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F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIBLIOGRAFIA
• M.SALERNO - G.COSTANTINI: Cap. 1
• G. MARTINELLI - M. SALERNO: “Vol. I” - pp. 1 - 19; 32-43
• R. PERFETTI: Cap. 1 e 2
• G. RIZZONI: Cap. 2
B-1
B. IL MODELLO CIRCUITALE A COSTANTI CONCENTRATE:
GRANDEZZE FISICHE, PROPRIETA’ ED ELEMENTI IDEALI
• Corrente, Tensione e Potenza elettrica
• Note operative sull’Ipotesi delle Costanti Concentrate
• Bipoli e Reti 2-porte: definizioni e generalità
• Leggi di equilibrio di Kirchhoff (correnti e tensioni)
• Proprietà generali degli elementi e dei circuiti: Linearità, Tempo-invarianza,
Passività, Causalità
• Bipoli ideali: Resistore, Generatore indipendente di corrente, Gen. indip. di
tensione
• Connessioni elementari tra bipoli: Collegamenti serie e parallelo, Partitore di
tensione e corrente, Configurazioni di Thevenin e Norton, alcune equivalenze
elettriche, trasformazioni Stella/Triangolo
• Incongruenze dovute all’eccessiva idealizzazione
• Reti 2-porte ideali: Trasformatore ideale, Giratore, Generatori controllati
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
GRANDEZZE FISICHE
CORRENTE ELETTRICA:
Flusso di cariche attraverso un materiale conduttore.
Le cariche elementari in moto nei conduttori metallici sono gli elettroni:
qe=-1.60210-19 [C] (la stessa, cambiata di segno, è la carica del protone).
Per definizione: in senso limite:
Nota: in analogia con un impianto idraulico, affinché scorra una corrente occorreche ci sia un percorso chiuso di conduttori e di elementi.
B-2
TENSIONE ELETTRICA O POTENZIALE:
E’ definita come il lavoro svolto dal campo elettrico per spostare una carica
unitaria da un punto ad un altro (la forza in gioco è quella coulombiana):
Nota: è una grandezza fisica ai capi, cioè definita in modo relativo (come
differenza). Si può mettere in analogia con l’energia potenziale legata alla forza
di gravità.
i q
t
C s
A
i(t) dq
dt
V lavoro
carica
J C
V
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
(continua…)
TERRA:
La terra rappresenta una specifica di tensione di riferimento, alla quale èconveniente assegnare un potenziale di 0 V.
I valori dei potenziali elettrici presenti sono pertanto definiti rispetto ad essa.
Simboli:
al terreno al telaio
B-3
POTENZA ELETTRICA:
La potenza è definita come il lavoro compiuto nell’unità di tempo. Nel caso delle
grandezze elettriche si ha:
Nota: pertanto 1 Watt = 1 Volt 1 Ampère.
P lavoro
tempo
lavoro
caricacarica
tempo tensione corrente V I
J s W
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
NOTE SULL’IPOTESI DELLE COSTANTI CONCENTRATE:
Alcune considerazioni di carattere operativo:
•E’ una ipotesi semplificativa che induce ad una astrazione;
•Le dimensioni geometriche del circuito diventano trascurabili (si parla infatti di
topologia e non di geometria del modello circuitale);
•Gli elementi costitutivi il circuito vengono allora rappresentati in forma simbolica.
Ciò che conta sono le funzioni che svolgono ed il modo in cui sono interconnessi;
•Le variazioni temporali delle grandezze fisiche presenti si propagano
istantaneamente in tutto il circuito (assenza di ritardi).
B-4
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
(continua…)
B-5
Verifica:
L’ipotesi delle c.c. è soggetta a verifica. In base alla conoscenza dei parametri
fisici in gioco si può dire se è lecito porla o no;
In prima approssimazione, si può dire che l’ipotesi è verificata laddove le
frequenze in gioco siano relativamente basse cioè le variazioni temporali non
siano molto rapide (ad esempio in campo audio, tra 20 Hz e 20 kHz) e/o le
dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno non siano molto
grandi.
Limiti:
L’ipotesi delle c.c. pone dei limiti alle strutture rappresentabili dal modello
circuitale alle costanti concentrate:
•NO presenza di frequenze molto alte (microonde)
•NO dimensioni geografiche (linee di trasmissione)
In tali casi il modello risulta inadeguato e bisogna ricorrere alle metodologie
generali basate sulle equazioni di Maxwell.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ
B-6
+
I
V -
V1 V2
I1 I2+
-
+
-
V1 V2
- -
+ +
I1 I2
V
+
-
I
BIPOLO RETE 2-PORTE
BILANCIATA
o “doppio-bipolo”
SBILANCIATA
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti B-7
GENERICO SCHEMA CIRCUITALE:
BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ (continua...)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ (continua...)
B-8
• Definizione di PORTA:
• Effetti energetici: Un elemento è un sistema aperto i cui scambi
energetici avvengono solo attraverso i suoi terminali o porte, essi si
misurano esclusivamente attraverso le relazioni costitutive e sono
indeterminati finché l’elemento non viene inserito nel circuito
• Verso convenzionale bipolo:
(con i versi prima riportati potenza entrante nel bipolo positiva
convenzione degli utilizzatori)
• Potenza entrante in una rete 2 - porte:
Iin Iout
Iin
Iout
P V I 0
P VK IK V1I1 V2I2
K1
2
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
Note sui versi convenzionali di tensione e di corrente:
Convenzione degli utilizzatori:
CASO 1: Le cariche passano da un potenziale più alto ad uno più basso
(da A a B) e quindi il bipolo sta dissipando energia (è come lasciar cadere
un oggetto attratto dalla gravità).
La potenza utilizzata dal bipolo si considera positiva: P=VI>0
CASO 2: Le cariche passano da un potenziale più basso ad uno più alto
(da B a A) per cui si compie un lavoro (è come sollevare un peso).
Per la convenzione, essendo la corrente uscente una corrente entrante
cambiata di segno, la potenza risulta negativa cioè erogata dal bipolo:
P=V(-I)=-VI<0
B-9
V
+
-
I
V
+
-
I
A
A
B
B
CASO 2
CASO 1
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
LEGGI DI EQUILIBRIO DI KIRCHHOFF (VINCOLI TOPOLOGICI)
K1 – EQ. DELLE CORRENTI: La somma delle correnti entranti (-) ed uscenti (+) attraverso una superficie chiusa (TAGLIO) è nulla (sul piano è una linea).
K2 – EQ. DELLE TENSIONI: La somma algebrica delle tensioni (+ se concordi con il verso scelto, altrimenti - ) che si incontrano in un circuito lungo un percorso chiuso e finito (MAGLIA) è nulla.
B-10
K1) attraverso il taglio
K2) lungo la maglia
Ii 0i I3 I4 I6 I8 0
Vi 0i V2 V4 V5 V6 0
+V3
V1 V2
V4V5
V6
V7
V8
+
+
+ +
+
+
+
S
MAGLIA
C
n
t
I3
I4I1 I2
I5
I6
I7
I8
TAGLIO
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
LEGGI DI EQUILIBRIO DI KIRCHHOFF (continua...)
B-11
NOTA 1:
La K1 applicata ad un bipolo ci dice che Iin = Iout sempre
(il bipolo si comporta sempre come una porta)
NOTA 2:
Le leggi di K. prescindono dalla natura fisica degli elementi ma dipendono
solo dal loro numero e dalla loro rete di interconnessione (GRAFO) sono
leggi TOPOLOGICHE.
NOTA 3:
K1 e K2 sono LINEARI e OMOGENEE in corrente e tensione
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
PROPRIETÀ GENERALI DEGLI ELEMENTI E DEI CIRCUITI
• Il modello circuitale visto è di tipo NON-DIREZIONALE (o BI-
DIREZIONALE), cioè le variabili d’interfaccia (V ed I) svolgono indifferente-
mente il ruolo di CAUSA o EFFETTO.
B-12
PERMANENZA (o TEMPO-INVARIANZA):
L’effetto non dipende dall’istante di applicazione della causa (i parametri
costitutivi non dipendono dal tempo).
LINEARITÀ:
L’effetto dovuto ad una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa, o
all’integrale/derivata della stessa (le relaz. costitutive sono LINEARI).
PRINCIPIO SOVRAPPOSIZIONE EFFETTI: se sono presenti più cause si
può considerare l’effetto globale come somma degli effetti dovuti ad ogni
singola causa come se questa agisse da sola.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
PROPRIETÀ GENERALI DEGLI ELEMENTI E DEI CIRCUITI
(continua…)
PASSIVITÀ:
Per una causa di breve durata l’effetto tende ad annullarsi (o a rimanere
limitato) al crescere del tempo.
Ovvero: l’energia interna è non negativa (assorbita)
(un elemento o circuito passivo è sempre stabile. Es.: pendolo con attrito)
V I dt 0
t
B-13
CAUSALITÀ:
L’effetto in un certo istante t0 dipende solo dalla causa applicata fino a
quell’istante (per t ≤ t0).
Ovvero: se la causa è nulla per t ≤ t0 anche l’effetto è nullo per t ≤ t0
• La violazione di tale proprietà implica l’inadeguatezza del modello usato
(fisicamente non accettabile).
• I circuiti passivi lineari sono sempre causali.
• (modelli circuitali non-fisici, come i circuiti digitali, possono essere non-
causali).
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI IDEALI
v(t ) R i(t ) Legge di
OHM
R: param. cost. RESISTENZA [ Ω ]
i(t ) G v(t )
G = 1/R: CONDUTTANZA [ Ω-1 o S]
bidirezionalità
del modello
RELAZIONI COSTITUTIVE
RESISTORE:
+v (t)
i (t) R
-
SIMBOLO CIRCUITALE
B-14
Per l’ipo. di c.c. ogni elemento costitutivo svolge un’unica funzione
rappresentata dalla sua relazione o equazione costituitiva.
Sostituisce il generico:
+
I
V -
Nota: la relaz. costitutiva rispetta le proprietà di linearità e tempo-invarianza
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI IDEALI (continua…)
CARATTERISTICA V-I: Rappresentazione grafica
della relaz. costitutiva
Punto di vista energetico: R > 0 Elemento PASSIVO [regione IC]
(dissipa en. el. in modo irreversibile: effetto Joule)
• Potenza elettrica assorbita:
• Resistore ATTIVO:
(ambiti funzionali molto ristretti può portare ad assurdi fisici)
p t v t i t R i2
t G v2
t sempre > 0
R 0 in tal caso l’elemento cede energia
v v = R i
R
i
B-15
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI IDEALI (continua…)
-
i0(t)
+
i t i0 t
v (t)
GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE:
[A]
• v (t) indeterminata
(dipende dalle condizioni di chiusura)
• E’ comodo per i generatori invertire il verso della corrente rispetto a quello convenzionale (potenza erogata positiva)
• Idealmente è un accumulatore di energia con capacità di accumulo infinita
• Rappresenta uno dei due modi di eccitare il circuito. È stato introdotto inmodo ideale (come ingrediente per circuiti equivalenti) ancor prima che latecnologia ne consentisse la realizzazione.
B-16
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIPOLI IDEALI (continua…)
-v0(t)
+
v t v0 t
i (t)
GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE:
[V]
• i (t) indeterminata
• È l’altro tipo di eccitazione [regione IE]
• Nella pratica: rete elettrica, batterie (v0(t) = E0), ecc...
B-17
i t 0
v t 0
[tensione indeterminata]
[corrente indeterminata]
CIRCUITO APERTO:
• Caso limite del gen. di corrente (i0 = 0) o del resistore (G = 0)
CORTO CIRCUITO:
• Caso limite del gen. di tens. (v0 = 0) o del resistore (R = 0)
-
-
+
+
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI
SERIE di resistori:R1 R2
RS R1 R2
1/ GS 1/ G1 1/ G2
GS G1G2 / G1 G2
B-18
R c.a.
c.a.
R c.c.
R
c.a.
c.c.
R
c.c.R
RCasi particolari di
Serie e parallelo:
R1
R2
GP G1 G2
1/ RP 1/ R1 1/ R2
RP R1R2 / R1 R2 PARALLELO di resistori:
(dualità)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)
PARTITORE DI TENSIONE:
RS R1 R2
i v0
RS
v0
R1 R2
i R1
+
v0
+
R2
v2
v2 R2 i R2
R1 R2
v0
B-19
+
i0R2
i2i1
vR1
RP R1R2
R1 R2
v Rpi0 R1R2
R1 R2
i0
i2 v
R2
R1
R1 R2
i0
PARTITORE DI CORRENTE:
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)
Configurazione THEVENIN:
RTH
+
vTH
Configurazione NORTON:
iNORGNOR
iNOR vTH
RTH
GNOR 1
RTH
vTH iNOR
GNOR
RTH 1
GNOR
Equivalenze:
• Da THEVENIN a NORTON:
• Da NORTON a THEVENIN:
B-20
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)
• 3) 4)
– Il gen. indip. di tensione in parallelo con R o i0 prevale sempre
+v0
Rvo
+ +v0 io vo
+
ioio
R vo
io
io
+
Equivalenze elettriche elementari:
• 1) 2)
– Il gen. indip. di corrente in serie con R o v0 prevale sempre
B-21
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)
• 5)
– I gen. indip. di corr. in parallelo si sommano
I0 Ig
I0+ Ig
vg
vo
+
+v0+ vg
• 6)
– I gen. indip. di tens. in serie si sommano
+
B-22
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
TRASFORMAZIONI STELLA/TRIANGOLO
ra
Rb Rc
Ra Rb Rc
rb Ra Rc
Ra Rb Rc
rc RaRb
Ra Rb Rc
• Se Ra Rb Rc R
ra rb rc R
3
Ga
gbgc
ga gb gc
Gb gagc
ga gb gc
Gc gagb
ga gb gc
Ra rarb rarc rbrc
ra
Rb rarb rarc rbrc
rb
Rc rarb rarc rbrc
rc
ra rb rc r• Se
Ra Rb Rc 3r
B-23
Rc Rb
Ra
B
A
rb rc
ra
A
B C
C
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
INCONGRUENZE DOVUTE ALL’ECCESSIVA IDEALIZZAZIONE
• I parametri cost. ideali non tengono conto di molti aspetti fisici reali quali:
tolleranze di precisione, tensione e corrente massime, comportamento
termico, ecc…
• L’eccessiva idealizzazione può condurre alla violazione di alcune
proprietà (mai il principio di conservazione) o a situazioni di assurdo fisico
o di indeterminazione delle grandezze in gioco
B-24
++
v1 v2
+ +
i1
i2
se v1 ≠ v2 ASSURDO
se v1 = v2 (correnti indeterminate)
ANOMALO
se i1 ≠ i2 ASSURDO
se i1 = i2 (tensioni indeterminate)
ANOMALO
Esempio:
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
INCONGRUENZE DOVUTE ALL’ECCESSIVA IDEALIZZAZIONE
(continua…)
• In tal caso l’eccessiva idealizzazione nasce dall’aver considerato le regionicostitutive dei due componenti prive di perdite.
• Per avere generatori più vicini alla realtà fisica basta allora:
(RS o RP tengono conto delle perdite)
• Per un’aderenza ancora maggiore con la realtà occorre tuttavia aggiungere altri fattori, come ad esempio la capacità dell’alimentatore di seguire le variazioni di carico.
+
v0RS
B-25
i0
RP
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
RETI 2-PORTE IDEALI PASSIVE
TRASFORMATORE IDEALE:
• Passività:
• Proprietà tipiche: altera le grand. el. al passaggio da una porta all’altra
altera i parametri dei bipoli ideali chiusi su una porta
(segue:)
v1 n v2
i1 1
ni2
(avvolgimenti concordi)
i1
v2• •n
v1
+ +
i2
(segni opposti per
avvolgimenti discordi)
n = rapporto di trasformazione
p t v1i1 v2i2 nv2 1
ni2
v2i2 0
B-26
Idealizzazione di dispositivi fisici in cui è presente la interazione tra un circuito
elettrico (avvolgimenti) ed uno magnetico (nuclei ferromagnetici).
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
TRASFORMATORE (continua…)
Resistenza vista dal primario con il secondario chiuso su R:
B-27
v1 nv2 n Ri2 nR ni1 n2Ri1
n2R
i1 i2
Rv2
• •n
v1
++
+
R1 v1
i1
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
RETI 2-PORTE IDEALI PASSIVE (continua…)
GIRATORE:
• È l’idealizzazione molto spinta di dispositivi fisici basati sull’effetto Hall
(trasformazione di campo elettrico in magnetico).
• Passività:
• Proprietà tipica: scambia tensione con corrente
v1 Ri2
v2 Ri1R = resistenza di girazione
i1 i2
v2
R
v1
+ +
p t v1i1 v2i2 Ri2 i1 Ri1i2 0
C-22
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
RETI 2-PORTE IDEALI ATTIVE
Il processo di modellizzazione deve sposare le esigenze contrastanti di
semplicità e accuratezza. Per gli elem. 2-p attivi il compromesso è meno
soddisfacente che nel caso dei bipoli
Il comportamento può essere molto distante dalla realtà fisica: sono
comunque utili per analisi rapide (seppure poco accurate) o per la
derivazione di dispositivi attivi complessi.
B-29
v2 ri1
v1 0
Generatore Tensione
Controllato in Corrente
(Transimpedenza)
gr. impressa
r: param. di controllo
(impedenza [])
r v2
+
i1
GENERATORI CONTROLLATI:
– Caratterizzati da:
1 grandezza elettrica controllata tramite un parametro (impressa)
1 grandezza elettrica di controllo
v1
+
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
• Sono le reti 2-p attive più utilizzate: tramite essi si possono ottenere modelli
di dispositivi attivi complessi
RETI 2-PORTE IDEALI ATTIVE (continua…)
B-30
i2 Bi1
v1 0
Gen. Corr.
Controllato in
Corrente
Bv1
+
i1
+B: guadagno di corrente
(adimensionale)
+i2
v2 Av1
i1 0
Gen. Tens.
Controllato in
Tensione
A v2
+
v1
+ A: param. di contr.
adimensionale
(guadagno di tensione)
+
i1
i2 gv1
i1 0
Gen. Corr. Contr.
in Tensione
(Transammettenza)
g
+
v1
+g: ammettenza [-1]
i2
i1