B2 - Material Ingr Matemática-InGENIERIA 2014-1

7/23/2019 B2 - Material Ingr Matemtica-InGENIERIA 2014-1

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Ingeniera en Informtica [INGE]

Seminario de Matemtica

Pgina 1

UNIVERSIDAD NACIONALDE AVELLANEDA-UNDAV-

PROGRAMADEINGRESO

SEMINARIO DE MATEMTICA

Ingeniera en Informtica

Primer Cuatrimestre de 2014


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Ingeniera en Informtica [INGE]

Seminario de Matemtica

Pgina 2

UNIVERSIDAD NACIONALDE AVELLANEDA

-UNDAV-

PROGRAMADEINGRESOSEMINARIO DE MATEMTICA

Ingeniera en Informtica

Gastn Andrs Freire

Ing. Gregorio Oscar Glas

Colaboracin

Ing. Gabriel Gustavo Maresca

Adrin Marcelo Soria Sasas


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ndice general

I Conjuntos Numricos 11

1. Introduccin a la nocin de conjunto 13

1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Importancia de las definiciones en matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Operaciones bsicas entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Nmeros NaturalesN 19

2.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Operaciones con nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2. Relaciones de igualdad y orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3. Terminologa bsica utilizada en matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.1. Expresin Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.2. Frmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.3. Miembro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.4. Trmino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.5. Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3.6. Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3.7. Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Teora Complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1. Propiedades de los nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2. Propiedades de las operaciones con nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3. Estrategias para realizar clculos mentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.4. Sistemas de Numeracin Posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Nmeros EnterosZ 37

3.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Propiedades adicionales que valen enZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3


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4 NDICE GENERAL


3.4.1. Recta numrica de los nmeros enterosZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2. Regla de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.3. Divisin en el conjunto de los nmeros enterosZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.4. Expresin de un nmero entero como producto de factores . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.5. Algoritmo para factorizar nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.6. Mnimo Comn Mltiplo y Mximo Comn Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.7. Algoritmos para calcular el mcd y el mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Nmeros RacionalesQ 55

4.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2. Fracciones reducibles e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3. Expresin decimal de los nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.4. Propiedades de los nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.5. Operaciones con nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.6. Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.7. Multiplicacin de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.8. Divisin de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


4.3.1. Fracciones Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2. Exponenciacin de nmeros racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Nmeros RealesR = Q I 735.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1. Exponenciacin de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.2. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.3. Propiedades de los Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.4. Operando con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.5. Racionalizacin de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.6. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.7. Logaritmacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.8. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


5.3.1. Irracionalidad de

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. Nmeros ComplejosC 89


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NDICE GENERAL 5

II Ecuaciones e Inecuaciones 91

7. Ecuaciones 93

7.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.3. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1.4. Ecuaciones Cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


7.3.1. Factorizacin de una ecuacin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3.2. Valor absoluto o mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3.3. Propiedades del mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3.4. Distancia entre dos puntos de la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8. Inecuaciones 103

8.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.1.1. Operaciones que producen inecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.1.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.1.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.1.4. Representacin grfica de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.5. Representacin del conjunto solucin de una inecuacin . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.6. Inecuaciones simultneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.1.7. Inecuaciones con valor absoluto o mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.1.8. Inecuaciones cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.9. Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


8.3.1. Operaciones entre divisiones de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3.2. Ejemplos prcticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

III Geometra y Trigonometra 119

9. Geometra 121

9.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.1.2. Nociones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.3. ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.1.3.1. ngulos determinados por la interseccin de dos rectas . . . . . . . . . . . 127

9.1.3.2. ngulos determinados por dos rectas cortadas por una transversal . . . . . . 128


6/378

6 NDICE GENERAL

9.1.3.3. ngulos determinados por dos paralelas cortadas por una transversal . . . . 129

9.1.3.4. Otras definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1.4. Proporcionalidad de segmentos - Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.1.4.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.1.4.2. El Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.1.4.3. Problemas que se resuelven mediante el Teorema de Thales . . . . . . . . . 132

9.1.5. Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.5.1. Definicin de Tringulo - Convenciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.5.2. Clasificacin de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.1.5.3. Base media de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.1.5.4. Alturas de un Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.1.5.5. rea de un Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.1.5.6. Congruencia de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.1.5.7. Semejanza de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.1.5.8. Tringulos Rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.1.6. Cuadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.6.1. Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.6.2. Base media de un paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.1.6.3. Base media de un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.1.6.4. Clculo de reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.1.6.5. rea de un Trapecio Isceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1.6.6. rea de un Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.1.6.7. rea de un Trapecio no Isceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.6.8. Mediatriz de un Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.1.6.9. El Mtodo Geomtrico en las Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.1.7. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.1.7.1. Cuerdas - Tangentes - Dimetros - Radios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.1.7.2. ngulos en una Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.7.3. Propiedades de los ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.7.4. ngulos inscritos con extremos en un dimetro . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.7.5. ngulos inscritos vs. centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.1.7.6. ngulos centrales vs. semi-inscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.1.7.7. Tringulos inscritos en circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.1.7.8. Cuadrilteros inscritos en circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.1.8. Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.1.8.1. Polgonos Convexos y Cncavos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.1.8.2. ngulos interiores en un polgono convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.1.8.3. Polgonos regulares e irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.1.8.4. Elementos de los polgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


7/378

NDICE GENERAL 7

9.1.8.5. Permetro y rea de un Polgono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.1.8.6. Resumen de Frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.1.9. Nociones de Geometra Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.1.9.1. Cubos o Hexaedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.1.9.2. Paraleleppedos Rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.1.9.3. Prismas Rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


9.4.1. Teorema de Thales en tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10. Trigonometra 173

10.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.1.2. Tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.1.3. Relaciones entre los lados de un tringulo rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.1.4. Relaciones entre los ngulos de un tringulo rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.1.5. Relaciones entre los lados y ngulos de un tringulo rectngulo . . . . . . . . . . . . 176

10.1.6. Tabla de valores de las razones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.1.7. Resolucin de tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.1.8. Problemas que se resuelven mediante tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . 181

10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183


10.4.1. El Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

IV Funciones 187

11. La nocin de Funcin 189

11.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.1.1. Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.1.2. La nocin de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.1.3. La Definicin de Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

11.1.4. Dominio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.1.5. Cuatro formas de definir una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.1.6. Definicin de una funcin de forma descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.1.7. Definicin de una funcin de manera analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.1.8. Definicin de una funcin en forma grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.1.9. Definicin de una funcin en forma numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.1.10.El grfico de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.1.11.Aplicacin de funciones a situaciones concretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


8/378

8 NDICE GENERAL

12. Funciones Lineales 205

12.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.1.1. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.1.2. Pendientem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.1.3. Signo de la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.1.4. Dos rectas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.1.5. Aplicacin de funciones lineales a situaciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212


12.3.1. Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.3.2. Significado de la pendientem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

12.3.3. Funcin de proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.3.4. Funcin de proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.3.5. Ecuacin de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.3.6. Forma explcita de la ecuacin de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.3.7. Forma implcita de la ecuacin de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.3.8. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.3.9. Aplicaciones a situaciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13. Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos Incgnitas 227

13.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13.1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13.1.2. Operaciones que producen sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813.1.3. Clasificacin de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.1.4. Mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 2 . . . . . . . . . . . . . 22913.1.5. Mtodo de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

13.1.6. Mtodo de Igualacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.1.7. Interpretacin grfica de sistemas de ecuaciones lineales de 2 2 . . . . . . . . . . . 23313.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238


13.3.1. Mtodo de Reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

14. Funciones Cuadrticas 243

14.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

14.1.1. Intersecciones con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

14.1.2. Vrtice de una parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

14.1.3. Valor mximo o mnimo de una funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

14.1.4. Imagen de una funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

14.1.5. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

14.1.6. Forma Cannica de una Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25314.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253


14.3.1. Interseccin entre Recta y Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


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NDICE GENERAL 9

15. Funciones Polinmicas 263

15.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

15.1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

15.1.2. Operaciones con funciones polinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

15.1.3. Algoritmo de divisin para funciones polinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

15.1.4. Aplicaciones de los teoremas del resto y del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

15.1.5. Races reales de las funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

15.1.6. Multiplicidad de una raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

15.1.7. Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

15.1.8. Ceros racionales de una funcin polinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

15.1.9. Teorema de los ceros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

15.1.10.Sugerencias para encontrar races racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

15.1.11.Grficos de funciones polinmicas a partir de sus races . . . . . . . . . . . . . . . . 27615.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281


15.3.1. Aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.3.2. Teorema Fundamental del lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

16. Funciones Exponenciales 293

16.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

16.1.1. Exponentes irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

16.1.2. Definicin de Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

16.1.3. Ejemplos de Funciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

16.1.4. Grfico de una funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

16.1.5. Transformaciones de las funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

16.1.6. Traslaciones de grficos de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

16.1.7. Imagen de una funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

16.1.8. Crecimiento y Decrecimiento de una funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 309

16.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31016.3. Teora Complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

16.3.1. El nmeroe y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

16.3.2. Inters Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

16.3.3. El inters compuesto con capitalizacin continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

17. Funciones Logartmicas 319

17.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

17.1.1. Grfico de una funcin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32017.1.2. Transformaciones y Traslaciones de funciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . 322

17.1.3. Dominio de Funciones Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

17.1.4. Crecimiento y Decrecimiento de Funciones Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 329


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10 NDICE GENERAL

17.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330


17.3.1. Aplicaciones de las Funciones Logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

17.3.2. La escala Richter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

17.3.3. La escala de Decibeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

18. Funciones Trigonomtricas 337

18.1. Teora Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

18.1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

18.1.2. Funciones Peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

18.1.3. Las funciones Seno y Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

18.1.4. La funcin Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

18.1.5. Otras funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

18.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347


18.3.1. Propiedades de las funcionesy = sen (x)ey = cos (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

18.3.1.1. Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

18.3.1.2. Las funciones seno y coseno son acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

18.3.1.3. Conjunto de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

18.3.1.4. Mximos y Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

18.3.1 .5 . Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35718.3.1.6. Simetras segn los cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

18.3.1.7. Identidad pitagrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

18.3.1.8. Otras identidades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

18.3.1.9. La funcin seno es impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

18.3.1.10.La funcin coseno es par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

18.3.2. Ecuaciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

18.3.3. Funciones trigonomtricas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

18.3.3.1. Variacin de la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

18.3.3.2. Variacin del centro de oscilacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

18.3.3.3. Variacin del perodo y/o la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

18.3.3.4. Variacin de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

18.3.3.5. Variacin de mltiples parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

18.3.4. Identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383


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Parte I

Conjuntos Numricos

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Captulo 1

Introduccin a la nocin de conjunto

1.1. Generalidades

En un marco intuitivo al nivel ms elemental, los conjuntos son como bolsasdentro de las cuales po-demos agrupar colecciones de elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las frutas ctricas que sevenden habitualmente en una verdulera podra contener los siguientes elementos: naranja, mandarina, limny pomelo.

Una forma de escribir en un papel o en la pantalla de la computadora como est formado este conjuntode distintas frutas consiste en enumerar los mismos colocados entre llaves y separados por comas o por puntosy comas todos los elementos que contiene:

A =Naranja, mandarina, limn, pomelo

La forma en que hemos definido el conjunto anterior no es casual. En general, para definir cualquier

conjunto, le pondremos unnombreal mismo como ser, en el ejemplo anterior A, y en el otro miembro de laigualdad podemos enumerar entre llaves todos los elementos que contiene dicho conjunto.

La nocin de conjunto es sumamente natural y aparece en numerosas situaciones de la vida cotidiana:

Cuando en un cajn guardamos nuestra ropa interior separada del resto de la ropa, en realidad estamosdefiniendo un conjunto, y separando los elementos seleccionados del resto de nuestras vestimenta, a losefectos de tener a mano los mismos.

Cuando en la heladera hay un cajn especial destinado a frutas y verduras, ese lugar funciona como sifuera un conjunto dentro del cual ubicaremos ciertos elementos, para separarlos del resto de las cosasque estn en la heladera.

El cajn de los cubiertos separa del resto de las cosas los utensilios que utilizamos para comer.

Podramos seguir indefinidamente dando ejemplos de situaciones de la vida cotidiana donde nosotros losseres humanos utilizamos en forma prctica la nocin de conjunto de manera habitual.

Sin embargo, ya a partir de la primera nocin que tratemos, debemos establecer una gran diferencia entrelo que nos indica nuestra intuicin y la forma de considerar los elementos en matemtica.

La matemtica no permite tratar elementos y sus relaciones en forma ambigua, es decir que no se en-tienda universalmente lo que se quiere escribir. Por ello se crearon una serie de reglas formales,notaciones,smbolos, o unasintaxisespecial de modo que no existan dudas sobre lo que se quiera expresar.

Por este motivo debemos, desde el punto de vista matemtico formalizar la nocin de conjunto medianteuna notacin especfica. Para ello deberemos definiren forma concreta y sin ambigedades la manera dehacerlo.

As hay dos maneras bien diferenciadas de indicar un conjunto en matemtica que se formalizarn me-diantedefiniciones:

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14 CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA NOCIN DE CONJUNTO

1. Definir un conjunto por extensin:Enumerando entre llaves explcitamente todos los elementos de unconjunto, uno a uno.

Por ejemplo, el conjunto:

A ={Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes}contiene los das hbiles de la semana.

En algunas ocasiones la cantidad de elementos del conjunto que queremos definir es muy grande, yentonces no resultara prctico hacer una enumeracin completa de todos sus elementos. Esto no quieredecir que no lo podamos definir por extensin, sino que tendremos que hacerlo de una forma msprctica, suponiendo que por la naturaleza de los elementos del conjunto, luego de enumerar algunoselementos del mismo, estos nos permitiran deducir cules son los otros. Por ejemplo, si quisiramosdefinir un conjunto por extensin conteniendo todos los nmeros pares comprendidos entre el 2 y el 100,en lugar de colocar los cincuenta elementos entre llaves, podemos colocar por ejemplo los primeros treso cuatro elementos, luego de lo cual se colocan puntos suspensivos, y se finaliza con los dos o tresltimos elementos del mismo. Simblicamente, el conjunto de los nmeros pares comprendidos entre 2y 100 se definira por extensin del siguiente modo:

B ={2,4,6, ,98,100}

2. Definir un conjunto por comprensin:Enunciando una propiedad que verifiquen exactamente los ele-mentos de dicho conjunto.

A modo de ejemplo, el conjunto anterior podramos definirlo por comprensin de comprender sinambigedad como sigue:

A ={x/xes un da hbil de la semana.}que se lee:A es el conjunto formado por los elementosx tales quex es o representa un da hbil de lasemana.

Con la letraxse indica un elemento arbitrario de cualquier conjunto, que si cumple la condicin que seencuentra del lado derecho de la barra, entonces formar parte del conjunto Aque queremos definir.

La barra / es un smbolo que en la notacin utilizada comnmente en matemtica tiene el significadodetal que. A medida que avancemos en nuestro estudio iremos introduciendo otros smbolos que seutilizan normalmente en matemtica para simplificar y lograr una mayor precisin en la escritura.

Una nocin importante en conjuntos es la nocin de pertenencia. Por ejemplo, el da Lunes perteneceal conjunto A definido anteriormente, mientras que el da sbado no pertenece al mismo. En smbolos, lapertenencia se indica por , y la no pertenencia se indica tachando el smbolo de pertenecer, es decir por.

Por ejemplo:

LunesAindica que el da Lunes es un elemento del conjuntoA y se leeLunes pertenece a A. Por el contrario:

Sbado A

indica que el da Sbado no es un elemento del conjunto A y se leeSbado no pertenece a A.

1.2. Importancia de las definiciones en matemtica

En la seccin anterior surgi por primera vez la necesidad de utilizar una palabra clave, de importanciacrucial en todas las ciencias y la tecnologa: la palabra definicin. Aunque a lo largo de nuestra vida coti-diana estamos acostumbrados a tratar intuitivamente con definiciones, en la prctica muy pocas veces nospercatamos de la importancia de las mismas para poder comprender y percibir el mundo que nos rodea.


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1.3. OPERACIONES BSICAS ENTRE CONJUNTOS 15

Por ejemplo, si alguien pronuncia la palabrasilla, con seguridad en las mentes de quienes escuchan y dequien emite dicha palabra se representar en forma inmediata la imagen de un objeto, con la forma tpica delo que su cerebro entiende que es una silla. Cada persona construir en su mente una representacin diferentey es claro que la silla imaginada por alguien en particular seguramente distar mucho de ser igual a la sillaimaginada por otra persona, dado que hay muchos tipos de sillas diferentes. En realidad esto no es grave aun nivel coloquial, pues mientras todos estemos de acuerdo que una silla es un objeto con patas, una base

sobre la cual sentarnos y un respaldo sobre el cual apoyar nuestra espalda, en definitiva no estaremos tan endesacuerdo unos de otros sobre el concepto desilla. Hasta ahora no pareciera ser tan grave dejar la idea desillaa la libre imaginacin de cada uno, sin necesidad de hacer una definicin precisa de la nocin de silla.Por qu? Evidentemente porque vemos sillas por todos lados. No hay posibilidad de mal interpretar la palabrasillaporque estamos acostumbrados a toparnos con ellas habitualmente.

Hagamos ahora otro intento, imaginemos lo que ocurrira en la mente de una persona si alguien pronunciala palabramandrias. Es muy probable que quien escuche esta extraa palabra no tenga la menor idea de susignificado. De hecho, es una palabra muy poco comn, muy poco utilizada y por lo tanto lo ms probablees que en nuestra mente no se represente ningn tipo de idea o imagen. Qu hacemos cuando ocurre esto?Normalmente recurrimos al diccionario ya sea el tpico diccionario escrito en papel, o en la web:

Mandrias: Apocado, intil y de escaso o ningn valor. Holgazn, vago.

Es claro que antes de leer el diccionario no tenamos la ms remota idea del significado de esa palabra, peroluego de recurrir al mismo ahora comprendemos de qu se nos est hablando. En este sentido el dicciona-rio nos proporciona ladefinicinde la palabra mandrias, y definirla fue imprescindible para comprender susignificado.

Hasta ahora analizamos dos casos extremos, es decir lo que ocurre en nuestra mente cuando se nospresenta una palabra ampliamente conocida por nosotros, y en el lado opuesto, lo que ocurre cuando se nospresenta otra de la cual no tenemos la menor idea. Sin embargo hay una tercera posibilidad, que puede llegara ser ms peligrosa que las dos primeras: la mala interpretacin. Por ejemplo si alguien menciona la palabraanillo, seguramente se nos representar en la mente un objeto hueco y redondo que sirve para introducirlo en

alguno de nuestros dedos. Es tan conocida la palabra anilloque en la mayora de la gente no cabe la menorduda que se realizar la interpretacin antes propuesta. Sin embargo, en el contexto matemtico la palabraanillosignifica otra cosa ni por casualidad similar o parecida a la interpretacin usual de dicha palabra. Enmatemtica un anillo es un conjunto dotado con dos operaciones que guardan una estrecha relacin entre s.No viene al caso describir matemticamente en este momento el significado concreto y preciso de la palabraanillo, pero es evidente que si no indicramos previamente lo que entenderemos por dicha palabra en elcontexto matemtico, la interpretacin coloquial de la misma nos llevar a cometer serios errores.

Precisamente por esto ltimo resulta fundamental definir el significado de las palabras cuando uno haceciencia en general. Porque esta ltima necesita del lenguaje, y en numerosas ocasiones utiliza palabras conotro significado completamente distinto y particular para cada disciplina o tcnica. Cuando ocurra esto, nece-

sitaremos imperiosamentedefinirel uso que le daremos a esa palabra en el contexto en que la utilizaremos,para evitar posibles ambigedades, confusiones o malas interpretaciones.

1.3. Operaciones bsicas entre conjuntos

Antes de hablar de operaciones entre conjuntos es preciso definir lo que entenderemos por la palabraoperacin. En matemtica dicha palabra se utiliza para hacer alusin a una serie de pasos o procedimientos aseguir para, a partir de una serie de objetos determinados, combinarlos de alguna manera para producir otroobjeto denominadoresultado. Todos conocemos por lo menos a un nivel intuitivo la idea desumaentre

dos nmeros. Lasumaes unaoperacinque a partir de dos nmeros dados produce un tercer nmero llamadosuma de los dos primeros. Dicha operacin se simboliza mediante el operador +, el cual se ubica entremedio de los dos nmeros que se pretenden sumar. Por ejemplo:

2 + 3= 8


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significa que la operacinsumase ha aplicado a los nmeros 2 y 3, produciendo como resultado al nmero 8.

Es decir, entenderemos poroperacina la serie de pasos y procedimientos a seguir para producir apartir de una serie de objetos dados un nuevo objeto llamadoresultadode dicha operacin.

Las principales operaciones entre conjuntos son bsicamente las siguientes:

Unin: Dados dos conjuntos, por ejemplo A ={1,2,3,4,5} y B ={4,5,6,7} que se han definido porextensin, definimos al conjunto unin entreAyBcomo:

A B ={1,2,3,4,5} {4,5,6,7} ={1,2,3,4,5,6,7}

queseleeA unin B. Es decir la unin de dos conjuntos es un nuevo conjunto que rene los elementosdel primero ms los elementos del segundo.

Se debe notar que los elementos 4 y 5 comunes a ambos conjuntos, no se repiten en el nuevoconjuntoA B.Al definir la operacinuninde dos conjuntos se quiere indicar que, mediante ella, se obtiene un nuevoconjuntoC =A

Bque no contiene elementos repetidos.

Grficamente podemos expresar la unin de los conjuntos A y Bmediante diagramas que se conocencomo Diagramas deVenncomo se muestra en laFig1.3.1.

Figura 1.3.1: Diagrama deVenn de laUnion

En esta figura puede apreciarse el Diagrama deVenncorrespondiente a la unin de conjuntosA B. El conjuntoA Best formado por todos los elementos de los conjuntosAyBque se encuentran en las zonas indicadas con el rayado

simple y los elementos comunes indicados en la zona de rayado doble, pero considerados una sola vez.

Formalmente la definicin deuninentre dos conjuntos se podra escribir de la siguiente forma:

Definicin. Dados los conjuntosAyBdefinimos la unin entreAyBsegn:

A B ={x/xA xB}

donde el smbolo significa o y quiere decir que el elementox pertenecer al conjuntoA Bsi yslo sixpertenece al conjuntoAoxpertenece al conjuntoB.

Interseccin: Dados dos conjuntosAy B, por ejemplo los elegidos anteriormente, la operacin interseccinentreAyBse define como el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen al conjunto Ay alconjuntoBsimultneamente. Esto es:

A B ={4,5}Se lee A interseccin B y consta de los elementos 4 y 5 que son precisamente esos nmeros losque pertenecen a A y a Bsimultneamente. Grficamente podemos expresar la interseccin entre losconjuntosAyBmediante su respectivo Diagramas deVenncomo se muestra en laFig. 1.3.2.


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1.3. OPERACIONES BSICAS ENTRE CONJUNTOS 17

Figura 1.3.2: Diagrama deVenn de laInterseccion

En esta figura puede apreciarse el Diagrama deVenncorrespondiente a la interseccin de conjuntosA B.

Formalmente la definicin deinterseccinentre dos conjuntos se podra escribir de la siguiente forma:

Definicin. Dados los conjuntosAyBdefinimos la interseccin entreAyBsegn:

A B ={x/xA xB}

donde el smbolo significa y y quiere decir que el elementoxpertenecer al conjunto A Bsi yslo sixpertenece al conjuntoAyxpertenece al conjuntoBsimultneamente.

Diferencia: La operacin diferencia entre dos conjuntos A y B se define como el conjunto que contieneaquellos elementos que pertenecen aAy no pertenecen aB. En smbolos esto es:

A B ={1,2,3}

Se lee A menos B y consta de los elementos 1, 2 y 3 porque esos nmeros pertenecen al conjunto Ay no pertenecen al conjunto B. Grficamente podemos expresar la diferencia entre los conjuntos Ay Bmediante su respectivo Diagramas deVenncomo se muestra en laFig. 1.3.3.

Figura 1.3.3: Diagrama deVenn de laDiferencia

En esta figura puede apreciarse el Diagrama deVenncorrespondiente a la diferencia de conjuntosA B.

Formalmente la definicin dediferenciaentre dos conjuntos se podra escribir de la siguiente forma:

Definicin. Dados los conjuntosAyBdefinimos la diferencia entreAyBsegn:

A B ={x/xA x B}

queriendo decir que el elemento x pertenecer al conjuntoA Bsi y slo si x pertenece al conjunto Ayxno pertenece al conjuntoB.


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Ejemplo 1.3.1. Como ejercicio, consideremos los conjuntos:

A ={Lunes, Miercoles, Viernes}B={Martes, Miercoles, Jueves}

Calcularemos las tres operaciones bsicas entre estos conjuntos:

A B ={Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes}A B ={Mircoles}A B ={Lunes, Viernes}

A lo largo del texto utilizaremos ampliamente la nocin de conjunto, razn por la cual debemos conceptualizarsu significado para que de aqu en ms nuestro abordaje a dicha nocin pueda realizarse de manera intuitiva,facilitando su comprensin.

Ejemplo 1.3.2. Consideremos ahora los conjuntos:

A=

{Lunes, Mircoles, Viernes}B={Martes, Jueves}

Si se realizan las tres operaciones bsicas entre estos conjuntos:

A B ={Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes}A B ={}Carece de elementosA B ={Lunes, Mircoles, Viernes}

Como se ve en la segunda operacin, el resultado es un conjunto que carece de elementos verFig.1.3.4. Al conjunto resultante se lo denomina conjunto vacoy se simboliza matemticamente o bien con un

par de llaves{}sin ningn elemento indicado explcitamente o bien mediante el smbolo. Podemos escribirindistintamente en este caso1:

A B ={} A B =

Figura 1.3.4: Diagrama deVenn de dos conjuntos sin elementos en comun

En la figura puede apreciarse el Diagrama deVenncorrespondiente a dos conjuntosAyBque no tienen ningnelemento en comn.

1Si bien al conjunto vaco se lo puede simbolizar indistintamente por {} o , no es correcto referirse al mismo mediante la notacin{} pues esta ltima alude a un conjunto cuyo nico elemento es el conjunto vaco, y por lo tanto al contener un elemento, deja de serun conjunto vaco.


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Captulo 2

Nmeros NaturalesN

2.1. Teora Bsica

Los nmeros naturales N surgen de la necesidad de los pueblos primitivos de contar o enumerar loselementos de ciertos conjuntos. Por ejemplo, si nuestra actividad principal consistiera en la cra de ganado,podramos utilizar el concepto de nmero natural para enumerar la cantidad de vacas, ovejas, caballos, etc.que disponemos en nuestro corral. Sin duda alguna, el concepto de nmerosignific un gran avance en eldesarrollo evolutivo de la humanidad, y su origen en la cultura occidental se remonta hacia el ao 4000A.C. en la Mesopotamia, entre los ros Tigrisy ufratesen AsiaOccidental, donde aparecen los primerosvestigios de los nmeros que consistieron en grabados de seales en formas de cuas sobre pequeos tablerosde arcilla empleando para ello un palito aguzado.

A continuacin definiremos al conjunto de nmeros naturales tal y como suele hacerse modernamente,a partir de las nociones bsicas de conjuntos que vimos en la introduccin.

Definicin 2.1.1. El conjunto de nmeros naturales se define por extensin como:

N={1,2,3,4, ,n, }

y sus elementos son los nmeros que se utilizan para contar o enumerar cosas. En la notacin utilizada nrepresenta unnmero natural genrico que va tomando todos los valores posibles a partir del nmero 5, yaque 1, 2, 3 y 4 se escribieron explcitamente.

Observemos que la disposicin de estos nmeros no es arbitraria, sino que hemos elegido por convencin

que el valor de los nmeros naturales crecen hacia la derecha, es decir que los nmeros naturales tienen lapropiedad de ser un conjunto de elementos ordenados.

El primer elemento del conjunto de nmeros naturales N es el nmero 1, al cual denominaremosunidadde dicho conjunto numrico. Cada nmero que sigue a la derecha en la definicin de Nse incrementa en unaunidad con respecto al anterior.

Puede verse que el valor del nmero 2 ser una unidad mayor que el del nmero 1 y el valor del nmero4 ser dos unidades mayor que la del nmero 2, y as sucesivamente.

Definicin 2.1.2. El conjunto de nmeros naturales incluyendo al 0 se define por extensin como:

N0 =N {0} ={0,1,2,3,4, ,n, }donde debe quedar claro que{0}no es el conjunto vaco, sino que es un conjunto que posee como nico ele-mento al nmero cero. Los elementos del conjunto son los mismos que los del conjunto de nmeros naturales,con el agregado de un elemento extra, el nmero cero.

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20 CAPTULO 2. NMEROS NATURALESN

2.1.1. Operaciones con nmeros naturales

Agregado.

En esta seccin estudiaremos las operaciones fundamentales de los nmeros naturales y sus propiedades,que son necesarias de conocer por quienes estudian computacin debido a que si bien los clculos concretos losharn mediante la computadora, para poder crear un sistema que resuelva problemas mediante la computadora,

es necesario conocer cmo opera la misma.

Definicin 2.1.3. Diremos quees una operacin sobre el conjunto de nmeros naturales, si y slo si paratodo par de nmerosaNybN, existe un cierto nmeroctal que:

c= a b

En este sentido se dir que c es el resultado deaplicarlaoperacina los nmeros a y b. Observe-mos que no necesariamentec debe ser un elemento perteneciente al conjunto de nmeros naturales, lo quedepender del tipo de operacin. Por ejemplo:

3 + 4 = 7

en este caso la operacin es la suma usual + y el resultado 7 es un nmero natural.Otro ejemplo de operacin es la resta usual, por ejemplo:

7 4 = 3

en donde la operacin esta vez es la resta y en este caso 3N.Sin embargo, la operacin:

4 7produce un resultado que no pertenece al conjunto de nmeros naturalesN.

La operacin entre dos nmeros naturales a Ny b N, a b, dar un resultado pertenecientea Nsi y slo si a es mayor que b, lo cual se indica matemticamente con el smbolo > de la siguienteforma: a > b. Tambin se puede escribir: b < a donde el smbolo


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2.1. TEORA BSICA 21

Definicin 2.1.8. El cociente entre dos nmeros naturales a:b o bien ab o bien a/b, se define comoab =c

si y slo sia = b c.

Normalmente utilizaremos para indicar el cociente entre dos nmeros naturales la notacin ab , donde lalinea que separaaybse denominaraya de fracciny cuyo significado se podr comprender mejor al estudiarnmeros racionales.

La operacin cociente no es cerrada en N. Por qu?

Definicin 2.1.9. Los smbolos utilizados para representar las operaciones matemticas: +,,, :, etc., sedenominarnsmbolos operacionalesuoperadores matemticos.

A modo de ejemplo de situaciones en las que se podran utilizar nmeros naturales, tenemos:

El nmero de invitados que asisten a una fiesta de cumpleaos.

La cantidad de fotocopias que sacarn.

El nmero de remeras que hay guardadas en un placar.

La cantidad de CDs que guardas en tu coleccin de discos.

2.1.2. Relaciones de igualdad y orden

Dentro del conjunto de nmeros naturales y tambin en otros conjuntos numricos se definen tres

relaciones fundamentales, a saber:

Definicin 2.1.10. La relacin de igualdad = permite establecer el hecho de que dos expresiones o frmulasmatemticas cualesquiera son idnticas.

Por ejemplo:

2 3 = 6

significa que el resultado de multiplicar al nmero 2 por el nmero 3 da como resultado el nmero 6.

Los elementos del conjunto de nmeros naturales N se pueden ordenar de menor a mayor, y viceversa.Esto motiva la definicin de lo que se suele llamar relaciones de orden.

Definicin 2.1.11. La relacin orden entre dos nmeros naturales distintos cualesquiera en cuanto a su valor,podr indicarse mediante los smbolos se lee mayor que segncorresponda.

Por ejemplo:

El nmero 1 es menor que el nmero 3, lo cual se indica simblicamente mediante: 1 < 3.

El nmero 5 es mayor que el nmero 2, lo cual se indica simblicamente mediante: 5 > 2.

Definicin 2.1.12. Los smbolos utilizados para indicar las relaciones de igualdad y orden se denominanoperadores relacionalesosmbolos relacionales.


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2.1.3. Terminologa bsica utilizada en matemtica

2.1.3.1. Expresin Matemtica

Una expresin matemtica es una secuencia o cadena de caracteres cuyos smbolos pertenecen a un len-guaje especializado denominado lenguaje formal para las matemticas de tal manera que la expresincumpla ciertas reglas desintaxisque garanticen su buena formacin por ejemplo la regla que indica queluego de cada parntesis que se abra debe haber un parntesis que cierre que admita una interpretacinconsistentecon significado preciso en algn rea de la matemtica u otras ciencias.

En sintona con la definicin anterior, debemos observar que no cualquier expresin del lenguaje colo-quial podr tildarse de expresin matemtica pues la misma, para ser considerada como tal, deber cumplirciertos requisitos no slo sintcticos sino tambin semnticos es decir de significado.

Por ejemplo, la expresin Qu ganas tengo de comer una tarta de manzana! es una oracin bienconstruida, pero la misma es una oracin desiderativa es decir que expresa un deseo manifestando eldeseo de ingerir algn tipo de alimento, y por lo tanto no admite una interpretacin consistente en algn reade la matemtica.

Por el contrario, la expresin El nmero2 es el nico nmero natural primo que a la vez es par.estbien construida desde el punto de vista sintctico y adems tiene una clara interpretacin matemtica. En estesentido diremos que la misma es una expresin matemtica.

En esta expresin el nicosmbolo matemticoutilizado es el nmero 2 y el resto son palabras tomadasdel lenguaje coloquial, aunque la interpretacin de algunas de ellas como nmero natural, primo, o pardebe ser la especfica dada en el lenguaje formal de la matemtica.

Observemos adems en contraposicin a una creencia habitual que una expresin matemtica nose limita a una mera frmula o expresin que contiene puramente smbolos matemticos, sino que es muchoms abarcativa. Esto no quiere decir que las frmulas no reserven un lugar destacado en lo que consideraremosexpresin matemtica, pues estas ltimas son importantes en la medida que permiten relacionar magnitudes,variables y/o constantes entre s. La nocin de expresin matemtica es ms rica y amplia que la nocin defrmula, que es un caso particular de la primera.

2.1.3.2. Frmula

Unafrmula es un caso particular de expresin matemtica en donde no se permite la utilizacin depalabras del lenguaje coloquial, sino que la misma debe contener pura y exclusivamente smbolos matemticosnmeros, variables, constantes, operadores matemticos, operadores relacionales, etc...

2.1.3.3. Miembro

Si una expresin matemtica se compone de otras dos expresiones matemticas que expresan una rela-cin entre las mismas, por ejemplo:

2 3 = 6diremos que cada una de las expresiones a ambos lados de la relacin en este caso la igualdad es unmiembro. En este sentido, la expresin anterior consta de dos miembros, el miembro izquierdo que es 2 3y el miembro derecho que es el nmero 6.

Anlogamente si tenemos 2 3 < 8, en este caso expresa una relacin de orden donde el miembro de laizquierda es 2 3 y el de la derecha es el nmero 8.

2.1.3.4. Trmino

En una expresin matemtica compuesta de una suma o resta de otras expresiones, a cada una de ellas lallamaremostrmino. En este sentido, la expresin:

3x2 2x + 1 = 5x 3


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2.1. TEORA BSICA 23

los trminos involucrados son 3x2, 2x, 1, 5xy 3.

2.1.3.5. Factor

En una expresin matemtica compuesta de un producto de otras expresiones, a cada una de ellas lallamaremosfactor. Es decir la expresin:

(3x + 1) (4x + 3) x2 + 1

est compuesta por tres factores, a saber:

3x + 1 4x + 3 x2 + 1

En caso de haber divisiones o fracciones como dividir por una expresin equivale a multiplicar por elinverso de dicha expresin entonces podemos identificar los factores como sigue:

3x + 1

x2 + 1equivale a:

(3x + 1)

1

x2 + 1

de donde los factores son:

3x + 1 1

x2 + 1

2.1.3.6. Constante

En matemtica las constantes son expresiones cuyo valor numrico es fijo y se indican muchas vecescon un nmero. Por ejemplo el nmero natural 2 es una constante.

En otros conjuntos numricos que se encuentran en los captulos siguientes se pueden encontrar nmeroscomo por ejemplo 32 que es otra constante, pero a diferencia de la primera no es un nmero natural sino

fraccionario. Ciertos nmeros importantes no pueden expresarse como nmeros fraccionarios y al escribirloscomo nmeros decimales poseen un cantidad infinita de nmeros despus de la coma donde no existe ningngrupo de estos nmeros que aparezcan en forma repetida como por ejemplo los nmerosy e.

Ejemplos de constantes importantes en matemtica son:

El nmero Pi, cuyo smbolo para designar esta constante es la letra griega y es aproximadamente3,1415926535.

El nmero =3,1415926535 se obtiene como el cociente entre la longitud o permetroCde cual-quier circunferencia y el dimetroDde la misma.

El nmeroe que es aproximadamentee 2,7182 surge en problemas de economa por un lado y enlas ciencias naturales para expresar matemticamente el comportamiento de muchos fenmenos. Se losuele denominar nmero de Eulero constante de Napierpor ser estos ltimos los matemticos quecontribuyeron a su descubrimiento.

El nmero de oro o proporcin urea, cuyo smbolo para designarlo es la letra griega, se define como:

= 1 + 52

=1,61803398

surge en Grecia y est presente en las proporciones utilizadas en ciertas construcciones arquitectnicasilustres como ser por ejemplo ElPartenon.


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2.1.3.7. Variable

La nocin devariablees de suma importancia en matemtica. A diferencia de las constantes, las va-riables no poseen un valor numrico fijo, sino que el valor que adoptan las mismas puede ser cualquieradentro de un subconjunto del conjunto numrico con el cual se est trabajando. Las variables se simbolizanmatemticamente mediante letras cualesquiera del alfabeto.

Para comprender la nocin de variable es conveniente hacerlo a partir del anlisis del papel que desem-pean en ciertas expresiones matemticas concretas, como ser las de los ejemplos que siguen a continuacin.

Se sabe que el doble de un nmero natural coincide con el triple de dicho nmero disminuido en 20unidades. Si llamamos n al nmero desconocido, entonces la expresin matemtica que expresa lacondicin del enunciado es:

2n = 3n 20

En esta expresin la variable esny el conjunto numrico sobre el cual tomar valores dicha variable esN. Sin embargo no cualquier nmero naturalnverificar la igualdad propuesta. Por ejemplo:

Sin = 30 entonces el miembro izquierdo toma el valor 60 y el derecho el valor 70, de donde laigualdad propuesta no se verifica.

Sin = 20 entonces el miembro izquierdo toma el valor 40 y el derecho adopta el mismo valor,razn por la cual deducimos quen = 20 es un valor posible para la variablendonde se verifica laigualdad propuesta en el enunciado.

En realidad el valor n =20 es el nico nmero natural para la variable n que hace que se verifique laigualdad anterior, pero no por ello diremos que n es unaconstante. La razn de esto ltimo es que lasconstantes deben ser nmerosfijos, mientras quenpuede adoptar cualquier valor numrico natural, perode todos esos nmeros hay uno slo que verifica la igualdad, a saber n = 20. El valor 20 es el nicoelemento del subconjunto del conjunto de nmeros naturales que verifica dicha igualdad.

Se sabe que un cierto nmero naturalxdisminuido en dos unidades, multiplicado por ese mismo nmeronaturalxdisminuido en tres unidades, da como resultado el nmero cero.

El nmeroxen este caso satisface la igualdad:

(x 2) (x 3) = 0

Si queremos encontrar los valores dexque satisfacen la igualdad anterior, en este caso con slo observarla expresin nos damos cuenta que los nicos nmeros que verifican la igualdad son x = 2 y x = 3.

Es decir, los valores de la variable x que cumplen con la igualdad anterior conforman un subconjuntoS Nde dos elementos, que podemos definir por extensin de la siguiente forma:

S ={2, 3}

La expresin matemtica que relaciona la temperatura en grados Celsius C con la temperatura engrados Fahrenheit F es la siguiente:

F =95

C+ 32

La expresin anterior involucra dos variables:Fy C. Se denominanvariablespues las mismas puedentomar cualquier valor numrico que represente una cierta temperatura, medida en la escala correspon-diente. Algunos valores posibles para estas variables, dentro del conjunto de nmeros naturales N0son:

C F5 410 32

10 50


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2.2. EJERCICIOS 25

En este ltimo ejemplo se puede encontrar el valor de Fpara todos los nmeros naturalesC comprendidosentre 0 e infinito. El valor de Fno necesariamente ser un nmero natural, an cuando el valor deCsi lo sea.Podemos verpor inspeccinque la condicin necesaria y suficiente para queFsea un nmero natural, es queCsea mltiplo de 5.

En este caso el subconjunto de los valores posibles de Ccoincide con el conjunto de nmeros naturalesN0si bien los de F no de acuerdo a la observacin anterior. Es decir sea cual fuera el valor de Celegido

dentro de los nmeros naturales N0, siempre es posible hallar un correspondiente valor deFde modo tal queel par(C, F)satisfaga la igualdad. La razn de que ocurra esto es la presencia de dos variables en la expresinoriginal, donde se permite fijar una de ellas en un valor determinado, y adaptaro buscarel valor de la otraque sea necesario para que se cumpla la igualdad. En el caso de los dos primeros ejemplos, en los cuales laexpresin involucraba una nica variable, vimos que para que la igualdad pueda cumplirse era necesario quedicha variable adopte ciertos valores concretos en particular, que sern precisamente los valores que satisfaganesa igualdad. En general, una igualdad entre dos expresiones matemticas que involucre una variable y dondela igualdad se cumpla para ciertos valores de dicha variable, se denomina ecuacin, y a la variable cuyosvalores queremos encontrar para que se cumpla la igualdad, se la denominaincgnita.

2.2. Ejercicios

Los ejercicios del nmero 1 al 25 tienen el objeto de introducir mediante su resolucin ordenadalaspropiedades de los nmeros naturales y las operaciones matemticas que pueden realizarse con ellos.

Si alguna operacin no pudiera realizarse en el conjunto de los nmeros naturales, colocar como resul-tado No es posible en el campo de N o bienN0segn corresponda.

Si se utiliza este material en clases presenciales en las que los estudiantes estuvieran divididos en grupos,sera deseable que se resuelvan todos en clase,en forma correlativa, analizando el significado de cada ejercicioen cada grupo, con la gua de los docentes.

De ser necesario en el debate grupal ms conocimientos tericos, se puede recurrir a la seccin de TeoriaComplementaria, como as tambin recurrir a ella luego de realizar la resolucin de cada ejercicio o grupo deejercicios para verificar las conclusiones obtenidas.

El procedimiento indicado en los tres prrafos anteriores debiera seguirse en todos los temas de estapublicacin.

El mismo procedimiento debieran seguir aquellos que los resuelvan fuera de la clase presencial, donderesulta muy importante que en lo posible se reunieran para resolverlos en grupos de dos o tres personas.En caso de realizar la actividad en forma individual, se recomienda verificar las conclusiones y resultadosobtenidos as como tambin los procedimientos utilizados y el lenguaje utilizado para describirlos.

De aqu en ms y durante todo el curso en cada problema o ejercicio que se resuelva, se debe explicar

en palabras en forma escrita, cada paso del procedimiento utilizado indicando las propiedades que seusan en cada operacin.

1. Cul es laoperacin bsicacon nmeros naturales pertenecientes al conjuntoN? Por qu?

2. a) Sumar:

1) 4 + 2 + 6 = . . . . . . . . .

2) (4 + 2) + 6 = . . . . . . . . .

3) 4 + (2 + 6) = . . . . . . . . .

b) Los resultados: Pertenecen al conjuntoN? Qu propiedad de la suma de nmeros naturales los

generaliza?c) Qu propiedad de la suma de nmeros naturales explica la relacin entre los resultados obtenidos

en 2a1, 2a2 y 2a3?

3. Cul es la operacin inversa de la suma?


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a) Completar:

Si 8 + 4 = 128 = . . . . . . . . . . . .4 = . . . . . . . . . . . .

donde la flecha hacia la derecha con trazo de doble lnea significaimplicaoentonces, lo que quieredecir que la primera afirmacin implica, deriva o trae como consecuencia la segunda.

b) Se ajusta a lo indicado en el Ej. 1?4.

a) Sumar:

1) 7 + 2 = . . . . . . . . .

2) 2 + 7 = . . . . . . . . .

b) Repetir los puntos 2by 2cdel Ej. 2.

5. a) Restar:

1) 8

4 = . . . . . . . . .

2) 4 8 = . . . . . . . . .b) Poseen las mismas propiedades observadas en 4a1 y 4a2?

6. Restar 4 4 = . . . . . . . . .

a) Cumple con las propiedades observadas en el Ejercicio5 en el conjuntoN?

b) Si no lo hiciera: A qu conjunto numrico pertenece el resultado?

7. Cmo surge la operacin producto o multiplicacin a partir de la suma? Est de acuerdo con loobservado en el Ej. 1? Ejemplificarlo mediante sucesivas aplicaciones de la operacin suma para los

dos casos siguientes:

5 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.

a) Multiplicar:

1) 4 2 6= . . . . . . . . .

2) (4 2) 6=

. . . . . . . . .3) 4 (2 6) = . . . . . . . . .b) Repetir los puntos 2by 2cpara el producto de nmeros naturales.

9.

a) Multiplicar:

1) 7 2 = . . . . . . . . .2) 2 7 = . . . . . . . . .

b) Repetir 2by 2c.

10.

a) Efectuar las siguientes operaciones:

1) 2 (3 + 5) = . . . . . . . . .


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2.2. EJERCICIOS 27

2) 2 3 + 2 5 = . . . . . . . . .b) A qu propiedad hacen alusin los resultados obtenidos?

11.


1) 2 (3 + 5) = . . . . . . . . .2) 2 3 + 5 = . . . . . . . . .

b) Es importante la presencia de los parntesis en 11a1, si lo que se quiere es aplicar la propiedadindicada en 10b?

12.


1) 2 (7 4) = . . . . . . . . .2) 2

7

2

4 = . . . . . . . . .

b) A qu propiedad hacen alusin los resultados obtenidos? El resultado pertenece aN0?

c) Efectuar las siguientes operaciones:

1) 2 (4 7) = . . . . . . . . .2) 2 4 2 7 = . . . . . . . . .

El resultado pertenece aN0?

13.


1) 2 3 + 2 6 + 2 4 2 5 = . . . . . . . . .2) 2 (3 + 6 + 4 5) = . . . . . . . . .

b) Qu se aplica para explicar la igualdad de los dos resultados? A qu propiedad hacen alusinlos resultados obtenidos?

14. Resolver la siguiente operacin de dos maneras diferentes:

a) Resolviendo cada parntesis por separado, para luego efectuar el producto.

b) Aplicando la propiedad distributiva.

(5 + 2) (2 + 7) = . . . . . . . . .Explicar en palabras el procedimiento seguido en forma escrita, indicando las propiedades utilizadaspara realizar la operacin.

15. Utilizando las propiedades de los nmeros naturales que se fueron deduciendo mediante los ejerciciosanteriores y que se explican en la teora complementaria, efectuar una operacin igual a la del ejercicioanterior, reemplazando los nmeros por letras para generalizar, y obtener, para cada caso, una expresinque contenga el menor nmero de trminos posibles sumando o restando los trminos de igual

parte literal sin utilizar la operacin potenciacin, teniendo presente que a,b,c y dson nmerospertenecientes al conjuntoN.

a) (a + b) (c + d) = . . . . . . . . .b) (a + b) (a + b) = . . . . . . . . .c) (a b) (a b) = . . . . . . . . .

Es necesario imponer la condicin a > b para que el resultado pertenezca a N?


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d) (a + b) (a b) = . . . . . . . . . (siendo a >b)Explicar el procedimiento seguido en cada caso, indicando las propiedades utilizadas para realizarla operatoria.

16. Ladivisinococientees la operacin inversa de la multiplicacin.

a) Completar:

8 4 = 328 =. . . . . . . . . : . . . . . . . . .4 =. . . . . . . . . : . . . . . . . . .

a) Se ajusta a lo observado en el Ej. 1?

b) Qu significado se le puede dar a esta operacin expresado en palabras?

17.

a) Si divido:8 : 4 = . . . . . . . . .

El resultado N?b) Si divido:

4 : 8 = . . . . . . . . .

El resultado N?c) Extraer conclusiones.

18. Si divido 8 : 4 = . . . . . . . . .

a) El resultado N?b) Por qu se dice que 8 dividido 4 es una divisin exacta?

c) Si divido 9 : 4

1) El resultado N?2) Es una divisin exacta?

19. Resolver:

a)

1) 36 : 6 : 3 = . . . . . . . . .

2) (36 : 6): 3 = . . . . . . . . .3) 36 :(6 : 3) = . . . . . . . . .

Extraer conclusiones.

b)

1) 36 : 6 = . . . . . . . . .

2) 6 : 36 = . . . . . . . . .

Extraer conclusiones.

20. Resolver 19 : 5 expresando el resultado como:

19= 5 q + rdondeqes elcocientede la divisin yres elresto1.

1En este ejercicio se utiliza el Algoritmo deDivisionque se presenta en la seccin de TeoriaComplementaria del Capitulo3,correspondiente a nmeros enteros.


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2.2. EJERCICIOS 29

21. Cmo surge la operacinpotenciacina partir de la multiplicacin? Ejemplificarlo con:

25 =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicar cmo se denomina a los nmeros naturales 2 y 5 en esta operacin. El resultado pertenece a N?

22.

a) Realizar las siguientes operaciones de potenciacin de nmeros naturales:

34 =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Repetir 2by 2cpara el caso de potenciacin.

23. Reescribir los resultados finales de los tres casos del Ej. 15 utilizando la operacin de potenciacin.Enunciar en palabras el resultado obtenido para los puntos 15b, 15dy 15ce indicar como se denomina

normalmente a las expresiones obtenidas.24. Dada la operacin 102 =100:

Indicar cules son las operaciones inversas de la potenciacin para2:

a) Obtener el nmero natural 10 a partir del 100 y el 2.

b) Obtener el nmero natural 2 a partir del 100 y del 10.

25. Repetir el ejercicio anterior, para 42 =16 a los efectos de3:

a) Obtener el nmero natural 4 a partir del 16 y del 2.

b) Obtener el nmero natural 2 a partir del 16 y del 4.

Las operaciones definidas se podrn realizar dentro del conjunto de los nmeros naturales N, cuales-quiera sean esos nmeros?Justificar.

26. Utilizando las propiedades de las operaciones bsicas sobre nmeros naturales, realizar los siguientesclculos mentalmente indicando en forma escrita, debajo de cada uno de los tems, la estrategia elegidapara simplificar el mismo, as como tambin la o las propiedades utilizadas para conseguirlo.

a) 234 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .b) 34 50 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .c) 12 + 13 + 28 + 37 + 10= . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) 23 5 + 34 5 + 3 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .e) 14 + 21 + 36 + 29= . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) 17 4 + 32 4 + 7 4 + 4 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27. Indicar cules de las operaciones definidas soncerradasen el conjunto de los nmeros naturales N.

28. Decidir si las siguientes magnitudes son nmeros naturales. En caso de serlo, determinar si la mismapertenece aNo a N0, segn corresponda.

a) El permetro de un cuadrado de lado l = 1.

b) El largo, expresado en metros de una mesa de 1 metro con 80 centmetros de largo.2Los temas necesarios para comprender cabalmente la problemtica planteada en este ejercicio se tratarn con profundidad en la

TeoriaComplementaria del captulo de NumerosReales.3Los temas necesarios para comprender cabalmente la problemtica planteada en este ejercicio se tratarn con profundidad en la

TeoriaComplementaria del captulo de NumerosReales.


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c) El largo, expresado en centmetros, de una mesa de 1 metro con 80 centmetros de largo.

d) La cantidad de patas de un caballo de carrera.

e) La cantidad de pelos que tiene usted en la cabeza.

f) La diagonal de un cuadrado de lado l = 1.

g) El dimetro de una circunferencia de radior= 1.

h) El permetro de una circunferencia de radior= 1.

29. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Hay un nmero naturaln, que es el ltimo de todos, luego del cual no existe otro nmero natural.

b) La afirmacin anterior es falsa.

c) El nmero 1 no tiene un predecesor en N.

d) El nmero 1 no tiene un predecesor en N0.

e) La propiedad que afirma que entre dos nmeros naturales cualesquiera hay tan slo una cantidadfinita de otros nmeros naturales, indica queNyN0son conjuntos discretos.

30. Efectuar las siguientes operaciones en el campo de los nmeros naturales. Decidir si el resultado perte-nece aNo a N0, segn corresponda.

a) 2 + 3 (a + 1) 5b + c= . . . dondea = 2,b = 3,c = 5.

2.3. Problemas

Para asentar los conceptos construidos al resolver los ejercicios planteados en el punto anterior, sobre n-meros naturales, los aplicaremos a las siguientes situaciones problemticas. Indicar en cada caso si el resultadoes o no un nmero natural.

1. Anbal quiere alfombrar su habitacin, que mide 10 metros de largo por 5 metros de ancho. El metrocuadrado de alfombra cuesta $24. Cuntos dinero debe destinar a la refaccin?

2. Una canilla descompuesta gotea a razn de 4 gotas por segundo, y desperdicia una cantidad de aguapotable de 1ml por gota. Calcular cunta agua potable se desperdiciara en 1 hora. Cunta en un da?Cunta en un mes? Y en un ao?

3. Anbal tiene que atravesar un terreno baldo de 100 metros de ancho por 300 metros de largo. Tiene dosformas de cruzarlo, en L o en diagonal. Cuntos metros caminara para cruzarlo en L? Y si lo haceen diagonal? Cul forma es ms conveniente? En ambas formas de hacerlo el resultado es un nmeronatural?

4. Sila luz viaja a razn de300,000Km/s aproximadamente y la distancia al Sol es de unos 150,000,000km.Cuntos minutos le lleva a la luz que emite el sol llegar a la Tierra? La respuesta es un nmero natural?

2.4. Teora Complementaria

Ya dijimos previamente que los nmeros naturales son aquellos utilizados para contar la cantidad deelementos de ciertos conjuntos. Entre las operaciones bsicas que pueden realizarse dentro del conjunto denmeros naturales estn la suma y el producto usuales. Las propiedades bsicas que caracterizan estas opera-ciones son las siguientes.


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2.4. TEORA COMPLEMENTARIA 31

2.4.1. Propiedades de los nmeros naturales

El conjunto de nmeros naturales posee las siguientes caractersticas:

1. Es un conjunto ordenado:Es decir, hay definida una relacin de orden


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2.4.2. Propiedades de las operaciones con nmeros naturales

1. La suma es cerrada en N:Para todo par de nmeros naturalesayb, la sumaa + bes a su vez un nmeronatural. Esta propiedad enuncia que la suma de dos nmeros naturales, da como resultado a su vez unnmero natural.

2. La suma es conmutativa:Es decira + b = b + apara todo par de nmeros naturalesayb.

3. La suma es asociativa:Es decira + (b + c) = (a + b) + cpara todoa,b,cN.4. Existencia de un elemento neutro para la suma4:En el caso de N0, existe un nmero destacado, a saber

el 0, con la propiedad de quea + 0= 0 + a = apara todoaN.5. El producto es cerrado enN:Para todo par de nmeros naturalesa y b, el productoab es a su vez un

nmero natural.

6. El producto es conmutativo:Es decirab = bapara todo par de nmerosa,bN.7. El producto es asociativo:Es decira (bc) = (ab) cpara todoa,b,cN.8. Existencia de un elemento neutro para la multiplicacin: Existe un nmero destacado, a saber el 1, con

la propiedad de quea 1= 1 a = apara todoaN.9. Propiedad Distributiva del Producto con respecto a la Suma: a (b + c) = ab + acpara todoa,b,c,N.

Observemos que esta propiedad nos autoriza aextraer factores comunes, pues:

ab + ac= a (b + c)en virtud de que las igualdades pueden ser ledas en cualquiera de los dos sentidos posibles, es decirA = Bsi y slo si B = A.

10. Propiedades de la Potenciacin de Nmeros Naturales: Las propiedades bsicas de la potenciacin denmeros naturales,an dondease denominabaseyn exponenteque luego se extendern para todos

los conjuntos numricos son:a) a1 =a

El enunciado en palabras sera: Todo nmero natural a elevado a la unidad es igual a dichonmero.

b) am+n =am anElenunciado sera: El producto de dos potencias de igual base es igual a otra potencia de lamisma base cuyo exponente es la suma de los dos exponentes.

c) (am)n =amn

Elenunciadosera: Una potencia elevada a otro exponente es igual a una potencia de igual basecuyo exponente es el producto de los exponentes.

De estas tres propiedades se pueden deducir otras. Una de las ms importantes es la que permiteestablecer que para todo nmero naturala del conjuntoN notar que expresamente excluimosal0 elevado al nmero 0, da como resultado la unidad. La demostracin resulta inmediata,teniendo en cuenta las propiedades anteriores y la operacin de suma:

a = a1 =a1+0 =a1 a0 =a a0

y comoa 0 por ser un nmero natural del conjunto N, entonces podemos simplificaraen ambosmiembros para obtener la propiedad:

a = a a0

a0 =1

Simblicamente:a0 =1 aN, donde el smbolo se leepara todo.4Esta propiedad se verifica solamente enN0, ya queNcomienza en el nmeron = 1, y por lo tanto carece de un elemento neutro

para la suma.


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2.4. TEORA COMPLEMENTARIA 33

2.4.3. Estrategias para realizar clculos mentalmente

A pesar de que actualmente siempre disponemos a mano de una calculadora, la realizacin de clculosmentales sencillos es fundamental en la vida diaria y es absolutamente necesaria en el campo de la ingenie-ra. El ingeniero debe disponer de herramientas de razonamiento y clculo mental que le permitan abordaren forma intuitiva ciertos problemas que se le suscitan as como tambin tener la posibilidad de chequear

si los resultados obtenidos computacionalmente son compatibles con los requerimientos de la problemticaplanteada. Se debe tener en cuenta, por ejemplo, que en todo programa de simulacin existen parmetros quedeben ajustarse para lograr que el error en los resultados obtenidos sea admisible por el sistema real que sedesea representar, y esto ltimo requiere en forma indispensable que el ingeniero disponga de facilidad declculo mental para que no se le escape un posible error causado por la mquina por problemas de ajustes deparmetros al realizar la simulacin.

Las propiedades vlidas para nmeros naturales enumeradas en la seccin anterior son de gran utilidada los efectos de realizar ms eficientemente clculos mentalmente. A continuacin se vern algunos ejemplos:

Para efectuar la operacin:102 45

se puede utilizar la propiedad distributiva para poder proceder de la siguiente forma:

102 45= (100 + 2) 45=100 45 + 2 45=4500 + 90

=4590

El procedimiento descripto en los pasos anteriores bien podra haberse implementado mentalmentecomo estrategia para agilizar el clculo original, aprovechando la PropiedadDistributivade la sumacon respecto al producto.

Otro ejemplo similar al primero:12 35= (10 + 2) 35

=10 35 + 2 35=350 + 70

=420

Otro ejemplo de este tipo:

5 31= 5 (30 + 1)=5 30 + 5 1=150 + 5

=155

Supongamos ahora que quisiramos efectuar la siguiente suma de varios nmeros naturales:

23 + 12 + 17 + 9 + 8 =

Aprovechando la Asociatividady la Conmutatividadde la suma podramos reordenar los trminos de lasuma, agrupndolos de tal forma que las operaciones parciales a realizar para ir obteniendo el resultadodefinitivo, sean ms fciles de realizar o bien den como resultado nmeros ms sencillos de sumar entres. Concretamente haramos lo siguiente:

23 + 12 + 17 + 9 + 8= (23 + 17) + (12 + 8) + 9

=40 + 20 + 9=69

Como podemos ver, los resultados parciales luego de la reordenacin de los trminos a sumar, dan comoresultado nmeros fcilmente sumables entre si, y simples de manejar mentalmente.


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2.4.4. Sistemas de Numeracin Posicional

Para representar los nmeros naturales del conjuntoN0disponemos dediez smbolos distintos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Como hay ms nmeros que los diez smbolos que se utilizan normalmente, hubo que buscar histrica-mente la manera de combinarlos para representar los nmeros siguientes y todo nmero natural que podamosimagin

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B2 - Material Ingr Matemática-InGENIERIA 2014-1