BAB 1 ANALISIS VARIANSI / KERAGAMAN Analysis of Variance ( ANOVA )

Emirul Bahar - Perencanaan Eksperimen

PERENCANAAN EKSPERIMEN

by : Emirul Bahar

BAB 1ANALISIS VARIANSI /

KERAGAMANAnalysis of Variance ( ANOVA )


Gambaran UmumAnalysis of Variance (ANOVA)

Uji-FUji-F

UjiTukey-Kramer

Uji Perbedaan Signifikan

Fischer Terkecil

ANOVA1 Arah

DesainBlok Lengkap

Acak

Desain2 Faktor

Dgn. Replikasi


Kegunaan ANOVA Mengendalikan 1 atau lebih variabel

independen Disebut dgn faktor (atau variabel treatment) Tiap faktor mengandung 2 atau lebih level

(kategori / klasifikasi) Mengamati efek pada variabel dependen

Merespon level pada variabel independen Perencanaan Eksperimen: perencanaan

dengan menggunakan uji hipotesis


ANOVA 1 Arah

Evaluasi perbedaan diantara 3 atau lebih mean populasi

Contoh: Tingkat kecelakaan pada 3 kota Usia pemakaian 5 merk Handphone

Asumsi Populasi berdistribusi normal Populasi mempunyai variansi yang

sama Sampelnya random dan independen


Desain Acak Lengkap Unit percobaan (subjek) dipilih acak pada

perlakuan (treatments) Hanya ada 1 faktor / var. independen

Dengan 2 atau lebih level treatment Analisis dengan :

ANOVA 1 arah Disebut juga Desain Seimbang jika

seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel yang sama


Hipotesis ANOVA 1 Arah

Seluruh mean populasi adalah sama Tak ada efek treatment (tak ada keragaman

mean dalam grup)

Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda Terdapat sebuah efek treatment Tidak seluruh mean populasi berbeda

(beberapa pasang mungkin sama)

k3210 μμμμ:H

samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:


ANOVA 1 Faktor

Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar

(Tak ada efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA seluruhidak

321 μμμ


ANOVA 1 Faktor

Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA semuaidak

321 μμμ 321 μμμ

or

(sambungan)


Partisi Variasi Variasi total dapt dipecah menjadi 2 bagian:

SST = Sum of Squares Total (Jumlah Kuadrat Total)SSB = Sum of Squares Between (Jumlah Kuadrat Antara)SSW = Sum of Squares Within (Jumlah Kuadrat Dalam)

SST = SSB + SSW


Partisi Variasi

Variasi Total = pernyebaran agregat nilai data individu melalui beberapa level faktor (SST)

Within-Sample Variation = penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah level faktor tertentu (SSW)

Between-Sample Variation = penyebaran diantara mean sampel faktor (SSB)

SST = SSB + SSW

(sambungan)


Partisi Variasi Total

Variasi Faktor (SSB)

Variasi Random Sampling (SSW)

Variasi Total (SST)

Mengacu pada: Sum of Squares Within Sum of Squares Error Sum of Squares

Unexplained Within Groups Variation

Mengacu pada: Sum of Squares Between Sum of Squares Among Sum of Squares Explained Among Groups Variation

= +


Jumlah Kuadrat Total (Total Sum of Squares)

k

i

n

jij

i

)xx(SST1 1

2

Dimana:

SST = Total sum of squares/Jumlah Kuadrat Total

k = jumlah populasi (levels or treatments)

ni = ukuran sampel dari populasi i

xij = pengukuran ke-j dari populasi ke-i

x = mean keseluruhan (dari seluruh nilai data)

SST = SSB + SSW


Variasi Total (sambungan)

Group 1 Group 2 Group 3

Response, X

X

2212

211 )xx(...)xx()xx(SST

kkn


Jumlah Kuadrat Antara (Sum of Squares Between)

Where:

SSB = Sum of squares between

k = jumlah populasi


xi = mean sampel dari populasi i

x = mean keseluruhan (dari seluruh nilai data)

2

1

)xx(nSSB i

k

ii

SST = SSB + SSW


Variasi Diantara Group/Kelompok

Perbedaan variasi antar kelompok

i j

2

1

)xx(nSSB i

k

ii

1

k

SSBMSB

Mean Square Between =

SSB/degrees of freedom

•degrees of freedom :

derajat kebebasan


Variasi Diantara Group/Kelompok

(sambungan)


Response, X

X1X

2X3X

2222

211 )xx(n...)xx(n)xx(nSSB kk


Jumlah Kuadrat Dalam (Sum of Squares Within)

Where:

SSW = Sum of squares within

k = jumlah populasi


xi = mean sampel dari populasi i

xij = pengukuran ke-j dari populasi ke-i

2

11

)xx(SSW iij

n

j

k

i

j

SST = SSB + SSW


Variasi Dalam Kelompok (Within-Group Variation)

Penjumlahan variasi dalam setiap group dan kemudian penambahan pada seluruh group

i

kN

SSWMSW

Mean Square Within =

SSW/degrees of freedom

2

11

)xx(SSW iij

n

j

k

i

j


Variasi Dalam Kelompok (Within-Group Variation)(continued)


Response, X

1X2X

3X

22212

2111 )xx(...)xx()xx(SSW kknk


Tabel ANOVA 1 Arah (One-Way ANOVA)

Source of Variation

dfSS MS

Between Samples

SSB MSB =

Within Samples

N - kSSW MSW =

Total N - 1SST =SSB+SSW

k - 1 MSB

MSW

F ratio

k = jumlah populasiN = jumlah ukuran sampel dari seluruh populasidf = degrees of freedom/derajat kebebasan

SSB

k - 1

SSW

N - k

F =


Uji F ANOVA 1 Faktor

Stastistik Uji :

MSB : jumlah kuadrat diantara variansiMSW : jumlah kuadrat dalam variansi

Degrees of freedom/derajat kebebasan : df1 = k – 1 (k = jumlah populasi) df2 = N – k (N = jumlah ukuran sampel seluruh

populasi)

MSW

MSBF

H0: μ1= μ2 = … = μ k

HA: Minimal 2 mean populasi berbeda


Interpretasi Uji F

Statistik Uji F adalah rasio antara taksiran variansi dengan taksiran dalam variansi

Rasio harus selalu positif df1 = k -1 berukuran kecil df2 = N - k berukuran besar

Rasio akan mendekati 1 jika : H0: μ1= μ2 = … = μk Benar

Rasio akan lebih besar dari 1 jika :

H0: μ1= μ2 = … = μk Salah


Contoh Kasus

Terrdapat 3 jenis mata bor yang berbeda. Dipilih 5 sampel dari masing-masing untuk diukur kemampuangnya membuat diameter lubang dalam kondisi yang sama. Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah terdapat perbedaan rata-rata(mean) ukuran diameter yang dibuat ketiga mata bor tsb.?

Bor 1 Bor 2 Bor 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 204


••••

•

Scatter Diagram

270

260

250

240

230

220

210

200

190

••

•••

•••••

Diameter

1X

2X

3X

X

227.0 x

205.8 x 226.0x 249.2x 321

Bor 1 Bor 2 Bor 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 204

Bor1 2 3


Perhitungan

Bor 1 Bor 2 Bor 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 204

x1 = 249.2

x2 = 226.0

x3 = 205.8

x = 227.0

n1 = 5

n2 = 5

n3 = 5

N = 15

k = 3

SSB = 5 [ (249.2 – 227)2 + (226 – 227)2 + (205.8 – 227)2 ] = 4716.4

SSW = (254 – 249.2)2 + (263 – 249.2)2 +…+ (204 – 205.8)2 = 1119.6

MSB = 4716.4 / (3-1) = 2358.2

MSW = 1119.6 / (15-3) = 93.325.275

93.3

2358.2F


F = 25.275

Solusi

H0: μ1 = μ2 = μ3

HA: μi not all equal

= .05df1= 2 df2 = 12

Statistik Uji:

Keputusan:

Kesimpulan:

Tolak H0 at = 0.05

Terdapat minimal 1 mean yang berbeda dari ketiga mata bor

0

= .05

F.05 = 3.885Reject H0Do not

reject H0

25.27593.3

2358.2

MSW

MSBF

Critical Value:

F = 3.885


SUMMARY

Groups Count SumAverag

eVarianc

e

Club 1 5124

6249.2 108.2

Club 2 5113

0226 77.5

Club 3 5102

9205.8 94.2

ANOVA

Source of Variation

SS df MS F P-value F crit

Between Groups

4716.4

22358.

225.275

4.99E-05

3.885

Within Groups

1119.6

12 93.3

Total5836.

014

Output Excel

Documents

BAB 1 ANALISIS VARIANSI / KERAGAMAN Analysis of Variance ( ANOVA )