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1st 2012/05/02Lst 2021/08/06

v3.6 Aug.2021

導波管

伝送線路の例 （その１）2

森, ``マイクロウェーブ技術入門講座 基礎編,’’ p.14, CQ出版, 2003.

EH

x

y0

r

GND

GND

Strip

Substrate

d

W

EH

GND

d

y0

GND

GND

Slot

d

EH

x

y

GND

GND

EH

x

y

0b

y

GND

WStrip

xr

SubstrateW

HE

xrSubstrate

GND

EH

Substrated

y

Wx

r

Strip

W

S

GND GND

GND GND

r2a2b

a

0

EH

x

y

a0

EH

x

y

b

aEH

x

y

b

aEH

x

y

2a2b

Blbi., ``Microwave Engineering, 3rd,’’ p.143-146, John Wiley & Sons

EH

x

y

2a

d0

r

マイクロストリップ ストリップ スロット

コプレーナ 同軸 導波管

リッジ導波管誘電体（ファイバ）

平行線

0 0

平行平板導波路3

EH

x

y

2a

d0

EH

x

y

0b

a

0

内側が鏡面なら，電磁波（光）は対向する2面の間で反射を繰り返しながらz方向に進める。

zz

因

縁

縁

果

TE10 TE01

TEM

各種伝送線路の例4

Coaxial semi-rigid 50Ω

Coaxial semi-flexible 50Ω

Coaxial flexible 50Ω

Coaxial flexible 75Ω

X band Waveguide(8.2-12.4 GHz )

Micro-strip Optical fiber

Serial (shield×10線)

PC-Audio (shield×2線)

LAN (twist pair×4=8線)

USB (shield×5線)

Telephone×4線

テレビ用

計測器用

高出力立体回路

低出力平面回路

TEM, TE, TMの定義5

1. TEM波 (Transverse Electromagnetic Wave)：電磁的横波2. TE波 (Transverse Electric Wave)：電気的横波, または H波3. TM波 (Transverse Magnetic Wave)：磁気的横波, または E波4. ハイブリッド波 (Hybrid Wave)：TE波とTM波の混成・混合波

岡田, “マイクロ波工学,” pp. 127-128, 学献社, 1999

E

H

y

z

xE

H

y

z

xS

S H

y

z

xE

0zE 0zH 0z zE H

本郷, “マイクロ波工学,” pp. 79-84, 信山社サイテック, 1993 平田, “マイクロ波工学,” p. 64, 日本理工出版会, 2004

伝搬方向z軸に電界が存在しない（磁界は存在）

伝搬方向z軸に磁界が存在しない（電界は存在）

伝搬方向z軸に電磁界が存在しない

西原, “光・電磁波工学,” pp. 70-71, オーム社, 2000

S

電界ベクトルを軸回転

磁界ベクトルを軸回転

zx面

yz面

Hz発生 Ez発生

Hzは存在 Ezは存在

矩形導波管 TEzモード

x

y

z

b

a0

E

H

y

z

xS

TE (H波)0zE 電界ベクトルをy軸回転

zx面Hz発生

ri

TEm0モードの例

側面反射

yE

H S

ri

お わ だ ま さ こ

か わ し ま き こ

6

矩形導波管 TMzモード

x

y

z

b

a0

E

ir

H

y

z

xE

TM (E波)0zH

S

磁界ベクトルをx軸回転

yz面

Ez発生

rS

xH

TMm0モードの例

上下面反射

i

7

導波管内の電磁界の求め方8

2 2 22

2 2 2 0zk Hx y z

３．進行方向の磁界の波動方程式

１．微分形のマクスウェル方程式

H j E

E j H

0H 0E

４．変数分離法による一般解の導出

( , ) cos sin cos sinz x x y yh x y A k x B k x C k y D k y

５．境界条件の適用

x

y

z

b

a

, 0

( , ) zz zH h x y e

0,( , ) 0x y be x y

0,( , ) 0y x a

e x y

( , ) zx xE e x y e

( , ) zy yE e x y e

２．モード選択TEz なら Ez=0, TMz なら Hz=0

b

a x

y

b

a x

y

導波管内の電磁界 (TEzモード)9

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos

cos sin

sin cos

sin cos

cos sin

zz mn

zzx mn

c c

zzy mn

c c

zzx mn

c c

zzy mn

c c

m x n yH A ea b

Hj j n m x n yE A ek y k b a b

Hj j m m x n yE A ek x k a a b

H m m x n yH A ek x k a a b

H n m x n yH A ek y k b a b

TE10モードの電磁界を抽出せよ。（ヒント：m=1, n=0を代入する）

導波管の伝搬パラメータ10

波動インピーダンス

管内波長③

遮断波数

遮断周波数②

波数

位相定数

TE ,kZ

2 2

cm nka b

2 212c

m nfa b

TMZ

k

k

2 2ck k

21 ( )g

c

遮断波長①2 2

12 2cm na b

位相速度cosp

vv

波数ベクトル

ckk

ck

k

伝搬

非伝搬

ck k

ck k

z

z

定義

定義

Cutoff frequency

Cutoff wavelength

Guided wavelength Phase velocity

Phase constant

Wave number

Cutoff Wave number

Wave impedance

導波管内の伝搬パラメータの導出11

2 2 2 2 2 2 22

22 2 2 2 22

2 2 2 2

2

2

2 1 1 12 2 2

g

c

c

k k m n m nka b a b

m n m na b a b

2 2 2 2 2 2

2 2

2 1 12 2

2 2

cm n m na b a b m n

a b

①遮断波長λcは、伝搬と非伝搬モード（エバネッセントモード）の境目なので、k2 > kc2 より

③管内波長λgは、伝搬方向（z方向）の波長であるから

②遮断周波数fcは、遮断波長λcのときの周波数なので

2 2 2 2

2 2

1 1 12 2 2

12 2

cc

v m n m nf fa b a bm n

a b

電界・磁界・壁面電流分布12

https://www.cst.com/Academia/Examples/Hollow-Rectangular-Waveguide

壁面上のH とJはほぼ同じ

1ˆSJ n H

BS21n̂

Region II

Region I

TE10主要モードの電界13

https://www.cst.com/Academia/Examples/Hollow-Rectangular-Waveguide

エバネッセントモードと減衰量14

https://www.cst.com/Academia/Examples/Hollow-Rectangular-Waveguide

2 2

cm nka b

[rad/m]k

2 2

2 2

[rad/m]

[Np/m]

c

c

k k

k k

k < kc のとき β は虚数

（指数関数で減衰）

j z ze e

Decibel [dB] and Neper [Np]15

D. M. Pozar, Microwave Engineering 3rd ed., pp.63-64, Wiley, 2005.

210

1

10 log [dB]PP

210

1

20log [dB]VV

2 2

1 1

1 1log ln [Np]2 2e

P PP P

2 210

11 Np ln 10log 8.686 dB2

e e

二つの電力P2[W]とP1[W]の比の常用対数を取ったもの[dB]と定義する。2 2

2 2 2 1 2 110 10 102 2

1 1 1 2 1 2

10 log 10log 20log [dB]V R V R V RV R V R V R

もしも、R1=R2であれば、

a

b

1I

ThRThV 1V 1R

2 2

1 1

log ln [Np]eV VV V

一方、二つの電圧V2[V]とV1[V]の比の自然対数を取ったものを[Np]と定義する。

㋑の導出と同様にR1=R2のとき、㋒を電力比で表すと、

2 2 2 2

1 11 1

1ln ln [Np]2

P R P RPRPR

例えば、P2とP1の比がe2のとき、㋓と㋐より

となる。即ち、NpからdBの変換は8.686倍すればよい。

（右図で等価電源のみ変化することを意味する。）

㋐

㋑

㋒ 【減衰量について】z方向に進む波の減衰はe-αzであるから、㋑の定義を使えば、減衰量は

1020log [dB]ze

㋒の定義を使えば、ln [Np]ze z となる。

㋓

0

100

200

300

400

500

600

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50

Z w[Ω]

β[rad/m]

Frequency [Hz]

kβ10β20ZTE10ZTM10ZTE20ZTM20η

導波管の位相定数とインピーダンス16

EH

x

y

0b

a

0

導波管

TE ,kZ

2 2

cm nka b

TMZk

k

2 2 ,ck k

モード整合法1

1 2

2

0 for 01 for (1)0 for

Iy

x xE x x x

x x a

Ey

II Am sin m xa

m1

M

(2)

010

Am sin m x

a

m1

M

(3)

sin m xa

dxx1

x2

Am sin m xa

sin m xa

dx0

a

m1

M

(4)

where m 1,2,3,, M

z=0で境界条件 E1t=E2t を適用すると、

sin m x

a

dx0

a

, m 1,2,3,, M(3)式の両辺に を掛けると、

J. Uher, et al, “Waveguide Components for Antenna Feed Systems : Theory and CAD.,” pp.9-50, Artech HouseT. S. Chu, "Generalized Scattering Matrix Method for Analysis …," IEEE Trans. MTT, vol.34, pp.280-284, 1986

許 瑞邦, "マイクロ波回路技術者および研究者のためのCADプログラム." pp.69-124, ミマツデータシステム, 1998

未知数は領域Ⅱの固有関数の振幅Am

a

b

1x 2x

0

z

y

x平面波（領域 I）

IyE

IIyE

導波管（領域 II）

開口面（一様分布を仮定）

※ 簡単のため、領域 I の反射波は無いと仮定（厳密には磁界の境界条件も適用して反射波も求める。）

17

パルス状の入力電界を導波管内のSin調和関数で展開するので、フーリエ級数展開と同じ。

導波管窓によるリアクタンス素子

a

d

Inductive L

0

2 21 cosec cot2 2

g

BY

d da a a

b d

Capacitive C

0

8 ln cosec2g

B b dY b

0YB0Y

0YB0Y

(1)

(2)

Equivalent Circuit Equivalent Susceptance

L

C

x

y

z

x

y

z

Equivalent Circuit Equivalent Susceptance

18

Derivation of this equation is beyond the scope of undergrad mathematics, but can be calculated in a spreadsheet.

yE

yE

小西良弘，“高周波・マイクロ波回路基礎と設計,” p.277,ケイラボ出版, 2003.

導波管回路への適用

19

x

y

z

b

a0

lShort

LZ0Z

z

0Z

0Z

l

Input impedance in ( )Z l

x

y

z

b

a0

LZ0Z

z

0Z

Shunt impedance in ( )Z l

Short

Y

yE

yE

Partial Short

Waveguide Window

Waveguide Stub

Stub

＝

19

平行平板と円形導波管の伝搬モード20

https://demonstrations.wolfram.com/ElectromagneticWavesInAParallelPlateWaveguide/

https://demonstrations.wolfram.com/ElectromagneticWavesInACylindricalWaveguide/