hoặc biến số phân ly như sau.
1) Nếu ∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
∣∣∣∣∣ = 0.
thì đặt x = u+ α
y = v + β,
trong đó α và β là nghiệm của hệ phương trìnhαa1 + b1β + c1 = 0
αa2 + b2β + c2 = 0.
250 Giáo trình Giải tích
Khi đó, phương trình (8.12) có dạng
dy
dx=du
dv= f
(a1u+ b1v
a2u+ b2v
)là một phương trình đẳng cấp.
2) Nếu ∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
∣∣∣∣∣ = 0.
thì a1 = αa2 và b1 = αb2 với α là một hằng số nào đó. Do đó phương trình (8.12)
trở thànhdy
dx= f
( a1x+ b1y + c1α(a1x+ b1y) + c2
).
Đặt u = a1x+ b1y ta có
du
dx= a1 + b1
dy
dx= a1 + b1f
( u+ c1αu+ c2
)= g(u).
Ta nhận được một phương trình biến số phân ly.
2.3.5 Ví dụ. Giải phương trình vi phân
dy
dx= −2x− 4y + 6
x+ y − 3.
Giải. Từ hệ phương trình 2α− 4β + 6 = 0
α + β − 3 = 0
suy ra α = 1 và β = 2. Đặt x = u+ 1
y = v + 2.
Phương trình ban đầu trở thành
dy
dx=du
dv= −2u− 4v
u+ v.
Đặt u = vz, suy ra
du
dv= z + v
dz
dv= −2
z − 2
z + 1.
Phương trình được viết lại dưới dạng
vdz
dv= −(z − 1)(z + 4)
z + 1.
251 Giáo trình Giải tích
Nếu (z − 1)(z + 4) = 0 thì
dv
v+
(z + 1)dz
(z − 1)(z + 4)= 0,
haydv
v+
1
5
( 2dz
z − 1+
3dz
z + 4
)= 0.
Lấy tích phân hai vế ta thu được
ln |v|+ 1
5
(ln |z − 1|2 + ln |z + 4|3
)= lnC1.
Thay z =u
vta có
ln |u− v|2|u+ 4v|3 = lnC2.
Thay u = x − 1 và v = y − 2 ta nhận được tích phân tổng quát của phương trình
ban đầu là
ln(x− y + 1)2|x+ 4y − 9|3 = C.
2.4 Phương trình tuyến tính
2.4.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân dạng
y′ + p(x)y = f(x) (8.13)
trong đó p(x) và f(x) là những hàm liên tục theo biến x trên khoảng (a, b) được gọi
là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Nếu f(x) = 0 trên (a, b), thì ta gọi phương trình
y′ + p(x)y = 0. (8.14)
là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương trình (8.13).
Nếu f(x) = 0 trên (a, b), thì phương trình (8.13) được gọi là phương trình vi
phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1.
2.4.2 Nhận xét. Nếu y1 là một nghiệm khác 0 của phương trình (8.14) thì y = Cy1
là nghiệm tổng quát của (8.14) với C là hằng số tùy ý.
252 Giáo trình Giải tích
2.4.3 Cách giải. Trước hết ta giải phương trình thuần nhất (8.14). Phương trình
y′ + p(x)y = 0 luôn có nghiệm tầm thường y = 0. Với y = 0 ta có
y′
y= −p(x).
Tích phân hai vế ta có ln |y| = −∫p(x)dx+ ln |C| với C = 0. Suy ra nghiệm tổng
quát của (8.14) là
y = Ce−
∫p(x)dx
.
Để tìm nghiệm tổng quát của (8.13) ta dùng phương pháp sau của Bernouli: Đó là
tìm nghiệm của (8.13) dưới dạng y = u(x)v(x). Thay y′ = u′v+uv′ vào (8.13) ta có
u(v′ + p(x)v
)+ u′v = f(x).
Tiếp theo ta xác định v sao cho v′ + p(x)v = 0. Đây là phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất nên
v = e−
∫p(x)dx
.
Khi đó hàm u thỏa mãn phương trình
du =f(x)
v(x)dx.
Suy ra
u =
∫f(x)
v(x)dx =
∫f(x)e
∫p(x)dx
dx+ C.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (8.13) là
y = e−
∫p(x)dx(∫
f(x)e
∫p(x)dx
dx+ C)
(8.15)
2.4.4 Ví dụ. Giải phương trình
y′ +y
x= x2.
Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình là
y = e−
∫dx
x(∫
x2e
∫dx
x dx+ C)
= e− ln |x|(∫
x2eln |x|dx+ C)=
1
x
(x44
+ C).
253 Giáo trình Giải tích
2.5 Phương trình Bernoulli
2.5.1 Định nghĩa. Phương trình dạng
y′ + p(x)y = yαf(x) (8.16)
trong đó p(x), f(x) à các hàm số liên tục của biến x trên khoảng (a, b) và α là số
thực bất kỳ, được gọi là phương trình Bernoulli.
2.5.2 Cách giải. Nếu α = 0 hoặc α = 1 thì (8.16) là phương trình vi phân tuyến
tính cấp một.
Nếu α = 0 và α = 1 thì bằng phép đổi biến z = y1−α ta sẽ đưa phương trình
(8.16) về phương trình vi phân tuyến tính cấp một theo z. Thật vậy, từ cách đặt
z = y1−α ta có
z′ = (1− α)y−αy′.
Chia hai vế của (8.16) cho yα (phương trình luôn có nghiệm tầm thường là y = 0)
ta có
y′y−α + p(x)y1−α = f(x)
hay
z′ + (1− α)p(x)z = (1− α)f(x).
Ta nhận được một phương trình tuyến tính cấp một đã biết cách giải ở trên. Giải
phương trình này theo z rồi thay z = y1−α ta được nghiệm tổng quát của phương
trình Bernoulli (8.16).
2.5.3 Ví dụ. Giải phương tình
y′ + xy = x3y3.
Giải. Đây là phương trình Bernoulli với α = 3. Rõ ràng phương trình có nghiệm
y = 0. Để tìm nghiệm y = 0 ta chia hai vế cho y3 nhận được
y−3y′ + xy−2 = x3.
Đặt z = y−2 ta có z′ = −2y−3y′. Thay vào phương trình trên ta thu được
z′ − 2xz = −2x3.
254 Giáo trình Giải tích
Nghiệm tổng quát của phương trình
z = y−2 = e
∫2xdx(∫
−2x3e−
∫2xdx
dx+ C)
= ex2(− 2
∫x3e−x2
dx+ C)= x2 + 1 + Cex
2
,
hay y = ±1
√x2 + 1 + Cex2
.
2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân
1. Phương trình vi phân toàn phần
2.6.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân dạng
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (8.17)
trong đó P,Q và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trên miền D ⊂ R2, được gọi
là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm U(x, y) trên D sao cho
dU = P (x, y)dx+Q(x, y)dy.
2.6.2 Cách giải. Vì tồn tại hàm U(x, y) trên D sao cho
dU = P (x, y)dx+Q(x, y)dy.
Do đó tích phân tổng quát phương trình (8.17) là
U(x, y) = C.
Định lý sau cho ta một cách nhận biết phương trình vi phân toàn phần.
2.6.3 Định lý. Điều kiện cần và đủ để phương trình (8.17) là phương trình vi phân
toàn phần là∂P
∂y=∂Q
∂x.
2.6.4 Nhận xét. 1) Để tìm hàm U(x, y) có nhiều cách, ở đây chúng ta trình bày
cách tìm như sau. Ta có
∂U(x, y)
∂x= P (x, y),
∂U(x, y)
∂y= Q(x, y).
255 Giáo trình Giải tích
Từ phương trình thứ nhất suy ra
U(x, y) =
∫P (x, y)dx+ C(y), (8.18)
trong đó C(y) là hàm khả vi theo y cần tìm. Từ phương trình còn lại suy ra
C ′(y) =∂U(x, y)
∂y−∂( ∫
P (x, y)dx)
∂y= Q(x, y)−
∫∂P (x, y)
∂ydx
= Q(x, y)−∫∂Q(x, y)
∂xdx = Q(x, y)−Q(x, y) + ϕ(y).
Ta thu được C(y) =
∫ϕ(y)dy. Thay vào (8.18) ta có được tích phân tổng quát của
phương trình.
2) Tích phân tổng quát của phương trình vi phân toàn phần có thể được tính
theo một trong 2 công thức sau∫ x
xo
P (x, y)dx+
∫ y
yo
Q(xo, y)dy = C,
∫ x
xo
P (x, yo)dx+
∫ y
yo
Q(x, y)dy = C,
với (x0, y0) ∈ D.
2.6.5 Ví dụ. Giải phương trình
(2xy + 3y2)dx+ (x2 + 6xy − 3y2)dy = 0.
Ta có P (x, y) = 2xy + 3y2 và Q(x, y) = x2 + 6xy − 3y2. Dễ thấy
∂P
∂y=∂Q
∂x= 2x+ 6y với moi (x, y) ∈ R2.
Như vậy vế trái của phương trình là một vi phân toàn phần của hàm U(x, y) nào
đó. Suy ra
dU(x, y) = (2xy + 3y2)dx+ (x2 + 6xy − 3y2)dy.
Khi đó ∂U(x, y)
x= 2xy + 3y2
∂U(x, y)
y= x2 + 6xy − 3y2.
Từ phương trình thứ nhất suy ra
U(x, y) =
∫(2xy + 3y2)dx = x2y + 3xy2 + C(y),
256 Giáo trình Giải tích
trong đó C(y) là hàm khả vi cần tìm. Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo y ta
nhận được
C ′(y) =∂U(x, y)
y− (x2 + 6xy) = x2 + 6xy − 3y2 − (x2 + 6xy) = −3y2.
Do đó
C(y) =
∫(−3y2)dy = −y3.
Ta thu được
U(x, y) = x2y + 3xy2 − y3.
Vậy tích phân tổng quát của phương trình là
x2y + 3xy2 − y3 = C.
2. Thừa số tích phân
2.6.6 Định nghĩa. Trong trường hợp, phương trình (8.17)
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0
không phải là phương trình vi phân toàn phần nhưng tồn tại hàm µ(x, y) sao cho
µ(x, y)P (x, y)dx+ µ(x, y)Q(x, y)dy = 0
là phương trình vi phân toàn phần, thì ta gọi µ(x, y) là thừa số tích phân của phương
trình (8.17).
Định lý sau cho ta một cách nhận biết một phương trình vi phân có thừa số tích
phân.
2.6.7 Định lý. Nếu phương trình (8.17) có tích phân tổng quát U(x, y) = C, trong
đó U(x, y) thuộc lớp C2, thì phương trình (8.17) có thừa số tích phân.
2.6.8 Cách tìm thừa số tích phân. Việc tìm thừa số tích phân là không dễ dàng
trong trường hợp tổng quát. Từ điều kiện∂µP
∂y=∂µQ
∂xta suy ra
Q∂µ
∂x− P
∂µ
∂y= µ
(∂P∂y
− ∂Q
∂x
).
Chia hai vế cho µ ta nhận được
Q∂(lnµ)
∂x− P
∂(lnµ)
∂y=(∂P∂y
− ∂Q
∂x
)(8.19)
257 Giáo trình Giải tích
(có thể xem µ > 0 do có thể thay µ bởi −µ). Việc giải phương trình (8.19) nói chung
là phức tạp vì đây là phương trình đạo hàm riêng. Trong các trường hợp sau, ta tìm
được thừa số tích phân.
1) Nếu µ chỉ phụ thuộc vào x, tức là µ = µ(x) thì từ (8.19) ta có phương trình
d lnµ
dx=
∂P∂y
− ∂Q∂x
Q.
Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vào x. Ta nhận
được
µ(x) = e
∫ ∂P∂y
− ∂Q∂x
Qdx.
2) Nếu µ chỉ phụ thuộc vào y, tức là µ = µ(y) thì từ (8.19) ta có phương trình
d lnµ
dy= −
∂P∂y
− ∂Q∂x
P.
Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vào y. Ta nhận
được
µ(y) = e−
∫ ∂P∂y
− ∂Q∂x
Qdy.
2.6.9 Ví dụ. Giải phương trình
(x2 − y)dx+ (x2y2 + x)dy = 0.
Ta có P (x, y) = x2 − y, Q(x, y) = x2y2 + x và
∂P
∂y= −1,
∂Q
∂x= 2xy2 + 1.
Do đó∂P∂y
− ∂Q∂x
Q=
−2xy2 − 2
x2y2 + x=
−2
x.
Như vậy thừa số tích phân µ(x, y) chỉ phụ thuộc vào x và
µ(x) = e−2
∫dx
x = e−2 ln |x| =1
x2.
Nhân hai vế với phương trình ban đầu với µ(x) =1
x2ta được(
1− y
x2
)dx+
(y2 +
1
x
)dy = 0
là phương trình vi phân toàn phần. Tích phân phương trình này ta được tích phân
tổng quát
3x3 + xy3 + 3y − Cx = 0.
258 Giáo trình Giải tích
2.7 Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut
Trong mục này chúng ta nghiên cứu hai loại phương trình vi phân cấp một chưa
giải ra được đối với đạo hàm đó là phương trình Lagrange và phương trình Clairaut.
2.7.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân có dạng
y = xφ(y′)+ ψ
(y′)
(8.20)
trong đó φ, ψ là các hàm cho trước thỏa mãn các điều kiện liên tục, khả vi nào đó,
được gọi là phương trình Lagrange. Đặc biệt nếu φ(y′)= y′ thì phương trình
y = xy′ + ψ(y′)
(8.21)
được gọi là phương trình Clairaut.
2.7.2 Cách giải. Đặt y′ = p. Ta có
y = φ(p)x+ ψ(p) (8.22)
Do đẳng thức dy = pdx ta có
φ(p)dx+(φ′(p)x+ ψ′(p)
)dp = pdx
hay (φ(p)− p
)dx+
(φ′(p)x+ ψ′(p)
)dp = 0.
1) Trường hợp φ(p) − p = 0 với mọi p, tức là phương trình trở thành phương
trình Clairaut. Khi đó φ(p) = p, suy ra φ′(p) = 1. Do đó(x+ ψ′(p)
)dp = 0.
Suy ra dp = 0 hoặc x = −ψ′(p). Với dp = 0 hay p = C. Thay vào phương trình
(8.20) ta được tích phân tổng quát của phương trình là
y = Cx+ ψ(C).
Với x = −ψ′(p) thay vào (8.20) ta được nghiệm tổng quát của phương trình cho
dưới dạng tham số x = −ψ′(p)
y = −pψ′(p) + ψ(p).
259 Giáo trình Giải tích
2) Trường hợp φ(p)− p = 0 ta có
dx
dp+
φ′(p)
φ(p)− px =
ψ′(p)
p− φ(p). (8.23)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một đối với x. Giải phương trình này
ta nhận được nghiệm có dạng
x = A(p)C +B(p)
trong đó A(p), B(p) là các hàm khả vi theo biến p. Thay vào biểu thức y = φ(p)x+
ψ(p) ta có
y = A1(p)C +B1(p).
Vậy đường cong tích phân tổng quát của phương trình cho dưới dạng tham sốx = A(p)C +B(p)
y = A1(p)C +B1(p)).
Ngoài ra nếu φ(p) = p có nghiệm p0 thì đường thẳng y = p0x+ψ(p0) cũng là nghiệm
của phương trình.
2.7.3 Ví dụ. Giải phương trình
y = xy′2+ y′
2.
Đặt y′ = p ta có
dy = d(xp2 + p2) = p2dx+ x2pdp+ 2pdp = pdx
hay
(p2 − p)dx+ 2p(x+ 1)dp = 0.
Giả sử p2 − p = 0. Khi đó, ta có
dx
dp+
2
p− 1x =
2
p− 1.
Từ công thức nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp một ta nhận được
x =C
(p− 1)2− 1.
Thay vào đẳng thức y = xp2 + p2 ta có
y =Cp2
(p− 1)2.
260 Giáo trình Giải tích
Vậy đường cong tích phân tổng quát có dạng tham sốx =
C
(p− 1)2− 1
y =Cp2
(p− 1)2.
Ngoài ra với p = 0 ta nhận được nghiệm y = 0; với p = 1 ta nhận được nghiệm
y = x+ 1.
3 Phương trình vi phân cấp hai
Trong mục này chúng ta trình bày một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân
cấp hai. Một cách tự nhiên những vấn đề này có thể trình bày cho trường hợp tổng
quát cấp n > 2, tuy nhiên để tiện trong việc trình bày và phù hợp với khả năng của
đối tượng người học chúng tôi chỉ trình bày cho n = 2.
3.1 Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai
3.1.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng tổng
quát
F (x, y, y′, y′′) = 0, (8.24)
trong đó F = F (x1, x2, x3, x4) là một hàm xác định trong miền Ω ⊂ R4, hay có
dạng
y′′ = f(x, y, y′), (8.25)
trong đó f = f(x1, x2, x3) là một hàm xác định trong miền D ⊂ R3.
Dạng (8.25) được gọi là phương trình đã giải ra được đối với đạo hàm cấp 2.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 dạng (8.24) hoặc dạng (8.25) là hàm số
y = y(x) xác định, liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên một khoảng (α, β) nào đó
sao cho khi thay y = y(x) vào (8.24) hoặc (8.25) ta được một đồng nhất thức trên
khoảng (α, β).
3.1.2 Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương
trình (8.25) thỏa mãn các điều kiện y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 với (x0, y0, y
′0) ∈ D.
261 Giáo trình Giải tích
Các điều kiện y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 và (x0, y0, y
′0) ∈ D được gọi là điều kiện
đầu của phương trình.
Bài toán Cauchy có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm. Chúng ta công nhận định lý
sau về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (8.25).
3.1.3 Định lý. (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp 2
y′′ = f(x, y, y′) (8.26)
với điều kiện ban đầu
y(xo) = yo, y′(xo) = y′o. (8.27)
Nếu trong hình hộp D = (x, y, y′) ∈ R3 : |x − xo| ≤ a, |y − yo| ≤ b (trong đó
a, b là những số dương) hàm f thỏa mãn 2 điều kiện:
1) f(x, y, y′) liên tục theo tất cả các biến trên miền D (vì thế tồn tại số M > 0
sao cho |f(x, y, y′)| ≤M với mọi (x, y, y′) ∈ D);
2) hàm số f(x, y, y′) thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với các biến y, y′, nghĩa là
|f(x, y2, y′2)− f(x, y1, y′1)| ≤ L(|y2 − y1|+ y′2 − y′1|)
trong đó (x, y1, y′1), (x, y2, y
′2) ∈ D và L là hằng số dương, thì tồn tại duy nhất nghiệm
y = y(x) thỏa mãn điều kiện đầu (8.27), xác định và liên tục cùng với đạo hàm của
nó đến cấp 2 trong đoạn [xo−h, xo+h] với h = min
a,
b
maxM, |y|, . . . , |y(n−1)|
.
3.1.4 Định nghĩa. Nghiệm tổng quát của phương trình (8.26) là hàm số y =
φ(x,C1, C2) trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện.
1) φ(x,C1, C2) là nghiệm của phương trình (8.26) với mọi C1, C2.
2) Với mỗi (x0, y0, y′0) ∈ D mà tại đó điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được
thỏa mãn, tồn tại C01 , C
02 sao cho y = y(x) = φ(x,C0
1 , C02) thảo mãn điều kiện đầu
y(x0) = y0, y′(x0) = y′0.
Nếu nghiệm tổng quát được cho dưới dạng hàm ẩn φ(x, y, C1, C2) = 0, thì ta
gọi nó là tích phân tổng quát của phương trình (8.26).
Nghiệm duy nhất y = y(x,C01 , C
02) hay φ(x, y, C0
1 , C02) = 0 của phương trình vi
phân (8.26), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 được gọi là một
nghiệm riêng hay (tích phân riêng) của phương trình (8.26).
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
262 Giáo trình Giải tích
3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
3.2.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có
dạng
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (8.28)
trong đó p(x), q(x), và f(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b).
Nếu f(x) = 0 thì phương trình
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (8.29)
được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (8.28). Rõ ràng
phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường y = 0.
Nếu f(x) ≡ 0, thì phương trình (8.28) được gọi là phương trình không thuần
nhất.
Trong phần tiếp theo ta nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai thuần nhất.
3.2.2 Định lý. Nếu y1(x) và y2(x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình
(8.29) thì hàm
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
với C1, C2 là các hằng số tùy ý, cũng là nghiệm của phương trình (8.29).
Chứng minh. Ta có y′(x) = C1y′1(x) + C2y
′2(x) và y′′x) = C1y
′′1(x) + C2y
′′2(x). Thay
y′(x) và y′′(x) vào (8.29), nhờ y1(x) và y2(x) là nghiệm của (8.29) ta nhận được(C1y
′′1(x) + C2y
′′2(x)
)+ p(x)
(C1y
′1(x) + C2y
′2(x)
)+ q(x)
(C1y1(x) + C2y2(x)
)= C1
(y′′1(x) + p(x)y′1(x) + q(x)y1(x)
)+C2
(y′′2(x) + p(x)y′2(x) + q(x)y2(x)
)= 0
với mọi x ∈ (a, b). Vì vậy y(x) là nghiệm của (8.29).
3.2.3 Định nghĩa. Hai hàm y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên (a, b)
nếu từ đẳng thức
α1y1(x) + α2y2(x) = 0, với mọi x ∈ (a, b)
suy ra α1 = α2 = 0.
Hai hàm y1(x), y2(x) không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
263 Giáo trình Giải tích
3.2.4 Ví dụ. 1) Các hàm eαx, eβx với α = β là độc lập tuyến tính trên R.
2) Các hàm sinαx và cosαx độc lập tuyến tính trên R.
3.2.5 Định nghĩa. Một hệ hai nghiệm y1(x), y2(x) của phương trình (8.29) độc
lập tuyến tính trên (a, b) được gọi là hệ nghiệm cơ sở của phương trình đó.
3.2.6 Định lý. Cho y1(x) và y2(x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình
(8.29). Khi đó,
1) y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính trên (a, b) khi và chỉ khi∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)
y′1(x) y′2(x)
∣∣∣∣∣ = 0, với mọi x ∈ (a, b).
2) Nếu y1(x), y2(x) là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì nghiệm tổng quát của
phương trình đó là
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),
với C1, C2 là hằng số tùy ý.
Chứng minh. 1) Điều kiện cần. Giả sử y1(x), y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính
trên (a, b). Đặt
A(x) =
[y1(x) y2(x)
y′1(x) y′2(x)
].
Ta chứng minh detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b). Giả sử tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho
detA(x0) = 0. Khi đó hệ phương trìnhα1y1(x0) + α2y2(x0) = 0
α1y′1(x0) + α2y
′2(x0) = 0
.
có nghiệm không tầm thường, tức là tồn tại α1, α2 không đồng thời bằng không
là nghiệm của hệ đó. Theo Định lý 3.2.2 ta có y(x) = α1y1(x) + α2y2(x) cũng là
nghiệm của phương trình (8.29) thoả mãn điều kiện đầu y(x0) = 0 và y′(x0) = 0.
Bởi vì y = 0 cũng là nghiệm (tầm thường) của (8.29) nên theo định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm ta có
y(x) = α1y1(x) + α2y2(x) = 0, với mọi x ∈ (a, b).
Điều này mâu thuẫn với sự độc lập tuyến tính của y1(x), y2(x) trên (a, b). Do đó
detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).
264 Giáo trình Giải tích
Điều kiện đủ. Giả sử detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b). Nếu y1(x) và y2(x) phụ
thuộc tuyến tính thì tồn tại C sao cho y1(x) = Cy2(x) với mọi x ∈ (a, b). Khi đó
detA(x) =
∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)
y′1(x) y′2(x)
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣y1(x) Cy1(x)
y′1(x) Cy′1(x)
∣∣∣∣∣ = 0
với mọi x ∈ (a, b). Mâu thuẫn với detA(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).
2) Nếu y1(x) và y2(x), x ∈ (a, b) là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì từ khẳng định
a) của Định lý 3.2.6 ta suy ra
detA(x) =
∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)
y′1(x) y′2(x)
∣∣∣∣∣ = 0
với mọi x ∈ (a, b). Theo Định lý 3.2.2 thì
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
là nghiệm của (8.29) với mọi hằng số C1, C2. Giả sử u(x) là một nghiệm tùy ý của
(8.29), ta cần chỉ ra tồn tại C01 , C
02 sao cho
u(x) = C01y1(x) + C0
2y2(x).
Thật vậy, lấy x0 ∈ (a, b), đặt u(x0) = u0 và u′(x0) = u′0. Khi đó, từ detA(x0) = 0
suy ra hệ phương trình tuyến tínhC1y1(x0) + C2y2(x0) = u0
C1y′1(x0) + C2y
′2(x0) = u′0.
có duy nhất nghiệm C01 , C
02 . Do đó nghiệm y(x) = C0
1y1(x)+C02y2(x) thỏa mãn điều
kiện đầu y(x0) = u0 và y′(x0) = u′0. Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm thì
y(x) = C01y1(x) + C0
2y2(x)
phải trùng với nghiệm u(x), tức là u(x) = C01y1(x) + C0
2y2(x).
Định lý sau mô tả cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất
y′′ + p(x)y′ + q(x) = f(x).
3.2.7 Định lý. Nghiệm tổng quát của phương trình (8.28) là tổng của một nghiệm
riêng của nó với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (8.29).
265 Giáo trình Giải tích
Chứng minh. Giả sử y∗ là nghiệm riêng của (8.28) và y = C1y1 + C2y2 là nghiệm
tổng quát của (8.29), trong đó y1, y2 là hệ nghiệm cơ sở của (8.29). Đặt
y = y + y∗.
Khi đó dễ dàng kiểm tra được y là nghiệm của phương trình (8.28). Ta còn phải
chứng minh y là nghiệm tổng quát. Thật vậy, giả sử y0 là một nghiệm tùy ý nào
đó của phương trình không thuần nhất (8.28). Khi đó, vì y∗ và y0 là nghiệm của
phương trình (8.28) nên ta có
y′′0 + p(x)y′0 + q(x)y0 = f(x)
và
y∗′′ + p(x)y∗′ + q(x)y∗ = f(x)
suy ra
(y0 − y∗)′′ + p(x)(y0 − y∗)′ + q(x)(y0 − y∗) = 0.
Như vậy y0 − y∗ là nghiệm của phương trình thuần nhất (8.29). Do vậy tồn tại
C01 , C
02 sao cho
y0 − y∗ = C01y1 + C0
2y2.
Ta nhận được
y0 = C01y1(x) + C0
2y2(x) + y∗.
Do đó, y = y + y∗ là nghiệm tổng quát của (8.29).
Ta dễ dàng chứng minh được định lý sau.
3.2.8 Định lý. Nếu y1(x), y2(x), x ∈ (a, b) là các nghiệm riêng tương ứng của hai
phương trình
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x)
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f2(x)
thì y = y1 + y2 là nghiệm riêng của phương trình
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x) + f2(x).
266 Giáo trình Giải tích
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
3.3.1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng
y′′ + py′ + qy = f(x) (8.30)
trong đó p, q là các hằng số thực, f(x) là hàm liên tục trên (a, b).
3.3.2 Cách giải. Phương trình (8.30) là trường hợp riêng của (8.28), vì vậy các kết
quả về nghiệm của nó là đã biết. Đối với phương trình này việc tìm nghiệm tổng
quát của nó là đơn giản hơn, mà chúng ta trình bày sau đây.
Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
y′′ + py′ + qy = 0. (8.31)
Người ta chứng minh được phương trình (8.31) luôn có nghiệm có dạng y = ekx
với k là một hằng số phức. Chúng ta tìm nghiệm có dạng này. Ta có y′ = kekx,
y′′ = k2ekx. Thay vào (8.31) ta nhận được phương trình
k2 + pk + q = 0, (8.32)
được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (8.31). Khi đó xẫy ra các
trường hợp sau
1) Nếu ∆ = p2 − 4q > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân
biệt k1 = k2. Khi đó phương trình thuần nhất có hai nghiệm riêng độc lập tuyến
tính y1 = ek1x và y2 = ek2x. Theo Định lý 3.2.6 ta có nghiệm tổng quát của (8.31) là
y = C1ek1x + C2e
k2x.
2) Nếu ∆ = p2 − 4q = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm bội (thực)
k0 =− p
2. Khi đó phương trình thuần nhất có nghiệm riêng y1 = ek0x. Nghiệm riêng
y2 độc lập tuyến tính với y1 là
y2(x) = y1(x)
∫e−
∫pdx
y21(x)dx = y1(x)
∫e−px
e−pxdx = xy1(x).
Nghiệm tổng quát của (8.31) là
y = C1ek0x + C2xe
k0x.
267 Giáo trình Giải tích
3) Nếu ∆ = p2 − 4q < 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức
k1,2 = α± iβ,
với α =− p
2và β =
√|∆|2
. Khi đó phương trình thuần nhất có hai nghiệm
y∗1 = e(α+iβ)x = eαx(cos βx+ i sin βx)
)y∗2 = e(α+iβ)x = eαx
(cos βx− i sin βx)
)(áp dụng công thức Euler). Theo Định lý 3.2.2 ta có
y1 =1
2(y∗1 + y∗2) = eαx cos βx
và
y2 =1
2i(y∗1 − y∗2) = eαx sin βx
là các nghiệm, độc lập tuyến tính của (8.31). Vì vậy nghiệm tổng quát của (8.31) là
y = eαx(C1 cos βx+ C2 sin βx
).
Từ nghiệm tổng quát y của (8.31), để tìm nghiệm tổng quát của phương trình
không thuần nhất (8.30) ta có thể dùng phương pháp biến thiên hàng số Lagrange.
3.3.3 Ví dụ. Giải các phương trình
1) y′′ − 5y′ + 6y = 0.
2) y′′ − 6y′ + 9y = 0.
3) y′′ − 2y′ + 5y = 0.
Giải. 1) Phương trình đặc trưng k2 − 5k + 6 = 0 có nghiệm k1 = 2, k2 = 3. Suy ra
nghiệm tổng quát là y = C1e2x + C2e
3x.
2) Phương trình đặc trưng k2− 6k+9 = 0 có nghiệm kép k0 = 3. Suy ra nghiệm
tổng quát là y = C1e3x + C2xe
3x.
3) Phương trình đặc trưng k2 − 2k+5 = 0 có nghiệm phức k1,2 = 1± 2i. Suy ra
nghiệm tổng quát là y = ex(C1 cos 2x+ C2 sin 2x
).
3.3.4 Ví dụ. Giải phương trình
y′′ − 4y′ + 3y = e2x
268 Giáo trình Giải tích
Giải. Phương trình đặc trưng k2 − 4k+ 3 = 0 có hai nghiệm thực k1 = 1 và k2 = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1ex+C2e
3x. Để tìm nghiệm
tổng quát của phương trình không thuần nhất ban đầu ta dùng phương pháp biến
thiên hằng số Lagrange. Nghiệm tổng quát của y′′ − 4y′ + 3y = e2x có dạng
y = C1(x)ex + C2(x)e
3x,
với C1(x), C2(x) thoả mãn hệC ′1(x)e
x + C ′2(x)e
3x = 0
C ′1(x)e
x + 3C ′2(x)e
3x = e2x.
Giải hệ ta nhận được C ′1(x) = −
ex
2, C ′
2(x) =e−x
2. Suy ra
C1(x) = −ex
2+ C1, C2(x) = −
e−x
2+ C2
với C1, C2 là các hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của y′′ − 4y′ + 3y = e2x là
y =(−ex
2+ C1
)ex +
(−e−x
2+ C2
)e3x = C1e
x + C2e3x − e2x.
3.3.5 Phương pháp hệ số bất định. Trong mục này chúng ta trình bày một
phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất
hệ số hằng số bằng phương pháp hệ số bất định. Phương pháp cho phép giảm bớt
các phép tính tích phân hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Tuy
nhiên, phương pháp này chỉ áp dụng được cho các trường hợp đặc biệt của hàm
f(x).
Xét phương trình
y′′ + py′ + qy = f(x)
với p, q là hằng số thực và f(x) là hàm số liên tục trên (a, b).
1) Nếu f(x) = eαxPn(x), với Pn(x) là một đa thức bậc n của x. Khi đó nghiệm
riêng của phương trình trên có dạng sau:
(a) y = eαxQn(x), nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng;
(b) y = xeαxQn(x), nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng;
(c) y = x2eαxQn(x), nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng;
trong đó Qn(x) là một đa thức bậc n của x. Việc tìm nghiệm riêng dẫn tới tìm các
hệ số của Qn(x) bằng phương pháp hệ số bất định.
269 Giáo trình Giải tích
2) Nếu f(x) = eαx(Pn1(x) cos βx+ Pn2(x) sin βx
), với Pn1(x), Pn2(x) là các đa
thức bậc n1, n2 tương ứng của x. Khi đó nghiệm riêng của phương trình trên có
dạng sau:
(a) y = eαx(Qn(x) cos βx + Rn(x) sin βx
), nếu α + iβ không phải là nghiệm
của phương trình đặc trưng;
(b) y = xeαx(Qn(x) cos βx+Rn(x) sin βx
), nếu α+ iβ là nghiệm của phương
trình đặc trưng;
trong đó n = maxn1, n2 và Qn(x), Rn(x) là các đa thức bậc n của x. Việc tìm
nghiệm riêng dẫn tới tìm các hệ số của Qn(x), Rn(x) bằng phương pháp hệ số bất
định.
3.3.6 Ví dụ. Giải phương trình y′′ − 3y′ + 2y = 2xex
Giải. Phương trình đặc trưng k2−3k+2 = 0 có nghiệm k1 = 1, k2 = 2. Vậy nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất là y = C1ex + C2e
2x. Từ f(x) = 2xex ta
thấy α = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và n = 1. Suy ra nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất có dạng
y = x(ax+ b)ex.
Ta có
y′ =(ax2 + (2a+ b)x+ b
)ex, y′′ =
(ax2 + (4a+ b)x+ 2b+ 2a
)ex.
Thay vào phương trình y′′ − 3y′ + 2y = 2xex ta nhận được(ax2 + (4a+ b)x+ 2b+ 2a
)ex − 3
(ax2 + (2a+ b)x+ b
)ex
+2(ax2 + bx)ex = 2xex.
với mọi x ∈ R. Rút gọn ta thu được
−2ax+ 2a− b = 2x
với mọi x ∈ R. Suy ra −2a = 2
2a− b = 0.
Giải hệ ta nhận được a = −1, b = −2. Vậy nghiệm riêng của phương trình là
y∗ = −x(x+ 2)ex. Nghiệm tổng quát là
y = y + y∗ = C1ex + C2e
2x − x(x+ 2)ex, (C1, C2 ∈ R).
270 Giáo trình Giải tích
3.3.7 Ví dụ. Giải phương trình
y′′ + y′ − 2y = emx, (m là tham số thực).
Giải. Phương trình đặc trưng k2 + k − 2 = 0 có nghiệm k1 = 1, k2 = −2. Nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất
y = C1ex + C2e
−2x.
Để tìm nghiệm riêng của phương trình ban đầu ta xét các trường hợp sau:
1) Nếu m = 1 và m = −2 thì nghiệm riêng có dạng
y = aemx.
Ta có y′ = amemx, y′′ = am2emx. Thay vào phương trình y′′ + y′ − 2y = emx ta
nhận được
a(m2 +m− 2)emx = emx.
Suy ra a =1
m2 +m− 2, hay nghiệm riêng của phương trình ban đầu là
y∗ =emx
m2 +m− 2.
Vậy nghiệm tổng quát là
y = y + y∗ = C1ex + C2e
−2x +emx
m2 +m− 2, (C1, C2 ∈ R).
2) Nếu m = 1 nghiệm riêng có dạng y = axex. Tính các đạo hàm thay rồi vào
phương trình y′′ + y′ − 2y = ex ta nhận được a = 13. Vậy nghiệm tổng quát là
y = y + y∗ = C1ex + C2e
−2x +ex
3, (C1, C2 ∈ R).
3) Nếu m = −2 nghiệm riêng có dạng y = axe−2x. Tính các đạo hàm thay rồi
vào phương trình y′′ + y′ − 2y = e−2x ta nhận được a =− 1
3. Vậy nghiệm tổng quát
là
y = y + y∗ = C1ex + C2e
−2x −x.e−2x
3, (C1, C2 ∈ R).
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
271 Giáo trình Giải tích
4 Hệ phương trình vi phân cấp một
4.1 Các khái niệm cơ bản
4.1.1 Định nghĩa. Ta gọi hệ phương trình
dy1
dx= f1(x, y1, y2, ..., yn)
dy2
dx= f2(x, y1, y2, ..., yn)
......................................
dyn
dx= fn(x, y1, y2, ..., yn)
(8.33)
là hệ phương trình vi phân cấp một chuẩn tắc, trong đó x là biến độc lập, yk(x) là
các hàm chưa biết cần tìm và fk(x, y1, ..., yn) là các hàm cho trước xác định trên
Ω ⊂ Rn+1, k = 1, 2, ...n.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (8.33) thoả mãn điều kiện
y1(x0) = y10, ..., yn(x0) = yn0 . (8.34)
được gọi là bài toán Cauchy, với (y10, ..., yn0) là một điểm trong không gian n chiều.
Điều kiện (8.34) được gọi là điều kiện đầu.
4.1.2 Định lý. Nếu các hàm f1, f2, ..., fn liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một
của chúng trên miền Ω chứa điểm (x0, y10, ..., yn0) thuộc không gian Rn+1 thì trong
lân cận nào đó của điểm x0 trong R tồn tại duy nhất một nghiệm(y1(x), ..., yn(x)
)của hệ (8.33) thỏa mãn điều kiện đầu (8.34).
4.1.3 Định nghĩa. Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (8.33) là một bộ n hàm
yi(x) = ϕi(x,C1, ..., Cn), i = 1, ..., n
với C1, C2, ..., Cn là các hằng số tùy ý thảo mãn các tính chất sau:
1) Các hàm yi thỏa mãn đẳng thức (8.33) với mọi giá trị C1, ..., Cn.
2) Với mỗi điểm (x0, y10, ..., yn0) ∈ Rn+1 mà tại đó điều kiện tồn tại duy nhất
nghiệm của hệ được thỏa mãn thì tồn tại C01 , ..., C
0n sao cho các hàm
yi = ϕi(x,C01 , ..., C
0n), i = 1, ..., n
272 Giáo trình Giải tích
thỏa mãn điều kiện đầu: yi(x0) = yi0 với mọi i = 1, ..., n.
Nghiệm riêng của hệ (8.33) là nghiệm có được khi cho các hằng số Ci trong
nghiệm tổng quát các giá trị cụ thể.
4.1.4 Liên hệ giữa phương trình cấp cao và hệ phương trình chuẩn tắc.
Xét phương trình vi phân cấp n đã giải được đối với đạo hàm cấp n
y(n) = f(x, y, y′, ..., y(n−1)
). (8.35)
Đặt y = y1, y′ = y2,...,y
(n−1) = yn. Khi đó, ta đưa (8.35) về hệ phương trình sau mà
nó được gọi là hệ phương trình chuẩn tắc
dy1
dx= y2
dy2
dx= y3
.............
dyn
dx= f(x, y1, y2, ..., yn).
(8.36)
Ngược lại từ một hệ phương trình chuẩn tắc ta có thể đưa về phương trình vi
phân cấp cao bằng cách lần lượt khử các hàm số trong hệ. Để đơn giản ta trình bày
cho hệ có hai ẩn hàm: dy1
dx= f(x, y1, y2)
dy2
dx= g(x, y1, y2).
(8.37)
Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất của (8.37) ta được
y′′1 = f ′x + f ′
y1y′1 + f ′
y2y′2.
Thay y′1, y′2 từ hệ (8.37) vào phương trình vừa nhận được ta có
y′′1 = F (x, y1, y2). (8.38)
Tiếp tục rút y2 từ phương trìnhdy1
dx= f(x, y1, y2) ta có
y2 = h(x, y1, y′1).
Thay y2 vừa nhận được vào (8.38) ta có
y′′1 = Φ(x, y1, y′1) (8.39)
273 Giáo trình Giải tích
là một phương trình vi phân cấp hai đối với hàm y1. Nếu y1, y2 là nghiệm của hệ
thì y1, y2 phải là nghiệm của (8.39). Bài toán giải hệ phương trình sẽ quy về giải
phương trình.
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
4.1.5 Ví dụ. Giải hệ phương trình vi phândx
dt= y
dy
dt= x.
(8.40)
Đạo hàm hai vế phương trình
dx
dt= y
theo t ta nhận được
x′′ = y′ = x.
Ta nhận được phương trình vi phân cấp hai x′′−x = 0. Phương trình này có nghiệm
tổng quát
x = C1et + C2e
−t.
Từ đó suy ra
y = x′ = C1et − C2e
−t.
4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
Trong mục này ta xét một trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi
phân.
4.2.1 Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số là hệ có dạng
dy1
dx= a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn
dy2
dx= a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn
..................................................
dyn
dx= an1y1 + an2y2 + ...+ annyn
, (8.41)
274 Giáo trình Giải tích
trong đó các aij là các hằng số cho trước, i = 1, ..., n; j = 1, ..., n. Hệ trên còn được
viết dạng ma trận
y′ = Ay (8.42)
trong đó
y =
y1(x)
y2(x)
..
yn(x)
, y′ =
y′1(x)
y′2(x)
..
y′n(x)
, A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..
an1 a12 ... ann
.
4.2.2 Phương pháp khử. Phương pháp này thực hiện như trong trường hợp tổng
quát, đưa hệ phương trình về phương trình vi phân bậc n. Trong trường hợp này
ta sẽ thu được phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Ta đến với ví dụ minh
họa sau.
Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của
chương 8.
4.2.3 Ví dụ. Giải hệ phương trìnhy′1 = y1 + y2
y′2 = 4y1 + y2.
Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất của hệ theo x ta có
y′′1 = y′1 + y′2 = y′1 + (4y1 + y2) = y′1 + 4y1 + y′1 − y1 = 2y′1 + 3y1.
Ta thu được phương trình
y′′1 − 2y′1 − 3y1 = 0.
Nghiệm tổng quát của phương trình là
y1 = C1e−x + C2e
3x.
Suy ra
y2 = y′1 − y1 = −C1e−x + 3C2e
3x − C1e−x − C2e
3x = −2C1e−x + 2C2e
3x.
CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 8
275 Giáo trình Giải tích
Câu hỏi thảo luận
1) Phương pháp giải các phương trình vi phân cấp 1 đặc biệt.
2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng.
3) Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng.
Bài tập chương 8
Bài 1. Giải các phương trình vi phân sau
a) (1 + ex)yy′ = ex, thoả mãn y(0) = 1.
b) y′ + sin(x+ y) = sin(x− y).
c) y′ sinx = y ln y.
d) y′ =1
x− y+ 1.
e) xy′ − y = y3.
Bài 2. Giải các phương trình vi phân sau
1) xydx+ (x+ 1)dy.
2) (x2 − 1)y′ + 2xy2 = 0 với y(0) = 1.
3) y′ =√4x+ 2y − 1.
Bài 3. Giải các phương trình vi phân sau
1) 2x3y′ = y(2x2 − y2).
2) y2 + x2y′ = xyy′.
3) (y′ + 1) lny + x
x+ 3=y + x
x+ 3.
4) 2xy′ + y = y2√x− x2y2.
Bài 4. Giải các phương trình vi phân sau
1) xy′ − 2y = 2x4.
2) (2x+ 1)y′ = 4x+ 2y.
3) x(y′ − y) = ex.
4) (2x2y ln y − x)y′ = y.
276 Giáo trình Giải tích
Bài 5. Giải các phương trình vi phân sau
1) e−ydx− (2y + xe−y)dy = 0.
2) (1 + y2 sin 2x)dx− 2y cos2 xdy = 0.
3) (x2 + y2 + x)dx+ ydy = 0.
4) (x2 + 3 ln y)ydx = xdy.
Bài 6. Giải các phương trình vi phân sau
1) y = 3xy′ − 7y′3.
2) xy′ − y = ln y′.
3) y′3 = 3(xy′ − y).
4) xy′(y′ + 2) = y.
Bài 7. Giải các phương trình vi phân sau
1) y′2 + 2yy′′ = 0.
2) y′′ + y′2 = 2e−y.
3) xyy′′ − xy′2 = yy′.
4) y′′2 − y′y′′ =(yx
)2.
Bài 8. Giải các phương trình vi phân sau
1) y′′ + 4y′ + 3y = 0.
2) y′′ − 4y′ + 5y = 0.
3) y′′ + 4y = 0.
Bài 9. Giải các phương trình vi phân sau
1) y′′ − 2y′ − 3y = e4x.
2) y′′ + y′ − 2y = 3xex.
3) y′′ − 4y′ + 8y = e2x + sin 2x.
4) y′′ + 3y′ − 4y = e−4x + xe−x.
Bài 10. Giải các phương trình vi phân sau
1) x2y′′ − xy′ + 2y = x lnx.
277 Giáo trình Giải tích
2) (2x+ 1)2y′′ − 4(2x+ 1)y′ + 8y = −4(2x+ 1).
3) y′′ +1
xy′ +
1
x2y = 2 sin(lnx).
Bài 11. Giải các hệ phương trình vi phân sau
a)
dy
dx= ex−y
dz
dx=
2z
2x− z2.
b)
xdy
dx= y +
√y2 − x2
dz
dx=
y + z
z2 − x.
c)
dx
dt=x2
y
dy
dt=
1
2x.
d)
dx
dt= y
dy
dt=y2
x.
TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 8
[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3
(Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho
sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, ...(2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bản
Giáo dục.