B7 время 2 мин - Nethouse · 2013. 10. 1. · 1 2 3 24 5n = 1·n4 + 2·n3 + 3·n + 4·n1 + 5·n0 • последняя цифра записи числа в системе

1

B7 (время – 2 мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать:

• принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления • чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием N в десятичную

систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной ее разряду: 4 3 2 1 0 ← разряды 1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0

• последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N

• две последние цифры – это остаток от деления на 2N , и т.д.

Пример задания: Решите уравнение 78 12060 =+ x .

Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: 1) удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат

перевести в шестеричную систему

2) получаем 637271120,48808660 127

018 =⋅+⋅==⋅+⋅=

3) уравнение приобретает вид 6348 =+ x , откуда получаем 15=x

4) переводим 15 в шестеричную систему счисления: 601 23636215 =⋅+⋅=

5) ответ: 23.

Ещё пример задания: Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение: 6) если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число

делится на N нацело 7) поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится

одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15 8) очевидно, что это число 15.

N0 = 1

2

Ещё пример задания:

Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение: 9) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от

деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом k имеем 66671 =⋅⇒=+⋅ NkNk

10) следовательно, основание N – это делитель числа 66 11) с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть

43 6710000671000 NNNN <≤⇒<≤

12) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

,...813,162,...2166,273,82

44

333

==

===

13) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие 43 67 NN <≤ 14) таким образом, верный ответ – 3. 15) можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113

Еще пример задания:

Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение: 1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от

деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом k имеем 3783813 =⋅⇒=+⋅ NkNk

2) следовательно, основание N – это делитель числа 73332378 ⋅⋅⋅⋅= 3) с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

32 3811000381100 NNNN <≤⇒<≤

4) неравенство 3812 ≤N дает 19≤N (так как 40020,36119 22 == )

5) неравенство 3381 N< дает N≤8 (так как 5128,3437 33 == )

6) таким образом, 198 ≤≤ N ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа • 9, при 9=N получаем запись числа 910 463381 =

• 14, при 14=N получаем запись числа 1410 31381 D=

• 18, при 18=N получаем запись числа 1810 133381 =

7) наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

8) таким образом, верный ответ – 18.

3


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход: • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием N (см.

презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления

исходного числа на N , а две младших цифры – это остаток от деления на 2N и т.д.

• в данном случае 4=N , остаток от деления числа на 162 =N должен быть равен 114 = 5 • потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и

дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему): 1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

516 +⋅k где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при 0=k ) и 21 (при 1=k )

3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: • выражение «не превосходящие X » означает «меньшие или равные X », а не строго

меньшие X • остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в

десятичную систему • найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой): 1) переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не

больше этого значения 2) из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:

это 114 = 5 и 1114 = 21 3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: • есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае –

большее 25) • можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или

вообще «забыть» перевести


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход: • здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через N • поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть 2>N

4

• вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием N (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на N

Решение: 1) итак, нужно найти все целые числа 3≥N , такие что остаток от деления 23 на N равен 2, или

(что то же самое) 223 +⋅= Nk (*)

где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …); 2) сложность в том, что и k , и N неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это

натуральные числа 3) из формулы (*) получаем 21=⋅ Nk , так что задача сводится к тому, чтобы найти все

делители числа 21, которые больше 2 4) в этой задаче есть только три таких делителя: 73,N = и 21 5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: • нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа,

поэтому делитель 1=N не подходит (должно быть 2>N ) • числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию



Общий подход: • неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через N • пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием N состоит из трех цифр,

причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через k ) нужно найти: 2 1 0 ← разряды 31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

• можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть,

число 31 можно представить как 131 2 ++⋅= NNk при некотором целом k ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды 31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

для 232

4 kNkNkk +⋅+⋅= (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель 2N )

Решение: 1) итак, нужно найти все целые числа 2≥N , такие что

131 2 ++⋅= NNk (**) где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и k , и N неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

5

3) из формулы (**) получаем 30)1( =+⋅ NNk , так что задача сводится к тому, чтобы найти все

делители N числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо

при целом k , то есть, 230

NNk −

= – целое число

4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение 230

NNk −

= – целое число (оно равно

соответственно 7, 3, 1 и 0) 6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.


Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1): 1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с

основанием 5: 10 = 205, 17 = 325 .

2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли 3) между 205 и 325 есть еще числа

215, 225, 235, 245, 305, 315. 4) в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз 5) таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы: • нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть,

вслед за 245 следует 305 • помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество

самих двоек • можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2): 1) переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 . 2) считаем цифры 2 – получается 7 штук 3) таким образом, верный ответ – 7 .


Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение: 1) обозначим через N неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой

системе имеет вид 30=Nzyx

2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием N в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

6

302012

=+⋅+⋅= zNyNxzyx N

3) поскольку запись трехзначная, 0≠x , поэтому 230 N≥

4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому 330 N< 5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание N удовлетворяет

двойному неравенству 32 30 NN <≤

6) учитывая, что N – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

64430164 32 =<≤=

125530255 32 =<≤= 7) минимальное из этих значений – 4 8) таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора): 1) выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения 2) найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

64430273 33 =<<=

3) проверяем второе неравенство: 301642 ≤= , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

4) таким образом, верный ответ – 4 .


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1): 1) нас интересуют числа от 1 до 30 2) сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления

с основанием 5

3) поскольку 32 5305 << , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр 4) рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

yxxy +⋅+⋅= 5533 25

все они заведомо не меньше 307553 2 >=⋅ , поэтому в наш диапазон не попадают; 5) таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа 6) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3 7) общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

kk +=+⋅ 1553 где k – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19 9) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ): 1) нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной

записи эти чисел

7

2) поскольку 511030 = , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все

трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30) 3) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3 4) выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в

десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19 5) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .



Решение (1 способ): 1) Если число в системе с основанием x оканчивается на 13, то

а) 4≥x , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

б) это число можно представить в виде 32 ++⋅ xxA , где A – целое неотрицательное число 2) определим наибольшее возможное A с учетом условия 4≥x . Из уравнения

7132 =++⋅ xxA следует 268

xxA −

= .

3) очевидно, что чем меньше x , тем больше A , поэтому значение A не превышает

44

4682max =−

=A

здесь мы подставили 4=x – наименьшее допустимое значение x 4) остается перебрать все допустимые значения A (от 0 до 4max =A ), решая для каждого из них

уравнение

7132 =++⋅ xxA или равносильное 0682 =−+⋅ xxA относительно x , причем нас интересуют только натуральные числа 4≥x

5) получаем а) при 0=A : 68=x б) при 3,2,1=A : решения – не целые числа

в) при 4=A : 41 =x и 25,42 −=x , второе решение не подходит 6) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики): 1) запись числа71 в системе с основанием x оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это

значит, что остаток от деления 71 на x равен 3, то есть для некоторого целого k имеем 68713 =⋅⇒=+⋅ xkxk

2) таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием x ,минимальное – это само число x13 ; отсюда найдем максимальное основание:

687133113 01 =⇒=+=⋅+⋅= xxxxx

так что первый ответ: 68. 4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков

( x113 , x213 …), т.е. все они больше 2100 xx =

5) поэтому 271 x> , следовательно, 9<x

8

6) по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому 3>x (в системах с основанием ≤ 3 цифры 3 нет)

7) итак: ]8,4[∈x , и при этом x – делитель 68; единственное возможное значение 4=x (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

8) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Возможные ловушки и проблемы: • на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных

цифр (в примере – 3) • можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами

(в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание • нужно помнить, что

а) максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления б) 100 в системе с основанием p равно p2



Решение (1 способ): 1) Если число в системе с основанием x оканчивается на 22, то

а) 3≥x , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2

б) это число можно представить в виде 222 ++⋅ xxA , где A – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное A с учетом условия 3≥x . Из уравнения

86222 =++⋅ xxA следует 2284

xxA −

= .

3) очевидно, что чем меньше x , тем больше A , поэтому значение A не превышает

328

3684

2max =−

=A

здесь мы подставили 3=x – наименьшее допустимое значение x 4) остается перебрать все допустимые значения A (от 0 до 8max =A ), решая для каждого из них

уравнение

86222 =++⋅ xxA или равносильное 08422 =−+⋅ xxA относительно x , причем нас интересуют только натуральные числа 3≥x

5) получаем а) при 0=A : 42=x б) при 1=A : решения – не целые числа в) при 2=A : 6=x и 72 −=x , второе решение не подходит

г) при 8,7,6,5,4,3=A : решения – не целые числа 6) таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики): 1) запись числа 86 в системе с основанием x оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это

значит, что остаток от деления 86 на x равен 2, то есть для некоторого целого k имеем 84862 =⋅⇒=+⋅ xkxk

2) таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

9

3) среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием x ,минимальное – это само число x22 ; отсюда найдем максимальное основание:

4286222222 01 =⇒=+=⋅+⋅= xxxxx

так что первый ответ: 42. 4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков

( x122 , x222 …), т.е. все они больше 2100 xx =

5) поэтому 286 x> , следовательно, 10<x 6) по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому 2>x 7) итак: ]9,3[∈x , и при этом x – делитель 84; возможные значения 7,6,4,3=x (на 5,8 и 9

число 84 не делится) 8) переводя число 86 в системы счисления с основаниями 7,6,4,3=x , находим, что только

для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2): 8 6 3 8 6

4 8 6 6 8 6 7

8 4 2 8 3 8 4 2

1 4 8 4 1 4 6 8 4 1 2 7

2 2 7 9… 2 2

0 5… 2 1 2 2 2 7 1

1

Дальше делить нет смысла

1 2 5 9) таким образом, верный ответ: 6, 42.


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение: 1) Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3). 2) Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием x двузначна (94 = 23x), то

справедливо равенство 3294 2 += x ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что 4≥x , таких решений нет.

3) Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число –

2300x, где 4≥x . При минимальном основании ( 4=x ) оно равно 941764342 23 >=⋅+⋅ , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

4) На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть Mxx +⋅+⋅= 3294 2 , где M – целое неотрицательное число, такое что xM < .

5) Максимальное x можно определить как решение уравнения xx ⋅+⋅= 3294 2 (при 0=M ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому 6≤x

6) Если мы знаем x , то M определится как xxM ⋅−⋅−= 3294 2 ; пробуем подставлять в эту формулу 6,5,4=x , пытаясь получить xM <

7) Минимальное M будет при 6=x : 4=M , а при 5,4=x получается xM > 8) Таким образом, верный ответ: 6.

10


Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение: 1) Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается

закономерность: 178 + 1708 = 2078

178 + 1708 + 17008 = 21078 178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078 178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078 178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078

2) Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных): 100010010010010001112

3) Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры 100010010010010001112 8 9 2 4 7

4) Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.


Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение: 1) Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор

имеет смысл начинать с 6min == xx . 2) Очевидно, что yx > , однако это не очень нам поможет.

3) Для каждого «подозреваемого» x вычисляем значение Nxxx =++⋅= 522225 2 и решаем

уравнение 54405 2 +⋅== yN y , причем нас интересуют только натуральные 5>y .

4) Для 6=x и 7=x нужных решений нет, а для 8=x получаем

56414958282 22 +⋅==+⋅+⋅=N так что 6=y .

5) Таким образом, верный ответ (минимальное значение x ): 8.


Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор): 1) запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух),

поэтому основание N меньше 10 2) это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2

до N = 9 3) переводим:

30 = 111102 = 10103 = …

11

4) дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

5) можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

6) Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства): 1) запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда,

когда старший разряд – третий, то есть 43 30 NN <≤

2) первая часть двойного неравенства 303 ≤N дает (в целых числах) 3≤N

3) вторая часть неравенства 430 N< дает (в целых числах) 3≥N 4) объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3 5) заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по

количеству цифр 6) Ответ: 3.

12

Задачи для тренировки: 1) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 22 оканчивается на 4. 2) В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это

основание. 3) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 39 оканчивается на 3. 4) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 29 оканчивается на 5. 5) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004.

Укажите это основание. 6) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 40 оканчивается на 4. 7) В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100.

Найдите это основание. 8) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 27 оканчивается на 3. 9) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись

которых в троичной системе счисления оканчивается на 22? 10) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись

которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31? 11) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не

превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?

12) Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.


14) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 1.


16) Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

17) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

18) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна. 19) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна. 20) Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7? 21) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись

которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4? 22) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись

которых в системе счисления с основанием 3 начинается на 2? 23) Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как

12345? 24) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись

которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?

13






30) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 27, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110?

31) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?

32) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 45, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 1010?

33) Десятичное число кратно 16. Какое минимальное количество нулей будет в конце этого числа после перевода его в двоичную систему счисления?




37) В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. Найдите основание системы счисления, в которой указаны эти числа.

38) Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201. 39) Найдите основание системы счисления, в которой выполнено умножение: 3·213 = 1043. 40) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись

которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 3? 41) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100,

запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11? 42) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись



числа 61 оканчивается на 15. 45) Найдите десятичное число x, такое что 20 < x < 30, запись которого в системе счисления с

основанием 3 заканчивается на 11. 46) Запись числа 658 в некоторой системе счисления выглядит так: 311N. Найдите основание системы

счисления N. 47) Запись числа 30 в некоторой системе счисления выглядит так: 110N. Найдите основание системы

счисления N. 48) Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы

счисления N. 49) Запись числа 23 в некоторой системе счисления выглядит так: 212N. Найдите основание системы

счисления N.

14

50) Запись числа 2105 в некоторой системе счисления выглядит так: 313N. Найдите основание системы счисления N.

51) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна. 52) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись

числа 348 оканчивается на 20. 53) Запись числа 344 в некоторой системе счисления выглядит так: 1A8N. Найдите основание системы

счисления N. 54) К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во

сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления. 55) Запись числа 281 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1.

Чему равно максимально возможное основание системы счисления? 56) Запись числа 234 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 6.

Чему равно основание системы счисления? 57) Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2.

Чему равно максимально возможное основание системы счисления? 58) Запись числа 256 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 4.

Чему равно минимально возможное основание системы счисления? 59) Запись числа 325 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1.

Чему равно минимально возможное основание системы счисления? 60) Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0.

Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления. 61) Запись числа 280 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0.

Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления. 62) Запись натурального числа в системах счисления с основанием 4 и 6 заканчивается на 0. Найдите

минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям. 63) Десятичное число 71 в некоторой системе счисления записывается как «78». Определите

основание системы счисления. 64) Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как «64». Определите



основание системы счисления. 67) Решите уравнение 35 112242 =+ x .

Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

68) Решите уравнение 57 230100 =+ x .






71) (http://ege.yandex.ru) Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.

http://ege.yandex.ru/

15

72) (http://ege.yandex.ru) Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определите основание системы счисления.

73) (http://ege.yandex.ru) В системе счисления с основанием N запись числа 77 оканчивается на 0, а запись числа 29 – на 1. Чему равно число N?

74) В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 45 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.




78) Запись числа 6810 в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?


Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

80) Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.

81) Запись числа N в системе счисления c основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 13 заканчивается на 3. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.



Documents

B7 время 2 мин - Nethouse · 2013. 10. 1. · 1 2 3 24 5n = 1·n4 + 2·n3 + 3·n + 4·n1 + 5·n0 • последняя цифра записи числа в системе